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Theorem wwlknimp 30333
Description: Implications for a set being a walk of length n (represented by a word). (Contributed by Alexander van der Vekens, 17-Jun-2018.)
Assertion
Ref Expression
wwlknimp  |-  ( W  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  N
)  ->  ( W  e. Word  V  /\  ( # `  W )  =  ( N  +  1 )  /\  A. i  e.  ( 0..^ N ) { ( W `  i ) ,  ( W `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E
) )
Distinct variable groups:    i, E    i, N    i, V    i, W

Proof of Theorem wwlknimp
StepHypRef Expression
1 wwlknprop 30332 . 2  |-  ( W  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  N
)  ->  ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( N  e.  NN0  /\  W  e. Word  V ) ) )
2 iswwlkn 30330 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V  /\  N  e.  NN0 )  ->  ( W  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  N
)  <->  ( W  e.  ( V WWalks  E )  /\  ( # `  W
)  =  ( N  +  1 ) ) ) )
3 simprr 756 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( W  e.  ( V WWalks  E )  /\  ( # `
 W )  =  ( N  +  1 ) ) )  -> 
( # `  W )  =  ( N  + 
1 ) )
4 iswwlk 30329 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  ->  ( W  e.  ( V WWalks  E )  <->  ( W  =/=  (/)  /\  W  e. Word  V  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( (
# `  W )  -  1 ) ) { ( W `  i ) ,  ( W `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E
) ) )
5 oveq1 6110 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( (
# `  W )  =  ( N  + 
1 )  ->  (
( # `  W )  -  1 )  =  ( ( N  + 
1 )  -  1 ) )
6 nn0cn 10601 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( N  e.  NN0  ->  N  e.  CC )
7 ax-1cn 9352 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  1  e.  CC
87a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( N  e.  NN0  ->  1  e.  CC )
96, 8pncand 9732 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( N  +  1 )  -  1 )  =  N )
109adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( ( N  + 
1 )  -  1 )  =  N )
115, 10sylan9eqr 2497 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( W  e. Word  V  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( # `  W
)  =  ( N  +  1 ) )  ->  ( ( # `  W )  -  1 )  =  N )
1211oveq2d 6119 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( W  e. Word  V  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( # `  W
)  =  ( N  +  1 ) )  ->  ( 0..^ ( ( # `  W
)  -  1 ) )  =  ( 0..^ N ) )
1312raleqdv 2935 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( W  e. Word  V  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( # `  W
)  =  ( N  +  1 ) )  ->  ( A. i  e.  ( 0..^ ( (
# `  W )  -  1 ) ) { ( W `  i ) ,  ( W `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  <->  A. i  e.  ( 0..^ N ) { ( W `  i ) ,  ( W `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E ) )
1413biimpd 207 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( W  e. Word  V  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( # `  W
)  =  ( N  +  1 ) )  ->  ( A. i  e.  ( 0..^ ( (
# `  W )  -  1 ) ) { ( W `  i ) ,  ( W `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  ->  A. i  e.  ( 0..^ N ) { ( W `  i
) ,  ( W `
 ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E ) )
1514ex 434 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( ( # `  W
)  =  ( N  +  1 )  -> 
( A. i  e.  ( 0..^ ( (
# `  W )  -  1 ) ) { ( W `  i ) ,  ( W `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  ->  A. i  e.  ( 0..^ N ) { ( W `  i
) ,  ( W `
 ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E ) ) )
1615com23 78 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( A. i  e.  ( 0..^ ( (
# `  W )  -  1 ) ) { ( W `  i ) ,  ( W `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  ->  ( ( # `  W
)  =  ( N  +  1 )  ->  A. i  e.  (
0..^ N ) { ( W `  i
) ,  ( W `
 ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E ) ) )
1716impancom 440 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( ( # `  W
)  -  1 ) ) { ( W `
 i ) ,  ( W `  (
i  +  1 ) ) }  e.  ran  E )  ->  ( N  e.  NN0  ->  ( ( # `
 W )  =  ( N  +  1 )  ->  A. i  e.  ( 0..^ N ) { ( W `  i ) ,  ( W `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E
) ) )
18173adant1 1006 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( W  =/=  (/)  /\  W  e. Word  V  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( (
# `  W )  -  1 ) ) { ( W `  i ) ,  ( W `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E
)  ->  ( N  e.  NN0  ->  ( ( # `
 W )  =  ( N  +  1 )  ->  A. i  e.  ( 0..^ N ) { ( W `  i ) ,  ( W `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E
) ) )
194, 18syl6bi 228 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  ->  ( W  e.  ( V WWalks  E )  -> 
( N  e.  NN0  ->  ( ( # `  W
)  =  ( N  +  1 )  ->  A. i  e.  (
0..^ N ) { ( W `  i
) ,  ( W `
 ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E ) ) ) )
2019com23 78 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  ->  ( N  e.  NN0  ->  ( W  e.  ( V WWalks  E )  -> 
( ( # `  W
)  =  ( N  +  1 )  ->  A. i  e.  (
0..^ N ) { ( W `  i
) ,  ( W `
 ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E ) ) ) )
21203impia 1184 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V  /\  N  e.  NN0 )  ->  ( W  e.  ( V WWalks  E )  ->  ( ( # `
 W )  =  ( N  +  1 )  ->  A. i  e.  ( 0..^ N ) { ( W `  i ) ,  ( W `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E
) ) )
2221imp32 433 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( W  e.  ( V WWalks  E )  /\  ( # `
 W )  =  ( N  +  1 ) ) )  ->  A. i  e.  (
0..^ N ) { ( W `  i
) ,  ( W `
 ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E )
233, 22jca 532 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( W  e.  ( V WWalks  E )  /\  ( # `
 W )  =  ( N  +  1 ) ) )  -> 
( ( # `  W
)  =  ( N  +  1 )  /\  A. i  e.  ( 0..^ N ) { ( W `  i ) ,  ( W `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E ) )
2423ex 434 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V  /\  N  e.  NN0 )  ->  (
( W  e.  ( V WWalks  E )  /\  ( # `  W )  =  ( N  + 
1 ) )  -> 
( ( # `  W
)  =  ( N  +  1 )  /\  A. i  e.  ( 0..^ N ) { ( W `  i ) ,  ( W `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E ) ) )
252, 24sylbid 215 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V  /\  N  e.  NN0 )  ->  ( W  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  N
)  ->  ( ( # `
 W )  =  ( N  +  1 )  /\  A. i  e.  ( 0..^ N ) { ( W `  i ) ,  ( W `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E
) ) )
26253expa 1187 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  N  e.  NN0 )  ->  ( W  e.  ( ( V WWalksN  E
) `  N )  ->  ( ( # `  W
)  =  ( N  +  1 )  /\  A. i  e.  ( 0..^ N ) { ( W `  i ) ,  ( W `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E ) ) )
2726ancoms 453 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )
)  ->  ( W  e.  ( ( V WWalksN  E
) `  N )  ->  ( ( # `  W
)  =  ( N  +  1 )  /\  A. i  e.  ( 0..^ N ) { ( W `  i ) ,  ( W `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E ) ) )
2827imp 429 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )
)  /\  W  e.  ( ( V WWalksN  E
) `  N )
)  ->  ( ( # `
 W )  =  ( N  +  1 )  /\  A. i  e.  ( 0..^ N ) { ( W `  i ) ,  ( W `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E
) )
2928anim2i 569 . . . . . 6  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  ( ( N  e. 
NN0  /\  ( V  e.  _V  /\  E  e. 
_V ) )  /\  W  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  N
) ) )  -> 
( W  e. Word  V  /\  ( ( # `  W
)  =  ( N  +  1 )  /\  A. i  e.  ( 0..^ N ) { ( W `  i ) ,  ( W `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E ) ) )
30 3anass 969 . . . . . 6  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  ( # `  W )  =  ( N  + 
1 )  /\  A. i  e.  ( 0..^ N ) { ( W `  i ) ,  ( W `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E )  <->  ( W  e. Word  V  /\  ( (
# `  W )  =  ( N  + 
1 )  /\  A. i  e.  ( 0..^ N ) { ( W `  i ) ,  ( W `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E ) ) )
3129, 30sylibr 212 . . . . 5  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  ( ( N  e. 
NN0  /\  ( V  e.  _V  /\  E  e. 
_V ) )  /\  W  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  N
) ) )  -> 
( W  e. Word  V  /\  ( # `  W
)  =  ( N  +  1 )  /\  A. i  e.  ( 0..^ N ) { ( W `  i ) ,  ( W `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E ) )
3231exp44 613 . . . 4  |-  ( W  e. Word  V  ->  ( N  e.  NN0  ->  (
( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  ->  ( W  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  N )  ->  ( W  e. Word  V  /\  ( # `
 W )  =  ( N  +  1 )  /\  A. i  e.  ( 0..^ N ) { ( W `  i ) ,  ( W `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E
) ) ) ) )
3332impcom 430 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  W  e. Word  V )  ->  ( ( V  e. 
_V  /\  E  e.  _V )  ->  ( W  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  N
)  ->  ( W  e. Word  V  /\  ( # `  W )  =  ( N  +  1 )  /\  A. i  e.  ( 0..^ N ) { ( W `  i ) ,  ( W `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E
) ) ) )
3433impcom 430 . 2  |-  ( ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( N  e.  NN0  /\  W  e. Word  V ) )  ->  ( W  e.  ( ( V WWalksN  E
) `  N )  ->  ( W  e. Word  V  /\  ( # `  W
)  =  ( N  +  1 )  /\  A. i  e.  ( 0..^ N ) { ( W `  i ) ,  ( W `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E ) ) )
351, 34mpcom 36 1  |-  ( W  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  N
)  ->  ( W  e. Word  V  /\  ( # `  W )  =  ( N  +  1 )  /\  A. i  e.  ( 0..^ N ) { ( W `  i ) ,  ( W `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1369    e. wcel 1756    =/= wne 2618   A.wral 2727   _Vcvv 2984   (/)c0 3649   {cpr 3891   ran crn 4853   ` cfv 5430  (class class class)co 6103   CCcc 9292   0cc0 9294   1c1 9295    + caddc 9297    - cmin 9607   NN0cn0 10591  ..^cfzo 11560   #chash 12115  Word cword 12233   WWalks cwwlk 30323   WWalksN cwwlkn 30324
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4415  ax-sep 4425  ax-nul 4433  ax-pow 4482  ax-pr 4543  ax-un 6384  ax-cnex 9350  ax-resscn 9351  ax-1cn 9352  ax-icn 9353  ax-addcl 9354  ax-addrcl 9355  ax-mulcl 9356  ax-mulrcl 9357  ax-mulcom 9358  ax-addass 9359  ax-mulass 9360  ax-distr 9361  ax-i2m1 9362  ax-1ne0 9363  ax-1rid 9364  ax-rnegex 9365  ax-rrecex 9366  ax-cnre 9367  ax-pre-lttri 9368  ax-pre-lttrn 9369  ax-pre-ltadd 9370  ax-pre-mulgt0 9371
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2620  df-nel 2621  df-ral 2732  df-rex 2733  df-reu 2734  df-rab 2736  df-v 2986  df-sbc 3199  df-csb 3301  df-dif 3343  df-un 3345  df-in 3347  df-ss 3354  df-pss 3356  df-nul 3650  df-if 3804  df-pw 3874  df-sn 3890  df-pr 3892  df-tp 3894  df-op 3896  df-uni 4104  df-int 4141  df-iun 4185  df-br 4305  df-opab 4363  df-mpt 4364  df-tr 4398  df-eprel 4644  df-id 4648  df-po 4653  df-so 4654  df-fr 4691  df-we 4693  df-ord 4734  df-on 4735  df-lim 4736  df-suc 4737  df-xp 4858  df-rel 4859  df-cnv 4860  df-co 4861  df-dm 4862  df-rn 4863  df-res 4864  df-ima 4865  df-iota 5393  df-fun 5432  df-fn 5433  df-f 5434  df-f1 5435  df-fo 5436  df-f1o 5437  df-fv 5438  df-riota 6064  df-ov 6106  df-oprab 6107  df-mpt2 6108  df-om 6489  df-1st 6589  df-2nd 6590  df-recs 6844  df-rdg 6878  df-1o 6932  df-oadd 6936  df-er 7113  df-map 7228  df-pm 7229  df-en 7323  df-dom 7324  df-sdom 7325  df-fin 7326  df-pnf 9432  df-mnf 9433  df-xr 9434  df-ltxr 9435  df-le 9436  df-sub 9609  df-neg 9610  df-nn 10335  df-n0 10592  df-z 10659  df-uz 10874  df-fz 11450  df-fzo 11561  df-word 12241  df-wwlk 30325  df-wwlkn 30326
This theorem is referenced by:  wwlknimpb  30350  wwlknext  30368  wwlknextbi  30369  wwlknredwwlkn  30370  wwlknredwwlkn0  30371  wwlkextwrd  30372  wwlkextsur  30375  clwwlkf1  30470  clwwlkvbij  30475  wwlkext2clwwlk  30477  wwlkextproplem1  30572  wwlkextproplem2  30573  wwlkextproplem3  30574  rusgranumwlks  30586  numclwwlk2lem1  30707
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