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Theorem wzel 30458
Description: The zero of a well-founded set is a member of that set. (Contributed by Scott Fenton, 13-Jun-2018.)
Assertion
Ref Expression
wzel  |-  ( ( R  We  A  /\  R Se  A  /\  A  =/=  (/) )  ->  sup ( A ,  A ,  `' R )  e.  A
)

Proof of Theorem wzel
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 weso 4787 . . . 4  |-  ( R  We  A  ->  R  Or  A )
2 socnv 30356 . . . 4  |-  ( R  Or  A  ->  `' R  Or  A )
31, 2syl 17 . . 3  |-  ( R  We  A  ->  `' R  Or  A )
433ad2ant1 1026 . 2  |-  ( ( R  We  A  /\  R Se  A  /\  A  =/=  (/) )  ->  `' R  Or  A )
5 simp1 1005 . . . 4  |-  ( ( R  We  A  /\  R Se  A  /\  A  =/=  (/) )  ->  R  We  A )
6 simp2 1006 . . . 4  |-  ( ( R  We  A  /\  R Se  A  /\  A  =/=  (/) )  ->  R Se  A
)
7 ssid 3426 . . . . 5  |-  A  C_  A
87a1i 11 . . . 4  |-  ( ( R  We  A  /\  R Se  A  /\  A  =/=  (/) )  ->  A  C_  A )
9 simp3 1007 . . . 4  |-  ( ( R  We  A  /\  R Se  A  /\  A  =/=  (/) )  ->  A  =/=  (/) )
10 tz6.26 5373 . . . 4  |-  ( ( ( R  We  A  /\  R Se  A )  /\  ( A  C_  A  /\  A  =/=  (/) ) )  ->  E. x  e.  A  Pred ( R ,  A ,  x )  =  (/) )
115, 6, 8, 9, 10syl22anc 1265 . . 3  |-  ( ( R  We  A  /\  R Se  A  /\  A  =/=  (/) )  ->  E. x  e.  A  Pred ( R ,  A ,  x
)  =  (/) )
12 pm2.27 40 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  A  ->  (
( y  e.  A  ->  -.  y R x )  ->  -.  y R x ) )
1312ad2antll 733 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( R  We  A  /\  R Se  A  /\  A  =/=  (/) )  /\  (
x  e.  A  /\  y  e.  A )
)  ->  ( (
y  e.  A  ->  -.  y R x )  ->  -.  y R x ) )
14 breq2 4370 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  =  x  ->  (
y `' R z  <-> 
y `' R x ) )
1514rspcev 3125 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  A  /\  y `' R x )  ->  E. z  e.  A  y `' R z )
1615ex 435 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  A  ->  (
y `' R x  ->  E. z  e.  A  y `' R z ) )
1716ad2antrl 732 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( R  We  A  /\  R Se  A  /\  A  =/=  (/) )  /\  (
x  e.  A  /\  y  e.  A )
)  ->  ( y `' R x  ->  E. z  e.  A  y `' R z ) )
1813, 17jctird 546 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( R  We  A  /\  R Se  A  /\  A  =/=  (/) )  /\  (
x  e.  A  /\  y  e.  A )
)  ->  ( (
y  e.  A  ->  -.  y R x )  ->  ( -.  y R x  /\  (
y `' R x  ->  E. z  e.  A  y `' R z ) ) ) )
19 vex 3025 . . . . . . . . . . . 12  |-  x  e. 
_V
20 vex 3025 . . . . . . . . . . . . 13  |-  y  e. 
_V
2120elpred 5355 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  _V  ->  (
y  e.  Pred ( R ,  A ,  x )  <->  ( y  e.  A  /\  y R x ) ) )
2219, 21ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  Pred ( R ,  A ,  x )  <->  ( y  e.  A  /\  y R x ) )
2322notbii 297 . . . . . . . . . 10  |-  ( -.  y  e.  Pred ( R ,  A ,  x )  <->  -.  (
y  e.  A  /\  y R x ) )
24 imnan 423 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  e.  A  ->  -.  y R x )  <->  -.  ( y  e.  A  /\  y R x ) )
2523, 24bitr4i 255 . . . . . . . . 9  |-  ( -.  y  e.  Pred ( R ,  A ,  x )  <->  ( y  e.  A  ->  -.  y R x ) )
2619, 20brcnv 4979 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x `' R y  <->  y R x )
2726notbii 297 . . . . . . . . . 10  |-  ( -.  x `' R y  <->  -.  y R x )
2827anbi1i 699 . . . . . . . . 9  |-  ( ( -.  x `' R
y  /\  ( y `' R x  ->  E. z  e.  A  y `' R z ) )  <-> 
( -.  y R x  /\  ( y `' R x  ->  E. z  e.  A  y `' R z ) ) )
2918, 25, 283imtr4g 273 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( R  We  A  /\  R Se  A  /\  A  =/=  (/) )  /\  (
x  e.  A  /\  y  e.  A )
)  ->  ( -.  y  e.  Pred ( R ,  A ,  x
)  ->  ( -.  x `' R y  /\  (
y `' R x  ->  E. z  e.  A  y `' R z ) ) ) )
3029expr 618 . . . . . . 7  |-  ( ( ( R  We  A  /\  R Se  A  /\  A  =/=  (/) )  /\  x  e.  A )  ->  (
y  e.  A  -> 
( -.  y  e. 
Pred ( R ,  A ,  x )  ->  ( -.  x `' R y  /\  (
y `' R x  ->  E. z  e.  A  y `' R z ) ) ) ) )
3130com23 81 . . . . . 6  |-  ( ( ( R  We  A  /\  R Se  A  /\  A  =/=  (/) )  /\  x  e.  A )  ->  ( -.  y  e.  Pred ( R ,  A ,  x )  ->  (
y  e.  A  -> 
( -.  x `' R y  /\  (
y `' R x  ->  E. z  e.  A  y `' R z ) ) ) ) )
3231alimdv 1757 . . . . 5  |-  ( ( ( R  We  A  /\  R Se  A  /\  A  =/=  (/) )  /\  x  e.  A )  ->  ( A. y  -.  y  e.  Pred ( R ,  A ,  x )  ->  A. y ( y  e.  A  ->  ( -.  x `' R y  /\  ( y `' R x  ->  E. z  e.  A  y `' R z ) ) ) ) )
33 eq0 3720 . . . . 5  |-  ( Pred ( R ,  A ,  x )  =  (/)  <->  A. y  -.  y  e.  Pred ( R ,  A ,  x ) )
34 r19.26 2894 . . . . . 6  |-  ( A. y  e.  A  ( -.  x `' R y  /\  ( y `' R x  ->  E. z  e.  A  y `' R z ) )  <-> 
( A. y  e.  A  -.  x `' R y  /\  A. y  e.  A  (
y `' R x  ->  E. z  e.  A  y `' R z ) ) )
35 df-ral 2719 . . . . . 6  |-  ( A. y  e.  A  ( -.  x `' R y  /\  ( y `' R x  ->  E. z  e.  A  y `' R z ) )  <->  A. y ( y  e.  A  ->  ( -.  x `' R y  /\  (
y `' R x  ->  E. z  e.  A  y `' R z ) ) ) )
3634, 35bitr3i 254 . . . . 5  |-  ( ( A. y  e.  A  -.  x `' R y  /\  A. y  e.  A  ( y `' R x  ->  E. z  e.  A  y `' R z ) )  <->  A. y ( y  e.  A  ->  ( -.  x `' R y  /\  (
y `' R x  ->  E. z  e.  A  y `' R z ) ) ) )
3732, 33, 363imtr4g 273 . . . 4  |-  ( ( ( R  We  A  /\  R Se  A  /\  A  =/=  (/) )  /\  x  e.  A )  ->  ( Pred ( R ,  A ,  x )  =  (/)  ->  ( A. y  e.  A  -.  x `' R y  /\  A. y  e.  A  (
y `' R x  ->  E. z  e.  A  y `' R z ) ) ) )
3837reximdva 2839 . . 3  |-  ( ( R  We  A  /\  R Se  A  /\  A  =/=  (/) )  ->  ( E. x  e.  A  Pred ( R ,  A ,  x )  =  (/)  ->  E. x  e.  A  ( A. y  e.  A  -.  x `' R y  /\  A. y  e.  A  ( y `' R x  ->  E. z  e.  A  y `' R z ) ) ) )
3911, 38mpd 15 . 2  |-  ( ( R  We  A  /\  R Se  A  /\  A  =/=  (/) )  ->  E. x  e.  A  ( A. y  e.  A  -.  x `' R y  /\  A. y  e.  A  (
y `' R x  ->  E. z  e.  A  y `' R z ) ) )
404, 39supcl 7925 1  |-  ( ( R  We  A  /\  R Se  A  /\  A  =/=  (/) )  ->  sup ( A ,  A ,  `' R )  e.  A
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 187    /\ wa 370    /\ w3a 982   A.wal 1435    = wceq 1437    e. wcel 1872    =/= wne 2599   A.wral 2714   E.wrex 2715   _Vcvv 3022    C_ wss 3379   (/)c0 3704   class class class wbr 4366    Or wor 4716   Se wse 4753    We wwe 4754   `'ccnv 4795   Predcpred 5341   supcsup 7907
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2063  ax-ext 2408  ax-sep 4489  ax-nul 4498  ax-pr 4603
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2280  df-mo 2281  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2558  df-ne 2601  df-ral 2719  df-rex 2720  df-reu 2721  df-rmo 2722  df-rab 2723  df-v 3024  df-sbc 3243  df-dif 3382  df-un 3384  df-in 3386  df-ss 3393  df-nul 3705  df-if 3855  df-sn 3942  df-pr 3944  df-op 3948  df-uni 4163  df-br 4367  df-opab 4426  df-po 4717  df-so 4718  df-fr 4755  df-se 4756  df-we 4757  df-xp 4802  df-cnv 4804  df-dm 4806  df-rn 4807  df-res 4808  df-ima 4809  df-pred 5342  df-iota 5508  df-riota 6211  df-sup 7909
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