MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xaddcld Structured version   Unicode version

Theorem xaddcld 11263
Description: The extended real addition operation is closed in extended reals. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
xnegcld.1  |-  ( ph  ->  A  e.  RR* )
xaddcld.2  |-  ( ph  ->  B  e.  RR* )
Assertion
Ref Expression
xaddcld  |-  ( ph  ->  ( A +e
B )  e.  RR* )

Proof of Theorem xaddcld
StepHypRef Expression
1 xnegcld.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  RR* )
2 xaddcld.2 . 2  |-  ( ph  ->  B  e.  RR* )
3 xaddcl 11206 . 2  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  ( A +e B )  e.  RR* )
41, 2, 3syl2anc 661 1  |-  ( ph  ->  ( A +e
B )  e.  RR* )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1756  (class class class)co 6090   RR*cxr 9416   +ecxad 11086
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4412  ax-nul 4420  ax-pow 4469  ax-pr 4530  ax-un 6371  ax-cnex 9337  ax-1cn 9339  ax-icn 9340  ax-addcl 9341  ax-addrcl 9342  ax-mulcl 9343  ax-mulrcl 9344  ax-i2m1 9349  ax-1ne0 9350  ax-rnegex 9352  ax-rrecex 9353  ax-cnre 9354
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2567  df-ne 2607  df-ral 2719  df-rex 2720  df-rab 2723  df-v 2973  df-sbc 3186  df-csb 3288  df-dif 3330  df-un 3332  df-in 3334  df-ss 3341  df-nul 3637  df-if 3791  df-pw 3861  df-sn 3877  df-pr 3879  df-op 3883  df-uni 4091  df-iun 4172  df-br 4292  df-opab 4350  df-mpt 4351  df-id 4635  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-iota 5380  df-fun 5419  df-fn 5420  df-f 5421  df-fv 5425  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-1st 6576  df-2nd 6577  df-pnf 9419  df-mnf 9420  df-xr 9421  df-xadd 11089
This theorem is referenced by:  xadd4d  11265  imasdsf1olem  19947  bldisj  19972  xblss2ps  19975  xblss2  19976  blcld  20079  comet  20087  stdbdxmet  20089  metdstri  20426  metdscnlem  20430  iscau3  20788  xlt2addrd  26050  xrofsup  26054  xrsmulgzz  26138  xrge0adddir  26154  xrge0adddi  26155  esumle  26507  esumlef  26512
  Copyright terms: Public domain W3C validator