MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  wwlknndef Structured version   Unicode version

Theorem wwlknndef 24401
Description: Conditions for WWalksN not being defined. (Contributed by Alexander van der Vekens, 30-Jul-2018.)
Assertion
Ref Expression
wwlknndef  |-  ( ( V  e/  _V  \/  E  e/  _V  \/  N  e/  NN0 )  ->  (
( V WWalksN  E ) `  N )  =  (/) )

Proof of Theorem wwlknndef
Dummy variable  w is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 neq0 3790 . . 3  |-  ( -.  ( ( V WWalksN  E
) `  N )  =  (/)  <->  E. w  w  e.  ( ( V WWalksN  E
) `  N )
)
2 wwlknprop 24350 . . . . 5  |-  ( w  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  N
)  ->  ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( N  e.  NN0  /\  w  e. Word  V ) ) )
3 nnel 2807 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( -.  V  e/  _V  <->  V  e.  _V )
43bicomi 202 . . . . . . . . . . 11  |-  ( V  e.  _V  <->  -.  V  e/  _V )
5 nnel 2807 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( -.  E  e/  _V  <->  E  e.  _V )
65bicomi 202 . . . . . . . . . . 11  |-  ( E  e.  _V  <->  -.  E  e/  _V )
74, 6anbi12i 697 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  <->  ( -.  V  e/  _V  /\ 
-.  E  e/  _V ) )
8 nnel 2807 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -.  N  e/  NN0  <->  N  e.  NN0 )
98bicomi 202 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN0  <->  -.  N  e/  NN0 )
107, 9anbi12i 697 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  N  e.  NN0 ) 
<->  ( ( -.  V  e/  _V  /\  -.  E  e/  _V )  /\  -.  N  e/  NN0 ) )
1110biimpi 194 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  N  e.  NN0 )  ->  ( ( -.  V  e/  _V  /\  -.  E  e/  _V )  /\  -.  N  e/  NN0 ) )
12 df-3an 970 . . . . . . . 8  |-  ( ( -.  V  e/  _V  /\ 
-.  E  e/  _V  /\ 
-.  N  e/  NN0 ) 
<->  ( ( -.  V  e/  _V  /\  -.  E  e/  _V )  /\  -.  N  e/  NN0 ) )
1311, 12sylibr 212 . . . . . . 7  |-  ( ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  N  e.  NN0 )  ->  ( -.  V  e/  _V  /\  -.  E  e/  _V  /\  -.  N  e/  NN0 ) )
1413adantrr 716 . . . . . 6  |-  ( ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( N  e.  NN0  /\  w  e. Word  V ) )  ->  ( -.  V  e/  _V  /\  -.  E  e/  _V  /\  -.  N  e/  NN0 ) )
15 3ioran 986 . . . . . 6  |-  ( -.  ( V  e/  _V  \/  E  e/  _V  \/  N  e/  NN0 )  <->  ( -.  V  e/  _V  /\  -.  E  e/  _V  /\  -.  N  e/  NN0 ) )
1614, 15sylibr 212 . . . . 5  |-  ( ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( N  e.  NN0  /\  w  e. Word  V ) )  ->  -.  ( V  e/  _V  \/  E  e/  _V  \/  N  e/  NN0 ) )
172, 16syl 16 . . . 4  |-  ( w  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  N
)  ->  -.  ( V  e/  _V  \/  E  e/  _V  \/  N  e/  NN0 ) )
1817exlimiv 1693 . . 3  |-  ( E. w  w  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  N )  ->  -.  ( V  e/  _V  \/  E  e/  _V  \/  N  e/  NN0 ) )
191, 18sylbi 195 . 2  |-  ( -.  ( ( V WWalksN  E
) `  N )  =  (/)  ->  -.  ( V  e/  _V  \/  E  e/  _V  \/  N  e/  NN0 ) )
2019con4i 130 1  |-  ( ( V  e/  _V  \/  E  e/  _V  \/  N  e/  NN0 )  ->  (
( V WWalksN  E ) `  N )  =  (/) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 369    \/ w3o 967    /\ w3a 968    = wceq 1374   E.wex 1591    e. wcel 1762    e/ wnel 2658   _Vcvv 3108   (/)c0 3780   ` cfv 5581  (class class class)co 6277   NN0cn0 10786  Word cword 12489   WWalksN cwwlkn 24342
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1963  ax-ext 2440  ax-rep 4553  ax-sep 4563  ax-nul 4571  ax-pow 4620  ax-pr 4681  ax-un 6569  ax-cnex 9539  ax-resscn 9540  ax-1cn 9541  ax-icn 9542  ax-addcl 9543  ax-addrcl 9544  ax-mulcl 9545  ax-mulrcl 9546  ax-mulcom 9547  ax-addass 9548  ax-mulass 9549  ax-distr 9550  ax-i2m1 9551  ax-1ne0 9552  ax-1rid 9553  ax-rnegex 9554  ax-rrecex 9555  ax-cnre 9556  ax-pre-lttri 9557  ax-pre-lttrn 9558  ax-pre-ltadd 9559  ax-pre-mulgt0 9560
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2274  df-mo 2275  df-clab 2448  df-cleq 2454  df-clel 2457  df-nfc 2612  df-ne 2659  df-nel 2660  df-ral 2814  df-rex 2815  df-reu 2816  df-rab 2818  df-v 3110  df-sbc 3327  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3781  df-if 3935  df-pw 4007  df-sn 4023  df-pr 4025  df-tp 4027  df-op 4029  df-uni 4241  df-int 4278  df-iun 4322  df-br 4443  df-opab 4501  df-mpt 4502  df-tr 4536  df-eprel 4786  df-id 4790  df-po 4795  df-so 4796  df-fr 4833  df-we 4835  df-ord 4876  df-on 4877  df-lim 4878  df-suc 4879  df-xp 5000  df-rel 5001  df-cnv 5002  df-co 5003  df-dm 5004  df-rn 5005  df-res 5006  df-ima 5007  df-iota 5544  df-fun 5583  df-fn 5584  df-f 5585  df-f1 5586  df-fo 5587  df-f1o 5588  df-fv 5589  df-riota 6238  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-om 6674  df-1st 6776  df-2nd 6777  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-1o 7122  df-oadd 7126  df-er 7303  df-map 7414  df-pm 7415  df-en 7509  df-dom 7510  df-sdom 7511  df-fin 7512  df-pnf 9621  df-mnf 9622  df-xr 9623  df-ltxr 9624  df-le 9625  df-sub 9798  df-neg 9799  df-nn 10528  df-n0 10787  df-z 10856  df-uz 11074  df-fz 11664  df-fzo 11784  df-word 12497  df-wwlk 24343  df-wwlkn 24344
This theorem is referenced by:  wwlknfi  24402
  Copyright terms: Public domain W3C validator