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Theorem wwlksubclwwlk 25525
Description: Any prefix of a word representing a closed walk represents a word. (Contributed by Alexander van der Vekens, 5-Oct-2018.)
Assertion
Ref Expression
wwlksubclwwlk  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1
) ) )  -> 
( X  e.  ( ( V ClWWalksN  E ) `  N )  ->  ( X substr  <. 0 ,  M >. )  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  ( M  -  1 ) ) ) )

Proof of Theorem wwlksubclwwlk
Dummy variable  i is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 clwwlknimp 25497 . . . . 5  |-  ( X  e.  ( ( V ClWWalksN  E ) `  N
)  ->  ( ( X  e. Word  V  /\  ( # `
 X )  =  N )  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( N  -  1 ) ) { ( X `  i ) ,  ( X `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  /\  { ( lastS  `  X ) ,  ( X `  0 ) }  e.  ran  E
) )
2 simpl 459 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( X  e. Word  V  /\  ( # `  X )  =  N )  ->  X  e. Word  V )
32adantr 467 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( X  e. Word  V  /\  ( # `  X
)  =  N )  /\  ( M  e.  NN  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) ) )  ->  X  e. Word  V )
4 simpl 459 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1
) ) )  ->  M  e.  NN )
54adantl 468 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( X  e. Word  V  /\  ( # `  X
)  =  N )  /\  ( M  e.  NN  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) ) )  ->  M  e.  NN )
6 eluz2 11162 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) )  <->  ( ( M  +  1 )  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  ( M  +  1 )  <_  N ) )
7 nnre 10613 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( M  e.  NN  ->  M  e.  RR )
87adantl 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e.  NN )  ->  M  e.  RR )
9 peano2re 9803 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( M  e.  RR  ->  ( M  +  1 )  e.  RR )
107, 9syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( M  e.  NN  ->  ( M  +  1 )  e.  RR )
1110adantl 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e.  NN )  ->  ( M  +  1 )  e.  RR )
12 zre 10938 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( N  e.  ZZ  ->  N  e.  RR )
1312adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e.  NN )  ->  N  e.  RR )
148, 11, 133jca 1187 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e.  NN )  ->  ( M  e.  RR  /\  ( M  +  1 )  e.  RR  /\  N  e.  RR )
)
1514adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e.  NN )  /\  ( M  + 
1 )  <_  N
)  ->  ( M  e.  RR  /\  ( M  +  1 )  e.  RR  /\  N  e.  RR ) )
167lep1d 10535 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( M  e.  NN  ->  M  <_  ( M  +  1 ) )
1716adantl 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e.  NN )  ->  M  <_  ( M  +  1 ) )
1817anim1i 571 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e.  NN )  /\  ( M  + 
1 )  <_  N
)  ->  ( M  <_  ( M  +  1 )  /\  ( M  +  1 )  <_  N ) )
19 letr 9724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( M  e.  RR  /\  ( M  +  1
)  e.  RR  /\  N  e.  RR )  ->  ( ( M  <_ 
( M  +  1 )  /\  ( M  +  1 )  <_  N )  ->  M  <_  N ) )
2015, 18, 19sylc 62 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e.  NN )  /\  ( M  + 
1 )  <_  N
)  ->  M  <_  N )
2120expcom 437 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( M  +  1 )  <_  N  ->  (
( N  e.  ZZ  /\  M  e.  NN )  ->  M  <_  N
) )
2221expd 438 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( M  +  1 )  <_  N  ->  ( N  e.  ZZ  ->  ( M  e.  NN  ->  M  <_  N ) ) )
2322impcom 432 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  ( M  +  1
)  <_  N )  ->  ( M  e.  NN  ->  M  <_  N )
)
24233adant1 1025 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( M  +  1 )  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  ( M  +  1 )  <_  N )  -> 
( M  e.  NN  ->  M  <_  N )
)
256, 24sylbi 199 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) )  ->  ( M  e.  NN  ->  M  <_  N ) )
2625impcom 432 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1
) ) )  ->  M  <_  N )
2726adantl 468 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( X  e. Word  V  /\  ( # `  X
)  =  N )  /\  ( M  e.  NN  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) ) )  ->  M  <_  N )
28 breq2 4405 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
# `  X )  =  N  ->  ( M  <_  ( # `  X
)  <->  M  <_  N ) )
2928adantl 468 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( X  e. Word  V  /\  ( # `  X )  =  N )  -> 
( M  <_  ( # `
 X )  <->  M  <_  N ) )
3029adantr 467 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( X  e. Word  V  /\  ( # `  X
)  =  N )  /\  ( M  e.  NN  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) ) )  ->  ( M  <_  ( # `  X
)  <->  M  <_  N ) )
3127, 30mpbird 236 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( X  e. Word  V  /\  ( # `  X
)  =  N )  /\  ( M  e.  NN  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) ) )  ->  M  <_  ( # `  X
) )
32 swrdn0 12781 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( X  e. Word  V  /\  M  e.  NN  /\  M  <_  ( # `  X
) )  ->  ( X substr  <. 0 ,  M >. )  =/=  (/) )
333, 5, 31, 32syl3anc 1267 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( X  e. Word  V  /\  ( # `  X
)  =  N )  /\  ( M  e.  NN  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) ) )  ->  ( X substr  <. 0 ,  M >. )  =/=  (/) )
3433adantlr 720 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( X  e. Word  V  /\  ( # `  X
)  =  N )  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( N  -  1 ) ) { ( X `  i ) ,  ( X `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E
)  /\  ( M  e.  NN  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) ) )  ->  ( X substr  <. 0 ,  M >. )  =/=  (/) )
35 swrdcl 12770 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( X  e. Word  V  ->  ( X substr  <. 0 ,  M >. )  e. Word  V )
3635adantr 467 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( X  e. Word  V  /\  ( # `  X )  =  N )  -> 
( X substr  <. 0 ,  M >. )  e. Word  V
)
3736adantr 467 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( X  e. Word  V  /\  ( # `  X
)  =  N )  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( N  -  1 ) ) { ( X `  i ) ,  ( X `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E
)  ->  ( X substr  <.
0 ,  M >. )  e. Word  V )
3837adantr 467 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( X  e. Word  V  /\  ( # `  X
)  =  N )  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( N  -  1 ) ) { ( X `  i ) ,  ( X `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E
)  /\  ( M  e.  NN  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) ) )  ->  ( X substr  <. 0 ,  M >. )  e. Word  V )
39 nnz 10956 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( M  e.  NN  ->  M  e.  ZZ )
40 eluzp1m1 11179 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1
) ) )  -> 
( N  -  1 )  e.  ( ZZ>= `  M ) )
4140ex 436 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( M  e.  ZZ  ->  ( N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1
) )  ->  ( N  -  1 )  e.  ( ZZ>= `  M
) ) )
4239, 41syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( M  e.  NN  ->  ( N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1
) )  ->  ( N  -  1 )  e.  ( ZZ>= `  M
) ) )
43 peano2zm 10977 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( M  e.  ZZ  ->  ( M  -  1 )  e.  ZZ )
4439, 43syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( M  e.  NN  ->  ( M  -  1 )  e.  ZZ )
457lem1d 10537 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( M  e.  NN  ->  ( M  -  1 )  <_  M )
46 eluzuzle 11164 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( M  -  1 )  e.  ZZ  /\  ( M  -  1
)  <_  M )  ->  ( ( N  - 
1 )  e.  (
ZZ>= `  M )  -> 
( N  -  1 )  e.  ( ZZ>= `  ( M  -  1
) ) ) )
4744, 45, 46syl2anc 666 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( N  -  1 )  e.  ( ZZ>= `  M )  ->  ( N  -  1 )  e.  ( ZZ>= `  ( M  -  1 ) ) ) )
4842, 47syld 45 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( M  e.  NN  ->  ( N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1
) )  ->  ( N  -  1 )  e.  ( ZZ>= `  ( M  -  1 ) ) ) )
4948imp 431 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1
) ) )  -> 
( N  -  1 )  e.  ( ZZ>= `  ( M  -  1
) ) )
50 fzoss2 11943 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( N  -  1 )  e.  ( ZZ>= `  ( M  -  1 ) )  ->  ( 0..^ ( M  -  1 ) )  C_  (
0..^ ( N  - 
1 ) ) )
5149, 50syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1
) ) )  -> 
( 0..^ ( M  -  1 ) ) 
C_  ( 0..^ ( N  -  1 ) ) )
5251adantl 468 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( X  e. Word  V  /\  ( # `  X
)  =  N )  /\  ( M  e.  NN  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) ) )  ->  (
0..^ ( M  - 
1 ) )  C_  ( 0..^ ( N  - 
1 ) ) )
53 ssralv 3492 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 0..^ ( M  - 
1 ) )  C_  ( 0..^ ( N  - 
1 ) )  -> 
( A. i  e.  ( 0..^ ( N  -  1 ) ) { ( X `  i ) ,  ( X `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  ->  A. i  e.  ( 0..^ ( M  - 
1 ) ) { ( X `  i
) ,  ( X `
 ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E ) )
5452, 53syl 17 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( X  e. Word  V  /\  ( # `  X
)  =  N )  /\  ( M  e.  NN  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) ) )  ->  ( A. i  e.  (
0..^ ( N  - 
1 ) ) { ( X `  i
) ,  ( X `
 ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  ->  A. i  e.  (
0..^ ( M  - 
1 ) ) { ( X `  i
) ,  ( X `
 ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E ) )
553adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( X  e. Word  V  /\  ( # `  X
)  =  N )  /\  ( M  e.  NN  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) ) )  /\  i  e.  ( 0..^ ( M  -  1 ) ) )  ->  X  e. Word  V )
567adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( M  e.  NN  /\  ( N  e.  ZZ  /\  ( M  +  1 )  <_  N )
)  ->  M  e.  RR )
5710adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( M  e.  NN  /\  ( N  e.  ZZ  /\  ( M  +  1 )  <_  N )
)  ->  ( M  +  1 )  e.  RR )
5812adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  ( M  +  1
)  <_  N )  ->  N  e.  RR )
5958adantl 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( M  e.  NN  /\  ( N  e.  ZZ  /\  ( M  +  1 )  <_  N )
)  ->  N  e.  RR )
6016adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( M  e.  NN  /\  ( N  e.  ZZ  /\  ( M  +  1 )  <_  N )
)  ->  M  <_  ( M  +  1 ) )
61 simpr 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  ( M  +  1
)  <_  N )  ->  ( M  +  1 )  <_  N )
6261adantl 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( M  e.  NN  /\  ( N  e.  ZZ  /\  ( M  +  1 )  <_  N )
)  ->  ( M  +  1 )  <_  N )
6356, 57, 59, 60, 62letrd 9789 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( M  e.  NN  /\  ( N  e.  ZZ  /\  ( M  +  1 )  <_  N )
)  ->  M  <_  N )
64 nnnn0 10873 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( M  e.  NN  ->  M  e.  NN0 )
6564adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( M  e.  NN  /\  ( N  e.  ZZ  /\  ( M  +  1 )  <_  N )
)  ->  M  e.  NN0 )
6665adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  ( N  e.  ZZ  /\  ( M  +  1 )  <_  N )
)  /\  M  <_  N )  ->  M  e.  NN0 )
67 simpr 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  ZZ )  ->  N  e.  ZZ )
6867adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  ZZ )  /\  M  <_  N
)  ->  N  e.  ZZ )
69 0red 9641 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  ZZ )  ->  0  e.  RR )
707adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  ZZ )  ->  M  e.  RR )
7112adantl 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  ZZ )  ->  N  e.  RR )
7269, 70, 713jca 1187 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( 0  e.  RR  /\  M  e.  RR  /\  N  e.  RR )
)
7372adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  ZZ )  /\  M  <_  N
)  ->  ( 0  e.  RR  /\  M  e.  RR  /\  N  e.  RR ) )
7464nn0ge0d 10925 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38  |-  ( M  e.  NN  ->  0  <_  M )
7574adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  ZZ )  ->  0  <_  M )
7675anim1i 571 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  ZZ )  /\  M  <_  N
)  ->  ( 0  <_  M  /\  M  <_  N ) )
77 letr 9724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  M  e.  RR  /\  N  e.  RR )  ->  (
( 0  <_  M  /\  M  <_  N )  ->  0  <_  N
) )
7873, 76, 77sylc 62 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  ZZ )  /\  M  <_  N
)  ->  0  <_  N )
7968, 78jca 535 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  ZZ )  /\  M  <_  N
)  ->  ( N  e.  ZZ  /\  0  <_  N ) )
80 elnn0z 10947 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( N  e.  NN0  <->  ( N  e.  ZZ  /\  0  <_  N ) )
8179, 80sylibr 216 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  ZZ )  /\  M  <_  N
)  ->  N  e.  NN0 )
8281ex 436 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( M  <_  N  ->  N  e.  NN0 )
)
8382expcom 437 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( N  e.  ZZ  ->  ( M  e.  NN  ->  ( M  <_  N  ->  N  e.  NN0 ) ) )
8483adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  ( M  +  1
)  <_  N )  ->  ( M  e.  NN  ->  ( M  <_  N  ->  N  e.  NN0 )
) )
8584impcom 432 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( M  e.  NN  /\  ( N  e.  ZZ  /\  ( M  +  1 )  <_  N )
)  ->  ( M  <_  N  ->  N  e.  NN0 ) )
8685imp 431 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  ( N  e.  ZZ  /\  ( M  +  1 )  <_  N )
)  /\  M  <_  N )  ->  N  e.  NN0 )
87 simpr 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  ( N  e.  ZZ  /\  ( M  +  1 )  <_  N )
)  /\  M  <_  N )  ->  M  <_  N )
8866, 86, 873jca 1187 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  ( N  e.  ZZ  /\  ( M  +  1 )  <_  N )
)  /\  M  <_  N )  ->  ( M  e.  NN0  /\  N  e. 
NN0  /\  M  <_  N ) )
8963, 88mpdan 673 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( M  e.  NN  /\  ( N  e.  ZZ  /\  ( M  +  1 )  <_  N )
)  ->  ( M  e.  NN0  /\  N  e. 
NN0  /\  M  <_  N ) )
9089expcom 437 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  ( M  +  1
)  <_  N )  ->  ( M  e.  NN  ->  ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0  /\  M  <_  N ) ) )
91903adant1 1025 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( M  +  1 )  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  ( M  +  1 )  <_  N )  -> 
( M  e.  NN  ->  ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0  /\  M  <_  N ) ) )
926, 91sylbi 199 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) )  ->  ( M  e.  NN  ->  ( M  e.  NN0  /\  N  e. 
NN0  /\  M  <_  N ) ) )
9392impcom 432 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1
) ) )  -> 
( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0  /\  M  <_  N ) )
94 elfz2nn0 11882 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( M  e.  ( 0 ... N )  <->  ( M  e.  NN0  /\  N  e. 
NN0  /\  M  <_  N ) )
9593, 94sylibr 216 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1
) ) )  ->  M  e.  ( 0 ... N ) )
9695adantl 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( X  e. Word  V  /\  ( # `  X
)  =  N )  /\  ( M  e.  NN  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) ) )  ->  M  e.  ( 0 ... N
) )
97 oveq2 6296 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( (
# `  X )  =  N  ->  ( 0 ... ( # `  X
) )  =  ( 0 ... N ) )
9897eleq2d 2513 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( (
# `  X )  =  N  ->  ( M  e.  ( 0 ... ( # `  X
) )  <->  M  e.  ( 0 ... N
) ) )
9998adantl 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( X  e. Word  V  /\  ( # `  X )  =  N )  -> 
( M  e.  ( 0 ... ( # `  X ) )  <->  M  e.  ( 0 ... N
) ) )
10099adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( X  e. Word  V  /\  ( # `  X
)  =  N )  /\  ( M  e.  NN  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) ) )  ->  ( M  e.  ( 0 ... ( # `  X
) )  <->  M  e.  ( 0 ... N
) ) )
10196, 100mpbird 236 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( X  e. Word  V  /\  ( # `  X
)  =  N )  /\  ( M  e.  NN  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) ) )  ->  M  e.  ( 0 ... ( # `
 X ) ) )
102101adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( X  e. Word  V  /\  ( # `  X
)  =  N )  /\  ( M  e.  NN  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) ) )  /\  i  e.  ( 0..^ ( M  -  1 ) ) )  ->  M  e.  ( 0 ... ( # `
 X ) ) )
10344, 39, 453jca 1187 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( M  -  1 )  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  ( M  -  1 )  <_  M ) )
104 eluz2 11162 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( M  e.  ( ZZ>= `  ( M  -  1 ) )  <->  ( ( M  -  1 )  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  ( M  -  1 )  <_  M ) )
105103, 104sylibr 216 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( M  e.  NN  ->  M  e.  ( ZZ>= `  ( M  -  1 ) ) )
106 fzoss2 11943 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( M  e.  ( ZZ>= `  ( M  -  1 ) )  ->  ( 0..^ ( M  -  1 ) )  C_  (
0..^ M ) )
107105, 106syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( M  e.  NN  ->  (
0..^ ( M  - 
1 ) )  C_  ( 0..^ M ) )
108107sseld 3430 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( M  e.  NN  ->  (
i  e.  ( 0..^ ( M  -  1 ) )  ->  i  e.  ( 0..^ M ) ) )
109108adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1
) ) )  -> 
( i  e.  ( 0..^ ( M  - 
1 ) )  -> 
i  e.  ( 0..^ M ) ) )
110109adantl 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( X  e. Word  V  /\  ( # `  X
)  =  N )  /\  ( M  e.  NN  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) ) )  ->  (
i  e.  ( 0..^ ( M  -  1 ) )  ->  i  e.  ( 0..^ M ) ) )
111110imp 431 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( X  e. Word  V  /\  ( # `  X
)  =  N )  /\  ( M  e.  NN  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) ) )  /\  i  e.  ( 0..^ ( M  -  1 ) ) )  ->  i  e.  ( 0..^ M ) )
112 swrd0fv 12790 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( X  e. Word  V  /\  M  e.  ( 0 ... ( # `  X
) )  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( ( X substr  <. 0 ,  M >. ) `  i )  =  ( X `  i ) )
11355, 102, 111, 112syl3anc 1267 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( X  e. Word  V  /\  ( # `  X
)  =  N )  /\  ( M  e.  NN  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) ) )  /\  i  e.  ( 0..^ ( M  -  1 ) ) )  ->  ( ( X substr  <. 0 ,  M >. ) `  i )  =  ( X `  i ) )
114113eqcomd 2456 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( X  e. Word  V  /\  ( # `  X
)  =  N )  /\  ( M  e.  NN  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) ) )  /\  i  e.  ( 0..^ ( M  -  1 ) ) )  ->  ( X `  i )  =  ( ( X substr  <. 0 ,  M >. ) `  i
) )
115 fzonn0p1p1 11989 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( i  e.  ( 0..^ ( M  -  1 ) )  ->  ( i  +  1 )  e.  ( 0..^ ( ( M  -  1 )  +  1 ) ) )
116 nncn 10614 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( M  e.  NN  ->  M  e.  CC )
117 npcan1 10041 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( M  e.  CC  ->  (
( M  -  1 )  +  1 )  =  M )
118116, 117syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( M  -  1 )  +  1 )  =  M )
119118oveq2d 6304 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( M  e.  NN  ->  (
0..^ ( ( M  -  1 )  +  1 ) )  =  ( 0..^ M ) )
120119eleq2d 2513 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( i  +  1 )  e.  ( 0..^ ( ( M  - 
1 )  +  1 ) )  <->  ( i  +  1 )  e.  ( 0..^ M ) ) )
121115, 120syl5ib 223 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( M  e.  NN  ->  (
i  e.  ( 0..^ ( M  -  1 ) )  ->  (
i  +  1 )  e.  ( 0..^ M ) ) )
122121adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1
) ) )  -> 
( i  e.  ( 0..^ ( M  - 
1 ) )  -> 
( i  +  1 )  e.  ( 0..^ M ) ) )
123122adantl 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( X  e. Word  V  /\  ( # `  X
)  =  N )  /\  ( M  e.  NN  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) ) )  ->  (
i  e.  ( 0..^ ( M  -  1 ) )  ->  (
i  +  1 )  e.  ( 0..^ M ) ) )
124123imp 431 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( X  e. Word  V  /\  ( # `  X
)  =  N )  /\  ( M  e.  NN  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) ) )  /\  i  e.  ( 0..^ ( M  -  1 ) ) )  ->  ( i  +  1 )  e.  ( 0..^ M ) )
125 swrd0fv 12790 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( X  e. Word  V  /\  M  e.  ( 0 ... ( # `  X
) )  /\  (
i  +  1 )  e.  ( 0..^ M ) )  ->  (
( X substr  <. 0 ,  M >. ) `  (
i  +  1 ) )  =  ( X `
 ( i  +  1 ) ) )
12655, 102, 124, 125syl3anc 1267 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( X  e. Word  V  /\  ( # `  X
)  =  N )  /\  ( M  e.  NN  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) ) )  /\  i  e.  ( 0..^ ( M  -  1 ) ) )  ->  ( ( X substr  <. 0 ,  M >. ) `  ( i  +  1 ) )  =  ( X `  ( i  +  1 ) ) )
127126eqcomd 2456 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( X  e. Word  V  /\  ( # `  X
)  =  N )  /\  ( M  e.  NN  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) ) )  /\  i  e.  ( 0..^ ( M  -  1 ) ) )  ->  ( X `  ( i  +  1 ) )  =  ( ( X substr  <. 0 ,  M >. ) `  (
i  +  1 ) ) )
128114, 127preq12d 4058 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( X  e. Word  V  /\  ( # `  X
)  =  N )  /\  ( M  e.  NN  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) ) )  /\  i  e.  ( 0..^ ( M  -  1 ) ) )  ->  { ( X `  i ) ,  ( X `  ( i  +  1 ) ) }  =  { ( ( X substr  <. 0 ,  M >. ) `
 i ) ,  ( ( X substr  <. 0 ,  M >. ) `  (
i  +  1 ) ) } )
129128eleq1d 2512 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( X  e. Word  V  /\  ( # `  X
)  =  N )  /\  ( M  e.  NN  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) ) )  /\  i  e.  ( 0..^ ( M  -  1 ) ) )  ->  ( {
( X `  i
) ,  ( X `
 ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  <->  { (
( X substr  <. 0 ,  M >. ) `  i
) ,  ( ( X substr  <. 0 ,  M >. ) `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E
) )
130129ralbidva 2823 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( X  e. Word  V  /\  ( # `  X
)  =  N )  /\  ( M  e.  NN  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) ) )  ->  ( A. i  e.  (
0..^ ( M  - 
1 ) ) { ( X `  i
) ,  ( X `
 ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  <->  A. i  e.  ( 0..^ ( M  -  1 ) ) { ( ( X substr  <. 0 ,  M >. ) `
 i ) ,  ( ( X substr  <. 0 ,  M >. ) `  (
i  +  1 ) ) }  e.  ran  E ) )
13154, 130sylibd 218 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( X  e. Word  V  /\  ( # `  X
)  =  N )  /\  ( M  e.  NN  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) ) )  ->  ( A. i  e.  (
0..^ ( N  - 
1 ) ) { ( X `  i
) ,  ( X `
 ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  ->  A. i  e.  (
0..^ ( M  - 
1 ) ) { ( ( X substr  <. 0 ,  M >. ) `  i
) ,  ( ( X substr  <. 0 ,  M >. ) `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E
) )
132131impancom 442 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( X  e. Word  V  /\  ( # `  X
)  =  N )  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( N  -  1 ) ) { ( X `  i ) ,  ( X `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E
)  ->  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  ->  A. i  e.  ( 0..^ ( M  -  1 ) ) { ( ( X substr  <. 0 ,  M >. ) `
 i ) ,  ( ( X substr  <. 0 ,  M >. ) `  (
i  +  1 ) ) }  e.  ran  E ) )
133132imp 431 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( X  e. Word  V  /\  ( # `  X
)  =  N )  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( N  -  1 ) ) { ( X `  i ) ,  ( X `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E
)  /\  ( M  e.  NN  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) ) )  ->  A. i  e.  ( 0..^ ( M  -  1 ) ) { ( ( X substr  <. 0 ,  M >. ) `
 i ) ,  ( ( X substr  <. 0 ,  M >. ) `  (
i  +  1 ) ) }  e.  ran  E )
1343, 101jca 535 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( X  e. Word  V  /\  ( # `  X
)  =  N )  /\  ( M  e.  NN  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) ) )  ->  ( X  e. Word  V  /\  M  e.  ( 0 ... ( # `
 X ) ) ) )
135134adantlr 720 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( X  e. Word  V  /\  ( # `  X
)  =  N )  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( N  -  1 ) ) { ( X `  i ) ,  ( X `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E
)  /\  ( M  e.  NN  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) ) )  ->  ( X  e. Word  V  /\  M  e.  ( 0 ... ( # `
 X ) ) ) )
136 swrd0len 12773 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( X  e. Word  V  /\  M  e.  ( 0 ... ( # `  X
) ) )  -> 
( # `  ( X substr  <. 0 ,  M >. ) )  =  M )
137135, 136syl 17 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( X  e. Word  V  /\  ( # `  X
)  =  N )  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( N  -  1 ) ) { ( X `  i ) ,  ( X `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E
)  /\  ( M  e.  NN  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) ) )  ->  ( # `
 ( X substr  <. 0 ,  M >. ) )  =  M )
138137oveq1d 6303 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( X  e. Word  V  /\  ( # `  X
)  =  N )  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( N  -  1 ) ) { ( X `  i ) ,  ( X `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E
)  /\  ( M  e.  NN  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) ) )  ->  (
( # `  ( X substr  <. 0 ,  M >. ) )  -  1 )  =  ( M  - 
1 ) )
139138oveq2d 6304 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( X  e. Word  V  /\  ( # `  X
)  =  N )  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( N  -  1 ) ) { ( X `  i ) ,  ( X `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E
)  /\  ( M  e.  NN  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) ) )  ->  (
0..^ ( ( # `  ( X substr  <. 0 ,  M >. ) )  - 
1 ) )  =  ( 0..^ ( M  -  1 ) ) )
140139raleqdv 2992 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( X  e. Word  V  /\  ( # `  X
)  =  N )  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( N  -  1 ) ) { ( X `  i ) ,  ( X `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E
)  /\  ( M  e.  NN  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) ) )  ->  ( A. i  e.  (
0..^ ( ( # `  ( X substr  <. 0 ,  M >. ) )  - 
1 ) ) { ( ( X substr  <. 0 ,  M >. ) `  i
) ,  ( ( X substr  <. 0 ,  M >. ) `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  <->  A. i  e.  ( 0..^ ( M  -  1 ) ) { ( ( X substr  <. 0 ,  M >. ) `  i
) ,  ( ( X substr  <. 0 ,  M >. ) `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E
) )
141133, 140mpbird 236 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( X  e. Word  V  /\  ( # `  X
)  =  N )  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( N  -  1 ) ) { ( X `  i ) ,  ( X `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E
)  /\  ( M  e.  NN  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) ) )  ->  A. i  e.  ( 0..^ ( (
# `  ( X substr  <.
0 ,  M >. ) )  -  1 ) ) { ( ( X substr  <. 0 ,  M >. ) `  i ) ,  ( ( X substr  <. 0 ,  M >. ) `
 ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E )
14234, 38, 1413jca 1187 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( X  e. Word  V  /\  ( # `  X
)  =  N )  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( N  -  1 ) ) { ( X `  i ) ,  ( X `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E
)  /\  ( M  e.  NN  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) ) )  ->  (
( X substr  <. 0 ,  M >. )  =/=  (/)  /\  ( X substr  <. 0 ,  M >. )  e. Word  V  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( ( # `  ( X substr  <. 0 ,  M >. ) )  -  1 ) ) { ( ( X substr  <. 0 ,  M >. ) `  i
) ,  ( ( X substr  <. 0 ,  M >. ) `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E
) )
1433, 101, 136syl2anc 666 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( X  e. Word  V  /\  ( # `  X
)  =  N )  /\  ( M  e.  NN  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) ) )  ->  ( # `
 ( X substr  <. 0 ,  M >. ) )  =  M )
144118eqcomd 2456 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( M  e.  NN  ->  M  =  ( ( M  -  1 )  +  1 ) )
145144adantr 467 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1
) ) )  ->  M  =  ( ( M  -  1 )  +  1 ) )
146145adantl 468 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( X  e. Word  V  /\  ( # `  X
)  =  N )  /\  ( M  e.  NN  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) ) )  ->  M  =  ( ( M  -  1 )  +  1 ) )
147143, 146eqtrd 2484 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( X  e. Word  V  /\  ( # `  X
)  =  N )  /\  ( M  e.  NN  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) ) )  ->  ( # `
 ( X substr  <. 0 ,  M >. ) )  =  ( ( M  - 
1 )  +  1 ) )
148147adantlr 720 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( X  e. Word  V  /\  ( # `  X
)  =  N )  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( N  -  1 ) ) { ( X `  i ) ,  ( X `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E
)  /\  ( M  e.  NN  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) ) )  ->  ( # `
 ( X substr  <. 0 ,  M >. ) )  =  ( ( M  - 
1 )  +  1 ) )
149142, 148jca 535 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( X  e. Word  V  /\  ( # `  X
)  =  N )  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( N  -  1 ) ) { ( X `  i ) ,  ( X `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E
)  /\  ( M  e.  NN  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) ) )  ->  (
( ( X substr  <. 0 ,  M >. )  =/=  (/)  /\  ( X substr  <. 0 ,  M >. )  e. Word  V  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( ( # `  ( X substr  <. 0 ,  M >. ) )  -  1 ) ) { ( ( X substr  <. 0 ,  M >. ) `  i
) ,  ( ( X substr  <. 0 ,  M >. ) `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E
)  /\  ( # `  ( X substr  <. 0 ,  M >. ) )  =  ( ( M  -  1 )  +  1 ) ) )
150149ex 436 . . . . . 6  |-  ( ( ( X  e. Word  V  /\  ( # `  X
)  =  N )  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( N  -  1 ) ) { ( X `  i ) ,  ( X `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E
)  ->  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  ->  ( (
( X substr  <. 0 ,  M >. )  =/=  (/)  /\  ( X substr  <. 0 ,  M >. )  e. Word  V  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( ( # `  ( X substr  <. 0 ,  M >. ) )  -  1 ) ) { ( ( X substr  <. 0 ,  M >. ) `  i
) ,  ( ( X substr  <. 0 ,  M >. ) `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E
)  /\  ( # `  ( X substr  <. 0 ,  M >. ) )  =  ( ( M  -  1 )  +  1 ) ) ) )
1511503adant3 1027 . . . . 5  |-  ( ( ( X  e. Word  V  /\  ( # `  X
)  =  N )  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( N  -  1 ) ) { ( X `  i ) ,  ( X `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  /\  { ( lastS  `  X
) ,  ( X `
 0 ) }  e.  ran  E )  ->  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  ->  ( (
( X substr  <. 0 ,  M >. )  =/=  (/)  /\  ( X substr  <. 0 ,  M >. )  e. Word  V  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( ( # `  ( X substr  <. 0 ,  M >. ) )  -  1 ) ) { ( ( X substr  <. 0 ,  M >. ) `  i
) ,  ( ( X substr  <. 0 ,  M >. ) `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E
)  /\  ( # `  ( X substr  <. 0 ,  M >. ) )  =  ( ( M  -  1 )  +  1 ) ) ) )
1521, 151syl 17 . . . 4  |-  ( X  e.  ( ( V ClWWalksN  E ) `  N
)  ->  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  ->  ( (
( X substr  <. 0 ,  M >. )  =/=  (/)  /\  ( X substr  <. 0 ,  M >. )  e. Word  V  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( ( # `  ( X substr  <. 0 ,  M >. ) )  -  1 ) ) { ( ( X substr  <. 0 ,  M >. ) `  i
) ,  ( ( X substr  <. 0 ,  M >. ) `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E
)  /\  ( # `  ( X substr  <. 0 ,  M >. ) )  =  ( ( M  -  1 )  +  1 ) ) ) )
153152impcom 432 . . 3  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1
) ) )  /\  X  e.  ( ( V ClWWalksN  E ) `  N
) )  ->  (
( ( X substr  <. 0 ,  M >. )  =/=  (/)  /\  ( X substr  <. 0 ,  M >. )  e. Word  V  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( ( # `  ( X substr  <. 0 ,  M >. ) )  -  1 ) ) { ( ( X substr  <. 0 ,  M >. ) `  i
) ,  ( ( X substr  <. 0 ,  M >. ) `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E
)  /\  ( # `  ( X substr  <. 0 ,  M >. ) )  =  ( ( M  -  1 )  +  1 ) ) )
154 nnm1nn0 10908 . . . . . . . 8  |-  ( M  e.  NN  ->  ( M  -  1 )  e.  NN0 )
155154adantr 467 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1
) ) )  -> 
( M  -  1 )  e.  NN0 )
156 clwwlknprop 25493 . . . . . . . 8  |-  ( X  e.  ( ( V ClWWalksN  E ) `  N
)  ->  ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  X  e. Word  V  /\  ( N  e.  NN0  /\  ( # `
 X )  =  N ) ) )
157156simp1d 1019 . . . . . . 7  |-  ( X  e.  ( ( V ClWWalksN  E ) `  N
)  ->  ( V  e.  _V  /\  E  e. 
_V ) )
158155, 157anim12ci 570 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1
) ) )  /\  X  e.  ( ( V ClWWalksN  E ) `  N
) )  ->  (
( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( M  -  1 )  e.  NN0 )
)
159 df-3an 986 . . . . . 6  |-  ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V  /\  ( M  -  1 )  e.  NN0 )  <->  ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( M  -  1 )  e.  NN0 ) )
160158, 159sylibr 216 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1
) ) )  /\  X  e.  ( ( V ClWWalksN  E ) `  N
) )  ->  ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V  /\  ( M  -  1 )  e. 
NN0 ) )
161 iswwlkn 25405 . . . . 5  |-  ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V  /\  ( M  -  1 )  e.  NN0 )  -> 
( ( X substr  <. 0 ,  M >. )  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  ( M  -  1 ) )  <->  ( ( X substr  <. 0 ,  M >. )  e.  ( V WWalks  E )  /\  ( # `
 ( X substr  <. 0 ,  M >. ) )  =  ( ( M  - 
1 )  +  1 ) ) ) )
162160, 161syl 17 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1
) ) )  /\  X  e.  ( ( V ClWWalksN  E ) `  N
) )  ->  (
( X substr  <. 0 ,  M >. )  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  ( M  -  1 ) )  <->  ( ( X substr  <. 0 ,  M >. )  e.  ( V WWalks  E )  /\  ( # `
 ( X substr  <. 0 ,  M >. ) )  =  ( ( M  - 
1 )  +  1 ) ) ) )
163 iswwlk 25404 . . . . . . 7  |-  ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  ->  ( ( X substr  <. 0 ,  M >. )  e.  ( V WWalks  E )  <->  ( ( X substr  <. 0 ,  M >. )  =/=  (/)  /\  ( X substr  <. 0 ,  M >. )  e. Word  V  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( ( # `  ( X substr  <. 0 ,  M >. ) )  -  1 ) ) { ( ( X substr  <. 0 ,  M >. ) `  i
) ,  ( ( X substr  <. 0 ,  M >. ) `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E
) ) )
164157, 163syl 17 . . . . . 6  |-  ( X  e.  ( ( V ClWWalksN  E ) `  N
)  ->  ( ( X substr  <. 0 ,  M >. )  e.  ( V WWalks  E )  <->  ( ( X substr  <. 0 ,  M >. )  =/=  (/)  /\  ( X substr  <. 0 ,  M >. )  e. Word  V  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( ( # `  ( X substr  <. 0 ,  M >. ) )  -  1 ) ) { ( ( X substr  <. 0 ,  M >. ) `  i
) ,  ( ( X substr  <. 0 ,  M >. ) `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E
) ) )
165164adantl 468 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1
) ) )  /\  X  e.  ( ( V ClWWalksN  E ) `  N
) )  ->  (
( X substr  <. 0 ,  M >. )  e.  ( V WWalks  E )  <->  ( ( X substr  <. 0 ,  M >. )  =/=  (/)  /\  ( X substr  <. 0 ,  M >. )  e. Word  V  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( ( # `  ( X substr  <. 0 ,  M >. ) )  -  1 ) ) { ( ( X substr  <. 0 ,  M >. ) `  i
) ,  ( ( X substr  <. 0 ,  M >. ) `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E
) ) )
166165anbi1d 710 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1
) ) )  /\  X  e.  ( ( V ClWWalksN  E ) `  N
) )  ->  (
( ( X substr  <. 0 ,  M >. )  e.  ( V WWalks  E )  /\  ( # `  ( X substr  <. 0 ,  M >. ) )  =  ( ( M  -  1 )  +  1 ) )  <-> 
( ( ( X substr  <. 0 ,  M >. )  =/=  (/)  /\  ( X substr  <. 0 ,  M >. )  e. Word  V  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( ( # `  ( X substr  <. 0 ,  M >. ) )  -  1 ) ) { ( ( X substr  <. 0 ,  M >. ) `  i
) ,  ( ( X substr  <. 0 ,  M >. ) `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E
)  /\  ( # `  ( X substr  <. 0 ,  M >. ) )  =  ( ( M  -  1 )  +  1 ) ) ) )
167162, 166bitrd 257 . . 3  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1
) ) )  /\  X  e.  ( ( V ClWWalksN  E ) `  N
) )  ->  (
( X substr  <. 0 ,  M >. )  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  ( M  -  1 ) )  <->  ( (
( X substr  <. 0 ,  M >. )  =/=  (/)  /\  ( X substr  <. 0 ,  M >. )  e. Word  V  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( ( # `  ( X substr  <. 0 ,  M >. ) )  -  1 ) ) { ( ( X substr  <. 0 ,  M >. ) `  i
) ,  ( ( X substr  <. 0 ,  M >. ) `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E
)  /\  ( # `  ( X substr  <. 0 ,  M >. ) )  =  ( ( M  -  1 )  +  1 ) ) ) )
168153, 167mpbird 236 . 2  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1
) ) )  /\  X  e.  ( ( V ClWWalksN  E ) `  N
) )  ->  ( X substr  <. 0 ,  M >. )  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  ( M  -  1 ) ) )
169168ex 436 1  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1
) ) )  -> 
( X  e.  ( ( V ClWWalksN  E ) `  N )  ->  ( X substr  <. 0 ,  M >. )  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  ( M  -  1 ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 188    /\ wa 371    /\ w3a 984    = wceq 1443    e. wcel 1886    =/= wne 2621   A.wral 2736   _Vcvv 3044    C_ wss 3403   (/)c0 3730   {cpr 3969   <.cop 3973   class class class wbr 4401   ran crn 4834   ` cfv 5581  (class class class)co 6288   CCcc 9534   RRcr 9535   0cc0 9536   1c1 9537    + caddc 9539    <_ cle 9673    - cmin 9857   NNcn 10606   NN0cn0 10866   ZZcz 10934   ZZ>=cuz 11156   ...cfz 11781  ..^cfzo 11912   #chash 12512  Word cword 12653   lastS clsw 12654   substr csubstr 12657   WWalks cwwlk 25398   WWalksN cwwlkn 25399   ClWWalksN cclwwlkn 25470
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1668  ax-4 1681  ax-5 1757  ax-6 1804  ax-7 1850  ax-8 1888  ax-9 1895  ax-10 1914  ax-11 1919  ax-12 1932  ax-13 2090  ax-ext 2430  ax-rep 4514  ax-sep 4524  ax-nul 4533  ax-pow 4580  ax-pr 4638  ax-un 6580  ax-cnex 9592  ax-resscn 9593  ax-1cn 9594  ax-icn 9595  ax-addcl 9596  ax-addrcl 9597  ax-mulcl 9598  ax-mulrcl 9599  ax-mulcom 9600  ax-addass 9601  ax-mulass 9602  ax-distr 9603  ax-i2m1 9604  ax-1ne0 9605  ax-1rid 9606  ax-rnegex 9607  ax-rrecex 9608  ax-cnre 9609  ax-pre-lttri 9610  ax-pre-lttrn 9611  ax-pre-ltadd 9612  ax-pre-mulgt0 9613
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 985  df-3an 986  df-tru 1446  df-ex 1663  df-nf 1667  df-sb 1797  df-eu 2302  df-mo 2303  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2580  df-ne 2623  df-nel 2624  df-ral 2741  df-rex 2742  df-reu 2743  df-rmo 2744  df-rab 2745  df-v 3046  df-sbc 3267  df-csb 3363  df-dif 3406  df-un 3408  df-in 3410  df-ss 3417  df-pss 3419  df-nul 3731  df-if 3881  df-pw 3952  df-sn 3968  df-pr 3970  df-tp 3972  df-op 3974  df-uni 4198  df-int 4234  df-iun 4279  df-br 4402  df-opab 4461  df-mpt 4462  df-tr 4497  df-eprel 4744  df-id 4748  df-po 4754  df-so 4755  df-fr 4792  df-we 4794  df-xp 4839  df-rel 4840  df-cnv 4841  df-co 4842  df-dm 4843  df-rn 4844  df-res 4845  df-ima 4846  df-pred 5379  df-ord 5425  df-on 5426  df-lim 5427  df-suc 5428  df-iota 5545  df-fun 5583  df-fn 5584  df-f 5585  df-f1 5586  df-fo 5587  df-f1o 5588  df-fv 5589  df-riota 6250  df-ov 6291  df-oprab 6292  df-mpt2 6293  df-om 6690  df-1st 6790  df-2nd 6791  df-wrecs 7025  df-recs 7087  df-rdg 7125  df-1o 7179  df-oadd 7183  df-er 7360  df-map 7471  df-pm 7472  df-en 7567  df-dom 7568  df-sdom 7569  df-fin 7570  df-card 8370  df-cda 8595  df-pnf 9674  df-mnf 9675  df-xr 9676  df-ltxr 9677  df-le 9678  df-sub 9859  df-neg 9860  df-nn 10607  df-2 10665  df-n0 10867  df-z 10935  df-uz 11157  df-fz 11782  df-fzo 11913  df-hash 12513  df-word 12661  df-substr 12665  df-wwlk 25400  df-wwlkn 25401  df-clwwlk 25472  df-clwwlkn 25473
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