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Theorem wwlksubclwwlk 25009
Description: Any prefix of a word representing a closed walk represents a word. (Contributed by Alexander van der Vekens, 5-Oct-2018.)
Assertion
Ref Expression
wwlksubclwwlk  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1
) ) )  -> 
( X  e.  ( ( V ClWWalksN  E ) `  N )  ->  ( X substr  <. 0 ,  M >. )  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  ( M  -  1 ) ) ) )

Proof of Theorem wwlksubclwwlk
Dummy variable  i is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 clwwlknimp 24981 . . . . 5  |-  ( X  e.  ( ( V ClWWalksN  E ) `  N
)  ->  ( ( X  e. Word  V  /\  ( # `
 X )  =  N )  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( N  -  1 ) ) { ( X `  i ) ,  ( X `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  /\  { ( lastS  `  X ) ,  ( X `  0 ) }  e.  ran  E
) )
2 simpl 455 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( X  e. Word  V  /\  ( # `  X )  =  N )  ->  X  e. Word  V )
32adantr 463 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( X  e. Word  V  /\  ( # `  X
)  =  N )  /\  ( M  e.  NN  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) ) )  ->  X  e. Word  V )
4 simpl 455 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1
) ) )  ->  M  e.  NN )
54adantl 464 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( X  e. Word  V  /\  ( # `  X
)  =  N )  /\  ( M  e.  NN  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) ) )  ->  M  e.  NN )
6 eluz2 11088 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) )  <->  ( ( M  +  1 )  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  ( M  +  1 )  <_  N ) )
7 nnre 10538 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( M  e.  NN  ->  M  e.  RR )
87adantl 464 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e.  NN )  ->  M  e.  RR )
9 peano2re 9742 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( M  e.  RR  ->  ( M  +  1 )  e.  RR )
107, 9syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( M  e.  NN  ->  ( M  +  1 )  e.  RR )
1110adantl 464 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e.  NN )  ->  ( M  +  1 )  e.  RR )
12 zre 10864 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( N  e.  ZZ  ->  N  e.  RR )
1312adantr 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e.  NN )  ->  N  e.  RR )
148, 11, 133jca 1174 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e.  NN )  ->  ( M  e.  RR  /\  ( M  +  1 )  e.  RR  /\  N  e.  RR )
)
1514adantr 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e.  NN )  /\  ( M  + 
1 )  <_  N
)  ->  ( M  e.  RR  /\  ( M  +  1 )  e.  RR  /\  N  e.  RR ) )
167lep1d 10472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( M  e.  NN  ->  M  <_  ( M  +  1 ) )
1716adantl 464 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e.  NN )  ->  M  <_  ( M  +  1 ) )
1817anim1i 566 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e.  NN )  /\  ( M  + 
1 )  <_  N
)  ->  ( M  <_  ( M  +  1 )  /\  ( M  +  1 )  <_  N ) )
19 letr 9667 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( M  e.  RR  /\  ( M  +  1
)  e.  RR  /\  N  e.  RR )  ->  ( ( M  <_ 
( M  +  1 )  /\  ( M  +  1 )  <_  N )  ->  M  <_  N ) )
2015, 18, 19sylc 60 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e.  NN )  /\  ( M  + 
1 )  <_  N
)  ->  M  <_  N )
2120expcom 433 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( M  +  1 )  <_  N  ->  (
( N  e.  ZZ  /\  M  e.  NN )  ->  M  <_  N
) )
2221expd 434 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( M  +  1 )  <_  N  ->  ( N  e.  ZZ  ->  ( M  e.  NN  ->  M  <_  N ) ) )
2322impcom 428 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  ( M  +  1
)  <_  N )  ->  ( M  e.  NN  ->  M  <_  N )
)
24233adant1 1012 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( M  +  1 )  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  ( M  +  1 )  <_  N )  -> 
( M  e.  NN  ->  M  <_  N )
)
256, 24sylbi 195 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) )  ->  ( M  e.  NN  ->  M  <_  N ) )
2625impcom 428 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1
) ) )  ->  M  <_  N )
2726adantl 464 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( X  e. Word  V  /\  ( # `  X
)  =  N )  /\  ( M  e.  NN  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) ) )  ->  M  <_  N )
28 breq2 4443 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
# `  X )  =  N  ->  ( M  <_  ( # `  X
)  <->  M  <_  N ) )
2928adantl 464 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( X  e. Word  V  /\  ( # `  X )  =  N )  -> 
( M  <_  ( # `
 X )  <->  M  <_  N ) )
3029adantr 463 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( X  e. Word  V  /\  ( # `  X
)  =  N )  /\  ( M  e.  NN  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) ) )  ->  ( M  <_  ( # `  X
)  <->  M  <_  N ) )
3127, 30mpbird 232 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( X  e. Word  V  /\  ( # `  X
)  =  N )  /\  ( M  e.  NN  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) ) )  ->  M  <_  ( # `  X
) )
32 swrdn0 12649 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( X  e. Word  V  /\  M  e.  NN  /\  M  <_  ( # `  X
) )  ->  ( X substr  <. 0 ,  M >. )  =/=  (/) )
333, 5, 31, 32syl3anc 1226 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( X  e. Word  V  /\  ( # `  X
)  =  N )  /\  ( M  e.  NN  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) ) )  ->  ( X substr  <. 0 ,  M >. )  =/=  (/) )
3433adantlr 712 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( X  e. Word  V  /\  ( # `  X
)  =  N )  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( N  -  1 ) ) { ( X `  i ) ,  ( X `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E
)  /\  ( M  e.  NN  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) ) )  ->  ( X substr  <. 0 ,  M >. )  =/=  (/) )
35 swrdcl 12638 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( X  e. Word  V  ->  ( X substr  <. 0 ,  M >. )  e. Word  V )
3635adantr 463 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( X  e. Word  V  /\  ( # `  X )  =  N )  -> 
( X substr  <. 0 ,  M >. )  e. Word  V
)
3736adantr 463 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( X  e. Word  V  /\  ( # `  X
)  =  N )  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( N  -  1 ) ) { ( X `  i ) ,  ( X `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E
)  ->  ( X substr  <.
0 ,  M >. )  e. Word  V )
3837adantr 463 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( X  e. Word  V  /\  ( # `  X
)  =  N )  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( N  -  1 ) ) { ( X `  i ) ,  ( X `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E
)  /\  ( M  e.  NN  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) ) )  ->  ( X substr  <. 0 ,  M >. )  e. Word  V )
39 nnz 10882 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( M  e.  NN  ->  M  e.  ZZ )
40 eluzp1m1 11105 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1
) ) )  -> 
( N  -  1 )  e.  ( ZZ>= `  M ) )
4140ex 432 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( M  e.  ZZ  ->  ( N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1
) )  ->  ( N  -  1 )  e.  ( ZZ>= `  M
) ) )
4239, 41syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( M  e.  NN  ->  ( N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1
) )  ->  ( N  -  1 )  e.  ( ZZ>= `  M
) ) )
43 peano2zm 10903 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( M  e.  ZZ  ->  ( M  -  1 )  e.  ZZ )
4439, 43syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( M  e.  NN  ->  ( M  -  1 )  e.  ZZ )
457lem1d 10474 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( M  e.  NN  ->  ( M  -  1 )  <_  M )
46 eluzuzle 11090 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( M  -  1 )  e.  ZZ  /\  ( M  -  1
)  <_  M )  ->  ( ( N  - 
1 )  e.  (
ZZ>= `  M )  -> 
( N  -  1 )  e.  ( ZZ>= `  ( M  -  1
) ) ) )
4744, 45, 46syl2anc 659 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( N  -  1 )  e.  ( ZZ>= `  M )  ->  ( N  -  1 )  e.  ( ZZ>= `  ( M  -  1 ) ) ) )
4842, 47syld 44 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( M  e.  NN  ->  ( N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1
) )  ->  ( N  -  1 )  e.  ( ZZ>= `  ( M  -  1 ) ) ) )
4948imp 427 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1
) ) )  -> 
( N  -  1 )  e.  ( ZZ>= `  ( M  -  1
) ) )
50 fzoss2 11830 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( N  -  1 )  e.  ( ZZ>= `  ( M  -  1 ) )  ->  ( 0..^ ( M  -  1 ) )  C_  (
0..^ ( N  - 
1 ) ) )
5149, 50syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1
) ) )  -> 
( 0..^ ( M  -  1 ) ) 
C_  ( 0..^ ( N  -  1 ) ) )
5251adantl 464 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( X  e. Word  V  /\  ( # `  X
)  =  N )  /\  ( M  e.  NN  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) ) )  ->  (
0..^ ( M  - 
1 ) )  C_  ( 0..^ ( N  - 
1 ) ) )
53 ssralv 3550 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 0..^ ( M  - 
1 ) )  C_  ( 0..^ ( N  - 
1 ) )  -> 
( A. i  e.  ( 0..^ ( N  -  1 ) ) { ( X `  i ) ,  ( X `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  ->  A. i  e.  ( 0..^ ( M  - 
1 ) ) { ( X `  i
) ,  ( X `
 ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E ) )
5452, 53syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( X  e. Word  V  /\  ( # `  X
)  =  N )  /\  ( M  e.  NN  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) ) )  ->  ( A. i  e.  (
0..^ ( N  - 
1 ) ) { ( X `  i
) ,  ( X `
 ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  ->  A. i  e.  (
0..^ ( M  - 
1 ) ) { ( X `  i
) ,  ( X `
 ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E ) )
553adantr 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( X  e. Word  V  /\  ( # `  X
)  =  N )  /\  ( M  e.  NN  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) ) )  /\  i  e.  ( 0..^ ( M  -  1 ) ) )  ->  X  e. Word  V )
567adantr 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( M  e.  NN  /\  ( N  e.  ZZ  /\  ( M  +  1 )  <_  N )
)  ->  M  e.  RR )
5710adantr 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( M  e.  NN  /\  ( N  e.  ZZ  /\  ( M  +  1 )  <_  N )
)  ->  ( M  +  1 )  e.  RR )
5812adantr 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  ( M  +  1
)  <_  N )  ->  N  e.  RR )
5958adantl 464 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( M  e.  NN  /\  ( N  e.  ZZ  /\  ( M  +  1 )  <_  N )
)  ->  N  e.  RR )
6016adantr 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( M  e.  NN  /\  ( N  e.  ZZ  /\  ( M  +  1 )  <_  N )
)  ->  M  <_  ( M  +  1 ) )
61 simpr 459 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  ( M  +  1
)  <_  N )  ->  ( M  +  1 )  <_  N )
6261adantl 464 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( M  e.  NN  /\  ( N  e.  ZZ  /\  ( M  +  1 )  <_  N )
)  ->  ( M  +  1 )  <_  N )
6356, 57, 59, 60, 62letrd 9728 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( M  e.  NN  /\  ( N  e.  ZZ  /\  ( M  +  1 )  <_  N )
)  ->  M  <_  N )
64 nnnn0 10798 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( M  e.  NN  ->  M  e.  NN0 )
6564adantr 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( M  e.  NN  /\  ( N  e.  ZZ  /\  ( M  +  1 )  <_  N )
)  ->  M  e.  NN0 )
6665adantr 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  ( N  e.  ZZ  /\  ( M  +  1 )  <_  N )
)  /\  M  <_  N )  ->  M  e.  NN0 )
67 simpr 459 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  ZZ )  ->  N  e.  ZZ )
6867adantr 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  ZZ )  /\  M  <_  N
)  ->  N  e.  ZZ )
69 0red 9586 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  ZZ )  ->  0  e.  RR )
707adantr 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  ZZ )  ->  M  e.  RR )
7112adantl 464 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  ZZ )  ->  N  e.  RR )
7269, 70, 713jca 1174 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( 0  e.  RR  /\  M  e.  RR  /\  N  e.  RR )
)
7372adantr 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  ZZ )  /\  M  <_  N
)  ->  ( 0  e.  RR  /\  M  e.  RR  /\  N  e.  RR ) )
7464nn0ge0d 10851 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38  |-  ( M  e.  NN  ->  0  <_  M )
7574adantr 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  ZZ )  ->  0  <_  M )
7675anim1i 566 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  ZZ )  /\  M  <_  N
)  ->  ( 0  <_  M  /\  M  <_  N ) )
77 letr 9667 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  M  e.  RR  /\  N  e.  RR )  ->  (
( 0  <_  M  /\  M  <_  N )  ->  0  <_  N
) )
7873, 76, 77sylc 60 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  ZZ )  /\  M  <_  N
)  ->  0  <_  N )
7968, 78jca 530 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  ZZ )  /\  M  <_  N
)  ->  ( N  e.  ZZ  /\  0  <_  N ) )
80 elnn0z 10873 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( N  e.  NN0  <->  ( N  e.  ZZ  /\  0  <_  N ) )
8179, 80sylibr 212 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  ZZ )  /\  M  <_  N
)  ->  N  e.  NN0 )
8281ex 432 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( M  <_  N  ->  N  e.  NN0 )
)
8382expcom 433 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( N  e.  ZZ  ->  ( M  e.  NN  ->  ( M  <_  N  ->  N  e.  NN0 ) ) )
8483adantr 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  ( M  +  1
)  <_  N )  ->  ( M  e.  NN  ->  ( M  <_  N  ->  N  e.  NN0 )
) )
8584impcom 428 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( M  e.  NN  /\  ( N  e.  ZZ  /\  ( M  +  1 )  <_  N )
)  ->  ( M  <_  N  ->  N  e.  NN0 ) )
8685imp 427 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  ( N  e.  ZZ  /\  ( M  +  1 )  <_  N )
)  /\  M  <_  N )  ->  N  e.  NN0 )
87 simpr 459 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  ( N  e.  ZZ  /\  ( M  +  1 )  <_  N )
)  /\  M  <_  N )  ->  M  <_  N )
8866, 86, 873jca 1174 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  ( N  e.  ZZ  /\  ( M  +  1 )  <_  N )
)  /\  M  <_  N )  ->  ( M  e.  NN0  /\  N  e. 
NN0  /\  M  <_  N ) )
8963, 88mpdan 666 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( M  e.  NN  /\  ( N  e.  ZZ  /\  ( M  +  1 )  <_  N )
)  ->  ( M  e.  NN0  /\  N  e. 
NN0  /\  M  <_  N ) )
9089expcom 433 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  ( M  +  1
)  <_  N )  ->  ( M  e.  NN  ->  ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0  /\  M  <_  N ) ) )
91903adant1 1012 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( M  +  1 )  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  ( M  +  1 )  <_  N )  -> 
( M  e.  NN  ->  ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0  /\  M  <_  N ) ) )
926, 91sylbi 195 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) )  ->  ( M  e.  NN  ->  ( M  e.  NN0  /\  N  e. 
NN0  /\  M  <_  N ) ) )
9392impcom 428 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1
) ) )  -> 
( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0  /\  M  <_  N ) )
94 elfz2nn0 11773 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( M  e.  ( 0 ... N )  <->  ( M  e.  NN0  /\  N  e. 
NN0  /\  M  <_  N ) )
9593, 94sylibr 212 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1
) ) )  ->  M  e.  ( 0 ... N ) )
9695adantl 464 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( X  e. Word  V  /\  ( # `  X
)  =  N )  /\  ( M  e.  NN  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) ) )  ->  M  e.  ( 0 ... N
) )
97 oveq2 6278 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( (
# `  X )  =  N  ->  ( 0 ... ( # `  X
) )  =  ( 0 ... N ) )
9897eleq2d 2524 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( (
# `  X )  =  N  ->  ( M  e.  ( 0 ... ( # `  X
) )  <->  M  e.  ( 0 ... N
) ) )
9998adantl 464 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( X  e. Word  V  /\  ( # `  X )  =  N )  -> 
( M  e.  ( 0 ... ( # `  X ) )  <->  M  e.  ( 0 ... N
) ) )
10099adantr 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( X  e. Word  V  /\  ( # `  X
)  =  N )  /\  ( M  e.  NN  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) ) )  ->  ( M  e.  ( 0 ... ( # `  X
) )  <->  M  e.  ( 0 ... N
) ) )
10196, 100mpbird 232 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( X  e. Word  V  /\  ( # `  X
)  =  N )  /\  ( M  e.  NN  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) ) )  ->  M  e.  ( 0 ... ( # `
 X ) ) )
102101adantr 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( X  e. Word  V  /\  ( # `  X
)  =  N )  /\  ( M  e.  NN  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) ) )  /\  i  e.  ( 0..^ ( M  -  1 ) ) )  ->  M  e.  ( 0 ... ( # `
 X ) ) )
10344, 39, 453jca 1174 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( M  -  1 )  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  ( M  -  1 )  <_  M ) )
104 eluz2 11088 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( M  e.  ( ZZ>= `  ( M  -  1 ) )  <->  ( ( M  -  1 )  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  ( M  -  1 )  <_  M ) )
105103, 104sylibr 212 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( M  e.  NN  ->  M  e.  ( ZZ>= `  ( M  -  1 ) ) )
106 fzoss2 11830 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( M  e.  ( ZZ>= `  ( M  -  1 ) )  ->  ( 0..^ ( M  -  1 ) )  C_  (
0..^ M ) )
107105, 106syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( M  e.  NN  ->  (
0..^ ( M  - 
1 ) )  C_  ( 0..^ M ) )
108107sseld 3488 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( M  e.  NN  ->  (
i  e.  ( 0..^ ( M  -  1 ) )  ->  i  e.  ( 0..^ M ) ) )
109108adantr 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1
) ) )  -> 
( i  e.  ( 0..^ ( M  - 
1 ) )  -> 
i  e.  ( 0..^ M ) ) )
110109adantl 464 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( X  e. Word  V  /\  ( # `  X
)  =  N )  /\  ( M  e.  NN  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) ) )  ->  (
i  e.  ( 0..^ ( M  -  1 ) )  ->  i  e.  ( 0..^ M ) ) )
111110imp 427 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( X  e. Word  V  /\  ( # `  X
)  =  N )  /\  ( M  e.  NN  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) ) )  /\  i  e.  ( 0..^ ( M  -  1 ) ) )  ->  i  e.  ( 0..^ M ) )
112 swrd0fv 12658 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( X  e. Word  V  /\  M  e.  ( 0 ... ( # `  X
) )  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( ( X substr  <. 0 ,  M >. ) `  i )  =  ( X `  i ) )
11355, 102, 111, 112syl3anc 1226 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( X  e. Word  V  /\  ( # `  X
)  =  N )  /\  ( M  e.  NN  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) ) )  /\  i  e.  ( 0..^ ( M  -  1 ) ) )  ->  ( ( X substr  <. 0 ,  M >. ) `  i )  =  ( X `  i ) )
114113eqcomd 2462 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( X  e. Word  V  /\  ( # `  X
)  =  N )  /\  ( M  e.  NN  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) ) )  /\  i  e.  ( 0..^ ( M  -  1 ) ) )  ->  ( X `  i )  =  ( ( X substr  <. 0 ,  M >. ) `  i
) )
115 fzonn0p1p1 11875 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( i  e.  ( 0..^ ( M  -  1 ) )  ->  ( i  +  1 )  e.  ( 0..^ ( ( M  -  1 )  +  1 ) ) )
116 nncn 10539 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( M  e.  NN  ->  M  e.  CC )
117 npcan1 9980 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( M  e.  CC  ->  (
( M  -  1 )  +  1 )  =  M )
118116, 117syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( M  -  1 )  +  1 )  =  M )
119118oveq2d 6286 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( M  e.  NN  ->  (
0..^ ( ( M  -  1 )  +  1 ) )  =  ( 0..^ M ) )
120119eleq2d 2524 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( i  +  1 )  e.  ( 0..^ ( ( M  - 
1 )  +  1 ) )  <->  ( i  +  1 )  e.  ( 0..^ M ) ) )
121115, 120syl5ib 219 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( M  e.  NN  ->  (
i  e.  ( 0..^ ( M  -  1 ) )  ->  (
i  +  1 )  e.  ( 0..^ M ) ) )
122121adantr 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1
) ) )  -> 
( i  e.  ( 0..^ ( M  - 
1 ) )  -> 
( i  +  1 )  e.  ( 0..^ M ) ) )
123122adantl 464 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( X  e. Word  V  /\  ( # `  X
)  =  N )  /\  ( M  e.  NN  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) ) )  ->  (
i  e.  ( 0..^ ( M  -  1 ) )  ->  (
i  +  1 )  e.  ( 0..^ M ) ) )
124123imp 427 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( X  e. Word  V  /\  ( # `  X
)  =  N )  /\  ( M  e.  NN  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) ) )  /\  i  e.  ( 0..^ ( M  -  1 ) ) )  ->  ( i  +  1 )  e.  ( 0..^ M ) )
125 swrd0fv 12658 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( X  e. Word  V  /\  M  e.  ( 0 ... ( # `  X
) )  /\  (
i  +  1 )  e.  ( 0..^ M ) )  ->  (
( X substr  <. 0 ,  M >. ) `  (
i  +  1 ) )  =  ( X `
 ( i  +  1 ) ) )
12655, 102, 124, 125syl3anc 1226 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( X  e. Word  V  /\  ( # `  X
)  =  N )  /\  ( M  e.  NN  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) ) )  /\  i  e.  ( 0..^ ( M  -  1 ) ) )  ->  ( ( X substr  <. 0 ,  M >. ) `  ( i  +  1 ) )  =  ( X `  ( i  +  1 ) ) )
127126eqcomd 2462 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( X  e. Word  V  /\  ( # `  X
)  =  N )  /\  ( M  e.  NN  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) ) )  /\  i  e.  ( 0..^ ( M  -  1 ) ) )  ->  ( X `  ( i  +  1 ) )  =  ( ( X substr  <. 0 ,  M >. ) `  (
i  +  1 ) ) )
128114, 127preq12d 4103 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( X  e. Word  V  /\  ( # `  X
)  =  N )  /\  ( M  e.  NN  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) ) )  /\  i  e.  ( 0..^ ( M  -  1 ) ) )  ->  { ( X `  i ) ,  ( X `  ( i  +  1 ) ) }  =  { ( ( X substr  <. 0 ,  M >. ) `
 i ) ,  ( ( X substr  <. 0 ,  M >. ) `  (
i  +  1 ) ) } )
129128eleq1d 2523 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( X  e. Word  V  /\  ( # `  X
)  =  N )  /\  ( M  e.  NN  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) ) )  /\  i  e.  ( 0..^ ( M  -  1 ) ) )  ->  ( {
( X `  i
) ,  ( X `
 ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  <->  { (
( X substr  <. 0 ,  M >. ) `  i
) ,  ( ( X substr  <. 0 ,  M >. ) `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E
) )
130129ralbidva 2890 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( X  e. Word  V  /\  ( # `  X
)  =  N )  /\  ( M  e.  NN  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) ) )  ->  ( A. i  e.  (
0..^ ( M  - 
1 ) ) { ( X `  i
) ,  ( X `
 ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  <->  A. i  e.  ( 0..^ ( M  -  1 ) ) { ( ( X substr  <. 0 ,  M >. ) `
 i ) ,  ( ( X substr  <. 0 ,  M >. ) `  (
i  +  1 ) ) }  e.  ran  E ) )
13154, 130sylibd 214 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( X  e. Word  V  /\  ( # `  X
)  =  N )  /\  ( M  e.  NN  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) ) )  ->  ( A. i  e.  (
0..^ ( N  - 
1 ) ) { ( X `  i
) ,  ( X `
 ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  ->  A. i  e.  (
0..^ ( M  - 
1 ) ) { ( ( X substr  <. 0 ,  M >. ) `  i
) ,  ( ( X substr  <. 0 ,  M >. ) `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E
) )
132131impancom 438 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( X  e. Word  V  /\  ( # `  X
)  =  N )  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( N  -  1 ) ) { ( X `  i ) ,  ( X `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E
)  ->  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  ->  A. i  e.  ( 0..^ ( M  -  1 ) ) { ( ( X substr  <. 0 ,  M >. ) `
 i ) ,  ( ( X substr  <. 0 ,  M >. ) `  (
i  +  1 ) ) }  e.  ran  E ) )
133132imp 427 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( X  e. Word  V  /\  ( # `  X
)  =  N )  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( N  -  1 ) ) { ( X `  i ) ,  ( X `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E
)  /\  ( M  e.  NN  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) ) )  ->  A. i  e.  ( 0..^ ( M  -  1 ) ) { ( ( X substr  <. 0 ,  M >. ) `
 i ) ,  ( ( X substr  <. 0 ,  M >. ) `  (
i  +  1 ) ) }  e.  ran  E )
1343, 101jca 530 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( X  e. Word  V  /\  ( # `  X
)  =  N )  /\  ( M  e.  NN  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) ) )  ->  ( X  e. Word  V  /\  M  e.  ( 0 ... ( # `
 X ) ) ) )
135134adantlr 712 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( X  e. Word  V  /\  ( # `  X
)  =  N )  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( N  -  1 ) ) { ( X `  i ) ,  ( X `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E
)  /\  ( M  e.  NN  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) ) )  ->  ( X  e. Word  V  /\  M  e.  ( 0 ... ( # `
 X ) ) ) )
136 swrd0len 12641 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( X  e. Word  V  /\  M  e.  ( 0 ... ( # `  X
) ) )  -> 
( # `  ( X substr  <. 0 ,  M >. ) )  =  M )
137135, 136syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( X  e. Word  V  /\  ( # `  X
)  =  N )  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( N  -  1 ) ) { ( X `  i ) ,  ( X `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E
)  /\  ( M  e.  NN  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) ) )  ->  ( # `
 ( X substr  <. 0 ,  M >. ) )  =  M )
138137oveq1d 6285 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( X  e. Word  V  /\  ( # `  X
)  =  N )  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( N  -  1 ) ) { ( X `  i ) ,  ( X `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E
)  /\  ( M  e.  NN  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) ) )  ->  (
( # `  ( X substr  <. 0 ,  M >. ) )  -  1 )  =  ( M  - 
1 ) )
139138oveq2d 6286 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( X  e. Word  V  /\  ( # `  X
)  =  N )  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( N  -  1 ) ) { ( X `  i ) ,  ( X `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E
)  /\  ( M  e.  NN  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) ) )  ->  (
0..^ ( ( # `  ( X substr  <. 0 ,  M >. ) )  - 
1 ) )  =  ( 0..^ ( M  -  1 ) ) )
140139raleqdv 3057 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( X  e. Word  V  /\  ( # `  X
)  =  N )  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( N  -  1 ) ) { ( X `  i ) ,  ( X `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E
)  /\  ( M  e.  NN  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) ) )  ->  ( A. i  e.  (
0..^ ( ( # `  ( X substr  <. 0 ,  M >. ) )  - 
1 ) ) { ( ( X substr  <. 0 ,  M >. ) `  i
) ,  ( ( X substr  <. 0 ,  M >. ) `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  <->  A. i  e.  ( 0..^ ( M  -  1 ) ) { ( ( X substr  <. 0 ,  M >. ) `  i
) ,  ( ( X substr  <. 0 ,  M >. ) `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E
) )
141133, 140mpbird 232 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( X  e. Word  V  /\  ( # `  X
)  =  N )  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( N  -  1 ) ) { ( X `  i ) ,  ( X `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E
)  /\  ( M  e.  NN  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) ) )  ->  A. i  e.  ( 0..^ ( (
# `  ( X substr  <.
0 ,  M >. ) )  -  1 ) ) { ( ( X substr  <. 0 ,  M >. ) `  i ) ,  ( ( X substr  <. 0 ,  M >. ) `
 ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E )
14234, 38, 1413jca 1174 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( X  e. Word  V  /\  ( # `  X
)  =  N )  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( N  -  1 ) ) { ( X `  i ) ,  ( X `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E
)  /\  ( M  e.  NN  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) ) )  ->  (
( X substr  <. 0 ,  M >. )  =/=  (/)  /\  ( X substr  <. 0 ,  M >. )  e. Word  V  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( ( # `  ( X substr  <. 0 ,  M >. ) )  -  1 ) ) { ( ( X substr  <. 0 ,  M >. ) `  i
) ,  ( ( X substr  <. 0 ,  M >. ) `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E
) )
1433, 101, 136syl2anc 659 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( X  e. Word  V  /\  ( # `  X
)  =  N )  /\  ( M  e.  NN  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) ) )  ->  ( # `
 ( X substr  <. 0 ,  M >. ) )  =  M )
144118eqcomd 2462 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( M  e.  NN  ->  M  =  ( ( M  -  1 )  +  1 ) )
145144adantr 463 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1
) ) )  ->  M  =  ( ( M  -  1 )  +  1 ) )
146145adantl 464 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( X  e. Word  V  /\  ( # `  X
)  =  N )  /\  ( M  e.  NN  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) ) )  ->  M  =  ( ( M  -  1 )  +  1 ) )
147143, 146eqtrd 2495 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( X  e. Word  V  /\  ( # `  X
)  =  N )  /\  ( M  e.  NN  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) ) )  ->  ( # `
 ( X substr  <. 0 ,  M >. ) )  =  ( ( M  - 
1 )  +  1 ) )
148147adantlr 712 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( X  e. Word  V  /\  ( # `  X
)  =  N )  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( N  -  1 ) ) { ( X `  i ) ,  ( X `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E
)  /\  ( M  e.  NN  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) ) )  ->  ( # `
 ( X substr  <. 0 ,  M >. ) )  =  ( ( M  - 
1 )  +  1 ) )
149142, 148jca 530 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( X  e. Word  V  /\  ( # `  X
)  =  N )  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( N  -  1 ) ) { ( X `  i ) ,  ( X `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E
)  /\  ( M  e.  NN  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) ) )  ->  (
( ( X substr  <. 0 ,  M >. )  =/=  (/)  /\  ( X substr  <. 0 ,  M >. )  e. Word  V  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( ( # `  ( X substr  <. 0 ,  M >. ) )  -  1 ) ) { ( ( X substr  <. 0 ,  M >. ) `  i
) ,  ( ( X substr  <. 0 ,  M >. ) `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E
)  /\  ( # `  ( X substr  <. 0 ,  M >. ) )  =  ( ( M  -  1 )  +  1 ) ) )
150149ex 432 . . . . . 6  |-  ( ( ( X  e. Word  V  /\  ( # `  X
)  =  N )  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( N  -  1 ) ) { ( X `  i ) ,  ( X `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E
)  ->  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  ->  ( (
( X substr  <. 0 ,  M >. )  =/=  (/)  /\  ( X substr  <. 0 ,  M >. )  e. Word  V  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( ( # `  ( X substr  <. 0 ,  M >. ) )  -  1 ) ) { ( ( X substr  <. 0 ,  M >. ) `  i
) ,  ( ( X substr  <. 0 ,  M >. ) `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E
)  /\  ( # `  ( X substr  <. 0 ,  M >. ) )  =  ( ( M  -  1 )  +  1 ) ) ) )
1511503adant3 1014 . . . . 5  |-  ( ( ( X  e. Word  V  /\  ( # `  X
)  =  N )  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( N  -  1 ) ) { ( X `  i ) ,  ( X `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  /\  { ( lastS  `  X
) ,  ( X `
 0 ) }  e.  ran  E )  ->  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  ->  ( (
( X substr  <. 0 ,  M >. )  =/=  (/)  /\  ( X substr  <. 0 ,  M >. )  e. Word  V  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( ( # `  ( X substr  <. 0 ,  M >. ) )  -  1 ) ) { ( ( X substr  <. 0 ,  M >. ) `  i
) ,  ( ( X substr  <. 0 ,  M >. ) `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E
)  /\  ( # `  ( X substr  <. 0 ,  M >. ) )  =  ( ( M  -  1 )  +  1 ) ) ) )
1521, 151syl 16 . . . 4  |-  ( X  e.  ( ( V ClWWalksN  E ) `  N
)  ->  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  ->  ( (
( X substr  <. 0 ,  M >. )  =/=  (/)  /\  ( X substr  <. 0 ,  M >. )  e. Word  V  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( ( # `  ( X substr  <. 0 ,  M >. ) )  -  1 ) ) { ( ( X substr  <. 0 ,  M >. ) `  i
) ,  ( ( X substr  <. 0 ,  M >. ) `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E
)  /\  ( # `  ( X substr  <. 0 ,  M >. ) )  =  ( ( M  -  1 )  +  1 ) ) ) )
153152impcom 428 . . 3  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1
) ) )  /\  X  e.  ( ( V ClWWalksN  E ) `  N
) )  ->  (
( ( X substr  <. 0 ,  M >. )  =/=  (/)  /\  ( X substr  <. 0 ,  M >. )  e. Word  V  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( ( # `  ( X substr  <. 0 ,  M >. ) )  -  1 ) ) { ( ( X substr  <. 0 ,  M >. ) `  i
) ,  ( ( X substr  <. 0 ,  M >. ) `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E
)  /\  ( # `  ( X substr  <. 0 ,  M >. ) )  =  ( ( M  -  1 )  +  1 ) ) )
154 nnm1nn0 10833 . . . . . . . 8  |-  ( M  e.  NN  ->  ( M  -  1 )  e.  NN0 )
155154adantr 463 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1
) ) )  -> 
( M  -  1 )  e.  NN0 )
156 clwwlknprop 24977 . . . . . . . 8  |-  ( X  e.  ( ( V ClWWalksN  E ) `  N
)  ->  ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  X  e. Word  V  /\  ( N  e.  NN0  /\  ( # `
 X )  =  N ) ) )
157156simp1d 1006 . . . . . . 7  |-  ( X  e.  ( ( V ClWWalksN  E ) `  N
)  ->  ( V  e.  _V  /\  E  e. 
_V ) )
158155, 157anim12ci 565 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1
) ) )  /\  X  e.  ( ( V ClWWalksN  E ) `  N
) )  ->  (
( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( M  -  1 )  e.  NN0 )
)
159 df-3an 973 . . . . . 6  |-  ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V  /\  ( M  -  1 )  e.  NN0 )  <->  ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( M  -  1 )  e.  NN0 ) )
160158, 159sylibr 212 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1
) ) )  /\  X  e.  ( ( V ClWWalksN  E ) `  N
) )  ->  ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V  /\  ( M  -  1 )  e. 
NN0 ) )
161 iswwlkn 24889 . . . . 5  |-  ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V  /\  ( M  -  1 )  e.  NN0 )  -> 
( ( X substr  <. 0 ,  M >. )  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  ( M  -  1 ) )  <->  ( ( X substr  <. 0 ,  M >. )  e.  ( V WWalks  E )  /\  ( # `
 ( X substr  <. 0 ,  M >. ) )  =  ( ( M  - 
1 )  +  1 ) ) ) )
162160, 161syl 16 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1
) ) )  /\  X  e.  ( ( V ClWWalksN  E ) `  N
) )  ->  (
( X substr  <. 0 ,  M >. )  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  ( M  -  1 ) )  <->  ( ( X substr  <. 0 ,  M >. )  e.  ( V WWalks  E )  /\  ( # `
 ( X substr  <. 0 ,  M >. ) )  =  ( ( M  - 
1 )  +  1 ) ) ) )
163 iswwlk 24888 . . . . . . 7  |-  ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  ->  ( ( X substr  <. 0 ,  M >. )  e.  ( V WWalks  E )  <->  ( ( X substr  <. 0 ,  M >. )  =/=  (/)  /\  ( X substr  <. 0 ,  M >. )  e. Word  V  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( ( # `  ( X substr  <. 0 ,  M >. ) )  -  1 ) ) { ( ( X substr  <. 0 ,  M >. ) `  i
) ,  ( ( X substr  <. 0 ,  M >. ) `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E
) ) )
164157, 163syl 16 . . . . . 6  |-  ( X  e.  ( ( V ClWWalksN  E ) `  N
)  ->  ( ( X substr  <. 0 ,  M >. )  e.  ( V WWalks  E )  <->  ( ( X substr  <. 0 ,  M >. )  =/=  (/)  /\  ( X substr  <. 0 ,  M >. )  e. Word  V  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( ( # `  ( X substr  <. 0 ,  M >. ) )  -  1 ) ) { ( ( X substr  <. 0 ,  M >. ) `  i
) ,  ( ( X substr  <. 0 ,  M >. ) `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E
) ) )
165164adantl 464 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1
) ) )  /\  X  e.  ( ( V ClWWalksN  E ) `  N
) )  ->  (
( X substr  <. 0 ,  M >. )  e.  ( V WWalks  E )  <->  ( ( X substr  <. 0 ,  M >. )  =/=  (/)  /\  ( X substr  <. 0 ,  M >. )  e. Word  V  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( ( # `  ( X substr  <. 0 ,  M >. ) )  -  1 ) ) { ( ( X substr  <. 0 ,  M >. ) `  i
) ,  ( ( X substr  <. 0 ,  M >. ) `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E
) ) )
166165anbi1d 702 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1
) ) )  /\  X  e.  ( ( V ClWWalksN  E ) `  N
) )  ->  (
( ( X substr  <. 0 ,  M >. )  e.  ( V WWalks  E )  /\  ( # `  ( X substr  <. 0 ,  M >. ) )  =  ( ( M  -  1 )  +  1 ) )  <-> 
( ( ( X substr  <. 0 ,  M >. )  =/=  (/)  /\  ( X substr  <. 0 ,  M >. )  e. Word  V  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( ( # `  ( X substr  <. 0 ,  M >. ) )  -  1 ) ) { ( ( X substr  <. 0 ,  M >. ) `  i
) ,  ( ( X substr  <. 0 ,  M >. ) `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E
)  /\  ( # `  ( X substr  <. 0 ,  M >. ) )  =  ( ( M  -  1 )  +  1 ) ) ) )
167162, 166bitrd 253 . . 3  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1
) ) )  /\  X  e.  ( ( V ClWWalksN  E ) `  N
) )  ->  (
( X substr  <. 0 ,  M >. )  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  ( M  -  1 ) )  <->  ( (
( X substr  <. 0 ,  M >. )  =/=  (/)  /\  ( X substr  <. 0 ,  M >. )  e. Word  V  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( ( # `  ( X substr  <. 0 ,  M >. ) )  -  1 ) ) { ( ( X substr  <. 0 ,  M >. ) `  i
) ,  ( ( X substr  <. 0 ,  M >. ) `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E
)  /\  ( # `  ( X substr  <. 0 ,  M >. ) )  =  ( ( M  -  1 )  +  1 ) ) ) )
168153, 167mpbird 232 . 2  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1
) ) )  /\  X  e.  ( ( V ClWWalksN  E ) `  N
) )  ->  ( X substr  <. 0 ,  M >. )  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  ( M  -  1 ) ) )
169168ex 432 1  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1
) ) )  -> 
( X  e.  ( ( V ClWWalksN  E ) `  N )  ->  ( X substr  <. 0 ,  M >. )  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  ( M  -  1 ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367    /\ w3a 971    = wceq 1398    e. wcel 1823    =/= wne 2649   A.wral 2804   _Vcvv 3106    C_ wss 3461   (/)c0 3783   {cpr 4018   <.cop 4022   class class class wbr 4439   ran crn 4989   ` cfv 5570  (class class class)co 6270   CCcc 9479   RRcr 9480   0cc0 9481   1c1 9482    + caddc 9484    <_ cle 9618    - cmin 9796   NNcn 10531   NN0cn0 10791   ZZcz 10860   ZZ>=cuz 11082   ...cfz 11675  ..^cfzo 11799   #chash 12390  Word cword 12521   lastS clsw 12522   substr csubstr 12525   WWalks cwwlk 24882   WWalksN cwwlkn 24883   ClWWalksN cclwwlkn 24954
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-rep 4550  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-nel 2652  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rmo 2812  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-tp 4021  df-op 4023  df-uni 4236  df-int 4272  df-iun 4317  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-tr 4533  df-eprel 4780  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-fr 4827  df-we 4829  df-ord 4870  df-on 4871  df-lim 4872  df-suc 4873  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-riota 6232  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-om 6674  df-1st 6773  df-2nd 6774  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-1o 7122  df-oadd 7126  df-er 7303  df-map 7414  df-pm 7415  df-en 7510  df-dom 7511  df-sdom 7512  df-fin 7513  df-card 8311  df-cda 8539  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9798  df-neg 9799  df-nn 10532  df-2 10590  df-n0 10792  df-z 10861  df-uz 11083  df-fz 11676  df-fzo 11800  df-hash 12391  df-word 12529  df-substr 12533  df-wwlk 24884  df-wwlkn 24885  df-clwwlk 24956  df-clwwlkn 24957
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