MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xadddi2 Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem xadddi2 11608
Description: The assumption that the multiplier be real in xadddi 11606 can be relaxed if the addends have the same sign. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
xadddi2  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  ( B  e.  RR*  /\  0  <_  B )  /\  ( C  e.  RR*  /\  0  <_  C ) )  -> 
( A xe ( B +e
C ) )  =  ( ( A xe B ) +e ( A xe C ) ) )

Proof of Theorem xadddi2
StepHypRef Expression
1 simpr 468 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  e. 
RR*  /\  ( B  e.  RR*  /\  0  <_  B )  /\  ( C  e.  RR*  /\  0  <_  C ) )  /\  0  <  B )  /\  A  e.  RR )  ->  A  e.  RR )
2 simp2l 1056 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  ( B  e.  RR*  /\  0  <_  B )  /\  ( C  e.  RR*  /\  0  <_  C ) )  ->  B  e.  RR* )
32ad2antrr 740 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  e. 
RR*  /\  ( B  e.  RR*  /\  0  <_  B )  /\  ( C  e.  RR*  /\  0  <_  C ) )  /\  0  <  B )  /\  A  e.  RR )  ->  B  e.  RR* )
4 simp3l 1058 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  ( B  e.  RR*  /\  0  <_  B )  /\  ( C  e.  RR*  /\  0  <_  C ) )  ->  C  e.  RR* )
54ad2antrr 740 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  e. 
RR*  /\  ( B  e.  RR*  /\  0  <_  B )  /\  ( C  e.  RR*  /\  0  <_  C ) )  /\  0  <  B )  /\  A  e.  RR )  ->  C  e.  RR* )
6 xadddi 11606 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR*  /\  C  e.  RR* )  ->  ( A xe ( B +e C ) )  =  ( ( A xe B ) +e ( A xe C ) ) )
71, 3, 5, 6syl3anc 1292 . . 3  |-  ( ( ( ( A  e. 
RR*  /\  ( B  e.  RR*  /\  0  <_  B )  /\  ( C  e.  RR*  /\  0  <_  C ) )  /\  0  <  B )  /\  A  e.  RR )  ->  ( A xe ( B +e
C ) )  =  ( ( A xe B ) +e ( A xe C ) ) )
8 pnfxr 11435 . . . . . 6  |- +oo  e.  RR*
94adantr 472 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  ( B  e.  RR*  /\  0  <_  B )  /\  ( C  e.  RR*  /\  0  <_  C )
)  /\  0  <  B )  ->  C  e.  RR* )
109adantr 472 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e. 
RR*  /\  ( B  e.  RR*  /\  0  <_  B )  /\  ( C  e.  RR*  /\  0  <_  C ) )  /\  0  <  B )  /\  A  = +oo )  ->  C  e.  RR* )
11 xmulcl 11584 . . . . . 6  |-  ( ( +oo  e.  RR*  /\  C  e.  RR* )  ->  ( +oo xe C )  e.  RR* )
128, 10, 11sylancr 676 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e. 
RR*  /\  ( B  e.  RR*  /\  0  <_  B )  /\  ( C  e.  RR*  /\  0  <_  C ) )  /\  0  <  B )  /\  A  = +oo )  ->  ( +oo xe C )  e.  RR* )
138, 9, 11sylancr 676 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  ( B  e.  RR*  /\  0  <_  B )  /\  ( C  e.  RR*  /\  0  <_  C )
)  /\  0  <  B )  ->  ( +oo xe C )  e.  RR* )
14 simpl3r 1086 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  ( B  e.  RR*  /\  0  <_  B )  /\  ( C  e.  RR*  /\  0  <_  C )
)  /\  0  <  B )  ->  0  <_  C )
15 0lepnf 11456 . . . . . . . . 9  |-  0  <_ +oo
16 xmulge0 11595 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( +oo  e.  RR*  /\  0  <_ +oo )  /\  ( C  e.  RR*  /\  0  <_  C )
)  ->  0  <_  ( +oo xe C ) )
178, 15, 16mpanl12 696 . . . . . . . 8  |-  ( ( C  e.  RR*  /\  0  <_  C )  ->  0  <_  ( +oo xe C ) )
189, 14, 17syl2anc 673 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  ( B  e.  RR*  /\  0  <_  B )  /\  ( C  e.  RR*  /\  0  <_  C )
)  /\  0  <  B )  ->  0  <_  ( +oo xe C ) )
19 ge0nemnf 11491 . . . . . . 7  |-  ( ( ( +oo xe C )  e.  RR*  /\  0  <_  ( +oo xe C ) )  ->  ( +oo xe C )  =/= -oo )
2013, 18, 19syl2anc 673 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  ( B  e.  RR*  /\  0  <_  B )  /\  ( C  e.  RR*  /\  0  <_  C )
)  /\  0  <  B )  ->  ( +oo xe C )  =/= -oo )
2120adantr 472 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e. 
RR*  /\  ( B  e.  RR*  /\  0  <_  B )  /\  ( C  e.  RR*  /\  0  <_  C ) )  /\  0  <  B )  /\  A  = +oo )  ->  ( +oo xe C )  =/= -oo )
22 xaddpnf2 11543 . . . . 5  |-  ( ( ( +oo xe C )  e.  RR*  /\  ( +oo xe C )  =/= -oo )  ->  ( +oo +e ( +oo xe C ) )  = +oo )
2312, 21, 22syl2anc 673 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  e. 
RR*  /\  ( B  e.  RR*  /\  0  <_  B )  /\  ( C  e.  RR*  /\  0  <_  C ) )  /\  0  <  B )  /\  A  = +oo )  ->  ( +oo +e
( +oo xe C ) )  = +oo )
24 oveq1 6315 . . . . . 6  |-  ( A  = +oo  ->  ( A xe B )  =  ( +oo xe B ) )
25 oveq1 6315 . . . . . 6  |-  ( A  = +oo  ->  ( A xe C )  =  ( +oo xe C ) )
2624, 25oveq12d 6326 . . . . 5  |-  ( A  = +oo  ->  (
( A xe B ) +e
( A xe C ) )  =  ( ( +oo xe B ) +e ( +oo xe C ) ) )
27 xmulpnf2 11586 . . . . . . 7  |-  ( ( B  e.  RR*  /\  0  <  B )  ->  ( +oo xe B )  = +oo )
282, 27sylan 479 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  ( B  e.  RR*  /\  0  <_  B )  /\  ( C  e.  RR*  /\  0  <_  C )
)  /\  0  <  B )  ->  ( +oo xe B )  = +oo )
2928oveq1d 6323 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  ( B  e.  RR*  /\  0  <_  B )  /\  ( C  e.  RR*  /\  0  <_  C )
)  /\  0  <  B )  ->  ( ( +oo xe B ) +e ( +oo xe C ) )  =  ( +oo +e ( +oo xe C ) ) )
3026, 29sylan9eqr 2527 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  e. 
RR*  /\  ( B  e.  RR*  /\  0  <_  B )  /\  ( C  e.  RR*  /\  0  <_  C ) )  /\  0  <  B )  /\  A  = +oo )  ->  ( ( A xe B ) +e ( A xe C ) )  =  ( +oo +e ( +oo xe C ) ) )
31 oveq1 6315 . . . . 5  |-  ( A  = +oo  ->  ( A xe ( B +e C ) )  =  ( +oo xe ( B +e C ) ) )
32 xaddcl 11554 . . . . . . . 8  |-  ( ( B  e.  RR*  /\  C  e.  RR* )  ->  ( B +e C )  e.  RR* )
332, 4, 32syl2anc 673 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  ( B  e.  RR*  /\  0  <_  B )  /\  ( C  e.  RR*  /\  0  <_  C ) )  -> 
( B +e
C )  e.  RR* )
3433adantr 472 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  ( B  e.  RR*  /\  0  <_  B )  /\  ( C  e.  RR*  /\  0  <_  C )
)  /\  0  <  B )  ->  ( B +e C )  e.  RR* )
35 0xr 9705 . . . . . . . 8  |-  0  e.  RR*
3635a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  ( B  e.  RR*  /\  0  <_  B )  /\  ( C  e.  RR*  /\  0  <_  C )
)  /\  0  <  B )  ->  0  e.  RR* )
372adantr 472 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  ( B  e.  RR*  /\  0  <_  B )  /\  ( C  e.  RR*  /\  0  <_  C )
)  /\  0  <  B )  ->  B  e.  RR* )
38 simpr 468 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  ( B  e.  RR*  /\  0  <_  B )  /\  ( C  e.  RR*  /\  0  <_  C )
)  /\  0  <  B )  ->  0  <  B )
39 xaddid1 11556 . . . . . . . . 9  |-  ( B  e.  RR*  ->  ( B +e 0 )  =  B )
4037, 39syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  ( B  e.  RR*  /\  0  <_  B )  /\  ( C  e.  RR*  /\  0  <_  C )
)  /\  0  <  B )  ->  ( B +e 0 )  =  B )
41 xleadd2a 11565 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( 0  e.  RR*  /\  C  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  0  <_  C )  ->  ( B +e 0 )  <_  ( B +e C ) )
4236, 9, 37, 14, 41syl31anc 1295 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  ( B  e.  RR*  /\  0  <_  B )  /\  ( C  e.  RR*  /\  0  <_  C )
)  /\  0  <  B )  ->  ( B +e 0 )  <_  ( B +e C ) )
4340, 42eqbrtrrd 4418 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  ( B  e.  RR*  /\  0  <_  B )  /\  ( C  e.  RR*  /\  0  <_  C )
)  /\  0  <  B )  ->  B  <_  ( B +e C ) )
4436, 37, 34, 38, 43xrltletrd 11481 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  ( B  e.  RR*  /\  0  <_  B )  /\  ( C  e.  RR*  /\  0  <_  C )
)  /\  0  <  B )  ->  0  <  ( B +e C ) )
45 xmulpnf2 11586 . . . . . 6  |-  ( ( ( B +e
C )  e.  RR*  /\  0  <  ( B +e C ) )  ->  ( +oo xe ( B +e C ) )  = +oo )
4634, 44, 45syl2anc 673 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  ( B  e.  RR*  /\  0  <_  B )  /\  ( C  e.  RR*  /\  0  <_  C )
)  /\  0  <  B )  ->  ( +oo xe ( B +e C ) )  = +oo )
4731, 46sylan9eqr 2527 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  e. 
RR*  /\  ( B  e.  RR*  /\  0  <_  B )  /\  ( C  e.  RR*  /\  0  <_  C ) )  /\  0  <  B )  /\  A  = +oo )  ->  ( A xe ( B +e
C ) )  = +oo )
4823, 30, 473eqtr4rd 2516 . . 3  |-  ( ( ( ( A  e. 
RR*  /\  ( B  e.  RR*  /\  0  <_  B )  /\  ( C  e.  RR*  /\  0  <_  C ) )  /\  0  <  B )  /\  A  = +oo )  ->  ( A xe ( B +e
C ) )  =  ( ( A xe B ) +e ( A xe C ) ) )
49 mnfxr 11437 . . . . . . 7  |- -oo  e.  RR*
50 xmulcl 11584 . . . . . . 7  |-  ( ( -oo  e.  RR*  /\  C  e.  RR* )  ->  ( -oo xe C )  e.  RR* )
5149, 9, 50sylancr 676 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  ( B  e.  RR*  /\  0  <_  B )  /\  ( C  e.  RR*  /\  0  <_  C )
)  /\  0  <  B )  ->  ( -oo xe C )  e.  RR* )
52 xnegmnf 11526 . . . . . . . . . . . 12  |-  -e -oo  = +oo
5352oveq1i 6318 . . . . . . . . . . 11  |-  (  -e -oo xe C )  =  ( +oo xe C )
54 xmulneg1 11580 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( -oo  e.  RR*  /\  C  e.  RR* )  ->  (  -e -oo xe C )  =  -e ( -oo xe C ) )
5549, 9, 54sylancr 676 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  ( B  e.  RR*  /\  0  <_  B )  /\  ( C  e.  RR*  /\  0  <_  C )
)  /\  0  <  B )  ->  (  -e -oo xe C )  =  -e ( -oo xe C ) )
5653, 55syl5reqr 2520 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  ( B  e.  RR*  /\  0  <_  B )  /\  ( C  e.  RR*  /\  0  <_  C )
)  /\  0  <  B )  ->  -e ( -oo xe C )  =  ( +oo xe C ) )
57 xnegpnf 11525 . . . . . . . . . . 11  |-  -e +oo  = -oo
5857a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  ( B  e.  RR*  /\  0  <_  B )  /\  ( C  e.  RR*  /\  0  <_  C )
)  /\  0  <  B )  ->  -e +oo  = -oo )
5956, 58eqeq12d 2486 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  ( B  e.  RR*  /\  0  <_  B )  /\  ( C  e.  RR*  /\  0  <_  C )
)  /\  0  <  B )  ->  (  -e
( -oo xe C )  =  -e +oo 
<->  ( +oo xe C )  = -oo ) )
60 xneg11 11531 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( -oo xe C )  e.  RR*  /\ +oo  e.  RR* )  ->  (  -e ( -oo xe C )  = 
-e +oo  <->  ( -oo xe C )  = +oo ) )
6151, 8, 60sylancl 675 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  ( B  e.  RR*  /\  0  <_  B )  /\  ( C  e.  RR*  /\  0  <_  C )
)  /\  0  <  B )  ->  (  -e
( -oo xe C )  =  -e +oo 
<->  ( -oo xe C )  = +oo ) )
6259, 61bitr3d 263 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  ( B  e.  RR*  /\  0  <_  B )  /\  ( C  e.  RR*  /\  0  <_  C )
)  /\  0  <  B )  ->  ( ( +oo xe C )  = -oo  <->  ( -oo xe C )  = +oo ) )
6362necon3bid 2687 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  ( B  e.  RR*  /\  0  <_  B )  /\  ( C  e.  RR*  /\  0  <_  C )
)  /\  0  <  B )  ->  ( ( +oo xe C )  =/= -oo  <->  ( -oo xe C )  =/= +oo ) )
6420, 63mpbid 215 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  ( B  e.  RR*  /\  0  <_  B )  /\  ( C  e.  RR*  /\  0  <_  C )
)  /\  0  <  B )  ->  ( -oo xe C )  =/= +oo )
65 xaddmnf2 11545 . . . . . 6  |-  ( ( ( -oo xe C )  e.  RR*  /\  ( -oo xe C )  =/= +oo )  ->  ( -oo +e ( -oo xe C ) )  = -oo )
6651, 64, 65syl2anc 673 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  ( B  e.  RR*  /\  0  <_  B )  /\  ( C  e.  RR*  /\  0  <_  C )
)  /\  0  <  B )  ->  ( -oo +e ( -oo xe C ) )  = -oo )
6766adantr 472 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  e. 
RR*  /\  ( B  e.  RR*  /\  0  <_  B )  /\  ( C  e.  RR*  /\  0  <_  C ) )  /\  0  <  B )  /\  A  = -oo )  ->  ( -oo +e
( -oo xe C ) )  = -oo )
68 oveq1 6315 . . . . . 6  |-  ( A  = -oo  ->  ( A xe B )  =  ( -oo xe B ) )
69 oveq1 6315 . . . . . 6  |-  ( A  = -oo  ->  ( A xe C )  =  ( -oo xe C ) )
7068, 69oveq12d 6326 . . . . 5  |-  ( A  = -oo  ->  (
( A xe B ) +e
( A xe C ) )  =  ( ( -oo xe B ) +e ( -oo xe C ) ) )
71 xmulmnf2 11588 . . . . . . 7  |-  ( ( B  e.  RR*  /\  0  <  B )  ->  ( -oo xe B )  = -oo )
722, 71sylan 479 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  ( B  e.  RR*  /\  0  <_  B )  /\  ( C  e.  RR*  /\  0  <_  C )
)  /\  0  <  B )  ->  ( -oo xe B )  = -oo )
7372oveq1d 6323 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  ( B  e.  RR*  /\  0  <_  B )  /\  ( C  e.  RR*  /\  0  <_  C )
)  /\  0  <  B )  ->  ( ( -oo xe B ) +e ( -oo xe C ) )  =  ( -oo +e ( -oo xe C ) ) )
7470, 73sylan9eqr 2527 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  e. 
RR*  /\  ( B  e.  RR*  /\  0  <_  B )  /\  ( C  e.  RR*  /\  0  <_  C ) )  /\  0  <  B )  /\  A  = -oo )  ->  ( ( A xe B ) +e ( A xe C ) )  =  ( -oo +e ( -oo xe C ) ) )
75 oveq1 6315 . . . . 5  |-  ( A  = -oo  ->  ( A xe ( B +e C ) )  =  ( -oo xe ( B +e C ) ) )
76 xmulmnf2 11588 . . . . . 6  |-  ( ( ( B +e
C )  e.  RR*  /\  0  <  ( B +e C ) )  ->  ( -oo xe ( B +e C ) )  = -oo )
7734, 44, 76syl2anc 673 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  ( B  e.  RR*  /\  0  <_  B )  /\  ( C  e.  RR*  /\  0  <_  C )
)  /\  0  <  B )  ->  ( -oo xe ( B +e C ) )  = -oo )
7875, 77sylan9eqr 2527 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  e. 
RR*  /\  ( B  e.  RR*  /\  0  <_  B )  /\  ( C  e.  RR*  /\  0  <_  C ) )  /\  0  <  B )  /\  A  = -oo )  ->  ( A xe ( B +e
C ) )  = -oo )
7967, 74, 783eqtr4rd 2516 . . 3  |-  ( ( ( ( A  e. 
RR*  /\  ( B  e.  RR*  /\  0  <_  B )  /\  ( C  e.  RR*  /\  0  <_  C ) )  /\  0  <  B )  /\  A  = -oo )  ->  ( A xe ( B +e
C ) )  =  ( ( A xe B ) +e ( A xe C ) ) )
80 simpl1 1033 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  ( B  e.  RR*  /\  0  <_  B )  /\  ( C  e.  RR*  /\  0  <_  C )
)  /\  0  <  B )  ->  A  e.  RR* )
81 elxr 11439 . . . 4  |-  ( A  e.  RR*  <->  ( A  e.  RR  \/  A  = +oo  \/  A  = -oo ) )
8280, 81sylib 201 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  ( B  e.  RR*  /\  0  <_  B )  /\  ( C  e.  RR*  /\  0  <_  C )
)  /\  0  <  B )  ->  ( A  e.  RR  \/  A  = +oo  \/  A  = -oo ) )
837, 48, 79, 82mpjao3dan 1361 . 2  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  ( B  e.  RR*  /\  0  <_  B )  /\  ( C  e.  RR*  /\  0  <_  C )
)  /\  0  <  B )  ->  ( A xe ( B +e C ) )  =  ( ( A xe B ) +e ( A xe C ) ) )
84 simp1 1030 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  ( B  e.  RR*  /\  0  <_  B )  /\  ( C  e.  RR*  /\  0  <_  C ) )  ->  A  e.  RR* )
85 xmulcl 11584 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  C  e.  RR* )  ->  ( A xe C )  e.  RR* )
8684, 4, 85syl2anc 673 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  ( B  e.  RR*  /\  0  <_  B )  /\  ( C  e.  RR*  /\  0  <_  C ) )  -> 
( A xe C )  e.  RR* )
8786adantr 472 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  ( B  e.  RR*  /\  0  <_  B )  /\  ( C  e.  RR*  /\  0  <_  C )
)  /\  0  =  B )  ->  ( A xe C )  e.  RR* )
88 xaddid2 11557 . . . 4  |-  ( ( A xe C )  e.  RR*  ->  ( 0 +e ( A xe C ) )  =  ( A xe C ) )
8987, 88syl 17 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  ( B  e.  RR*  /\  0  <_  B )  /\  ( C  e.  RR*  /\  0  <_  C )
)  /\  0  =  B )  ->  (
0 +e ( A xe C ) )  =  ( A xe C ) )
90 oveq2 6316 . . . . . 6  |-  ( 0  =  B  ->  ( A xe 0 )  =  ( A xe B ) )
9190eqcomd 2477 . . . . 5  |-  ( 0  =  B  ->  ( A xe B )  =  ( A xe 0 ) )
92 xmul01 11578 . . . . . 6  |-  ( A  e.  RR*  ->  ( A xe 0 )  =  0 )
93923ad2ant1 1051 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  ( B  e.  RR*  /\  0  <_  B )  /\  ( C  e.  RR*  /\  0  <_  C ) )  -> 
( A xe 0 )  =  0 )
9491, 93sylan9eqr 2527 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  ( B  e.  RR*  /\  0  <_  B )  /\  ( C  e.  RR*  /\  0  <_  C )
)  /\  0  =  B )  ->  ( A xe B )  =  0 )
9594oveq1d 6323 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  ( B  e.  RR*  /\  0  <_  B )  /\  ( C  e.  RR*  /\  0  <_  C )
)  /\  0  =  B )  ->  (
( A xe B ) +e
( A xe C ) )  =  ( 0 +e
( A xe C ) ) )
96 oveq1 6315 . . . . . 6  |-  ( 0  =  B  ->  (
0 +e C )  =  ( B +e C ) )
9796eqcomd 2477 . . . . 5  |-  ( 0  =  B  ->  ( B +e C )  =  ( 0 +e C ) )
98 xaddid2 11557 . . . . . 6  |-  ( C  e.  RR*  ->  ( 0 +e C )  =  C )
994, 98syl 17 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  ( B  e.  RR*  /\  0  <_  B )  /\  ( C  e.  RR*  /\  0  <_  C ) )  -> 
( 0 +e
C )  =  C )
10097, 99sylan9eqr 2527 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  ( B  e.  RR*  /\  0  <_  B )  /\  ( C  e.  RR*  /\  0  <_  C )
)  /\  0  =  B )  ->  ( B +e C )  =  C )
101100oveq2d 6324 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  ( B  e.  RR*  /\  0  <_  B )  /\  ( C  e.  RR*  /\  0  <_  C )
)  /\  0  =  B )  ->  ( A xe ( B +e C ) )  =  ( A xe C ) )
10289, 95, 1013eqtr4rd 2516 . 2  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  ( B  e.  RR*  /\  0  <_  B )  /\  ( C  e.  RR*  /\  0  <_  C )
)  /\  0  =  B )  ->  ( A xe ( B +e C ) )  =  ( ( A xe B ) +e ( A xe C ) ) )
103 simp2r 1057 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  ( B  e.  RR*  /\  0  <_  B )  /\  ( C  e.  RR*  /\  0  <_  C ) )  -> 
0  <_  B )
104 xrleloe 11466 . . . 4  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  (
0  <_  B  <->  ( 0  <  B  \/  0  =  B ) ) )
10535, 2, 104sylancr 676 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  ( B  e.  RR*  /\  0  <_  B )  /\  ( C  e.  RR*  /\  0  <_  C ) )  -> 
( 0  <_  B  <->  ( 0  <  B  \/  0  =  B )
) )
106103, 105mpbid 215 . 2  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  ( B  e.  RR*  /\  0  <_  B )  /\  ( C  e.  RR*  /\  0  <_  C ) )  -> 
( 0  <  B  \/  0  =  B
) )
10783, 102, 106mpjaodan 803 1  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  ( B  e.  RR*  /\  0  <_  B )  /\  ( C  e.  RR*  /\  0  <_  C ) )  -> 
( A xe ( B +e
C ) )  =  ( ( A xe B ) +e ( A xe C ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 189    \/ wo 375    /\ wa 376    \/ w3o 1006    /\ w3a 1007    = wceq 1452    e. wcel 1904    =/= wne 2641   class class class wbr 4395  (class class class)co 6308   RRcr 9556   0cc0 9557   +oocpnf 9690   -oocmnf 9691   RR*cxr 9692    < clt 9693    <_ cle 9694    -ecxne 11429   +ecxad 11430   xecxmu 11431
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-op 3966  df-uni 4191  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-er 7381  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-xneg 11432  df-xadd 11433  df-xmul 11434
This theorem is referenced by:  xadddi2r  11609
  Copyright terms: Public domain W3C validator