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Theorem xblss2ps 20989
Description: One ball is contained in another if the center-to-center distance is less than the difference of the radii. In this version of blss2 20992 for extended metrics, we have to assume the balls are a finite distance apart, or else  P will not even be in the infinity ball around  Q. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Aug-2015.) (Revised by Thierry Arnoux, 11-Mar-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
xblss2ps.1  |-  ( ph  ->  D  e.  (PsMet `  X ) )
xblss2ps.2  |-  ( ph  ->  P  e.  X )
xblss2ps.3  |-  ( ph  ->  Q  e.  X )
xblss2ps.4  |-  ( ph  ->  R  e.  RR* )
xblss2ps.5  |-  ( ph  ->  S  e.  RR* )
xblss2ps.6  |-  ( ph  ->  ( P D Q )  e.  RR )
xblss2ps.7  |-  ( ph  ->  ( P D Q )  <_  ( S +e  -e R ) )
Assertion
Ref Expression
xblss2ps  |-  ( ph  ->  ( P ( ball `  D ) R ) 
C_  ( Q (
ball `  D ) S ) )

Proof of Theorem xblss2ps
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 xblss2ps.1 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  D  e.  (PsMet `  X ) )
2 xblss2ps.2 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  P  e.  X )
3 xblss2ps.4 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  R  e.  RR* )
4 elblps 20975 . . . . . 6  |-  ( ( D  e.  (PsMet `  X )  /\  P  e.  X  /\  R  e. 
RR* )  ->  (
x  e.  ( P ( ball `  D
) R )  <->  ( x  e.  X  /\  ( P D x )  < 
R ) ) )
51, 2, 3, 4syl3anc 1226 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( P ( ball `  D
) R )  <->  ( x  e.  X  /\  ( P D x )  < 
R ) ) )
65simprbda 621 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( P ( ball `  D
) R ) )  ->  x  e.  X
)
71adantr 463 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( P ( ball `  D
) R ) )  ->  D  e.  (PsMet `  X ) )
8 xblss2ps.3 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  Q  e.  X )
98adantr 463 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( P ( ball `  D
) R ) )  ->  Q  e.  X
)
10 psmetcl 20896 . . . . . . . 8  |-  ( ( D  e.  (PsMet `  X )  /\  Q  e.  X  /\  x  e.  X )  ->  ( Q D x )  e. 
RR* )
117, 9, 6, 10syl3anc 1226 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( P ( ball `  D
) R ) )  ->  ( Q D x )  e.  RR* )
1211adantr 463 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( P ( ball `  D ) R ) )  /\  R  e.  RR )  ->  ( Q D x )  e. 
RR* )
13 xblss2ps.6 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( P D Q )  e.  RR )
1413adantr 463 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( P ( ball `  D
) R ) )  ->  ( P D Q )  e.  RR )
1514rexrd 9554 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( P ( ball `  D
) R ) )  ->  ( P D Q )  e.  RR* )
163adantr 463 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( P ( ball `  D
) R ) )  ->  R  e.  RR* )
1715, 16xaddcld 11414 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( P ( ball `  D
) R ) )  ->  ( ( P D Q ) +e R )  e. 
RR* )
1817adantr 463 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( P ( ball `  D ) R ) )  /\  R  e.  RR )  ->  (
( P D Q ) +e R )  e.  RR* )
19 xblss2ps.5 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  S  e.  RR* )
2019ad2antrr 723 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( P ( ball `  D ) R ) )  /\  R  e.  RR )  ->  S  e.  RR* )
212adantr 463 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( P ( ball `  D
) R ) )  ->  P  e.  X
)
22 psmetcl 20896 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( D  e.  (PsMet `  X )  /\  P  e.  X  /\  x  e.  X )  ->  ( P D x )  e. 
RR* )
237, 21, 6, 22syl3anc 1226 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( P ( ball `  D
) R ) )  ->  ( P D x )  e.  RR* )
2415, 23xaddcld 11414 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( P ( ball `  D
) R ) )  ->  ( ( P D Q ) +e ( P D x ) )  e. 
RR* )
25 psmettri2 20898 . . . . . . . . 9  |-  ( ( D  e.  (PsMet `  X )  /\  ( P  e.  X  /\  Q  e.  X  /\  x  e.  X )
)  ->  ( Q D x )  <_ 
( ( P D Q ) +e
( P D x ) ) )
267, 21, 9, 6, 25syl13anc 1228 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( P ( ball `  D
) R ) )  ->  ( Q D x )  <_  (
( P D Q ) +e ( P D x ) ) )
275simplbda 622 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( P ( ball `  D
) R ) )  ->  ( P D x )  <  R
)
28 xltadd2 11370 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( P D x )  e.  RR*  /\  R  e.  RR*  /\  ( P D Q )  e.  RR )  ->  (
( P D x )  <  R  <->  ( ( P D Q ) +e ( P D x ) )  < 
( ( P D Q ) +e
R ) ) )
2923, 16, 14, 28syl3anc 1226 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( P ( ball `  D
) R ) )  ->  ( ( P D x )  < 
R  <->  ( ( P D Q ) +e ( P D x ) )  < 
( ( P D Q ) +e
R ) ) )
3027, 29mpbid 210 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( P ( ball `  D
) R ) )  ->  ( ( P D Q ) +e ( P D x ) )  < 
( ( P D Q ) +e
R ) )
3111, 24, 17, 26, 30xrlelttrd 11284 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( P ( ball `  D
) R ) )  ->  ( Q D x )  <  (
( P D Q ) +e R ) )
3231adantr 463 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( P ( ball `  D ) R ) )  /\  R  e.  RR )  ->  ( Q D x )  < 
( ( P D Q ) +e
R ) )
3319adantr 463 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( P ( ball `  D
) R ) )  ->  S  e.  RR* )
3416xnegcld 11413 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( P ( ball `  D
) R ) )  ->  -e R  e. 
RR* )
3533, 34xaddcld 11414 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( P ( ball `  D
) R ) )  ->  ( S +e  -e R )  e.  RR* )
36 xblss2ps.7 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( P D Q )  <_  ( S +e  -e R ) )
3736adantr 463 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( P ( ball `  D
) R ) )  ->  ( P D Q )  <_  ( S +e  -e
R ) )
38 xleadd1a 11366 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( P D Q )  e.  RR*  /\  ( S +e  -e R )  e. 
RR*  /\  R  e.  RR* )  /\  ( P D Q )  <_ 
( S +e  -e R ) )  ->  ( ( P D Q ) +e R )  <_ 
( ( S +e  -e R ) +e R ) )
3915, 35, 16, 37, 38syl31anc 1229 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( P ( ball `  D
) R ) )  ->  ( ( P D Q ) +e R )  <_ 
( ( S +e  -e R ) +e R ) )
4039adantr 463 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( P ( ball `  D ) R ) )  /\  R  e.  RR )  ->  (
( P D Q ) +e R )  <_  ( ( S +e  -e
R ) +e
R ) )
41 xnpcan 11365 . . . . . . . 8  |-  ( ( S  e.  RR*  /\  R  e.  RR )  ->  (
( S +e  -e R ) +e R )  =  S )
4233, 41sylan 469 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( P ( ball `  D ) R ) )  /\  R  e.  RR )  ->  (
( S +e  -e R ) +e R )  =  S )
4340, 42breqtrd 4391 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( P ( ball `  D ) R ) )  /\  R  e.  RR )  ->  (
( P D Q ) +e R )  <_  S )
4412, 18, 20, 32, 43xrltletrd 11285 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( P ( ball `  D ) R ) )  /\  R  e.  RR )  ->  ( Q D x )  < 
S )
4511adantr 463 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( P ( ball `  D ) R ) )  /\  R  = +oo )  ->  ( Q D x )  e. 
RR* )
4613ad2antrr 723 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( P ( ball `  D ) R ) )  /\  R  = +oo )  ->  ( P D Q )  e.  RR )
47 simpll 751 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( P ( ball `  D ) R ) )  /\  R  = +oo )  ->  ph )
48 simplr 753 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( P ( ball `  D ) R ) )  /\  R  = +oo )  ->  x  e.  ( P ( ball `  D ) R ) )
49 simpr 459 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( P ( ball `  D ) R ) )  /\  R  = +oo )  ->  R  = +oo )
5049oveq2d 6212 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( P ( ball `  D ) R ) )  /\  R  = +oo )  ->  ( P ( ball `  D
) R )  =  ( P ( ball `  D ) +oo )
)
5148, 50eleqtrd 2472 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( P ( ball `  D ) R ) )  /\  R  = +oo )  ->  x  e.  ( P ( ball `  D ) +oo )
)
52 xblpnfps 20983 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( D  e.  (PsMet `  X )  /\  P  e.  X )  ->  (
x  e.  ( P ( ball `  D
) +oo )  <->  ( x  e.  X  /\  ( P D x )  e.  RR ) ) )
531, 2, 52syl2anc 659 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( P ( ball `  D
) +oo )  <->  ( x  e.  X  /\  ( P D x )  e.  RR ) ) )
5453simplbda 622 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( P ( ball `  D
) +oo ) )  -> 
( P D x )  e.  RR )
5547, 51, 54syl2anc 659 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( P ( ball `  D ) R ) )  /\  R  = +oo )  ->  ( P D x )  e.  RR )
5646, 55readdcld 9534 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( P ( ball `  D ) R ) )  /\  R  = +oo )  ->  (
( P D Q )  +  ( P D x ) )  e.  RR )
5756rexrd 9554 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( P ( ball `  D ) R ) )  /\  R  = +oo )  ->  (
( P D Q )  +  ( P D x ) )  e.  RR* )
58 pnfxr 11242 . . . . . . . 8  |- +oo  e.  RR*
5958a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( P ( ball `  D ) R ) )  /\  R  = +oo )  -> +oo  e.  RR* )
601ad2antrr 723 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( P ( ball `  D ) R ) )  /\  R  = +oo )  ->  D  e.  (PsMet `  X )
)
612ad2antrr 723 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( P ( ball `  D ) R ) )  /\  R  = +oo )  ->  P  e.  X )
628ad2antrr 723 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( P ( ball `  D ) R ) )  /\  R  = +oo )  ->  Q  e.  X )
636adantr 463 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( P ( ball `  D ) R ) )  /\  R  = +oo )  ->  x  e.  X )
6460, 61, 62, 63, 25syl13anc 1228 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( P ( ball `  D ) R ) )  /\  R  = +oo )  ->  ( Q D x )  <_ 
( ( P D Q ) +e
( P D x ) ) )
65 rexadd 11352 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( P D Q )  e.  RR  /\  ( P D x )  e.  RR )  -> 
( ( P D Q ) +e
( P D x ) )  =  ( ( P D Q )  +  ( P D x ) ) )
6646, 55, 65syl2anc 659 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( P ( ball `  D ) R ) )  /\  R  = +oo )  ->  (
( P D Q ) +e ( P D x ) )  =  ( ( P D Q )  +  ( P D x ) ) )
6764, 66breqtrd 4391 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( P ( ball `  D ) R ) )  /\  R  = +oo )  ->  ( Q D x )  <_ 
( ( P D Q )  +  ( P D x ) ) )
68 ltpnf 11252 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( P D Q )  +  ( P D x ) )  e.  RR  ->  (
( P D Q )  +  ( P D x ) )  < +oo )
6956, 68syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( P ( ball `  D ) R ) )  /\  R  = +oo )  ->  (
( P D Q )  +  ( P D x ) )  < +oo )
7045, 57, 59, 67, 69xrlelttrd 11284 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( P ( ball `  D ) R ) )  /\  R  = +oo )  ->  ( Q D x )  < +oo )
71 0xr 9551 . . . . . . . . . . 11  |-  0  e.  RR*
7271a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( P ( ball `  D
) R ) )  ->  0  e.  RR* )
73 psmetge0 20901 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( D  e.  (PsMet `  X )  /\  P  e.  X  /\  Q  e.  X )  ->  0  <_  ( P D Q ) )
747, 21, 9, 73syl3anc 1226 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( P ( ball `  D
) R ) )  ->  0  <_  ( P D Q ) )
7572, 15, 35, 74, 37xrletrd 11286 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( P ( ball `  D
) R ) )  ->  0  <_  ( S +e  -e
R ) )
76 ge0nemnf 11295 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( S +e  -e R )  e. 
RR*  /\  0  <_  ( S +e  -e R ) )  ->  ( S +e  -e R )  =/= -oo )
7735, 75, 76syl2anc 659 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( P ( ball `  D
) R ) )  ->  ( S +e  -e R )  =/= -oo )
7877adantr 463 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( P ( ball `  D ) R ) )  /\  R  = +oo )  ->  ( S +e  -e
R )  =/= -oo )
7919ad2antrr 723 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( P ( ball `  D ) R ) )  /\  R  = +oo )  ->  S  e.  RR* )
80 xaddmnf1 11348 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( S  e.  RR*  /\  S  =/= +oo )  ->  ( S +e -oo )  = -oo )
8180ex 432 . . . . . . . . . 10  |-  ( S  e.  RR*  ->  ( S  =/= +oo  ->  ( S +e -oo )  = -oo ) )
8279, 81syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( P ( ball `  D ) R ) )  /\  R  = +oo )  ->  ( S  =/= +oo  ->  ( S +e -oo )  = -oo ) )
83 xnegeq 11327 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( R  = +oo  ->  -e
R  =  -e +oo )
8449, 83syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( P ( ball `  D ) R ) )  /\  R  = +oo )  ->  -e
R  =  -e +oo )
85 xnegpnf 11329 . . . . . . . . . . . 12  |-  -e +oo  = -oo
8684, 85syl6eq 2439 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( P ( ball `  D ) R ) )  /\  R  = +oo )  ->  -e
R  = -oo )
8786oveq2d 6212 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( P ( ball `  D ) R ) )  /\  R  = +oo )  ->  ( S +e  -e
R )  =  ( S +e -oo ) )
8887eqeq1d 2384 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( P ( ball `  D ) R ) )  /\  R  = +oo )  ->  (
( S +e  -e R )  = -oo  <->  ( S +e -oo )  = -oo ) )
8982, 88sylibrd 234 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( P ( ball `  D ) R ) )  /\  R  = +oo )  ->  ( S  =/= +oo  ->  ( S +e  -e
R )  = -oo ) )
9089necon1d 2607 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( P ( ball `  D ) R ) )  /\  R  = +oo )  ->  (
( S +e  -e R )  =/= -oo  ->  S  = +oo ) )
9178, 90mpd 15 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( P ( ball `  D ) R ) )  /\  R  = +oo )  ->  S  = +oo )
9270, 91breqtrrd 4393 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( P ( ball `  D ) R ) )  /\  R  = +oo )  ->  ( Q D x )  < 
S )
93 psmetge0 20901 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( D  e.  (PsMet `  X )  /\  P  e.  X  /\  x  e.  X )  ->  0  <_  ( P D x ) )
947, 21, 6, 93syl3anc 1226 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( P ( ball `  D
) R ) )  ->  0  <_  ( P D x ) )
9572, 23, 16, 94, 27xrlelttrd 11284 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( P ( ball `  D
) R ) )  ->  0  <  R
)
96 xrltle 11276 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\  R  e.  RR* )  ->  (
0  <  R  ->  0  <_  R ) )
9771, 16, 96sylancr 661 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( P ( ball `  D
) R ) )  ->  ( 0  < 
R  ->  0  <_  R ) )
9895, 97mpd 15 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( P ( ball `  D
) R ) )  ->  0  <_  R
)
99 ge0nemnf 11295 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  e.  RR*  /\  0  <_  R )  ->  R  =/= -oo )
10016, 98, 99syl2anc 659 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( P ( ball `  D
) R ) )  ->  R  =/= -oo )
10116, 100jca 530 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( P ( ball `  D
) R ) )  ->  ( R  e. 
RR*  /\  R  =/= -oo ) )
102 xrnemnf 11249 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  RR*  /\  R  =/= -oo )  <->  ( R  e.  RR  \/  R  = +oo ) )
103101, 102sylib 196 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( P ( ball `  D
) R ) )  ->  ( R  e.  RR  \/  R  = +oo ) )
10444, 92, 103mpjaodan 784 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( P ( ball `  D
) R ) )  ->  ( Q D x )  <  S
)
105 elblps 20975 . . . . 5  |-  ( ( D  e.  (PsMet `  X )  /\  Q  e.  X  /\  S  e. 
RR* )  ->  (
x  e.  ( Q ( ball `  D
) S )  <->  ( x  e.  X  /\  ( Q D x )  < 
S ) ) )
1067, 9, 33, 105syl3anc 1226 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( P ( ball `  D
) R ) )  ->  ( x  e.  ( Q ( ball `  D ) S )  <-> 
( x  e.  X  /\  ( Q D x )  <  S ) ) )
1076, 104, 106mpbir2and 920 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( P ( ball `  D
) R ) )  ->  x  e.  ( Q ( ball `  D
) S ) )
108107ex 432 . 2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( P ( ball `  D
) R )  ->  x  e.  ( Q
( ball `  D ) S ) ) )
109108ssrdv 3423 1  |-  ( ph  ->  ( P ( ball `  D ) R ) 
C_  ( Q (
ball `  D ) S ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 366    /\ wa 367    = wceq 1399    e. wcel 1826    =/= wne 2577    C_ wss 3389   class class class wbr 4367   ` cfv 5496  (class class class)co 6196   RRcr 9402   0cc0 9403    + caddc 9406   +oocpnf 9536   -oocmnf 9537   RR*cxr 9538    < clt 9539    <_ cle 9540    -ecxne 11236   +ecxad 11237  PsMetcpsmet 18515   ballcbl 18518
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1626  ax-4 1639  ax-5 1712  ax-6 1755  ax-7 1798  ax-8 1828  ax-9 1830  ax-10 1845  ax-11 1850  ax-12 1862  ax-13 2006  ax-ext 2360  ax-sep 4488  ax-nul 4496  ax-pow 4543  ax-pr 4601  ax-un 6491  ax-cnex 9459  ax-resscn 9460  ax-1cn 9461  ax-icn 9462  ax-addcl 9463  ax-addrcl 9464  ax-mulcl 9465  ax-mulrcl 9466  ax-mulcom 9467  ax-addass 9468  ax-mulass 9469  ax-distr 9470  ax-i2m1 9471  ax-1ne0 9472  ax-1rid 9473  ax-rnegex 9474  ax-rrecex 9475  ax-cnre 9476  ax-pre-lttri 9477  ax-pre-lttrn 9478  ax-pre-ltadd 9479  ax-pre-mulgt0 9480
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1402  df-ex 1621  df-nf 1625  df-sb 1748  df-eu 2222  df-mo 2223  df-clab 2368  df-cleq 2374  df-clel 2377  df-nfc 2532  df-ne 2579  df-nel 2580  df-ral 2737  df-rex 2738  df-reu 2739  df-rmo 2740  df-rab 2741  df-v 3036  df-sbc 3253  df-csb 3349  df-dif 3392  df-un 3394  df-in 3396  df-ss 3403  df-nul 3712  df-if 3858  df-pw 3929  df-sn 3945  df-pr 3947  df-op 3951  df-uni 4164  df-iun 4245  df-br 4368  df-opab 4426  df-mpt 4427  df-id 4709  df-po 4714  df-so 4715  df-xp 4919  df-rel 4920  df-cnv 4921  df-co 4922  df-dm 4923  df-rn 4924  df-res 4925  df-ima 4926  df-iota 5460  df-fun 5498  df-fn 5499  df-f 5500  df-f1 5501  df-fo 5502  df-f1o 5503  df-fv 5504  df-riota 6158  df-ov 6199  df-oprab 6200  df-mpt2 6201  df-1st 6699  df-2nd 6700  df-er 7229  df-map 7340  df-en 7436  df-dom 7437  df-sdom 7438  df-pnf 9541  df-mnf 9542  df-xr 9543  df-ltxr 9544  df-le 9545  df-sub 9720  df-neg 9721  df-div 10124  df-2 10511  df-rp 11140  df-xneg 11239  df-xadd 11240  df-xmul 11241  df-psmet 18524  df-bl 18527
This theorem is referenced by:  blss2ps  20991  ssblps  21010
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