MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xadddi2 Structured version   Unicode version

Theorem xadddi2 11265
Description: The assumption that the multiplier be real in xadddi 11263 can be relaxed if the addends have the same sign. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
xadddi2  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  ( B  e.  RR*  /\  0  <_  B )  /\  ( C  e.  RR*  /\  0  <_  C ) )  -> 
( A xe ( B +e
C ) )  =  ( ( A xe B ) +e ( A xe C ) ) )

Proof of Theorem xadddi2
StepHypRef Expression
1 simpl1 991 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  ( B  e.  RR*  /\  0  <_  B )  /\  ( C  e.  RR*  /\  0  <_  C )
)  /\  0  <  B )  ->  A  e.  RR* )
2 elxr 11101 . . . 4  |-  ( A  e.  RR*  <->  ( A  e.  RR  \/  A  = +oo  \/  A  = -oo ) )
31, 2sylib 196 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  ( B  e.  RR*  /\  0  <_  B )  /\  ( C  e.  RR*  /\  0  <_  C )
)  /\  0  <  B )  ->  ( A  e.  RR  \/  A  = +oo  \/  A  = -oo ) )
4 simpr 461 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e. 
RR*  /\  ( B  e.  RR*  /\  0  <_  B )  /\  ( C  e.  RR*  /\  0  <_  C ) )  /\  0  <  B )  /\  A  e.  RR )  ->  A  e.  RR )
5 simp2l 1014 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  ( B  e.  RR*  /\  0  <_  B )  /\  ( C  e.  RR*  /\  0  <_  C ) )  ->  B  e.  RR* )
65ad2antrr 725 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e. 
RR*  /\  ( B  e.  RR*  /\  0  <_  B )  /\  ( C  e.  RR*  /\  0  <_  C ) )  /\  0  <  B )  /\  A  e.  RR )  ->  B  e.  RR* )
7 simp3l 1016 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  ( B  e.  RR*  /\  0  <_  B )  /\  ( C  e.  RR*  /\  0  <_  C ) )  ->  C  e.  RR* )
87ad2antrr 725 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e. 
RR*  /\  ( B  e.  RR*  /\  0  <_  B )  /\  ( C  e.  RR*  /\  0  <_  C ) )  /\  0  <  B )  /\  A  e.  RR )  ->  C  e.  RR* )
9 xadddi 11263 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR*  /\  C  e.  RR* )  ->  ( A xe ( B +e C ) )  =  ( ( A xe B ) +e ( A xe C ) ) )
104, 6, 8, 9syl3anc 1218 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  e. 
RR*  /\  ( B  e.  RR*  /\  0  <_  B )  /\  ( C  e.  RR*  /\  0  <_  C ) )  /\  0  <  B )  /\  A  e.  RR )  ->  ( A xe ( B +e
C ) )  =  ( ( A xe B ) +e ( A xe C ) ) )
11 pnfxr 11097 . . . . . . 7  |- +oo  e.  RR*
127adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  ( B  e.  RR*  /\  0  <_  B )  /\  ( C  e.  RR*  /\  0  <_  C )
)  /\  0  <  B )  ->  C  e.  RR* )
1312adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e. 
RR*  /\  ( B  e.  RR*  /\  0  <_  B )  /\  ( C  e.  RR*  /\  0  <_  C ) )  /\  0  <  B )  /\  A  = +oo )  ->  C  e.  RR* )
14 xmulcl 11241 . . . . . . 7  |-  ( ( +oo  e.  RR*  /\  C  e.  RR* )  ->  ( +oo xe C )  e.  RR* )
1511, 13, 14sylancr 663 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e. 
RR*  /\  ( B  e.  RR*  /\  0  <_  B )  /\  ( C  e.  RR*  /\  0  <_  C ) )  /\  0  <  B )  /\  A  = +oo )  ->  ( +oo xe C )  e.  RR* )
1611, 12, 14sylancr 663 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  ( B  e.  RR*  /\  0  <_  B )  /\  ( C  e.  RR*  /\  0  <_  C )
)  /\  0  <  B )  ->  ( +oo xe C )  e.  RR* )
17 simpl3r 1044 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  ( B  e.  RR*  /\  0  <_  B )  /\  ( C  e.  RR*  /\  0  <_  C )
)  /\  0  <  B )  ->  0  <_  C )
18 0lepnf 11116 . . . . . . . . . 10  |-  0  <_ +oo
19 xmulge0 11252 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( +oo  e.  RR*  /\  0  <_ +oo )  /\  ( C  e.  RR*  /\  0  <_  C )
)  ->  0  <_  ( +oo xe C ) )
2011, 18, 19mpanl12 682 . . . . . . . . 9  |-  ( ( C  e.  RR*  /\  0  <_  C )  ->  0  <_  ( +oo xe C ) )
2112, 17, 20syl2anc 661 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  ( B  e.  RR*  /\  0  <_  B )  /\  ( C  e.  RR*  /\  0  <_  C )
)  /\  0  <  B )  ->  0  <_  ( +oo xe C ) )
22 ge0nemnf 11150 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( +oo xe C )  e.  RR*  /\  0  <_  ( +oo xe C ) )  ->  ( +oo xe C )  =/= -oo )
2316, 21, 22syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  ( B  e.  RR*  /\  0  <_  B )  /\  ( C  e.  RR*  /\  0  <_  C )
)  /\  0  <  B )  ->  ( +oo xe C )  =/= -oo )
2423adantr 465 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e. 
RR*  /\  ( B  e.  RR*  /\  0  <_  B )  /\  ( C  e.  RR*  /\  0  <_  C ) )  /\  0  <  B )  /\  A  = +oo )  ->  ( +oo xe C )  =/= -oo )
25 xaddpnf2 11202 . . . . . 6  |-  ( ( ( +oo xe C )  e.  RR*  /\  ( +oo xe C )  =/= -oo )  ->  ( +oo +e ( +oo xe C ) )  = +oo )
2615, 24, 25syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e. 
RR*  /\  ( B  e.  RR*  /\  0  <_  B )  /\  ( C  e.  RR*  /\  0  <_  C ) )  /\  0  <  B )  /\  A  = +oo )  ->  ( +oo +e
( +oo xe C ) )  = +oo )
27 oveq1 6103 . . . . . . 7  |-  ( A  = +oo  ->  ( A xe B )  =  ( +oo xe B ) )
28 oveq1 6103 . . . . . . 7  |-  ( A  = +oo  ->  ( A xe C )  =  ( +oo xe C ) )
2927, 28oveq12d 6114 . . . . . 6  |-  ( A  = +oo  ->  (
( A xe B ) +e
( A xe C ) )  =  ( ( +oo xe B ) +e ( +oo xe C ) ) )
30 xmulpnf2 11243 . . . . . . . 8  |-  ( ( B  e.  RR*  /\  0  <  B )  ->  ( +oo xe B )  = +oo )
315, 30sylan 471 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  ( B  e.  RR*  /\  0  <_  B )  /\  ( C  e.  RR*  /\  0  <_  C )
)  /\  0  <  B )  ->  ( +oo xe B )  = +oo )
3231oveq1d 6111 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  ( B  e.  RR*  /\  0  <_  B )  /\  ( C  e.  RR*  /\  0  <_  C )
)  /\  0  <  B )  ->  ( ( +oo xe B ) +e ( +oo xe C ) )  =  ( +oo +e ( +oo xe C ) ) )
3329, 32sylan9eqr 2497 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e. 
RR*  /\  ( B  e.  RR*  /\  0  <_  B )  /\  ( C  e.  RR*  /\  0  <_  C ) )  /\  0  <  B )  /\  A  = +oo )  ->  ( ( A xe B ) +e ( A xe C ) )  =  ( +oo +e ( +oo xe C ) ) )
34 oveq1 6103 . . . . . 6  |-  ( A  = +oo  ->  ( A xe ( B +e C ) )  =  ( +oo xe ( B +e C ) ) )
35 xaddcl 11212 . . . . . . . . 9  |-  ( ( B  e.  RR*  /\  C  e.  RR* )  ->  ( B +e C )  e.  RR* )
365, 7, 35syl2anc 661 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  ( B  e.  RR*  /\  0  <_  B )  /\  ( C  e.  RR*  /\  0  <_  C ) )  -> 
( B +e
C )  e.  RR* )
3736adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  ( B  e.  RR*  /\  0  <_  B )  /\  ( C  e.  RR*  /\  0  <_  C )
)  /\  0  <  B )  ->  ( B +e C )  e.  RR* )
38 0xr 9435 . . . . . . . . 9  |-  0  e.  RR*
3938a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  ( B  e.  RR*  /\  0  <_  B )  /\  ( C  e.  RR*  /\  0  <_  C )
)  /\  0  <  B )  ->  0  e.  RR* )
405adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  ( B  e.  RR*  /\  0  <_  B )  /\  ( C  e.  RR*  /\  0  <_  C )
)  /\  0  <  B )  ->  B  e.  RR* )
41 simpr 461 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  ( B  e.  RR*  /\  0  <_  B )  /\  ( C  e.  RR*  /\  0  <_  C )
)  /\  0  <  B )  ->  0  <  B )
42 xaddid1 11214 . . . . . . . . . 10  |-  ( B  e.  RR*  ->  ( B +e 0 )  =  B )
4340, 42syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  ( B  e.  RR*  /\  0  <_  B )  /\  ( C  e.  RR*  /\  0  <_  C )
)  /\  0  <  B )  ->  ( B +e 0 )  =  B )
44 xleadd2a 11222 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( 0  e.  RR*  /\  C  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  0  <_  C )  ->  ( B +e 0 )  <_  ( B +e C ) )
4539, 12, 40, 17, 44syl31anc 1221 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  ( B  e.  RR*  /\  0  <_  B )  /\  ( C  e.  RR*  /\  0  <_  C )
)  /\  0  <  B )  ->  ( B +e 0 )  <_  ( B +e C ) )
4643, 45eqbrtrrd 4319 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  ( B  e.  RR*  /\  0  <_  B )  /\  ( C  e.  RR*  /\  0  <_  C )
)  /\  0  <  B )  ->  B  <_  ( B +e C ) )
4739, 40, 37, 41, 46xrltletrd 11140 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  ( B  e.  RR*  /\  0  <_  B )  /\  ( C  e.  RR*  /\  0  <_  C )
)  /\  0  <  B )  ->  0  <  ( B +e C ) )
48 xmulpnf2 11243 . . . . . . 7  |-  ( ( ( B +e
C )  e.  RR*  /\  0  <  ( B +e C ) )  ->  ( +oo xe ( B +e C ) )  = +oo )
4937, 47, 48syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  ( B  e.  RR*  /\  0  <_  B )  /\  ( C  e.  RR*  /\  0  <_  C )
)  /\  0  <  B )  ->  ( +oo xe ( B +e C ) )  = +oo )
5034, 49sylan9eqr 2497 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e. 
RR*  /\  ( B  e.  RR*  /\  0  <_  B )  /\  ( C  e.  RR*  /\  0  <_  C ) )  /\  0  <  B )  /\  A  = +oo )  ->  ( A xe ( B +e
C ) )  = +oo )
5126, 33, 503eqtr4rd 2486 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  e. 
RR*  /\  ( B  e.  RR*  /\  0  <_  B )  /\  ( C  e.  RR*  /\  0  <_  C ) )  /\  0  <  B )  /\  A  = +oo )  ->  ( A xe ( B +e
C ) )  =  ( ( A xe B ) +e ( A xe C ) ) )
52 mnfxr 11099 . . . . . . . 8  |- -oo  e.  RR*
53 xmulcl 11241 . . . . . . . 8  |-  ( ( -oo  e.  RR*  /\  C  e.  RR* )  ->  ( -oo xe C )  e.  RR* )
5452, 12, 53sylancr 663 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  ( B  e.  RR*  /\  0  <_  B )  /\  ( C  e.  RR*  /\  0  <_  C )
)  /\  0  <  B )  ->  ( -oo xe C )  e.  RR* )
55 xnegmnf 11185 . . . . . . . . . . . . 13  |-  -e -oo  = +oo
5655oveq1i 6106 . . . . . . . . . . . 12  |-  (  -e -oo xe C )  =  ( +oo xe C )
57 xmulneg1 11237 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( -oo  e.  RR*  /\  C  e.  RR* )  ->  (  -e -oo xe C )  =  -e ( -oo xe C ) )
5852, 12, 57sylancr 663 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  ( B  e.  RR*  /\  0  <_  B )  /\  ( C  e.  RR*  /\  0  <_  C )
)  /\  0  <  B )  ->  (  -e -oo xe C )  =  -e ( -oo xe C ) )
5956, 58syl5reqr 2490 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  ( B  e.  RR*  /\  0  <_  B )  /\  ( C  e.  RR*  /\  0  <_  C )
)  /\  0  <  B )  ->  -e ( -oo xe C )  =  ( +oo xe C ) )
60 xnegpnf 11184 . . . . . . . . . . . 12  |-  -e +oo  = -oo
6160a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  ( B  e.  RR*  /\  0  <_  B )  /\  ( C  e.  RR*  /\  0  <_  C )
)  /\  0  <  B )  ->  -e +oo  = -oo )
6259, 61eqeq12d 2457 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  ( B  e.  RR*  /\  0  <_  B )  /\  ( C  e.  RR*  /\  0  <_  C )
)  /\  0  <  B )  ->  (  -e
( -oo xe C )  =  -e +oo 
<->  ( +oo xe C )  = -oo ) )
63 xneg11 11190 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( -oo xe C )  e.  RR*  /\ +oo  e.  RR* )  ->  (  -e ( -oo xe C )  = 
-e +oo  <->  ( -oo xe C )  = +oo ) )
6454, 11, 63sylancl 662 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  ( B  e.  RR*  /\  0  <_  B )  /\  ( C  e.  RR*  /\  0  <_  C )
)  /\  0  <  B )  ->  (  -e
( -oo xe C )  =  -e +oo 
<->  ( -oo xe C )  = +oo ) )
6562, 64bitr3d 255 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  ( B  e.  RR*  /\  0  <_  B )  /\  ( C  e.  RR*  /\  0  <_  C )
)  /\  0  <  B )  ->  ( ( +oo xe C )  = -oo  <->  ( -oo xe C )  = +oo ) )
6665necon3bid 2648 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  ( B  e.  RR*  /\  0  <_  B )  /\  ( C  e.  RR*  /\  0  <_  C )
)  /\  0  <  B )  ->  ( ( +oo xe C )  =/= -oo  <->  ( -oo xe C )  =/= +oo ) )
6723, 66mpbid 210 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  ( B  e.  RR*  /\  0  <_  B )  /\  ( C  e.  RR*  /\  0  <_  C )
)  /\  0  <  B )  ->  ( -oo xe C )  =/= +oo )
68 xaddmnf2 11204 . . . . . . 7  |-  ( ( ( -oo xe C )  e.  RR*  /\  ( -oo xe C )  =/= +oo )  ->  ( -oo +e ( -oo xe C ) )  = -oo )
6954, 67, 68syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  ( B  e.  RR*  /\  0  <_  B )  /\  ( C  e.  RR*  /\  0  <_  C )
)  /\  0  <  B )  ->  ( -oo +e ( -oo xe C ) )  = -oo )
7069adantr 465 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e. 
RR*  /\  ( B  e.  RR*  /\  0  <_  B )  /\  ( C  e.  RR*  /\  0  <_  C ) )  /\  0  <  B )  /\  A  = -oo )  ->  ( -oo +e
( -oo xe C ) )  = -oo )
71 oveq1 6103 . . . . . . 7  |-  ( A  = -oo  ->  ( A xe B )  =  ( -oo xe B ) )
72 oveq1 6103 . . . . . . 7  |-  ( A  = -oo  ->  ( A xe C )  =  ( -oo xe C ) )
7371, 72oveq12d 6114 . . . . . 6  |-  ( A  = -oo  ->  (
( A xe B ) +e
( A xe C ) )  =  ( ( -oo xe B ) +e ( -oo xe C ) ) )
74 xmulmnf2 11245 . . . . . . . 8  |-  ( ( B  e.  RR*  /\  0  <  B )  ->  ( -oo xe B )  = -oo )
755, 74sylan 471 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  ( B  e.  RR*  /\  0  <_  B )  /\  ( C  e.  RR*  /\  0  <_  C )
)  /\  0  <  B )  ->  ( -oo xe B )  = -oo )
7675oveq1d 6111 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  ( B  e.  RR*  /\  0  <_  B )  /\  ( C  e.  RR*  /\  0  <_  C )
)  /\  0  <  B )  ->  ( ( -oo xe B ) +e ( -oo xe C ) )  =  ( -oo +e ( -oo xe C ) ) )
7773, 76sylan9eqr 2497 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e. 
RR*  /\  ( B  e.  RR*  /\  0  <_  B )  /\  ( C  e.  RR*  /\  0  <_  C ) )  /\  0  <  B )  /\  A  = -oo )  ->  ( ( A xe B ) +e ( A xe C ) )  =  ( -oo +e ( -oo xe C ) ) )
78 oveq1 6103 . . . . . 6  |-  ( A  = -oo  ->  ( A xe ( B +e C ) )  =  ( -oo xe ( B +e C ) ) )
79 xmulmnf2 11245 . . . . . . 7  |-  ( ( ( B +e
C )  e.  RR*  /\  0  <  ( B +e C ) )  ->  ( -oo xe ( B +e C ) )  = -oo )
8037, 47, 79syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  ( B  e.  RR*  /\  0  <_  B )  /\  ( C  e.  RR*  /\  0  <_  C )
)  /\  0  <  B )  ->  ( -oo xe ( B +e C ) )  = -oo )
8178, 80sylan9eqr 2497 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e. 
RR*  /\  ( B  e.  RR*  /\  0  <_  B )  /\  ( C  e.  RR*  /\  0  <_  C ) )  /\  0  <  B )  /\  A  = -oo )  ->  ( A xe ( B +e
C ) )  = -oo )
8270, 77, 813eqtr4rd 2486 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  e. 
RR*  /\  ( B  e.  RR*  /\  0  <_  B )  /\  ( C  e.  RR*  /\  0  <_  C ) )  /\  0  <  B )  /\  A  = -oo )  ->  ( A xe ( B +e
C ) )  =  ( ( A xe B ) +e ( A xe C ) ) )
8310, 51, 823jaodan 1284 . . 3  |-  ( ( ( ( A  e. 
RR*  /\  ( B  e.  RR*  /\  0  <_  B )  /\  ( C  e.  RR*  /\  0  <_  C ) )  /\  0  <  B )  /\  ( A  e.  RR  \/  A  = +oo  \/  A  = -oo ) )  ->  ( A xe ( B +e C ) )  =  ( ( A xe B ) +e ( A xe C ) ) )
843, 83mpdan 668 . 2  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  ( B  e.  RR*  /\  0  <_  B )  /\  ( C  e.  RR*  /\  0  <_  C )
)  /\  0  <  B )  ->  ( A xe ( B +e C ) )  =  ( ( A xe B ) +e ( A xe C ) ) )
85 simp1 988 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  ( B  e.  RR*  /\  0  <_  B )  /\  ( C  e.  RR*  /\  0  <_  C ) )  ->  A  e.  RR* )
86 xmulcl 11241 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  C  e.  RR* )  ->  ( A xe C )  e.  RR* )
8785, 7, 86syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  ( B  e.  RR*  /\  0  <_  B )  /\  ( C  e.  RR*  /\  0  <_  C ) )  -> 
( A xe C )  e.  RR* )
8887adantr 465 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  ( B  e.  RR*  /\  0  <_  B )  /\  ( C  e.  RR*  /\  0  <_  C )
)  /\  0  =  B )  ->  ( A xe C )  e.  RR* )
89 xaddid2 11215 . . . 4  |-  ( ( A xe C )  e.  RR*  ->  ( 0 +e ( A xe C ) )  =  ( A xe C ) )
9088, 89syl 16 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  ( B  e.  RR*  /\  0  <_  B )  /\  ( C  e.  RR*  /\  0  <_  C )
)  /\  0  =  B )  ->  (
0 +e ( A xe C ) )  =  ( A xe C ) )
91 oveq2 6104 . . . . . 6  |-  ( 0  =  B  ->  ( A xe 0 )  =  ( A xe B ) )
9291eqcomd 2448 . . . . 5  |-  ( 0  =  B  ->  ( A xe B )  =  ( A xe 0 ) )
93 xmul01 11235 . . . . . 6  |-  ( A  e.  RR*  ->  ( A xe 0 )  =  0 )
94933ad2ant1 1009 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  ( B  e.  RR*  /\  0  <_  B )  /\  ( C  e.  RR*  /\  0  <_  C ) )  -> 
( A xe 0 )  =  0 )
9592, 94sylan9eqr 2497 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  ( B  e.  RR*  /\  0  <_  B )  /\  ( C  e.  RR*  /\  0  <_  C )
)  /\  0  =  B )  ->  ( A xe B )  =  0 )
9695oveq1d 6111 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  ( B  e.  RR*  /\  0  <_  B )  /\  ( C  e.  RR*  /\  0  <_  C )
)  /\  0  =  B )  ->  (
( A xe B ) +e
( A xe C ) )  =  ( 0 +e
( A xe C ) ) )
97 oveq1 6103 . . . . . 6  |-  ( 0  =  B  ->  (
0 +e C )  =  ( B +e C ) )
9897eqcomd 2448 . . . . 5  |-  ( 0  =  B  ->  ( B +e C )  =  ( 0 +e C ) )
99 xaddid2 11215 . . . . . 6  |-  ( C  e.  RR*  ->  ( 0 +e C )  =  C )
1007, 99syl 16 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  ( B  e.  RR*  /\  0  <_  B )  /\  ( C  e.  RR*  /\  0  <_  C ) )  -> 
( 0 +e
C )  =  C )
10198, 100sylan9eqr 2497 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  ( B  e.  RR*  /\  0  <_  B )  /\  ( C  e.  RR*  /\  0  <_  C )
)  /\  0  =  B )  ->  ( B +e C )  =  C )
102101oveq2d 6112 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  ( B  e.  RR*  /\  0  <_  B )  /\  ( C  e.  RR*  /\  0  <_  C )
)  /\  0  =  B )  ->  ( A xe ( B +e C ) )  =  ( A xe C ) )
10390, 96, 1023eqtr4rd 2486 . 2  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  ( B  e.  RR*  /\  0  <_  B )  /\  ( C  e.  RR*  /\  0  <_  C )
)  /\  0  =  B )  ->  ( A xe ( B +e C ) )  =  ( ( A xe B ) +e ( A xe C ) ) )
104 simp2r 1015 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  ( B  e.  RR*  /\  0  <_  B )  /\  ( C  e.  RR*  /\  0  <_  C ) )  -> 
0  <_  B )
105 xrleloe 11126 . . . 4  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  (
0  <_  B  <->  ( 0  <  B  \/  0  =  B ) ) )
10638, 5, 105sylancr 663 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  ( B  e.  RR*  /\  0  <_  B )  /\  ( C  e.  RR*  /\  0  <_  C ) )  -> 
( 0  <_  B  <->  ( 0  <  B  \/  0  =  B )
) )
107104, 106mpbid 210 . 2  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  ( B  e.  RR*  /\  0  <_  B )  /\  ( C  e.  RR*  /\  0  <_  C ) )  -> 
( 0  <  B  \/  0  =  B
) )
10884, 103, 107mpjaodan 784 1  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  ( B  e.  RR*  /\  0  <_  B )  /\  ( C  e.  RR*  /\  0  <_  C ) )  -> 
( A xe ( B +e
C ) )  =  ( ( A xe B ) +e ( A xe C ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    \/ w3o 964    /\ w3a 965    = wceq 1369    e. wcel 1756    =/= wne 2611   class class class wbr 4297  (class class class)co 6096   RRcr 9286   0cc0 9287   +oocpnf 9420   -oocmnf 9421   RR*cxr 9422    < clt 9423    <_ cle 9424    -ecxne 11091   +ecxad 11092   xecxmu 11093
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4418  ax-nul 4426  ax-pow 4475  ax-pr 4536  ax-un 6377  ax-cnex 9343  ax-resscn 9344  ax-1cn 9345  ax-icn 9346  ax-addcl 9347  ax-addrcl 9348  ax-mulcl 9349  ax-mulrcl 9350  ax-mulcom 9351  ax-addass 9352  ax-mulass 9353  ax-distr 9354  ax-i2m1 9355  ax-1ne0 9356  ax-1rid 9357  ax-rnegex 9358  ax-rrecex 9359  ax-cnre 9360  ax-pre-lttri 9361  ax-pre-lttrn 9362  ax-pre-ltadd 9363  ax-pre-mulgt0 9364
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2573  df-ne 2613  df-nel 2614  df-ral 2725  df-rex 2726  df-reu 2727  df-rab 2729  df-v 2979  df-sbc 3192  df-csb 3294  df-dif 3336  df-un 3338  df-in 3340  df-ss 3347  df-nul 3643  df-if 3797  df-pw 3867  df-sn 3883  df-pr 3885  df-op 3889  df-uni 4097  df-iun 4178  df-br 4298  df-opab 4356  df-mpt 4357  df-id 4641  df-po 4646  df-so 4647  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5386  df-fun 5425  df-fn 5426  df-f 5427  df-f1 5428  df-fo 5429  df-f1o 5430  df-fv 5431  df-riota 6057  df-ov 6099  df-oprab 6100  df-mpt2 6101  df-1st 6582  df-2nd 6583  df-er 7106  df-en 7316  df-dom 7317  df-sdom 7318  df-pnf 9425  df-mnf 9426  df-xr 9427  df-ltxr 9428  df-le 9429  df-sub 9602  df-neg 9603  df-xneg 11094  df-xadd 11095  df-xmul 11096
This theorem is referenced by:  xadddi2r  11266
  Copyright terms: Public domain W3C validator