Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xblss2 Structured version   Unicode version

Theorem xblss2 20883
 Description: One ball is contained in another if the center-to-center distance is less than the difference of the radii. In this version of blss2 20885 for extended metrics, we have to assume the balls are a finite distance apart, or else will not even be in the infinity ball around . (Contributed by Mario Carneiro, 23-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
xblss2.1
xblss2.2
xblss2.3
xblss2.4
xblss2.5
xblss2.6
xblss2.7
Assertion
Ref Expression
xblss2

Proof of Theorem xblss2
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 xblss2.1 . . . . . 6
2 xblss2.2 . . . . . 6
3 xblss2.4 . . . . . 6
4 elbl 20869 . . . . . 6
51, 2, 3, 4syl3anc 1229 . . . . 5
65simprbda 623 . . . 4
71adantr 465 . . . . . . . 8
8 xblss2.3 . . . . . . . . 9
98adantr 465 . . . . . . . 8
10 xmetcl 20812 . . . . . . . 8
117, 9, 6, 10syl3anc 1229 . . . . . . 7
1211adantr 465 . . . . . 6
13 xblss2.6 . . . . . . . . . 10
1413adantr 465 . . . . . . . . 9
1514rexrd 9646 . . . . . . . 8
163adantr 465 . . . . . . . 8
1715, 16xaddcld 11504 . . . . . . 7
1817adantr 465 . . . . . 6
19 xblss2.5 . . . . . . 7
2019ad2antrr 725 . . . . . 6
212adantr 465 . . . . . . . . . 10
22 xmetcl 20812 . . . . . . . . . 10
237, 21, 6, 22syl3anc 1229 . . . . . . . . 9
2415, 23xaddcld 11504 . . . . . . . 8
25 xmettri2 20821 . . . . . . . . 9
267, 21, 9, 6, 25syl13anc 1231 . . . . . . . 8
275simplbda 624 . . . . . . . . 9
28 xltadd2 11460 . . . . . . . . . 10
2923, 16, 14, 28syl3anc 1229 . . . . . . . . 9
3027, 29mpbid 210 . . . . . . . 8
3111, 24, 17, 26, 30xrlelttrd 11374 . . . . . . 7
3231adantr 465 . . . . . 6
3319adantr 465 . . . . . . . . . 10
3416xnegcld 11503 . . . . . . . . . 10
3533, 34xaddcld 11504 . . . . . . . . 9
36 xblss2.7 . . . . . . . . . 10
3736adantr 465 . . . . . . . . 9
38 xleadd1a 11456 . . . . . . . . 9
3915, 35, 16, 37, 38syl31anc 1232 . . . . . . . 8
4039adantr 465 . . . . . . 7
41 xnpcan 11455 . . . . . . . 8
4233, 41sylan 471 . . . . . . 7
4340, 42breqtrd 4461 . . . . . 6
4412, 18, 20, 32, 43xrltletrd 11375 . . . . 5
4527adantr 465 . . . . . 6
4636ad2antrr 725 . . . . . . . . 9
47 0xr 9643 . . . . . . . . . . . . . . . 16
4847a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15
49 xmetge0 20825 . . . . . . . . . . . . . . . 16
507, 21, 9, 49syl3anc 1229 . . . . . . . . . . . . . . 15
5148, 15, 35, 50, 37xrletrd 11376 . . . . . . . . . . . . . 14
52 ge0nemnf 11385 . . . . . . . . . . . . . 14
5335, 51, 52syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . 13
5453adantr 465 . . . . . . . . . . . 12
5519ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . 15
56 xaddmnf1 11438 . . . . . . . . . . . . . . . 16
5756ex 434 . . . . . . . . . . . . . . 15
5855, 57syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14
59 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
60 xnegeq 11417 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
6159, 60syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
62 xnegpnf 11419 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
6361, 62syl6eq 2500 . . . . . . . . . . . . . . . 16
6463oveq2d 6297 . . . . . . . . . . . . . . 15
6564eqeq1d 2445 . . . . . . . . . . . . . 14
6658, 65sylibrd 234 . . . . . . . . . . . . 13
6766necon1d 2668 . . . . . . . . . . . 12
6854, 67mpd 15 . . . . . . . . . . 11
6968, 63oveq12d 6299 . . . . . . . . . 10
70 pnfaddmnf 11440 . . . . . . . . . 10
7169, 70syl6eq 2500 . . . . . . . . 9
7246, 71breqtrd 4461 . . . . . . . 8
7350biantrud 507 . . . . . . . . . 10
74 xrletri3 11369 . . . . . . . . . . 11
7515, 47, 74sylancl 662 . . . . . . . . . 10
76 xmeteq0 20819 . . . . . . . . . . 11
777, 21, 9, 76syl3anc 1229 . . . . . . . . . 10
7873, 75, 773bitr2d 281 . . . . . . . . 9
7978adantr 465 . . . . . . . 8
8072, 79mpbid 210 . . . . . . 7
8180oveq1d 6296 . . . . . 6
8259, 68eqtr4d 2487 . . . . . 6
8345, 81, 823brtr3d 4466 . . . . 5
84 xmetge0 20825 . . . . . . . . . . 11
857, 21, 6, 84syl3anc 1229 . . . . . . . . . 10
8648, 23, 16, 85, 27xrlelttrd 11374 . . . . . . . . 9
87 xrltle 11366 . . . . . . . . . 10
8847, 16, 87sylancr 663 . . . . . . . . 9
8986, 88mpd 15 . . . . . . . 8
90 ge0nemnf 11385 . . . . . . . 8
9116, 89, 90syl2anc 661 . . . . . . 7
9216, 91jca 532 . . . . . 6
93 xrnemnf 11339 . . . . . 6
9492, 93sylib 196 . . . . 5
9544, 83, 94mpjaodan 786 . . . 4
96 elbl 20869 . . . . 5
977, 9, 33, 96syl3anc 1229 . . . 4
986, 95, 97mpbir2and 922 . . 3
9998ex 434 . 2
10099ssrdv 3495 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 184   wo 368   wa 369   wceq 1383   wcel 1804   wne 2638   wss 3461   class class class wbr 4437  cfv 5578  (class class class)co 6281  cr 9494  cc0 9495   cpnf 9628   cmnf 9629  cxr 9630   clt 9631   cle 9632   cxne 11326  cxad 11327  cxmt 18382  cbl 18384 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6577  ax-cnex 9551  ax-resscn 9552  ax-1cn 9553  ax-icn 9554  ax-addcl 9555  ax-addrcl 9556  ax-mulcl 9557  ax-mulrcl 9558  ax-mulcom 9559  ax-addass 9560  ax-mulass 9561  ax-distr 9562  ax-i2m1 9563  ax-1ne0 9564  ax-1rid 9565  ax-rnegex 9566  ax-rrecex 9567  ax-cnre 9568  ax-pre-lttri 9569  ax-pre-lttrn 9570  ax-pre-ltadd 9571  ax-pre-mulgt0 9572 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1386  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-nel 2641  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rmo 2801  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-op 4021  df-uni 4235  df-iun 4317  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-id 4785  df-po 4790  df-so 4791  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-f1 5583  df-fo 5584  df-f1o 5585  df-fv 5586  df-riota 6242  df-ov 6284  df-oprab 6285  df-mpt2 6286  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-er 7313  df-map 7424  df-en 7519  df-dom 7520  df-sdom 7521  df-pnf 9633  df-mnf 9634  df-xr 9635  df-ltxr 9636  df-le 9637  df-sub 9812  df-neg 9813  df-div 10214  df-2 10601  df-rp 11232  df-xneg 11329  df-xadd 11330  df-xmul 11331  df-psmet 18390  df-xmet 18391  df-bl 18393 This theorem is referenced by:  blss2  20885  ssbl  20904
 Copyright terms: Public domain W3C validator