Theorem xadddi2 11501

Description: The assumption that the multiplier be real in xadddi 11499 can be relaxed if the addends have the same sign. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
xadddi2	|- ( ( A e. RR* /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 <_ C ) ) -> ( A xe ( B +e C ) ) = ( ( A xe B ) +e ( A xe C ) ) )

Proof of Theorem xadddi2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl1 999	. . . 4 |- ( ( ( A e. RR* /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 <_ C ) ) /\ 0 < B ) -> A e. RR* )
2		elxr 11337	. . . 4 |- ( A e. RR* <-> ( A e. RR \/ A = +oo \/ A = -oo ) )
3	1, 2	sylib 196	. . 3 |- ( ( ( A e. RR* /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 <_ C ) ) /\ 0 < B ) -> ( A e. RR \/ A = +oo \/ A = -oo ) )
4		simpr 461	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 <_ C ) ) /\ 0 < B ) /\ A e. RR ) -> A e. RR )
5		simp2l 1022	. . . . . 6 |- ( ( A e. RR* /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 <_ C ) ) -> B e. RR* )
6	5	ad2antrr 725	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 <_ C ) ) /\ 0 < B ) /\ A e. RR ) -> B e. RR* )
7		simp3l 1024	. . . . . 6 |- ( ( A e. RR* /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 <_ C ) ) -> C e. RR* )
8	7	ad2antrr 725	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 <_ C ) ) /\ 0 < B ) /\ A e. RR ) -> C e. RR* )
9		xadddi 11499	. . . . 5 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) -> ( A xe ( B +e C ) ) = ( ( A xe B ) +e ( A xe C ) ) )
10	4, 6, 8, 9	syl3anc 1228	. . . 4 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 <_ C ) ) /\ 0 < B ) /\ A e. RR ) -> ( A xe ( B +e C ) ) = ( ( A xe B ) +e ( A xe C ) ) )
11		pnfxr 11333	. . . . . . 7 |- +oo e. RR*
12	7	adantr 465	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. RR* /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 <_ C ) ) /\ 0 < B ) -> C e. RR* )
13	12	adantr 465	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 <_ C ) ) /\ 0 < B ) /\ A = +oo ) -> C e. RR* )
14		xmulcl 11477	. . . . . . 7 |- ( ( +oo e. RR* /\ C e. RR* ) -> ( +oo xe C ) e. RR* )
15	11, 13, 14	sylancr 663	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 <_ C ) ) /\ 0 < B ) /\ A = +oo ) -> ( +oo xe C ) e. RR* )
16	11, 12, 14	sylancr 663	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. RR* /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 <_ C ) ) /\ 0 < B ) -> ( +oo xe C ) e. RR* )
17		simpl3r 1052	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. RR* /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 <_ C ) ) /\ 0 < B ) -> 0 <_ C )
18		0lepnf 11352	. . . . . . . . . 10 |- 0 <_ +oo
19		xmulge0 11488	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( +oo e. RR* /\ 0 <_ +oo ) /\ ( C e. RR* /\ 0 <_ C ) ) -> 0 <_ ( +oo xe C ) )
20	11, 18, 19	mpanl12 682	. . . . . . . . 9 |- ( ( C e. RR* /\ 0 <_ C ) -> 0 <_ ( +oo xe C ) )
21	12, 17, 20	syl2anc 661	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. RR* /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 <_ C ) ) /\ 0 < B ) -> 0 <_ ( +oo xe C ) )
22		ge0nemnf 11386	. . . . . . . 8 |- ( ( ( +oo xe C ) e. RR* /\ 0 <_ ( +oo xe C ) ) -> ( +oo xe C ) =/= -oo )
23	16, 21, 22	syl2anc 661	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. RR* /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 <_ C ) ) /\ 0 < B ) -> ( +oo xe C ) =/= -oo )
24	23	adantr 465	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 <_ C ) ) /\ 0 < B ) /\ A = +oo ) -> ( +oo xe C ) =/= -oo )
25		xaddpnf2 11438	. . . . . 6 |- ( ( ( +oo xe C ) e. RR* /\ ( +oo xe C ) =/= -oo ) -> ( +oo +e ( +oo xe C ) ) = +oo )
26	15, 24, 25	syl2anc 661	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 <_ C ) ) /\ 0 < B ) /\ A = +oo ) -> ( +oo +e ( +oo xe C ) ) = +oo )
27		oveq1 6302	. . . . . . 7 |- ( A = +oo -> ( A xe B ) = ( +oo xe B ) )
28		oveq1 6302	. . . . . . 7 |- ( A = +oo -> ( A xe C ) = ( +oo xe C ) )
29	27, 28	oveq12d 6313	. . . . . 6 |- ( A = +oo -> ( ( A xe B ) +e ( A xe C ) ) = ( ( +oo xe B ) +e ( +oo xe C ) ) )
30		xmulpnf2 11479	. . . . . . . 8 |- ( ( B e. RR* /\ 0 < B ) -> ( +oo xe B ) = +oo )
31	5, 30	sylan 471	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. RR* /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 <_ C ) ) /\ 0 < B ) -> ( +oo xe B ) = +oo )
32	31	oveq1d 6310	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. RR* /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 <_ C ) ) /\ 0 < B ) -> ( ( +oo xe B ) +e ( +oo xe C ) ) = ( +oo +e ( +oo xe C ) ) )
33	29, 32	sylan9eqr 2530	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 <_ C ) ) /\ 0 < B ) /\ A = +oo ) -> ( ( A xe B ) +e ( A xe C ) ) = ( +oo +e ( +oo xe C ) ) )
34		oveq1 6302	. . . . . 6 |- ( A = +oo -> ( A xe ( B +e C ) ) = ( +oo xe ( B +e C ) ) )
35		xaddcl 11448	. . . . . . . . 9 |- ( ( B e. RR* /\ C e. RR* ) -> ( B +e C ) e. RR* )
36	5, 7, 35	syl2anc 661	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. RR* /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 <_ C ) ) -> ( B +e C ) e. RR* )
37	36	adantr 465	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. RR* /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 <_ C ) ) /\ 0 < B ) -> ( B +e C ) e. RR* )
38		0xr 9652	. . . . . . . . 9 |- 0 e. RR*
39	38	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. RR* /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 <_ C ) ) /\ 0 < B ) -> 0 e. RR* )
40	5	adantr 465	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. RR* /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 <_ C ) ) /\ 0 < B ) -> B e. RR* )
41		simpr 461	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. RR* /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 <_ C ) ) /\ 0 < B ) -> 0 < B )
42		xaddid1 11450	. . . . . . . . . 10 |- ( B e. RR* -> ( B +e 0 ) = B )
43	40, 42	syl 16	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. RR* /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 <_ C ) ) /\ 0 < B ) -> ( B +e 0 ) = B )
44		xleadd2a 11458	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( 0 e. RR* /\ C e. RR* /\ B e. RR* ) /\ 0 <_ C ) -> ( B +e 0 ) <_ ( B +e C ) )
45	39, 12, 40, 17, 44	syl31anc 1231	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. RR* /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 <_ C ) ) /\ 0 < B ) -> ( B +e 0 ) <_ ( B +e C ) )
46	43, 45	eqbrtrrd 4475	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. RR* /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 <_ C ) ) /\ 0 < B ) -> B <_ ( B +e C ) )
47	39, 40, 37, 41, 46	xrltletrd 11376	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. RR* /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 <_ C ) ) /\ 0 < B ) -> 0 < ( B +e C ) )
48		xmulpnf2 11479	. . . . . . 7 |- ( ( ( B +e C ) e. RR* /\ 0 < ( B +e C ) ) -> ( +oo xe ( B +e C ) ) = +oo )
49	37, 47, 48	syl2anc 661	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. RR* /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 <_ C ) ) /\ 0 < B ) -> ( +oo xe ( B +e C ) ) = +oo )
50	34, 49	sylan9eqr 2530	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 <_ C ) ) /\ 0 < B ) /\ A = +oo ) -> ( A xe ( B +e C ) ) = +oo )
51	26, 33, 50	3eqtr4rd 2519	. . . 4 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 <_ C ) ) /\ 0 < B ) /\ A = +oo ) -> ( A xe ( B +e C ) ) = ( ( A xe B ) +e ( A xe C ) ) )
52		mnfxr 11335	. . . . . . . 8 |- -oo e. RR*
53		xmulcl 11477	. . . . . . . 8 |- ( ( -oo e. RR* /\ C e. RR* ) -> ( -oo xe C ) e. RR* )
54	52, 12, 53	sylancr 663	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. RR* /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 <_ C ) ) /\ 0 < B ) -> ( -oo xe C ) e. RR* )
55		xnegmnf 11421	. . . . . . . . . . . . 13 |- -e -oo = +oo
56	55	oveq1i 6305	. . . . . . . . . . . 12 |- ( -e -oo xe C ) = ( +oo xe C )
57		xmulneg1 11473	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( -oo e. RR* /\ C e. RR* ) -> ( -e -oo xe C ) = -e ( -oo xe C ) )
58	52, 12, 57	sylancr 663	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. RR* /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 <_ C ) ) /\ 0 < B ) -> ( -e -oo xe C ) = -e ( -oo xe C ) )
59	56, 58	syl5reqr 2523	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. RR* /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 <_ C ) ) /\ 0 < B ) -> -e ( -oo xe C ) = ( +oo xe C ) )
60		xnegpnf 11420	. . . . . . . . . . . 12 |- -e +oo = -oo
61	60	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. RR* /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 <_ C ) ) /\ 0 < B ) -> -e +oo = -oo )
62	59, 61	eqeq12d 2489	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. RR* /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 <_ C ) ) /\ 0 < B ) -> ( -e ( -oo xe C ) = -e +oo <-> ( +oo xe C ) = -oo ) )
63		xneg11 11426	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( -oo xe C ) e. RR* /\ +oo e. RR* ) -> ( -e ( -oo xe C ) = -e +oo <-> ( -oo xe C ) = +oo ) )
64	54, 11, 63	sylancl 662	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. RR* /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 <_ C ) ) /\ 0 < B ) -> ( -e ( -oo xe C ) = -e +oo <-> ( -oo xe C ) = +oo ) )
65	62, 64	bitr3d 255	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. RR* /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 <_ C ) ) /\ 0 < B ) -> ( ( +oo xe C ) = -oo <-> ( -oo xe C ) = +oo ) )
66	65	necon3bid 2725	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. RR* /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 <_ C ) ) /\ 0 < B ) -> ( ( +oo xe C ) =/= -oo <-> ( -oo xe C ) =/= +oo ) )
67	23, 66	mpbid 210	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. RR* /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 <_ C ) ) /\ 0 < B ) -> ( -oo xe C ) =/= +oo )
68		xaddmnf2 11440	. . . . . . 7 |- ( ( ( -oo xe C ) e. RR* /\ ( -oo xe C ) =/= +oo ) -> ( -oo +e ( -oo xe C ) ) = -oo )
69	54, 67, 68	syl2anc 661	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. RR* /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 <_ C ) ) /\ 0 < B ) -> ( -oo +e ( -oo xe C ) ) = -oo )
70	69	adantr 465	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 <_ C ) ) /\ 0 < B ) /\ A = -oo ) -> ( -oo +e ( -oo xe C ) ) = -oo )
71		oveq1 6302	. . . . . . 7 |- ( A = -oo -> ( A xe B ) = ( -oo xe B ) )
72		oveq1 6302	. . . . . . 7 |- ( A = -oo -> ( A xe C ) = ( -oo xe C ) )
73	71, 72	oveq12d 6313	. . . . . 6 |- ( A = -oo -> ( ( A xe B ) +e ( A xe C ) ) = ( ( -oo xe B ) +e ( -oo xe C ) ) )
74		xmulmnf2 11481	. . . . . . . 8 |- ( ( B e. RR* /\ 0 < B ) -> ( -oo xe B ) = -oo )
75	5, 74	sylan 471	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. RR* /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 <_ C ) ) /\ 0 < B ) -> ( -oo xe B ) = -oo )
76	75	oveq1d 6310	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. RR* /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 <_ C ) ) /\ 0 < B ) -> ( ( -oo xe B ) +e ( -oo xe C ) ) = ( -oo +e ( -oo xe C ) ) )
77	73, 76	sylan9eqr 2530	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 <_ C ) ) /\ 0 < B ) /\ A = -oo ) -> ( ( A xe B ) +e ( A xe C ) ) = ( -oo +e ( -oo xe C ) ) )
78		oveq1 6302	. . . . . 6 |- ( A = -oo -> ( A xe ( B +e C ) ) = ( -oo xe ( B +e C ) ) )
79		xmulmnf2 11481	. . . . . . 7 |- ( ( ( B +e C ) e. RR* /\ 0 < ( B +e C ) ) -> ( -oo xe ( B +e C ) ) = -oo )
80	37, 47, 79	syl2anc 661	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. RR* /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 <_ C ) ) /\ 0 < B ) -> ( -oo xe ( B +e C ) ) = -oo )
81	78, 80	sylan9eqr 2530	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 <_ C ) ) /\ 0 < B ) /\ A = -oo ) -> ( A xe ( B +e C ) ) = -oo )
82	70, 77, 81	3eqtr4rd 2519	. . . 4 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 <_ C ) ) /\ 0 < B ) /\ A = -oo ) -> ( A xe ( B +e C ) ) = ( ( A xe B ) +e ( A xe C ) ) )
83	10, 51, 82	3jaodan 1294	. . 3 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 <_ C ) ) /\ 0 < B ) /\ ( A e. RR \/ A = +oo \/ A = -oo ) ) -> ( A xe ( B +e C ) ) = ( ( A xe B ) +e ( A xe C ) ) )
84	3, 83	mpdan 668	. 2 |- ( ( ( A e. RR* /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 <_ C ) ) /\ 0 < B ) -> ( A xe ( B +e C ) ) = ( ( A xe B ) +e ( A xe C ) ) )
85		simp1 996	. . . . . 6 |- ( ( A e. RR* /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 <_ C ) ) -> A e. RR* )
86		xmulcl 11477	. . . . . 6 |- ( ( A e. RR* /\ C e. RR* ) -> ( A xe C ) e. RR* )
87	85, 7, 86	syl2anc 661	. . . . 5 |- ( ( A e. RR* /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 <_ C ) ) -> ( A xe C ) e. RR* )
88	87	adantr 465	. . . 4 |- ( ( ( A e. RR* /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 <_ C ) ) /\ 0 = B ) -> ( A xe C ) e. RR* )
89		xaddid2 11451	. . . 4 |- ( ( A xe C ) e. RR* -> ( 0 +e ( A xe C ) ) = ( A xe C ) )
90	88, 89	syl 16	. . 3 |- ( ( ( A e. RR* /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 <_ C ) ) /\ 0 = B ) -> ( 0 +e ( A xe C ) ) = ( A xe C ) )
91		oveq2 6303	. . . . . 6 |- ( 0 = B -> ( A xe 0 ) = ( A xe B ) )
92	91	eqcomd 2475	. . . . 5 |- ( 0 = B -> ( A xe B ) = ( A xe 0 ) )
93		xmul01 11471	. . . . . 6 |- ( A e. RR* -> ( A xe 0 ) = 0 )
94	93	3ad2ant1 1017	. . . . 5 |- ( ( A e. RR* /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 <_ C ) ) -> ( A xe 0 ) = 0 )
95	92, 94	sylan9eqr 2530	. . . 4 |- ( ( ( A e. RR* /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 <_ C ) ) /\ 0 = B ) -> ( A xe B ) = 0 )
96	95	oveq1d 6310	. . 3 |- ( ( ( A e. RR* /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 <_ C ) ) /\ 0 = B ) -> ( ( A xe B ) +e ( A xe C ) ) = ( 0 +e ( A xe C ) ) )
97		oveq1 6302	. . . . . 6 |- ( 0 = B -> ( 0 +e C ) = ( B +e C ) )
98	97	eqcomd 2475	. . . . 5 |- ( 0 = B -> ( B +e C ) = ( 0 +e C ) )
99		xaddid2 11451	. . . . . 6 |- ( C e. RR* -> ( 0 +e C ) = C )
100	7, 99	syl 16	. . . . 5 |- ( ( A e. RR* /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 <_ C ) ) -> ( 0 +e C ) = C )
101	98, 100	sylan9eqr 2530	. . . 4 |- ( ( ( A e. RR* /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 <_ C ) ) /\ 0 = B ) -> ( B +e C ) = C )
102	101	oveq2d 6311	. . 3 |- ( ( ( A e. RR* /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 <_ C ) ) /\ 0 = B ) -> ( A xe ( B +e C ) ) = ( A xe C ) )
103	90, 96, 102	3eqtr4rd 2519	. 2 |- ( ( ( A e. RR* /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 <_ C ) ) /\ 0 = B ) -> ( A xe ( B +e C ) ) = ( ( A xe B ) +e ( A xe C ) ) )
104		simp2r 1023	. . 3 |- ( ( A e. RR* /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 <_ C ) ) -> 0 <_ B )
105		xrleloe 11362	. . . 4 |- ( ( 0 e. RR* /\ B e. RR* ) -> ( 0 <_ B <-> ( 0 < B \/ 0 = B ) ) )
106	38, 5, 105	sylancr 663	. . 3 |- ( ( A e. RR* /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 <_ C ) ) -> ( 0 <_ B <-> ( 0 < B \/ 0 = B ) ) )
107	104, 106	mpbid 210	. 2 |- ( ( A e. RR* /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 <_ C ) ) -> ( 0 < B \/ 0 = B ) )
108	84, 103, 107	mpjaodan 784	1 |- ( ( A e. RR* /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 <_ C ) ) -> ( A xe ( B +e C ) ) = ( ( A xe B ) +e ( A xe C ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   \/ wo 368   /\ wa 369   \/ w3o 972   /\ w3a 973   = wceq 1379   e. wcel 1767   =/= wne 2662   class class class wbr 4453  (class class class)co 6295   RRcr 9503   0cc0 9504   +oocpnf 9637   -oocmnf 9638   RR*cxr 9639   < clt 9640   <_ cle 9641   -ecxne 11327   +ecxad 11328   xecxmu 11329

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587  ax-cnex 9560  ax-resscn 9561  ax-1cn 9562  ax-icn 9563  ax-addcl 9564  ax-addrcl 9565  ax-mulcl 9566  ax-mulrcl 9567  ax-mulcom 9568  ax-addass 9569  ax-mulass 9570  ax-distr 9571  ax-i2m1 9572  ax-1ne0 9573  ax-1rid 9574  ax-rnegex 9575  ax-rrecex 9576  ax-cnre 9577  ax-pre-lttri 9578  ax-pre-lttrn 9579  ax-pre-ltadd 9580  ax-pre-mulgt0 9581

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-op 4040  df-uni 4252  df-iun 4333  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6256  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-1st 6795  df-2nd 6796  df-er 7323  df-en 7529  df-dom 7530  df-sdom 7531  df-pnf 9642  df-mnf 9643  df-xr 9644  df-ltxr 9645  df-le 9646  df-sub 9819  df-neg 9820  df-xneg 11330  df-xadd 11331  df-xmul 11332

This theorem is referenced by:  xadddi2r  11502