MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  x2times Structured version   Unicode version

Theorem x2times 11283
Description: Extended real version of 2times 10461. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
x2times  |-  ( A  e.  RR*  ->  ( 2 xe A )  =  ( A +e A ) )

Proof of Theorem x2times
StepHypRef Expression
1 df-2 10401 . . . 4  |-  2  =  ( 1  +  1 )
2 1re 9406 . . . . 5  |-  1  e.  RR
3 rexadd 11223 . . . . 5  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  1  e.  RR )  ->  ( 1 +e 1 )  =  ( 1  +  1 ) )
42, 2, 3mp2an 672 . . . 4  |-  ( 1 +e 1 )  =  ( 1  +  1 )
51, 4eqtr4i 2466 . . 3  |-  2  =  ( 1 +e 1 )
65oveq1i 6122 . 2  |-  ( 2 xe A )  =  ( ( 1 +e 1 ) xe A )
72rexri 9457 . . . . 5  |-  1  e.  RR*
8 0le1 9884 . . . . 5  |-  0  <_  1
97, 8pm3.2i 455 . . . 4  |-  ( 1  e.  RR*  /\  0  <_  1 )
10 xadddi2r 11282 . . . 4  |-  ( ( ( 1  e.  RR*  /\  0  <_  1 )  /\  ( 1  e. 
RR*  /\  0  <_  1 )  /\  A  e. 
RR* )  ->  (
( 1 +e 1 ) xe A )  =  ( ( 1 xe A ) +e
( 1 xe A ) ) )
119, 9, 10mp3an12 1304 . . 3  |-  ( A  e.  RR*  ->  ( ( 1 +e 1 ) xe A )  =  ( ( 1 xe A ) +e ( 1 xe A ) ) )
12 xmulid2 11264 . . . 4  |-  ( A  e.  RR*  ->  ( 1 xe A )  =  A )
1312, 12oveq12d 6130 . . 3  |-  ( A  e.  RR*  ->  ( ( 1 xe A ) +e ( 1 xe A ) )  =  ( A +e A ) )
1411, 13eqtrd 2475 . 2  |-  ( A  e.  RR*  ->  ( ( 1 +e 1 ) xe A )  =  ( A +e A ) )
156, 14syl5eq 2487 1  |-  ( A  e.  RR*  ->  ( 2 xe A )  =  ( A +e A ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756   class class class wbr 4313  (class class class)co 6112   RRcr 9302   0cc0 9303   1c1 9304    + caddc 9306   RR*cxr 9438    <_ cle 9440   2c2 10392   +ecxad 11108   xecxmu 11109
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4434  ax-nul 4442  ax-pow 4491  ax-pr 4552  ax-un 6393  ax-cnex 9359  ax-resscn 9360  ax-1cn 9361  ax-icn 9362  ax-addcl 9363  ax-addrcl 9364  ax-mulcl 9365  ax-mulrcl 9366  ax-mulcom 9367  ax-addass 9368  ax-mulass 9369  ax-distr 9370  ax-i2m1 9371  ax-1ne0 9372  ax-1rid 9373  ax-rnegex 9374  ax-rrecex 9375  ax-cnre 9376  ax-pre-lttri 9377  ax-pre-lttrn 9378  ax-pre-ltadd 9379  ax-pre-mulgt0 9380
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2622  df-nel 2623  df-ral 2741  df-rex 2742  df-reu 2743  df-rab 2745  df-v 2995  df-sbc 3208  df-csb 3310  df-dif 3352  df-un 3354  df-in 3356  df-ss 3363  df-nul 3659  df-if 3813  df-pw 3883  df-sn 3899  df-pr 3901  df-op 3905  df-uni 4113  df-iun 4194  df-br 4314  df-opab 4372  df-mpt 4373  df-id 4657  df-po 4662  df-so 4663  df-xp 4867  df-rel 4868  df-cnv 4869  df-co 4870  df-dm 4871  df-rn 4872  df-res 4873  df-ima 4874  df-iota 5402  df-fun 5441  df-fn 5442  df-f 5443  df-f1 5444  df-fo 5445  df-f1o 5446  df-fv 5447  df-riota 6073  df-ov 6115  df-oprab 6116  df-mpt2 6117  df-1st 6598  df-2nd 6599  df-er 7122  df-en 7332  df-dom 7333  df-sdom 7334  df-pnf 9441  df-mnf 9442  df-xr 9443  df-ltxr 9444  df-le 9445  df-sub 9618  df-neg 9619  df-2 10401  df-xneg 11110  df-xadd 11111  df-xmul 11112
This theorem is referenced by:  psmetge0  19910  xmetge0  19941  metnrmlem3  20459
  Copyright terms: Public domain W3C validator