MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xaddid1 Structured version   Unicode version

Theorem xaddid1 11539
Description: Extended real version of addid1 9820. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
xaddid1  |-  ( A  e.  RR*  ->  ( A +e 0 )  =  A )

Proof of Theorem xaddid1
StepHypRef Expression
1 elxr 11423 . 2  |-  ( A  e.  RR*  <->  ( A  e.  RR  \/  A  = +oo  \/  A  = -oo ) )
2 0re 9650 . . . . 5  |-  0  e.  RR
3 rexadd 11532 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  0  e.  RR )  ->  ( A +e 0 )  =  ( A  +  0 ) )
42, 3mpan2 675 . . . 4  |-  ( A  e.  RR  ->  ( A +e 0 )  =  ( A  + 
0 ) )
5 recn 9636 . . . . 5  |-  ( A  e.  RR  ->  A  e.  CC )
65addid1d 9840 . . . 4  |-  ( A  e.  RR  ->  ( A  +  0 )  =  A )
74, 6eqtrd 2463 . . 3  |-  ( A  e.  RR  ->  ( A +e 0 )  =  A )
8 0xr 9694 . . . . 5  |-  0  e.  RR*
9 renemnf 9696 . . . . . 6  |-  ( 0  e.  RR  ->  0  =/= -oo )
102, 9ax-mp 5 . . . . 5  |-  0  =/= -oo
11 xaddpnf2 11527 . . . . 5  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\  0  =/= -oo )  ->  ( +oo +e 0 )  = +oo )
128, 10, 11mp2an 676 . . . 4  |-  ( +oo +e 0 )  = +oo
13 oveq1 6312 . . . 4  |-  ( A  = +oo  ->  ( A +e 0 )  =  ( +oo +e 0 ) )
14 id 22 . . . 4  |-  ( A  = +oo  ->  A  = +oo )
1512, 13, 143eqtr4a 2489 . . 3  |-  ( A  = +oo  ->  ( A +e 0 )  =  A )
16 renepnf 9695 . . . . . 6  |-  ( 0  e.  RR  ->  0  =/= +oo )
172, 16ax-mp 5 . . . . 5  |-  0  =/= +oo
18 xaddmnf2 11529 . . . . 5  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\  0  =/= +oo )  ->  ( -oo +e 0 )  = -oo )
198, 17, 18mp2an 676 . . . 4  |-  ( -oo +e 0 )  = -oo
20 oveq1 6312 . . . 4  |-  ( A  = -oo  ->  ( A +e 0 )  =  ( -oo +e 0 ) )
21 id 22 . . . 4  |-  ( A  = -oo  ->  A  = -oo )
2219, 20, 213eqtr4a 2489 . . 3  |-  ( A  = -oo  ->  ( A +e 0 )  =  A )
237, 15, 223jaoi 1327 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  \/  A  = +oo  \/  A  = -oo )  ->  ( A +e 0 )  =  A )
241, 23sylbi 198 1  |-  ( A  e.  RR*  ->  ( A +e 0 )  =  A )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    \/ w3o 981    = wceq 1437    e. wcel 1872    =/= wne 2614  (class class class)co 6305   RRcr 9545   0cc0 9546    + caddc 9549   +oocpnf 9679   -oocmnf 9680   RR*cxr 9681   +ecxad 11414
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-8 1874  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2057  ax-ext 2401  ax-sep 4546  ax-nul 4555  ax-pow 4602  ax-pr 4660  ax-un 6597  ax-cnex 9602  ax-resscn 9603  ax-1cn 9604  ax-icn 9605  ax-addcl 9606  ax-addrcl 9607  ax-mulcl 9608  ax-mulrcl 9609  ax-mulcom 9610  ax-addass 9611  ax-mulass 9612  ax-distr 9613  ax-i2m1 9614  ax-1ne0 9615  ax-1rid 9616  ax-rnegex 9617  ax-rrecex 9618  ax-cnre 9619  ax-pre-lttri 9620  ax-pre-lttrn 9621  ax-pre-ltadd 9622
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2273  df-mo 2274  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2568  df-ne 2616  df-nel 2617  df-ral 2776  df-rex 2777  df-rab 2780  df-v 3082  df-sbc 3300  df-csb 3396  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-nul 3762  df-if 3912  df-pw 3983  df-sn 3999  df-pr 4001  df-op 4005  df-uni 4220  df-br 4424  df-opab 4483  df-mpt 4484  df-id 4768  df-po 4774  df-so 4775  df-xp 4859  df-rel 4860  df-cnv 4861  df-co 4862  df-dm 4863  df-rn 4864  df-res 4865  df-ima 4866  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-er 7374  df-en 7581  df-dom 7582  df-sdom 7583  df-pnf 9684  df-mnf 9685  df-xr 9686  df-ltxr 9687  df-xadd 11417
This theorem is referenced by:  xaddid2  11540  xpncan  11544  xadddi  11588  xadddi2  11590  xrsnsgrp  19003  xrs1mnd  19005  xrs10  19006  psmetsym  21324  xmetsym  21360  imasdsf1olem  21386  stdbdxmet  21528  xrge0gsumle  21849  metdsle  21867  metnrmlem1  21874  metdsleOLD  21882  metnrmlem1OLD  21889  vdusgraval  25633  xraddge02  28342  xlt2addrd  28344  xrs0  28444  xrge0addgt0  28461  xrge0npcan  28464  metideq  28704  metider  28705  esumpad  28884  esumpr2  28896  esumpfinvallem  28903  esumpmono  28908  ddemeas  29067  aean  29075  baselcarsg  29146  carsgclctunlem2  29159  xadd0ge  37496  xaddid1d  37497  sge0tsms  38130  sge0ss  38162
  Copyright terms: Public domain W3C validator