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Theorem wzel 29307
Description: The zero of a well-founded set is a member of that set. (Contributed by Scott Fenton, 13-Jun-2018.)
Assertion
Ref Expression
wzel  |-  ( ( R  We  A  /\  R Se  A  /\  A  =/=  (/) )  ->  sup ( A ,  A ,  `' R )  e.  A
)

Proof of Theorem wzel
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 weso 4876 . . . 4  |-  ( R  We  A  ->  R  Or  A )
2 socnv 29121 . . . 4  |-  ( R  Or  A  ->  `' R  Or  A )
31, 2syl 16 . . 3  |-  ( R  We  A  ->  `' R  Or  A )
433ad2ant1 1017 . 2  |-  ( ( R  We  A  /\  R Se  A  /\  A  =/=  (/) )  ->  `' R  Or  A )
5 simp1 996 . . . 4  |-  ( ( R  We  A  /\  R Se  A  /\  A  =/=  (/) )  ->  R  We  A )
6 simp2 997 . . . 4  |-  ( ( R  We  A  /\  R Se  A  /\  A  =/=  (/) )  ->  R Se  A
)
7 ssid 3528 . . . . 5  |-  A  C_  A
87a1i 11 . . . 4  |-  ( ( R  We  A  /\  R Se  A  /\  A  =/=  (/) )  ->  A  C_  A )
9 simp3 998 . . . 4  |-  ( ( R  We  A  /\  R Se  A  /\  A  =/=  (/) )  ->  A  =/=  (/) )
10 tz6.26 29212 . . . 4  |-  ( ( ( R  We  A  /\  R Se  A )  /\  ( A  C_  A  /\  A  =/=  (/) ) )  ->  E. x  e.  A  Pred ( R ,  A ,  x )  =  (/) )
115, 6, 8, 9, 10syl22anc 1229 . . 3  |-  ( ( R  We  A  /\  R Se  A  /\  A  =/=  (/) )  ->  E. x  e.  A  Pred ( R ,  A ,  x
)  =  (/) )
12 pm2.27 39 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  A  ->  (
( y  e.  A  ->  -.  y R x )  ->  -.  y R x ) )
1312ad2antll 728 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( R  We  A  /\  R Se  A  /\  A  =/=  (/) )  /\  (
x  e.  A  /\  y  e.  A )
)  ->  ( (
y  e.  A  ->  -.  y R x )  ->  -.  y R x ) )
14 breq2 4457 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  =  x  ->  (
y `' R z  <-> 
y `' R x ) )
1514rspcev 3219 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  A  /\  y `' R x )  ->  E. z  e.  A  y `' R z )
1615ex 434 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  A  ->  (
y `' R x  ->  E. z  e.  A  y `' R z ) )
1716ad2antrl 727 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( R  We  A  /\  R Se  A  /\  A  =/=  (/) )  /\  (
x  e.  A  /\  y  e.  A )
)  ->  ( y `' R x  ->  E. z  e.  A  y `' R z ) )
1813, 17jctird 544 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( R  We  A  /\  R Se  A  /\  A  =/=  (/) )  /\  (
x  e.  A  /\  y  e.  A )
)  ->  ( (
y  e.  A  ->  -.  y R x )  ->  ( -.  y R x  /\  (
y `' R x  ->  E. z  e.  A  y `' R z ) ) ) )
19 vex 3121 . . . . . . . . . . . 12  |-  x  e. 
_V
20 vex 3121 . . . . . . . . . . . . 13  |-  y  e. 
_V
2120elpred 29184 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  _V  ->  (
y  e.  Pred ( R ,  A ,  x )  <->  ( y  e.  A  /\  y R x ) ) )
2219, 21ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  Pred ( R ,  A ,  x )  <->  ( y  e.  A  /\  y R x ) )
2322notbii 296 . . . . . . . . . 10  |-  ( -.  y  e.  Pred ( R ,  A ,  x )  <->  -.  (
y  e.  A  /\  y R x ) )
24 imnan 422 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  e.  A  ->  -.  y R x )  <->  -.  ( y  e.  A  /\  y R x ) )
2523, 24bitr4i 252 . . . . . . . . 9  |-  ( -.  y  e.  Pred ( R ,  A ,  x )  <->  ( y  e.  A  ->  -.  y R x ) )
2619, 20brcnv 5191 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x `' R y  <->  y R x )
2726notbii 296 . . . . . . . . . 10  |-  ( -.  x `' R y  <->  -.  y R x )
2827anbi1i 695 . . . . . . . . 9  |-  ( ( -.  x `' R
y  /\  ( y `' R x  ->  E. z  e.  A  y `' R z ) )  <-> 
( -.  y R x  /\  ( y `' R x  ->  E. z  e.  A  y `' R z ) ) )
2918, 25, 283imtr4g 270 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( R  We  A  /\  R Se  A  /\  A  =/=  (/) )  /\  (
x  e.  A  /\  y  e.  A )
)  ->  ( -.  y  e.  Pred ( R ,  A ,  x
)  ->  ( -.  x `' R y  /\  (
y `' R x  ->  E. z  e.  A  y `' R z ) ) ) )
3029expr 615 . . . . . . 7  |-  ( ( ( R  We  A  /\  R Se  A  /\  A  =/=  (/) )  /\  x  e.  A )  ->  (
y  e.  A  -> 
( -.  y  e. 
Pred ( R ,  A ,  x )  ->  ( -.  x `' R y  /\  (
y `' R x  ->  E. z  e.  A  y `' R z ) ) ) ) )
3130com23 78 . . . . . 6  |-  ( ( ( R  We  A  /\  R Se  A  /\  A  =/=  (/) )  /\  x  e.  A )  ->  ( -.  y  e.  Pred ( R ,  A ,  x )  ->  (
y  e.  A  -> 
( -.  x `' R y  /\  (
y `' R x  ->  E. z  e.  A  y `' R z ) ) ) ) )
3231alimdv 1685 . . . . 5  |-  ( ( ( R  We  A  /\  R Se  A  /\  A  =/=  (/) )  /\  x  e.  A )  ->  ( A. y  -.  y  e.  Pred ( R ,  A ,  x )  ->  A. y ( y  e.  A  ->  ( -.  x `' R y  /\  ( y `' R x  ->  E. z  e.  A  y `' R z ) ) ) ) )
33 eq0 3805 . . . . 5  |-  ( Pred ( R ,  A ,  x )  =  (/)  <->  A. y  -.  y  e.  Pred ( R ,  A ,  x ) )
34 r19.26 2994 . . . . . 6  |-  ( A. y  e.  A  ( -.  x `' R y  /\  ( y `' R x  ->  E. z  e.  A  y `' R z ) )  <-> 
( A. y  e.  A  -.  x `' R y  /\  A. y  e.  A  (
y `' R x  ->  E. z  e.  A  y `' R z ) ) )
35 df-ral 2822 . . . . . 6  |-  ( A. y  e.  A  ( -.  x `' R y  /\  ( y `' R x  ->  E. z  e.  A  y `' R z ) )  <->  A. y ( y  e.  A  ->  ( -.  x `' R y  /\  (
y `' R x  ->  E. z  e.  A  y `' R z ) ) ) )
3634, 35bitr3i 251 . . . . 5  |-  ( ( A. y  e.  A  -.  x `' R y  /\  A. y  e.  A  ( y `' R x  ->  E. z  e.  A  y `' R z ) )  <->  A. y ( y  e.  A  ->  ( -.  x `' R y  /\  (
y `' R x  ->  E. z  e.  A  y `' R z ) ) ) )
3732, 33, 363imtr4g 270 . . . 4  |-  ( ( ( R  We  A  /\  R Se  A  /\  A  =/=  (/) )  /\  x  e.  A )  ->  ( Pred ( R ,  A ,  x )  =  (/)  ->  ( A. y  e.  A  -.  x `' R y  /\  A. y  e.  A  (
y `' R x  ->  E. z  e.  A  y `' R z ) ) ) )
3837reximdva 2942 . . 3  |-  ( ( R  We  A  /\  R Se  A  /\  A  =/=  (/) )  ->  ( E. x  e.  A  Pred ( R ,  A ,  x )  =  (/)  ->  E. x  e.  A  ( A. y  e.  A  -.  x `' R y  /\  A. y  e.  A  ( y `' R x  ->  E. z  e.  A  y `' R z ) ) ) )
3911, 38mpd 15 . 2  |-  ( ( R  We  A  /\  R Se  A  /\  A  =/=  (/) )  ->  E. x  e.  A  ( A. y  e.  A  -.  x `' R y  /\  A. y  e.  A  (
y `' R x  ->  E. z  e.  A  y `' R z ) ) )
404, 39supcl 7930 1  |-  ( ( R  We  A  /\  R Se  A  /\  A  =/=  (/) )  ->  sup ( A ,  A ,  `' R )  e.  A
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 973   A.wal 1377    = wceq 1379    e. wcel 1767    =/= wne 2662   A.wral 2817   E.wrex 2818   _Vcvv 3118    C_ wss 3481   (/)c0 3790   class class class wbr 4453    Or wor 4805   Se wse 4842    We wwe 4843   `'ccnv 5004   supcsup 7912   Predcpred 29170
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pr 4692
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rmo 2825  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-nul 3791  df-if 3946  df-sn 4034  df-pr 4036  df-op 4040  df-uni 4252  df-br 4454  df-opab 4512  df-po 4806  df-so 4807  df-fr 4844  df-se 4845  df-we 4846  df-xp 5011  df-cnv 5013  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-riota 6256  df-sup 7913  df-pred 29171
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