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Theorem wwlknimp 24460
Description: Implications for a set being a walk of length n (represented by a word). (Contributed by Alexander van der Vekens, 17-Jun-2018.)
Assertion
Ref Expression
wwlknimp  |-  ( W  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  N
)  ->  ( W  e. Word  V  /\  ( # `  W )  =  ( N  +  1 )  /\  A. i  e.  ( 0..^ N ) { ( W `  i ) ,  ( W `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E
) )
Distinct variable groups:    i, E    i, N    i, V    i, W

Proof of Theorem wwlknimp
StepHypRef Expression
1 wwlknprop 24459 . 2  |-  ( W  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  N
)  ->  ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( N  e.  NN0  /\  W  e. Word  V ) ) )
2 iswwlkn 24457 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V  /\  N  e.  NN0 )  ->  ( W  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  N
)  <->  ( W  e.  ( V WWalks  E )  /\  ( # `  W
)  =  ( N  +  1 ) ) ) )
3 simprr 756 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( W  e.  ( V WWalks  E )  /\  ( # `
 W )  =  ( N  +  1 ) ) )  -> 
( # `  W )  =  ( N  + 
1 ) )
4 iswwlk 24456 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  ->  ( W  e.  ( V WWalks  E )  <->  ( W  =/=  (/)  /\  W  e. Word  V  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( (
# `  W )  -  1 ) ) { ( W `  i ) ,  ( W `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E
) ) )
5 oveq1 6292 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( (
# `  W )  =  ( N  + 
1 )  ->  (
( # `  W )  -  1 )  =  ( ( N  + 
1 )  -  1 ) )
6 nn0cn 10806 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( N  e.  NN0  ->  N  e.  CC )
7 ax-1cn 9551 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  1  e.  CC
87a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( N  e.  NN0  ->  1  e.  CC )
96, 8pncand 9932 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( N  +  1 )  -  1 )  =  N )
109adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( ( N  + 
1 )  -  1 )  =  N )
115, 10sylan9eqr 2530 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( W  e. Word  V  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( # `  W
)  =  ( N  +  1 ) )  ->  ( ( # `  W )  -  1 )  =  N )
1211oveq2d 6301 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( W  e. Word  V  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( # `  W
)  =  ( N  +  1 ) )  ->  ( 0..^ ( ( # `  W
)  -  1 ) )  =  ( 0..^ N ) )
1312raleqdv 3064 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( W  e. Word  V  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( # `  W
)  =  ( N  +  1 ) )  ->  ( A. i  e.  ( 0..^ ( (
# `  W )  -  1 ) ) { ( W `  i ) ,  ( W `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  <->  A. i  e.  ( 0..^ N ) { ( W `  i ) ,  ( W `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E ) )
1413biimpd 207 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( W  e. Word  V  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( # `  W
)  =  ( N  +  1 ) )  ->  ( A. i  e.  ( 0..^ ( (
# `  W )  -  1 ) ) { ( W `  i ) ,  ( W `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  ->  A. i  e.  ( 0..^ N ) { ( W `  i
) ,  ( W `
 ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E ) )
1514ex 434 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( ( # `  W
)  =  ( N  +  1 )  -> 
( A. i  e.  ( 0..^ ( (
# `  W )  -  1 ) ) { ( W `  i ) ,  ( W `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  ->  A. i  e.  ( 0..^ N ) { ( W `  i
) ,  ( W `
 ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E ) ) )
1615com23 78 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( A. i  e.  ( 0..^ ( (
# `  W )  -  1 ) ) { ( W `  i ) ,  ( W `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  ->  ( ( # `  W
)  =  ( N  +  1 )  ->  A. i  e.  (
0..^ N ) { ( W `  i
) ,  ( W `
 ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E ) ) )
1716impancom 440 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( ( # `  W
)  -  1 ) ) { ( W `
 i ) ,  ( W `  (
i  +  1 ) ) }  e.  ran  E )  ->  ( N  e.  NN0  ->  ( ( # `
 W )  =  ( N  +  1 )  ->  A. i  e.  ( 0..^ N ) { ( W `  i ) ,  ( W `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E
) ) )
18173adant1 1014 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( W  =/=  (/)  /\  W  e. Word  V  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( (
# `  W )  -  1 ) ) { ( W `  i ) ,  ( W `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E
)  ->  ( N  e.  NN0  ->  ( ( # `
 W )  =  ( N  +  1 )  ->  A. i  e.  ( 0..^ N ) { ( W `  i ) ,  ( W `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E
) ) )
194, 18syl6bi 228 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  ->  ( W  e.  ( V WWalks  E )  -> 
( N  e.  NN0  ->  ( ( # `  W
)  =  ( N  +  1 )  ->  A. i  e.  (
0..^ N ) { ( W `  i
) ,  ( W `
 ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E ) ) ) )
2019com23 78 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  ->  ( N  e.  NN0  ->  ( W  e.  ( V WWalks  E )  -> 
( ( # `  W
)  =  ( N  +  1 )  ->  A. i  e.  (
0..^ N ) { ( W `  i
) ,  ( W `
 ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E ) ) ) )
21203impia 1193 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V  /\  N  e.  NN0 )  ->  ( W  e.  ( V WWalks  E )  ->  ( ( # `
 W )  =  ( N  +  1 )  ->  A. i  e.  ( 0..^ N ) { ( W `  i ) ,  ( W `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E
) ) )
2221imp32 433 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( W  e.  ( V WWalks  E )  /\  ( # `
 W )  =  ( N  +  1 ) ) )  ->  A. i  e.  (
0..^ N ) { ( W `  i
) ,  ( W `
 ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E )
233, 22jca 532 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( W  e.  ( V WWalks  E )  /\  ( # `
 W )  =  ( N  +  1 ) ) )  -> 
( ( # `  W
)  =  ( N  +  1 )  /\  A. i  e.  ( 0..^ N ) { ( W `  i ) ,  ( W `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E ) )
2423ex 434 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V  /\  N  e.  NN0 )  ->  (
( W  e.  ( V WWalks  E )  /\  ( # `  W )  =  ( N  + 
1 ) )  -> 
( ( # `  W
)  =  ( N  +  1 )  /\  A. i  e.  ( 0..^ N ) { ( W `  i ) ,  ( W `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E ) ) )
252, 24sylbid 215 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V  /\  N  e.  NN0 )  ->  ( W  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  N
)  ->  ( ( # `
 W )  =  ( N  +  1 )  /\  A. i  e.  ( 0..^ N ) { ( W `  i ) ,  ( W `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E
) ) )
26253expa 1196 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  N  e.  NN0 )  ->  ( W  e.  ( ( V WWalksN  E
) `  N )  ->  ( ( # `  W
)  =  ( N  +  1 )  /\  A. i  e.  ( 0..^ N ) { ( W `  i ) ,  ( W `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E ) ) )
2726ancoms 453 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )
)  ->  ( W  e.  ( ( V WWalksN  E
) `  N )  ->  ( ( # `  W
)  =  ( N  +  1 )  /\  A. i  e.  ( 0..^ N ) { ( W `  i ) ,  ( W `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E ) ) )
2827imp 429 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )
)  /\  W  e.  ( ( V WWalksN  E
) `  N )
)  ->  ( ( # `
 W )  =  ( N  +  1 )  /\  A. i  e.  ( 0..^ N ) { ( W `  i ) ,  ( W `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E
) )
2928anim2i 569 . . . . . 6  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  ( ( N  e. 
NN0  /\  ( V  e.  _V  /\  E  e. 
_V ) )  /\  W  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  N
) ) )  -> 
( W  e. Word  V  /\  ( ( # `  W
)  =  ( N  +  1 )  /\  A. i  e.  ( 0..^ N ) { ( W `  i ) ,  ( W `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E ) ) )
30 3anass 977 . . . . . 6  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  ( # `  W )  =  ( N  + 
1 )  /\  A. i  e.  ( 0..^ N ) { ( W `  i ) ,  ( W `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E )  <->  ( W  e. Word  V  /\  ( (
# `  W )  =  ( N  + 
1 )  /\  A. i  e.  ( 0..^ N ) { ( W `  i ) ,  ( W `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E ) ) )
3129, 30sylibr 212 . . . . 5  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  ( ( N  e. 
NN0  /\  ( V  e.  _V  /\  E  e. 
_V ) )  /\  W  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  N
) ) )  -> 
( W  e. Word  V  /\  ( # `  W
)  =  ( N  +  1 )  /\  A. i  e.  ( 0..^ N ) { ( W `  i ) ,  ( W `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E ) )
3231exp44 613 . . . 4  |-  ( W  e. Word  V  ->  ( N  e.  NN0  ->  (
( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  ->  ( W  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  N )  ->  ( W  e. Word  V  /\  ( # `
 W )  =  ( N  +  1 )  /\  A. i  e.  ( 0..^ N ) { ( W `  i ) ,  ( W `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E
) ) ) ) )
3332impcom 430 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  W  e. Word  V )  ->  ( ( V  e. 
_V  /\  E  e.  _V )  ->  ( W  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  N
)  ->  ( W  e. Word  V  /\  ( # `  W )  =  ( N  +  1 )  /\  A. i  e.  ( 0..^ N ) { ( W `  i ) ,  ( W `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E
) ) ) )
3433impcom 430 . 2  |-  ( ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( N  e.  NN0  /\  W  e. Word  V ) )  ->  ( W  e.  ( ( V WWalksN  E
) `  N )  ->  ( W  e. Word  V  /\  ( # `  W
)  =  ( N  +  1 )  /\  A. i  e.  ( 0..^ N ) { ( W `  i ) ,  ( W `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E ) ) )
351, 34mpcom 36 1  |-  ( W  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  N
)  ->  ( W  e. Word  V  /\  ( # `  W )  =  ( N  +  1 )  /\  A. i  e.  ( 0..^ N ) { ( W `  i ) ,  ( W `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1379    e. wcel 1767    =/= wne 2662   A.wral 2814   _Vcvv 3113   (/)c0 3785   {cpr 4029   ran crn 5000   ` cfv 5588  (class class class)co 6285   CCcc 9491   0cc0 9493   1c1 9494    + caddc 9496    - cmin 9806   NN0cn0 10796  ..^cfzo 11793   #chash 12374  Word cword 12501   WWalks cwwlk 24450   WWalksN cwwlkn 24451
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6577  ax-cnex 9549  ax-resscn 9550  ax-1cn 9551  ax-icn 9552  ax-addcl 9553  ax-addrcl 9554  ax-mulcl 9555  ax-mulrcl 9556  ax-mulcom 9557  ax-addass 9558  ax-mulass 9559  ax-distr 9560  ax-i2m1 9561  ax-1ne0 9562  ax-1rid 9563  ax-rnegex 9564  ax-rrecex 9565  ax-cnre 9566  ax-pre-lttri 9567  ax-pre-lttrn 9568  ax-pre-ltadd 9569  ax-pre-mulgt0 9570
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-riota 6246  df-ov 6288  df-oprab 6289  df-mpt2 6290  df-om 6686  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-recs 7043  df-rdg 7077  df-1o 7131  df-oadd 7135  df-er 7312  df-map 7423  df-pm 7424  df-en 7518  df-dom 7519  df-sdom 7520  df-fin 7521  df-pnf 9631  df-mnf 9632  df-xr 9633  df-ltxr 9634  df-le 9635  df-sub 9808  df-neg 9809  df-nn 10538  df-n0 10797  df-z 10866  df-uz 11084  df-fz 11674  df-fzo 11794  df-word 12509  df-wwlk 24452  df-wwlkn 24453
This theorem is referenced by:  wwlknimpb  24477  wwlknext  24497  wwlknextbi  24498  wwlknredwwlkn  24499  wwlknredwwlkn0  24500  wwlkextwrd  24501  wwlkextsur  24504  wwlkextproplem1  24514  wwlkextproplem2  24515  wwlkextproplem3  24516  clwwlkf1  24569  clwwlkvbij  24574  wwlkext2clwwlk  24576  rusgranumwlks  24729  numclwwlk2lem1  24876
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