Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xadddi Structured version   Unicode version

 Description: Distributive property for extended real addition and multiplication. Like xaddass 11453, this has an unusual domain of correctness due to counterexamples like . In this theorem we show that if the multiplier is real then everything works as expected. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression

StepHypRef Expression
1 0re 9608 . . 3
2 simp1 996 . . 3
3 lttri4 9681 . . 3
41, 2, 3sylancr 663 . 2
5 xadddilem 11498 . . 3
6 simpl2 1000 . . . . . . 7
7 simpl3 1001 . . . . . . 7
8 xaddcl 11448 . . . . . . 7
96, 7, 8syl2anc 661 . . . . . 6
10 xmul02 11472 . . . . . 6
119, 10syl 16 . . . . 5
12 0xr 9652 . . . . . 6
13 xaddid1 11450 . . . . . 6
1412, 13ax-mp 5 . . . . 5
1511, 14syl6eqr 2526 . . . 4
16 simpr 461 . . . . 5
1716oveq1d 6310 . . . 4
18 xmul02 11472 . . . . . . 7
196, 18syl 16 . . . . . 6
2016oveq1d 6310 . . . . . 6
2119, 20eqtr3d 2510 . . . . 5
22 xmul02 11472 . . . . . . 7
237, 22syl 16 . . . . . 6
2416oveq1d 6310 . . . . . 6
2523, 24eqtr3d 2510 . . . . 5
2621, 25oveq12d 6313 . . . 4
2715, 17, 263eqtr3d 2516 . . 3
282adantr 465 . . . . . . 7
29 rexneg 11422 . . . . . . . 8
30 renegcl 9894 . . . . . . . 8
3129, 30eqeltrd 2555 . . . . . . 7
3228, 31syl 16 . . . . . 6
33 simpl2 1000 . . . . . 6
34 simpl3 1001 . . . . . 6
352rexrd 9655 . . . . . . . 8
36 xlt0neg1 11430 . . . . . . . 8
3735, 36syl 16 . . . . . . 7
3837biimpa 484 . . . . . 6
39 xadddilem 11498 . . . . . 6
4032, 33, 34, 38, 39syl31anc 1231 . . . . 5
4135adantr 465 . . . . . 6
4233, 34, 8syl2anc 661 . . . . . 6
43 xmulneg1 11473 . . . . . 6
4441, 42, 43syl2anc 661 . . . . 5
45 xmulneg1 11473 . . . . . . . 8
4641, 33, 45syl2anc 661 . . . . . . 7
47 xmulneg1 11473 . . . . . . . 8
4841, 34, 47syl2anc 661 . . . . . . 7
4946, 48oveq12d 6313 . . . . . 6
50 xmulcl 11477 . . . . . . . 8
5141, 33, 50syl2anc 661 . . . . . . 7
52 xmulcl 11477 . . . . . . . 8
5341, 34, 52syl2anc 661 . . . . . . 7
54 xnegdi 11452 . . . . . . 7
5551, 53, 54syl2anc 661 . . . . . 6
5649, 55eqtr4d 2511 . . . . 5
5740, 44, 563eqtr3d 2516 . . . 4
58 xmulcl 11477 . . . . . 6
5941, 42, 58syl2anc 661 . . . . 5
60 xaddcl 11448 . . . . . 6
6151, 53, 60syl2anc 661 . . . . 5
62 xneg11 11426 . . . . 5
6359, 61, 62syl2anc 661 . . . 4
6457, 63mpbid 210 . . 3
655, 27, 643jaodan 1294 . 2
664, 65mpdan 668 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 184   wa 369   w3o 972   w3a 973   wceq 1379   wcel 1767   class class class wbr 4453  (class class class)co 6295  cr 9503  cc0 9504  cxr 9639   clt 9640  cneg 9818   cxne 11327  cxad 11328  cxmu 11329 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587  ax-cnex 9560  ax-resscn 9561  ax-1cn 9562  ax-icn 9563  ax-addcl 9564  ax-addrcl 9565  ax-mulcl 9566  ax-mulrcl 9567  ax-mulcom 9568  ax-addass 9569  ax-mulass 9570  ax-distr 9571  ax-i2m1 9572  ax-1ne0 9573  ax-1rid 9574  ax-rnegex 9575  ax-rrecex 9576  ax-cnre 9577  ax-pre-lttri 9578  ax-pre-lttrn 9579  ax-pre-ltadd 9580 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-op 4040  df-uni 4252  df-iun 4333  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6256  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-1st 6795  df-2nd 6796  df-er 7323  df-en 7529  df-dom 7530  df-sdom 7531  df-pnf 9642  df-mnf 9643  df-xr 9644  df-ltxr 9645  df-le 9646  df-sub 9819  df-neg 9820  df-xneg 11330  df-xadd 11331  df-xmul 11332 This theorem is referenced by:  xadddir  11500  xadddi2  11501
 Copyright terms: Public domain W3C validator