MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xaddid1 Structured version   Unicode version

Theorem xaddid1 11359
Description: Extended real version of addid1 9671. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
xaddid1  |-  ( A  e.  RR*  ->  ( A +e 0 )  =  A )

Proof of Theorem xaddid1
StepHypRef Expression
1 elxr 11246 . 2  |-  ( A  e.  RR*  <->  ( A  e.  RR  \/  A  = +oo  \/  A  = -oo ) )
2 0re 9507 . . . . 5  |-  0  e.  RR
3 rexadd 11352 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  0  e.  RR )  ->  ( A +e 0 )  =  ( A  +  0 ) )
42, 3mpan2 669 . . . 4  |-  ( A  e.  RR  ->  ( A +e 0 )  =  ( A  + 
0 ) )
5 recn 9493 . . . . 5  |-  ( A  e.  RR  ->  A  e.  CC )
65addid1d 9691 . . . 4  |-  ( A  e.  RR  ->  ( A  +  0 )  =  A )
74, 6eqtrd 2423 . . 3  |-  ( A  e.  RR  ->  ( A +e 0 )  =  A )
8 0xr 9551 . . . . 5  |-  0  e.  RR*
9 renemnf 9553 . . . . . 6  |-  ( 0  e.  RR  ->  0  =/= -oo )
102, 9ax-mp 5 . . . . 5  |-  0  =/= -oo
11 xaddpnf2 11347 . . . . 5  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\  0  =/= -oo )  ->  ( +oo +e 0 )  = +oo )
128, 10, 11mp2an 670 . . . 4  |-  ( +oo +e 0 )  = +oo
13 oveq1 6203 . . . 4  |-  ( A  = +oo  ->  ( A +e 0 )  =  ( +oo +e 0 ) )
14 id 22 . . . 4  |-  ( A  = +oo  ->  A  = +oo )
1512, 13, 143eqtr4a 2449 . . 3  |-  ( A  = +oo  ->  ( A +e 0 )  =  A )
16 renepnf 9552 . . . . . 6  |-  ( 0  e.  RR  ->  0  =/= +oo )
172, 16ax-mp 5 . . . . 5  |-  0  =/= +oo
18 xaddmnf2 11349 . . . . 5  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\  0  =/= +oo )  ->  ( -oo +e 0 )  = -oo )
198, 17, 18mp2an 670 . . . 4  |-  ( -oo +e 0 )  = -oo
20 oveq1 6203 . . . 4  |-  ( A  = -oo  ->  ( A +e 0 )  =  ( -oo +e 0 ) )
21 id 22 . . . 4  |-  ( A  = -oo  ->  A  = -oo )
2219, 20, 213eqtr4a 2449 . . 3  |-  ( A  = -oo  ->  ( A +e 0 )  =  A )
237, 15, 223jaoi 1289 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  \/  A  = +oo  \/  A  = -oo )  ->  ( A +e 0 )  =  A )
241, 23sylbi 195 1  |-  ( A  e.  RR*  ->  ( A +e 0 )  =  A )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    \/ w3o 970    = wceq 1399    e. wcel 1826    =/= wne 2577  (class class class)co 6196   RRcr 9402   0cc0 9403    + caddc 9406   +oocpnf 9536   -oocmnf 9537   RR*cxr 9538   +ecxad 11237
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1626  ax-4 1639  ax-5 1712  ax-6 1755  ax-7 1798  ax-8 1828  ax-9 1830  ax-10 1845  ax-11 1850  ax-12 1862  ax-13 2006  ax-ext 2360  ax-sep 4488  ax-nul 4496  ax-pow 4543  ax-pr 4601  ax-un 6491  ax-cnex 9459  ax-resscn 9460  ax-1cn 9461  ax-icn 9462  ax-addcl 9463  ax-addrcl 9464  ax-mulcl 9465  ax-mulrcl 9466  ax-mulcom 9467  ax-addass 9468  ax-mulass 9469  ax-distr 9470  ax-i2m1 9471  ax-1ne0 9472  ax-1rid 9473  ax-rnegex 9474  ax-rrecex 9475  ax-cnre 9476  ax-pre-lttri 9477  ax-pre-lttrn 9478  ax-pre-ltadd 9479
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1402  df-ex 1621  df-nf 1625  df-sb 1748  df-eu 2222  df-mo 2223  df-clab 2368  df-cleq 2374  df-clel 2377  df-nfc 2532  df-ne 2579  df-nel 2580  df-ral 2737  df-rex 2738  df-rab 2741  df-v 3036  df-sbc 3253  df-csb 3349  df-dif 3392  df-un 3394  df-in 3396  df-ss 3403  df-nul 3712  df-if 3858  df-pw 3929  df-sn 3945  df-pr 3947  df-op 3951  df-uni 4164  df-br 4368  df-opab 4426  df-mpt 4427  df-id 4709  df-po 4714  df-so 4715  df-xp 4919  df-rel 4920  df-cnv 4921  df-co 4922  df-dm 4923  df-rn 4924  df-res 4925  df-ima 4926  df-iota 5460  df-fun 5498  df-fn 5499  df-f 5500  df-f1 5501  df-fo 5502  df-f1o 5503  df-fv 5504  df-ov 6199  df-oprab 6200  df-mpt2 6201  df-er 7229  df-en 7436  df-dom 7437  df-sdom 7438  df-pnf 9541  df-mnf 9542  df-xr 9543  df-ltxr 9544  df-xadd 11240
This theorem is referenced by:  xaddid2  11360  xpncan  11364  xadddi  11408  xadddi2  11410  xrsnsgrp  18567  xrs1mnd  18569  xrs10  18570  psmetsym  20899  xmetsym  20935  imasdsf1olem  20961  stdbdxmet  21103  xrge0gsumle  21423  metdsle  21441  metnrmlem1  21448  vdusgraval  25028  xraddge02  27727  xlt2addrd  27728  xrs0  27816  xrge0addgt0  27834  xrge0npcan  27837  metideq  28026  metider  28027  esumpad  28203  esumpr2  28215  esumpfinvallem  28222  esumpmono  28227  ddemeas  28364  aean  28372  baselcarsg  28433  carsgclctunlem2  28446
  Copyright terms: Public domain W3C validator