Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  wwlktovf Structured version   Unicode version

Theorem wwlktovf 30391
Description: Lemma 1 for wrd2f1tovbij 30395. (Contributed by Alexander van der Vekens, 27-Jul-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
wrd2f1tovbij.d  |-  D  =  { w  e. Word  V  |  ( ( # `  w )  =  2  /\  ( w ` 
0 )  =  P  /\  { ( w `
 0 ) ,  ( w `  1
) }  e.  X
) }
wrd2f1tovbij.r  |-  R  =  { n  e.  V  |  { P ,  n }  e.  X }
wrd2f1tovbij.f  |-  F  =  ( t  e.  D  |->  ( t `  1
) )
Assertion
Ref Expression
wwlktovf  |-  F : D
--> R
Distinct variable groups:    t, D    P, n, t, w    t, R    n, V, t, w   
n, X, w
Allowed substitution hints:    D( w, n)    R( w, n)    F( w, t, n)    X( t)

Proof of Theorem wwlktovf
StepHypRef Expression
1 wrdf 12344 . . . . . 6  |-  ( t  e. Word  V  ->  t : ( 0..^ (
# `  t )
) --> V )
2 oveq2 6200 . . . . . . . . 9  |-  ( (
# `  t )  =  2  ->  (
0..^ ( # `  t
) )  =  ( 0..^ 2 ) )
32feq2d 5647 . . . . . . . 8  |-  ( (
# `  t )  =  2  ->  (
t : ( 0..^ ( # `  t
) ) --> V  <->  t :
( 0..^ 2 ) --> V ) )
4 1nn0 10698 . . . . . . . . . 10  |-  1  e.  NN0
5 2nn 10582 . . . . . . . . . 10  |-  2  e.  NN
6 1lt2 10591 . . . . . . . . . 10  |-  1  <  2
7 elfzo0 11690 . . . . . . . . . 10  |-  ( 1  e.  ( 0..^ 2 )  <->  ( 1  e. 
NN0  /\  2  e.  NN  /\  1  <  2
) )
84, 5, 6, 7mpbir3an 1170 . . . . . . . . 9  |-  1  e.  ( 0..^ 2 )
9 ffvelrn 5942 . . . . . . . . 9  |-  ( ( t : ( 0..^ 2 ) --> V  /\  1  e.  ( 0..^ 2 ) )  -> 
( t `  1
)  e.  V )
108, 9mpan2 671 . . . . . . . 8  |-  ( t : ( 0..^ 2 ) --> V  ->  (
t `  1 )  e.  V )
113, 10syl6bi 228 . . . . . . 7  |-  ( (
# `  t )  =  2  ->  (
t : ( 0..^ ( # `  t
) ) --> V  -> 
( t `  1
)  e.  V ) )
12113ad2ant1 1009 . . . . . 6  |-  ( ( ( # `  t
)  =  2  /\  ( t `  0
)  =  P  /\  { ( t `  0
) ,  ( t `
 1 ) }  e.  X )  -> 
( t : ( 0..^ ( # `  t
) ) --> V  -> 
( t `  1
)  e.  V ) )
131, 12mpan9 469 . . . . 5  |-  ( ( t  e. Word  V  /\  ( ( # `  t
)  =  2  /\  ( t `  0
)  =  P  /\  { ( t `  0
) ,  ( t `
 1 ) }  e.  X ) )  ->  ( t ` 
1 )  e.  V
)
14 preq1 4054 . . . . . . . . 9  |-  ( ( t `  0 )  =  P  ->  { ( t `  0 ) ,  ( t ` 
1 ) }  =  { P ,  ( t `
 1 ) } )
1514eleq1d 2520 . . . . . . . 8  |-  ( ( t `  0 )  =  P  ->  ( { ( t ` 
0 ) ,  ( t `  1 ) }  e.  X  <->  { P ,  ( t ` 
1 ) }  e.  X ) )
1615biimpa 484 . . . . . . 7  |-  ( ( ( t `  0
)  =  P  /\  { ( t `  0
) ,  ( t `
 1 ) }  e.  X )  ->  { P ,  ( t `
 1 ) }  e.  X )
17163adant1 1006 . . . . . 6  |-  ( ( ( # `  t
)  =  2  /\  ( t `  0
)  =  P  /\  { ( t `  0
) ,  ( t `
 1 ) }  e.  X )  ->  { P ,  ( t `
 1 ) }  e.  X )
1817adantl 466 . . . . 5  |-  ( ( t  e. Word  V  /\  ( ( # `  t
)  =  2  /\  ( t `  0
)  =  P  /\  { ( t `  0
) ,  ( t `
 1 ) }  e.  X ) )  ->  { P , 
( t `  1
) }  e.  X
)
1913, 18jca 532 . . . 4  |-  ( ( t  e. Word  V  /\  ( ( # `  t
)  =  2  /\  ( t `  0
)  =  P  /\  { ( t `  0
) ,  ( t `
 1 ) }  e.  X ) )  ->  ( ( t `
 1 )  e.  V  /\  { P ,  ( t ` 
1 ) }  e.  X ) )
20 wrd2f1tovbij.d . . . . . 6  |-  D  =  { w  e. Word  V  |  ( ( # `  w )  =  2  /\  ( w ` 
0 )  =  P  /\  { ( w `
 0 ) ,  ( w `  1
) }  e.  X
) }
2120eleq2i 2529 . . . . 5  |-  ( t  e.  D  <->  t  e.  { w  e. Word  V  | 
( ( # `  w
)  =  2  /\  ( w `  0
)  =  P  /\  { ( w `  0
) ,  ( w `
 1 ) }  e.  X ) } )
22 fveq2 5791 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  t  ->  ( # `
 w )  =  ( # `  t
) )
2322eqeq1d 2453 . . . . . . 7  |-  ( w  =  t  ->  (
( # `  w )  =  2  <->  ( # `  t
)  =  2 ) )
24 fveq1 5790 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  t  ->  (
w `  0 )  =  ( t ` 
0 ) )
2524eqeq1d 2453 . . . . . . 7  |-  ( w  =  t  ->  (
( w `  0
)  =  P  <->  ( t `  0 )  =  P ) )
26 fveq1 5790 . . . . . . . . 9  |-  ( w  =  t  ->  (
w `  1 )  =  ( t ` 
1 ) )
2724, 26preq12d 4062 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  t  ->  { ( w `  0 ) ,  ( w ` 
1 ) }  =  { ( t ` 
0 ) ,  ( t `  1 ) } )
2827eleq1d 2520 . . . . . . 7  |-  ( w  =  t  ->  ( { ( w ` 
0 ) ,  ( w `  1 ) }  e.  X  <->  { (
t `  0 ) ,  ( t ` 
1 ) }  e.  X ) )
2923, 25, 283anbi123d 1290 . . . . . 6  |-  ( w  =  t  ->  (
( ( # `  w
)  =  2  /\  ( w `  0
)  =  P  /\  { ( w `  0
) ,  ( w `
 1 ) }  e.  X )  <->  ( ( # `
 t )  =  2  /\  ( t `
 0 )  =  P  /\  { ( t `  0 ) ,  ( t ` 
1 ) }  e.  X ) ) )
3029elrab 3216 . . . . 5  |-  ( t  e.  { w  e. Word  V  |  ( ( # `
 w )  =  2  /\  ( w `
 0 )  =  P  /\  { ( w `  0 ) ,  ( w ` 
1 ) }  e.  X ) }  <->  ( t  e. Word  V  /\  ( (
# `  t )  =  2  /\  (
t `  0 )  =  P  /\  { ( t `  0 ) ,  ( t ` 
1 ) }  e.  X ) ) )
3121, 30bitri 249 . . . 4  |-  ( t  e.  D  <->  ( t  e. Word  V  /\  ( (
# `  t )  =  2  /\  (
t `  0 )  =  P  /\  { ( t `  0 ) ,  ( t ` 
1 ) }  e.  X ) ) )
32 wrd2f1tovbij.r . . . . . 6  |-  R  =  { n  e.  V  |  { P ,  n }  e.  X }
3332eleq2i 2529 . . . . 5  |-  ( ( t `  1 )  e.  R  <->  ( t `  1 )  e. 
{ n  e.  V  |  { P ,  n }  e.  X }
)
34 preq2 4055 . . . . . . 7  |-  ( n  =  ( t ` 
1 )  ->  { P ,  n }  =  { P ,  ( t `  1 ) } )
3534eleq1d 2520 . . . . . 6  |-  ( n  =  ( t ` 
1 )  ->  ( { P ,  n }  e.  X  <->  { P ,  ( t `  1 ) }  e.  X ) )
3635elrab 3216 . . . . 5  |-  ( ( t `  1 )  e.  { n  e.  V  |  { P ,  n }  e.  X } 
<->  ( ( t ` 
1 )  e.  V  /\  { P ,  ( t `  1 ) }  e.  X ) )
3733, 36bitri 249 . . . 4  |-  ( ( t `  1 )  e.  R  <->  ( (
t `  1 )  e.  V  /\  { P ,  ( t ` 
1 ) }  e.  X ) )
3819, 31, 373imtr4i 266 . . 3  |-  ( t  e.  D  ->  (
t `  1 )  e.  R )
3938rgen 2891 . 2  |-  A. t  e.  D  ( t `  1 )  e.  R
40 wrd2f1tovbij.f . . 3  |-  F  =  ( t  e.  D  |->  ( t `  1
) )
4140fmpt 5965 . 2  |-  ( A. t  e.  D  (
t `  1 )  e.  R  <->  F : D --> R )
4239, 41mpbi 208 1  |-  F : D
--> R
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1370    e. wcel 1758   A.wral 2795   {crab 2799   {cpr 3979   class class class wbr 4392    |-> cmpt 4450   -->wf 5514   ` cfv 5518  (class class class)co 6192   0cc0 9385   1c1 9386    < clt 9521   NNcn 10425   2c2 10474   NN0cn0 10682  ..^cfzo 11651   #chash 12206  Word cword 12325
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-rep 4503  ax-sep 4513  ax-nul 4521  ax-pow 4570  ax-pr 4631  ax-un 6474  ax-cnex 9441  ax-resscn 9442  ax-1cn 9443  ax-icn 9444  ax-addcl 9445  ax-addrcl 9446  ax-mulcl 9447  ax-mulrcl 9448  ax-mulcom 9449  ax-addass 9450  ax-mulass 9451  ax-distr 9452  ax-i2m1 9453  ax-1ne0 9454  ax-1rid 9455  ax-rnegex 9456  ax-rrecex 9457  ax-cnre 9458  ax-pre-lttri 9459  ax-pre-lttrn 9460  ax-pre-ltadd 9461  ax-pre-mulgt0 9462
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-nel 2647  df-ral 2800  df-rex 2801  df-reu 2802  df-rab 2804  df-v 3072  df-sbc 3287  df-csb 3389  df-dif 3431  df-un 3433  df-in 3435  df-ss 3442  df-pss 3444  df-nul 3738  df-if 3892  df-pw 3962  df-sn 3978  df-pr 3980  df-tp 3982  df-op 3984  df-uni 4192  df-int 4229  df-iun 4273  df-br 4393  df-opab 4451  df-mpt 4452  df-tr 4486  df-eprel 4732  df-id 4736  df-po 4741  df-so 4742  df-fr 4779  df-we 4781  df-ord 4822  df-on 4823  df-lim 4824  df-suc 4825  df-xp 4946  df-rel 4947  df-cnv 4948  df-co 4949  df-dm 4950  df-rn 4951  df-res 4952  df-ima 4953  df-iota 5481  df-fun 5520  df-fn 5521  df-f 5522  df-f1 5523  df-fo 5524  df-f1o 5525  df-fv 5526  df-riota 6153  df-ov 6195  df-oprab 6196  df-mpt2 6197  df-om 6579  df-1st 6679  df-2nd 6680  df-recs 6934  df-rdg 6968  df-1o 7022  df-oadd 7026  df-er 7203  df-en 7413  df-dom 7414  df-sdom 7415  df-fin 7416  df-card 8212  df-pnf 9523  df-mnf 9524  df-xr 9525  df-ltxr 9526  df-le 9527  df-sub 9700  df-neg 9701  df-nn 10426  df-2 10483  df-n0 10683  df-z 10750  df-uz 10965  df-fz 11541  df-fzo 11652  df-hash 12207  df-word 12333
This theorem is referenced by:  wwlktovf1  30392  wwlktovfo  30393
  Copyright terms: Public domain W3C validator