MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xaddid1 Structured version   Unicode version

Theorem xaddid1 11450
Description: Extended real version of addid1 9771. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
xaddid1  |-  ( A  e.  RR*  ->  ( A +e 0 )  =  A )

Proof of Theorem xaddid1
StepHypRef Expression
1 elxr 11337 . 2  |-  ( A  e.  RR*  <->  ( A  e.  RR  \/  A  = +oo  \/  A  = -oo ) )
2 0re 9608 . . . . 5  |-  0  e.  RR
3 rexadd 11443 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  0  e.  RR )  ->  ( A +e 0 )  =  ( A  +  0 ) )
42, 3mpan2 671 . . . 4  |-  ( A  e.  RR  ->  ( A +e 0 )  =  ( A  + 
0 ) )
5 recn 9594 . . . . 5  |-  ( A  e.  RR  ->  A  e.  CC )
65addid1d 9791 . . . 4  |-  ( A  e.  RR  ->  ( A  +  0 )  =  A )
74, 6eqtrd 2508 . . 3  |-  ( A  e.  RR  ->  ( A +e 0 )  =  A )
8 0xr 9652 . . . . 5  |-  0  e.  RR*
9 renemnf 9654 . . . . . 6  |-  ( 0  e.  RR  ->  0  =/= -oo )
102, 9ax-mp 5 . . . . 5  |-  0  =/= -oo
11 xaddpnf2 11438 . . . . 5  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\  0  =/= -oo )  ->  ( +oo +e 0 )  = +oo )
128, 10, 11mp2an 672 . . . 4  |-  ( +oo +e 0 )  = +oo
13 oveq1 6302 . . . 4  |-  ( A  = +oo  ->  ( A +e 0 )  =  ( +oo +e 0 ) )
14 id 22 . . . 4  |-  ( A  = +oo  ->  A  = +oo )
1512, 13, 143eqtr4a 2534 . . 3  |-  ( A  = +oo  ->  ( A +e 0 )  =  A )
16 renepnf 9653 . . . . . 6  |-  ( 0  e.  RR  ->  0  =/= +oo )
172, 16ax-mp 5 . . . . 5  |-  0  =/= +oo
18 xaddmnf2 11440 . . . . 5  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\  0  =/= +oo )  ->  ( -oo +e 0 )  = -oo )
198, 17, 18mp2an 672 . . . 4  |-  ( -oo +e 0 )  = -oo
20 oveq1 6302 . . . 4  |-  ( A  = -oo  ->  ( A +e 0 )  =  ( -oo +e 0 ) )
21 id 22 . . . 4  |-  ( A  = -oo  ->  A  = -oo )
2219, 20, 213eqtr4a 2534 . . 3  |-  ( A  = -oo  ->  ( A +e 0 )  =  A )
237, 15, 223jaoi 1291 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  \/  A  = +oo  \/  A  = -oo )  ->  ( A +e 0 )  =  A )
241, 23sylbi 195 1  |-  ( A  e.  RR*  ->  ( A +e 0 )  =  A )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    \/ w3o 972    = wceq 1379    e. wcel 1767    =/= wne 2662  (class class class)co 6295   RRcr 9503   0cc0 9504    + caddc 9507   +oocpnf 9637   -oocmnf 9638   RR*cxr 9639   +ecxad 11328
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587  ax-cnex 9560  ax-resscn 9561  ax-1cn 9562  ax-icn 9563  ax-addcl 9564  ax-addrcl 9565  ax-mulcl 9566  ax-mulrcl 9567  ax-mulcom 9568  ax-addass 9569  ax-mulass 9570  ax-distr 9571  ax-i2m1 9572  ax-1ne0 9573  ax-1rid 9574  ax-rnegex 9575  ax-rrecex 9576  ax-cnre 9577  ax-pre-lttri 9578  ax-pre-lttrn 9579  ax-pre-ltadd 9580
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-op 4040  df-uni 4252  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-er 7323  df-en 7529  df-dom 7530  df-sdom 7531  df-pnf 9642  df-mnf 9643  df-xr 9644  df-ltxr 9645  df-xadd 11331
This theorem is referenced by:  xaddid2  11451  xpncan  11455  xadddi  11499  xadddi2  11501  xrsnsgrp  18324  xrs1mnd  18326  xrs10  18327  psmetsym  20682  xmetsym  20718  imasdsf1olem  20744  stdbdxmet  20886  xrge0gsumle  21206  metdsle  21224  metnrmlem1  21231  vdusgraval  24730  xraddge02  27400  xlt2addrd  27401  xrs0  27487  xrge0addgt0  27505  xrge0npcan  27508  metideq  27697  metider  27698  esumpr2  27899  esumpfinvallem  27905  esumpmono  27910  ddemeas  28033  aean  28041
  Copyright terms: Public domain W3C validator