MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xaddpnf2 Structured version   Unicode version

Theorem xaddpnf2 11436
Description: Addition of positive infinity on the left. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
xaddpnf2  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  A  =/= -oo )  ->  ( +oo +e A )  = +oo )

Proof of Theorem xaddpnf2
StepHypRef Expression
1 pnfxr 11331 . . 3  |- +oo  e.  RR*
2 xaddval 11432 . . 3  |-  ( ( +oo  e.  RR*  /\  A  e.  RR* )  ->  ( +oo +e A )  =  if ( +oo  = +oo ,  if ( A  = -oo , 
0 , +oo ) ,  if ( +oo  = -oo ,  if ( A  = +oo ,  0 , -oo ) ,  if ( A  = +oo , +oo ,  if ( A  = -oo , -oo ,  ( +oo  +  A ) ) ) ) ) )
31, 2mpan 670 . 2  |-  ( A  e.  RR*  ->  ( +oo +e A )  =  if ( +oo  = +oo ,  if ( A  = -oo , 
0 , +oo ) ,  if ( +oo  = -oo ,  if ( A  = +oo ,  0 , -oo ) ,  if ( A  = +oo , +oo ,  if ( A  = -oo , -oo ,  ( +oo  +  A ) ) ) ) ) )
4 eqid 2443 . . . 4  |- +oo  = +oo
54iftruei 3933 . . 3  |-  if ( +oo  = +oo ,  if ( A  = -oo ,  0 , +oo ) ,  if ( +oo  = -oo ,  if ( A  = +oo ,  0 , -oo ) ,  if ( A  = +oo , +oo ,  if ( A  = -oo , -oo , 
( +oo  +  A
) ) ) ) )  =  if ( A  = -oo , 
0 , +oo )
6 ifnefalse 3938 . . 3  |-  ( A  =/= -oo  ->  if ( A  = -oo , 
0 , +oo )  = +oo )
75, 6syl5eq 2496 . 2  |-  ( A  =/= -oo  ->  if ( +oo  = +oo ,  if ( A  = -oo ,  0 , +oo ) ,  if ( +oo  = -oo ,  if ( A  = +oo ,  0 , -oo ) ,  if ( A  = +oo , +oo ,  if ( A  = -oo , -oo , 
( +oo  +  A
) ) ) ) )  = +oo )
83, 7sylan9eq 2504 1  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  A  =/= -oo )  ->  ( +oo +e A )  = +oo )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1383    e. wcel 1804    =/= wne 2638   ifcif 3926  (class class class)co 6281   0cc0 9495    + caddc 9498   +oocpnf 9628   -oocmnf 9629   RR*cxr 9630   +ecxad 11326
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6577  ax-cnex 9551  ax-1cn 9553  ax-icn 9554  ax-addcl 9555  ax-mulcl 9557  ax-i2m1 9563
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 976  df-tru 1386  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-ral 2798  df-rex 2799  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-op 4021  df-uni 4235  df-br 4438  df-opab 4496  df-id 4785  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fv 5586  df-ov 6284  df-oprab 6285  df-mpt2 6286  df-pnf 9633  df-mnf 9634  df-xr 9635  df-xadd 11329
This theorem is referenced by:  xaddnemnf  11443  xaddcom  11447  xaddid1  11448  xnegdi  11450  xaddass  11451  xleadd1a  11455  xadddilem  11496  xadddi2  11499  hashinfxadd  12434  xrsdsreclblem  18442  isxmet2d  20807  xaddeq0  27549  xrge0adddir  27659  xrge0iifhom  27896
  Copyright terms: Public domain W3C validator