Theorem xadddi2 10832

Description: The assumption that the multiplier be real in xadddi 10830 can be relaxed if the addends have the same sign. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
xadddi2	|- ( ( A e. RR* /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 <_ C ) ) -> ( A x e ( B + e C ) ) = ( ( A x e B ) + e ( A x e C ) ) )

Proof of Theorem xadddi2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl1 960	. . . 4 |- ( ( ( A e. RR* /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 <_ C ) ) /\ 0 < B ) -> A e. RR* )
2		elxr 10672	. . . 4 |- ( A e. RR* <-> ( A e. RR \/ A = +oo \/ A = -oo ) )
3	1, 2	sylib 189	. . 3 |- ( ( ( A e. RR* /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 <_ C ) ) /\ 0 < B ) -> ( A e. RR \/ A = +oo \/ A = -oo ) )
4		simpr 448	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 <_ C ) ) /\ 0 < B ) /\ A e. RR ) -> A e. RR )
5		simp2l 983	. . . . . 6 |- ( ( A e. RR* /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 <_ C ) ) -> B e. RR* )
6	5	ad2antrr 707	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 <_ C ) ) /\ 0 < B ) /\ A e. RR ) -> B e. RR* )
7		simp3l 985	. . . . . 6 |- ( ( A e. RR* /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 <_ C ) ) -> C e. RR* )
8	7	ad2antrr 707	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 <_ C ) ) /\ 0 < B ) /\ A e. RR ) -> C e. RR* )
9		xadddi 10830	. . . . 5 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) -> ( A x e ( B + e C ) ) = ( ( A x e B ) + e ( A x e C ) ) )
10	4, 6, 8, 9	syl3anc 1184	. . . 4 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 <_ C ) ) /\ 0 < B ) /\ A e. RR ) -> ( A x e ( B + e C ) ) = ( ( A x e B ) + e ( A x e C ) ) )
11		pnfxr 10669	. . . . . . 7 |- +oo e. RR*
12	7	adantr 452	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. RR* /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 <_ C ) ) /\ 0 < B ) -> C e. RR* )
13	12	adantr 452	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 <_ C ) ) /\ 0 < B ) /\ A = +oo ) -> C e. RR* )
14		xmulcl 10808	. . . . . . 7 |- ( ( +oo e. RR* /\ C e. RR* ) -> ( +oo x e C ) e. RR* )
15	11, 13, 14	sylancr 645	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 <_ C ) ) /\ 0 < B ) /\ A = +oo ) -> ( +oo x e C ) e. RR* )
16	11, 12, 14	sylancr 645	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. RR* /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 <_ C ) ) /\ 0 < B ) -> ( +oo x e C ) e. RR* )
17		simpl3r 1013	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. RR* /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 <_ C ) ) /\ 0 < B ) -> 0 <_ C )
18		0xr 9087	. . . . . . . . . . 11 |- 0 e. RR*
19		pnfge 10683	. . . . . . . . . . 11 |- ( 0 e. RR* -> 0 <_ +oo )
20	18, 19	ax-mp 8	. . . . . . . . . 10 |- 0 <_ +oo
21		xmulge0 10819	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( +oo e. RR* /\ 0 <_ +oo ) /\ ( C e. RR* /\ 0 <_ C ) ) -> 0 <_ ( +oo x e C ) )
22	11, 20, 21	mpanl12 664	. . . . . . . . 9 |- ( ( C e. RR* /\ 0 <_ C ) -> 0 <_ ( +oo x e C ) )
23	12, 17, 22	syl2anc 643	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. RR* /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 <_ C ) ) /\ 0 < B ) -> 0 <_ ( +oo x e C ) )
24		ge0nemnf 10717	. . . . . . . 8 |- ( ( ( +oo x e C ) e. RR* /\ 0 <_ ( +oo x e C ) ) -> ( +oo x e C ) =/= -oo )
25	16, 23, 24	syl2anc 643	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. RR* /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 <_ C ) ) /\ 0 < B ) -> ( +oo x e C ) =/= -oo )
26	25	adantr 452	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 <_ C ) ) /\ 0 < B ) /\ A = +oo ) -> ( +oo x e C ) =/= -oo )
27		xaddpnf2 10769	. . . . . 6 |- ( ( ( +oo x e C ) e. RR* /\ ( +oo x e C ) =/= -oo ) -> ( +oo + e ( +oo x e C ) ) = +oo )
28	15, 26, 27	syl2anc 643	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 <_ C ) ) /\ 0 < B ) /\ A = +oo ) -> ( +oo + e ( +oo x e C ) ) = +oo )
29		oveq1 6047	. . . . . . 7 |- ( A = +oo -> ( A x e B ) = ( +oo x e B ) )
30		oveq1 6047	. . . . . . 7 |- ( A = +oo -> ( A x e C ) = ( +oo x e C ) )
31	29, 30	oveq12d 6058	. . . . . 6 |- ( A = +oo -> ( ( A x e B ) + e ( A x e C ) ) = ( ( +oo x e B ) + e ( +oo x e C ) ) )
32		xmulpnf2 10810	. . . . . . . 8 |- ( ( B e. RR* /\ 0 < B ) -> ( +oo x e B ) = +oo )
33	5, 32	sylan 458	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. RR* /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 <_ C ) ) /\ 0 < B ) -> ( +oo x e B ) = +oo )
34	33	oveq1d 6055	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. RR* /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 <_ C ) ) /\ 0 < B ) -> ( ( +oo x e B ) + e ( +oo x e C ) ) = ( +oo + e ( +oo x e C ) ) )
35	31, 34	sylan9eqr 2458	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 <_ C ) ) /\ 0 < B ) /\ A = +oo ) -> ( ( A x e B ) + e ( A x e C ) ) = ( +oo + e ( +oo x e C ) ) )
36		oveq1 6047	. . . . . 6 |- ( A = +oo -> ( A x e ( B + e C ) ) = ( +oo x e ( B + e C ) ) )
37		xaddcl 10779	. . . . . . . . 9 |- ( ( B e. RR* /\ C e. RR* ) -> ( B + e C ) e. RR* )
38	5, 7, 37	syl2anc 643	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. RR* /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 <_ C ) ) -> ( B + e C ) e. RR* )
39	38	adantr 452	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. RR* /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 <_ C ) ) /\ 0 < B ) -> ( B + e C ) e. RR* )
40	18	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. RR* /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 <_ C ) ) /\ 0 < B ) -> 0 e. RR* )
41	5	adantr 452	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. RR* /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 <_ C ) ) /\ 0 < B ) -> B e. RR* )
42		simpr 448	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. RR* /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 <_ C ) ) /\ 0 < B ) -> 0 < B )
43		xaddid1 10781	. . . . . . . . . 10 |- ( B e. RR* -> ( B + e 0 ) = B )
44	41, 43	syl 16	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. RR* /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 <_ C ) ) /\ 0 < B ) -> ( B + e 0 ) = B )
45		xleadd2a 10789	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( 0 e. RR* /\ C e. RR* /\ B e. RR* ) /\ 0 <_ C ) -> ( B + e 0 ) <_ ( B + e C ) )
46	40, 12, 41, 17, 45	syl31anc 1187	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. RR* /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 <_ C ) ) /\ 0 < B ) -> ( B + e 0 ) <_ ( B + e C ) )
47	44, 46	eqbrtrrd 4194	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. RR* /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 <_ C ) ) /\ 0 < B ) -> B <_ ( B + e C ) )
48	40, 41, 39, 42, 47	xrltletrd 10707	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. RR* /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 <_ C ) ) /\ 0 < B ) -> 0 < ( B + e C ) )
49		xmulpnf2 10810	. . . . . . 7 |- ( ( ( B + e C ) e. RR* /\ 0 < ( B + e C ) ) -> ( +oo x e ( B + e C ) ) = +oo )
50	39, 48, 49	syl2anc 643	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. RR* /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 <_ C ) ) /\ 0 < B ) -> ( +oo x e ( B + e C ) ) = +oo )
51	36, 50	sylan9eqr 2458	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 <_ C ) ) /\ 0 < B ) /\ A = +oo ) -> ( A x e ( B + e C ) ) = +oo )
52	28, 35, 51	3eqtr4rd 2447	. . . 4 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 <_ C ) ) /\ 0 < B ) /\ A = +oo ) -> ( A x e ( B + e C ) ) = ( ( A x e B ) + e ( A x e C ) ) )
53		mnfxr 10670	. . . . . . . 8 |- -oo e. RR*
54		xmulcl 10808	. . . . . . . 8 |- ( ( -oo e. RR* /\ C e. RR* ) -> ( -oo x e C ) e. RR* )
55	53, 12, 54	sylancr 645	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. RR* /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 <_ C ) ) /\ 0 < B ) -> ( -oo x e C ) e. RR* )
56		xnegmnf 10752	. . . . . . . . . . . . 13 |- - e -oo = +oo
57	56	oveq1i 6050	. . . . . . . . . . . 12 |- ( - e -oo x e C ) = ( +oo x e C )
58		xmulneg1 10804	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( -oo e. RR* /\ C e. RR* ) -> ( - e -oo x e C ) = - e ( -oo x e C ) )
59	53, 12, 58	sylancr 645	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. RR* /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 <_ C ) ) /\ 0 < B ) -> ( - e -oo x e C ) = - e ( -oo x e C ) )
60	57, 59	syl5reqr 2451	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. RR* /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 <_ C ) ) /\ 0 < B ) -> - e ( -oo x e C ) = ( +oo x e C ) )
61		xnegpnf 10751	. . . . . . . . . . . 12 |- - e +oo = -oo
62	61	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. RR* /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 <_ C ) ) /\ 0 < B ) -> - e +oo = -oo )
63	60, 62	eqeq12d 2418	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. RR* /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 <_ C ) ) /\ 0 < B ) -> ( - e ( -oo x e C ) = - e +oo <-> ( +oo x e C ) = -oo ) )
64		xneg11 10757	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( -oo x e C ) e. RR* /\ +oo e. RR* ) -> ( - e ( -oo x e C ) = - e +oo <-> ( -oo x e C ) = +oo ) )
65	55, 11, 64	sylancl 644	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. RR* /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 <_ C ) ) /\ 0 < B ) -> ( - e ( -oo x e C ) = - e +oo <-> ( -oo x e C ) = +oo ) )
66	63, 65	bitr3d 247	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. RR* /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 <_ C ) ) /\ 0 < B ) -> ( ( +oo x e C ) = -oo <-> ( -oo x e C ) = +oo ) )
67	66	necon3bid 2602	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. RR* /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 <_ C ) ) /\ 0 < B ) -> ( ( +oo x e C ) =/= -oo <-> ( -oo x e C ) =/= +oo ) )
68	25, 67	mpbid 202	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. RR* /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 <_ C ) ) /\ 0 < B ) -> ( -oo x e C ) =/= +oo )
69		xaddmnf2 10771	. . . . . . 7 |- ( ( ( -oo x e C ) e. RR* /\ ( -oo x e C ) =/= +oo ) -> ( -oo + e ( -oo x e C ) ) = -oo )
70	55, 68, 69	syl2anc 643	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. RR* /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 <_ C ) ) /\ 0 < B ) -> ( -oo + e ( -oo x e C ) ) = -oo )
71	70	adantr 452	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 <_ C ) ) /\ 0 < B ) /\ A = -oo ) -> ( -oo + e ( -oo x e C ) ) = -oo )
72		oveq1 6047	. . . . . . 7 |- ( A = -oo -> ( A x e B ) = ( -oo x e B ) )
73		oveq1 6047	. . . . . . 7 |- ( A = -oo -> ( A x e C ) = ( -oo x e C ) )
74	72, 73	oveq12d 6058	. . . . . 6 |- ( A = -oo -> ( ( A x e B ) + e ( A x e C ) ) = ( ( -oo x e B ) + e ( -oo x e C ) ) )
75		xmulmnf2 10812	. . . . . . . 8 |- ( ( B e. RR* /\ 0 < B ) -> ( -oo x e B ) = -oo )
76	5, 75	sylan 458	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. RR* /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 <_ C ) ) /\ 0 < B ) -> ( -oo x e B ) = -oo )
77	76	oveq1d 6055	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. RR* /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 <_ C ) ) /\ 0 < B ) -> ( ( -oo x e B ) + e ( -oo x e C ) ) = ( -oo + e ( -oo x e C ) ) )
78	74, 77	sylan9eqr 2458	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 <_ C ) ) /\ 0 < B ) /\ A = -oo ) -> ( ( A x e B ) + e ( A x e C ) ) = ( -oo + e ( -oo x e C ) ) )
79		oveq1 6047	. . . . . 6 |- ( A = -oo -> ( A x e ( B + e C ) ) = ( -oo x e ( B + e C ) ) )
80		xmulmnf2 10812	. . . . . . 7 |- ( ( ( B + e C ) e. RR* /\ 0 < ( B + e C ) ) -> ( -oo x e ( B + e C ) ) = -oo )
81	39, 48, 80	syl2anc 643	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. RR* /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 <_ C ) ) /\ 0 < B ) -> ( -oo x e ( B + e C ) ) = -oo )
82	79, 81	sylan9eqr 2458	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 <_ C ) ) /\ 0 < B ) /\ A = -oo ) -> ( A x e ( B + e C ) ) = -oo )
83	71, 78, 82	3eqtr4rd 2447	. . . 4 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 <_ C ) ) /\ 0 < B ) /\ A = -oo ) -> ( A x e ( B + e C ) ) = ( ( A x e B ) + e ( A x e C ) ) )
84	10, 52, 83	3jaodan 1250	. . 3 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 <_ C ) ) /\ 0 < B ) /\ ( A e. RR \/ A = +oo \/ A = -oo ) ) -> ( A x e ( B + e C ) ) = ( ( A x e B ) + e ( A x e C ) ) )
85	3, 84	mpdan 650	. 2 |- ( ( ( A e. RR* /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 <_ C ) ) /\ 0 < B ) -> ( A x e ( B + e C ) ) = ( ( A x e B ) + e ( A x e C ) ) )
86		simp1 957	. . . . . 6 |- ( ( A e. RR* /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 <_ C ) ) -> A e. RR* )
87		xmulcl 10808	. . . . . 6 |- ( ( A e. RR* /\ C e. RR* ) -> ( A x e C ) e. RR* )
88	86, 7, 87	syl2anc 643	. . . . 5 |- ( ( A e. RR* /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 <_ C ) ) -> ( A x e C ) e. RR* )
89	88	adantr 452	. . . 4 |- ( ( ( A e. RR* /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 <_ C ) ) /\ 0 = B ) -> ( A x e C ) e. RR* )
90		xaddid2 10782	. . . 4 |- ( ( A x e C ) e. RR* -> ( 0 + e ( A x e C ) ) = ( A x e C ) )
91	89, 90	syl 16	. . 3 |- ( ( ( A e. RR* /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 <_ C ) ) /\ 0 = B ) -> ( 0 + e ( A x e C ) ) = ( A x e C ) )
92		oveq2 6048	. . . . . 6 |- ( 0 = B -> ( A x e 0 ) = ( A x e B ) )
93	92	eqcomd 2409	. . . . 5 |- ( 0 = B -> ( A x e B ) = ( A x e 0 ) )
94		xmul01 10802	. . . . . 6 |- ( A e. RR* -> ( A x e 0 ) = 0 )
95	94	3ad2ant1 978	. . . . 5 |- ( ( A e. RR* /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 <_ C ) ) -> ( A x e 0 ) = 0 )
96	93, 95	sylan9eqr 2458	. . . 4 |- ( ( ( A e. RR* /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 <_ C ) ) /\ 0 = B ) -> ( A x e B ) = 0 )
97	96	oveq1d 6055	. . 3 |- ( ( ( A e. RR* /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 <_ C ) ) /\ 0 = B ) -> ( ( A x e B ) + e ( A x e C ) ) = ( 0 + e ( A x e C ) ) )
98		oveq1 6047	. . . . . 6 |- ( 0 = B -> ( 0 + e C ) = ( B + e C ) )
99	98	eqcomd 2409	. . . . 5 |- ( 0 = B -> ( B + e C ) = ( 0 + e C ) )
100		xaddid2 10782	. . . . . 6 |- ( C e. RR* -> ( 0 + e C ) = C )
101	7, 100	syl 16	. . . . 5 |- ( ( A e. RR* /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 <_ C ) ) -> ( 0 + e C ) = C )
102	99, 101	sylan9eqr 2458	. . . 4 |- ( ( ( A e. RR* /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 <_ C ) ) /\ 0 = B ) -> ( B + e C ) = C )
103	102	oveq2d 6056	. . 3 |- ( ( ( A e. RR* /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 <_ C ) ) /\ 0 = B ) -> ( A x e ( B + e C ) ) = ( A x e C ) )
104	91, 97, 103	3eqtr4rd 2447	. 2 |- ( ( ( A e. RR* /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 <_ C ) ) /\ 0 = B ) -> ( A x e ( B + e C ) ) = ( ( A x e B ) + e ( A x e C ) ) )
105		simp2r 984	. . 3 |- ( ( A e. RR* /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 <_ C ) ) -> 0 <_ B )
106		xrleloe 10693	. . . 4 |- ( ( 0 e. RR* /\ B e. RR* ) -> ( 0 <_ B <-> ( 0 < B \/ 0 = B ) ) )
107	18, 5, 106	sylancr 645	. . 3 |- ( ( A e. RR* /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 <_ C ) ) -> ( 0 <_ B <-> ( 0 < B \/ 0 = B ) ) )
108	105, 107	mpbid 202	. 2 |- ( ( A e. RR* /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 <_ C ) ) -> ( 0 < B \/ 0 = B ) )
109	85, 104, 108	mpjaodan 762	1 |- ( ( A e. RR* /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 <_ C ) ) -> ( A x e ( B + e C ) ) = ( ( A x e B ) + e ( A x e C ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 177   \/ wo 358   /\ wa 359   \/ w3o 935   /\ w3a 936   = wceq 1649   e. wcel 1721   =/= wne 2567   class class class wbr 4172  (class class class)co 6040   RRcr 8945   0cc0 8946   +oocpnf 9073   -oocmnf 9074   RR*cxr 9075   < clt 9076   <_ cle 9077   - ecxne 10663   + ecxad 10664   x ecxmu 10665

This theorem is referenced by:  xadddi2r  10833

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023

This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-op 3783  df-uni 3976  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-er 6864  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-xneg 10666  df-xadd 10667  df-xmul 10668