Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  xihopellsmN Structured version   Unicode version

Theorem xihopellsmN 36452
Description: Ordered pair membership in a subspace sum of isomorphism H values. (Contributed by NM, 26-Sep-2014.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
xihopellsm.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
xihopellsm.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
xihopellsm.t  |-  T  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
xihopellsm.e  |-  E  =  ( ( TEndo `  K
) `  W )
xihopellsm.a  |-  A  =  ( s  e.  E ,  t  e.  E  |->  ( f  e.  T  |->  ( ( s `  f )  o.  (
t `  f )
) ) )
xihopellsm.u  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
xihopellsm.l  |-  L  =  ( LSubSp `  U )
xihopellsm.p  |-  .(+)  =  (
LSSum `  U )
xihopellsm.i  |-  I  =  ( ( DIsoH `  K
) `  W )
xihopellsm.k  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
xihopellsm.x  |-  ( ph  ->  X  e.  B )
xihopellsm.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  B )
Assertion
Ref Expression
xihopellsmN  |-  ( ph  ->  ( <. F ,  S >.  e.  ( ( I `
 X )  .(+)  ( I `  Y ) )  <->  E. g E. t E. h E. u ( ( <. g ,  t
>.  e.  ( I `  X )  /\  <. h ,  u >.  e.  ( I `  Y ) )  /\  ( F  =  ( g  o.  h )  /\  S  =  ( t A u ) ) ) ) )
Distinct variable groups:    t, s, E    g, h, t, u, F    f, g, t, H    g, I, h, t, u    f, s, K, g, t    S, g, h, t, u    U, g, h, t, u    f, W, g, s, t    g, X, h, t, u    g, Y, h, t, u    ph, g, h, t, u
Allowed substitution hints:    ph( f, s)    A( u, t, f, g, h, s)    B( u, t, f, g, h, s)    .(+) ( u, t, f, g, h, s)    S( f, s)    T( u, t, f, g, h, s)    U( f, s)    E( u, f, g, h)    F( f, s)    H( u, h, s)    I( f, s)    K( u, h)    L( u, t, f, g, h, s)    W( u, h)    X( f,
s)    Y( f, s)

Proof of Theorem xihopellsmN
StepHypRef Expression
1 xihopellsm.k . . 3  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
2 xihopellsm.x . . . 4  |-  ( ph  ->  X  e.  B )
3 xihopellsm.b . . . . 5  |-  B  =  ( Base `  K
)
4 xihopellsm.h . . . . 5  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
5 xihopellsm.i . . . . 5  |-  I  =  ( ( DIsoH `  K
) `  W )
6 xihopellsm.u . . . . 5  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
7 eqid 2467 . . . . 5  |-  ( LSubSp `  U )  =  (
LSubSp `  U )
83, 4, 5, 6, 7dihlss 36448 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  X  e.  B
)  ->  ( I `  X )  e.  (
LSubSp `  U ) )
91, 2, 8syl2anc 661 . . 3  |-  ( ph  ->  ( I `  X
)  e.  ( LSubSp `  U ) )
10 xihopellsm.y . . . 4  |-  ( ph  ->  Y  e.  B )
113, 4, 5, 6, 7dihlss 36448 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  Y  e.  B
)  ->  ( I `  Y )  e.  (
LSubSp `  U ) )
121, 10, 11syl2anc 661 . . 3  |-  ( ph  ->  ( I `  Y
)  e.  ( LSubSp `  U ) )
13 eqid 2467 . . . 4  |-  ( +g  `  U )  =  ( +g  `  U )
14 xihopellsm.p . . . 4  |-  .(+)  =  (
LSSum `  U )
154, 6, 13, 7, 14dvhopellsm 36315 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( I `  X )  e.  (
LSubSp `  U )  /\  ( I `  Y
)  e.  ( LSubSp `  U ) )  -> 
( <. F ,  S >.  e.  ( ( I `
 X )  .(+)  ( I `  Y ) )  <->  E. g E. t E. h E. u ( ( <. g ,  t
>.  e.  ( I `  X )  /\  <. h ,  u >.  e.  ( I `  Y ) )  /\  <. F ,  S >.  =  ( <.
g ,  t >.
( +g  `  U )
<. h ,  u >. ) ) ) )
161, 9, 12, 15syl3anc 1228 . 2  |-  ( ph  ->  ( <. F ,  S >.  e.  ( ( I `
 X )  .(+)  ( I `  Y ) )  <->  E. g E. t E. h E. u ( ( <. g ,  t
>.  e.  ( I `  X )  /\  <. h ,  u >.  e.  ( I `  Y ) )  /\  <. F ,  S >.  =  ( <.
g ,  t >.
( +g  `  U )
<. h ,  u >. ) ) ) )
17 xihopellsm.t . . . . . . 7  |-  T  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
18 xihopellsm.e . . . . . . 7  |-  E  =  ( ( TEndo `  K
) `  W )
191adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  <. g ,  t >.  e.  (
I `  X )
)  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
202adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  <. g ,  t >.  e.  (
I `  X )
)  ->  X  e.  B )
21 simpr 461 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  <. g ,  t >.  e.  (
I `  X )
)  ->  <. g ,  t >.  e.  (
I `  X )
)
223, 4, 17, 18, 5, 19, 20, 21dihopcl 36451 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  <. g ,  t >.  e.  (
I `  X )
)  ->  ( g  e.  T  /\  t  e.  E ) )
231adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  <. h ,  u >.  e.  (
I `  Y )
)  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
2410adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  <. h ,  u >.  e.  (
I `  Y )
)  ->  Y  e.  B )
25 simpr 461 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  <. h ,  u >.  e.  (
I `  Y )
)  ->  <. h ,  u >.  e.  (
I `  Y )
)
263, 4, 17, 18, 5, 23, 24, 25dihopcl 36451 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  <. h ,  u >.  e.  (
I `  Y )
)  ->  ( h  e.  T  /\  u  e.  E ) )
2722, 26anim12dan 835 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( <. g ,  t >.  e.  ( I `  X )  /\  <. h ,  u >.  e.  ( I `  Y ) ) )  ->  ( ( g  e.  T  /\  t  e.  E )  /\  (
h  e.  T  /\  u  e.  E )
) )
281adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( (
g  e.  T  /\  t  e.  E )  /\  ( h  e.  T  /\  u  e.  E
) ) )  -> 
( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
29 simprl 755 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( (
g  e.  T  /\  t  e.  E )  /\  ( h  e.  T  /\  u  e.  E
) ) )  -> 
( g  e.  T  /\  t  e.  E
) )
30 simprr 756 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( (
g  e.  T  /\  t  e.  E )  /\  ( h  e.  T  /\  u  e.  E
) ) )  -> 
( h  e.  T  /\  u  e.  E
) )
31 xihopellsm.a . . . . . . . . 9  |-  A  =  ( s  e.  E ,  t  e.  E  |->  ( f  e.  T  |->  ( ( s `  f )  o.  (
t `  f )
) ) )
324, 17, 18, 31, 6, 13dvhopvadd2 36292 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( g  e.  T  /\  t  e.  E )  /\  (
h  e.  T  /\  u  e.  E )
)  ->  ( <. g ,  t >. ( +g  `  U ) <.
h ,  u >. )  =  <. ( g  o.  h ) ,  ( t A u )
>. )
3328, 29, 30, 32syl3anc 1228 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( (
g  e.  T  /\  t  e.  E )  /\  ( h  e.  T  /\  u  e.  E
) ) )  -> 
( <. g ,  t
>. ( +g  `  U
) <. h ,  u >. )  =  <. (
g  o.  h ) ,  ( t A u ) >. )
3433eqeq2d 2481 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( (
g  e.  T  /\  t  e.  E )  /\  ( h  e.  T  /\  u  e.  E
) ) )  -> 
( <. F ,  S >.  =  ( <. g ,  t >. ( +g  `  U ) <.
h ,  u >. )  <->  <. F ,  S >.  = 
<. ( g  o.  h
) ,  ( t A u ) >.
) )
35 vex 3121 . . . . . . . 8  |-  g  e. 
_V
36 vex 3121 . . . . . . . 8  |-  h  e. 
_V
3735, 36coex 6747 . . . . . . 7  |-  ( g  o.  h )  e. 
_V
38 ovex 6320 . . . . . . 7  |-  ( t A u )  e. 
_V
3937, 38opth2 4731 . . . . . 6  |-  ( <. F ,  S >.  = 
<. ( g  o.  h
) ,  ( t A u ) >.  <->  ( F  =  ( g  o.  h )  /\  S  =  ( t A u ) ) )
4034, 39syl6bb 261 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( (
g  e.  T  /\  t  e.  E )  /\  ( h  e.  T  /\  u  e.  E
) ) )  -> 
( <. F ,  S >.  =  ( <. g ,  t >. ( +g  `  U ) <.
h ,  u >. )  <-> 
( F  =  ( g  o.  h )  /\  S  =  ( t A u ) ) ) )
4127, 40syldan 470 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( <. g ,  t >.  e.  ( I `  X )  /\  <. h ,  u >.  e.  ( I `  Y ) ) )  ->  ( <. F ,  S >.  =  ( <.
g ,  t >.
( +g  `  U )
<. h ,  u >. )  <-> 
( F  =  ( g  o.  h )  /\  S  =  ( t A u ) ) ) )
4241pm5.32da 641 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( <.
g ,  t >.  e.  ( I `  X
)  /\  <. h ,  u >.  e.  (
I `  Y )
)  /\  <. F ,  S >.  =  ( <.
g ,  t >.
( +g  `  U )
<. h ,  u >. ) )  <->  ( ( <.
g ,  t >.  e.  ( I `  X
)  /\  <. h ,  u >.  e.  (
I `  Y )
)  /\  ( F  =  ( g  o.  h )  /\  S  =  ( t A u ) ) ) ) )
43424exbidv 1694 . 2  |-  ( ph  ->  ( E. g E. t E. h E. u ( ( <.
g ,  t >.  e.  ( I `  X
)  /\  <. h ,  u >.  e.  (
I `  Y )
)  /\  <. F ,  S >.  =  ( <.
g ,  t >.
( +g  `  U )
<. h ,  u >. ) )  <->  E. g E. t E. h E. u ( ( <. g ,  t
>.  e.  ( I `  X )  /\  <. h ,  u >.  e.  ( I `  Y ) )  /\  ( F  =  ( g  o.  h )  /\  S  =  ( t A u ) ) ) ) )
4416, 43bitrd 253 1  |-  ( ph  ->  ( <. F ,  S >.  e.  ( ( I `
 X )  .(+)  ( I `  Y ) )  <->  E. g E. t E. h E. u ( ( <. g ,  t
>.  e.  ( I `  X )  /\  <. h ,  u >.  e.  ( I `  Y ) )  /\  ( F  =  ( g  o.  h )  /\  S  =  ( t A u ) ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1379   E.wex 1596    e. wcel 1767   <.cop 4039    |-> cmpt 4511    o. ccom 5009   ` cfv 5594  (class class class)co 6295    |-> cmpt2 6297   Basecbs 14507   +g cplusg 14572   LSSumclsm 16527   LSubSpclss 17449   HLchlt 34548   LHypclh 35181   LTrncltrn 35298   TEndoctendo 35949   DVecHcdvh 36276   DIsoHcdih 36426
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4564  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587  ax-cnex 9560  ax-resscn 9561  ax-1cn 9562  ax-icn 9563  ax-addcl 9564  ax-addrcl 9565  ax-mulcl 9566  ax-mulrcl 9567  ax-mulcom 9568  ax-addass 9569  ax-mulass 9570  ax-distr 9571  ax-i2m1 9572  ax-1ne0 9573  ax-1rid 9574  ax-rnegex 9575  ax-rrecex 9576  ax-cnre 9577  ax-pre-lttri 9578  ax-pre-lttrn 9579  ax-pre-ltadd 9580  ax-pre-mulgt0 9581  ax-riotaBAD 34157
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-fal 1385  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rmo 2825  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-tp 4038  df-op 4040  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4333  df-iin 4334  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-tr 4547  df-eprel 4797  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-fr 4844  df-we 4846  df-ord 4887  df-on 4888  df-lim 4889  df-suc 4890  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6256  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-om 6696  df-1st 6795  df-2nd 6796  df-tpos 6967  df-undef 7014  df-recs 7054  df-rdg 7088  df-1o 7142  df-oadd 7146  df-er 7323  df-map 7434  df-en 7529  df-dom 7530  df-sdom 7531  df-fin 7532  df-pnf 9642  df-mnf 9643  df-xr 9644  df-ltxr 9645  df-le 9646  df-sub 9819  df-neg 9820  df-nn 10549  df-2 10606  df-3 10607  df-4 10608  df-5 10609  df-6 10610  df-n0 10808  df-z 10877  df-uz 11095  df-fz 11685  df-struct 14509  df-ndx 14510  df-slot 14511  df-base 14512  df-sets 14513  df-ress 14514  df-plusg 14585  df-mulr 14586  df-sca 14588  df-vsca 14589  df-0g 14714  df-poset 15450  df-plt 15462  df-lub 15478  df-glb 15479  df-join 15480  df-meet 15481  df-p0 15543  df-p1 15544  df-lat 15550  df-clat 15612  df-mgm 15746  df-sgrp 15785  df-mnd 15795  df-submnd 15840  df-grp 15929  df-minusg 15930  df-sbg 15931  df-subg 16070  df-cntz 16227  df-lsm 16529  df-cmn 16673  df-abl 16674  df-mgp 17014  df-ur 17026  df-ring 17072  df-oppr 17144  df-dvdsr 17162  df-unit 17163  df-invr 17193  df-dvr 17204  df-drng 17269  df-lmod 17385  df-lss 17450  df-lsp 17489  df-lvec 17620  df-oposet 34374  df-ol 34376  df-oml 34377  df-covers 34464  df-ats 34465  df-atl 34496  df-cvlat 34520  df-hlat 34549  df-llines 34695  df-lplanes 34696  df-lvols 34697  df-lines 34698  df-psubsp 34700  df-pmap 34701  df-padd 34993  df-lhyp 35185  df-laut 35186  df-ldil 35301  df-ltrn 35302  df-trl 35356  df-tendo 35952  df-edring 35954  df-disoa 36227  df-dvech 36277  df-dib 36337  df-dic 36371  df-dih 36427
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator