MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  wwlktovf Structured version   Unicode version

Theorem wwlktovf 12873
Description: Lemma 1 for wrd2f1tovbij 12877. (Contributed by Alexander van der Vekens, 27-Jul-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
wrd2f1tovbij.d  |-  D  =  { w  e. Word  V  |  ( ( # `  w )  =  2  /\  ( w ` 
0 )  =  P  /\  { ( w `
 0 ) ,  ( w `  1
) }  e.  X
) }
wrd2f1tovbij.r  |-  R  =  { n  e.  V  |  { P ,  n }  e.  X }
wrd2f1tovbij.f  |-  F  =  ( t  e.  D  |->  ( t `  1
) )
Assertion
Ref Expression
wwlktovf  |-  F : D
--> R
Distinct variable groups:    t, D    P, n, t, w    t, R    n, V, t, w   
n, X, w
Allowed substitution hints:    D( w, n)    R( w, n)    F( w, t, n)    X( t)

Proof of Theorem wwlktovf
StepHypRef Expression
1 wrd2f1tovbij.f . 2  |-  F  =  ( t  e.  D  |->  ( t `  1
) )
2 wrdf 12532 . . . . 5  |-  ( t  e. Word  V  ->  t : ( 0..^ (
# `  t )
) --> V )
3 oveq2 6289 . . . . . . . 8  |-  ( (
# `  t )  =  2  ->  (
0..^ ( # `  t
) )  =  ( 0..^ 2 ) )
43feq2d 5708 . . . . . . 7  |-  ( (
# `  t )  =  2  ->  (
t : ( 0..^ ( # `  t
) ) --> V  <->  t :
( 0..^ 2 ) --> V ) )
5 1nn0 10817 . . . . . . . . 9  |-  1  e.  NN0
6 2nn 10699 . . . . . . . . 9  |-  2  e.  NN
7 1lt2 10708 . . . . . . . . 9  |-  1  <  2
8 elfzo0 11842 . . . . . . . . 9  |-  ( 1  e.  ( 0..^ 2 )  <->  ( 1  e. 
NN0  /\  2  e.  NN  /\  1  <  2
) )
95, 6, 7, 8mpbir3an 1179 . . . . . . . 8  |-  1  e.  ( 0..^ 2 )
10 ffvelrn 6014 . . . . . . . 8  |-  ( ( t : ( 0..^ 2 ) --> V  /\  1  e.  ( 0..^ 2 ) )  -> 
( t `  1
)  e.  V )
119, 10mpan2 671 . . . . . . 7  |-  ( t : ( 0..^ 2 ) --> V  ->  (
t `  1 )  e.  V )
124, 11syl6bi 228 . . . . . 6  |-  ( (
# `  t )  =  2  ->  (
t : ( 0..^ ( # `  t
) ) --> V  -> 
( t `  1
)  e.  V ) )
13123ad2ant1 1018 . . . . 5  |-  ( ( ( # `  t
)  =  2  /\  ( t `  0
)  =  P  /\  { ( t `  0
) ,  ( t `
 1 ) }  e.  X )  -> 
( t : ( 0..^ ( # `  t
) ) --> V  -> 
( t `  1
)  e.  V ) )
142, 13mpan9 469 . . . 4  |-  ( ( t  e. Word  V  /\  ( ( # `  t
)  =  2  /\  ( t `  0
)  =  P  /\  { ( t `  0
) ,  ( t `
 1 ) }  e.  X ) )  ->  ( t ` 
1 )  e.  V
)
15 preq1 4094 . . . . . . . 8  |-  ( ( t `  0 )  =  P  ->  { ( t `  0 ) ,  ( t ` 
1 ) }  =  { P ,  ( t `
 1 ) } )
1615eleq1d 2512 . . . . . . 7  |-  ( ( t `  0 )  =  P  ->  ( { ( t ` 
0 ) ,  ( t `  1 ) }  e.  X  <->  { P ,  ( t ` 
1 ) }  e.  X ) )
1716biimpa 484 . . . . . 6  |-  ( ( ( t `  0
)  =  P  /\  { ( t `  0
) ,  ( t `
 1 ) }  e.  X )  ->  { P ,  ( t `
 1 ) }  e.  X )
18173adant1 1015 . . . . 5  |-  ( ( ( # `  t
)  =  2  /\  ( t `  0
)  =  P  /\  { ( t `  0
) ,  ( t `
 1 ) }  e.  X )  ->  { P ,  ( t `
 1 ) }  e.  X )
1918adantl 466 . . . 4  |-  ( ( t  e. Word  V  /\  ( ( # `  t
)  =  2  /\  ( t `  0
)  =  P  /\  { ( t `  0
) ,  ( t `
 1 ) }  e.  X ) )  ->  { P , 
( t `  1
) }  e.  X
)
2014, 19jca 532 . . 3  |-  ( ( t  e. Word  V  /\  ( ( # `  t
)  =  2  /\  ( t `  0
)  =  P  /\  { ( t `  0
) ,  ( t `
 1 ) }  e.  X ) )  ->  ( ( t `
 1 )  e.  V  /\  { P ,  ( t ` 
1 ) }  e.  X ) )
21 fveq2 5856 . . . . . 6  |-  ( w  =  t  ->  ( # `
 w )  =  ( # `  t
) )
2221eqeq1d 2445 . . . . 5  |-  ( w  =  t  ->  (
( # `  w )  =  2  <->  ( # `  t
)  =  2 ) )
23 fveq1 5855 . . . . . 6  |-  ( w  =  t  ->  (
w `  0 )  =  ( t ` 
0 ) )
2423eqeq1d 2445 . . . . 5  |-  ( w  =  t  ->  (
( w `  0
)  =  P  <->  ( t `  0 )  =  P ) )
25 fveq1 5855 . . . . . . 7  |-  ( w  =  t  ->  (
w `  1 )  =  ( t ` 
1 ) )
2623, 25preq12d 4102 . . . . . 6  |-  ( w  =  t  ->  { ( w `  0 ) ,  ( w ` 
1 ) }  =  { ( t ` 
0 ) ,  ( t `  1 ) } )
2726eleq1d 2512 . . . . 5  |-  ( w  =  t  ->  ( { ( w ` 
0 ) ,  ( w `  1 ) }  e.  X  <->  { (
t `  0 ) ,  ( t ` 
1 ) }  e.  X ) )
2822, 24, 273anbi123d 1300 . . . 4  |-  ( w  =  t  ->  (
( ( # `  w
)  =  2  /\  ( w `  0
)  =  P  /\  { ( w `  0
) ,  ( w `
 1 ) }  e.  X )  <->  ( ( # `
 t )  =  2  /\  ( t `
 0 )  =  P  /\  { ( t `  0 ) ,  ( t ` 
1 ) }  e.  X ) ) )
29 wrd2f1tovbij.d . . . 4  |-  D  =  { w  e. Word  V  |  ( ( # `  w )  =  2  /\  ( w ` 
0 )  =  P  /\  { ( w `
 0 ) ,  ( w `  1
) }  e.  X
) }
3028, 29elrab2 3245 . . 3  |-  ( t  e.  D  <->  ( t  e. Word  V  /\  ( (
# `  t )  =  2  /\  (
t `  0 )  =  P  /\  { ( t `  0 ) ,  ( t ` 
1 ) }  e.  X ) ) )
31 preq2 4095 . . . . 5  |-  ( n  =  ( t ` 
1 )  ->  { P ,  n }  =  { P ,  ( t `  1 ) } )
3231eleq1d 2512 . . . 4  |-  ( n  =  ( t ` 
1 )  ->  ( { P ,  n }  e.  X  <->  { P ,  ( t `  1 ) }  e.  X ) )
33 wrd2f1tovbij.r . . . 4  |-  R  =  { n  e.  V  |  { P ,  n }  e.  X }
3432, 33elrab2 3245 . . 3  |-  ( ( t `  1 )  e.  R  <->  ( (
t `  1 )  e.  V  /\  { P ,  ( t ` 
1 ) }  e.  X ) )
3520, 30, 343imtr4i 266 . 2  |-  ( t  e.  D  ->  (
t `  1 )  e.  R )
361, 35fmpti 6039 1  |-  F : D
--> R
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 974    = wceq 1383    e. wcel 1804   {crab 2797   {cpr 4016   class class class wbr 4437    |-> cmpt 4495   -->wf 5574   ` cfv 5578  (class class class)co 6281   0cc0 9495   1c1 9496    < clt 9631   NNcn 10542   2c2 10591   NN0cn0 10801  ..^cfzo 11803   #chash 12384  Word cword 12513
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-rep 4548  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6577  ax-cnex 9551  ax-resscn 9552  ax-1cn 9553  ax-icn 9554  ax-addcl 9555  ax-addrcl 9556  ax-mulcl 9557  ax-mulrcl 9558  ax-mulcom 9559  ax-addass 9560  ax-mulass 9561  ax-distr 9562  ax-i2m1 9563  ax-1ne0 9564  ax-1rid 9565  ax-rnegex 9566  ax-rrecex 9567  ax-cnre 9568  ax-pre-lttri 9569  ax-pre-lttrn 9570  ax-pre-ltadd 9571  ax-pre-mulgt0 9572
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1386  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-nel 2641  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rmo 2801  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-tp 4019  df-op 4021  df-uni 4235  df-int 4272  df-iun 4317  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-tr 4531  df-eprel 4781  df-id 4785  df-po 4790  df-so 4791  df-fr 4828  df-we 4830  df-ord 4871  df-on 4872  df-lim 4873  df-suc 4874  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-f1 5583  df-fo 5584  df-f1o 5585  df-fv 5586  df-riota 6242  df-ov 6284  df-oprab 6285  df-mpt2 6286  df-om 6686  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-recs 7044  df-rdg 7078  df-1o 7132  df-oadd 7136  df-er 7313  df-en 7519  df-dom 7520  df-sdom 7521  df-fin 7522  df-card 8323  df-cda 8551  df-pnf 9633  df-mnf 9634  df-xr 9635  df-ltxr 9636  df-le 9637  df-sub 9812  df-neg 9813  df-nn 10543  df-2 10600  df-n0 10802  df-z 10871  df-uz 11091  df-fz 11682  df-fzo 11804  df-hash 12385  df-word 12521
This theorem is referenced by:  wwlktovf1  12874  wwlktovfo  12875
  Copyright terms: Public domain W3C validator