MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xadddi2 Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem xadddi2 11583
Description: The assumption that the multiplier be real in xadddi 11581 can be relaxed if the addends have the same sign. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
xadddi2  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  ( B  e.  RR*  /\  0  <_  B )  /\  ( C  e.  RR*  /\  0  <_  C ) )  -> 
( A xe ( B +e
C ) )  =  ( ( A xe B ) +e ( A xe C ) ) )

Proof of Theorem xadddi2
StepHypRef Expression
1 simpr 463 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  e. 
RR*  /\  ( B  e.  RR*  /\  0  <_  B )  /\  ( C  e.  RR*  /\  0  <_  C ) )  /\  0  <  B )  /\  A  e.  RR )  ->  A  e.  RR )
2 simp2l 1034 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  ( B  e.  RR*  /\  0  <_  B )  /\  ( C  e.  RR*  /\  0  <_  C ) )  ->  B  e.  RR* )
32ad2antrr 732 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  e. 
RR*  /\  ( B  e.  RR*  /\  0  <_  B )  /\  ( C  e.  RR*  /\  0  <_  C ) )  /\  0  <  B )  /\  A  e.  RR )  ->  B  e.  RR* )
4 simp3l 1036 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  ( B  e.  RR*  /\  0  <_  B )  /\  ( C  e.  RR*  /\  0  <_  C ) )  ->  C  e.  RR* )
54ad2antrr 732 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  e. 
RR*  /\  ( B  e.  RR*  /\  0  <_  B )  /\  ( C  e.  RR*  /\  0  <_  C ) )  /\  0  <  B )  /\  A  e.  RR )  ->  C  e.  RR* )
6 xadddi 11581 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR*  /\  C  e.  RR* )  ->  ( A xe ( B +e C ) )  =  ( ( A xe B ) +e ( A xe C ) ) )
71, 3, 5, 6syl3anc 1268 . . 3  |-  ( ( ( ( A  e. 
RR*  /\  ( B  e.  RR*  /\  0  <_  B )  /\  ( C  e.  RR*  /\  0  <_  C ) )  /\  0  <  B )  /\  A  e.  RR )  ->  ( A xe ( B +e
C ) )  =  ( ( A xe B ) +e ( A xe C ) ) )
8 pnfxr 11412 . . . . . 6  |- +oo  e.  RR*
94adantr 467 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  ( B  e.  RR*  /\  0  <_  B )  /\  ( C  e.  RR*  /\  0  <_  C )
)  /\  0  <  B )  ->  C  e.  RR* )
109adantr 467 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e. 
RR*  /\  ( B  e.  RR*  /\  0  <_  B )  /\  ( C  e.  RR*  /\  0  <_  C ) )  /\  0  <  B )  /\  A  = +oo )  ->  C  e.  RR* )
11 xmulcl 11559 . . . . . 6  |-  ( ( +oo  e.  RR*  /\  C  e.  RR* )  ->  ( +oo xe C )  e.  RR* )
128, 10, 11sylancr 669 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e. 
RR*  /\  ( B  e.  RR*  /\  0  <_  B )  /\  ( C  e.  RR*  /\  0  <_  C ) )  /\  0  <  B )  /\  A  = +oo )  ->  ( +oo xe C )  e.  RR* )
138, 9, 11sylancr 669 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  ( B  e.  RR*  /\  0  <_  B )  /\  ( C  e.  RR*  /\  0  <_  C )
)  /\  0  <  B )  ->  ( +oo xe C )  e.  RR* )
14 simpl3r 1064 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  ( B  e.  RR*  /\  0  <_  B )  /\  ( C  e.  RR*  /\  0  <_  C )
)  /\  0  <  B )  ->  0  <_  C )
15 0lepnf 11433 . . . . . . . . 9  |-  0  <_ +oo
16 xmulge0 11570 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( +oo  e.  RR*  /\  0  <_ +oo )  /\  ( C  e.  RR*  /\  0  <_  C )
)  ->  0  <_  ( +oo xe C ) )
178, 15, 16mpanl12 688 . . . . . . . 8  |-  ( ( C  e.  RR*  /\  0  <_  C )  ->  0  <_  ( +oo xe C ) )
189, 14, 17syl2anc 667 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  ( B  e.  RR*  /\  0  <_  B )  /\  ( C  e.  RR*  /\  0  <_  C )
)  /\  0  <  B )  ->  0  <_  ( +oo xe C ) )
19 ge0nemnf 11468 . . . . . . 7  |-  ( ( ( +oo xe C )  e.  RR*  /\  0  <_  ( +oo xe C ) )  ->  ( +oo xe C )  =/= -oo )
2013, 18, 19syl2anc 667 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  ( B  e.  RR*  /\  0  <_  B )  /\  ( C  e.  RR*  /\  0  <_  C )
)  /\  0  <  B )  ->  ( +oo xe C )  =/= -oo )
2120adantr 467 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e. 
RR*  /\  ( B  e.  RR*  /\  0  <_  B )  /\  ( C  e.  RR*  /\  0  <_  C ) )  /\  0  <  B )  /\  A  = +oo )  ->  ( +oo xe C )  =/= -oo )
22 xaddpnf2 11520 . . . . 5  |-  ( ( ( +oo xe C )  e.  RR*  /\  ( +oo xe C )  =/= -oo )  ->  ( +oo +e ( +oo xe C ) )  = +oo )
2312, 21, 22syl2anc 667 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  e. 
RR*  /\  ( B  e.  RR*  /\  0  <_  B )  /\  ( C  e.  RR*  /\  0  <_  C ) )  /\  0  <  B )  /\  A  = +oo )  ->  ( +oo +e
( +oo xe C ) )  = +oo )
24 oveq1 6297 . . . . . 6  |-  ( A  = +oo  ->  ( A xe B )  =  ( +oo xe B ) )
25 oveq1 6297 . . . . . 6  |-  ( A  = +oo  ->  ( A xe C )  =  ( +oo xe C ) )
2624, 25oveq12d 6308 . . . . 5  |-  ( A  = +oo  ->  (
( A xe B ) +e
( A xe C ) )  =  ( ( +oo xe B ) +e ( +oo xe C ) ) )
27 xmulpnf2 11561 . . . . . . 7  |-  ( ( B  e.  RR*  /\  0  <  B )  ->  ( +oo xe B )  = +oo )
282, 27sylan 474 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  ( B  e.  RR*  /\  0  <_  B )  /\  ( C  e.  RR*  /\  0  <_  C )
)  /\  0  <  B )  ->  ( +oo xe B )  = +oo )
2928oveq1d 6305 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  ( B  e.  RR*  /\  0  <_  B )  /\  ( C  e.  RR*  /\  0  <_  C )
)  /\  0  <  B )  ->  ( ( +oo xe B ) +e ( +oo xe C ) )  =  ( +oo +e ( +oo xe C ) ) )
3026, 29sylan9eqr 2507 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  e. 
RR*  /\  ( B  e.  RR*  /\  0  <_  B )  /\  ( C  e.  RR*  /\  0  <_  C ) )  /\  0  <  B )  /\  A  = +oo )  ->  ( ( A xe B ) +e ( A xe C ) )  =  ( +oo +e ( +oo xe C ) ) )
31 oveq1 6297 . . . . 5  |-  ( A  = +oo  ->  ( A xe ( B +e C ) )  =  ( +oo xe ( B +e C ) ) )
32 xaddcl 11530 . . . . . . . 8  |-  ( ( B  e.  RR*  /\  C  e.  RR* )  ->  ( B +e C )  e.  RR* )
332, 4, 32syl2anc 667 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  ( B  e.  RR*  /\  0  <_  B )  /\  ( C  e.  RR*  /\  0  <_  C ) )  -> 
( B +e
C )  e.  RR* )
3433adantr 467 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  ( B  e.  RR*  /\  0  <_  B )  /\  ( C  e.  RR*  /\  0  <_  C )
)  /\  0  <  B )  ->  ( B +e C )  e.  RR* )
35 0xr 9687 . . . . . . . 8  |-  0  e.  RR*
3635a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  ( B  e.  RR*  /\  0  <_  B )  /\  ( C  e.  RR*  /\  0  <_  C )
)  /\  0  <  B )  ->  0  e.  RR* )
372adantr 467 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  ( B  e.  RR*  /\  0  <_  B )  /\  ( C  e.  RR*  /\  0  <_  C )
)  /\  0  <  B )  ->  B  e.  RR* )
38 simpr 463 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  ( B  e.  RR*  /\  0  <_  B )  /\  ( C  e.  RR*  /\  0  <_  C )
)  /\  0  <  B )  ->  0  <  B )
39 xaddid1 11532 . . . . . . . . 9  |-  ( B  e.  RR*  ->  ( B +e 0 )  =  B )
4037, 39syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  ( B  e.  RR*  /\  0  <_  B )  /\  ( C  e.  RR*  /\  0  <_  C )
)  /\  0  <  B )  ->  ( B +e 0 )  =  B )
41 xleadd2a 11540 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( 0  e.  RR*  /\  C  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  0  <_  C )  ->  ( B +e 0 )  <_  ( B +e C ) )
4236, 9, 37, 14, 41syl31anc 1271 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  ( B  e.  RR*  /\  0  <_  B )  /\  ( C  e.  RR*  /\  0  <_  C )
)  /\  0  <  B )  ->  ( B +e 0 )  <_  ( B +e C ) )
4340, 42eqbrtrrd 4425 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  ( B  e.  RR*  /\  0  <_  B )  /\  ( C  e.  RR*  /\  0  <_  C )
)  /\  0  <  B )  ->  B  <_  ( B +e C ) )
4436, 37, 34, 38, 43xrltletrd 11458 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  ( B  e.  RR*  /\  0  <_  B )  /\  ( C  e.  RR*  /\  0  <_  C )
)  /\  0  <  B )  ->  0  <  ( B +e C ) )
45 xmulpnf2 11561 . . . . . 6  |-  ( ( ( B +e
C )  e.  RR*  /\  0  <  ( B +e C ) )  ->  ( +oo xe ( B +e C ) )  = +oo )
4634, 44, 45syl2anc 667 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  ( B  e.  RR*  /\  0  <_  B )  /\  ( C  e.  RR*  /\  0  <_  C )
)  /\  0  <  B )  ->  ( +oo xe ( B +e C ) )  = +oo )
4731, 46sylan9eqr 2507 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  e. 
RR*  /\  ( B  e.  RR*  /\  0  <_  B )  /\  ( C  e.  RR*  /\  0  <_  C ) )  /\  0  <  B )  /\  A  = +oo )  ->  ( A xe ( B +e
C ) )  = +oo )
4823, 30, 473eqtr4rd 2496 . . 3  |-  ( ( ( ( A  e. 
RR*  /\  ( B  e.  RR*  /\  0  <_  B )  /\  ( C  e.  RR*  /\  0  <_  C ) )  /\  0  <  B )  /\  A  = +oo )  ->  ( A xe ( B +e
C ) )  =  ( ( A xe B ) +e ( A xe C ) ) )
49 mnfxr 11414 . . . . . . 7  |- -oo  e.  RR*
50 xmulcl 11559 . . . . . . 7  |-  ( ( -oo  e.  RR*  /\  C  e.  RR* )  ->  ( -oo xe C )  e.  RR* )
5149, 9, 50sylancr 669 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  ( B  e.  RR*  /\  0  <_  B )  /\  ( C  e.  RR*  /\  0  <_  C )
)  /\  0  <  B )  ->  ( -oo xe C )  e.  RR* )
52 xnegmnf 11503 . . . . . . . . . . . 12  |-  -e -oo  = +oo
5352oveq1i 6300 . . . . . . . . . . 11  |-  (  -e -oo xe C )  =  ( +oo xe C )
54 xmulneg1 11555 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( -oo  e.  RR*  /\  C  e.  RR* )  ->  (  -e -oo xe C )  =  -e ( -oo xe C ) )
5549, 9, 54sylancr 669 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  ( B  e.  RR*  /\  0  <_  B )  /\  ( C  e.  RR*  /\  0  <_  C )
)  /\  0  <  B )  ->  (  -e -oo xe C )  =  -e ( -oo xe C ) )
5653, 55syl5reqr 2500 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  ( B  e.  RR*  /\  0  <_  B )  /\  ( C  e.  RR*  /\  0  <_  C )
)  /\  0  <  B )  ->  -e ( -oo xe C )  =  ( +oo xe C ) )
57 xnegpnf 11502 . . . . . . . . . . 11  |-  -e +oo  = -oo
5857a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  ( B  e.  RR*  /\  0  <_  B )  /\  ( C  e.  RR*  /\  0  <_  C )
)  /\  0  <  B )  ->  -e +oo  = -oo )
5956, 58eqeq12d 2466 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  ( B  e.  RR*  /\  0  <_  B )  /\  ( C  e.  RR*  /\  0  <_  C )
)  /\  0  <  B )  ->  (  -e
( -oo xe C )  =  -e +oo 
<->  ( +oo xe C )  = -oo ) )
60 xneg11 11508 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( -oo xe C )  e.  RR*  /\ +oo  e.  RR* )  ->  (  -e ( -oo xe C )  = 
-e +oo  <->  ( -oo xe C )  = +oo ) )
6151, 8, 60sylancl 668 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  ( B  e.  RR*  /\  0  <_  B )  /\  ( C  e.  RR*  /\  0  <_  C )
)  /\  0  <  B )  ->  (  -e
( -oo xe C )  =  -e +oo 
<->  ( -oo xe C )  = +oo ) )
6259, 61bitr3d 259 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  ( B  e.  RR*  /\  0  <_  B )  /\  ( C  e.  RR*  /\  0  <_  C )
)  /\  0  <  B )  ->  ( ( +oo xe C )  = -oo  <->  ( -oo xe C )  = +oo ) )
6362necon3bid 2668 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  ( B  e.  RR*  /\  0  <_  B )  /\  ( C  e.  RR*  /\  0  <_  C )
)  /\  0  <  B )  ->  ( ( +oo xe C )  =/= -oo  <->  ( -oo xe C )  =/= +oo ) )
6420, 63mpbid 214 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  ( B  e.  RR*  /\  0  <_  B )  /\  ( C  e.  RR*  /\  0  <_  C )
)  /\  0  <  B )  ->  ( -oo xe C )  =/= +oo )
65 xaddmnf2 11522 . . . . . 6  |-  ( ( ( -oo xe C )  e.  RR*  /\  ( -oo xe C )  =/= +oo )  ->  ( -oo +e ( -oo xe C ) )  = -oo )
6651, 64, 65syl2anc 667 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  ( B  e.  RR*  /\  0  <_  B )  /\  ( C  e.  RR*  /\  0  <_  C )
)  /\  0  <  B )  ->  ( -oo +e ( -oo xe C ) )  = -oo )
6766adantr 467 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  e. 
RR*  /\  ( B  e.  RR*  /\  0  <_  B )  /\  ( C  e.  RR*  /\  0  <_  C ) )  /\  0  <  B )  /\  A  = -oo )  ->  ( -oo +e
( -oo xe C ) )  = -oo )
68 oveq1 6297 . . . . . 6  |-  ( A  = -oo  ->  ( A xe B )  =  ( -oo xe B ) )
69 oveq1 6297 . . . . . 6  |-  ( A  = -oo  ->  ( A xe C )  =  ( -oo xe C ) )
7068, 69oveq12d 6308 . . . . 5  |-  ( A  = -oo  ->  (
( A xe B ) +e
( A xe C ) )  =  ( ( -oo xe B ) +e ( -oo xe C ) ) )
71 xmulmnf2 11563 . . . . . . 7  |-  ( ( B  e.  RR*  /\  0  <  B )  ->  ( -oo xe B )  = -oo )
722, 71sylan 474 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  ( B  e.  RR*  /\  0  <_  B )  /\  ( C  e.  RR*  /\  0  <_  C )
)  /\  0  <  B )  ->  ( -oo xe B )  = -oo )
7372oveq1d 6305 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  ( B  e.  RR*  /\  0  <_  B )  /\  ( C  e.  RR*  /\  0  <_  C )
)  /\  0  <  B )  ->  ( ( -oo xe B ) +e ( -oo xe C ) )  =  ( -oo +e ( -oo xe C ) ) )
7470, 73sylan9eqr 2507 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  e. 
RR*  /\  ( B  e.  RR*  /\  0  <_  B )  /\  ( C  e.  RR*  /\  0  <_  C ) )  /\  0  <  B )  /\  A  = -oo )  ->  ( ( A xe B ) +e ( A xe C ) )  =  ( -oo +e ( -oo xe C ) ) )
75 oveq1 6297 . . . . 5  |-  ( A  = -oo  ->  ( A xe ( B +e C ) )  =  ( -oo xe ( B +e C ) ) )
76 xmulmnf2 11563 . . . . . 6  |-  ( ( ( B +e
C )  e.  RR*  /\  0  <  ( B +e C ) )  ->  ( -oo xe ( B +e C ) )  = -oo )
7734, 44, 76syl2anc 667 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  ( B  e.  RR*  /\  0  <_  B )  /\  ( C  e.  RR*  /\  0  <_  C )
)  /\  0  <  B )  ->  ( -oo xe ( B +e C ) )  = -oo )
7875, 77sylan9eqr 2507 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  e. 
RR*  /\  ( B  e.  RR*  /\  0  <_  B )  /\  ( C  e.  RR*  /\  0  <_  C ) )  /\  0  <  B )  /\  A  = -oo )  ->  ( A xe ( B +e
C ) )  = -oo )
7967, 74, 783eqtr4rd 2496 . . 3  |-  ( ( ( ( A  e. 
RR*  /\  ( B  e.  RR*  /\  0  <_  B )  /\  ( C  e.  RR*  /\  0  <_  C ) )  /\  0  <  B )  /\  A  = -oo )  ->  ( A xe ( B +e
C ) )  =  ( ( A xe B ) +e ( A xe C ) ) )
80 simpl1 1011 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  ( B  e.  RR*  /\  0  <_  B )  /\  ( C  e.  RR*  /\  0  <_  C )
)  /\  0  <  B )  ->  A  e.  RR* )
81 elxr 11416 . . . 4  |-  ( A  e.  RR*  <->  ( A  e.  RR  \/  A  = +oo  \/  A  = -oo ) )
8280, 81sylib 200 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  ( B  e.  RR*  /\  0  <_  B )  /\  ( C  e.  RR*  /\  0  <_  C )
)  /\  0  <  B )  ->  ( A  e.  RR  \/  A  = +oo  \/  A  = -oo ) )
837, 48, 79, 82mpjao3dan 1335 . 2  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  ( B  e.  RR*  /\  0  <_  B )  /\  ( C  e.  RR*  /\  0  <_  C )
)  /\  0  <  B )  ->  ( A xe ( B +e C ) )  =  ( ( A xe B ) +e ( A xe C ) ) )
84 simp1 1008 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  ( B  e.  RR*  /\  0  <_  B )  /\  ( C  e.  RR*  /\  0  <_  C ) )  ->  A  e.  RR* )
85 xmulcl 11559 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  C  e.  RR* )  ->  ( A xe C )  e.  RR* )
8684, 4, 85syl2anc 667 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  ( B  e.  RR*  /\  0  <_  B )  /\  ( C  e.  RR*  /\  0  <_  C ) )  -> 
( A xe C )  e.  RR* )
8786adantr 467 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  ( B  e.  RR*  /\  0  <_  B )  /\  ( C  e.  RR*  /\  0  <_  C )
)  /\  0  =  B )  ->  ( A xe C )  e.  RR* )
88 xaddid2 11533 . . . 4  |-  ( ( A xe C )  e.  RR*  ->  ( 0 +e ( A xe C ) )  =  ( A xe C ) )
8987, 88syl 17 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  ( B  e.  RR*  /\  0  <_  B )  /\  ( C  e.  RR*  /\  0  <_  C )
)  /\  0  =  B )  ->  (
0 +e ( A xe C ) )  =  ( A xe C ) )
90 oveq2 6298 . . . . . 6  |-  ( 0  =  B  ->  ( A xe 0 )  =  ( A xe B ) )
9190eqcomd 2457 . . . . 5  |-  ( 0  =  B  ->  ( A xe B )  =  ( A xe 0 ) )
92 xmul01 11553 . . . . . 6  |-  ( A  e.  RR*  ->  ( A xe 0 )  =  0 )
93923ad2ant1 1029 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  ( B  e.  RR*  /\  0  <_  B )  /\  ( C  e.  RR*  /\  0  <_  C ) )  -> 
( A xe 0 )  =  0 )
9491, 93sylan9eqr 2507 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  ( B  e.  RR*  /\  0  <_  B )  /\  ( C  e.  RR*  /\  0  <_  C )
)  /\  0  =  B )  ->  ( A xe B )  =  0 )
9594oveq1d 6305 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  ( B  e.  RR*  /\  0  <_  B )  /\  ( C  e.  RR*  /\  0  <_  C )
)  /\  0  =  B )  ->  (
( A xe B ) +e
( A xe C ) )  =  ( 0 +e
( A xe C ) ) )
96 oveq1 6297 . . . . . 6  |-  ( 0  =  B  ->  (
0 +e C )  =  ( B +e C ) )
9796eqcomd 2457 . . . . 5  |-  ( 0  =  B  ->  ( B +e C )  =  ( 0 +e C ) )
98 xaddid2 11533 . . . . . 6  |-  ( C  e.  RR*  ->  ( 0 +e C )  =  C )
994, 98syl 17 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  ( B  e.  RR*  /\  0  <_  B )  /\  ( C  e.  RR*  /\  0  <_  C ) )  -> 
( 0 +e
C )  =  C )
10097, 99sylan9eqr 2507 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  ( B  e.  RR*  /\  0  <_  B )  /\  ( C  e.  RR*  /\  0  <_  C )
)  /\  0  =  B )  ->  ( B +e C )  =  C )
101100oveq2d 6306 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  ( B  e.  RR*  /\  0  <_  B )  /\  ( C  e.  RR*  /\  0  <_  C )
)  /\  0  =  B )  ->  ( A xe ( B +e C ) )  =  ( A xe C ) )
10289, 95, 1013eqtr4rd 2496 . 2  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  ( B  e.  RR*  /\  0  <_  B )  /\  ( C  e.  RR*  /\  0  <_  C )
)  /\  0  =  B )  ->  ( A xe ( B +e C ) )  =  ( ( A xe B ) +e ( A xe C ) ) )
103 simp2r 1035 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  ( B  e.  RR*  /\  0  <_  B )  /\  ( C  e.  RR*  /\  0  <_  C ) )  -> 
0  <_  B )
104 xrleloe 11443 . . . 4  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  (
0  <_  B  <->  ( 0  <  B  \/  0  =  B ) ) )
10535, 2, 104sylancr 669 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  ( B  e.  RR*  /\  0  <_  B )  /\  ( C  e.  RR*  /\  0  <_  C ) )  -> 
( 0  <_  B  <->  ( 0  <  B  \/  0  =  B )
) )
106103, 105mpbid 214 . 2  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  ( B  e.  RR*  /\  0  <_  B )  /\  ( C  e.  RR*  /\  0  <_  C ) )  -> 
( 0  <  B  \/  0  =  B
) )
10783, 102, 106mpjaodan 795 1  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  ( B  e.  RR*  /\  0  <_  B )  /\  ( C  e.  RR*  /\  0  <_  C ) )  -> 
( A xe ( B +e
C ) )  =  ( ( A xe B ) +e ( A xe C ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 188    \/ wo 370    /\ wa 371    \/ w3o 984    /\ w3a 985    = wceq 1444    e. wcel 1887    =/= wne 2622   class class class wbr 4402  (class class class)co 6290   RRcr 9538   0cc0 9539   +oocpnf 9672   -oocmnf 9673   RR*cxr 9674    < clt 9675    <_ cle 9676    -ecxne 11406   +ecxad 11407   xecxmu 11408
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-nel 2625  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-op 3975  df-uni 4199  df-iun 4280  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-riota 6252  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-1st 6793  df-2nd 6794  df-er 7363  df-en 7570  df-dom 7571  df-sdom 7572  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-xneg 11409  df-xadd 11410  df-xmul 11411
This theorem is referenced by:  xadddi2r  11584
  Copyright terms: Public domain W3C validator