MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xblss2ps Structured version   Unicode version

Theorem xblss2ps 20772
Description: One ball is contained in another if the center-to-center distance is less than the difference of the radii. In this version of blss2 20775 for extended metrics, we have to assume the balls are a finite distance apart, or else  P will not even be in the infinity ball around  Q. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Aug-2015.) (Revised by Thierry Arnoux, 11-Mar-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
xblss2ps.1  |-  ( ph  ->  D  e.  (PsMet `  X ) )
xblss2ps.2  |-  ( ph  ->  P  e.  X )
xblss2ps.3  |-  ( ph  ->  Q  e.  X )
xblss2ps.4  |-  ( ph  ->  R  e.  RR* )
xblss2ps.5  |-  ( ph  ->  S  e.  RR* )
xblss2ps.6  |-  ( ph  ->  ( P D Q )  e.  RR )
xblss2ps.7  |-  ( ph  ->  ( P D Q )  <_  ( S +e  -e R ) )
Assertion
Ref Expression
xblss2ps  |-  ( ph  ->  ( P ( ball `  D ) R ) 
C_  ( Q (
ball `  D ) S ) )

Proof of Theorem xblss2ps
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 xblss2ps.1 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  D  e.  (PsMet `  X ) )
2 xblss2ps.2 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  P  e.  X )
3 xblss2ps.4 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  R  e.  RR* )
4 elblps 20758 . . . . . 6  |-  ( ( D  e.  (PsMet `  X )  /\  P  e.  X  /\  R  e. 
RR* )  ->  (
x  e.  ( P ( ball `  D
) R )  <->  ( x  e.  X  /\  ( P D x )  < 
R ) ) )
51, 2, 3, 4syl3anc 1228 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( P ( ball `  D
) R )  <->  ( x  e.  X  /\  ( P D x )  < 
R ) ) )
65simprbda 623 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( P ( ball `  D
) R ) )  ->  x  e.  X
)
71adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( P ( ball `  D
) R ) )  ->  D  e.  (PsMet `  X ) )
8 xblss2ps.3 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  Q  e.  X )
98adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( P ( ball `  D
) R ) )  ->  Q  e.  X
)
10 psmetcl 20679 . . . . . . . 8  |-  ( ( D  e.  (PsMet `  X )  /\  Q  e.  X  /\  x  e.  X )  ->  ( Q D x )  e. 
RR* )
117, 9, 6, 10syl3anc 1228 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( P ( ball `  D
) R ) )  ->  ( Q D x )  e.  RR* )
1211adantr 465 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( P ( ball `  D ) R ) )  /\  R  e.  RR )  ->  ( Q D x )  e. 
RR* )
13 xblss2ps.6 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( P D Q )  e.  RR )
1413adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( P ( ball `  D
) R ) )  ->  ( P D Q )  e.  RR )
1514rexrd 9655 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( P ( ball `  D
) R ) )  ->  ( P D Q )  e.  RR* )
163adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( P ( ball `  D
) R ) )  ->  R  e.  RR* )
1715, 16xaddcld 11505 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( P ( ball `  D
) R ) )  ->  ( ( P D Q ) +e R )  e. 
RR* )
1817adantr 465 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( P ( ball `  D ) R ) )  /\  R  e.  RR )  ->  (
( P D Q ) +e R )  e.  RR* )
19 xblss2ps.5 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  S  e.  RR* )
2019ad2antrr 725 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( P ( ball `  D ) R ) )  /\  R  e.  RR )  ->  S  e.  RR* )
212adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( P ( ball `  D
) R ) )  ->  P  e.  X
)
22 psmetcl 20679 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( D  e.  (PsMet `  X )  /\  P  e.  X  /\  x  e.  X )  ->  ( P D x )  e. 
RR* )
237, 21, 6, 22syl3anc 1228 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( P ( ball `  D
) R ) )  ->  ( P D x )  e.  RR* )
2415, 23xaddcld 11505 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( P ( ball `  D
) R ) )  ->  ( ( P D Q ) +e ( P D x ) )  e. 
RR* )
25 psmettri2 20681 . . . . . . . . 9  |-  ( ( D  e.  (PsMet `  X )  /\  ( P  e.  X  /\  Q  e.  X  /\  x  e.  X )
)  ->  ( Q D x )  <_ 
( ( P D Q ) +e
( P D x ) ) )
267, 21, 9, 6, 25syl13anc 1230 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( P ( ball `  D
) R ) )  ->  ( Q D x )  <_  (
( P D Q ) +e ( P D x ) ) )
275simplbda 624 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( P ( ball `  D
) R ) )  ->  ( P D x )  <  R
)
28 xltadd2 11461 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( P D x )  e.  RR*  /\  R  e.  RR*  /\  ( P D Q )  e.  RR )  ->  (
( P D x )  <  R  <->  ( ( P D Q ) +e ( P D x ) )  < 
( ( P D Q ) +e
R ) ) )
2923, 16, 14, 28syl3anc 1228 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( P ( ball `  D
) R ) )  ->  ( ( P D x )  < 
R  <->  ( ( P D Q ) +e ( P D x ) )  < 
( ( P D Q ) +e
R ) ) )
3027, 29mpbid 210 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( P ( ball `  D
) R ) )  ->  ( ( P D Q ) +e ( P D x ) )  < 
( ( P D Q ) +e
R ) )
3111, 24, 17, 26, 30xrlelttrd 11375 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( P ( ball `  D
) R ) )  ->  ( Q D x )  <  (
( P D Q ) +e R ) )
3231adantr 465 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( P ( ball `  D ) R ) )  /\  R  e.  RR )  ->  ( Q D x )  < 
( ( P D Q ) +e
R ) )
3319adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( P ( ball `  D
) R ) )  ->  S  e.  RR* )
3416xnegcld 11504 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( P ( ball `  D
) R ) )  ->  -e R  e. 
RR* )
3533, 34xaddcld 11505 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( P ( ball `  D
) R ) )  ->  ( S +e  -e R )  e.  RR* )
36 xblss2ps.7 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( P D Q )  <_  ( S +e  -e R ) )
3736adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( P ( ball `  D
) R ) )  ->  ( P D Q )  <_  ( S +e  -e
R ) )
38 xleadd1a 11457 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( P D Q )  e.  RR*  /\  ( S +e  -e R )  e. 
RR*  /\  R  e.  RR* )  /\  ( P D Q )  <_ 
( S +e  -e R ) )  ->  ( ( P D Q ) +e R )  <_ 
( ( S +e  -e R ) +e R ) )
3915, 35, 16, 37, 38syl31anc 1231 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( P ( ball `  D
) R ) )  ->  ( ( P D Q ) +e R )  <_ 
( ( S +e  -e R ) +e R ) )
4039adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( P ( ball `  D ) R ) )  /\  R  e.  RR )  ->  (
( P D Q ) +e R )  <_  ( ( S +e  -e
R ) +e
R ) )
41 xnpcan 11456 . . . . . . . 8  |-  ( ( S  e.  RR*  /\  R  e.  RR )  ->  (
( S +e  -e R ) +e R )  =  S )
4233, 41sylan 471 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( P ( ball `  D ) R ) )  /\  R  e.  RR )  ->  (
( S +e  -e R ) +e R )  =  S )
4340, 42breqtrd 4477 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( P ( ball `  D ) R ) )  /\  R  e.  RR )  ->  (
( P D Q ) +e R )  <_  S )
4412, 18, 20, 32, 43xrltletrd 11376 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( P ( ball `  D ) R ) )  /\  R  e.  RR )  ->  ( Q D x )  < 
S )
4511adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( P ( ball `  D ) R ) )  /\  R  = +oo )  ->  ( Q D x )  e. 
RR* )
46 simpll 753 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( P ( ball `  D ) R ) )  /\  R  = +oo )  ->  ph )
4746, 13syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( P ( ball `  D ) R ) )  /\  R  = +oo )  ->  ( P D Q )  e.  RR )
48 simplr 754 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( P ( ball `  D ) R ) )  /\  R  = +oo )  ->  x  e.  ( P ( ball `  D ) R ) )
49 simpr 461 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( P ( ball `  D ) R ) )  /\  R  = +oo )  ->  R  = +oo )
5049oveq2d 6311 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( P ( ball `  D ) R ) )  /\  R  = +oo )  ->  ( P ( ball `  D
) R )  =  ( P ( ball `  D ) +oo )
)
5148, 50eleqtrd 2557 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( P ( ball `  D ) R ) )  /\  R  = +oo )  ->  x  e.  ( P ( ball `  D ) +oo )
)
52 xblpnfps 20766 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( D  e.  (PsMet `  X )  /\  P  e.  X )  ->  (
x  e.  ( P ( ball `  D
) +oo )  <->  ( x  e.  X  /\  ( P D x )  e.  RR ) ) )
531, 2, 52syl2anc 661 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( P ( ball `  D
) +oo )  <->  ( x  e.  X  /\  ( P D x )  e.  RR ) ) )
5453biimpa 484 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( P ( ball `  D
) +oo ) )  -> 
( x  e.  X  /\  ( P D x )  e.  RR ) )
5554simprd 463 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( P ( ball `  D
) +oo ) )  -> 
( P D x )  e.  RR )
5646, 51, 55syl2anc 661 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( P ( ball `  D ) R ) )  /\  R  = +oo )  ->  ( P D x )  e.  RR )
5747, 56readdcld 9635 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( P ( ball `  D ) R ) )  /\  R  = +oo )  ->  (
( P D Q )  +  ( P D x ) )  e.  RR )
5857rexrd 9655 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( P ( ball `  D ) R ) )  /\  R  = +oo )  ->  (
( P D Q )  +  ( P D x ) )  e.  RR* )
59 pnfxr 11333 . . . . . . . 8  |- +oo  e.  RR*
6059a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( P ( ball `  D ) R ) )  /\  R  = +oo )  -> +oo  e.  RR* )
6146, 1syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( P ( ball `  D ) R ) )  /\  R  = +oo )  ->  D  e.  (PsMet `  X )
)
6246, 2syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( P ( ball `  D ) R ) )  /\  R  = +oo )  ->  P  e.  X )
6346, 8syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( P ( ball `  D ) R ) )  /\  R  = +oo )  ->  Q  e.  X )
646adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( P ( ball `  D ) R ) )  /\  R  = +oo )  ->  x  e.  X )
6561, 62, 63, 64, 25syl13anc 1230 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( P ( ball `  D ) R ) )  /\  R  = +oo )  ->  ( Q D x )  <_ 
( ( P D Q ) +e
( P D x ) ) )
66 rexadd 11443 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( P D Q )  e.  RR  /\  ( P D x )  e.  RR )  -> 
( ( P D Q ) +e
( P D x ) )  =  ( ( P D Q )  +  ( P D x ) ) )
6747, 56, 66syl2anc 661 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( P ( ball `  D ) R ) )  /\  R  = +oo )  ->  (
( P D Q ) +e ( P D x ) )  =  ( ( P D Q )  +  ( P D x ) ) )
6865, 67breqtrd 4477 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( P ( ball `  D ) R ) )  /\  R  = +oo )  ->  ( Q D x )  <_ 
( ( P D Q )  +  ( P D x ) ) )
69 ltpnf 11343 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( P D Q )  +  ( P D x ) )  e.  RR  ->  (
( P D Q )  +  ( P D x ) )  < +oo )
7057, 69syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( P ( ball `  D ) R ) )  /\  R  = +oo )  ->  (
( P D Q )  +  ( P D x ) )  < +oo )
7145, 58, 60, 68, 70xrlelttrd 11375 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( P ( ball `  D ) R ) )  /\  R  = +oo )  ->  ( Q D x )  < +oo )
72 0xr 9652 . . . . . . . . . . 11  |-  0  e.  RR*
7372a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( P ( ball `  D
) R ) )  ->  0  e.  RR* )
74 psmetge0 20684 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( D  e.  (PsMet `  X )  /\  P  e.  X  /\  Q  e.  X )  ->  0  <_  ( P D Q ) )
757, 21, 9, 74syl3anc 1228 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( P ( ball `  D
) R ) )  ->  0  <_  ( P D Q ) )
7673, 15, 35, 75, 37xrletrd 11377 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( P ( ball `  D
) R ) )  ->  0  <_  ( S +e  -e
R ) )
77 ge0nemnf 11386 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( S +e  -e R )  e. 
RR*  /\  0  <_  ( S +e  -e R ) )  ->  ( S +e  -e R )  =/= -oo )
7835, 76, 77syl2anc 661 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( P ( ball `  D
) R ) )  ->  ( S +e  -e R )  =/= -oo )
7978adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( P ( ball `  D ) R ) )  /\  R  = +oo )  ->  ( S +e  -e
R )  =/= -oo )
8019ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( P ( ball `  D ) R ) )  /\  R  = +oo )  ->  S  e.  RR* )
81 xaddmnf1 11439 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( S  e.  RR*  /\  S  =/= +oo )  ->  ( S +e -oo )  = -oo )
8281ex 434 . . . . . . . . . 10  |-  ( S  e.  RR*  ->  ( S  =/= +oo  ->  ( S +e -oo )  = -oo ) )
8380, 82syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( P ( ball `  D ) R ) )  /\  R  = +oo )  ->  ( S  =/= +oo  ->  ( S +e -oo )  = -oo ) )
84 xnegeq 11418 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( R  = +oo  ->  -e
R  =  -e +oo )
8549, 84syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( P ( ball `  D ) R ) )  /\  R  = +oo )  ->  -e
R  =  -e +oo )
86 xnegpnf 11420 . . . . . . . . . . . 12  |-  -e +oo  = -oo
8785, 86syl6eq 2524 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( P ( ball `  D ) R ) )  /\  R  = +oo )  ->  -e
R  = -oo )
8887oveq2d 6311 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( P ( ball `  D ) R ) )  /\  R  = +oo )  ->  ( S +e  -e
R )  =  ( S +e -oo ) )
8988eqeq1d 2469 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( P ( ball `  D ) R ) )  /\  R  = +oo )  ->  (
( S +e  -e R )  = -oo  <->  ( S +e -oo )  = -oo ) )
9083, 89sylibrd 234 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( P ( ball `  D ) R ) )  /\  R  = +oo )  ->  ( S  =/= +oo  ->  ( S +e  -e
R )  = -oo ) )
9190necon1d 2692 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( P ( ball `  D ) R ) )  /\  R  = +oo )  ->  (
( S +e  -e R )  =/= -oo  ->  S  = +oo ) )
9279, 91mpd 15 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( P ( ball `  D ) R ) )  /\  R  = +oo )  ->  S  = +oo )
9371, 92breqtrrd 4479 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( P ( ball `  D ) R ) )  /\  R  = +oo )  ->  ( Q D x )  < 
S )
94 psmetge0 20684 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( D  e.  (PsMet `  X )  /\  P  e.  X  /\  x  e.  X )  ->  0  <_  ( P D x ) )
957, 21, 6, 94syl3anc 1228 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( P ( ball `  D
) R ) )  ->  0  <_  ( P D x ) )
9673, 23, 16, 95, 27xrlelttrd 11375 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( P ( ball `  D
) R ) )  ->  0  <  R
)
97 xrltle 11367 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\  R  e.  RR* )  ->  (
0  <  R  ->  0  <_  R ) )
9872, 16, 97sylancr 663 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( P ( ball `  D
) R ) )  ->  ( 0  < 
R  ->  0  <_  R ) )
9996, 98mpd 15 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( P ( ball `  D
) R ) )  ->  0  <_  R
)
100 ge0nemnf 11386 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  e.  RR*  /\  0  <_  R )  ->  R  =/= -oo )
10116, 99, 100syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( P ( ball `  D
) R ) )  ->  R  =/= -oo )
10216, 101jca 532 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( P ( ball `  D
) R ) )  ->  ( R  e. 
RR*  /\  R  =/= -oo ) )
103 xrnemnf 11340 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  RR*  /\  R  =/= -oo )  <->  ( R  e.  RR  \/  R  = +oo ) )
104102, 103sylib 196 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( P ( ball `  D
) R ) )  ->  ( R  e.  RR  \/  R  = +oo ) )
10544, 93, 104mpjaodan 784 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( P ( ball `  D
) R ) )  ->  ( Q D x )  <  S
)
106 elblps 20758 . . . . 5  |-  ( ( D  e.  (PsMet `  X )  /\  Q  e.  X  /\  S  e. 
RR* )  ->  (
x  e.  ( Q ( ball `  D
) S )  <->  ( x  e.  X  /\  ( Q D x )  < 
S ) ) )
1077, 9, 33, 106syl3anc 1228 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( P ( ball `  D
) R ) )  ->  ( x  e.  ( Q ( ball `  D ) S )  <-> 
( x  e.  X  /\  ( Q D x )  <  S ) ) )
1086, 105, 107mpbir2and 920 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( P ( ball `  D
) R ) )  ->  x  e.  ( Q ( ball `  D
) S ) )
109108ex 434 . 2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( P ( ball `  D
) R )  ->  x  e.  ( Q
( ball `  D ) S ) ) )
110109ssrdv 3515 1  |-  ( ph  ->  ( P ( ball `  D ) R ) 
C_  ( Q (
ball `  D ) S ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767    =/= wne 2662    C_ wss 3481   class class class wbr 4453   ` cfv 5594  (class class class)co 6295   RRcr 9503   0cc0 9504    + caddc 9507   +oocpnf 9637   -oocmnf 9638   RR*cxr 9639    < clt 9640    <_ cle 9641    -ecxne 11327   +ecxad 11328  PsMetcpsmet 18272   ballcbl 18275
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587  ax-cnex 9560  ax-resscn 9561  ax-1cn 9562  ax-icn 9563  ax-addcl 9564  ax-addrcl 9565  ax-mulcl 9566  ax-mulrcl 9567  ax-mulcom 9568  ax-addass 9569  ax-mulass 9570  ax-distr 9571  ax-i2m1 9572  ax-1ne0 9573  ax-1rid 9574  ax-rnegex 9575  ax-rrecex 9576  ax-cnre 9577  ax-pre-lttri 9578  ax-pre-lttrn 9579  ax-pre-ltadd 9580  ax-pre-mulgt0 9581
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rmo 2825  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-op 4040  df-uni 4252  df-iun 4333  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6256  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-1st 6795  df-2nd 6796  df-er 7323  df-map 7434  df-en 7529  df-dom 7530  df-sdom 7531  df-pnf 9642  df-mnf 9643  df-xr 9644  df-ltxr 9645  df-le 9646  df-sub 9819  df-neg 9820  df-div 10219  df-2 10606  df-rp 11233  df-xneg 11330  df-xadd 11331  df-xmul 11332  df-psmet 18281  df-bl 18284
This theorem is referenced by:  blss2ps  20774  ssblps  20793
  Copyright terms: Public domain W3C validator