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Theorem wwlksubclwwlk 30607
Description: Any prefix of a word representing a closed walk represents a word. (Contributed by Alexander van der Vekens, 5-Oct-2018.)
Assertion
Ref Expression
wwlksubclwwlk  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1
) ) )  -> 
( X  e.  ( ( V ClWWalksN  E ) `  N )  ->  ( X substr  <. 0 ,  M >. )  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  ( M  -  1 ) ) ) )

Proof of Theorem wwlksubclwwlk
Dummy variable  i is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 clwwlknimp 30580 . . . . 5  |-  ( X  e.  ( ( V ClWWalksN  E ) `  N
)  ->  ( ( X  e. Word  V  /\  ( # `
 X )  =  N )  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( N  -  1 ) ) { ( X `  i ) ,  ( X `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  /\  { ( lastS  `  X ) ,  ( X `  0 ) }  e.  ran  E
) )
2 simpl 457 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( X  e. Word  V  /\  ( # `  X )  =  N )  ->  X  e. Word  V )
32adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( X  e. Word  V  /\  ( # `  X
)  =  N )  /\  ( M  e.  NN  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) ) )  ->  X  e. Word  V )
4 simpl 457 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1
) ) )  ->  M  e.  NN )
54adantl 466 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( X  e. Word  V  /\  ( # `  X
)  =  N )  /\  ( M  e.  NN  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) ) )  ->  M  e.  NN )
6 eluz2 10971 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) )  <->  ( ( M  +  1 )  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  ( M  +  1 )  <_  N ) )
7 nnre 10433 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( M  e.  NN  ->  M  e.  RR )
87adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e.  NN )  ->  M  e.  RR )
9 peano2re 9646 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( M  e.  RR  ->  ( M  +  1 )  e.  RR )
107, 9syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( M  e.  NN  ->  ( M  +  1 )  e.  RR )
1110adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e.  NN )  ->  ( M  +  1 )  e.  RR )
12 zre 10754 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( N  e.  ZZ  ->  N  e.  RR )
1312adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e.  NN )  ->  N  e.  RR )
148, 11, 133jca 1168 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e.  NN )  ->  ( M  e.  RR  /\  ( M  +  1 )  e.  RR  /\  N  e.  RR )
)
1514adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e.  NN )  /\  ( M  + 
1 )  <_  N
)  ->  ( M  e.  RR  /\  ( M  +  1 )  e.  RR  /\  N  e.  RR ) )
167lep1d 10368 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( M  e.  NN  ->  M  <_  ( M  +  1 ) )
1716adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e.  NN )  ->  M  <_  ( M  +  1 ) )
1817anim1i 568 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e.  NN )  /\  ( M  + 
1 )  <_  N
)  ->  ( M  <_  ( M  +  1 )  /\  ( M  +  1 )  <_  N ) )
19 letr 9572 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( M  e.  RR  /\  ( M  +  1
)  e.  RR  /\  N  e.  RR )  ->  ( ( M  <_ 
( M  +  1 )  /\  ( M  +  1 )  <_  N )  ->  M  <_  N ) )
2015, 18, 19sylc 60 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e.  NN )  /\  ( M  + 
1 )  <_  N
)  ->  M  <_  N )
2120expcom 435 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( M  +  1 )  <_  N  ->  (
( N  e.  ZZ  /\  M  e.  NN )  ->  M  <_  N
) )
2221expd 436 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( M  +  1 )  <_  N  ->  ( N  e.  ZZ  ->  ( M  e.  NN  ->  M  <_  N ) ) )
2322impcom 430 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  ( M  +  1
)  <_  N )  ->  ( M  e.  NN  ->  M  <_  N )
)
24233adant1 1006 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( M  +  1 )  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  ( M  +  1 )  <_  N )  -> 
( M  e.  NN  ->  M  <_  N )
)
256, 24sylbi 195 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) )  ->  ( M  e.  NN  ->  M  <_  N ) )
2625impcom 430 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1
) ) )  ->  M  <_  N )
2726adantl 466 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( X  e. Word  V  /\  ( # `  X
)  =  N )  /\  ( M  e.  NN  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) ) )  ->  M  <_  N )
28 breq2 4397 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
# `  X )  =  N  ->  ( M  <_  ( # `  X
)  <->  M  <_  N ) )
2928adantl 466 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( X  e. Word  V  /\  ( # `  X )  =  N )  -> 
( M  <_  ( # `
 X )  <->  M  <_  N ) )
3029adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( X  e. Word  V  /\  ( # `  X
)  =  N )  /\  ( M  e.  NN  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) ) )  ->  ( M  <_  ( # `  X
)  <->  M  <_  N ) )
3127, 30mpbird 232 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( X  e. Word  V  /\  ( # `  X
)  =  N )  /\  ( M  e.  NN  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) ) )  ->  M  <_  ( # `  X
) )
323, 5, 313jca 1168 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( X  e. Word  V  /\  ( # `  X
)  =  N )  /\  ( M  e.  NN  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) ) )  ->  ( X  e. Word  V  /\  M  e.  NN  /\  M  <_ 
( # `  X ) ) )
33 swrdn0 12435 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( X  e. Word  V  /\  M  e.  NN  /\  M  <_  ( # `  X
) )  ->  ( X substr  <. 0 ,  M >. )  =/=  (/) )
3432, 33syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( X  e. Word  V  /\  ( # `  X
)  =  N )  /\  ( M  e.  NN  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) ) )  ->  ( X substr  <. 0 ,  M >. )  =/=  (/) )
3534adantlr 714 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( X  e. Word  V  /\  ( # `  X
)  =  N )  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( N  -  1 ) ) { ( X `  i ) ,  ( X `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E
)  /\  ( M  e.  NN  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) ) )  ->  ( X substr  <. 0 ,  M >. )  =/=  (/) )
36 swrdcl 12426 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( X  e. Word  V  ->  ( X substr  <. 0 ,  M >. )  e. Word  V )
3736adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( X  e. Word  V  /\  ( # `  X )  =  N )  -> 
( X substr  <. 0 ,  M >. )  e. Word  V
)
3837adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( X  e. Word  V  /\  ( # `  X
)  =  N )  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( N  -  1 ) ) { ( X `  i ) ,  ( X `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E
)  ->  ( X substr  <.
0 ,  M >. )  e. Word  V )
3938adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( X  e. Word  V  /\  ( # `  X
)  =  N )  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( N  -  1 ) ) { ( X `  i ) ,  ( X `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E
)  /\  ( M  e.  NN  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) ) )  ->  ( X substr  <. 0 ,  M >. )  e. Word  V )
40 nnz 10772 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( M  e.  NN  ->  M  e.  ZZ )
41 eluzp1m1 10988 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1
) ) )  -> 
( N  -  1 )  e.  ( ZZ>= `  M ) )
4241ex 434 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( M  e.  ZZ  ->  ( N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1
) )  ->  ( N  -  1 )  e.  ( ZZ>= `  M
) ) )
4340, 42syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( M  e.  NN  ->  ( N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1
) )  ->  ( N  -  1 )  e.  ( ZZ>= `  M
) ) )
44 peano2zm 10792 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( M  e.  ZZ  ->  ( M  -  1 )  e.  ZZ )
4540, 44syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( M  e.  NN  ->  ( M  -  1 )  e.  ZZ )
467lem1d 10370 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( M  e.  NN  ->  ( M  -  1 )  <_  M )
47 uzuzle 30331 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( M  -  1 )  e.  ZZ  /\  ( M  -  1
)  <_  M )  ->  ( ( N  - 
1 )  e.  (
ZZ>= `  M )  -> 
( N  -  1 )  e.  ( ZZ>= `  ( M  -  1
) ) ) )
4845, 46, 47syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( N  -  1 )  e.  ( ZZ>= `  M )  ->  ( N  -  1 )  e.  ( ZZ>= `  ( M  -  1 ) ) ) )
4943, 48syld 44 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( M  e.  NN  ->  ( N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1
) )  ->  ( N  -  1 )  e.  ( ZZ>= `  ( M  -  1 ) ) ) )
5049imp 429 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1
) ) )  -> 
( N  -  1 )  e.  ( ZZ>= `  ( M  -  1
) ) )
51 fzoss2 11687 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( N  -  1 )  e.  ( ZZ>= `  ( M  -  1 ) )  ->  ( 0..^ ( M  -  1 ) )  C_  (
0..^ ( N  - 
1 ) ) )
5250, 51syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1
) ) )  -> 
( 0..^ ( M  -  1 ) ) 
C_  ( 0..^ ( N  -  1 ) ) )
5352adantl 466 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( X  e. Word  V  /\  ( # `  X
)  =  N )  /\  ( M  e.  NN  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) ) )  ->  (
0..^ ( M  - 
1 ) )  C_  ( 0..^ ( N  - 
1 ) ) )
54 ssralv 3517 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 0..^ ( M  - 
1 ) )  C_  ( 0..^ ( N  - 
1 ) )  -> 
( A. i  e.  ( 0..^ ( N  -  1 ) ) { ( X `  i ) ,  ( X `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  ->  A. i  e.  ( 0..^ ( M  - 
1 ) ) { ( X `  i
) ,  ( X `
 ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E ) )
5553, 54syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( X  e. Word  V  /\  ( # `  X
)  =  N )  /\  ( M  e.  NN  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) ) )  ->  ( A. i  e.  (
0..^ ( N  - 
1 ) ) { ( X `  i
) ,  ( X `
 ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  ->  A. i  e.  (
0..^ ( M  - 
1 ) ) { ( X `  i
) ,  ( X `
 ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E ) )
563adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( X  e. Word  V  /\  ( # `  X
)  =  N )  /\  ( M  e.  NN  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) ) )  /\  i  e.  ( 0..^ ( M  -  1 ) ) )  ->  X  e. Word  V )
577adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( M  e.  NN  /\  ( N  e.  ZZ  /\  ( M  +  1 )  <_  N )
)  ->  M  e.  RR )
5810adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( M  e.  NN  /\  ( N  e.  ZZ  /\  ( M  +  1 )  <_  N )
)  ->  ( M  +  1 )  e.  RR )
5912adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  ( M  +  1
)  <_  N )  ->  N  e.  RR )
6059adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( M  e.  NN  /\  ( N  e.  ZZ  /\  ( M  +  1 )  <_  N )
)  ->  N  e.  RR )
6116adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( M  e.  NN  /\  ( N  e.  ZZ  /\  ( M  +  1 )  <_  N )
)  ->  M  <_  ( M  +  1 ) )
62 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  ( M  +  1
)  <_  N )  ->  ( M  +  1 )  <_  N )
6362adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( M  e.  NN  /\  ( N  e.  ZZ  /\  ( M  +  1 )  <_  N )
)  ->  ( M  +  1 )  <_  N )
6457, 58, 60, 61, 63letrd 9632 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( M  e.  NN  /\  ( N  e.  ZZ  /\  ( M  +  1 )  <_  N )
)  ->  M  <_  N )
65 nnnn0 10690 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( M  e.  NN  ->  M  e.  NN0 )
6665adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( M  e.  NN  /\  ( N  e.  ZZ  /\  ( M  +  1 )  <_  N )
)  ->  M  e.  NN0 )
6766adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  ( N  e.  ZZ  /\  ( M  +  1 )  <_  N )
)  /\  M  <_  N )  ->  M  e.  NN0 )
68 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  ZZ )  ->  N  e.  ZZ )
6968adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  ZZ )  /\  M  <_  N
)  ->  N  e.  ZZ )
70 0re 9490 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40  |-  0  e.  RR
7170a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  ZZ )  ->  0  e.  RR )
727adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  ZZ )  ->  M  e.  RR )
7312adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  ZZ )  ->  N  e.  RR )
7471, 72, 733jca 1168 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( 0  e.  RR  /\  M  e.  RR  /\  N  e.  RR )
)
7574adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  ZZ )  /\  M  <_  N
)  ->  ( 0  e.  RR  /\  M  e.  RR  /\  N  e.  RR ) )
7665nn0ge0d 10743 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39  |-  ( M  e.  NN  ->  0  <_  M )
7776adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  ZZ )  ->  0  <_  M )
7877anim1i 568 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  ZZ )  /\  M  <_  N
)  ->  ( 0  <_  M  /\  M  <_  N ) )
79 letr 9572 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  M  e.  RR  /\  N  e.  RR )  ->  (
( 0  <_  M  /\  M  <_  N )  ->  0  <_  N
) )
8075, 78, 79sylc 60 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  ZZ )  /\  M  <_  N
)  ->  0  <_  N )
8169, 80jca 532 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  ZZ )  /\  M  <_  N
)  ->  ( N  e.  ZZ  /\  0  <_  N ) )
82 elnn0z 10763 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35  |-  ( N  e.  NN0  <->  ( N  e.  ZZ  /\  0  <_  N ) )
8381, 82sylibr 212 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  ZZ )  /\  M  <_  N
)  ->  N  e.  NN0 )
8483ex 434 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( M  <_  N  ->  N  e.  NN0 )
)
8584expcom 435 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( N  e.  ZZ  ->  ( M  e.  NN  ->  ( M  <_  N  ->  N  e.  NN0 ) ) )
8685adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  ( M  +  1
)  <_  N )  ->  ( M  e.  NN  ->  ( M  <_  N  ->  N  e.  NN0 )
) )
8786impcom 430 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( M  e.  NN  /\  ( N  e.  ZZ  /\  ( M  +  1 )  <_  N )
)  ->  ( M  <_  N  ->  N  e.  NN0 ) )
8887imp 429 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  ( N  e.  ZZ  /\  ( M  +  1 )  <_  N )
)  /\  M  <_  N )  ->  N  e.  NN0 )
89 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  ( N  e.  ZZ  /\  ( M  +  1 )  <_  N )
)  /\  M  <_  N )  ->  M  <_  N )
9067, 88, 893jca 1168 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  ( N  e.  ZZ  /\  ( M  +  1 )  <_  N )
)  /\  M  <_  N )  ->  ( M  e.  NN0  /\  N  e. 
NN0  /\  M  <_  N ) )
9164, 90mpdan 668 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( M  e.  NN  /\  ( N  e.  ZZ  /\  ( M  +  1 )  <_  N )
)  ->  ( M  e.  NN0  /\  N  e. 
NN0  /\  M  <_  N ) )
9291expcom 435 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  ( M  +  1
)  <_  N )  ->  ( M  e.  NN  ->  ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0  /\  M  <_  N ) ) )
93923adant1 1006 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( M  +  1 )  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  ( M  +  1 )  <_  N )  -> 
( M  e.  NN  ->  ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0  /\  M  <_  N ) ) )
946, 93sylbi 195 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) )  ->  ( M  e.  NN  ->  ( M  e.  NN0  /\  N  e. 
NN0  /\  M  <_  N ) ) )
9594impcom 430 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1
) ) )  -> 
( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0  /\  M  <_  N ) )
96 elfz2nn0 11590 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( M  e.  ( 0 ... N )  <->  ( M  e.  NN0  /\  N  e. 
NN0  /\  M  <_  N ) )
9795, 96sylibr 212 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1
) ) )  ->  M  e.  ( 0 ... N ) )
9897adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( X  e. Word  V  /\  ( # `  X
)  =  N )  /\  ( M  e.  NN  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) ) )  ->  M  e.  ( 0 ... N
) )
99 oveq2 6201 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( (
# `  X )  =  N  ->  ( 0 ... ( # `  X
) )  =  ( 0 ... N ) )
10099eleq2d 2521 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( (
# `  X )  =  N  ->  ( M  e.  ( 0 ... ( # `  X
) )  <->  M  e.  ( 0 ... N
) ) )
101100adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( X  e. Word  V  /\  ( # `  X )  =  N )  -> 
( M  e.  ( 0 ... ( # `  X ) )  <->  M  e.  ( 0 ... N
) ) )
102101adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( X  e. Word  V  /\  ( # `  X
)  =  N )  /\  ( M  e.  NN  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) ) )  ->  ( M  e.  ( 0 ... ( # `  X
) )  <->  M  e.  ( 0 ... N
) ) )
10398, 102mpbird 232 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( X  e. Word  V  /\  ( # `  X
)  =  N )  /\  ( M  e.  NN  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) ) )  ->  M  e.  ( 0 ... ( # `
 X ) ) )
104103adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( X  e. Word  V  /\  ( # `  X
)  =  N )  /\  ( M  e.  NN  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) ) )  /\  i  e.  ( 0..^ ( M  -  1 ) ) )  ->  M  e.  ( 0 ... ( # `
 X ) ) )
10545, 40, 463jca 1168 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( M  -  1 )  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  ( M  -  1 )  <_  M ) )
106 eluz2 10971 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( M  e.  ( ZZ>= `  ( M  -  1 ) )  <->  ( ( M  -  1 )  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  ( M  -  1 )  <_  M ) )
107105, 106sylibr 212 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( M  e.  NN  ->  M  e.  ( ZZ>= `  ( M  -  1 ) ) )
108 fzoss2 11687 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( M  e.  ( ZZ>= `  ( M  -  1 ) )  ->  ( 0..^ ( M  -  1 ) )  C_  (
0..^ M ) )
109107, 108syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( M  e.  NN  ->  (
0..^ ( M  - 
1 ) )  C_  ( 0..^ M ) )
110109sseld 3456 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( M  e.  NN  ->  (
i  e.  ( 0..^ ( M  -  1 ) )  ->  i  e.  ( 0..^ M ) ) )
111110adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1
) ) )  -> 
( i  e.  ( 0..^ ( M  - 
1 ) )  -> 
i  e.  ( 0..^ M ) ) )
112111adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( X  e. Word  V  /\  ( # `  X
)  =  N )  /\  ( M  e.  NN  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) ) )  ->  (
i  e.  ( 0..^ ( M  -  1 ) )  ->  i  e.  ( 0..^ M ) ) )
113112imp 429 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( X  e. Word  V  /\  ( # `  X
)  =  N )  /\  ( M  e.  NN  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) ) )  /\  i  e.  ( 0..^ ( M  -  1 ) ) )  ->  i  e.  ( 0..^ M ) )
11456, 104, 1133jca 1168 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( X  e. Word  V  /\  ( # `  X
)  =  N )  /\  ( M  e.  NN  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) ) )  /\  i  e.  ( 0..^ ( M  -  1 ) ) )  ->  ( X  e. Word  V  /\  M  e.  ( 0 ... ( # `
 X ) )  /\  i  e.  ( 0..^ M ) ) )
115 swrd0fv 12446 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( X  e. Word  V  /\  M  e.  ( 0 ... ( # `  X
) )  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( ( X substr  <. 0 ,  M >. ) `  i )  =  ( X `  i ) )
116114, 115syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( X  e. Word  V  /\  ( # `  X
)  =  N )  /\  ( M  e.  NN  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) ) )  /\  i  e.  ( 0..^ ( M  -  1 ) ) )  ->  ( ( X substr  <. 0 ,  M >. ) `  i )  =  ( X `  i ) )
117116eqcomd 2459 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( X  e. Word  V  /\  ( # `  X
)  =  N )  /\  ( M  e.  NN  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) ) )  /\  i  e.  ( 0..^ ( M  -  1 ) ) )  ->  ( X `  i )  =  ( ( X substr  <. 0 ,  M >. ) `  i
) )
118 fzonn0p1p1 30357 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( i  e.  ( 0..^ ( M  -  1 ) )  ->  ( i  +  1 )  e.  ( 0..^ ( ( M  -  1 )  +  1 ) ) )
119 nncn 10434 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( M  e.  NN  ->  M  e.  CC )
120 npcan1 9877 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( M  e.  CC  ->  (
( M  -  1 )  +  1 )  =  M )
121119, 120syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( M  -  1 )  +  1 )  =  M )
122121oveq2d 6209 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( M  e.  NN  ->  (
0..^ ( ( M  -  1 )  +  1 ) )  =  ( 0..^ M ) )
123122eleq2d 2521 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( i  +  1 )  e.  ( 0..^ ( ( M  - 
1 )  +  1 ) )  <->  ( i  +  1 )  e.  ( 0..^ M ) ) )
124118, 123syl5ib 219 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( M  e.  NN  ->  (
i  e.  ( 0..^ ( M  -  1 ) )  ->  (
i  +  1 )  e.  ( 0..^ M ) ) )
125124adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1
) ) )  -> 
( i  e.  ( 0..^ ( M  - 
1 ) )  -> 
( i  +  1 )  e.  ( 0..^ M ) ) )
126125adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( X  e. Word  V  /\  ( # `  X
)  =  N )  /\  ( M  e.  NN  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) ) )  ->  (
i  e.  ( 0..^ ( M  -  1 ) )  ->  (
i  +  1 )  e.  ( 0..^ M ) ) )
127126imp 429 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( X  e. Word  V  /\  ( # `  X
)  =  N )  /\  ( M  e.  NN  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) ) )  /\  i  e.  ( 0..^ ( M  -  1 ) ) )  ->  ( i  +  1 )  e.  ( 0..^ M ) )
12856, 104, 1273jca 1168 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( X  e. Word  V  /\  ( # `  X
)  =  N )  /\  ( M  e.  NN  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) ) )  /\  i  e.  ( 0..^ ( M  -  1 ) ) )  ->  ( X  e. Word  V  /\  M  e.  ( 0 ... ( # `
 X ) )  /\  ( i  +  1 )  e.  ( 0..^ M ) ) )
129 swrd0fv 12446 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( X  e. Word  V  /\  M  e.  ( 0 ... ( # `  X
) )  /\  (
i  +  1 )  e.  ( 0..^ M ) )  ->  (
( X substr  <. 0 ,  M >. ) `  (
i  +  1 ) )  =  ( X `
 ( i  +  1 ) ) )
130128, 129syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( X  e. Word  V  /\  ( # `  X
)  =  N )  /\  ( M  e.  NN  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) ) )  /\  i  e.  ( 0..^ ( M  -  1 ) ) )  ->  ( ( X substr  <. 0 ,  M >. ) `  ( i  +  1 ) )  =  ( X `  ( i  +  1 ) ) )
131130eqcomd 2459 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( X  e. Word  V  /\  ( # `  X
)  =  N )  /\  ( M  e.  NN  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) ) )  /\  i  e.  ( 0..^ ( M  -  1 ) ) )  ->  ( X `  ( i  +  1 ) )  =  ( ( X substr  <. 0 ,  M >. ) `  (
i  +  1 ) ) )
132117, 131preq12d 4063 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( X  e. Word  V  /\  ( # `  X
)  =  N )  /\  ( M  e.  NN  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) ) )  /\  i  e.  ( 0..^ ( M  -  1 ) ) )  ->  { ( X `  i ) ,  ( X `  ( i  +  1 ) ) }  =  { ( ( X substr  <. 0 ,  M >. ) `
 i ) ,  ( ( X substr  <. 0 ,  M >. ) `  (
i  +  1 ) ) } )
133132eleq1d 2520 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( X  e. Word  V  /\  ( # `  X
)  =  N )  /\  ( M  e.  NN  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) ) )  /\  i  e.  ( 0..^ ( M  -  1 ) ) )  ->  ( {
( X `  i
) ,  ( X `
 ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  <->  { (
( X substr  <. 0 ,  M >. ) `  i
) ,  ( ( X substr  <. 0 ,  M >. ) `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E
) )
134133ralbidva 2839 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( X  e. Word  V  /\  ( # `  X
)  =  N )  /\  ( M  e.  NN  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) ) )  ->  ( A. i  e.  (
0..^ ( M  - 
1 ) ) { ( X `  i
) ,  ( X `
 ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  <->  A. i  e.  ( 0..^ ( M  -  1 ) ) { ( ( X substr  <. 0 ,  M >. ) `
 i ) ,  ( ( X substr  <. 0 ,  M >. ) `  (
i  +  1 ) ) }  e.  ran  E ) )
13555, 134sylibd 214 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( X  e. Word  V  /\  ( # `  X
)  =  N )  /\  ( M  e.  NN  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) ) )  ->  ( A. i  e.  (
0..^ ( N  - 
1 ) ) { ( X `  i
) ,  ( X `
 ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  ->  A. i  e.  (
0..^ ( M  - 
1 ) ) { ( ( X substr  <. 0 ,  M >. ) `  i
) ,  ( ( X substr  <. 0 ,  M >. ) `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E
) )
136135impancom 440 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( X  e. Word  V  /\  ( # `  X
)  =  N )  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( N  -  1 ) ) { ( X `  i ) ,  ( X `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E
)  ->  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  ->  A. i  e.  ( 0..^ ( M  -  1 ) ) { ( ( X substr  <. 0 ,  M >. ) `
 i ) ,  ( ( X substr  <. 0 ,  M >. ) `  (
i  +  1 ) ) }  e.  ran  E ) )
137136imp 429 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( X  e. Word  V  /\  ( # `  X
)  =  N )  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( N  -  1 ) ) { ( X `  i ) ,  ( X `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E
)  /\  ( M  e.  NN  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) ) )  ->  A. i  e.  ( 0..^ ( M  -  1 ) ) { ( ( X substr  <. 0 ,  M >. ) `
 i ) ,  ( ( X substr  <. 0 ,  M >. ) `  (
i  +  1 ) ) }  e.  ran  E )
1383, 103jca 532 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( X  e. Word  V  /\  ( # `  X
)  =  N )  /\  ( M  e.  NN  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) ) )  ->  ( X  e. Word  V  /\  M  e.  ( 0 ... ( # `
 X ) ) ) )
139138adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( X  e. Word  V  /\  ( # `  X
)  =  N )  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( N  -  1 ) ) { ( X `  i ) ,  ( X `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E
)  /\  ( M  e.  NN  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) ) )  ->  ( X  e. Word  V  /\  M  e.  ( 0 ... ( # `
 X ) ) ) )
140 swrd0len 12429 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( X  e. Word  V  /\  M  e.  ( 0 ... ( # `  X
) ) )  -> 
( # `  ( X substr  <. 0 ,  M >. ) )  =  M )
141139, 140syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( X  e. Word  V  /\  ( # `  X
)  =  N )  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( N  -  1 ) ) { ( X `  i ) ,  ( X `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E
)  /\  ( M  e.  NN  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) ) )  ->  ( # `
 ( X substr  <. 0 ,  M >. ) )  =  M )
142141oveq1d 6208 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( X  e. Word  V  /\  ( # `  X
)  =  N )  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( N  -  1 ) ) { ( X `  i ) ,  ( X `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E
)  /\  ( M  e.  NN  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) ) )  ->  (
( # `  ( X substr  <. 0 ,  M >. ) )  -  1 )  =  ( M  - 
1 ) )
143142oveq2d 6209 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( X  e. Word  V  /\  ( # `  X
)  =  N )  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( N  -  1 ) ) { ( X `  i ) ,  ( X `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E
)  /\  ( M  e.  NN  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) ) )  ->  (
0..^ ( ( # `  ( X substr  <. 0 ,  M >. ) )  - 
1 ) )  =  ( 0..^ ( M  -  1 ) ) )
144143raleqdv 3022 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( X  e. Word  V  /\  ( # `  X
)  =  N )  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( N  -  1 ) ) { ( X `  i ) ,  ( X `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E
)  /\  ( M  e.  NN  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) ) )  ->  ( A. i  e.  (
0..^ ( ( # `  ( X substr  <. 0 ,  M >. ) )  - 
1 ) ) { ( ( X substr  <. 0 ,  M >. ) `  i
) ,  ( ( X substr  <. 0 ,  M >. ) `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  <->  A. i  e.  ( 0..^ ( M  -  1 ) ) { ( ( X substr  <. 0 ,  M >. ) `  i
) ,  ( ( X substr  <. 0 ,  M >. ) `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E
) )
145137, 144mpbird 232 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( X  e. Word  V  /\  ( # `  X
)  =  N )  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( N  -  1 ) ) { ( X `  i ) ,  ( X `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E
)  /\  ( M  e.  NN  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) ) )  ->  A. i  e.  ( 0..^ ( (
# `  ( X substr  <.
0 ,  M >. ) )  -  1 ) ) { ( ( X substr  <. 0 ,  M >. ) `  i ) ,  ( ( X substr  <. 0 ,  M >. ) `
 ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E )
14635, 39, 1453jca 1168 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( X  e. Word  V  /\  ( # `  X
)  =  N )  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( N  -  1 ) ) { ( X `  i ) ,  ( X `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E
)  /\  ( M  e.  NN  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) ) )  ->  (
( X substr  <. 0 ,  M >. )  =/=  (/)  /\  ( X substr  <. 0 ,  M >. )  e. Word  V  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( ( # `  ( X substr  <. 0 ,  M >. ) )  -  1 ) ) { ( ( X substr  <. 0 ,  M >. ) `  i
) ,  ( ( X substr  <. 0 ,  M >. ) `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E
) )
1473, 103, 140syl2anc 661 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( X  e. Word  V  /\  ( # `  X
)  =  N )  /\  ( M  e.  NN  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) ) )  ->  ( # `
 ( X substr  <. 0 ,  M >. ) )  =  M )
148121eqcomd 2459 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( M  e.  NN  ->  M  =  ( ( M  -  1 )  +  1 ) )
149148adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1
) ) )  ->  M  =  ( ( M  -  1 )  +  1 ) )
150149adantl 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( X  e. Word  V  /\  ( # `  X
)  =  N )  /\  ( M  e.  NN  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) ) )  ->  M  =  ( ( M  -  1 )  +  1 ) )
151147, 150eqtrd 2492 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( X  e. Word  V  /\  ( # `  X
)  =  N )  /\  ( M  e.  NN  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) ) )  ->  ( # `
 ( X substr  <. 0 ,  M >. ) )  =  ( ( M  - 
1 )  +  1 ) )
152151adantlr 714 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( X  e. Word  V  /\  ( # `  X
)  =  N )  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( N  -  1 ) ) { ( X `  i ) ,  ( X `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E
)  /\  ( M  e.  NN  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) ) )  ->  ( # `
 ( X substr  <. 0 ,  M >. ) )  =  ( ( M  - 
1 )  +  1 ) )
153146, 152jca 532 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( X  e. Word  V  /\  ( # `  X
)  =  N )  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( N  -  1 ) ) { ( X `  i ) ,  ( X `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E
)  /\  ( M  e.  NN  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) ) )  ->  (
( ( X substr  <. 0 ,  M >. )  =/=  (/)  /\  ( X substr  <. 0 ,  M >. )  e. Word  V  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( ( # `  ( X substr  <. 0 ,  M >. ) )  -  1 ) ) { ( ( X substr  <. 0 ,  M >. ) `  i
) ,  ( ( X substr  <. 0 ,  M >. ) `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E
)  /\  ( # `  ( X substr  <. 0 ,  M >. ) )  =  ( ( M  -  1 )  +  1 ) ) )
154153ex 434 . . . . . 6  |-  ( ( ( X  e. Word  V  /\  ( # `  X
)  =  N )  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( N  -  1 ) ) { ( X `  i ) ,  ( X `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E
)  ->  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  ->  ( (
( X substr  <. 0 ,  M >. )  =/=  (/)  /\  ( X substr  <. 0 ,  M >. )  e. Word  V  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( ( # `  ( X substr  <. 0 ,  M >. ) )  -  1 ) ) { ( ( X substr  <. 0 ,  M >. ) `  i
) ,  ( ( X substr  <. 0 ,  M >. ) `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E
)  /\  ( # `  ( X substr  <. 0 ,  M >. ) )  =  ( ( M  -  1 )  +  1 ) ) ) )
1551543adant3 1008 . . . . 5  |-  ( ( ( X  e. Word  V  /\  ( # `  X
)  =  N )  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( N  -  1 ) ) { ( X `  i ) ,  ( X `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  /\  { ( lastS  `  X
) ,  ( X `
 0 ) }  e.  ran  E )  ->  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  ->  ( (
( X substr  <. 0 ,  M >. )  =/=  (/)  /\  ( X substr  <. 0 ,  M >. )  e. Word  V  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( ( # `  ( X substr  <. 0 ,  M >. ) )  -  1 ) ) { ( ( X substr  <. 0 ,  M >. ) `  i
) ,  ( ( X substr  <. 0 ,  M >. ) `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E
)  /\  ( # `  ( X substr  <. 0 ,  M >. ) )  =  ( ( M  -  1 )  +  1 ) ) ) )
1561, 155syl 16 . . . 4  |-  ( X  e.  ( ( V ClWWalksN  E ) `  N
)  ->  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  ->  ( (
( X substr  <. 0 ,  M >. )  =/=  (/)  /\  ( X substr  <. 0 ,  M >. )  e. Word  V  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( ( # `  ( X substr  <. 0 ,  M >. ) )  -  1 ) ) { ( ( X substr  <. 0 ,  M >. ) `  i
) ,  ( ( X substr  <. 0 ,  M >. ) `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E
)  /\  ( # `  ( X substr  <. 0 ,  M >. ) )  =  ( ( M  -  1 )  +  1 ) ) ) )
157156impcom 430 . . 3  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1
) ) )  /\  X  e.  ( ( V ClWWalksN  E ) `  N
) )  ->  (
( ( X substr  <. 0 ,  M >. )  =/=  (/)  /\  ( X substr  <. 0 ,  M >. )  e. Word  V  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( ( # `  ( X substr  <. 0 ,  M >. ) )  -  1 ) ) { ( ( X substr  <. 0 ,  M >. ) `  i
) ,  ( ( X substr  <. 0 ,  M >. ) `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E
)  /\  ( # `  ( X substr  <. 0 ,  M >. ) )  =  ( ( M  -  1 )  +  1 ) ) )
158 nnm1nn0 10725 . . . . . . . 8  |-  ( M  e.  NN  ->  ( M  -  1 )  e.  NN0 )
159158adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1
) ) )  -> 
( M  -  1 )  e.  NN0 )
160 clwwlknprop 30576 . . . . . . . 8  |-  ( X  e.  ( ( V ClWWalksN  E ) `  N
)  ->  ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  X  e. Word  V  /\  ( N  e.  NN0  /\  ( # `
 X )  =  N ) ) )
161160simp1d 1000 . . . . . . 7  |-  ( X  e.  ( ( V ClWWalksN  E ) `  N
)  ->  ( V  e.  _V  /\  E  e. 
_V ) )
162159, 161anim12ci 567 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1
) ) )  /\  X  e.  ( ( V ClWWalksN  E ) `  N
) )  ->  (
( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( M  -  1 )  e.  NN0 )
)
163 df-3an 967 . . . . . 6  |-  ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V  /\  ( M  -  1 )  e.  NN0 )  <->  ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( M  -  1 )  e.  NN0 ) )
164162, 163sylibr 212 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1
) ) )  /\  X  e.  ( ( V ClWWalksN  E ) `  N
) )  ->  ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V  /\  ( M  -  1 )  e. 
NN0 ) )
165 iswwlkn 30459 . . . . 5  |-  ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V  /\  ( M  -  1 )  e.  NN0 )  -> 
( ( X substr  <. 0 ,  M >. )  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  ( M  -  1 ) )  <->  ( ( X substr  <. 0 ,  M >. )  e.  ( V WWalks  E )  /\  ( # `
 ( X substr  <. 0 ,  M >. ) )  =  ( ( M  - 
1 )  +  1 ) ) ) )
166164, 165syl 16 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1
) ) )  /\  X  e.  ( ( V ClWWalksN  E ) `  N
) )  ->  (
( X substr  <. 0 ,  M >. )  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  ( M  -  1 ) )  <->  ( ( X substr  <. 0 ,  M >. )  e.  ( V WWalks  E )  /\  ( # `
 ( X substr  <. 0 ,  M >. ) )  =  ( ( M  - 
1 )  +  1 ) ) ) )
167 iswwlk 30458 . . . . . . 7  |-  ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  ->  ( ( X substr  <. 0 ,  M >. )  e.  ( V WWalks  E )  <->  ( ( X substr  <. 0 ,  M >. )  =/=  (/)  /\  ( X substr  <. 0 ,  M >. )  e. Word  V  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( ( # `  ( X substr  <. 0 ,  M >. ) )  -  1 ) ) { ( ( X substr  <. 0 ,  M >. ) `  i
) ,  ( ( X substr  <. 0 ,  M >. ) `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E
) ) )
168161, 167syl 16 . . . . . 6  |-  ( X  e.  ( ( V ClWWalksN  E ) `  N
)  ->  ( ( X substr  <. 0 ,  M >. )  e.  ( V WWalks  E )  <->  ( ( X substr  <. 0 ,  M >. )  =/=  (/)  /\  ( X substr  <. 0 ,  M >. )  e. Word  V  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( ( # `  ( X substr  <. 0 ,  M >. ) )  -  1 ) ) { ( ( X substr  <. 0 ,  M >. ) `  i
) ,  ( ( X substr  <. 0 ,  M >. ) `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E
) ) )
169168adantl 466 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1
) ) )  /\  X  e.  ( ( V ClWWalksN  E ) `  N
) )  ->  (
( X substr  <. 0 ,  M >. )  e.  ( V WWalks  E )  <->  ( ( X substr  <. 0 ,  M >. )  =/=  (/)  /\  ( X substr  <. 0 ,  M >. )  e. Word  V  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( ( # `  ( X substr  <. 0 ,  M >. ) )  -  1 ) ) { ( ( X substr  <. 0 ,  M >. ) `  i
) ,  ( ( X substr  <. 0 ,  M >. ) `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E
) ) )
170169anbi1d 704 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1
) ) )  /\  X  e.  ( ( V ClWWalksN  E ) `  N
) )  ->  (
( ( X substr  <. 0 ,  M >. )  e.  ( V WWalks  E )  /\  ( # `  ( X substr  <. 0 ,  M >. ) )  =  ( ( M  -  1 )  +  1 ) )  <-> 
( ( ( X substr  <. 0 ,  M >. )  =/=  (/)  /\  ( X substr  <. 0 ,  M >. )  e. Word  V  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( ( # `  ( X substr  <. 0 ,  M >. ) )  -  1 ) ) { ( ( X substr  <. 0 ,  M >. ) `  i
) ,  ( ( X substr  <. 0 ,  M >. ) `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E
)  /\  ( # `  ( X substr  <. 0 ,  M >. ) )  =  ( ( M  -  1 )  +  1 ) ) ) )
171166, 170bitrd 253 . . 3  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1
) ) )  /\  X  e.  ( ( V ClWWalksN  E ) `  N
) )  ->  (
( X substr  <. 0 ,  M >. )  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  ( M  -  1 ) )  <->  ( (
( X substr  <. 0 ,  M >. )  =/=  (/)  /\  ( X substr  <. 0 ,  M >. )  e. Word  V  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( ( # `  ( X substr  <. 0 ,  M >. ) )  -  1 ) ) { ( ( X substr  <. 0 ,  M >. ) `  i
) ,  ( ( X substr  <. 0 ,  M >. ) `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E
)  /\  ( # `  ( X substr  <. 0 ,  M >. ) )  =  ( ( M  -  1 )  +  1 ) ) ) )
172157, 171mpbird 232 . 2  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1
) ) )  /\  X  e.  ( ( V ClWWalksN  E ) `  N
) )  ->  ( X substr  <. 0 ,  M >. )  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  ( M  -  1 ) ) )
173172ex 434 1  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1
) ) )  -> 
( X  e.  ( ( V ClWWalksN  E ) `  N )  ->  ( X substr  <. 0 ,  M >. )  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  ( M  -  1 ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1370    e. wcel 1758    =/= wne 2644   A.wral 2795   _Vcvv 3071    C_ wss 3429   (/)c0 3738   {cpr 3980   <.cop 3984   class class class wbr 4393   ran crn 4942   ` cfv 5519  (class class class)co 6193   CCcc 9384   RRcr 9385   0cc0 9386   1c1 9387    + caddc 9389    <_ cle 9523    - cmin 9699   NNcn 10426   NN0cn0 10683   ZZcz 10750   ZZ>=cuz 10965   ...cfz 11547  ..^cfzo 11658   #chash 12213  Word cword 12332   lastS clsw 12333   substr csubstr 12336   WWalks cwwlk 30452   WWalksN cwwlkn 30453   ClWWalksN cclwwlkn 30555
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-rep 4504  ax-sep 4514  ax-nul 4522  ax-pow 4571  ax-pr 4632  ax-un 6475  ax-cnex 9442  ax-resscn 9443  ax-1cn 9444  ax-icn 9445  ax-addcl 9446  ax-addrcl 9447  ax-mulcl 9448  ax-mulrcl 9449  ax-mulcom 9450  ax-addass 9451  ax-mulass 9452  ax-distr 9453  ax-i2m1 9454  ax-1ne0 9455  ax-1rid 9456  ax-rnegex 9457  ax-rrecex 9458  ax-cnre 9459  ax-pre-lttri 9460  ax-pre-lttrn 9461  ax-pre-ltadd 9462  ax-pre-mulgt0 9463
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-nel 2647  df-ral 2800  df-rex 2801  df-reu 2802  df-rab 2804  df-v 3073  df-sbc 3288  df-csb 3390  df-dif 3432  df-un 3434  df-in 3436  df-ss 3443  df-pss 3445  df-nul 3739  df-if 3893  df-pw 3963  df-sn 3979  df-pr 3981  df-tp 3983  df-op 3985  df-uni 4193  df-int 4230  df-iun 4274  df-br 4394  df-opab 4452  df-mpt 4453  df-tr 4487  df-eprel 4733  df-id 4737  df-po 4742  df-so 4743  df-fr 4780  df-we 4782  df-ord 4823  df-on 4824  df-lim 4825  df-suc 4826  df-xp 4947  df-rel 4948  df-cnv 4949  df-co 4950  df-dm 4951  df-rn 4952  df-res 4953  df-ima 4954  df-iota 5482  df-fun 5521  df-fn 5522  df-f 5523  df-f1 5524  df-fo 5525  df-f1o 5526  df-fv 5527  df-riota 6154  df-ov 6196  df-oprab 6197  df-mpt2 6198  df-om 6580  df-1st 6680  df-2nd 6681  df-recs 6935  df-rdg 6969  df-1o 7023  df-oadd 7027  df-er 7204  df-map 7319  df-pm 7320  df-en 7414  df-dom 7415  df-sdom 7416  df-fin 7417  df-card 8213  df-pnf 9524  df-mnf 9525  df-xr 9526  df-ltxr 9527  df-le 9528  df-sub 9701  df-neg 9702  df-nn 10427  df-n0 10684  df-z 10751  df-uz 10966  df-fz 11548  df-fzo 11659  df-hash 12214  df-word 12340  df-substr 12344  df-wwlk 30454  df-wwlkn 30455  df-clwwlk 30557  df-clwwlkn 30558
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