MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xblss2 Structured version   Unicode version

Theorem xblss2 20668
Description: One ball is contained in another if the center-to-center distance is less than the difference of the radii. In this version of blss2 20670 for extended metrics, we have to assume the balls are a finite distance apart, or else  P will not even be in the infinity ball around  Q. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
xblss2.1  |-  ( ph  ->  D  e.  ( *Met `  X ) )
xblss2.2  |-  ( ph  ->  P  e.  X )
xblss2.3  |-  ( ph  ->  Q  e.  X )
xblss2.4  |-  ( ph  ->  R  e.  RR* )
xblss2.5  |-  ( ph  ->  S  e.  RR* )
xblss2.6  |-  ( ph  ->  ( P D Q )  e.  RR )
xblss2.7  |-  ( ph  ->  ( P D Q )  <_  ( S +e  -e R ) )
Assertion
Ref Expression
xblss2  |-  ( ph  ->  ( P ( ball `  D ) R ) 
C_  ( Q (
ball `  D ) S ) )

Proof of Theorem xblss2
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 xblss2.1 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  D  e.  ( *Met `  X ) )
2 xblss2.2 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  P  e.  X )
3 xblss2.4 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  R  e.  RR* )
4 elbl 20654 . . . . . 6  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  P  e.  X  /\  R  e.  RR* )  ->  ( x  e.  ( P ( ball `  D
) R )  <->  ( x  e.  X  /\  ( P D x )  < 
R ) ) )
51, 2, 3, 4syl3anc 1228 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( P ( ball `  D
) R )  <->  ( x  e.  X  /\  ( P D x )  < 
R ) ) )
65simprbda 623 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( P ( ball `  D
) R ) )  ->  x  e.  X
)
71adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( P ( ball `  D
) R ) )  ->  D  e.  ( *Met `  X
) )
8 xblss2.3 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  Q  e.  X )
98adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( P ( ball `  D
) R ) )  ->  Q  e.  X
)
10 xmetcl 20597 . . . . . . . 8  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  Q  e.  X  /\  x  e.  X
)  ->  ( Q D x )  e. 
RR* )
117, 9, 6, 10syl3anc 1228 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( P ( ball `  D
) R ) )  ->  ( Q D x )  e.  RR* )
1211adantr 465 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( P ( ball `  D ) R ) )  /\  R  e.  RR )  ->  ( Q D x )  e. 
RR* )
13 xblss2.6 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( P D Q )  e.  RR )
1413adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( P ( ball `  D
) R ) )  ->  ( P D Q )  e.  RR )
1514rexrd 9643 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( P ( ball `  D
) R ) )  ->  ( P D Q )  e.  RR* )
163adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( P ( ball `  D
) R ) )  ->  R  e.  RR* )
1715, 16xaddcld 11493 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( P ( ball `  D
) R ) )  ->  ( ( P D Q ) +e R )  e. 
RR* )
1817adantr 465 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( P ( ball `  D ) R ) )  /\  R  e.  RR )  ->  (
( P D Q ) +e R )  e.  RR* )
19 xblss2.5 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  S  e.  RR* )
2019ad2antrr 725 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( P ( ball `  D ) R ) )  /\  R  e.  RR )  ->  S  e.  RR* )
212adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( P ( ball `  D
) R ) )  ->  P  e.  X
)
22 xmetcl 20597 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  P  e.  X  /\  x  e.  X
)  ->  ( P D x )  e. 
RR* )
237, 21, 6, 22syl3anc 1228 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( P ( ball `  D
) R ) )  ->  ( P D x )  e.  RR* )
2415, 23xaddcld 11493 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( P ( ball `  D
) R ) )  ->  ( ( P D Q ) +e ( P D x ) )  e. 
RR* )
25 xmettri2 20606 . . . . . . . . 9  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  ( P  e.  X  /\  Q  e.  X  /\  x  e.  X ) )  -> 
( Q D x )  <_  ( ( P D Q ) +e ( P D x ) ) )
267, 21, 9, 6, 25syl13anc 1230 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( P ( ball `  D
) R ) )  ->  ( Q D x )  <_  (
( P D Q ) +e ( P D x ) ) )
275simplbda 624 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( P ( ball `  D
) R ) )  ->  ( P D x )  <  R
)
28 xltadd2 11449 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( P D x )  e.  RR*  /\  R  e.  RR*  /\  ( P D Q )  e.  RR )  ->  (
( P D x )  <  R  <->  ( ( P D Q ) +e ( P D x ) )  < 
( ( P D Q ) +e
R ) ) )
2923, 16, 14, 28syl3anc 1228 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( P ( ball `  D
) R ) )  ->  ( ( P D x )  < 
R  <->  ( ( P D Q ) +e ( P D x ) )  < 
( ( P D Q ) +e
R ) ) )
3027, 29mpbid 210 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( P ( ball `  D
) R ) )  ->  ( ( P D Q ) +e ( P D x ) )  < 
( ( P D Q ) +e
R ) )
3111, 24, 17, 26, 30xrlelttrd 11363 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( P ( ball `  D
) R ) )  ->  ( Q D x )  <  (
( P D Q ) +e R ) )
3231adantr 465 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( P ( ball `  D ) R ) )  /\  R  e.  RR )  ->  ( Q D x )  < 
( ( P D Q ) +e
R ) )
3319adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( P ( ball `  D
) R ) )  ->  S  e.  RR* )
3416xnegcld 11492 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( P ( ball `  D
) R ) )  ->  -e R  e. 
RR* )
3533, 34xaddcld 11493 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( P ( ball `  D
) R ) )  ->  ( S +e  -e R )  e.  RR* )
36 xblss2.7 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( P D Q )  <_  ( S +e  -e R ) )
3736adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( P ( ball `  D
) R ) )  ->  ( P D Q )  <_  ( S +e  -e
R ) )
38 xleadd1a 11445 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( P D Q )  e.  RR*  /\  ( S +e  -e R )  e. 
RR*  /\  R  e.  RR* )  /\  ( P D Q )  <_ 
( S +e  -e R ) )  ->  ( ( P D Q ) +e R )  <_ 
( ( S +e  -e R ) +e R ) )
3915, 35, 16, 37, 38syl31anc 1231 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( P ( ball `  D
) R ) )  ->  ( ( P D Q ) +e R )  <_ 
( ( S +e  -e R ) +e R ) )
4039adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( P ( ball `  D ) R ) )  /\  R  e.  RR )  ->  (
( P D Q ) +e R )  <_  ( ( S +e  -e
R ) +e
R ) )
41 xnpcan 11444 . . . . . . . 8  |-  ( ( S  e.  RR*  /\  R  e.  RR )  ->  (
( S +e  -e R ) +e R )  =  S )
4233, 41sylan 471 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( P ( ball `  D ) R ) )  /\  R  e.  RR )  ->  (
( S +e  -e R ) +e R )  =  S )
4340, 42breqtrd 4471 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( P ( ball `  D ) R ) )  /\  R  e.  RR )  ->  (
( P D Q ) +e R )  <_  S )
4412, 18, 20, 32, 43xrltletrd 11364 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( P ( ball `  D ) R ) )  /\  R  e.  RR )  ->  ( Q D x )  < 
S )
4527adantr 465 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( P ( ball `  D ) R ) )  /\  R  = +oo )  ->  ( P D x )  < 
R )
4636ad2antrr 725 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( P ( ball `  D ) R ) )  /\  R  = +oo )  ->  ( P D Q )  <_ 
( S +e  -e R ) )
47 0xr 9640 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  0  e.  RR*
4847a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( P ( ball `  D
) R ) )  ->  0  e.  RR* )
49 xmetge0 20610 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  P  e.  X  /\  Q  e.  X
)  ->  0  <_  ( P D Q ) )
507, 21, 9, 49syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( P ( ball `  D
) R ) )  ->  0  <_  ( P D Q ) )
5148, 15, 35, 50, 37xrletrd 11365 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( P ( ball `  D
) R ) )  ->  0  <_  ( S +e  -e
R ) )
52 ge0nemnf 11374 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( S +e  -e R )  e. 
RR*  /\  0  <_  ( S +e  -e R ) )  ->  ( S +e  -e R )  =/= -oo )
5335, 51, 52syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( P ( ball `  D
) R ) )  ->  ( S +e  -e R )  =/= -oo )
5453adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( P ( ball `  D ) R ) )  /\  R  = +oo )  ->  ( S +e  -e
R )  =/= -oo )
5519ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( P ( ball `  D ) R ) )  /\  R  = +oo )  ->  S  e.  RR* )
56 xaddmnf1 11427 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( S  e.  RR*  /\  S  =/= +oo )  ->  ( S +e -oo )  = -oo )
5756ex 434 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( S  e.  RR*  ->  ( S  =/= +oo  ->  ( S +e -oo )  = -oo ) )
5855, 57syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( P ( ball `  D ) R ) )  /\  R  = +oo )  ->  ( S  =/= +oo  ->  ( S +e -oo )  = -oo ) )
59 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( P ( ball `  D ) R ) )  /\  R  = +oo )  ->  R  = +oo )
60 xnegeq 11406 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( R  = +oo  ->  -e
R  =  -e +oo )
6159, 60syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( P ( ball `  D ) R ) )  /\  R  = +oo )  ->  -e
R  =  -e +oo )
62 xnegpnf 11408 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  -e +oo  = -oo
6361, 62syl6eq 2524 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( P ( ball `  D ) R ) )  /\  R  = +oo )  ->  -e
R  = -oo )
6463oveq2d 6300 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( P ( ball `  D ) R ) )  /\  R  = +oo )  ->  ( S +e  -e
R )  =  ( S +e -oo ) )
6564eqeq1d 2469 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( P ( ball `  D ) R ) )  /\  R  = +oo )  ->  (
( S +e  -e R )  = -oo  <->  ( S +e -oo )  = -oo ) )
6658, 65sylibrd 234 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( P ( ball `  D ) R ) )  /\  R  = +oo )  ->  ( S  =/= +oo  ->  ( S +e  -e
R )  = -oo ) )
6766necon1d 2692 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( P ( ball `  D ) R ) )  /\  R  = +oo )  ->  (
( S +e  -e R )  =/= -oo  ->  S  = +oo ) )
6854, 67mpd 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( P ( ball `  D ) R ) )  /\  R  = +oo )  ->  S  = +oo )
6968, 63oveq12d 6302 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( P ( ball `  D ) R ) )  /\  R  = +oo )  ->  ( S +e  -e
R )  =  ( +oo +e -oo ) )
70 pnfaddmnf 11429 . . . . . . . . . 10  |-  ( +oo +e -oo )  =  0
7169, 70syl6eq 2524 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( P ( ball `  D ) R ) )  /\  R  = +oo )  ->  ( S +e  -e
R )  =  0 )
7246, 71breqtrd 4471 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( P ( ball `  D ) R ) )  /\  R  = +oo )  ->  ( P D Q )  <_ 
0 )
7350biantrud 507 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( P ( ball `  D
) R ) )  ->  ( ( P D Q )  <_ 
0  <->  ( ( P D Q )  <_ 
0  /\  0  <_  ( P D Q ) ) ) )
74 xrletri3 11358 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( P D Q )  e.  RR*  /\  0  e.  RR* )  ->  (
( P D Q )  =  0  <->  (
( P D Q )  <_  0  /\  0  <_  ( P D Q ) ) ) )
7515, 47, 74sylancl 662 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( P ( ball `  D
) R ) )  ->  ( ( P D Q )  =  0  <->  ( ( P D Q )  <_ 
0  /\  0  <_  ( P D Q ) ) ) )
76 xmeteq0 20604 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  P  e.  X  /\  Q  e.  X
)  ->  ( ( P D Q )  =  0  <->  P  =  Q
) )
777, 21, 9, 76syl3anc 1228 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( P ( ball `  D
) R ) )  ->  ( ( P D Q )  =  0  <->  P  =  Q
) )
7873, 75, 773bitr2d 281 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( P ( ball `  D
) R ) )  ->  ( ( P D Q )  <_ 
0  <->  P  =  Q
) )
7978adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( P ( ball `  D ) R ) )  /\  R  = +oo )  ->  (
( P D Q )  <_  0  <->  P  =  Q ) )
8072, 79mpbid 210 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( P ( ball `  D ) R ) )  /\  R  = +oo )  ->  P  =  Q )
8180oveq1d 6299 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( P ( ball `  D ) R ) )  /\  R  = +oo )  ->  ( P D x )  =  ( Q D x ) )
8259, 68eqtr4d 2511 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( P ( ball `  D ) R ) )  /\  R  = +oo )  ->  R  =  S )
8345, 81, 823brtr3d 4476 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( P ( ball `  D ) R ) )  /\  R  = +oo )  ->  ( Q D x )  < 
S )
84 xmetge0 20610 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  P  e.  X  /\  x  e.  X
)  ->  0  <_  ( P D x ) )
857, 21, 6, 84syl3anc 1228 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( P ( ball `  D
) R ) )  ->  0  <_  ( P D x ) )
8648, 23, 16, 85, 27xrlelttrd 11363 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( P ( ball `  D
) R ) )  ->  0  <  R
)
87 xrltle 11355 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\  R  e.  RR* )  ->  (
0  <  R  ->  0  <_  R ) )
8847, 16, 87sylancr 663 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( P ( ball `  D
) R ) )  ->  ( 0  < 
R  ->  0  <_  R ) )
8986, 88mpd 15 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( P ( ball `  D
) R ) )  ->  0  <_  R
)
90 ge0nemnf 11374 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  e.  RR*  /\  0  <_  R )  ->  R  =/= -oo )
9116, 89, 90syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( P ( ball `  D
) R ) )  ->  R  =/= -oo )
9216, 91jca 532 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( P ( ball `  D
) R ) )  ->  ( R  e. 
RR*  /\  R  =/= -oo ) )
93 xrnemnf 11328 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  RR*  /\  R  =/= -oo )  <->  ( R  e.  RR  \/  R  = +oo ) )
9492, 93sylib 196 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( P ( ball `  D
) R ) )  ->  ( R  e.  RR  \/  R  = +oo ) )
9544, 83, 94mpjaodan 784 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( P ( ball `  D
) R ) )  ->  ( Q D x )  <  S
)
96 elbl 20654 . . . . 5  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  Q  e.  X  /\  S  e.  RR* )  ->  ( x  e.  ( Q ( ball `  D
) S )  <->  ( x  e.  X  /\  ( Q D x )  < 
S ) ) )
977, 9, 33, 96syl3anc 1228 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( P ( ball `  D
) R ) )  ->  ( x  e.  ( Q ( ball `  D ) S )  <-> 
( x  e.  X  /\  ( Q D x )  <  S ) ) )
986, 95, 97mpbir2and 920 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( P ( ball `  D
) R ) )  ->  x  e.  ( Q ( ball `  D
) S ) )
9998ex 434 . 2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( P ( ball `  D
) R )  ->  x  e.  ( Q
( ball `  D ) S ) ) )
10099ssrdv 3510 1  |-  ( ph  ->  ( P ( ball `  D ) R ) 
C_  ( Q (
ball `  D ) S ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767    =/= wne 2662    C_ wss 3476   class class class wbr 4447   ` cfv 5588  (class class class)co 6284   RRcr 9491   0cc0 9492   +oocpnf 9625   -oocmnf 9626   RR*cxr 9627    < clt 9628    <_ cle 9629    -ecxne 11315   +ecxad 11316   *Metcxmt 18202   ballcbl 18204
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6576  ax-cnex 9548  ax-resscn 9549  ax-1cn 9550  ax-icn 9551  ax-addcl 9552  ax-addrcl 9553  ax-mulcl 9554  ax-mulrcl 9555  ax-mulcom 9556  ax-addass 9557  ax-mulass 9558  ax-distr 9559  ax-i2m1 9560  ax-1ne0 9561  ax-1rid 9562  ax-rnegex 9563  ax-rrecex 9564  ax-cnre 9565  ax-pre-lttri 9566  ax-pre-lttrn 9567  ax-pre-ltadd 9568  ax-pre-mulgt0 9569
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-riota 6245  df-ov 6287  df-oprab 6288  df-mpt2 6289  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-er 7311  df-map 7422  df-en 7517  df-dom 7518  df-sdom 7519  df-pnf 9630  df-mnf 9631  df-xr 9632  df-ltxr 9633  df-le 9634  df-sub 9807  df-neg 9808  df-div 10207  df-2 10594  df-rp 11221  df-xneg 11318  df-xadd 11319  df-xmul 11320  df-psmet 18210  df-xmet 18211  df-bl 18213
This theorem is referenced by:  blss2  20670  ssbl  20689
  Copyright terms: Public domain W3C validator