MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  wwlknndef Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem wwlknndef 25477
Description: Conditions for WWalksN not being defined. (Contributed by Alexander van der Vekens, 30-Jul-2018.)
Assertion
Ref Expression
wwlknndef  |-  ( ( V  e/  _V  \/  E  e/  _V  \/  N  e/  NN0 )  ->  (
( V WWalksN  E ) `  N )  =  (/) )

Proof of Theorem wwlknndef
Dummy variable  w is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 neq0 3744 . . 3  |-  ( -.  ( ( V WWalksN  E
) `  N )  =  (/)  <->  E. w  w  e.  ( ( V WWalksN  E
) `  N )
)
2 wwlknprop 25426 . . . . 5  |-  ( w  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  N
)  ->  ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( N  e.  NN0  /\  w  e. Word  V ) ) )
3 nnel 2735 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( -.  V  e/  _V  <->  V  e.  _V )
43bicomi 206 . . . . . . . . . . 11  |-  ( V  e.  _V  <->  -.  V  e/  _V )
5 nnel 2735 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( -.  E  e/  _V  <->  E  e.  _V )
65bicomi 206 . . . . . . . . . . 11  |-  ( E  e.  _V  <->  -.  E  e/  _V )
74, 6anbi12i 704 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  <->  ( -.  V  e/  _V  /\ 
-.  E  e/  _V ) )
8 nnel 2735 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -.  N  e/  NN0  <->  N  e.  NN0 )
98bicomi 206 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN0  <->  -.  N  e/  NN0 )
107, 9anbi12i 704 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  N  e.  NN0 ) 
<->  ( ( -.  V  e/  _V  /\  -.  E  e/  _V )  /\  -.  N  e/  NN0 ) )
1110biimpi 198 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  N  e.  NN0 )  ->  ( ( -.  V  e/  _V  /\  -.  E  e/  _V )  /\  -.  N  e/  NN0 ) )
12 df-3an 988 . . . . . . . 8  |-  ( ( -.  V  e/  _V  /\ 
-.  E  e/  _V  /\ 
-.  N  e/  NN0 ) 
<->  ( ( -.  V  e/  _V  /\  -.  E  e/  _V )  /\  -.  N  e/  NN0 ) )
1311, 12sylibr 216 . . . . . . 7  |-  ( ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  N  e.  NN0 )  ->  ( -.  V  e/  _V  /\  -.  E  e/  _V  /\  -.  N  e/  NN0 ) )
1413adantrr 724 . . . . . 6  |-  ( ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( N  e.  NN0  /\  w  e. Word  V ) )  ->  ( -.  V  e/  _V  /\  -.  E  e/  _V  /\  -.  N  e/  NN0 ) )
15 3ioran 1004 . . . . . 6  |-  ( -.  ( V  e/  _V  \/  E  e/  _V  \/  N  e/  NN0 )  <->  ( -.  V  e/  _V  /\  -.  E  e/  _V  /\  -.  N  e/  NN0 ) )
1614, 15sylibr 216 . . . . 5  |-  ( ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( N  e.  NN0  /\  w  e. Word  V ) )  ->  -.  ( V  e/  _V  \/  E  e/  _V  \/  N  e/  NN0 ) )
172, 16syl 17 . . . 4  |-  ( w  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  N
)  ->  -.  ( V  e/  _V  \/  E  e/  _V  \/  N  e/  NN0 ) )
1817exlimiv 1778 . . 3  |-  ( E. w  w  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  N )  ->  -.  ( V  e/  _V  \/  E  e/  _V  \/  N  e/  NN0 ) )
191, 18sylbi 199 . 2  |-  ( -.  ( ( V WWalksN  E
) `  N )  =  (/)  ->  -.  ( V  e/  _V  \/  E  e/  _V  \/  N  e/  NN0 ) )
2019con4i 134 1  |-  ( ( V  e/  _V  \/  E  e/  _V  \/  N  e/  NN0 )  ->  (
( V WWalksN  E ) `  N )  =  (/) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 371    \/ w3o 985    /\ w3a 986    = wceq 1446   E.wex 1665    e. wcel 1889    e/ wnel 2625   _Vcvv 3047   (/)c0 3733   ` cfv 5585  (class class class)co 6295   NN0cn0 10876  Word cword 12663   WWalksN cwwlkn 25418
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1671  ax-4 1684  ax-5 1760  ax-6 1807  ax-7 1853  ax-8 1891  ax-9 1898  ax-10 1917  ax-11 1922  ax-12 1935  ax-13 2093  ax-ext 2433  ax-rep 4518  ax-sep 4528  ax-nul 4537  ax-pow 4584  ax-pr 4642  ax-un 6588  ax-cnex 9600  ax-resscn 9601  ax-1cn 9602  ax-icn 9603  ax-addcl 9604  ax-addrcl 9605  ax-mulcl 9606  ax-mulrcl 9607  ax-mulcom 9608  ax-addass 9609  ax-mulass 9610  ax-distr 9611  ax-i2m1 9612  ax-1ne0 9613  ax-1rid 9614  ax-rnegex 9615  ax-rrecex 9616  ax-cnre 9617  ax-pre-lttri 9618  ax-pre-lttrn 9619  ax-pre-ltadd 9620  ax-pre-mulgt0 9621
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 987  df-3an 988  df-tru 1449  df-ex 1666  df-nf 1670  df-sb 1800  df-eu 2305  df-mo 2306  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2583  df-ne 2626  df-nel 2627  df-ral 2744  df-rex 2745  df-reu 2746  df-rmo 2747  df-rab 2748  df-v 3049  df-sbc 3270  df-csb 3366  df-dif 3409  df-un 3411  df-in 3413  df-ss 3420  df-pss 3422  df-nul 3734  df-if 3884  df-pw 3955  df-sn 3971  df-pr 3973  df-tp 3975  df-op 3977  df-uni 4202  df-int 4238  df-iun 4283  df-br 4406  df-opab 4465  df-mpt 4466  df-tr 4501  df-eprel 4748  df-id 4752  df-po 4758  df-so 4759  df-fr 4796  df-we 4798  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-pred 5383  df-ord 5429  df-on 5430  df-lim 5431  df-suc 5432  df-iota 5549  df-fun 5587  df-fn 5588  df-f 5589  df-f1 5590  df-fo 5591  df-f1o 5592  df-fv 5593  df-riota 6257  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-om 6698  df-1st 6798  df-2nd 6799  df-wrecs 7033  df-recs 7095  df-rdg 7133  df-1o 7187  df-oadd 7191  df-er 7368  df-map 7479  df-pm 7480  df-en 7575  df-dom 7576  df-sdom 7577  df-fin 7578  df-card 8378  df-cda 8603  df-pnf 9682  df-mnf 9683  df-xr 9684  df-ltxr 9685  df-le 9686  df-sub 9867  df-neg 9868  df-nn 10617  df-2 10675  df-n0 10877  df-z 10945  df-uz 11167  df-fz 11792  df-fzo 11923  df-hash 12523  df-word 12671  df-wwlk 25419  df-wwlkn 25420
This theorem is referenced by:  wwlknfi  25478
  Copyright terms: Public domain W3C validator