MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  wwlknndef Structured version   Unicode version

Theorem wwlknndef 24864
Description: Conditions for WWalksN not being defined. (Contributed by Alexander van der Vekens, 30-Jul-2018.)
Assertion
Ref Expression
wwlknndef  |-  ( ( V  e/  _V  \/  E  e/  _V  \/  N  e/  NN0 )  ->  (
( V WWalksN  E ) `  N )  =  (/) )

Proof of Theorem wwlknndef
Dummy variable  w is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 neq0 3804 . . 3  |-  ( -.  ( ( V WWalksN  E
) `  N )  =  (/)  <->  E. w  w  e.  ( ( V WWalksN  E
) `  N )
)
2 wwlknprop 24813 . . . . 5  |-  ( w  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  N
)  ->  ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( N  e.  NN0  /\  w  e. Word  V ) ) )
3 nnel 2802 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( -.  V  e/  _V  <->  V  e.  _V )
43bicomi 202 . . . . . . . . . . 11  |-  ( V  e.  _V  <->  -.  V  e/  _V )
5 nnel 2802 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( -.  E  e/  _V  <->  E  e.  _V )
65bicomi 202 . . . . . . . . . . 11  |-  ( E  e.  _V  <->  -.  E  e/  _V )
74, 6anbi12i 697 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  <->  ( -.  V  e/  _V  /\ 
-.  E  e/  _V ) )
8 nnel 2802 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -.  N  e/  NN0  <->  N  e.  NN0 )
98bicomi 202 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN0  <->  -.  N  e/  NN0 )
107, 9anbi12i 697 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  N  e.  NN0 ) 
<->  ( ( -.  V  e/  _V  /\  -.  E  e/  _V )  /\  -.  N  e/  NN0 ) )
1110biimpi 194 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  N  e.  NN0 )  ->  ( ( -.  V  e/  _V  /\  -.  E  e/  _V )  /\  -.  N  e/  NN0 ) )
12 df-3an 975 . . . . . . . 8  |-  ( ( -.  V  e/  _V  /\ 
-.  E  e/  _V  /\ 
-.  N  e/  NN0 ) 
<->  ( ( -.  V  e/  _V  /\  -.  E  e/  _V )  /\  -.  N  e/  NN0 ) )
1311, 12sylibr 212 . . . . . . 7  |-  ( ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  N  e.  NN0 )  ->  ( -.  V  e/  _V  /\  -.  E  e/  _V  /\  -.  N  e/  NN0 ) )
1413adantrr 716 . . . . . 6  |-  ( ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( N  e.  NN0  /\  w  e. Word  V ) )  ->  ( -.  V  e/  _V  /\  -.  E  e/  _V  /\  -.  N  e/  NN0 ) )
15 3ioran 991 . . . . . 6  |-  ( -.  ( V  e/  _V  \/  E  e/  _V  \/  N  e/  NN0 )  <->  ( -.  V  e/  _V  /\  -.  E  e/  _V  /\  -.  N  e/  NN0 ) )
1614, 15sylibr 212 . . . . 5  |-  ( ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( N  e.  NN0  /\  w  e. Word  V ) )  ->  -.  ( V  e/  _V  \/  E  e/  _V  \/  N  e/  NN0 ) )
172, 16syl 16 . . . 4  |-  ( w  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  N
)  ->  -.  ( V  e/  _V  \/  E  e/  _V  \/  N  e/  NN0 ) )
1817exlimiv 1723 . . 3  |-  ( E. w  w  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  N )  ->  -.  ( V  e/  _V  \/  E  e/  _V  \/  N  e/  NN0 ) )
191, 18sylbi 195 . 2  |-  ( -.  ( ( V WWalksN  E
) `  N )  =  (/)  ->  -.  ( V  e/  _V  \/  E  e/  _V  \/  N  e/  NN0 ) )
2019con4i 130 1  |-  ( ( V  e/  _V  \/  E  e/  _V  \/  N  e/  NN0 )  ->  (
( V WWalksN  E ) `  N )  =  (/) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 369    \/ w3o 972    /\ w3a 973    = wceq 1395   E.wex 1613    e. wcel 1819    e/ wnel 2653   _Vcvv 3109   (/)c0 3793   ` cfv 5594  (class class class)co 6296   NN0cn0 10816  Word cword 12538   WWalksN cwwlkn 24805
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-1o 7148  df-oadd 7152  df-er 7329  df-map 7440  df-pm 7441  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-fin 7539  df-card 8337  df-cda 8565  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-nn 10557  df-2 10615  df-n0 10817  df-z 10886  df-uz 11107  df-fz 11698  df-fzo 11822  df-hash 12409  df-word 12546  df-wwlk 24806  df-wwlkn 24807
This theorem is referenced by:  wwlknfi  24865
  Copyright terms: Public domain W3C validator