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Theorem xadddi2 10832
Description: The assumption that the multiplier be real in xadddi 10830 can be relaxed if the addends have the same sign. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
xadddi2  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  ( B  e.  RR*  /\  0  <_  B )  /\  ( C  e.  RR*  /\  0  <_  C ) )  -> 
( A x e ( B + e C ) )  =  ( ( A x e B ) + e ( A x e C ) ) )

Proof of Theorem xadddi2
StepHypRef Expression
1 simpl1 960 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  ( B  e.  RR*  /\  0  <_  B )  /\  ( C  e.  RR*  /\  0  <_  C )
)  /\  0  <  B )  ->  A  e.  RR* )
2 elxr 10672 . . . 4  |-  ( A  e.  RR*  <->  ( A  e.  RR  \/  A  = 
+oo  \/  A  =  -oo ) )
31, 2sylib 189 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  ( B  e.  RR*  /\  0  <_  B )  /\  ( C  e.  RR*  /\  0  <_  C )
)  /\  0  <  B )  ->  ( A  e.  RR  \/  A  = 
+oo  \/  A  =  -oo ) )
4 simpr 448 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e. 
RR*  /\  ( B  e.  RR*  /\  0  <_  B )  /\  ( C  e.  RR*  /\  0  <_  C ) )  /\  0  <  B )  /\  A  e.  RR )  ->  A  e.  RR )
5 simp2l 983 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  ( B  e.  RR*  /\  0  <_  B )  /\  ( C  e.  RR*  /\  0  <_  C ) )  ->  B  e.  RR* )
65ad2antrr 707 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e. 
RR*  /\  ( B  e.  RR*  /\  0  <_  B )  /\  ( C  e.  RR*  /\  0  <_  C ) )  /\  0  <  B )  /\  A  e.  RR )  ->  B  e.  RR* )
7 simp3l 985 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  ( B  e.  RR*  /\  0  <_  B )  /\  ( C  e.  RR*  /\  0  <_  C ) )  ->  C  e.  RR* )
87ad2antrr 707 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e. 
RR*  /\  ( B  e.  RR*  /\  0  <_  B )  /\  ( C  e.  RR*  /\  0  <_  C ) )  /\  0  <  B )  /\  A  e.  RR )  ->  C  e.  RR* )
9 xadddi 10830 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR*  /\  C  e.  RR* )  ->  ( A x e ( B + e C ) )  =  ( ( A x e B ) + e ( A x e C ) ) )
104, 6, 8, 9syl3anc 1184 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  e. 
RR*  /\  ( B  e.  RR*  /\  0  <_  B )  /\  ( C  e.  RR*  /\  0  <_  C ) )  /\  0  <  B )  /\  A  e.  RR )  ->  ( A x e ( B + e C ) )  =  ( ( A x e B ) + e ( A x e C ) ) )
11 pnfxr 10669 . . . . . . 7  |-  +oo  e.  RR*
127adantr 452 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  ( B  e.  RR*  /\  0  <_  B )  /\  ( C  e.  RR*  /\  0  <_  C )
)  /\  0  <  B )  ->  C  e.  RR* )
1312adantr 452 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e. 
RR*  /\  ( B  e.  RR*  /\  0  <_  B )  /\  ( C  e.  RR*  /\  0  <_  C ) )  /\  0  <  B )  /\  A  =  +oo )  ->  C  e.  RR* )
14 xmulcl 10808 . . . . . . 7  |-  ( ( 
+oo  e.  RR*  /\  C  e.  RR* )  ->  (  +oo x e C )  e.  RR* )
1511, 13, 14sylancr 645 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e. 
RR*  /\  ( B  e.  RR*  /\  0  <_  B )  /\  ( C  e.  RR*  /\  0  <_  C ) )  /\  0  <  B )  /\  A  =  +oo )  -> 
(  +oo x e C )  e.  RR* )
1611, 12, 14sylancr 645 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  ( B  e.  RR*  /\  0  <_  B )  /\  ( C  e.  RR*  /\  0  <_  C )
)  /\  0  <  B )  ->  (  +oo x e C )  e. 
RR* )
17 simpl3r 1013 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  ( B  e.  RR*  /\  0  <_  B )  /\  ( C  e.  RR*  /\  0  <_  C )
)  /\  0  <  B )  ->  0  <_  C )
18 0xr 9087 . . . . . . . . . . 11  |-  0  e.  RR*
19 pnfge 10683 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 0  e.  RR*  ->  0  <_  +oo )
2018, 19ax-mp 8 . . . . . . . . . 10  |-  0  <_  +oo
21 xmulge0 10819 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( (  +oo  e.  RR*  /\  0  <_  +oo )  /\  ( C  e.  RR*  /\  0  <_  C ) )  -> 
0  <_  (  +oo x e C ) )
2211, 20, 21mpanl12 664 . . . . . . . . 9  |-  ( ( C  e.  RR*  /\  0  <_  C )  ->  0  <_  (  +oo x e C ) )
2312, 17, 22syl2anc 643 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  ( B  e.  RR*  /\  0  <_  B )  /\  ( C  e.  RR*  /\  0  <_  C )
)  /\  0  <  B )  ->  0  <_  ( 
+oo x e C ) )
24 ge0nemnf 10717 . . . . . . . 8  |-  ( ( (  +oo x e C )  e.  RR*  /\  0  <_  (  +oo x e C ) )  ->  (  +oo x e C )  =/=  -oo )
2516, 23, 24syl2anc 643 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  ( B  e.  RR*  /\  0  <_  B )  /\  ( C  e.  RR*  /\  0  <_  C )
)  /\  0  <  B )  ->  (  +oo x e C )  =/= 
-oo )
2625adantr 452 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e. 
RR*  /\  ( B  e.  RR*  /\  0  <_  B )  /\  ( C  e.  RR*  /\  0  <_  C ) )  /\  0  <  B )  /\  A  =  +oo )  -> 
(  +oo x e C )  =/=  -oo )
27 xaddpnf2 10769 . . . . . 6  |-  ( ( (  +oo x e C )  e.  RR*  /\  (  +oo x e C )  =/=  -oo )  ->  (  +oo + e (  +oo x e C ) )  = 
+oo )
2815, 26, 27syl2anc 643 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e. 
RR*  /\  ( B  e.  RR*  /\  0  <_  B )  /\  ( C  e.  RR*  /\  0  <_  C ) )  /\  0  <  B )  /\  A  =  +oo )  -> 
(  +oo + e ( 
+oo x e C ) )  =  +oo )
29 oveq1 6047 . . . . . . 7  |-  ( A  =  +oo  ->  ( A x e B )  =  (  +oo x e B ) )
30 oveq1 6047 . . . . . . 7  |-  ( A  =  +oo  ->  ( A x e C )  =  (  +oo x e C ) )
3129, 30oveq12d 6058 . . . . . 6  |-  ( A  =  +oo  ->  (
( A x e B ) + e
( A x e C ) )  =  ( (  +oo x e B ) + e
(  +oo x e C ) ) )
32 xmulpnf2 10810 . . . . . . . 8  |-  ( ( B  e.  RR*  /\  0  <  B )  ->  (  +oo x e B )  =  +oo )
335, 32sylan 458 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  ( B  e.  RR*  /\  0  <_  B )  /\  ( C  e.  RR*  /\  0  <_  C )
)  /\  0  <  B )  ->  (  +oo x e B )  = 
+oo )
3433oveq1d 6055 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  ( B  e.  RR*  /\  0  <_  B )  /\  ( C  e.  RR*  /\  0  <_  C )
)  /\  0  <  B )  ->  ( (  +oo x e B ) + e (  +oo x e C ) )  =  (  +oo + e (  +oo x e C ) ) )
3531, 34sylan9eqr 2458 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e. 
RR*  /\  ( B  e.  RR*  /\  0  <_  B )  /\  ( C  e.  RR*  /\  0  <_  C ) )  /\  0  <  B )  /\  A  =  +oo )  -> 
( ( A x e B ) + e ( A x e C ) )  =  (  +oo + e (  +oo x e C ) ) )
36 oveq1 6047 . . . . . 6  |-  ( A  =  +oo  ->  ( A x e ( B + e C ) )  =  (  +oo x e ( B + e C ) ) )
37 xaddcl 10779 . . . . . . . . 9  |-  ( ( B  e.  RR*  /\  C  e.  RR* )  ->  ( B + e C )  e.  RR* )
385, 7, 37syl2anc 643 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  ( B  e.  RR*  /\  0  <_  B )  /\  ( C  e.  RR*  /\  0  <_  C ) )  -> 
( B + e C )  e.  RR* )
3938adantr 452 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  ( B  e.  RR*  /\  0  <_  B )  /\  ( C  e.  RR*  /\  0  <_  C )
)  /\  0  <  B )  ->  ( B + e C )  e. 
RR* )
4018a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  ( B  e.  RR*  /\  0  <_  B )  /\  ( C  e.  RR*  /\  0  <_  C )
)  /\  0  <  B )  ->  0  e.  RR* )
415adantr 452 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  ( B  e.  RR*  /\  0  <_  B )  /\  ( C  e.  RR*  /\  0  <_  C )
)  /\  0  <  B )  ->  B  e.  RR* )
42 simpr 448 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  ( B  e.  RR*  /\  0  <_  B )  /\  ( C  e.  RR*  /\  0  <_  C )
)  /\  0  <  B )  ->  0  <  B )
43 xaddid1 10781 . . . . . . . . . 10  |-  ( B  e.  RR*  ->  ( B + e 0 )  =  B )
4441, 43syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  ( B  e.  RR*  /\  0  <_  B )  /\  ( C  e.  RR*  /\  0  <_  C )
)  /\  0  <  B )  ->  ( B + e 0 )  =  B )
45 xleadd2a 10789 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( 0  e.  RR*  /\  C  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  0  <_  C )  ->  ( B + e 0 )  <_  ( B + e C ) )
4640, 12, 41, 17, 45syl31anc 1187 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  ( B  e.  RR*  /\  0  <_  B )  /\  ( C  e.  RR*  /\  0  <_  C )
)  /\  0  <  B )  ->  ( B + e 0 )  <_ 
( B + e C ) )
4744, 46eqbrtrrd 4194 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  ( B  e.  RR*  /\  0  <_  B )  /\  ( C  e.  RR*  /\  0  <_  C )
)  /\  0  <  B )  ->  B  <_  ( B + e C ) )
4840, 41, 39, 42, 47xrltletrd 10707 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  ( B  e.  RR*  /\  0  <_  B )  /\  ( C  e.  RR*  /\  0  <_  C )
)  /\  0  <  B )  ->  0  <  ( B + e C ) )
49 xmulpnf2 10810 . . . . . . 7  |-  ( ( ( B + e C )  e.  RR*  /\  0  <  ( B + e C ) )  ->  (  +oo x e ( B + e C ) )  = 
+oo )
5039, 48, 49syl2anc 643 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  ( B  e.  RR*  /\  0  <_  B )  /\  ( C  e.  RR*  /\  0  <_  C )
)  /\  0  <  B )  ->  (  +oo x e ( B + e C ) )  = 
+oo )
5136, 50sylan9eqr 2458 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e. 
RR*  /\  ( B  e.  RR*  /\  0  <_  B )  /\  ( C  e.  RR*  /\  0  <_  C ) )  /\  0  <  B )  /\  A  =  +oo )  -> 
( A x e ( B + e C ) )  = 
+oo )
5228, 35, 513eqtr4rd 2447 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  e. 
RR*  /\  ( B  e.  RR*  /\  0  <_  B )  /\  ( C  e.  RR*  /\  0  <_  C ) )  /\  0  <  B )  /\  A  =  +oo )  -> 
( A x e ( B + e C ) )  =  ( ( A x e B ) + e ( A x e C ) ) )
53 mnfxr 10670 . . . . . . . 8  |-  -oo  e.  RR*
54 xmulcl 10808 . . . . . . . 8  |-  ( ( 
-oo  e.  RR*  /\  C  e.  RR* )  ->  (  -oo x e C )  e.  RR* )
5553, 12, 54sylancr 645 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  ( B  e.  RR*  /\  0  <_  B )  /\  ( C  e.  RR*  /\  0  <_  C )
)  /\  0  <  B )  ->  (  -oo x e C )  e. 
RR* )
56 xnegmnf 10752 . . . . . . . . . . . . 13  |-  - e  -oo  =  +oo
5756oveq1i 6050 . . . . . . . . . . . 12  |-  (  - e  -oo x e C )  =  (  +oo x e C )
58 xmulneg1 10804 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 
-oo  e.  RR*  /\  C  e.  RR* )  ->  (  - e  -oo x e C )  =  - e (  -oo x e C ) )
5953, 12, 58sylancr 645 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  ( B  e.  RR*  /\  0  <_  B )  /\  ( C  e.  RR*  /\  0  <_  C )
)  /\  0  <  B )  ->  (  - e  -oo x e C )  =  - e ( 
-oo x e C ) )
6057, 59syl5reqr 2451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  ( B  e.  RR*  /\  0  <_  B )  /\  ( C  e.  RR*  /\  0  <_  C )
)  /\  0  <  B )  ->  - e ( 
-oo x e C )  =  (  +oo x e C ) )
61 xnegpnf 10751 . . . . . . . . . . . 12  |-  - e  +oo  =  -oo
6261a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  ( B  e.  RR*  /\  0  <_  B )  /\  ( C  e.  RR*  /\  0  <_  C )
)  /\  0  <  B )  ->  - e  +oo  =  -oo )
6360, 62eqeq12d 2418 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  ( B  e.  RR*  /\  0  <_  B )  /\  ( C  e.  RR*  /\  0  <_  C )
)  /\  0  <  B )  ->  (  - e
(  -oo x e C )  =  - e  +oo 
<->  (  +oo x e C )  =  -oo ) )
64 xneg11 10757 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( (  -oo x e C )  e.  RR*  /\ 
+oo  e.  RR* )  -> 
(  - e (  -oo x e C )  = 
- e  +oo  <->  (  -oo x e C )  = 
+oo ) )
6555, 11, 64sylancl 644 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  ( B  e.  RR*  /\  0  <_  B )  /\  ( C  e.  RR*  /\  0  <_  C )
)  /\  0  <  B )  ->  (  - e
(  -oo x e C )  =  - e  +oo 
<->  (  -oo x e C )  =  +oo ) )
6663, 65bitr3d 247 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  ( B  e.  RR*  /\  0  <_  B )  /\  ( C  e.  RR*  /\  0  <_  C )
)  /\  0  <  B )  ->  ( (  +oo x e C )  =  -oo  <->  (  -oo x e C )  = 
+oo ) )
6766necon3bid 2602 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  ( B  e.  RR*  /\  0  <_  B )  /\  ( C  e.  RR*  /\  0  <_  C )
)  /\  0  <  B )  ->  ( (  +oo x e C )  =/=  -oo  <->  (  -oo x e C )  =/=  +oo ) )
6825, 67mpbid 202 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  ( B  e.  RR*  /\  0  <_  B )  /\  ( C  e.  RR*  /\  0  <_  C )
)  /\  0  <  B )  ->  (  -oo x e C )  =/= 
+oo )
69 xaddmnf2 10771 . . . . . . 7  |-  ( ( (  -oo x e C )  e.  RR*  /\  (  -oo x e C )  =/=  +oo )  ->  (  -oo + e (  -oo x e C ) )  = 
-oo )
7055, 68, 69syl2anc 643 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  ( B  e.  RR*  /\  0  <_  B )  /\  ( C  e.  RR*  /\  0  <_  C )
)  /\  0  <  B )  ->  (  -oo + e (  -oo x e C ) )  = 
-oo )
7170adantr 452 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e. 
RR*  /\  ( B  e.  RR*  /\  0  <_  B )  /\  ( C  e.  RR*  /\  0  <_  C ) )  /\  0  <  B )  /\  A  =  -oo )  -> 
(  -oo + e ( 
-oo x e C ) )  =  -oo )
72 oveq1 6047 . . . . . . 7  |-  ( A  =  -oo  ->  ( A x e B )  =  (  -oo x e B ) )
73 oveq1 6047 . . . . . . 7  |-  ( A  =  -oo  ->  ( A x e C )  =  (  -oo x e C ) )
7472, 73oveq12d 6058 . . . . . 6  |-  ( A  =  -oo  ->  (
( A x e B ) + e
( A x e C ) )  =  ( (  -oo x e B ) + e
(  -oo x e C ) ) )
75 xmulmnf2 10812 . . . . . . . 8  |-  ( ( B  e.  RR*  /\  0  <  B )  ->  (  -oo x e B )  =  -oo )
765, 75sylan 458 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  ( B  e.  RR*  /\  0  <_  B )  /\  ( C  e.  RR*  /\  0  <_  C )
)  /\  0  <  B )  ->  (  -oo x e B )  = 
-oo )
7776oveq1d 6055 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  ( B  e.  RR*  /\  0  <_  B )  /\  ( C  e.  RR*  /\  0  <_  C )
)  /\  0  <  B )  ->  ( (  -oo x e B ) + e (  -oo x e C ) )  =  (  -oo + e (  -oo x e C ) ) )
7874, 77sylan9eqr 2458 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e. 
RR*  /\  ( B  e.  RR*  /\  0  <_  B )  /\  ( C  e.  RR*  /\  0  <_  C ) )  /\  0  <  B )  /\  A  =  -oo )  -> 
( ( A x e B ) + e ( A x e C ) )  =  (  -oo + e (  -oo x e C ) ) )
79 oveq1 6047 . . . . . 6  |-  ( A  =  -oo  ->  ( A x e ( B + e C ) )  =  (  -oo x e ( B + e C ) ) )
80 xmulmnf2 10812 . . . . . . 7  |-  ( ( ( B + e C )  e.  RR*  /\  0  <  ( B + e C ) )  ->  (  -oo x e ( B + e C ) )  = 
-oo )
8139, 48, 80syl2anc 643 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  ( B  e.  RR*  /\  0  <_  B )  /\  ( C  e.  RR*  /\  0  <_  C )
)  /\  0  <  B )  ->  (  -oo x e ( B + e C ) )  = 
-oo )
8279, 81sylan9eqr 2458 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e. 
RR*  /\  ( B  e.  RR*  /\  0  <_  B )  /\  ( C  e.  RR*  /\  0  <_  C ) )  /\  0  <  B )  /\  A  =  -oo )  -> 
( A x e ( B + e C ) )  = 
-oo )
8371, 78, 823eqtr4rd 2447 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  e. 
RR*  /\  ( B  e.  RR*  /\  0  <_  B )  /\  ( C  e.  RR*  /\  0  <_  C ) )  /\  0  <  B )  /\  A  =  -oo )  -> 
( A x e ( B + e C ) )  =  ( ( A x e B ) + e ( A x e C ) ) )
8410, 52, 833jaodan 1250 . . 3  |-  ( ( ( ( A  e. 
RR*  /\  ( B  e.  RR*  /\  0  <_  B )  /\  ( C  e.  RR*  /\  0  <_  C ) )  /\  0  <  B )  /\  ( A  e.  RR  \/  A  =  +oo  \/  A  =  -oo )
)  ->  ( A x e ( B + e C ) )  =  ( ( A x e B ) + e ( A x e C ) ) )
853, 84mpdan 650 . 2  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  ( B  e.  RR*  /\  0  <_  B )  /\  ( C  e.  RR*  /\  0  <_  C )
)  /\  0  <  B )  ->  ( A x e ( B + e C ) )  =  ( ( A x e B ) + e ( A x e C ) ) )
86 simp1 957 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  ( B  e.  RR*  /\  0  <_  B )  /\  ( C  e.  RR*  /\  0  <_  C ) )  ->  A  e.  RR* )
87 xmulcl 10808 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  C  e.  RR* )  ->  ( A x e C )  e.  RR* )
8886, 7, 87syl2anc 643 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  ( B  e.  RR*  /\  0  <_  B )  /\  ( C  e.  RR*  /\  0  <_  C ) )  -> 
( A x e C )  e.  RR* )
8988adantr 452 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  ( B  e.  RR*  /\  0  <_  B )  /\  ( C  e.  RR*  /\  0  <_  C )
)  /\  0  =  B )  ->  ( A x e C )  e.  RR* )
90 xaddid2 10782 . . . 4  |-  ( ( A x e C )  e.  RR*  ->  ( 0 + e ( A x e C ) )  =  ( A x e C ) )
9189, 90syl 16 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  ( B  e.  RR*  /\  0  <_  B )  /\  ( C  e.  RR*  /\  0  <_  C )
)  /\  0  =  B )  ->  (
0 + e ( A x e C ) )  =  ( A x e C ) )
92 oveq2 6048 . . . . . 6  |-  ( 0  =  B  ->  ( A x e 0 )  =  ( A x e B ) )
9392eqcomd 2409 . . . . 5  |-  ( 0  =  B  ->  ( A x e B )  =  ( A x e 0 ) )
94 xmul01 10802 . . . . . 6  |-  ( A  e.  RR*  ->  ( A x e 0 )  =  0 )
95943ad2ant1 978 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  ( B  e.  RR*  /\  0  <_  B )  /\  ( C  e.  RR*  /\  0  <_  C ) )  -> 
( A x e 0 )  =  0 )
9693, 95sylan9eqr 2458 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  ( B  e.  RR*  /\  0  <_  B )  /\  ( C  e.  RR*  /\  0  <_  C )
)  /\  0  =  B )  ->  ( A x e B )  =  0 )
9796oveq1d 6055 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  ( B  e.  RR*  /\  0  <_  B )  /\  ( C  e.  RR*  /\  0  <_  C )
)  /\  0  =  B )  ->  (
( A x e B ) + e
( A x e C ) )  =  ( 0 + e
( A x e C ) ) )
98 oveq1 6047 . . . . . 6  |-  ( 0  =  B  ->  (
0 + e C )  =  ( B + e C ) )
9998eqcomd 2409 . . . . 5  |-  ( 0  =  B  ->  ( B + e C )  =  ( 0 + e C ) )
100 xaddid2 10782 . . . . . 6  |-  ( C  e.  RR*  ->  ( 0 + e C )  =  C )
1017, 100syl 16 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  ( B  e.  RR*  /\  0  <_  B )  /\  ( C  e.  RR*  /\  0  <_  C ) )  -> 
( 0 + e C )  =  C )
10299, 101sylan9eqr 2458 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  ( B  e.  RR*  /\  0  <_  B )  /\  ( C  e.  RR*  /\  0  <_  C )
)  /\  0  =  B )  ->  ( B + e C )  =  C )
103102oveq2d 6056 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  ( B  e.  RR*  /\  0  <_  B )  /\  ( C  e.  RR*  /\  0  <_  C )
)  /\  0  =  B )  ->  ( A x e ( B + e C ) )  =  ( A x e C ) )
10491, 97, 1033eqtr4rd 2447 . 2  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  ( B  e.  RR*  /\  0  <_  B )  /\  ( C  e.  RR*  /\  0  <_  C )
)  /\  0  =  B )  ->  ( A x e ( B + e C ) )  =  ( ( A x e B ) + e ( A x e C ) ) )
105 simp2r 984 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  ( B  e.  RR*  /\  0  <_  B )  /\  ( C  e.  RR*  /\  0  <_  C ) )  -> 
0  <_  B )
106 xrleloe 10693 . . . 4  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  (
0  <_  B  <->  ( 0  <  B  \/  0  =  B ) ) )
10718, 5, 106sylancr 645 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  ( B  e.  RR*  /\  0  <_  B )  /\  ( C  e.  RR*  /\  0  <_  C ) )  -> 
( 0  <_  B  <->  ( 0  <  B  \/  0  =  B )
) )
108105, 107mpbid 202 . 2  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  ( B  e.  RR*  /\  0  <_  B )  /\  ( C  e.  RR*  /\  0  <_  C ) )  -> 
( 0  <  B  \/  0  =  B
) )
10985, 104, 108mpjaodan 762 1  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  ( B  e.  RR*  /\  0  <_  B )  /\  ( C  e.  RR*  /\  0  <_  C ) )  -> 
( A x e ( B + e C ) )  =  ( ( A x e B ) + e ( A x e C ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    \/ wo 358    /\ wa 359    \/ w3o 935    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1721    =/= wne 2567   class class class wbr 4172  (class class class)co 6040   RRcr 8945   0cc0 8946    +oocpnf 9073    -oocmnf 9074   RR*cxr 9075    < clt 9076    <_ cle 9077    - ecxne 10663   + ecxad 10664   x ecxmu 10665
This theorem is referenced by:  xadddi2r  10833
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-op 3783  df-uni 3976  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-er 6864  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-xneg 10666  df-xadd 10667  df-xmul 10668
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