MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  wwlktovf Structured version   Unicode version

Theorem wwlktovf 12844
Description: Lemma 1 for wrd2f1tovbij 12848. (Contributed by Alexander van der Vekens, 27-Jul-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
wrd2f1tovbij.d  |-  D  =  { w  e. Word  V  |  ( ( # `  w )  =  2  /\  ( w ` 
0 )  =  P  /\  { ( w `
 0 ) ,  ( w `  1
) }  e.  X
) }
wrd2f1tovbij.r  |-  R  =  { n  e.  V  |  { P ,  n }  e.  X }
wrd2f1tovbij.f  |-  F  =  ( t  e.  D  |->  ( t `  1
) )
Assertion
Ref Expression
wwlktovf  |-  F : D
--> R
Distinct variable groups:    t, D    P, n, t, w    t, R    n, V, t, w   
n, X, w
Allowed substitution hints:    D( w, n)    R( w, n)    F( w, t, n)    X( t)

Proof of Theorem wwlktovf
StepHypRef Expression
1 wrdf 12506 . . . . . 6  |-  ( t  e. Word  V  ->  t : ( 0..^ (
# `  t )
) --> V )
2 oveq2 6283 . . . . . . . . 9  |-  ( (
# `  t )  =  2  ->  (
0..^ ( # `  t
) )  =  ( 0..^ 2 ) )
32feq2d 5709 . . . . . . . 8  |-  ( (
# `  t )  =  2  ->  (
t : ( 0..^ ( # `  t
) ) --> V  <->  t :
( 0..^ 2 ) --> V ) )
4 1nn0 10800 . . . . . . . . . 10  |-  1  e.  NN0
5 2nn 10682 . . . . . . . . . 10  |-  2  e.  NN
6 1lt2 10691 . . . . . . . . . 10  |-  1  <  2
7 elfzo0 11820 . . . . . . . . . 10  |-  ( 1  e.  ( 0..^ 2 )  <->  ( 1  e. 
NN0  /\  2  e.  NN  /\  1  <  2
) )
84, 5, 6, 7mpbir3an 1173 . . . . . . . . 9  |-  1  e.  ( 0..^ 2 )
9 ffvelrn 6010 . . . . . . . . 9  |-  ( ( t : ( 0..^ 2 ) --> V  /\  1  e.  ( 0..^ 2 ) )  -> 
( t `  1
)  e.  V )
108, 9mpan2 671 . . . . . . . 8  |-  ( t : ( 0..^ 2 ) --> V  ->  (
t `  1 )  e.  V )
113, 10syl6bi 228 . . . . . . 7  |-  ( (
# `  t )  =  2  ->  (
t : ( 0..^ ( # `  t
) ) --> V  -> 
( t `  1
)  e.  V ) )
12113ad2ant1 1012 . . . . . 6  |-  ( ( ( # `  t
)  =  2  /\  ( t `  0
)  =  P  /\  { ( t `  0
) ,  ( t `
 1 ) }  e.  X )  -> 
( t : ( 0..^ ( # `  t
) ) --> V  -> 
( t `  1
)  e.  V ) )
131, 12mpan9 469 . . . . 5  |-  ( ( t  e. Word  V  /\  ( ( # `  t
)  =  2  /\  ( t `  0
)  =  P  /\  { ( t `  0
) ,  ( t `
 1 ) }  e.  X ) )  ->  ( t ` 
1 )  e.  V
)
14 preq1 4099 . . . . . . . . 9  |-  ( ( t `  0 )  =  P  ->  { ( t `  0 ) ,  ( t ` 
1 ) }  =  { P ,  ( t `
 1 ) } )
1514eleq1d 2529 . . . . . . . 8  |-  ( ( t `  0 )  =  P  ->  ( { ( t ` 
0 ) ,  ( t `  1 ) }  e.  X  <->  { P ,  ( t ` 
1 ) }  e.  X ) )
1615biimpa 484 . . . . . . 7  |-  ( ( ( t `  0
)  =  P  /\  { ( t `  0
) ,  ( t `
 1 ) }  e.  X )  ->  { P ,  ( t `
 1 ) }  e.  X )
17163adant1 1009 . . . . . 6  |-  ( ( ( # `  t
)  =  2  /\  ( t `  0
)  =  P  /\  { ( t `  0
) ,  ( t `
 1 ) }  e.  X )  ->  { P ,  ( t `
 1 ) }  e.  X )
1817adantl 466 . . . . 5  |-  ( ( t  e. Word  V  /\  ( ( # `  t
)  =  2  /\  ( t `  0
)  =  P  /\  { ( t `  0
) ,  ( t `
 1 ) }  e.  X ) )  ->  { P , 
( t `  1
) }  e.  X
)
1913, 18jca 532 . . . 4  |-  ( ( t  e. Word  V  /\  ( ( # `  t
)  =  2  /\  ( t `  0
)  =  P  /\  { ( t `  0
) ,  ( t `
 1 ) }  e.  X ) )  ->  ( ( t `
 1 )  e.  V  /\  { P ,  ( t ` 
1 ) }  e.  X ) )
20 wrd2f1tovbij.d . . . . . 6  |-  D  =  { w  e. Word  V  |  ( ( # `  w )  =  2  /\  ( w ` 
0 )  =  P  /\  { ( w `
 0 ) ,  ( w `  1
) }  e.  X
) }
2120eleq2i 2538 . . . . 5  |-  ( t  e.  D  <->  t  e.  { w  e. Word  V  | 
( ( # `  w
)  =  2  /\  ( w `  0
)  =  P  /\  { ( w `  0
) ,  ( w `
 1 ) }  e.  X ) } )
22 fveq2 5857 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  t  ->  ( # `
 w )  =  ( # `  t
) )
2322eqeq1d 2462 . . . . . . 7  |-  ( w  =  t  ->  (
( # `  w )  =  2  <->  ( # `  t
)  =  2 ) )
24 fveq1 5856 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  t  ->  (
w `  0 )  =  ( t ` 
0 ) )
2524eqeq1d 2462 . . . . . . 7  |-  ( w  =  t  ->  (
( w `  0
)  =  P  <->  ( t `  0 )  =  P ) )
26 fveq1 5856 . . . . . . . . 9  |-  ( w  =  t  ->  (
w `  1 )  =  ( t ` 
1 ) )
2724, 26preq12d 4107 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  t  ->  { ( w `  0 ) ,  ( w ` 
1 ) }  =  { ( t ` 
0 ) ,  ( t `  1 ) } )
2827eleq1d 2529 . . . . . . 7  |-  ( w  =  t  ->  ( { ( w ` 
0 ) ,  ( w `  1 ) }  e.  X  <->  { (
t `  0 ) ,  ( t ` 
1 ) }  e.  X ) )
2923, 25, 283anbi123d 1294 . . . . . 6  |-  ( w  =  t  ->  (
( ( # `  w
)  =  2  /\  ( w `  0
)  =  P  /\  { ( w `  0
) ,  ( w `
 1 ) }  e.  X )  <->  ( ( # `
 t )  =  2  /\  ( t `
 0 )  =  P  /\  { ( t `  0 ) ,  ( t ` 
1 ) }  e.  X ) ) )
3029elrab 3254 . . . . 5  |-  ( t  e.  { w  e. Word  V  |  ( ( # `
 w )  =  2  /\  ( w `
 0 )  =  P  /\  { ( w `  0 ) ,  ( w ` 
1 ) }  e.  X ) }  <->  ( t  e. Word  V  /\  ( (
# `  t )  =  2  /\  (
t `  0 )  =  P  /\  { ( t `  0 ) ,  ( t ` 
1 ) }  e.  X ) ) )
3121, 30bitri 249 . . . 4  |-  ( t  e.  D  <->  ( t  e. Word  V  /\  ( (
# `  t )  =  2  /\  (
t `  0 )  =  P  /\  { ( t `  0 ) ,  ( t ` 
1 ) }  e.  X ) ) )
32 wrd2f1tovbij.r . . . . . 6  |-  R  =  { n  e.  V  |  { P ,  n }  e.  X }
3332eleq2i 2538 . . . . 5  |-  ( ( t `  1 )  e.  R  <->  ( t `  1 )  e. 
{ n  e.  V  |  { P ,  n }  e.  X }
)
34 preq2 4100 . . . . . . 7  |-  ( n  =  ( t ` 
1 )  ->  { P ,  n }  =  { P ,  ( t `  1 ) } )
3534eleq1d 2529 . . . . . 6  |-  ( n  =  ( t ` 
1 )  ->  ( { P ,  n }  e.  X  <->  { P ,  ( t `  1 ) }  e.  X ) )
3635elrab 3254 . . . . 5  |-  ( ( t `  1 )  e.  { n  e.  V  |  { P ,  n }  e.  X } 
<->  ( ( t ` 
1 )  e.  V  /\  { P ,  ( t `  1 ) }  e.  X ) )
3733, 36bitri 249 . . . 4  |-  ( ( t `  1 )  e.  R  <->  ( (
t `  1 )  e.  V  /\  { P ,  ( t ` 
1 ) }  e.  X ) )
3819, 31, 373imtr4i 266 . . 3  |-  ( t  e.  D  ->  (
t `  1 )  e.  R )
3938rgen 2817 . 2  |-  A. t  e.  D  ( t `  1 )  e.  R
40 wrd2f1tovbij.f . . 3  |-  F  =  ( t  e.  D  |->  ( t `  1
) )
4140fmpt 6033 . 2  |-  ( A. t  e.  D  (
t `  1 )  e.  R  <->  F : D --> R )
4239, 41mpbi 208 1  |-  F : D
--> R
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 968    = wceq 1374    e. wcel 1762   A.wral 2807   {crab 2811   {cpr 4022   class class class wbr 4440    |-> cmpt 4498   -->wf 5575   ` cfv 5579  (class class class)co 6275   0cc0 9481   1c1 9482    < clt 9617   NNcn 10525   2c2 10574   NN0cn0 10784  ..^cfzo 11781   #chash 12360  Word cword 12487
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1961  ax-ext 2438  ax-rep 4551  ax-sep 4561  ax-nul 4569  ax-pow 4618  ax-pr 4679  ax-un 6567  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2446  df-cleq 2452  df-clel 2455  df-nfc 2610  df-ne 2657  df-nel 2658  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3429  df-dif 3472  df-un 3474  df-in 3476  df-ss 3483  df-pss 3485  df-nul 3779  df-if 3933  df-pw 4005  df-sn 4021  df-pr 4023  df-tp 4025  df-op 4027  df-uni 4239  df-int 4276  df-iun 4320  df-br 4441  df-opab 4499  df-mpt 4500  df-tr 4534  df-eprel 4784  df-id 4788  df-po 4793  df-so 4794  df-fr 4831  df-we 4833  df-ord 4874  df-on 4875  df-lim 4876  df-suc 4877  df-xp 4998  df-rel 4999  df-cnv 5000  df-co 5001  df-dm 5002  df-rn 5003  df-res 5004  df-ima 5005  df-iota 5542  df-fun 5581  df-fn 5582  df-f 5583  df-f1 5584  df-fo 5585  df-f1o 5586  df-fv 5587  df-riota 6236  df-ov 6278  df-oprab 6279  df-mpt2 6280  df-om 6672  df-1st 6774  df-2nd 6775  df-recs 7032  df-rdg 7066  df-1o 7120  df-oadd 7124  df-er 7301  df-en 7507  df-dom 7508  df-sdom 7509  df-fin 7510  df-card 8309  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9796  df-neg 9797  df-nn 10526  df-2 10583  df-n0 10785  df-z 10854  df-uz 11072  df-fz 11662  df-fzo 11782  df-hash 12361  df-word 12495
This theorem is referenced by:  wwlktovf1  12845  wwlktovfo  12846
  Copyright terms: Public domain W3C validator