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Theorem wzel 27773
Description: The zero of a well-founded set is a member of that set. (Contributed by Scott Fenton, 13-Jun-2018.)
Assertion
Ref Expression
wzel  |-  ( ( R  We  A  /\  R Se  A  /\  A  =/=  (/) )  ->  sup ( A ,  A ,  `' R )  e.  A
)

Proof of Theorem wzel
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 weso 4723 . . . 4  |-  ( R  We  A  ->  R  Or  A )
2 socnv 27587 . . . 4  |-  ( R  Or  A  ->  `' R  Or  A )
31, 2syl 16 . . 3  |-  ( R  We  A  ->  `' R  Or  A )
433ad2ant1 1009 . 2  |-  ( ( R  We  A  /\  R Se  A  /\  A  =/=  (/) )  ->  `' R  Or  A )
5 simp1 988 . . . 4  |-  ( ( R  We  A  /\  R Se  A  /\  A  =/=  (/) )  ->  R  We  A )
6 simp2 989 . . . 4  |-  ( ( R  We  A  /\  R Se  A  /\  A  =/=  (/) )  ->  R Se  A
)
7 ssid 3387 . . . . 5  |-  A  C_  A
87a1i 11 . . . 4  |-  ( ( R  We  A  /\  R Se  A  /\  A  =/=  (/) )  ->  A  C_  A )
9 simp3 990 . . . 4  |-  ( ( R  We  A  /\  R Se  A  /\  A  =/=  (/) )  ->  A  =/=  (/) )
10 tz6.26 27678 . . . 4  |-  ( ( ( R  We  A  /\  R Se  A )  /\  ( A  C_  A  /\  A  =/=  (/) ) )  ->  E. x  e.  A  Pred ( R ,  A ,  x )  =  (/) )
115, 6, 8, 9, 10syl22anc 1219 . . 3  |-  ( ( R  We  A  /\  R Se  A  /\  A  =/=  (/) )  ->  E. x  e.  A  Pred ( R ,  A ,  x
)  =  (/) )
12 pm2.27 39 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  A  ->  (
( y  e.  A  ->  -.  y R x )  ->  -.  y R x ) )
1312ad2antll 728 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( R  We  A  /\  R Se  A  /\  A  =/=  (/) )  /\  (
x  e.  A  /\  y  e.  A )
)  ->  ( (
y  e.  A  ->  -.  y R x )  ->  -.  y R x ) )
14 breq2 4308 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  =  x  ->  (
y `' R z  <-> 
y `' R x ) )
1514rspcev 3085 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  A  /\  y `' R x )  ->  E. z  e.  A  y `' R z )
1615ex 434 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  A  ->  (
y `' R x  ->  E. z  e.  A  y `' R z ) )
1716ad2antrl 727 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( R  We  A  /\  R Se  A  /\  A  =/=  (/) )  /\  (
x  e.  A  /\  y  e.  A )
)  ->  ( y `' R x  ->  E. z  e.  A  y `' R z ) )
1813, 17jctird 544 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( R  We  A  /\  R Se  A  /\  A  =/=  (/) )  /\  (
x  e.  A  /\  y  e.  A )
)  ->  ( (
y  e.  A  ->  -.  y R x )  ->  ( -.  y R x  /\  (
y `' R x  ->  E. z  e.  A  y `' R z ) ) ) )
19 vex 2987 . . . . . . . . . . . 12  |-  x  e. 
_V
20 vex 2987 . . . . . . . . . . . . 13  |-  y  e. 
_V
2120elpred 27650 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  _V  ->  (
y  e.  Pred ( R ,  A ,  x )  <->  ( y  e.  A  /\  y R x ) ) )
2219, 21ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  Pred ( R ,  A ,  x )  <->  ( y  e.  A  /\  y R x ) )
2322notbii 296 . . . . . . . . . 10  |-  ( -.  y  e.  Pred ( R ,  A ,  x )  <->  -.  (
y  e.  A  /\  y R x ) )
24 imnan 422 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  e.  A  ->  -.  y R x )  <->  -.  ( y  e.  A  /\  y R x ) )
2523, 24bitr4i 252 . . . . . . . . 9  |-  ( -.  y  e.  Pred ( R ,  A ,  x )  <->  ( y  e.  A  ->  -.  y R x ) )
2619, 20brcnv 5034 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x `' R y  <->  y R x )
2726notbii 296 . . . . . . . . . 10  |-  ( -.  x `' R y  <->  -.  y R x )
2827anbi1i 695 . . . . . . . . 9  |-  ( ( -.  x `' R
y  /\  ( y `' R x  ->  E. z  e.  A  y `' R z ) )  <-> 
( -.  y R x  /\  ( y `' R x  ->  E. z  e.  A  y `' R z ) ) )
2918, 25, 283imtr4g 270 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( R  We  A  /\  R Se  A  /\  A  =/=  (/) )  /\  (
x  e.  A  /\  y  e.  A )
)  ->  ( -.  y  e.  Pred ( R ,  A ,  x
)  ->  ( -.  x `' R y  /\  (
y `' R x  ->  E. z  e.  A  y `' R z ) ) ) )
3029expr 615 . . . . . . 7  |-  ( ( ( R  We  A  /\  R Se  A  /\  A  =/=  (/) )  /\  x  e.  A )  ->  (
y  e.  A  -> 
( -.  y  e. 
Pred ( R ,  A ,  x )  ->  ( -.  x `' R y  /\  (
y `' R x  ->  E. z  e.  A  y `' R z ) ) ) ) )
3130com23 78 . . . . . 6  |-  ( ( ( R  We  A  /\  R Se  A  /\  A  =/=  (/) )  /\  x  e.  A )  ->  ( -.  y  e.  Pred ( R ,  A ,  x )  ->  (
y  e.  A  -> 
( -.  x `' R y  /\  (
y `' R x  ->  E. z  e.  A  y `' R z ) ) ) ) )
3231alimdv 1675 . . . . 5  |-  ( ( ( R  We  A  /\  R Se  A  /\  A  =/=  (/) )  /\  x  e.  A )  ->  ( A. y  -.  y  e.  Pred ( R ,  A ,  x )  ->  A. y ( y  e.  A  ->  ( -.  x `' R y  /\  ( y `' R x  ->  E. z  e.  A  y `' R z ) ) ) ) )
33 eq0 3664 . . . . 5  |-  ( Pred ( R ,  A ,  x )  =  (/)  <->  A. y  -.  y  e.  Pred ( R ,  A ,  x ) )
34 r19.26 2861 . . . . . 6  |-  ( A. y  e.  A  ( -.  x `' R y  /\  ( y `' R x  ->  E. z  e.  A  y `' R z ) )  <-> 
( A. y  e.  A  -.  x `' R y  /\  A. y  e.  A  (
y `' R x  ->  E. z  e.  A  y `' R z ) ) )
35 df-ral 2732 . . . . . 6  |-  ( A. y  e.  A  ( -.  x `' R y  /\  ( y `' R x  ->  E. z  e.  A  y `' R z ) )  <->  A. y ( y  e.  A  ->  ( -.  x `' R y  /\  (
y `' R x  ->  E. z  e.  A  y `' R z ) ) ) )
3634, 35bitr3i 251 . . . . 5  |-  ( ( A. y  e.  A  -.  x `' R y  /\  A. y  e.  A  ( y `' R x  ->  E. z  e.  A  y `' R z ) )  <->  A. y ( y  e.  A  ->  ( -.  x `' R y  /\  (
y `' R x  ->  E. z  e.  A  y `' R z ) ) ) )
3732, 33, 363imtr4g 270 . . . 4  |-  ( ( ( R  We  A  /\  R Se  A  /\  A  =/=  (/) )  /\  x  e.  A )  ->  ( Pred ( R ,  A ,  x )  =  (/)  ->  ( A. y  e.  A  -.  x `' R y  /\  A. y  e.  A  (
y `' R x  ->  E. z  e.  A  y `' R z ) ) ) )
3837reximdva 2840 . . 3  |-  ( ( R  We  A  /\  R Se  A  /\  A  =/=  (/) )  ->  ( E. x  e.  A  Pred ( R ,  A ,  x )  =  (/)  ->  E. x  e.  A  ( A. y  e.  A  -.  x `' R y  /\  A. y  e.  A  ( y `' R x  ->  E. z  e.  A  y `' R z ) ) ) )
3911, 38mpd 15 . 2  |-  ( ( R  We  A  /\  R Se  A  /\  A  =/=  (/) )  ->  E. x  e.  A  ( A. y  e.  A  -.  x `' R y  /\  A. y  e.  A  (
y `' R x  ->  E. z  e.  A  y `' R z ) ) )
404, 39supcl 7720 1  |-  ( ( R  We  A  /\  R Se  A  /\  A  =/=  (/) )  ->  sup ( A ,  A ,  `' R )  e.  A
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 965   A.wal 1367    = wceq 1369    e. wcel 1756    =/= wne 2618   A.wral 2727   E.wrex 2728   _Vcvv 2984    C_ wss 3340   (/)c0 3649   class class class wbr 4304    Or wor 4652   Se wse 4689    We wwe 4690   `'ccnv 4851   supcsup 7702   Predcpred 27636
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4425  ax-nul 4433  ax-pr 4543
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2620  df-ral 2732  df-rex 2733  df-reu 2734  df-rmo 2735  df-rab 2736  df-v 2986  df-sbc 3199  df-dif 3343  df-un 3345  df-in 3347  df-ss 3354  df-nul 3650  df-if 3804  df-sn 3890  df-pr 3892  df-op 3896  df-uni 4104  df-br 4305  df-opab 4363  df-po 4653  df-so 4654  df-fr 4691  df-se 4692  df-we 4693  df-xp 4858  df-cnv 4860  df-dm 4862  df-rn 4863  df-res 4864  df-ima 4865  df-iota 5393  df-riota 6064  df-sup 7703  df-pred 27637
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