Theorem xadddi2 11265

Description: The assumption that the multiplier be real in xadddi 11263 can be relaxed if the addends have the same sign. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
xadddi2	|- ( ( A e. RR* /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 <_ C ) ) -> ( A xe ( B +e C ) ) = ( ( A xe B ) +e ( A xe C ) ) )

Proof of Theorem xadddi2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl1 991	. . . 4 |- ( ( ( A e. RR* /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 <_ C ) ) /\ 0 < B ) -> A e. RR* )
2		elxr 11101	. . . 4 |- ( A e. RR* <-> ( A e. RR \/ A = +oo \/ A = -oo ) )
3	1, 2	sylib 196	. . 3 |- ( ( ( A e. RR* /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 <_ C ) ) /\ 0 < B ) -> ( A e. RR \/ A = +oo \/ A = -oo ) )
4		simpr 461	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 <_ C ) ) /\ 0 < B ) /\ A e. RR ) -> A e. RR )
5		simp2l 1014	. . . . . 6 |- ( ( A e. RR* /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 <_ C ) ) -> B e. RR* )
6	5	ad2antrr 725	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 <_ C ) ) /\ 0 < B ) /\ A e. RR ) -> B e. RR* )
7		simp3l 1016	. . . . . 6 |- ( ( A e. RR* /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 <_ C ) ) -> C e. RR* )
8	7	ad2antrr 725	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 <_ C ) ) /\ 0 < B ) /\ A e. RR ) -> C e. RR* )
9		xadddi 11263	. . . . 5 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) -> ( A xe ( B +e C ) ) = ( ( A xe B ) +e ( A xe C ) ) )
10	4, 6, 8, 9	syl3anc 1218	. . . 4 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 <_ C ) ) /\ 0 < B ) /\ A e. RR ) -> ( A xe ( B +e C ) ) = ( ( A xe B ) +e ( A xe C ) ) )
11		pnfxr 11097	. . . . . . 7 |- +oo e. RR*
12	7	adantr 465	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. RR* /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 <_ C ) ) /\ 0 < B ) -> C e. RR* )
13	12	adantr 465	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 <_ C ) ) /\ 0 < B ) /\ A = +oo ) -> C e. RR* )
14		xmulcl 11241	. . . . . . 7 |- ( ( +oo e. RR* /\ C e. RR* ) -> ( +oo xe C ) e. RR* )
15	11, 13, 14	sylancr 663	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 <_ C ) ) /\ 0 < B ) /\ A = +oo ) -> ( +oo xe C ) e. RR* )
16	11, 12, 14	sylancr 663	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. RR* /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 <_ C ) ) /\ 0 < B ) -> ( +oo xe C ) e. RR* )
17		simpl3r 1044	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. RR* /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 <_ C ) ) /\ 0 < B ) -> 0 <_ C )
18		0lepnf 11116	. . . . . . . . . 10 |- 0 <_ +oo
19		xmulge0 11252	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( +oo e. RR* /\ 0 <_ +oo ) /\ ( C e. RR* /\ 0 <_ C ) ) -> 0 <_ ( +oo xe C ) )
20	11, 18, 19	mpanl12 682	. . . . . . . . 9 |- ( ( C e. RR* /\ 0 <_ C ) -> 0 <_ ( +oo xe C ) )
21	12, 17, 20	syl2anc 661	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. RR* /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 <_ C ) ) /\ 0 < B ) -> 0 <_ ( +oo xe C ) )
22		ge0nemnf 11150	. . . . . . . 8 |- ( ( ( +oo xe C ) e. RR* /\ 0 <_ ( +oo xe C ) ) -> ( +oo xe C ) =/= -oo )
23	16, 21, 22	syl2anc 661	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. RR* /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 <_ C ) ) /\ 0 < B ) -> ( +oo xe C ) =/= -oo )
24	23	adantr 465	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 <_ C ) ) /\ 0 < B ) /\ A = +oo ) -> ( +oo xe C ) =/= -oo )
25		xaddpnf2 11202	. . . . . 6 |- ( ( ( +oo xe C ) e. RR* /\ ( +oo xe C ) =/= -oo ) -> ( +oo +e ( +oo xe C ) ) = +oo )
26	15, 24, 25	syl2anc 661	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 <_ C ) ) /\ 0 < B ) /\ A = +oo ) -> ( +oo +e ( +oo xe C ) ) = +oo )
27		oveq1 6103	. . . . . . 7 |- ( A = +oo -> ( A xe B ) = ( +oo xe B ) )
28		oveq1 6103	. . . . . . 7 |- ( A = +oo -> ( A xe C ) = ( +oo xe C ) )
29	27, 28	oveq12d 6114	. . . . . 6 |- ( A = +oo -> ( ( A xe B ) +e ( A xe C ) ) = ( ( +oo xe B ) +e ( +oo xe C ) ) )
30		xmulpnf2 11243	. . . . . . . 8 |- ( ( B e. RR* /\ 0 < B ) -> ( +oo xe B ) = +oo )
31	5, 30	sylan 471	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. RR* /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 <_ C ) ) /\ 0 < B ) -> ( +oo xe B ) = +oo )
32	31	oveq1d 6111	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. RR* /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 <_ C ) ) /\ 0 < B ) -> ( ( +oo xe B ) +e ( +oo xe C ) ) = ( +oo +e ( +oo xe C ) ) )
33	29, 32	sylan9eqr 2497	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 <_ C ) ) /\ 0 < B ) /\ A = +oo ) -> ( ( A xe B ) +e ( A xe C ) ) = ( +oo +e ( +oo xe C ) ) )
34		oveq1 6103	. . . . . 6 |- ( A = +oo -> ( A xe ( B +e C ) ) = ( +oo xe ( B +e C ) ) )
35		xaddcl 11212	. . . . . . . . 9 |- ( ( B e. RR* /\ C e. RR* ) -> ( B +e C ) e. RR* )
36	5, 7, 35	syl2anc 661	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. RR* /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 <_ C ) ) -> ( B +e C ) e. RR* )
37	36	adantr 465	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. RR* /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 <_ C ) ) /\ 0 < B ) -> ( B +e C ) e. RR* )
38		0xr 9435	. . . . . . . . 9 |- 0 e. RR*
39	38	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. RR* /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 <_ C ) ) /\ 0 < B ) -> 0 e. RR* )
40	5	adantr 465	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. RR* /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 <_ C ) ) /\ 0 < B ) -> B e. RR* )
41		simpr 461	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. RR* /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 <_ C ) ) /\ 0 < B ) -> 0 < B )
42		xaddid1 11214	. . . . . . . . . 10 |- ( B e. RR* -> ( B +e 0 ) = B )
43	40, 42	syl 16	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. RR* /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 <_ C ) ) /\ 0 < B ) -> ( B +e 0 ) = B )
44		xleadd2a 11222	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( 0 e. RR* /\ C e. RR* /\ B e. RR* ) /\ 0 <_ C ) -> ( B +e 0 ) <_ ( B +e C ) )
45	39, 12, 40, 17, 44	syl31anc 1221	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. RR* /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 <_ C ) ) /\ 0 < B ) -> ( B +e 0 ) <_ ( B +e C ) )
46	43, 45	eqbrtrrd 4319	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. RR* /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 <_ C ) ) /\ 0 < B ) -> B <_ ( B +e C ) )
47	39, 40, 37, 41, 46	xrltletrd 11140	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. RR* /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 <_ C ) ) /\ 0 < B ) -> 0 < ( B +e C ) )
48		xmulpnf2 11243	. . . . . . 7 |- ( ( ( B +e C ) e. RR* /\ 0 < ( B +e C ) ) -> ( +oo xe ( B +e C ) ) = +oo )
49	37, 47, 48	syl2anc 661	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. RR* /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 <_ C ) ) /\ 0 < B ) -> ( +oo xe ( B +e C ) ) = +oo )
50	34, 49	sylan9eqr 2497	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 <_ C ) ) /\ 0 < B ) /\ A = +oo ) -> ( A xe ( B +e C ) ) = +oo )
51	26, 33, 50	3eqtr4rd 2486	. . . 4 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 <_ C ) ) /\ 0 < B ) /\ A = +oo ) -> ( A xe ( B +e C ) ) = ( ( A xe B ) +e ( A xe C ) ) )
52		mnfxr 11099	. . . . . . . 8 |- -oo e. RR*
53		xmulcl 11241	. . . . . . . 8 |- ( ( -oo e. RR* /\ C e. RR* ) -> ( -oo xe C ) e. RR* )
54	52, 12, 53	sylancr 663	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. RR* /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 <_ C ) ) /\ 0 < B ) -> ( -oo xe C ) e. RR* )
55		xnegmnf 11185	. . . . . . . . . . . . 13 |- -e -oo = +oo
56	55	oveq1i 6106	. . . . . . . . . . . 12 |- ( -e -oo xe C ) = ( +oo xe C )
57		xmulneg1 11237	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( -oo e. RR* /\ C e. RR* ) -> ( -e -oo xe C ) = -e ( -oo xe C ) )
58	52, 12, 57	sylancr 663	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. RR* /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 <_ C ) ) /\ 0 < B ) -> ( -e -oo xe C ) = -e ( -oo xe C ) )
59	56, 58	syl5reqr 2490	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. RR* /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 <_ C ) ) /\ 0 < B ) -> -e ( -oo xe C ) = ( +oo xe C ) )
60		xnegpnf 11184	. . . . . . . . . . . 12 |- -e +oo = -oo
61	60	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. RR* /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 <_ C ) ) /\ 0 < B ) -> -e +oo = -oo )
62	59, 61	eqeq12d 2457	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. RR* /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 <_ C ) ) /\ 0 < B ) -> ( -e ( -oo xe C ) = -e +oo <-> ( +oo xe C ) = -oo ) )
63		xneg11 11190	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( -oo xe C ) e. RR* /\ +oo e. RR* ) -> ( -e ( -oo xe C ) = -e +oo <-> ( -oo xe C ) = +oo ) )
64	54, 11, 63	sylancl 662	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. RR* /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 <_ C ) ) /\ 0 < B ) -> ( -e ( -oo xe C ) = -e +oo <-> ( -oo xe C ) = +oo ) )
65	62, 64	bitr3d 255	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. RR* /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 <_ C ) ) /\ 0 < B ) -> ( ( +oo xe C ) = -oo <-> ( -oo xe C ) = +oo ) )
66	65	necon3bid 2648	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. RR* /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 <_ C ) ) /\ 0 < B ) -> ( ( +oo xe C ) =/= -oo <-> ( -oo xe C ) =/= +oo ) )
67	23, 66	mpbid 210	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. RR* /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 <_ C ) ) /\ 0 < B ) -> ( -oo xe C ) =/= +oo )
68		xaddmnf2 11204	. . . . . . 7 |- ( ( ( -oo xe C ) e. RR* /\ ( -oo xe C ) =/= +oo ) -> ( -oo +e ( -oo xe C ) ) = -oo )
69	54, 67, 68	syl2anc 661	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. RR* /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 <_ C ) ) /\ 0 < B ) -> ( -oo +e ( -oo xe C ) ) = -oo )
70	69	adantr 465	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 <_ C ) ) /\ 0 < B ) /\ A = -oo ) -> ( -oo +e ( -oo xe C ) ) = -oo )
71		oveq1 6103	. . . . . . 7 |- ( A = -oo -> ( A xe B ) = ( -oo xe B ) )
72		oveq1 6103	. . . . . . 7 |- ( A = -oo -> ( A xe C ) = ( -oo xe C ) )
73	71, 72	oveq12d 6114	. . . . . 6 |- ( A = -oo -> ( ( A xe B ) +e ( A xe C ) ) = ( ( -oo xe B ) +e ( -oo xe C ) ) )
74		xmulmnf2 11245	. . . . . . . 8 |- ( ( B e. RR* /\ 0 < B ) -> ( -oo xe B ) = -oo )
75	5, 74	sylan 471	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. RR* /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 <_ C ) ) /\ 0 < B ) -> ( -oo xe B ) = -oo )
76	75	oveq1d 6111	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. RR* /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 <_ C ) ) /\ 0 < B ) -> ( ( -oo xe B ) +e ( -oo xe C ) ) = ( -oo +e ( -oo xe C ) ) )
77	73, 76	sylan9eqr 2497	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 <_ C ) ) /\ 0 < B ) /\ A = -oo ) -> ( ( A xe B ) +e ( A xe C ) ) = ( -oo +e ( -oo xe C ) ) )
78		oveq1 6103	. . . . . 6 |- ( A = -oo -> ( A xe ( B +e C ) ) = ( -oo xe ( B +e C ) ) )
79		xmulmnf2 11245	. . . . . . 7 |- ( ( ( B +e C ) e. RR* /\ 0 < ( B +e C ) ) -> ( -oo xe ( B +e C ) ) = -oo )
80	37, 47, 79	syl2anc 661	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. RR* /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 <_ C ) ) /\ 0 < B ) -> ( -oo xe ( B +e C ) ) = -oo )
81	78, 80	sylan9eqr 2497	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 <_ C ) ) /\ 0 < B ) /\ A = -oo ) -> ( A xe ( B +e C ) ) = -oo )
82	70, 77, 81	3eqtr4rd 2486	. . . 4 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 <_ C ) ) /\ 0 < B ) /\ A = -oo ) -> ( A xe ( B +e C ) ) = ( ( A xe B ) +e ( A xe C ) ) )
83	10, 51, 82	3jaodan 1284	. . 3 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 <_ C ) ) /\ 0 < B ) /\ ( A e. RR \/ A = +oo \/ A = -oo ) ) -> ( A xe ( B +e C ) ) = ( ( A xe B ) +e ( A xe C ) ) )
84	3, 83	mpdan 668	. 2 |- ( ( ( A e. RR* /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 <_ C ) ) /\ 0 < B ) -> ( A xe ( B +e C ) ) = ( ( A xe B ) +e ( A xe C ) ) )
85		simp1 988	. . . . . 6 |- ( ( A e. RR* /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 <_ C ) ) -> A e. RR* )
86		xmulcl 11241	. . . . . 6 |- ( ( A e. RR* /\ C e. RR* ) -> ( A xe C ) e. RR* )
87	85, 7, 86	syl2anc 661	. . . . 5 |- ( ( A e. RR* /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 <_ C ) ) -> ( A xe C ) e. RR* )
88	87	adantr 465	. . . 4 |- ( ( ( A e. RR* /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 <_ C ) ) /\ 0 = B ) -> ( A xe C ) e. RR* )
89		xaddid2 11215	. . . 4 |- ( ( A xe C ) e. RR* -> ( 0 +e ( A xe C ) ) = ( A xe C ) )
90	88, 89	syl 16	. . 3 |- ( ( ( A e. RR* /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 <_ C ) ) /\ 0 = B ) -> ( 0 +e ( A xe C ) ) = ( A xe C ) )
91		oveq2 6104	. . . . . 6 |- ( 0 = B -> ( A xe 0 ) = ( A xe B ) )
92	91	eqcomd 2448	. . . . 5 |- ( 0 = B -> ( A xe B ) = ( A xe 0 ) )
93		xmul01 11235	. . . . . 6 |- ( A e. RR* -> ( A xe 0 ) = 0 )
94	93	3ad2ant1 1009	. . . . 5 |- ( ( A e. RR* /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 <_ C ) ) -> ( A xe 0 ) = 0 )
95	92, 94	sylan9eqr 2497	. . . 4 |- ( ( ( A e. RR* /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 <_ C ) ) /\ 0 = B ) -> ( A xe B ) = 0 )
96	95	oveq1d 6111	. . 3 |- ( ( ( A e. RR* /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 <_ C ) ) /\ 0 = B ) -> ( ( A xe B ) +e ( A xe C ) ) = ( 0 +e ( A xe C ) ) )
97		oveq1 6103	. . . . . 6 |- ( 0 = B -> ( 0 +e C ) = ( B +e C ) )
98	97	eqcomd 2448	. . . . 5 |- ( 0 = B -> ( B +e C ) = ( 0 +e C ) )
99		xaddid2 11215	. . . . . 6 |- ( C e. RR* -> ( 0 +e C ) = C )
100	7, 99	syl 16	. . . . 5 |- ( ( A e. RR* /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 <_ C ) ) -> ( 0 +e C ) = C )
101	98, 100	sylan9eqr 2497	. . . 4 |- ( ( ( A e. RR* /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 <_ C ) ) /\ 0 = B ) -> ( B +e C ) = C )
102	101	oveq2d 6112	. . 3 |- ( ( ( A e. RR* /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 <_ C ) ) /\ 0 = B ) -> ( A xe ( B +e C ) ) = ( A xe C ) )
103	90, 96, 102	3eqtr4rd 2486	. 2 |- ( ( ( A e. RR* /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 <_ C ) ) /\ 0 = B ) -> ( A xe ( B +e C ) ) = ( ( A xe B ) +e ( A xe C ) ) )
104		simp2r 1015	. . 3 |- ( ( A e. RR* /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 <_ C ) ) -> 0 <_ B )
105		xrleloe 11126	. . . 4 |- ( ( 0 e. RR* /\ B e. RR* ) -> ( 0 <_ B <-> ( 0 < B \/ 0 = B ) ) )
106	38, 5, 105	sylancr 663	. . 3 |- ( ( A e. RR* /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 <_ C ) ) -> ( 0 <_ B <-> ( 0 < B \/ 0 = B ) ) )
107	104, 106	mpbid 210	. 2 |- ( ( A e. RR* /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 <_ C ) ) -> ( 0 < B \/ 0 = B ) )
108	84, 103, 107	mpjaodan 784	1 |- ( ( A e. RR* /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 <_ C ) ) -> ( A xe ( B +e C ) ) = ( ( A xe B ) +e ( A xe C ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   \/ wo 368   /\ wa 369   \/ w3o 964   /\ w3a 965   = wceq 1369   e. wcel 1756   =/= wne 2611   class class class wbr 4297  (class class class)co 6096   RRcr 9286   0cc0 9287   +oocpnf 9420   -oocmnf 9421   RR*cxr 9422   < clt 9423   <_ cle 9424   -ecxne 11091   +ecxad 11092   xecxmu 11093

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4418  ax-nul 4426  ax-pow 4475  ax-pr 4536  ax-un 6377  ax-cnex 9343  ax-resscn 9344  ax-1cn 9345  ax-icn 9346  ax-addcl 9347  ax-addrcl 9348  ax-mulcl 9349  ax-mulrcl 9350  ax-mulcom 9351  ax-addass 9352  ax-mulass 9353  ax-distr 9354  ax-i2m1 9355  ax-1ne0 9356  ax-1rid 9357  ax-rnegex 9358  ax-rrecex 9359  ax-cnre 9360  ax-pre-lttri 9361  ax-pre-lttrn 9362  ax-pre-ltadd 9363  ax-pre-mulgt0 9364

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2573  df-ne 2613  df-nel 2614  df-ral 2725  df-rex 2726  df-reu 2727  df-rab 2729  df-v 2979  df-sbc 3192  df-csb 3294  df-dif 3336  df-un 3338  df-in 3340  df-ss 3347  df-nul 3643  df-if 3797  df-pw 3867  df-sn 3883  df-pr 3885  df-op 3889  df-uni 4097  df-iun 4178  df-br 4298  df-opab 4356  df-mpt 4357  df-id 4641  df-po 4646  df-so 4647  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5386  df-fun 5425  df-fn 5426  df-f 5427  df-f1 5428  df-fo 5429  df-f1o 5430  df-fv 5431  df-riota 6057  df-ov 6099  df-oprab 6100  df-mpt2 6101  df-1st 6582  df-2nd 6583  df-er 7106  df-en 7316  df-dom 7317  df-sdom 7318  df-pnf 9425  df-mnf 9426  df-xr 9427  df-ltxr 9428  df-le 9429  df-sub 9602  df-neg 9603  df-xneg 11094  df-xadd 11095  df-xmul 11096

This theorem is referenced by:  xadddi2r  11266