Theorem xadddi2 11583

Description: The assumption that the multiplier be real in xadddi 11581 can be relaxed if the addends have the same sign. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
xadddi2	|- ( ( A e. RR* /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 <_ C ) ) -> ( A xe ( B +e C ) ) = ( ( A xe B ) +e ( A xe C ) ) )

Proof of Theorem xadddi2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 463	. . . 4 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 <_ C ) ) /\ 0 < B ) /\ A e. RR ) -> A e. RR )
2		simp2l 1034	. . . . 5 |- ( ( A e. RR* /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 <_ C ) ) -> B e. RR* )
3	2	ad2antrr 732	. . . 4 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 <_ C ) ) /\ 0 < B ) /\ A e. RR ) -> B e. RR* )
4		simp3l 1036	. . . . 5 |- ( ( A e. RR* /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 <_ C ) ) -> C e. RR* )
5	4	ad2antrr 732	. . . 4 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 <_ C ) ) /\ 0 < B ) /\ A e. RR ) -> C e. RR* )
6		xadddi 11581	. . . 4 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) -> ( A xe ( B +e C ) ) = ( ( A xe B ) +e ( A xe C ) ) )
7	1, 3, 5, 6	syl3anc 1268	. . 3 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 <_ C ) ) /\ 0 < B ) /\ A e. RR ) -> ( A xe ( B +e C ) ) = ( ( A xe B ) +e ( A xe C ) ) )
8		pnfxr 11412	. . . . . 6 |- +oo e. RR*
9	4	adantr 467	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. RR* /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 <_ C ) ) /\ 0 < B ) -> C e. RR* )
10	9	adantr 467	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 <_ C ) ) /\ 0 < B ) /\ A = +oo ) -> C e. RR* )
11		xmulcl 11559	. . . . . 6 |- ( ( +oo e. RR* /\ C e. RR* ) -> ( +oo xe C ) e. RR* )
12	8, 10, 11	sylancr 669	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 <_ C ) ) /\ 0 < B ) /\ A = +oo ) -> ( +oo xe C ) e. RR* )
13	8, 9, 11	sylancr 669	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. RR* /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 <_ C ) ) /\ 0 < B ) -> ( +oo xe C ) e. RR* )
14		simpl3r 1064	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. RR* /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 <_ C ) ) /\ 0 < B ) -> 0 <_ C )
15		0lepnf 11433	. . . . . . . . 9 |- 0 <_ +oo
16		xmulge0 11570	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( +oo e. RR* /\ 0 <_ +oo ) /\ ( C e. RR* /\ 0 <_ C ) ) -> 0 <_ ( +oo xe C ) )
17	8, 15, 16	mpanl12 688	. . . . . . . 8 |- ( ( C e. RR* /\ 0 <_ C ) -> 0 <_ ( +oo xe C ) )
18	9, 14, 17	syl2anc 667	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. RR* /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 <_ C ) ) /\ 0 < B ) -> 0 <_ ( +oo xe C ) )
19		ge0nemnf 11468	. . . . . . 7 |- ( ( ( +oo xe C ) e. RR* /\ 0 <_ ( +oo xe C ) ) -> ( +oo xe C ) =/= -oo )
20	13, 18, 19	syl2anc 667	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. RR* /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 <_ C ) ) /\ 0 < B ) -> ( +oo xe C ) =/= -oo )
21	20	adantr 467	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 <_ C ) ) /\ 0 < B ) /\ A = +oo ) -> ( +oo xe C ) =/= -oo )
22		xaddpnf2 11520	. . . . 5 |- ( ( ( +oo xe C ) e. RR* /\ ( +oo xe C ) =/= -oo ) -> ( +oo +e ( +oo xe C ) ) = +oo )
23	12, 21, 22	syl2anc 667	. . . 4 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 <_ C ) ) /\ 0 < B ) /\ A = +oo ) -> ( +oo +e ( +oo xe C ) ) = +oo )
24		oveq1 6297	. . . . . 6 |- ( A = +oo -> ( A xe B ) = ( +oo xe B ) )
25		oveq1 6297	. . . . . 6 |- ( A = +oo -> ( A xe C ) = ( +oo xe C ) )
26	24, 25	oveq12d 6308	. . . . 5 |- ( A = +oo -> ( ( A xe B ) +e ( A xe C ) ) = ( ( +oo xe B ) +e ( +oo xe C ) ) )
27		xmulpnf2 11561	. . . . . . 7 |- ( ( B e. RR* /\ 0 < B ) -> ( +oo xe B ) = +oo )
28	2, 27	sylan 474	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. RR* /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 <_ C ) ) /\ 0 < B ) -> ( +oo xe B ) = +oo )
29	28	oveq1d 6305	. . . . 5 |- ( ( ( A e. RR* /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 <_ C ) ) /\ 0 < B ) -> ( ( +oo xe B ) +e ( +oo xe C ) ) = ( +oo +e ( +oo xe C ) ) )
30	26, 29	sylan9eqr 2507	. . . 4 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 <_ C ) ) /\ 0 < B ) /\ A = +oo ) -> ( ( A xe B ) +e ( A xe C ) ) = ( +oo +e ( +oo xe C ) ) )
31		oveq1 6297	. . . . 5 |- ( A = +oo -> ( A xe ( B +e C ) ) = ( +oo xe ( B +e C ) ) )
32		xaddcl 11530	. . . . . . . 8 |- ( ( B e. RR* /\ C e. RR* ) -> ( B +e C ) e. RR* )
33	2, 4, 32	syl2anc 667	. . . . . . 7 |- ( ( A e. RR* /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 <_ C ) ) -> ( B +e C ) e. RR* )
34	33	adantr 467	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. RR* /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 <_ C ) ) /\ 0 < B ) -> ( B +e C ) e. RR* )
35		0xr 9687	. . . . . . . 8 |- 0 e. RR*
36	35	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. RR* /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 <_ C ) ) /\ 0 < B ) -> 0 e. RR* )
37	2	adantr 467	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. RR* /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 <_ C ) ) /\ 0 < B ) -> B e. RR* )
38		simpr 463	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. RR* /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 <_ C ) ) /\ 0 < B ) -> 0 < B )
39		xaddid1 11532	. . . . . . . . 9 |- ( B e. RR* -> ( B +e 0 ) = B )
40	37, 39	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. RR* /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 <_ C ) ) /\ 0 < B ) -> ( B +e 0 ) = B )
41		xleadd2a 11540	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( 0 e. RR* /\ C e. RR* /\ B e. RR* ) /\ 0 <_ C ) -> ( B +e 0 ) <_ ( B +e C ) )
42	36, 9, 37, 14, 41	syl31anc 1271	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. RR* /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 <_ C ) ) /\ 0 < B ) -> ( B +e 0 ) <_ ( B +e C ) )
43	40, 42	eqbrtrrd 4425	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. RR* /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 <_ C ) ) /\ 0 < B ) -> B <_ ( B +e C ) )
44	36, 37, 34, 38, 43	xrltletrd 11458	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. RR* /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 <_ C ) ) /\ 0 < B ) -> 0 < ( B +e C ) )
45		xmulpnf2 11561	. . . . . 6 |- ( ( ( B +e C ) e. RR* /\ 0 < ( B +e C ) ) -> ( +oo xe ( B +e C ) ) = +oo )
46	34, 44, 45	syl2anc 667	. . . . 5 |- ( ( ( A e. RR* /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 <_ C ) ) /\ 0 < B ) -> ( +oo xe ( B +e C ) ) = +oo )
47	31, 46	sylan9eqr 2507	. . . 4 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 <_ C ) ) /\ 0 < B ) /\ A = +oo ) -> ( A xe ( B +e C ) ) = +oo )
48	23, 30, 47	3eqtr4rd 2496	. . 3 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 <_ C ) ) /\ 0 < B ) /\ A = +oo ) -> ( A xe ( B +e C ) ) = ( ( A xe B ) +e ( A xe C ) ) )
49		mnfxr 11414	. . . . . . 7 |- -oo e. RR*
50		xmulcl 11559	. . . . . . 7 |- ( ( -oo e. RR* /\ C e. RR* ) -> ( -oo xe C ) e. RR* )
51	49, 9, 50	sylancr 669	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. RR* /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 <_ C ) ) /\ 0 < B ) -> ( -oo xe C ) e. RR* )
52		xnegmnf 11503	. . . . . . . . . . . 12 |- -e -oo = +oo
53	52	oveq1i 6300	. . . . . . . . . . 11 |- ( -e -oo xe C ) = ( +oo xe C )
54		xmulneg1 11555	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( -oo e. RR* /\ C e. RR* ) -> ( -e -oo xe C ) = -e ( -oo xe C ) )
55	49, 9, 54	sylancr 669	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. RR* /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 <_ C ) ) /\ 0 < B ) -> ( -e -oo xe C ) = -e ( -oo xe C ) )
56	53, 55	syl5reqr 2500	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. RR* /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 <_ C ) ) /\ 0 < B ) -> -e ( -oo xe C ) = ( +oo xe C ) )
57		xnegpnf 11502	. . . . . . . . . . 11 |- -e +oo = -oo
58	57	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. RR* /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 <_ C ) ) /\ 0 < B ) -> -e +oo = -oo )
59	56, 58	eqeq12d 2466	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. RR* /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 <_ C ) ) /\ 0 < B ) -> ( -e ( -oo xe C ) = -e +oo <-> ( +oo xe C ) = -oo ) )
60		xneg11 11508	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( -oo xe C ) e. RR* /\ +oo e. RR* ) -> ( -e ( -oo xe C ) = -e +oo <-> ( -oo xe C ) = +oo ) )
61	51, 8, 60	sylancl 668	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. RR* /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 <_ C ) ) /\ 0 < B ) -> ( -e ( -oo xe C ) = -e +oo <-> ( -oo xe C ) = +oo ) )
62	59, 61	bitr3d 259	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. RR* /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 <_ C ) ) /\ 0 < B ) -> ( ( +oo xe C ) = -oo <-> ( -oo xe C ) = +oo ) )
63	62	necon3bid 2668	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. RR* /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 <_ C ) ) /\ 0 < B ) -> ( ( +oo xe C ) =/= -oo <-> ( -oo xe C ) =/= +oo ) )
64	20, 63	mpbid 214	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. RR* /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 <_ C ) ) /\ 0 < B ) -> ( -oo xe C ) =/= +oo )
65		xaddmnf2 11522	. . . . . 6 |- ( ( ( -oo xe C ) e. RR* /\ ( -oo xe C ) =/= +oo ) -> ( -oo +e ( -oo xe C ) ) = -oo )
66	51, 64, 65	syl2anc 667	. . . . 5 |- ( ( ( A e. RR* /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 <_ C ) ) /\ 0 < B ) -> ( -oo +e ( -oo xe C ) ) = -oo )
67	66	adantr 467	. . . 4 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 <_ C ) ) /\ 0 < B ) /\ A = -oo ) -> ( -oo +e ( -oo xe C ) ) = -oo )
68		oveq1 6297	. . . . . 6 |- ( A = -oo -> ( A xe B ) = ( -oo xe B ) )
69		oveq1 6297	. . . . . 6 |- ( A = -oo -> ( A xe C ) = ( -oo xe C ) )
70	68, 69	oveq12d 6308	. . . . 5 |- ( A = -oo -> ( ( A xe B ) +e ( A xe C ) ) = ( ( -oo xe B ) +e ( -oo xe C ) ) )
71		xmulmnf2 11563	. . . . . . 7 |- ( ( B e. RR* /\ 0 < B ) -> ( -oo xe B ) = -oo )
72	2, 71	sylan 474	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. RR* /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 <_ C ) ) /\ 0 < B ) -> ( -oo xe B ) = -oo )
73	72	oveq1d 6305	. . . . 5 |- ( ( ( A e. RR* /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 <_ C ) ) /\ 0 < B ) -> ( ( -oo xe B ) +e ( -oo xe C ) ) = ( -oo +e ( -oo xe C ) ) )
74	70, 73	sylan9eqr 2507	. . . 4 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 <_ C ) ) /\ 0 < B ) /\ A = -oo ) -> ( ( A xe B ) +e ( A xe C ) ) = ( -oo +e ( -oo xe C ) ) )
75		oveq1 6297	. . . . 5 |- ( A = -oo -> ( A xe ( B +e C ) ) = ( -oo xe ( B +e C ) ) )
76		xmulmnf2 11563	. . . . . 6 |- ( ( ( B +e C ) e. RR* /\ 0 < ( B +e C ) ) -> ( -oo xe ( B +e C ) ) = -oo )
77	34, 44, 76	syl2anc 667	. . . . 5 |- ( ( ( A e. RR* /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 <_ C ) ) /\ 0 < B ) -> ( -oo xe ( B +e C ) ) = -oo )
78	75, 77	sylan9eqr 2507	. . . 4 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 <_ C ) ) /\ 0 < B ) /\ A = -oo ) -> ( A xe ( B +e C ) ) = -oo )
79	67, 74, 78	3eqtr4rd 2496	. . 3 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 <_ C ) ) /\ 0 < B ) /\ A = -oo ) -> ( A xe ( B +e C ) ) = ( ( A xe B ) +e ( A xe C ) ) )
80		simpl1 1011	. . . 4 |- ( ( ( A e. RR* /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 <_ C ) ) /\ 0 < B ) -> A e. RR* )
81		elxr 11416	. . . 4 |- ( A e. RR* <-> ( A e. RR \/ A = +oo \/ A = -oo ) )
82	80, 81	sylib 200	. . 3 |- ( ( ( A e. RR* /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 <_ C ) ) /\ 0 < B ) -> ( A e. RR \/ A = +oo \/ A = -oo ) )
83	7, 48, 79, 82	mpjao3dan 1335	. 2 |- ( ( ( A e. RR* /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 <_ C ) ) /\ 0 < B ) -> ( A xe ( B +e C ) ) = ( ( A xe B ) +e ( A xe C ) ) )
84		simp1 1008	. . . . . 6 |- ( ( A e. RR* /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 <_ C ) ) -> A e. RR* )
85		xmulcl 11559	. . . . . 6 |- ( ( A e. RR* /\ C e. RR* ) -> ( A xe C ) e. RR* )
86	84, 4, 85	syl2anc 667	. . . . 5 |- ( ( A e. RR* /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 <_ C ) ) -> ( A xe C ) e. RR* )
87	86	adantr 467	. . . 4 |- ( ( ( A e. RR* /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 <_ C ) ) /\ 0 = B ) -> ( A xe C ) e. RR* )
88		xaddid2 11533	. . . 4 |- ( ( A xe C ) e. RR* -> ( 0 +e ( A xe C ) ) = ( A xe C ) )
89	87, 88	syl 17	. . 3 |- ( ( ( A e. RR* /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 <_ C ) ) /\ 0 = B ) -> ( 0 +e ( A xe C ) ) = ( A xe C ) )
90		oveq2 6298	. . . . . 6 |- ( 0 = B -> ( A xe 0 ) = ( A xe B ) )
91	90	eqcomd 2457	. . . . 5 |- ( 0 = B -> ( A xe B ) = ( A xe 0 ) )
92		xmul01 11553	. . . . . 6 |- ( A e. RR* -> ( A xe 0 ) = 0 )
93	92	3ad2ant1 1029	. . . . 5 |- ( ( A e. RR* /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 <_ C ) ) -> ( A xe 0 ) = 0 )
94	91, 93	sylan9eqr 2507	. . . 4 |- ( ( ( A e. RR* /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 <_ C ) ) /\ 0 = B ) -> ( A xe B ) = 0 )
95	94	oveq1d 6305	. . 3 |- ( ( ( A e. RR* /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 <_ C ) ) /\ 0 = B ) -> ( ( A xe B ) +e ( A xe C ) ) = ( 0 +e ( A xe C ) ) )
96		oveq1 6297	. . . . . 6 |- ( 0 = B -> ( 0 +e C ) = ( B +e C ) )
97	96	eqcomd 2457	. . . . 5 |- ( 0 = B -> ( B +e C ) = ( 0 +e C ) )
98		xaddid2 11533	. . . . . 6 |- ( C e. RR* -> ( 0 +e C ) = C )
99	4, 98	syl 17	. . . . 5 |- ( ( A e. RR* /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 <_ C ) ) -> ( 0 +e C ) = C )
100	97, 99	sylan9eqr 2507	. . . 4 |- ( ( ( A e. RR* /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 <_ C ) ) /\ 0 = B ) -> ( B +e C ) = C )
101	100	oveq2d 6306	. . 3 |- ( ( ( A e. RR* /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 <_ C ) ) /\ 0 = B ) -> ( A xe ( B +e C ) ) = ( A xe C ) )
102	89, 95, 101	3eqtr4rd 2496	. 2 |- ( ( ( A e. RR* /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 <_ C ) ) /\ 0 = B ) -> ( A xe ( B +e C ) ) = ( ( A xe B ) +e ( A xe C ) ) )
103		simp2r 1035	. . 3 |- ( ( A e. RR* /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 <_ C ) ) -> 0 <_ B )
104		xrleloe 11443	. . . 4 |- ( ( 0 e. RR* /\ B e. RR* ) -> ( 0 <_ B <-> ( 0 < B \/ 0 = B ) ) )
105	35, 2, 104	sylancr 669	. . 3 |- ( ( A e. RR* /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 <_ C ) ) -> ( 0 <_ B <-> ( 0 < B \/ 0 = B ) ) )
106	103, 105	mpbid 214	. 2 |- ( ( A e. RR* /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 <_ C ) ) -> ( 0 < B \/ 0 = B ) )
107	83, 102, 106	mpjaodan 795	1 |- ( ( A e. RR* /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 <_ C ) ) -> ( A xe ( B +e C ) ) = ( ( A xe B ) +e ( A xe C ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 188   \/ wo 370   /\ wa 371   \/ w3o 984   /\ w3a 985   = wceq 1444   e. wcel 1887   =/= wne 2622   class class class wbr 4402  (class class class)co 6290   RRcr 9538   0cc0 9539   +oocpnf 9672   -oocmnf 9673   RR*cxr 9674   < clt 9675   <_ cle 9676   -ecxne 11406   +ecxad 11407   xecxmu 11408

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616

This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-nel 2625  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-op 3975  df-uni 4199  df-iun 4280  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-riota 6252  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-1st 6793  df-2nd 6794  df-er 7363  df-en 7570  df-dom 7571  df-sdom 7572  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-xneg 11409  df-xadd 11410  df-xmul 11411

This theorem is referenced by:  xadddi2r  11584