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Description: Associativity of extended
real addition. The correct condition here is
"it is not the case that both ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
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xaddass |
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1 | recn 9484 |
. . . . . . . . . 10
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2 | recn 9484 |
. . . . . . . . . 10
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3 | recn 9484 |
. . . . . . . . . 10
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4 | addass 9481 |
. . . . . . . . . 10
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5 | 1, 2, 3, 4 | syl3an 1261 |
. . . . . . . . 9
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6 | 5 | 3expa 1188 |
. . . . . . . 8
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7 | readdcl 9477 |
. . . . . . . . 9
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8 | rexadd 11314 |
. . . . . . . . 9
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9 | 7, 8 | sylan 471 |
. . . . . . . 8
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10 | readdcl 9477 |
. . . . . . . . . 10
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11 | rexadd 11314 |
. . . . . . . . . 10
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12 | 10, 11 | sylan2 474 |
. . . . . . . . 9
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13 | 12 | anassrs 648 |
. . . . . . . 8
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14 | 6, 9, 13 | 3eqtr4d 2505 |
. . . . . . 7
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15 | rexadd 11314 |
. . . . . . . . 9
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16 | 15 | adantr 465 |
. . . . . . . 8
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17 | 16 | oveq1d 6216 |
. . . . . . 7
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18 | rexadd 11314 |
. . . . . . . . 9
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19 | 18 | adantll 713 |
. . . . . . . 8
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20 | 19 | oveq2d 6217 |
. . . . . . 7
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21 | 14, 17, 20 | 3eqtr4d 2505 |
. . . . . 6
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22 | 21 | adantll 713 |
. . . . 5
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23 | oveq2 6209 |
. . . . . . . . 9
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24 | simp1l 1012 |
. . . . . . . . . . 11
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25 | simp2l 1014 |
. . . . . . . . . . 11
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26 | xaddcl 11319 |
. . . . . . . . . . 11
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27 | 24, 25, 26 | syl2anc 661 |
. . . . . . . . . 10
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28 | xaddnemnf 11316 |
. . . . . . . . . . 11
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29 | 28 | 3adant3 1008 |
. . . . . . . . . 10
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30 | xaddpnf1 11308 |
. . . . . . . . . 10
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31 | 27, 29, 30 | syl2anc 661 |
. . . . . . . . 9
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32 | 23, 31 | sylan9eqr 2517 |
. . . . . . . 8
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33 | xaddpnf1 11308 |
. . . . . . . . . 10
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34 | 33 | 3ad2ant1 1009 |
. . . . . . . . 9
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35 | 34 | adantr 465 |
. . . . . . . 8
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36 | 32, 35 | eqtr4d 2498 |
. . . . . . 7
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37 | oveq2 6209 |
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38 | xaddpnf1 11308 |
. . . . . . . . . 10
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39 | 38 | 3ad2ant2 1010 |
. . . . . . . . 9
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40 | 37, 39 | sylan9eqr 2517 |
. . . . . . . 8
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41 | 40 | oveq2d 6217 |
. . . . . . 7
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42 | 36, 41 | eqtr4d 2498 |
. . . . . 6
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43 | 42 | adantlr 714 |
. . . . 5
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44 | simp3 990 |
. . . . . . 7
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45 | xrnemnf 11211 |
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46 | 44, 45 | sylib 196 |
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47 | 46 | adantr 465 |
. . . . 5
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48 | 22, 43, 47 | mpjaodan 784 |
. . . 4
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49 | 48 | anassrs 648 |
. . 3
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50 | xaddpnf2 11309 |
. . . . . . . 8
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51 | 50 | 3ad2ant3 1011 |
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52 | 51, 34 | eqtr4d 2498 |
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58 | 57, 51 | sylan9eqr 2517 |
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59 | 58 | oveq2d 6217 |
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60 | 53, 56, 59 | 3eqtr4d 2505 |
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61 | 60 | adantlr 714 |
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62 | simpl2 992 |
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63 | xrnemnf 11211 |
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65 | 49, 61, 64 | mpjaodan 784 |
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66 | simpl3 993 |
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67 | 66, 50 | syl 16 |
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68 | simpl2l 1041 |
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69 | simpl3l 1043 |
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70 | xaddcl 11319 |
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71 | 68, 69, 70 | syl2anc 661 |
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72 | simpl2 992 |
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73 | xaddnemnf 11316 |
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76 | 71, 74, 75 | syl2anc 661 |
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77 | 67, 76 | eqtr4d 2498 |
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78 | simpr 461 |
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82 | 79, 81 | eqtrd 2495 |
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84 | 78 | oveq1d 6216 |
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85 | 77, 83, 84 | 3eqtr4d 2505 |
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88 | 86, 87 | sylib 196 |
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89 | 65, 85, 88 | mpjaodan 784 |
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Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1592 ax-4 1603 ax-5 1671 ax-6 1710 ax-7 1730 ax-8 1760 ax-9 1762 ax-10 1777 ax-11 1782 ax-12 1794 ax-13 1955 ax-ext 2432 ax-sep 4522 ax-nul 4530 ax-pow 4579 ax-pr 4640 ax-un 6483 ax-cnex 9450 ax-resscn 9451 ax-1cn 9452 ax-icn 9453 ax-addcl 9454 ax-addrcl 9455 ax-mulcl 9456 ax-mulrcl 9457 ax-addass 9459 ax-i2m1 9462 ax-1ne0 9463 ax-rnegex 9465 ax-rrecex 9466 ax-cnre 9467 |
This theorem depends on definitions: df-bi 185 df-or 370 df-an 371 df-3or 966 df-3an 967 df-tru 1373 df-ex 1588 df-nf 1591 df-sb 1703 df-eu 2266 df-mo 2267 df-clab 2440 df-cleq 2446 df-clel 2449 df-nfc 2604 df-ne 2650 df-nel 2651 df-ral 2804 df-rex 2805 df-rab 2808 df-v 3080 df-sbc 3295 df-csb 3397 df-dif 3440 df-un 3442 df-in 3444 df-ss 3451 df-nul 3747 df-if 3901 df-pw 3971 df-sn 3987 df-pr 3989 df-op 3993 df-uni 4201 df-iun 4282 df-br 4402 df-opab 4460 df-mpt 4461 df-id 4745 df-xp 4955 df-rel 4956 df-cnv 4957 df-co 4958 df-dm 4959 df-rn 4960 df-res 4961 df-ima 4962 df-iota 5490 df-fun 5529 df-fn 5530 df-f 5531 df-f1 5532 df-fo 5533 df-f1o 5534 df-fv 5535 df-ov 6204 df-oprab 6205 df-mpt2 6206 df-1st 6688 df-2nd 6689 df-er 7212 df-en 7422 df-dom 7423 df-sdom 7424 df-pnf 9532 df-mnf 9533 df-xr 9534 df-xadd 11202 |
This theorem is referenced by: xaddass2 11325 xpncan 11326 xadd4d 11378 xrs1mnd 17977 xlt2addrd 26203 xrge0addass 26297 xrge0npcan 26303 |
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