MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xadddi2 Structured version   Unicode version

Theorem xadddi2 11492
Description: The assumption that the multiplier be real in xadddi 11490 can be relaxed if the addends have the same sign. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
xadddi2  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  ( B  e.  RR*  /\  0  <_  B )  /\  ( C  e.  RR*  /\  0  <_  C ) )  -> 
( A xe ( B +e
C ) )  =  ( ( A xe B ) +e ( A xe C ) ) )

Proof of Theorem xadddi2
StepHypRef Expression
1 simpr 459 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  e. 
RR*  /\  ( B  e.  RR*  /\  0  <_  B )  /\  ( C  e.  RR*  /\  0  <_  C ) )  /\  0  <  B )  /\  A  e.  RR )  ->  A  e.  RR )
2 simp2l 1020 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  ( B  e.  RR*  /\  0  <_  B )  /\  ( C  e.  RR*  /\  0  <_  C ) )  ->  B  e.  RR* )
32ad2antrr 723 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  e. 
RR*  /\  ( B  e.  RR*  /\  0  <_  B )  /\  ( C  e.  RR*  /\  0  <_  C ) )  /\  0  <  B )  /\  A  e.  RR )  ->  B  e.  RR* )
4 simp3l 1022 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  ( B  e.  RR*  /\  0  <_  B )  /\  ( C  e.  RR*  /\  0  <_  C ) )  ->  C  e.  RR* )
54ad2antrr 723 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  e. 
RR*  /\  ( B  e.  RR*  /\  0  <_  B )  /\  ( C  e.  RR*  /\  0  <_  C ) )  /\  0  <  B )  /\  A  e.  RR )  ->  C  e.  RR* )
6 xadddi 11490 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR*  /\  C  e.  RR* )  ->  ( A xe ( B +e C ) )  =  ( ( A xe B ) +e ( A xe C ) ) )
71, 3, 5, 6syl3anc 1226 . . 3  |-  ( ( ( ( A  e. 
RR*  /\  ( B  e.  RR*  /\  0  <_  B )  /\  ( C  e.  RR*  /\  0  <_  C ) )  /\  0  <  B )  /\  A  e.  RR )  ->  ( A xe ( B +e
C ) )  =  ( ( A xe B ) +e ( A xe C ) ) )
8 pnfxr 11324 . . . . . 6  |- +oo  e.  RR*
94adantr 463 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  ( B  e.  RR*  /\  0  <_  B )  /\  ( C  e.  RR*  /\  0  <_  C )
)  /\  0  <  B )  ->  C  e.  RR* )
109adantr 463 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e. 
RR*  /\  ( B  e.  RR*  /\  0  <_  B )  /\  ( C  e.  RR*  /\  0  <_  C ) )  /\  0  <  B )  /\  A  = +oo )  ->  C  e.  RR* )
11 xmulcl 11468 . . . . . 6  |-  ( ( +oo  e.  RR*  /\  C  e.  RR* )  ->  ( +oo xe C )  e.  RR* )
128, 10, 11sylancr 661 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e. 
RR*  /\  ( B  e.  RR*  /\  0  <_  B )  /\  ( C  e.  RR*  /\  0  <_  C ) )  /\  0  <  B )  /\  A  = +oo )  ->  ( +oo xe C )  e.  RR* )
138, 9, 11sylancr 661 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  ( B  e.  RR*  /\  0  <_  B )  /\  ( C  e.  RR*  /\  0  <_  C )
)  /\  0  <  B )  ->  ( +oo xe C )  e.  RR* )
14 simpl3r 1050 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  ( B  e.  RR*  /\  0  <_  B )  /\  ( C  e.  RR*  /\  0  <_  C )
)  /\  0  <  B )  ->  0  <_  C )
15 0lepnf 11343 . . . . . . . . 9  |-  0  <_ +oo
16 xmulge0 11479 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( +oo  e.  RR*  /\  0  <_ +oo )  /\  ( C  e.  RR*  /\  0  <_  C )
)  ->  0  <_  ( +oo xe C ) )
178, 15, 16mpanl12 680 . . . . . . . 8  |-  ( ( C  e.  RR*  /\  0  <_  C )  ->  0  <_  ( +oo xe C ) )
189, 14, 17syl2anc 659 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  ( B  e.  RR*  /\  0  <_  B )  /\  ( C  e.  RR*  /\  0  <_  C )
)  /\  0  <  B )  ->  0  <_  ( +oo xe C ) )
19 ge0nemnf 11377 . . . . . . 7  |-  ( ( ( +oo xe C )  e.  RR*  /\  0  <_  ( +oo xe C ) )  ->  ( +oo xe C )  =/= -oo )
2013, 18, 19syl2anc 659 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  ( B  e.  RR*  /\  0  <_  B )  /\  ( C  e.  RR*  /\  0  <_  C )
)  /\  0  <  B )  ->  ( +oo xe C )  =/= -oo )
2120adantr 463 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e. 
RR*  /\  ( B  e.  RR*  /\  0  <_  B )  /\  ( C  e.  RR*  /\  0  <_  C ) )  /\  0  <  B )  /\  A  = +oo )  ->  ( +oo xe C )  =/= -oo )
22 xaddpnf2 11429 . . . . 5  |-  ( ( ( +oo xe C )  e.  RR*  /\  ( +oo xe C )  =/= -oo )  ->  ( +oo +e ( +oo xe C ) )  = +oo )
2312, 21, 22syl2anc 659 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  e. 
RR*  /\  ( B  e.  RR*  /\  0  <_  B )  /\  ( C  e.  RR*  /\  0  <_  C ) )  /\  0  <  B )  /\  A  = +oo )  ->  ( +oo +e
( +oo xe C ) )  = +oo )
24 oveq1 6277 . . . . . 6  |-  ( A  = +oo  ->  ( A xe B )  =  ( +oo xe B ) )
25 oveq1 6277 . . . . . 6  |-  ( A  = +oo  ->  ( A xe C )  =  ( +oo xe C ) )
2624, 25oveq12d 6288 . . . . 5  |-  ( A  = +oo  ->  (
( A xe B ) +e
( A xe C ) )  =  ( ( +oo xe B ) +e ( +oo xe C ) ) )
27 xmulpnf2 11470 . . . . . . 7  |-  ( ( B  e.  RR*  /\  0  <  B )  ->  ( +oo xe B )  = +oo )
282, 27sylan 469 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  ( B  e.  RR*  /\  0  <_  B )  /\  ( C  e.  RR*  /\  0  <_  C )
)  /\  0  <  B )  ->  ( +oo xe B )  = +oo )
2928oveq1d 6285 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  ( B  e.  RR*  /\  0  <_  B )  /\  ( C  e.  RR*  /\  0  <_  C )
)  /\  0  <  B )  ->  ( ( +oo xe B ) +e ( +oo xe C ) )  =  ( +oo +e ( +oo xe C ) ) )
3026, 29sylan9eqr 2517 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  e. 
RR*  /\  ( B  e.  RR*  /\  0  <_  B )  /\  ( C  e.  RR*  /\  0  <_  C ) )  /\  0  <  B )  /\  A  = +oo )  ->  ( ( A xe B ) +e ( A xe C ) )  =  ( +oo +e ( +oo xe C ) ) )
31 oveq1 6277 . . . . 5  |-  ( A  = +oo  ->  ( A xe ( B +e C ) )  =  ( +oo xe ( B +e C ) ) )
32 xaddcl 11439 . . . . . . . 8  |-  ( ( B  e.  RR*  /\  C  e.  RR* )  ->  ( B +e C )  e.  RR* )
332, 4, 32syl2anc 659 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  ( B  e.  RR*  /\  0  <_  B )  /\  ( C  e.  RR*  /\  0  <_  C ) )  -> 
( B +e
C )  e.  RR* )
3433adantr 463 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  ( B  e.  RR*  /\  0  <_  B )  /\  ( C  e.  RR*  /\  0  <_  C )
)  /\  0  <  B )  ->  ( B +e C )  e.  RR* )
35 0xr 9629 . . . . . . . 8  |-  0  e.  RR*
3635a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  ( B  e.  RR*  /\  0  <_  B )  /\  ( C  e.  RR*  /\  0  <_  C )
)  /\  0  <  B )  ->  0  e.  RR* )
372adantr 463 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  ( B  e.  RR*  /\  0  <_  B )  /\  ( C  e.  RR*  /\  0  <_  C )
)  /\  0  <  B )  ->  B  e.  RR* )
38 simpr 459 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  ( B  e.  RR*  /\  0  <_  B )  /\  ( C  e.  RR*  /\  0  <_  C )
)  /\  0  <  B )  ->  0  <  B )
39 xaddid1 11441 . . . . . . . . 9  |-  ( B  e.  RR*  ->  ( B +e 0 )  =  B )
4037, 39syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  ( B  e.  RR*  /\  0  <_  B )  /\  ( C  e.  RR*  /\  0  <_  C )
)  /\  0  <  B )  ->  ( B +e 0 )  =  B )
41 xleadd2a 11449 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( 0  e.  RR*  /\  C  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  0  <_  C )  ->  ( B +e 0 )  <_  ( B +e C ) )
4236, 9, 37, 14, 41syl31anc 1229 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  ( B  e.  RR*  /\  0  <_  B )  /\  ( C  e.  RR*  /\  0  <_  C )
)  /\  0  <  B )  ->  ( B +e 0 )  <_  ( B +e C ) )
4340, 42eqbrtrrd 4461 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  ( B  e.  RR*  /\  0  <_  B )  /\  ( C  e.  RR*  /\  0  <_  C )
)  /\  0  <  B )  ->  B  <_  ( B +e C ) )
4436, 37, 34, 38, 43xrltletrd 11367 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  ( B  e.  RR*  /\  0  <_  B )  /\  ( C  e.  RR*  /\  0  <_  C )
)  /\  0  <  B )  ->  0  <  ( B +e C ) )
45 xmulpnf2 11470 . . . . . 6  |-  ( ( ( B +e
C )  e.  RR*  /\  0  <  ( B +e C ) )  ->  ( +oo xe ( B +e C ) )  = +oo )
4634, 44, 45syl2anc 659 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  ( B  e.  RR*  /\  0  <_  B )  /\  ( C  e.  RR*  /\  0  <_  C )
)  /\  0  <  B )  ->  ( +oo xe ( B +e C ) )  = +oo )
4731, 46sylan9eqr 2517 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  e. 
RR*  /\  ( B  e.  RR*  /\  0  <_  B )  /\  ( C  e.  RR*  /\  0  <_  C ) )  /\  0  <  B )  /\  A  = +oo )  ->  ( A xe ( B +e
C ) )  = +oo )
4823, 30, 473eqtr4rd 2506 . . 3  |-  ( ( ( ( A  e. 
RR*  /\  ( B  e.  RR*  /\  0  <_  B )  /\  ( C  e.  RR*  /\  0  <_  C ) )  /\  0  <  B )  /\  A  = +oo )  ->  ( A xe ( B +e
C ) )  =  ( ( A xe B ) +e ( A xe C ) ) )
49 mnfxr 11326 . . . . . . 7  |- -oo  e.  RR*
50 xmulcl 11468 . . . . . . 7  |-  ( ( -oo  e.  RR*  /\  C  e.  RR* )  ->  ( -oo xe C )  e.  RR* )
5149, 9, 50sylancr 661 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  ( B  e.  RR*  /\  0  <_  B )  /\  ( C  e.  RR*  /\  0  <_  C )
)  /\  0  <  B )  ->  ( -oo xe C )  e.  RR* )
52 xnegmnf 11412 . . . . . . . . . . . 12  |-  -e -oo  = +oo
5352oveq1i 6280 . . . . . . . . . . 11  |-  (  -e -oo xe C )  =  ( +oo xe C )
54 xmulneg1 11464 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( -oo  e.  RR*  /\  C  e.  RR* )  ->  (  -e -oo xe C )  =  -e ( -oo xe C ) )
5549, 9, 54sylancr 661 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  ( B  e.  RR*  /\  0  <_  B )  /\  ( C  e.  RR*  /\  0  <_  C )
)  /\  0  <  B )  ->  (  -e -oo xe C )  =  -e ( -oo xe C ) )
5653, 55syl5reqr 2510 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  ( B  e.  RR*  /\  0  <_  B )  /\  ( C  e.  RR*  /\  0  <_  C )
)  /\  0  <  B )  ->  -e ( -oo xe C )  =  ( +oo xe C ) )
57 xnegpnf 11411 . . . . . . . . . . 11  |-  -e +oo  = -oo
5857a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  ( B  e.  RR*  /\  0  <_  B )  /\  ( C  e.  RR*  /\  0  <_  C )
)  /\  0  <  B )  ->  -e +oo  = -oo )
5956, 58eqeq12d 2476 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  ( B  e.  RR*  /\  0  <_  B )  /\  ( C  e.  RR*  /\  0  <_  C )
)  /\  0  <  B )  ->  (  -e
( -oo xe C )  =  -e +oo 
<->  ( +oo xe C )  = -oo ) )
60 xneg11 11417 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( -oo xe C )  e.  RR*  /\ +oo  e.  RR* )  ->  (  -e ( -oo xe C )  = 
-e +oo  <->  ( -oo xe C )  = +oo ) )
6151, 8, 60sylancl 660 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  ( B  e.  RR*  /\  0  <_  B )  /\  ( C  e.  RR*  /\  0  <_  C )
)  /\  0  <  B )  ->  (  -e
( -oo xe C )  =  -e +oo 
<->  ( -oo xe C )  = +oo ) )
6259, 61bitr3d 255 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  ( B  e.  RR*  /\  0  <_  B )  /\  ( C  e.  RR*  /\  0  <_  C )
)  /\  0  <  B )  ->  ( ( +oo xe C )  = -oo  <->  ( -oo xe C )  = +oo ) )
6362necon3bid 2712 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  ( B  e.  RR*  /\  0  <_  B )  /\  ( C  e.  RR*  /\  0  <_  C )
)  /\  0  <  B )  ->  ( ( +oo xe C )  =/= -oo  <->  ( -oo xe C )  =/= +oo ) )
6420, 63mpbid 210 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  ( B  e.  RR*  /\  0  <_  B )  /\  ( C  e.  RR*  /\  0  <_  C )
)  /\  0  <  B )  ->  ( -oo xe C )  =/= +oo )
65 xaddmnf2 11431 . . . . . 6  |-  ( ( ( -oo xe C )  e.  RR*  /\  ( -oo xe C )  =/= +oo )  ->  ( -oo +e ( -oo xe C ) )  = -oo )
6651, 64, 65syl2anc 659 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  ( B  e.  RR*  /\  0  <_  B )  /\  ( C  e.  RR*  /\  0  <_  C )
)  /\  0  <  B )  ->  ( -oo +e ( -oo xe C ) )  = -oo )
6766adantr 463 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  e. 
RR*  /\  ( B  e.  RR*  /\  0  <_  B )  /\  ( C  e.  RR*  /\  0  <_  C ) )  /\  0  <  B )  /\  A  = -oo )  ->  ( -oo +e
( -oo xe C ) )  = -oo )
68 oveq1 6277 . . . . . 6  |-  ( A  = -oo  ->  ( A xe B )  =  ( -oo xe B ) )
69 oveq1 6277 . . . . . 6  |-  ( A  = -oo  ->  ( A xe C )  =  ( -oo xe C ) )
7068, 69oveq12d 6288 . . . . 5  |-  ( A  = -oo  ->  (
( A xe B ) +e
( A xe C ) )  =  ( ( -oo xe B ) +e ( -oo xe C ) ) )
71 xmulmnf2 11472 . . . . . . 7  |-  ( ( B  e.  RR*  /\  0  <  B )  ->  ( -oo xe B )  = -oo )
722, 71sylan 469 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  ( B  e.  RR*  /\  0  <_  B )  /\  ( C  e.  RR*  /\  0  <_  C )
)  /\  0  <  B )  ->  ( -oo xe B )  = -oo )
7372oveq1d 6285 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  ( B  e.  RR*  /\  0  <_  B )  /\  ( C  e.  RR*  /\  0  <_  C )
)  /\  0  <  B )  ->  ( ( -oo xe B ) +e ( -oo xe C ) )  =  ( -oo +e ( -oo xe C ) ) )
7470, 73sylan9eqr 2517 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  e. 
RR*  /\  ( B  e.  RR*  /\  0  <_  B )  /\  ( C  e.  RR*  /\  0  <_  C ) )  /\  0  <  B )  /\  A  = -oo )  ->  ( ( A xe B ) +e ( A xe C ) )  =  ( -oo +e ( -oo xe C ) ) )
75 oveq1 6277 . . . . 5  |-  ( A  = -oo  ->  ( A xe ( B +e C ) )  =  ( -oo xe ( B +e C ) ) )
76 xmulmnf2 11472 . . . . . 6  |-  ( ( ( B +e
C )  e.  RR*  /\  0  <  ( B +e C ) )  ->  ( -oo xe ( B +e C ) )  = -oo )
7734, 44, 76syl2anc 659 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  ( B  e.  RR*  /\  0  <_  B )  /\  ( C  e.  RR*  /\  0  <_  C )
)  /\  0  <  B )  ->  ( -oo xe ( B +e C ) )  = -oo )
7875, 77sylan9eqr 2517 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  e. 
RR*  /\  ( B  e.  RR*  /\  0  <_  B )  /\  ( C  e.  RR*  /\  0  <_  C ) )  /\  0  <  B )  /\  A  = -oo )  ->  ( A xe ( B +e
C ) )  = -oo )
7967, 74, 783eqtr4rd 2506 . . 3  |-  ( ( ( ( A  e. 
RR*  /\  ( B  e.  RR*  /\  0  <_  B )  /\  ( C  e.  RR*  /\  0  <_  C ) )  /\  0  <  B )  /\  A  = -oo )  ->  ( A xe ( B +e
C ) )  =  ( ( A xe B ) +e ( A xe C ) ) )
80 simpl1 997 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  ( B  e.  RR*  /\  0  <_  B )  /\  ( C  e.  RR*  /\  0  <_  C )
)  /\  0  <  B )  ->  A  e.  RR* )
81 elxr 11328 . . . 4  |-  ( A  e.  RR*  <->  ( A  e.  RR  \/  A  = +oo  \/  A  = -oo ) )
8280, 81sylib 196 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  ( B  e.  RR*  /\  0  <_  B )  /\  ( C  e.  RR*  /\  0  <_  C )
)  /\  0  <  B )  ->  ( A  e.  RR  \/  A  = +oo  \/  A  = -oo ) )
837, 48, 79, 82mpjao3dan 1293 . 2  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  ( B  e.  RR*  /\  0  <_  B )  /\  ( C  e.  RR*  /\  0  <_  C )
)  /\  0  <  B )  ->  ( A xe ( B +e C ) )  =  ( ( A xe B ) +e ( A xe C ) ) )
84 simp1 994 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  ( B  e.  RR*  /\  0  <_  B )  /\  ( C  e.  RR*  /\  0  <_  C ) )  ->  A  e.  RR* )
85 xmulcl 11468 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  C  e.  RR* )  ->  ( A xe C )  e.  RR* )
8684, 4, 85syl2anc 659 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  ( B  e.  RR*  /\  0  <_  B )  /\  ( C  e.  RR*  /\  0  <_  C ) )  -> 
( A xe C )  e.  RR* )
8786adantr 463 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  ( B  e.  RR*  /\  0  <_  B )  /\  ( C  e.  RR*  /\  0  <_  C )
)  /\  0  =  B )  ->  ( A xe C )  e.  RR* )
88 xaddid2 11442 . . . 4  |-  ( ( A xe C )  e.  RR*  ->  ( 0 +e ( A xe C ) )  =  ( A xe C ) )
8987, 88syl 16 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  ( B  e.  RR*  /\  0  <_  B )  /\  ( C  e.  RR*  /\  0  <_  C )
)  /\  0  =  B )  ->  (
0 +e ( A xe C ) )  =  ( A xe C ) )
90 oveq2 6278 . . . . . 6  |-  ( 0  =  B  ->  ( A xe 0 )  =  ( A xe B ) )
9190eqcomd 2462 . . . . 5  |-  ( 0  =  B  ->  ( A xe B )  =  ( A xe 0 ) )
92 xmul01 11462 . . . . . 6  |-  ( A  e.  RR*  ->  ( A xe 0 )  =  0 )
93923ad2ant1 1015 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  ( B  e.  RR*  /\  0  <_  B )  /\  ( C  e.  RR*  /\  0  <_  C ) )  -> 
( A xe 0 )  =  0 )
9491, 93sylan9eqr 2517 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  ( B  e.  RR*  /\  0  <_  B )  /\  ( C  e.  RR*  /\  0  <_  C )
)  /\  0  =  B )  ->  ( A xe B )  =  0 )
9594oveq1d 6285 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  ( B  e.  RR*  /\  0  <_  B )  /\  ( C  e.  RR*  /\  0  <_  C )
)  /\  0  =  B )  ->  (
( A xe B ) +e
( A xe C ) )  =  ( 0 +e
( A xe C ) ) )
96 oveq1 6277 . . . . . 6  |-  ( 0  =  B  ->  (
0 +e C )  =  ( B +e C ) )
9796eqcomd 2462 . . . . 5  |-  ( 0  =  B  ->  ( B +e C )  =  ( 0 +e C ) )
98 xaddid2 11442 . . . . . 6  |-  ( C  e.  RR*  ->  ( 0 +e C )  =  C )
994, 98syl 16 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  ( B  e.  RR*  /\  0  <_  B )  /\  ( C  e.  RR*  /\  0  <_  C ) )  -> 
( 0 +e
C )  =  C )
10097, 99sylan9eqr 2517 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  ( B  e.  RR*  /\  0  <_  B )  /\  ( C  e.  RR*  /\  0  <_  C )
)  /\  0  =  B )  ->  ( B +e C )  =  C )
101100oveq2d 6286 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  ( B  e.  RR*  /\  0  <_  B )  /\  ( C  e.  RR*  /\  0  <_  C )
)  /\  0  =  B )  ->  ( A xe ( B +e C ) )  =  ( A xe C ) )
10289, 95, 1013eqtr4rd 2506 . 2  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  ( B  e.  RR*  /\  0  <_  B )  /\  ( C  e.  RR*  /\  0  <_  C )
)  /\  0  =  B )  ->  ( A xe ( B +e C ) )  =  ( ( A xe B ) +e ( A xe C ) ) )
103 simp2r 1021 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  ( B  e.  RR*  /\  0  <_  B )  /\  ( C  e.  RR*  /\  0  <_  C ) )  -> 
0  <_  B )
104 xrleloe 11353 . . . 4  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  (
0  <_  B  <->  ( 0  <  B  \/  0  =  B ) ) )
10535, 2, 104sylancr 661 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  ( B  e.  RR*  /\  0  <_  B )  /\  ( C  e.  RR*  /\  0  <_  C ) )  -> 
( 0  <_  B  <->  ( 0  <  B  \/  0  =  B )
) )
106103, 105mpbid 210 . 2  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  ( B  e.  RR*  /\  0  <_  B )  /\  ( C  e.  RR*  /\  0  <_  C ) )  -> 
( 0  <  B  \/  0  =  B
) )
10783, 102, 106mpjaodan 784 1  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  ( B  e.  RR*  /\  0  <_  B )  /\  ( C  e.  RR*  /\  0  <_  C ) )  -> 
( A xe ( B +e
C ) )  =  ( ( A xe B ) +e ( A xe C ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 366    /\ wa 367    \/ w3o 970    /\ w3a 971    = wceq 1398    e. wcel 1823    =/= wne 2649   class class class wbr 4439  (class class class)co 6270   RRcr 9480   0cc0 9481   +oocpnf 9614   -oocmnf 9615   RR*cxr 9616    < clt 9617    <_ cle 9618    -ecxne 11318   +ecxad 11319   xecxmu 11320
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-nel 2652  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-op 4023  df-uni 4236  df-iun 4317  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-riota 6232  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-1st 6773  df-2nd 6774  df-er 7303  df-en 7510  df-dom 7511  df-sdom 7512  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9798  df-neg 9799  df-xneg 11321  df-xadd 11322  df-xmul 11323
This theorem is referenced by:  xadddi2r  11493
  Copyright terms: Public domain W3C validator