Theorem xadddi2 11608

Description: The assumption that the multiplier be real in xadddi 11606 can be relaxed if the addends have the same sign. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
xadddi2	|- ( ( A e. RR* /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 <_ C ) ) -> ( A xe ( B +e C ) ) = ( ( A xe B ) +e ( A xe C ) ) )

Proof of Theorem xadddi2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 468	. . . 4 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 <_ C ) ) /\ 0 < B ) /\ A e. RR ) -> A e. RR )
2		simp2l 1056	. . . . 5 |- ( ( A e. RR* /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 <_ C ) ) -> B e. RR* )
3	2	ad2antrr 740	. . . 4 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 <_ C ) ) /\ 0 < B ) /\ A e. RR ) -> B e. RR* )
4		simp3l 1058	. . . . 5 |- ( ( A e. RR* /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 <_ C ) ) -> C e. RR* )
5	4	ad2antrr 740	. . . 4 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 <_ C ) ) /\ 0 < B ) /\ A e. RR ) -> C e. RR* )
6		xadddi 11606	. . . 4 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) -> ( A xe ( B +e C ) ) = ( ( A xe B ) +e ( A xe C ) ) )
7	1, 3, 5, 6	syl3anc 1292	. . 3 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 <_ C ) ) /\ 0 < B ) /\ A e. RR ) -> ( A xe ( B +e C ) ) = ( ( A xe B ) +e ( A xe C ) ) )
8		pnfxr 11435	. . . . . 6 |- +oo e. RR*
9	4	adantr 472	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. RR* /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 <_ C ) ) /\ 0 < B ) -> C e. RR* )
10	9	adantr 472	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 <_ C ) ) /\ 0 < B ) /\ A = +oo ) -> C e. RR* )
11		xmulcl 11584	. . . . . 6 |- ( ( +oo e. RR* /\ C e. RR* ) -> ( +oo xe C ) e. RR* )
12	8, 10, 11	sylancr 676	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 <_ C ) ) /\ 0 < B ) /\ A = +oo ) -> ( +oo xe C ) e. RR* )
13	8, 9, 11	sylancr 676	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. RR* /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 <_ C ) ) /\ 0 < B ) -> ( +oo xe C ) e. RR* )
14		simpl3r 1086	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. RR* /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 <_ C ) ) /\ 0 < B ) -> 0 <_ C )
15		0lepnf 11456	. . . . . . . . 9 |- 0 <_ +oo
16		xmulge0 11595	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( +oo e. RR* /\ 0 <_ +oo ) /\ ( C e. RR* /\ 0 <_ C ) ) -> 0 <_ ( +oo xe C ) )
17	8, 15, 16	mpanl12 696	. . . . . . . 8 |- ( ( C e. RR* /\ 0 <_ C ) -> 0 <_ ( +oo xe C ) )
18	9, 14, 17	syl2anc 673	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. RR* /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 <_ C ) ) /\ 0 < B ) -> 0 <_ ( +oo xe C ) )
19		ge0nemnf 11491	. . . . . . 7 |- ( ( ( +oo xe C ) e. RR* /\ 0 <_ ( +oo xe C ) ) -> ( +oo xe C ) =/= -oo )
20	13, 18, 19	syl2anc 673	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. RR* /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 <_ C ) ) /\ 0 < B ) -> ( +oo xe C ) =/= -oo )
21	20	adantr 472	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 <_ C ) ) /\ 0 < B ) /\ A = +oo ) -> ( +oo xe C ) =/= -oo )
22		xaddpnf2 11543	. . . . 5 |- ( ( ( +oo xe C ) e. RR* /\ ( +oo xe C ) =/= -oo ) -> ( +oo +e ( +oo xe C ) ) = +oo )
23	12, 21, 22	syl2anc 673	. . . 4 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 <_ C ) ) /\ 0 < B ) /\ A = +oo ) -> ( +oo +e ( +oo xe C ) ) = +oo )
24		oveq1 6315	. . . . . 6 |- ( A = +oo -> ( A xe B ) = ( +oo xe B ) )
25		oveq1 6315	. . . . . 6 |- ( A = +oo -> ( A xe C ) = ( +oo xe C ) )
26	24, 25	oveq12d 6326	. . . . 5 |- ( A = +oo -> ( ( A xe B ) +e ( A xe C ) ) = ( ( +oo xe B ) +e ( +oo xe C ) ) )
27		xmulpnf2 11586	. . . . . . 7 |- ( ( B e. RR* /\ 0 < B ) -> ( +oo xe B ) = +oo )
28	2, 27	sylan 479	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. RR* /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 <_ C ) ) /\ 0 < B ) -> ( +oo xe B ) = +oo )
29	28	oveq1d 6323	. . . . 5 |- ( ( ( A e. RR* /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 <_ C ) ) /\ 0 < B ) -> ( ( +oo xe B ) +e ( +oo xe C ) ) = ( +oo +e ( +oo xe C ) ) )
30	26, 29	sylan9eqr 2527	. . . 4 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 <_ C ) ) /\ 0 < B ) /\ A = +oo ) -> ( ( A xe B ) +e ( A xe C ) ) = ( +oo +e ( +oo xe C ) ) )
31		oveq1 6315	. . . . 5 |- ( A = +oo -> ( A xe ( B +e C ) ) = ( +oo xe ( B +e C ) ) )
32		xaddcl 11554	. . . . . . . 8 |- ( ( B e. RR* /\ C e. RR* ) -> ( B +e C ) e. RR* )
33	2, 4, 32	syl2anc 673	. . . . . . 7 |- ( ( A e. RR* /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 <_ C ) ) -> ( B +e C ) e. RR* )
34	33	adantr 472	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. RR* /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 <_ C ) ) /\ 0 < B ) -> ( B +e C ) e. RR* )
35		0xr 9705	. . . . . . . 8 |- 0 e. RR*
36	35	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. RR* /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 <_ C ) ) /\ 0 < B ) -> 0 e. RR* )
37	2	adantr 472	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. RR* /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 <_ C ) ) /\ 0 < B ) -> B e. RR* )
38		simpr 468	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. RR* /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 <_ C ) ) /\ 0 < B ) -> 0 < B )
39		xaddid1 11556	. . . . . . . . 9 |- ( B e. RR* -> ( B +e 0 ) = B )
40	37, 39	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. RR* /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 <_ C ) ) /\ 0 < B ) -> ( B +e 0 ) = B )
41		xleadd2a 11565	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( 0 e. RR* /\ C e. RR* /\ B e. RR* ) /\ 0 <_ C ) -> ( B +e 0 ) <_ ( B +e C ) )
42	36, 9, 37, 14, 41	syl31anc 1295	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. RR* /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 <_ C ) ) /\ 0 < B ) -> ( B +e 0 ) <_ ( B +e C ) )
43	40, 42	eqbrtrrd 4418	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. RR* /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 <_ C ) ) /\ 0 < B ) -> B <_ ( B +e C ) )
44	36, 37, 34, 38, 43	xrltletrd 11481	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. RR* /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 <_ C ) ) /\ 0 < B ) -> 0 < ( B +e C ) )
45		xmulpnf2 11586	. . . . . 6 |- ( ( ( B +e C ) e. RR* /\ 0 < ( B +e C ) ) -> ( +oo xe ( B +e C ) ) = +oo )
46	34, 44, 45	syl2anc 673	. . . . 5 |- ( ( ( A e. RR* /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 <_ C ) ) /\ 0 < B ) -> ( +oo xe ( B +e C ) ) = +oo )
47	31, 46	sylan9eqr 2527	. . . 4 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 <_ C ) ) /\ 0 < B ) /\ A = +oo ) -> ( A xe ( B +e C ) ) = +oo )
48	23, 30, 47	3eqtr4rd 2516	. . 3 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 <_ C ) ) /\ 0 < B ) /\ A = +oo ) -> ( A xe ( B +e C ) ) = ( ( A xe B ) +e ( A xe C ) ) )
49		mnfxr 11437	. . . . . . 7 |- -oo e. RR*
50		xmulcl 11584	. . . . . . 7 |- ( ( -oo e. RR* /\ C e. RR* ) -> ( -oo xe C ) e. RR* )
51	49, 9, 50	sylancr 676	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. RR* /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 <_ C ) ) /\ 0 < B ) -> ( -oo xe C ) e. RR* )
52		xnegmnf 11526	. . . . . . . . . . . 12 |- -e -oo = +oo
53	52	oveq1i 6318	. . . . . . . . . . 11 |- ( -e -oo xe C ) = ( +oo xe C )
54		xmulneg1 11580	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( -oo e. RR* /\ C e. RR* ) -> ( -e -oo xe C ) = -e ( -oo xe C ) )
55	49, 9, 54	sylancr 676	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. RR* /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 <_ C ) ) /\ 0 < B ) -> ( -e -oo xe C ) = -e ( -oo xe C ) )
56	53, 55	syl5reqr 2520	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. RR* /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 <_ C ) ) /\ 0 < B ) -> -e ( -oo xe C ) = ( +oo xe C ) )
57		xnegpnf 11525	. . . . . . . . . . 11 |- -e +oo = -oo
58	57	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. RR* /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 <_ C ) ) /\ 0 < B ) -> -e +oo = -oo )
59	56, 58	eqeq12d 2486	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. RR* /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 <_ C ) ) /\ 0 < B ) -> ( -e ( -oo xe C ) = -e +oo <-> ( +oo xe C ) = -oo ) )
60		xneg11 11531	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( -oo xe C ) e. RR* /\ +oo e. RR* ) -> ( -e ( -oo xe C ) = -e +oo <-> ( -oo xe C ) = +oo ) )
61	51, 8, 60	sylancl 675	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. RR* /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 <_ C ) ) /\ 0 < B ) -> ( -e ( -oo xe C ) = -e +oo <-> ( -oo xe C ) = +oo ) )
62	59, 61	bitr3d 263	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. RR* /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 <_ C ) ) /\ 0 < B ) -> ( ( +oo xe C ) = -oo <-> ( -oo xe C ) = +oo ) )
63	62	necon3bid 2687	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. RR* /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 <_ C ) ) /\ 0 < B ) -> ( ( +oo xe C ) =/= -oo <-> ( -oo xe C ) =/= +oo ) )
64	20, 63	mpbid 215	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. RR* /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 <_ C ) ) /\ 0 < B ) -> ( -oo xe C ) =/= +oo )
65		xaddmnf2 11545	. . . . . 6 |- ( ( ( -oo xe C ) e. RR* /\ ( -oo xe C ) =/= +oo ) -> ( -oo +e ( -oo xe C ) ) = -oo )
66	51, 64, 65	syl2anc 673	. . . . 5 |- ( ( ( A e. RR* /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 <_ C ) ) /\ 0 < B ) -> ( -oo +e ( -oo xe C ) ) = -oo )
67	66	adantr 472	. . . 4 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 <_ C ) ) /\ 0 < B ) /\ A = -oo ) -> ( -oo +e ( -oo xe C ) ) = -oo )
68		oveq1 6315	. . . . . 6 |- ( A = -oo -> ( A xe B ) = ( -oo xe B ) )
69		oveq1 6315	. . . . . 6 |- ( A = -oo -> ( A xe C ) = ( -oo xe C ) )
70	68, 69	oveq12d 6326	. . . . 5 |- ( A = -oo -> ( ( A xe B ) +e ( A xe C ) ) = ( ( -oo xe B ) +e ( -oo xe C ) ) )
71		xmulmnf2 11588	. . . . . . 7 |- ( ( B e. RR* /\ 0 < B ) -> ( -oo xe B ) = -oo )
72	2, 71	sylan 479	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. RR* /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 <_ C ) ) /\ 0 < B ) -> ( -oo xe B ) = -oo )
73	72	oveq1d 6323	. . . . 5 |- ( ( ( A e. RR* /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 <_ C ) ) /\ 0 < B ) -> ( ( -oo xe B ) +e ( -oo xe C ) ) = ( -oo +e ( -oo xe C ) ) )
74	70, 73	sylan9eqr 2527	. . . 4 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 <_ C ) ) /\ 0 < B ) /\ A = -oo ) -> ( ( A xe B ) +e ( A xe C ) ) = ( -oo +e ( -oo xe C ) ) )
75		oveq1 6315	. . . . 5 |- ( A = -oo -> ( A xe ( B +e C ) ) = ( -oo xe ( B +e C ) ) )
76		xmulmnf2 11588	. . . . . 6 |- ( ( ( B +e C ) e. RR* /\ 0 < ( B +e C ) ) -> ( -oo xe ( B +e C ) ) = -oo )
77	34, 44, 76	syl2anc 673	. . . . 5 |- ( ( ( A e. RR* /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 <_ C ) ) /\ 0 < B ) -> ( -oo xe ( B +e C ) ) = -oo )
78	75, 77	sylan9eqr 2527	. . . 4 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 <_ C ) ) /\ 0 < B ) /\ A = -oo ) -> ( A xe ( B +e C ) ) = -oo )
79	67, 74, 78	3eqtr4rd 2516	. . 3 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 <_ C ) ) /\ 0 < B ) /\ A = -oo ) -> ( A xe ( B +e C ) ) = ( ( A xe B ) +e ( A xe C ) ) )
80		simpl1 1033	. . . 4 |- ( ( ( A e. RR* /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 <_ C ) ) /\ 0 < B ) -> A e. RR* )
81		elxr 11439	. . . 4 |- ( A e. RR* <-> ( A e. RR \/ A = +oo \/ A = -oo ) )
82	80, 81	sylib 201	. . 3 |- ( ( ( A e. RR* /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 <_ C ) ) /\ 0 < B ) -> ( A e. RR \/ A = +oo \/ A = -oo ) )
83	7, 48, 79, 82	mpjao3dan 1361	. 2 |- ( ( ( A e. RR* /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 <_ C ) ) /\ 0 < B ) -> ( A xe ( B +e C ) ) = ( ( A xe B ) +e ( A xe C ) ) )
84		simp1 1030	. . . . . 6 |- ( ( A e. RR* /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 <_ C ) ) -> A e. RR* )
85		xmulcl 11584	. . . . . 6 |- ( ( A e. RR* /\ C e. RR* ) -> ( A xe C ) e. RR* )
86	84, 4, 85	syl2anc 673	. . . . 5 |- ( ( A e. RR* /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 <_ C ) ) -> ( A xe C ) e. RR* )
87	86	adantr 472	. . . 4 |- ( ( ( A e. RR* /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 <_ C ) ) /\ 0 = B ) -> ( A xe C ) e. RR* )
88		xaddid2 11557	. . . 4 |- ( ( A xe C ) e. RR* -> ( 0 +e ( A xe C ) ) = ( A xe C ) )
89	87, 88	syl 17	. . 3 |- ( ( ( A e. RR* /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 <_ C ) ) /\ 0 = B ) -> ( 0 +e ( A xe C ) ) = ( A xe C ) )
90		oveq2 6316	. . . . . 6 |- ( 0 = B -> ( A xe 0 ) = ( A xe B ) )
91	90	eqcomd 2477	. . . . 5 |- ( 0 = B -> ( A xe B ) = ( A xe 0 ) )
92		xmul01 11578	. . . . . 6 |- ( A e. RR* -> ( A xe 0 ) = 0 )
93	92	3ad2ant1 1051	. . . . 5 |- ( ( A e. RR* /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 <_ C ) ) -> ( A xe 0 ) = 0 )
94	91, 93	sylan9eqr 2527	. . . 4 |- ( ( ( A e. RR* /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 <_ C ) ) /\ 0 = B ) -> ( A xe B ) = 0 )
95	94	oveq1d 6323	. . 3 |- ( ( ( A e. RR* /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 <_ C ) ) /\ 0 = B ) -> ( ( A xe B ) +e ( A xe C ) ) = ( 0 +e ( A xe C ) ) )
96		oveq1 6315	. . . . . 6 |- ( 0 = B -> ( 0 +e C ) = ( B +e C ) )
97	96	eqcomd 2477	. . . . 5 |- ( 0 = B -> ( B +e C ) = ( 0 +e C ) )
98		xaddid2 11557	. . . . . 6 |- ( C e. RR* -> ( 0 +e C ) = C )
99	4, 98	syl 17	. . . . 5 |- ( ( A e. RR* /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 <_ C ) ) -> ( 0 +e C ) = C )
100	97, 99	sylan9eqr 2527	. . . 4 |- ( ( ( A e. RR* /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 <_ C ) ) /\ 0 = B ) -> ( B +e C ) = C )
101	100	oveq2d 6324	. . 3 |- ( ( ( A e. RR* /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 <_ C ) ) /\ 0 = B ) -> ( A xe ( B +e C ) ) = ( A xe C ) )
102	89, 95, 101	3eqtr4rd 2516	. 2 |- ( ( ( A e. RR* /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 <_ C ) ) /\ 0 = B ) -> ( A xe ( B +e C ) ) = ( ( A xe B ) +e ( A xe C ) ) )
103		simp2r 1057	. . 3 |- ( ( A e. RR* /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 <_ C ) ) -> 0 <_ B )
104		xrleloe 11466	. . . 4 |- ( ( 0 e. RR* /\ B e. RR* ) -> ( 0 <_ B <-> ( 0 < B \/ 0 = B ) ) )
105	35, 2, 104	sylancr 676	. . 3 |- ( ( A e. RR* /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 <_ C ) ) -> ( 0 <_ B <-> ( 0 < B \/ 0 = B ) ) )
106	103, 105	mpbid 215	. 2 |- ( ( A e. RR* /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 <_ C ) ) -> ( 0 < B \/ 0 = B ) )
107	83, 102, 106	mpjaodan 803	1 |- ( ( A e. RR* /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 <_ C ) ) -> ( A xe ( B +e C ) ) = ( ( A xe B ) +e ( A xe C ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 189   \/ wo 375   /\ wa 376   \/ w3o 1006   /\ w3a 1007   = wceq 1452   e. wcel 1904   =/= wne 2641   class class class wbr 4395  (class class class)co 6308   RRcr 9556   0cc0 9557   +oocpnf 9690   -oocmnf 9691   RR*cxr 9692   < clt 9693   <_ cle 9694   -ecxne 11429   +ecxad 11430   xecxmu 11431

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634

This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-op 3966  df-uni 4191  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-er 7381  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-xneg 11432  df-xadd 11433  df-xmul 11434

This theorem is referenced by:  xadddi2r  11609