MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xaddid1 Structured version   Unicode version

Theorem xaddid1 11228
Description: Extended real version of addid1 9568. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
xaddid1  |-  ( A  e.  RR*  ->  ( A +e 0 )  =  A )

Proof of Theorem xaddid1
StepHypRef Expression
1 elxr 11115 . 2  |-  ( A  e.  RR*  <->  ( A  e.  RR  \/  A  = +oo  \/  A  = -oo ) )
2 0re 9405 . . . . 5  |-  0  e.  RR
3 rexadd 11221 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  0  e.  RR )  ->  ( A +e 0 )  =  ( A  +  0 ) )
42, 3mpan2 671 . . . 4  |-  ( A  e.  RR  ->  ( A +e 0 )  =  ( A  + 
0 ) )
5 recn 9391 . . . . 5  |-  ( A  e.  RR  ->  A  e.  CC )
65addid1d 9588 . . . 4  |-  ( A  e.  RR  ->  ( A  +  0 )  =  A )
74, 6eqtrd 2475 . . 3  |-  ( A  e.  RR  ->  ( A +e 0 )  =  A )
8 0xr 9449 . . . . 5  |-  0  e.  RR*
9 renemnf 9451 . . . . . 6  |-  ( 0  e.  RR  ->  0  =/= -oo )
102, 9ax-mp 5 . . . . 5  |-  0  =/= -oo
11 xaddpnf2 11216 . . . . 5  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\  0  =/= -oo )  ->  ( +oo +e 0 )  = +oo )
128, 10, 11mp2an 672 . . . 4  |-  ( +oo +e 0 )  = +oo
13 oveq1 6117 . . . 4  |-  ( A  = +oo  ->  ( A +e 0 )  =  ( +oo +e 0 ) )
14 id 22 . . . 4  |-  ( A  = +oo  ->  A  = +oo )
1512, 13, 143eqtr4a 2501 . . 3  |-  ( A  = +oo  ->  ( A +e 0 )  =  A )
16 renepnf 9450 . . . . . 6  |-  ( 0  e.  RR  ->  0  =/= +oo )
172, 16ax-mp 5 . . . . 5  |-  0  =/= +oo
18 xaddmnf2 11218 . . . . 5  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\  0  =/= +oo )  ->  ( -oo +e 0 )  = -oo )
198, 17, 18mp2an 672 . . . 4  |-  ( -oo +e 0 )  = -oo
20 oveq1 6117 . . . 4  |-  ( A  = -oo  ->  ( A +e 0 )  =  ( -oo +e 0 ) )
21 id 22 . . . 4  |-  ( A  = -oo  ->  A  = -oo )
2219, 20, 213eqtr4a 2501 . . 3  |-  ( A  = -oo  ->  ( A +e 0 )  =  A )
237, 15, 223jaoi 1281 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  \/  A  = +oo  \/  A  = -oo )  ->  ( A +e 0 )  =  A )
241, 23sylbi 195 1  |-  ( A  e.  RR*  ->  ( A +e 0 )  =  A )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    \/ w3o 964    = wceq 1369    e. wcel 1756    =/= wne 2620  (class class class)co 6110   RRcr 9300   0cc0 9301    + caddc 9304   +oocpnf 9434   -oocmnf 9435   RR*cxr 9436   +ecxad 11106
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4432  ax-nul 4440  ax-pow 4489  ax-pr 4550  ax-un 6391  ax-cnex 9357  ax-resscn 9358  ax-1cn 9359  ax-icn 9360  ax-addcl 9361  ax-addrcl 9362  ax-mulcl 9363  ax-mulrcl 9364  ax-mulcom 9365  ax-addass 9366  ax-mulass 9367  ax-distr 9368  ax-i2m1 9369  ax-1ne0 9370  ax-1rid 9371  ax-rnegex 9372  ax-rrecex 9373  ax-cnre 9374  ax-pre-lttri 9375  ax-pre-lttrn 9376  ax-pre-ltadd 9377
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2622  df-nel 2623  df-ral 2739  df-rex 2740  df-rab 2743  df-v 2993  df-sbc 3206  df-csb 3308  df-dif 3350  df-un 3352  df-in 3354  df-ss 3361  df-nul 3657  df-if 3811  df-pw 3881  df-sn 3897  df-pr 3899  df-op 3903  df-uni 4111  df-br 4312  df-opab 4370  df-mpt 4371  df-id 4655  df-po 4660  df-so 4661  df-xp 4865  df-rel 4866  df-cnv 4867  df-co 4868  df-dm 4869  df-rn 4870  df-res 4871  df-ima 4872  df-iota 5400  df-fun 5439  df-fn 5440  df-f 5441  df-f1 5442  df-fo 5443  df-f1o 5444  df-fv 5445  df-ov 6113  df-oprab 6114  df-mpt2 6115  df-er 7120  df-en 7330  df-dom 7331  df-sdom 7332  df-pnf 9439  df-mnf 9440  df-xr 9441  df-ltxr 9442  df-xadd 11109
This theorem is referenced by:  xaddid2  11229  xpncan  11233  xadddi  11277  xadddi2  11279  xrs1mnd  17870  xrs10  17871  psmetsym  19905  xmetsym  19941  imasdsf1olem  19967  stdbdxmet  20109  xrge0gsumle  20429  metdsle  20447  metnrmlem1  20454  vdusgraval  23596  xraddge02  26069  xlt2addrd  26070  xrs0  26155  xrge0addgt0  26173  xrge0npcan  26176  metideq  26339  metider  26340  esumpr2  26536  esumpfinvallem  26542  esumpmono  26547  ddemeas  26671  aean  26679
  Copyright terms: Public domain W3C validator