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Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > xadddi2 | Structured version Visualization version Unicode version |
Description: The assumption that the multiplier be real in xadddi 11606 can be relaxed if the addends have the same sign. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.) |
Ref | Expression |
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xadddi2 |
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Step | Hyp | Ref | Expression |
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1 | simpr 468 |
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2 | simp2l 1056 |
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3 | 2 | ad2antrr 740 |
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4 | simp3l 1058 |
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5 | 4 | ad2antrr 740 |
. . . 4
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6 | xadddi 11606 |
. . . 4
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7 | 1, 3, 5, 6 | syl3anc 1292 |
. . 3
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8 | pnfxr 11435 |
. . . . . 6
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9 | 4 | adantr 472 |
. . . . . . 7
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10 | 9 | adantr 472 |
. . . . . 6
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11 | xmulcl 11584 |
. . . . . 6
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12 | 8, 10, 11 | sylancr 676 |
. . . . 5
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13 | 8, 9, 11 | sylancr 676 |
. . . . . . 7
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14 | simpl3r 1086 |
. . . . . . . 8
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15 | 0lepnf 11456 |
. . . . . . . . 9
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16 | xmulge0 11595 |
. . . . . . . . 9
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17 | 8, 15, 16 | mpanl12 696 |
. . . . . . . 8
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18 | 9, 14, 17 | syl2anc 673 |
. . . . . . 7
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19 | ge0nemnf 11491 |
. . . . . . 7
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20 | 13, 18, 19 | syl2anc 673 |
. . . . . 6
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21 | 20 | adantr 472 |
. . . . 5
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22 | xaddpnf2 11543 |
. . . . 5
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23 | 12, 21, 22 | syl2anc 673 |
. . . 4
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24 | oveq1 6315 |
. . . . . 6
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25 | oveq1 6315 |
. . . . . 6
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26 | 24, 25 | oveq12d 6326 |
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27 | xmulpnf2 11586 |
. . . . . . 7
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28 | 2, 27 | sylan 479 |
. . . . . 6
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29 | 28 | oveq1d 6323 |
. . . . 5
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30 | 26, 29 | sylan9eqr 2527 |
. . . 4
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31 | oveq1 6315 |
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32 | xaddcl 11554 |
. . . . . . . 8
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33 | 2, 4, 32 | syl2anc 673 |
. . . . . . 7
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34 | 33 | adantr 472 |
. . . . . 6
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35 | 0xr 9705 |
. . . . . . . 8
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36 | 35 | a1i 11 |
. . . . . . 7
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37 | 2 | adantr 472 |
. . . . . . 7
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38 | simpr 468 |
. . . . . . 7
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39 | xaddid1 11556 |
. . . . . . . . 9
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40 | 37, 39 | syl 17 |
. . . . . . . 8
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41 | xleadd2a 11565 |
. . . . . . . . 9
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42 | 36, 9, 37, 14, 41 | syl31anc 1295 |
. . . . . . . 8
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43 | 40, 42 | eqbrtrrd 4418 |
. . . . . . 7
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44 | 36, 37, 34, 38, 43 | xrltletrd 11481 |
. . . . . 6
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45 | xmulpnf2 11586 |
. . . . . 6
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46 | 34, 44, 45 | syl2anc 673 |
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47 | 31, 46 | sylan9eqr 2527 |
. . . 4
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48 | 23, 30, 47 | 3eqtr4rd 2516 |
. . 3
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49 | mnfxr 11437 |
. . . . . . 7
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50 | xmulcl 11584 |
. . . . . . 7
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51 | 49, 9, 50 | sylancr 676 |
. . . . . 6
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52 | xnegmnf 11526 |
. . . . . . . . . . . 12
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53 | 52 | oveq1i 6318 |
. . . . . . . . . . 11
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54 | xmulneg1 11580 |
. . . . . . . . . . . 12
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55 | 49, 9, 54 | sylancr 676 |
. . . . . . . . . . 11
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56 | 53, 55 | syl5reqr 2520 |
. . . . . . . . . 10
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57 | xnegpnf 11525 |
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58 | 57 | a1i 11 |
. . . . . . . . . 10
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59 | 56, 58 | eqeq12d 2486 |
. . . . . . . . 9
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60 | xneg11 11531 |
. . . . . . . . . 10
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61 | 51, 8, 60 | sylancl 675 |
. . . . . . . . 9
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62 | 59, 61 | bitr3d 263 |
. . . . . . . 8
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63 | 62 | necon3bid 2687 |
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64 | 20, 63 | mpbid 215 |
. . . . . 6
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65 | xaddmnf2 11545 |
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66 | 51, 64, 65 | syl2anc 673 |
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67 | 66 | adantr 472 |
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68 | oveq1 6315 |
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69 | oveq1 6315 |
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70 | 68, 69 | oveq12d 6326 |
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71 | xmulmnf2 11588 |
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72 | 2, 71 | sylan 479 |
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73 | 72 | oveq1d 6323 |
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74 | 70, 73 | sylan9eqr 2527 |
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75 | oveq1 6315 |
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76 | xmulmnf2 11588 |
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77 | 34, 44, 76 | syl2anc 673 |
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78 | 75, 77 | sylan9eqr 2527 |
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79 | 67, 74, 78 | 3eqtr4rd 2516 |
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80 | simpl1 1033 |
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81 | elxr 11439 |
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82 | 80, 81 | sylib 201 |
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83 | 7, 48, 79, 82 | mpjao3dan 1361 |
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84 | simp1 1030 |
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85 | xmulcl 11584 |
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86 | 84, 4, 85 | syl2anc 673 |
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87 | 86 | adantr 472 |
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88 | xaddid2 11557 |
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89 | 87, 88 | syl 17 |
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90 | oveq2 6316 |
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91 | 90 | eqcomd 2477 |
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92 | xmul01 11578 |
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93 | 92 | 3ad2ant1 1051 |
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94 | 91, 93 | sylan9eqr 2527 |
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95 | 94 | oveq1d 6323 |
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96 | oveq1 6315 |
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97 | 96 | eqcomd 2477 |
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98 | xaddid2 11557 |
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99 | 4, 98 | syl 17 |
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100 | 97, 99 | sylan9eqr 2527 |
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101 | 100 | oveq2d 6324 |
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102 | 89, 95, 101 | 3eqtr4rd 2516 |
. 2
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103 | simp2r 1057 |
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104 | xrleloe 11466 |
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105 | 35, 2, 104 | sylancr 676 |
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106 | 103, 105 | mpbid 215 |
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107 | 83, 102, 106 | mpjaodan 803 |
1
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Colors of variables: wff setvar class |
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This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1677 ax-4 1690 ax-5 1766 ax-6 1813 ax-7 1859 ax-8 1906 ax-9 1913 ax-10 1932 ax-11 1937 ax-12 1950 ax-13 2104 ax-ext 2451 ax-sep 4518 ax-nul 4527 ax-pow 4579 ax-pr 4639 ax-un 6602 ax-cnex 9613 ax-resscn 9614 ax-1cn 9615 ax-icn 9616 ax-addcl 9617 ax-addrcl 9618 ax-mulcl 9619 ax-mulrcl 9620 ax-mulcom 9621 ax-addass 9622 ax-mulass 9623 ax-distr 9624 ax-i2m1 9625 ax-1ne0 9626 ax-1rid 9627 ax-rnegex 9628 ax-rrecex 9629 ax-cnre 9630 ax-pre-lttri 9631 ax-pre-lttrn 9632 ax-pre-ltadd 9633 ax-pre-mulgt0 9634 |
This theorem depends on definitions: df-bi 190 df-or 377 df-an 378 df-3or 1008 df-3an 1009 df-tru 1455 df-ex 1672 df-nf 1676 df-sb 1806 df-eu 2323 df-mo 2324 df-clab 2458 df-cleq 2464 df-clel 2467 df-nfc 2601 df-ne 2643 df-nel 2644 df-ral 2761 df-rex 2762 df-reu 2763 df-rab 2765 df-v 3033 df-sbc 3256 df-csb 3350 df-dif 3393 df-un 3395 df-in 3397 df-ss 3404 df-nul 3723 df-if 3873 df-pw 3944 df-sn 3960 df-pr 3962 df-op 3966 df-uni 4191 df-iun 4271 df-br 4396 df-opab 4455 df-mpt 4456 df-id 4754 df-po 4760 df-so 4761 df-xp 4845 df-rel 4846 df-cnv 4847 df-co 4848 df-dm 4849 df-rn 4850 df-res 4851 df-ima 4852 df-iota 5553 df-fun 5591 df-fn 5592 df-f 5593 df-f1 5594 df-fo 5595 df-f1o 5596 df-fv 5597 df-riota 6270 df-ov 6311 df-oprab 6312 df-mpt2 6313 df-1st 6812 df-2nd 6813 df-er 7381 df-en 7588 df-dom 7589 df-sdom 7590 df-pnf 9695 df-mnf 9696 df-xr 9697 df-ltxr 9698 df-le 9699 df-sub 9882 df-neg 9883 df-xneg 11432 df-xadd 11433 df-xmul 11434 |
This theorem is referenced by: xadddi2r 11609 |
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