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Theorem wwlknext 24386
Description: Extension of a walk (as word) by adding an edge/vertex. (Contributed by Alexander van der Vekens, 4-Aug-2018.)
Assertion
Ref Expression
wwlknext  |-  ( ( T  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  N
)  /\  S  e.  V  /\  { ( lastS  `  T
) ,  S }  e.  ran  E )  -> 
( T concat  <" S "> )  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  ( N  +  1 ) ) )

Proof of Theorem wwlknext
Dummy variable  i is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 wwlknprop 24348 . . 3  |-  ( T  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  N
)  ->  ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( N  e.  NN0  /\  T  e. Word  V ) ) )
2 wwlknimp 24349 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( T  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  N
)  ->  ( T  e. Word  V  /\  ( # `  T )  =  ( N  +  1 )  /\  A. i  e.  ( 0..^ N ) { ( T `  i ) ,  ( T `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E
) )
3 simp1 991 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( T  e. Word  V  /\  ( # `  T )  =  ( N  + 
1 )  /\  A. i  e.  ( 0..^ N ) { ( T `  i ) ,  ( T `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E )  ->  T  e. Word  V )
4 simprl 755 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( S  e.  V  /\  { ( lastS  `  T
) ,  S }  e.  ran  E ) )  ->  S  e.  V
)
5 cats1un 12651 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( T  e. Word  V  /\  S  e.  V )  ->  ( T concat  <" S "> )  =  ( T  u.  { <. (
# `  T ) ,  S >. } ) )
63, 4, 5syl2an 477 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( T  e. Word  V  /\  ( # `  T
)  =  ( N  +  1 )  /\  A. i  e.  ( 0..^ N ) { ( T `  i ) ,  ( T `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E )  /\  ( N  e.  NN0  /\  ( S  e.  V  /\  { ( lastS  `  T ) ,  S }  e.  ran  E ) ) )  -> 
( T concat  <" S "> )  =  ( T  u.  { <. (
# `  T ) ,  S >. } ) )
7 opex 4704 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  <. ( # `
 T ) ,  S >.  e.  _V
87snnz 4138 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  { <. (
# `  T ) ,  S >. }  =/=  (/)
98neii 2659 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  -.  { <. ( # `  T
) ,  S >. }  =  (/)
109intnan 907 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  -.  ( T  =  (/)  /\  { <. ( # `  T
) ,  S >. }  =  (/) )
11 df-ne 2657 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( T  u.  { <. (
# `  T ) ,  S >. } )  =/=  (/) 
<->  -.  ( T  u.  {
<. ( # `  T
) ,  S >. } )  =  (/) )
12 un00 3855 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( T  =  (/)  /\  { <. ( # `  T
) ,  S >. }  =  (/) )  <->  ( T  u.  { <. ( # `  T
) ,  S >. } )  =  (/) )
1311, 12xchbinxr 311 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( T  u.  { <. (
# `  T ) ,  S >. } )  =/=  (/) 
<->  -.  ( T  =  (/)  /\  { <. ( # `
 T ) ,  S >. }  =  (/) ) )
1410, 13mpbir 209 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( T  u.  { <. ( # `
 T ) ,  S >. } )  =/=  (/)
1514a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( T  e. Word  V  /\  ( # `  T
)  =  ( N  +  1 )  /\  A. i  e.  ( 0..^ N ) { ( T `  i ) ,  ( T `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E )  /\  ( N  e.  NN0  /\  ( S  e.  V  /\  { ( lastS  `  T ) ,  S }  e.  ran  E ) ) )  -> 
( T  u.  { <. ( # `  T
) ,  S >. } )  =/=  (/) )
166, 15eqnetrd 2753 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( T  e. Word  V  /\  ( # `  T
)  =  ( N  +  1 )  /\  A. i  e.  ( 0..^ N ) { ( T `  i ) ,  ( T `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E )  /\  ( N  e.  NN0  /\  ( S  e.  V  /\  { ( lastS  `  T ) ,  S }  e.  ran  E ) ) )  -> 
( T concat  <" S "> )  =/=  (/) )
17 s1cl 12564 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( S  e.  V  ->  <" S ">  e. Word  V )
1817ad2antrl 727 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( S  e.  V  /\  { ( lastS  `  T
) ,  S }  e.  ran  E ) )  ->  <" S ">  e. Word  V )
19 ccatcl 12545 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( T  e. Word  V  /\  <" S ">  e. Word  V )  ->  ( T concat  <" S "> )  e. Word  V )
203, 18, 19syl2an 477 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( T  e. Word  V  /\  ( # `  T
)  =  ( N  +  1 )  /\  A. i  e.  ( 0..^ N ) { ( T `  i ) ,  ( T `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E )  /\  ( N  e.  NN0  /\  ( S  e.  V  /\  { ( lastS  `  T ) ,  S }  e.  ran  E ) ) )  -> 
( T concat  <" S "> )  e. Word  V
)
21 simplrl 759 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( ( ( ( S  e.  V  /\  N  e. 
NN0 )  /\  ( T  e. Word  V  /\  ( # `
 T )  =  ( N  +  1 ) ) )  /\  i  e.  ( 0..^ N ) )  ->  T  e. Word  V )
22 simpll 753 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( ( ( S  e.  V  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( T  e. Word  V  /\  ( # `  T
)  =  ( N  +  1 ) ) )  ->  S  e.  V )
2322adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( ( ( ( S  e.  V  /\  N  e. 
NN0 )  /\  ( T  e. Word  V  /\  ( # `
 T )  =  ( N  +  1 ) ) )  /\  i  e.  ( 0..^ N ) )  ->  S  e.  V )
24 fzossfzop1 11850 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( 0..^ N )  C_  (
0..^ ( N  + 
1 ) ) )
2524sseld 3496 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( i  e.  ( 0..^ N )  ->  i  e.  ( 0..^ ( N  + 
1 ) ) ) )
2625ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35  |-  ( ( ( S  e.  V  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( T  e. Word  V  /\  ( # `  T
)  =  ( N  +  1 ) ) )  ->  ( i  e.  ( 0..^ N )  ->  i  e.  ( 0..^ ( N  + 
1 ) ) ) )
2726imp 429 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( ( ( ( S  e.  V  /\  N  e. 
NN0 )  /\  ( T  e. Word  V  /\  ( # `
 T )  =  ( N  +  1 ) ) )  /\  i  e.  ( 0..^ N ) )  -> 
i  e.  ( 0..^ ( N  +  1 ) ) )
28 oveq2 6283 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37  |-  ( (
# `  T )  =  ( N  + 
1 )  ->  (
0..^ ( # `  T
) )  =  ( 0..^ ( N  + 
1 ) ) )
2928eleq2d 2530 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36  |-  ( (
# `  T )  =  ( N  + 
1 )  ->  (
i  e.  ( 0..^ ( # `  T
) )  <->  i  e.  ( 0..^ ( N  + 
1 ) ) ) )
3029adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35  |-  ( ( T  e. Word  V  /\  ( # `  T )  =  ( N  + 
1 ) )  -> 
( i  e.  ( 0..^ ( # `  T
) )  <->  i  e.  ( 0..^ ( N  + 
1 ) ) ) )
3130ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( ( ( ( S  e.  V  /\  N  e. 
NN0 )  /\  ( T  e. Word  V  /\  ( # `
 T )  =  ( N  +  1 ) ) )  /\  i  e.  ( 0..^ N ) )  -> 
( i  e.  ( 0..^ ( # `  T
) )  <->  i  e.  ( 0..^ ( N  + 
1 ) ) ) )
3227, 31mpbird 232 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( ( ( ( S  e.  V  /\  N  e. 
NN0 )  /\  ( T  e. Word  V  /\  ( # `
 T )  =  ( N  +  1 ) ) )  /\  i  e.  ( 0..^ N ) )  -> 
i  e.  ( 0..^ ( # `  T
) ) )
33 ccats1val1 12580 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( ( T  e. Word  V  /\  S  e.  V  /\  i  e.  ( 0..^ ( # `  T
) ) )  -> 
( ( T concat  <" S "> ) `  i
)  =  ( T `
 i ) )
3421, 23, 32, 33syl3anc 1223 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( ( ( ( S  e.  V  /\  N  e. 
NN0 )  /\  ( T  e. Word  V  /\  ( # `
 T )  =  ( N  +  1 ) ) )  /\  i  e.  ( 0..^ N ) )  -> 
( ( T concat  <" S "> ) `  i
)  =  ( T `
 i ) )
3534eqcomd 2468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( ( ( S  e.  V  /\  N  e. 
NN0 )  /\  ( T  e. Word  V  /\  ( # `
 T )  =  ( N  +  1 ) ) )  /\  i  e.  ( 0..^ N ) )  -> 
( T `  i
)  =  ( ( T concat  <" S "> ) `  i ) )
36 fzonn0p1p1 11851 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35  |-  ( i  e.  ( 0..^ N )  ->  ( i  +  1 )  e.  ( 0..^ ( N  +  1 ) ) )
3736adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( ( ( ( S  e.  V  /\  N  e. 
NN0 )  /\  ( T  e. Word  V  /\  ( # `
 T )  =  ( N  +  1 ) ) )  /\  i  e.  ( 0..^ N ) )  -> 
( i  +  1 )  e.  ( 0..^ ( N  +  1 ) ) )
3828adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35  |-  ( ( T  e. Word  V  /\  ( # `  T )  =  ( N  + 
1 ) )  -> 
( 0..^ ( # `  T ) )  =  ( 0..^ ( N  +  1 ) ) )
3938ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( ( ( ( S  e.  V  /\  N  e. 
NN0 )  /\  ( T  e. Word  V  /\  ( # `
 T )  =  ( N  +  1 ) ) )  /\  i  e.  ( 0..^ N ) )  -> 
( 0..^ ( # `  T ) )  =  ( 0..^ ( N  +  1 ) ) )
4037, 39eleqtrrd 2551 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( ( ( ( S  e.  V  /\  N  e. 
NN0 )  /\  ( T  e. Word  V  /\  ( # `
 T )  =  ( N  +  1 ) ) )  /\  i  e.  ( 0..^ N ) )  -> 
( i  +  1 )  e.  ( 0..^ ( # `  T
) ) )
41 ccats1val1 12580 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( ( T  e. Word  V  /\  S  e.  V  /\  ( i  +  1 )  e.  ( 0..^ ( # `  T
) ) )  -> 
( ( T concat  <" S "> ) `  (
i  +  1 ) )  =  ( T `
 ( i  +  1 ) ) )
4221, 23, 40, 41syl3anc 1223 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( ( ( ( S  e.  V  /\  N  e. 
NN0 )  /\  ( T  e. Word  V  /\  ( # `
 T )  =  ( N  +  1 ) ) )  /\  i  e.  ( 0..^ N ) )  -> 
( ( T concat  <" S "> ) `  (
i  +  1 ) )  =  ( T `
 ( i  +  1 ) ) )
4342eqcomd 2468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( ( ( S  e.  V  /\  N  e. 
NN0 )  /\  ( T  e. Word  V  /\  ( # `
 T )  =  ( N  +  1 ) ) )  /\  i  e.  ( 0..^ N ) )  -> 
( T `  (
i  +  1 ) )  =  ( ( T concat  <" S "> ) `  ( i  +  1 ) ) )
4435, 43preq12d 4107 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( ( ( S  e.  V  /\  N  e. 
NN0 )  /\  ( T  e. Word  V  /\  ( # `
 T )  =  ( N  +  1 ) ) )  /\  i  e.  ( 0..^ N ) )  ->  { ( T `  i ) ,  ( T `  ( i  +  1 ) ) }  =  { ( ( T concat  <" S "> ) `  i
) ,  ( ( T concat  <" S "> ) `  ( i  +  1 ) ) } )
4544exp41 610 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( S  e.  V  ->  ( N  e.  NN0  ->  (
( T  e. Word  V  /\  ( # `  T
)  =  ( N  +  1 ) )  ->  ( i  e.  ( 0..^ N )  ->  { ( T `
 i ) ,  ( T `  (
i  +  1 ) ) }  =  {
( ( T concat  <" S "> ) `  i
) ,  ( ( T concat  <" S "> ) `  ( i  +  1 ) ) } ) ) ) )
4645adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( S  e.  V  /\  { ( lastS  `  T ) ,  S }  e.  ran  E )  ->  ( N  e.  NN0  ->  ( ( T  e. Word  V  /\  ( # `
 T )  =  ( N  +  1 ) )  ->  (
i  e.  ( 0..^ N )  ->  { ( T `  i ) ,  ( T `  ( i  +  1 ) ) }  =  { ( ( T concat  <" S "> ) `  i ) ,  ( ( T concat  <" S "> ) `  ( i  +  1 ) ) } ) ) ) )
4746impcom 430 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( S  e.  V  /\  { ( lastS  `  T
) ,  S }  e.  ran  E ) )  ->  ( ( T  e. Word  V  /\  ( # `
 T )  =  ( N  +  1 ) )  ->  (
i  e.  ( 0..^ N )  ->  { ( T `  i ) ,  ( T `  ( i  +  1 ) ) }  =  { ( ( T concat  <" S "> ) `  i ) ,  ( ( T concat  <" S "> ) `  ( i  +  1 ) ) } ) ) )
4847impcom 430 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( T  e. Word  V  /\  ( # `  T
)  =  ( N  +  1 ) )  /\  ( N  e. 
NN0  /\  ( S  e.  V  /\  { ( lastS  `  T ) ,  S }  e.  ran  E ) ) )  ->  (
i  e.  ( 0..^ N )  ->  { ( T `  i ) ,  ( T `  ( i  +  1 ) ) }  =  { ( ( T concat  <" S "> ) `  i ) ,  ( ( T concat  <" S "> ) `  ( i  +  1 ) ) } ) )
4948imp 429 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( T  e. Word  V  /\  ( # `  T
)  =  ( N  +  1 ) )  /\  ( N  e. 
NN0  /\  ( S  e.  V  /\  { ( lastS  `  T ) ,  S }  e.  ran  E ) ) )  /\  i  e.  ( 0..^ N ) )  ->  { ( T `  i ) ,  ( T `  ( i  +  1 ) ) }  =  { ( ( T concat  <" S "> ) `  i ) ,  ( ( T concat  <" S "> ) `  ( i  +  1 ) ) } )
5049eleq1d 2529 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( T  e. Word  V  /\  ( # `  T
)  =  ( N  +  1 ) )  /\  ( N  e. 
NN0  /\  ( S  e.  V  /\  { ( lastS  `  T ) ,  S }  e.  ran  E ) ) )  /\  i  e.  ( 0..^ N ) )  ->  ( {
( T `  i
) ,  ( T `
 ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  <->  { (
( T concat  <" S "> ) `  i
) ,  ( ( T concat  <" S "> ) `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E
) )
5150ralbidva 2893 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( T  e. Word  V  /\  ( # `  T
)  =  ( N  +  1 ) )  /\  ( N  e. 
NN0  /\  ( S  e.  V  /\  { ( lastS  `  T ) ,  S }  e.  ran  E ) ) )  ->  ( A. i  e.  (
0..^ N ) { ( T `  i
) ,  ( T `
 ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  <->  A. i  e.  ( 0..^ N ) { ( ( T concat  <" S "> ) `  i ) ,  ( ( T concat  <" S "> ) `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E
) )
5251biimpd 207 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( T  e. Word  V  /\  ( # `  T
)  =  ( N  +  1 ) )  /\  ( N  e. 
NN0  /\  ( S  e.  V  /\  { ( lastS  `  T ) ,  S }  e.  ran  E ) ) )  ->  ( A. i  e.  (
0..^ N ) { ( T `  i
) ,  ( T `
 ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  ->  A. i  e.  (
0..^ N ) { ( ( T concat  <" S "> ) `  i
) ,  ( ( T concat  <" S "> ) `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E
) )
5352ex 434 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( T  e. Word  V  /\  ( # `  T )  =  ( N  + 
1 ) )  -> 
( ( N  e. 
NN0  /\  ( S  e.  V  /\  { ( lastS  `  T ) ,  S }  e.  ran  E ) )  ->  ( A. i  e.  ( 0..^ N ) { ( T `  i ) ,  ( T `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  ->  A. i  e.  ( 0..^ N ) { ( ( T concat  <" S "> ) `  i ) ,  ( ( T concat  <" S "> ) `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E
) ) )
5453com23 78 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( T  e. Word  V  /\  ( # `  T )  =  ( N  + 
1 ) )  -> 
( A. i  e.  ( 0..^ N ) { ( T `  i ) ,  ( T `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  ->  ( ( N  e. 
NN0  /\  ( S  e.  V  /\  { ( lastS  `  T ) ,  S }  e.  ran  E ) )  ->  A. i  e.  ( 0..^ N ) { ( ( T concat  <" S "> ) `  i ) ,  ( ( T concat  <" S "> ) `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E
) ) )
55543impia 1188 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( T  e. Word  V  /\  ( # `  T )  =  ( N  + 
1 )  /\  A. i  e.  ( 0..^ N ) { ( T `  i ) ,  ( T `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E )  ->  (
( N  e.  NN0  /\  ( S  e.  V  /\  { ( lastS  `  T
) ,  S }  e.  ran  E ) )  ->  A. i  e.  ( 0..^ N ) { ( ( T concat  <" S "> ) `  i
) ,  ( ( T concat  <" S "> ) `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E
) )
5655imp 429 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( T  e. Word  V  /\  ( # `  T
)  =  ( N  +  1 )  /\  A. i  e.  ( 0..^ N ) { ( T `  i ) ,  ( T `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E )  /\  ( N  e.  NN0  /\  ( S  e.  V  /\  { ( lastS  `  T ) ,  S }  e.  ran  E ) ) )  ->  A. i  e.  (
0..^ N ) { ( ( T concat  <" S "> ) `  i
) ,  ( ( T concat  <" S "> ) `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E
)
57 oveq1 6282 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( (
# `  T )  =  ( N  + 
1 )  ->  (
( # `  T )  -  1 )  =  ( ( N  + 
1 )  -  1 ) )
5857ad2antll 728 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( ( S  e.  V  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( T  e. Word  V  /\  ( # `  T
)  =  ( N  +  1 ) ) )  ->  ( ( # `
 T )  - 
1 )  =  ( ( N  +  1 )  -  1 ) )
59 nn0cn 10794 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( N  e.  NN0  ->  N  e.  CC )
60 ax-1cn 9539 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  1  e.  CC
61 pncan 9815 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( ( N  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( N  + 
1 )  -  1 )  =  N )
6259, 60, 61sylancl 662 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( N  +  1 )  -  1 )  =  N )
6362ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( ( S  e.  V  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( T  e. Word  V  /\  ( # `  T
)  =  ( N  +  1 ) ) )  ->  ( ( N  +  1 )  -  1 )  =  N )
6458, 63eqtrd 2501 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( ( S  e.  V  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( T  e. Word  V  /\  ( # `  T
)  =  ( N  +  1 ) ) )  ->  ( ( # `
 T )  - 
1 )  =  N )
6564fveq2d 5861 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( ( S  e.  V  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( T  e. Word  V  /\  ( # `  T
)  =  ( N  +  1 ) ) )  ->  ( T `  ( ( # `  T
)  -  1 ) )  =  ( T `
 N ) )
66 lsw 12537 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( T  e. Word  V  ->  ( lastS  `  T )  =  ( T `  ( (
# `  T )  -  1 ) ) )
6766ad2antrl 727 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( ( S  e.  V  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( T  e. Word  V  /\  ( # `  T
)  =  ( N  +  1 ) ) )  ->  ( lastS  `  T
)  =  ( T `
 ( ( # `  T )  -  1 ) ) )
68 simprl 755 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( ( S  e.  V  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( T  e. Word  V  /\  ( # `  T
)  =  ( N  +  1 ) ) )  ->  T  e. Word  V )
69 fzonn0p1 11849 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( N  e.  NN0  ->  N  e.  ( 0..^ ( N  +  1 ) ) )
7069ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( ( S  e.  V  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( T  e. Word  V  /\  ( # `  T
)  =  ( N  +  1 ) ) )  ->  N  e.  ( 0..^ ( N  + 
1 ) ) )
7128eleq2d 2530 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( (
# `  T )  =  ( N  + 
1 )  ->  ( N  e.  ( 0..^ ( # `  T
) )  <->  N  e.  ( 0..^ ( N  + 
1 ) ) ) )
7271ad2antll 728 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( ( S  e.  V  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( T  e. Word  V  /\  ( # `  T
)  =  ( N  +  1 ) ) )  ->  ( N  e.  ( 0..^ ( # `  T ) )  <->  N  e.  ( 0..^ ( N  + 
1 ) ) ) )
7370, 72mpbird 232 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( ( S  e.  V  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( T  e. Word  V  /\  ( # `  T
)  =  ( N  +  1 ) ) )  ->  N  e.  ( 0..^ ( # `  T
) ) )
74 ccats1val1 12580 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( T  e. Word  V  /\  S  e.  V  /\  N  e.  ( 0..^ ( # `  T
) ) )  -> 
( ( T concat  <" S "> ) `  N
)  =  ( T `
 N ) )
7568, 22, 73, 74syl3anc 1223 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( ( S  e.  V  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( T  e. Word  V  /\  ( # `  T
)  =  ( N  +  1 ) ) )  ->  ( ( T concat  <" S "> ) `  N )  =  ( T `  N ) )
7665, 67, 753eqtr4d 2511 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( S  e.  V  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( T  e. Word  V  /\  ( # `  T
)  =  ( N  +  1 ) ) )  ->  ( lastS  `  T
)  =  ( ( T concat  <" S "> ) `  N ) )
77 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( ( T  e. Word  V  /\  ( # `  T )  =  ( N  + 
1 ) )  -> 
( # `  T )  =  ( N  + 
1 ) )
7877eqcomd 2468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( T  e. Word  V  /\  ( # `  T )  =  ( N  + 
1 ) )  -> 
( N  +  1 )  =  ( # `  T ) )
7978adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( ( S  e.  V  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( T  e. Word  V  /\  ( # `  T
)  =  ( N  +  1 ) ) )  ->  ( N  +  1 )  =  ( # `  T
) )
80 ccats1val2 12581 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( T  e. Word  V  /\  S  e.  V  /\  ( N  +  1
)  =  ( # `  T ) )  -> 
( ( T concat  <" S "> ) `  ( N  +  1 ) )  =  S )
8168, 22, 79, 80syl3anc 1223 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( ( S  e.  V  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( T  e. Word  V  /\  ( # `  T
)  =  ( N  +  1 ) ) )  ->  ( ( T concat  <" S "> ) `  ( N  +  1 ) )  =  S )
8281eqcomd 2468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( S  e.  V  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( T  e. Word  V  /\  ( # `  T
)  =  ( N  +  1 ) ) )  ->  S  =  ( ( T concat  <" S "> ) `  ( N  +  1 ) ) )
8376, 82preq12d 4107 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( S  e.  V  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( T  e. Word  V  /\  ( # `  T
)  =  ( N  +  1 ) ) )  ->  { ( lastS  `  T ) ,  S }  =  { (
( T concat  <" S "> ) `  N
) ,  ( ( T concat  <" S "> ) `  ( N  +  1 ) ) } )
8483eleq1d 2529 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( S  e.  V  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( T  e. Word  V  /\  ( # `  T
)  =  ( N  +  1 ) ) )  ->  ( {
( lastS  `  T ) ,  S }  e.  ran  E  <->  { ( ( T concat  <" S "> ) `  N ) ,  ( ( T concat  <" S "> ) `  ( N  +  1 ) ) }  e.  ran  E
) )
8584biimpcd 224 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( { ( lastS  `  T ) ,  S }  e.  ran  E  ->  ( ( ( S  e.  V  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( T  e. Word  V  /\  ( # `  T )  =  ( N  + 
1 ) ) )  ->  { ( ( T concat  <" S "> ) `  N ) ,  ( ( T concat  <" S "> ) `  ( N  +  1 ) ) }  e.  ran  E
) )
8685exp4c 608 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( { ( lastS  `  T ) ,  S }  e.  ran  E  ->  ( S  e.  V  ->  ( N  e.  NN0  ->  ( ( T  e. Word  V  /\  ( # `
 T )  =  ( N  +  1 ) )  ->  { ( ( T concat  <" S "> ) `  N
) ,  ( ( T concat  <" S "> ) `  ( N  +  1 ) ) }  e.  ran  E
) ) ) )
8786impcom 430 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( S  e.  V  /\  { ( lastS  `  T ) ,  S }  e.  ran  E )  ->  ( N  e.  NN0  ->  ( ( T  e. Word  V  /\  ( # `
 T )  =  ( N  +  1 ) )  ->  { ( ( T concat  <" S "> ) `  N
) ,  ( ( T concat  <" S "> ) `  ( N  +  1 ) ) }  e.  ran  E
) ) )
8887impcom 430 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( S  e.  V  /\  { ( lastS  `  T
) ,  S }  e.  ran  E ) )  ->  ( ( T  e. Word  V  /\  ( # `
 T )  =  ( N  +  1 ) )  ->  { ( ( T concat  <" S "> ) `  N
) ,  ( ( T concat  <" S "> ) `  ( N  +  1 ) ) }  e.  ran  E
) )
8988com12 31 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( T  e. Word  V  /\  ( # `  T )  =  ( N  + 
1 ) )  -> 
( ( N  e. 
NN0  /\  ( S  e.  V  /\  { ( lastS  `  T ) ,  S }  e.  ran  E ) )  ->  { (
( T concat  <" S "> ) `  N
) ,  ( ( T concat  <" S "> ) `  ( N  +  1 ) ) }  e.  ran  E
) )
90893adant3 1011 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( T  e. Word  V  /\  ( # `  T )  =  ( N  + 
1 )  /\  A. i  e.  ( 0..^ N ) { ( T `  i ) ,  ( T `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E )  ->  (
( N  e.  NN0  /\  ( S  e.  V  /\  { ( lastS  `  T
) ,  S }  e.  ran  E ) )  ->  { ( ( T concat  <" S "> ) `  N ) ,  ( ( T concat  <" S "> ) `  ( N  +  1 ) ) }  e.  ran  E
) )
9190imp 429 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( T  e. Word  V  /\  ( # `  T
)  =  ( N  +  1 )  /\  A. i  e.  ( 0..^ N ) { ( T `  i ) ,  ( T `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E )  /\  ( N  e.  NN0  /\  ( S  e.  V  /\  { ( lastS  `  T ) ,  S }  e.  ran  E ) ) )  ->  { ( ( T concat  <" S "> ) `  N ) ,  ( ( T concat  <" S "> ) `  ( N  +  1 ) ) }  e.  ran  E
)
92 fveq2 5857 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( i  =  N  ->  (
( T concat  <" S "> ) `  i
)  =  ( ( T concat  <" S "> ) `  N ) )
93 oveq1 6282 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( i  =  N  ->  (
i  +  1 )  =  ( N  + 
1 ) )
9493fveq2d 5861 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( i  =  N  ->  (
( T concat  <" S "> ) `  (
i  +  1 ) )  =  ( ( T concat  <" S "> ) `  ( N  +  1 ) ) )
9592, 94preq12d 4107 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( i  =  N  ->  { ( ( T concat  <" S "> ) `  i
) ,  ( ( T concat  <" S "> ) `  ( i  +  1 ) ) }  =  { ( ( T concat  <" S "> ) `  N
) ,  ( ( T concat  <" S "> ) `  ( N  +  1 ) ) } )
9695eleq1d 2529 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( i  =  N  ->  ( { ( ( T concat  <" S "> ) `  i ) ,  ( ( T concat  <" S "> ) `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  <->  { ( ( T concat  <" S "> ) `  N
) ,  ( ( T concat  <" S "> ) `  ( N  +  1 ) ) }  e.  ran  E
) )
9796ralsng 4055 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( A. i  e.  { N }  { ( ( T concat  <" S "> ) `  i ) ,  ( ( T concat  <" S "> ) `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  <->  { ( ( T concat  <" S "> ) `  N
) ,  ( ( T concat  <" S "> ) `  ( N  +  1 ) ) }  e.  ran  E
) )
9897ad2antrl 727 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( T  e. Word  V  /\  ( # `  T
)  =  ( N  +  1 )  /\  A. i  e.  ( 0..^ N ) { ( T `  i ) ,  ( T `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E )  /\  ( N  e.  NN0  /\  ( S  e.  V  /\  { ( lastS  `  T ) ,  S }  e.  ran  E ) ) )  -> 
( A. i  e. 
{ N }  {
( ( T concat  <" S "> ) `  i
) ,  ( ( T concat  <" S "> ) `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  <->  { ( ( T concat  <" S "> ) `  N
) ,  ( ( T concat  <" S "> ) `  ( N  +  1 ) ) }  e.  ran  E
) )
9991, 98mpbird 232 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( T  e. Word  V  /\  ( # `  T
)  =  ( N  +  1 )  /\  A. i  e.  ( 0..^ N ) { ( T `  i ) ,  ( T `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E )  /\  ( N  e.  NN0  /\  ( S  e.  V  /\  { ( lastS  `  T ) ,  S }  e.  ran  E ) ) )  ->  A. i  e.  { N }  { ( ( T concat  <" S "> ) `  i ) ,  ( ( T concat  <" S "> ) `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E
)
100 ralunb 3678 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( A. i  e.  ( (
0..^ N )  u. 
{ N } ) { ( ( T concat  <" S "> ) `  i ) ,  ( ( T concat  <" S "> ) `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  <->  ( A. i  e.  ( 0..^ N ) { ( ( T concat  <" S "> ) `  i
) ,  ( ( T concat  <" S "> ) `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  /\  A. i  e.  { N }  { (
( T concat  <" S "> ) `  i
) ,  ( ( T concat  <" S "> ) `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E
) )
10156, 99, 100sylanbrc 664 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( T  e. Word  V  /\  ( # `  T
)  =  ( N  +  1 )  /\  A. i  e.  ( 0..^ N ) { ( T `  i ) ,  ( T `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E )  /\  ( N  e.  NN0  /\  ( S  e.  V  /\  { ( lastS  `  T ) ,  S }  e.  ran  E ) ) )  ->  A. i  e.  (
( 0..^ N )  u.  { N }
) { ( ( T concat  <" S "> ) `  i ) ,  ( ( T concat  <" S "> ) `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E
)
102 elnn0uz 11108 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( N  e.  NN0  <->  N  e.  ( ZZ>=
`  0 ) )
103 eluzfz2 11683 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  0
)  ->  N  e.  ( 0 ... N
) )
104102, 103sylbi 195 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( N  e.  NN0  ->  N  e.  ( 0 ... N
) )
105 fzelp1 11721 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( N  e.  ( 0 ... N )  ->  N  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) )
106 fzosplit 11815 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( N  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) )  ->  (
0..^ ( N  + 
1 ) )  =  ( ( 0..^ N )  u.  ( N..^ ( N  +  1 ) ) ) )
107104, 105, 1063syl 20 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( 0..^ ( N  +  1 ) )  =  ( ( 0..^ N )  u.  ( N..^ ( N  +  1 ) ) ) )
108 nn0z 10876 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( N  e.  NN0  ->  N  e.  ZZ )
109 fzosn 11843 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( N  e.  ZZ  ->  ( N..^ ( N  +  1 ) )  =  { N } )
110108, 109syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( N..^ ( N  +  1 ) )  =  { N } )
111110uneq2d 3651 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( 0..^ N )  u.  ( N..^ ( N  +  1 ) ) )  =  ( ( 0..^ N )  u. 
{ N } ) )
112107, 111eqtrd 2501 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( 0..^ ( N  +  1 ) )  =  ( ( 0..^ N )  u.  { N }
) )
113112ad2antrl 727 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( T  e. Word  V  /\  ( # `  T
)  =  ( N  +  1 )  /\  A. i  e.  ( 0..^ N ) { ( T `  i ) ,  ( T `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E )  /\  ( N  e.  NN0  /\  ( S  e.  V  /\  { ( lastS  `  T ) ,  S }  e.  ran  E ) ) )  -> 
( 0..^ ( N  +  1 ) )  =  ( ( 0..^ N )  u.  { N } ) )
114113raleqdv 3057 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( T  e. Word  V  /\  ( # `  T
)  =  ( N  +  1 )  /\  A. i  e.  ( 0..^ N ) { ( T `  i ) ,  ( T `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E )  /\  ( N  e.  NN0  /\  ( S  e.  V  /\  { ( lastS  `  T ) ,  S }  e.  ran  E ) ) )  -> 
( A. i  e.  ( 0..^ ( N  +  1 ) ) { ( ( T concat  <" S "> ) `  i ) ,  ( ( T concat  <" S "> ) `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  <->  A. i  e.  ( ( 0..^ N )  u. 
{ N } ) { ( ( T concat  <" S "> ) `  i ) ,  ( ( T concat  <" S "> ) `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E
) )
115101, 114mpbird 232 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( T  e. Word  V  /\  ( # `  T
)  =  ( N  +  1 )  /\  A. i  e.  ( 0..^ N ) { ( T `  i ) ,  ( T `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E )  /\  ( N  e.  NN0  /\  ( S  e.  V  /\  { ( lastS  `  T ) ,  S }  e.  ran  E ) ) )  ->  A. i  e.  (
0..^ ( N  + 
1 ) ) { ( ( T concat  <" S "> ) `  i
) ,  ( ( T concat  <" S "> ) `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E
)
116 ccatlen 12546 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( T  e. Word  V  /\  <" S ">  e. Word  V )  ->  ( # `
 ( T concat  <" S "> ) )  =  ( ( # `  T
)  +  ( # `  <" S "> ) ) )
1173, 18, 116syl2an 477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( T  e. Word  V  /\  ( # `  T
)  =  ( N  +  1 )  /\  A. i  e.  ( 0..^ N ) { ( T `  i ) ,  ( T `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E )  /\  ( N  e.  NN0  /\  ( S  e.  V  /\  { ( lastS  `  T ) ,  S }  e.  ran  E ) ) )  -> 
( # `  ( T concat  <" S "> ) )  =  ( ( # `  T
)  +  ( # `  <" S "> ) ) )
118117oveq1d 6290 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( T  e. Word  V  /\  ( # `  T
)  =  ( N  +  1 )  /\  A. i  e.  ( 0..^ N ) { ( T `  i ) ,  ( T `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E )  /\  ( N  e.  NN0  /\  ( S  e.  V  /\  { ( lastS  `  T ) ,  S }  e.  ran  E ) ) )  -> 
( ( # `  ( T concat  <" S "> ) )  -  1 )  =  ( ( ( # `  T
)  +  ( # `  <" S "> ) )  -  1 ) )
119 simpl2 995 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( T  e. Word  V  /\  ( # `  T
)  =  ( N  +  1 )  /\  A. i  e.  ( 0..^ N ) { ( T `  i ) ,  ( T `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E )  /\  ( N  e.  NN0  /\  ( S  e.  V  /\  { ( lastS  `  T ) ,  S }  e.  ran  E ) ) )  -> 
( # `  T )  =  ( N  + 
1 ) )
120 s1len 12567 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( # `  <" S "> )  =  1
121120a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( T  e. Word  V  /\  ( # `  T
)  =  ( N  +  1 )  /\  A. i  e.  ( 0..^ N ) { ( T `  i ) ,  ( T `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E )  /\  ( N  e.  NN0  /\  ( S  e.  V  /\  { ( lastS  `  T ) ,  S }  e.  ran  E ) ) )  -> 
( # `  <" S "> )  =  1 )
122119, 121oveq12d 6293 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( T  e. Word  V  /\  ( # `  T
)  =  ( N  +  1 )  /\  A. i  e.  ( 0..^ N ) { ( T `  i ) ,  ( T `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E )  /\  ( N  e.  NN0  /\  ( S  e.  V  /\  { ( lastS  `  T ) ,  S }  e.  ran  E ) ) )  -> 
( ( # `  T
)  +  ( # `  <" S "> ) )  =  ( ( N  +  1 )  +  1 ) )
123122oveq1d 6290 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( T  e. Word  V  /\  ( # `  T
)  =  ( N  +  1 )  /\  A. i  e.  ( 0..^ N ) { ( T `  i ) ,  ( T `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E )  /\  ( N  e.  NN0  /\  ( S  e.  V  /\  { ( lastS  `  T ) ,  S }  e.  ran  E ) ) )  -> 
( ( ( # `  T )  +  (
# `  <" S "> ) )  - 
1 )  =  ( ( ( N  + 
1 )  +  1 )  -  1 ) )
124 peano2nn0 10825 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( N  +  1 )  e. 
NN0 )
125124nn0cnd 10843 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( N  +  1 )  e.  CC )
126 pncan 9815 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( N  +  1 )  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( ( N  +  1 )  +  1 )  -  1 )  =  ( N  +  1 ) )
127125, 60, 126sylancl 662 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( ( N  +  1 )  +  1 )  -  1 )  =  ( N  +  1 ) )
128127ad2antrl 727 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( T  e. Word  V  /\  ( # `  T
)  =  ( N  +  1 )  /\  A. i  e.  ( 0..^ N ) { ( T `  i ) ,  ( T `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E )  /\  ( N  e.  NN0  /\  ( S  e.  V  /\  { ( lastS  `  T ) ,  S }  e.  ran  E ) ) )  -> 
( ( ( N  +  1 )  +  1 )  -  1 )  =  ( N  +  1 ) )
129118, 123, 1283eqtrd 2505 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( T  e. Word  V  /\  ( # `  T
)  =  ( N  +  1 )  /\  A. i  e.  ( 0..^ N ) { ( T `  i ) ,  ( T `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E )  /\  ( N  e.  NN0  /\  ( S  e.  V  /\  { ( lastS  `  T ) ,  S }  e.  ran  E ) ) )  -> 
( ( # `  ( T concat  <" S "> ) )  -  1 )  =  ( N  +  1 ) )
130129oveq2d 6291 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( T  e. Word  V  /\  ( # `  T
)  =  ( N  +  1 )  /\  A. i  e.  ( 0..^ N ) { ( T `  i ) ,  ( T `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E )  /\  ( N  e.  NN0  /\  ( S  e.  V  /\  { ( lastS  `  T ) ,  S }  e.  ran  E ) ) )  -> 
( 0..^ ( (
# `  ( T concat  <" S "> ) )  -  1 ) )  =  ( 0..^ ( N  + 
1 ) ) )
131130raleqdv 3057 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( T  e. Word  V  /\  ( # `  T
)  =  ( N  +  1 )  /\  A. i  e.  ( 0..^ N ) { ( T `  i ) ,  ( T `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E )  /\  ( N  e.  NN0  /\  ( S  e.  V  /\  { ( lastS  `  T ) ,  S }  e.  ran  E ) ) )  -> 
( A. i  e.  ( 0..^ ( (
# `  ( T concat  <" S "> ) )  -  1 ) ) { ( ( T concat  <" S "> ) `  i
) ,  ( ( T concat  <" S "> ) `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  <->  A. i  e.  ( 0..^ ( N  +  1 ) ) { ( ( T concat  <" S "> ) `  i
) ,  ( ( T concat  <" S "> ) `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E
) )
132115, 131mpbird 232 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( T  e. Word  V  /\  ( # `  T
)  =  ( N  +  1 )  /\  A. i  e.  ( 0..^ N ) { ( T `  i ) ,  ( T `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E )  /\  ( N  e.  NN0  /\  ( S  e.  V  /\  { ( lastS  `  T ) ,  S }  e.  ran  E ) ) )  ->  A. i  e.  (
0..^ ( ( # `  ( T concat  <" S "> ) )  - 
1 ) ) { ( ( T concat  <" S "> ) `  i
) ,  ( ( T concat  <" S "> ) `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E
)
13316, 20, 1323jca 1171 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( T  e. Word  V  /\  ( # `  T
)  =  ( N  +  1 )  /\  A. i  e.  ( 0..^ N ) { ( T `  i ) ,  ( T `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E )  /\  ( N  e.  NN0  /\  ( S  e.  V  /\  { ( lastS  `  T ) ,  S }  e.  ran  E ) ) )  -> 
( ( T concat  <" S "> )  =/=  (/)  /\  ( T concat  <" S "> )  e. Word  V  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( ( # `  ( T concat  <" S "> ) )  -  1 ) ) { ( ( T concat  <" S "> ) `  i
) ,  ( ( T concat  <" S "> ) `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E
) )
134117, 122eqtrd 2501 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( T  e. Word  V  /\  ( # `  T
)  =  ( N  +  1 )  /\  A. i  e.  ( 0..^ N ) { ( T `  i ) ,  ( T `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E )  /\  ( N  e.  NN0  /\  ( S  e.  V  /\  { ( lastS  `  T ) ,  S }  e.  ran  E ) ) )  -> 
( # `  ( T concat  <" S "> ) )  =  ( ( N  +  1 )  +  1 ) )
135133, 134jca 532 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( T  e. Word  V  /\  ( # `  T
)  =  ( N  +  1 )  /\  A. i  e.  ( 0..^ N ) { ( T `  i ) ,  ( T `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E )  /\  ( N  e.  NN0  /\  ( S  e.  V  /\  { ( lastS  `  T ) ,  S }  e.  ran  E ) ) )  -> 
( ( ( T concat  <" S "> )  =/=  (/)  /\  ( T concat  <" S "> )  e. Word  V  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( ( # `  ( T concat  <" S "> ) )  -  1 ) ) { ( ( T concat  <" S "> ) `  i
) ,  ( ( T concat  <" S "> ) `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E
)  /\  ( # `  ( T concat  <" S "> ) )  =  ( ( N  +  1 )  +  1 ) ) )
136135ex 434 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( T  e. Word  V  /\  ( # `  T )  =  ( N  + 
1 )  /\  A. i  e.  ( 0..^ N ) { ( T `  i ) ,  ( T `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E )  ->  (
( N  e.  NN0  /\  ( S  e.  V  /\  { ( lastS  `  T
) ,  S }  e.  ran  E ) )  ->  ( ( ( T concat  <" S "> )  =/=  (/)  /\  ( T concat  <" S "> )  e. Word  V  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( ( # `  ( T concat  <" S "> ) )  -  1 ) ) { ( ( T concat  <" S "> ) `  i
) ,  ( ( T concat  <" S "> ) `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E
)  /\  ( # `  ( T concat  <" S "> ) )  =  ( ( N  +  1 )  +  1 ) ) ) )
1372, 136syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( T  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  N
)  ->  ( ( N  e.  NN0  /\  ( S  e.  V  /\  { ( lastS  `  T ) ,  S }  e.  ran  E ) )  ->  (
( ( T concat  <" S "> )  =/=  (/)  /\  ( T concat  <" S "> )  e. Word  V  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( ( # `  ( T concat  <" S "> ) )  -  1 ) ) { ( ( T concat  <" S "> ) `  i
) ,  ( ( T concat  <" S "> ) `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E
)  /\  ( # `  ( T concat  <" S "> ) )  =  ( ( N  +  1 )  +  1 ) ) ) )
138137expd 436 . . . . . . . . . 10  |-  ( T  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  N
)  ->  ( N  e.  NN0  ->  ( ( S  e.  V  /\  { ( lastS  `  T ) ,  S }  e.  ran  E )  ->  ( (
( T concat  <" S "> )  =/=  (/)  /\  ( T concat  <" S "> )  e. Word  V  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( ( # `  ( T concat  <" S "> ) )  -  1 ) ) { ( ( T concat  <" S "> ) `  i
) ,  ( ( T concat  <" S "> ) `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E
)  /\  ( # `  ( T concat  <" S "> ) )  =  ( ( N  +  1 )  +  1 ) ) ) ) )
139138com12 31 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( T  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  N
)  ->  ( ( S  e.  V  /\  { ( lastS  `  T ) ,  S }  e.  ran  E )  ->  ( (
( T concat  <" S "> )  =/=  (/)  /\  ( T concat  <" S "> )  e. Word  V  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( ( # `  ( T concat  <" S "> ) )  -  1 ) ) { ( ( T concat  <" S "> ) `  i
) ,  ( ( T concat  <" S "> ) `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E
)  /\  ( # `  ( T concat  <" S "> ) )  =  ( ( N  +  1 )  +  1 ) ) ) ) )
1401393ad2ant3 1014 . . . . . . . 8  |-  ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V  /\  N  e.  NN0 )  ->  ( T  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  N
)  ->  ( ( S  e.  V  /\  { ( lastS  `  T ) ,  S }  e.  ran  E )  ->  ( (
( T concat  <" S "> )  =/=  (/)  /\  ( T concat  <" S "> )  e. Word  V  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( ( # `  ( T concat  <" S "> ) )  -  1 ) ) { ( ( T concat  <" S "> ) `  i
) ,  ( ( T concat  <" S "> ) `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E
)  /\  ( # `  ( T concat  <" S "> ) )  =  ( ( N  +  1 )  +  1 ) ) ) ) )
141140imp 429 . . . . . . 7  |-  ( ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V  /\  N  e.  NN0 )  /\  T  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  N
) )  ->  (
( S  e.  V  /\  { ( lastS  `  T
) ,  S }  e.  ran  E )  -> 
( ( ( T concat  <" S "> )  =/=  (/)  /\  ( T concat  <" S "> )  e. Word  V  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( ( # `  ( T concat  <" S "> ) )  -  1 ) ) { ( ( T concat  <" S "> ) `  i
) ,  ( ( T concat  <" S "> ) `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E
)  /\  ( # `  ( T concat  <" S "> ) )  =  ( ( N  +  1 )  +  1 ) ) ) )
142 iswwlkn 24346 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V  /\  ( N  +  1 )  e.  NN0 )  -> 
( ( T concat  <" S "> )  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  ( N  +  1 ) )  <->  ( ( T concat  <" S "> )  e.  ( V WWalks  E )  /\  ( # `
 ( T concat  <" S "> ) )  =  ( ( N  + 
1 )  +  1 ) ) ) )
143124, 142syl3an3 1258 . . . . . . . . 9  |-  ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V  /\  N  e.  NN0 )  ->  (
( T concat  <" S "> )  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  ( N  +  1 ) )  <->  ( ( T concat  <" S "> )  e.  ( V WWalks  E )  /\  ( # `
 ( T concat  <" S "> ) )  =  ( ( N  + 
1 )  +  1 ) ) ) )
144 iswwlk 24345 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  ->  ( ( T concat  <" S "> )  e.  ( V WWalks  E )  <->  ( ( T concat  <" S "> )  =/=  (/)  /\  ( T concat  <" S "> )  e. Word  V  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( ( # `  ( T concat  <" S "> ) )  -  1 ) ) { ( ( T concat  <" S "> ) `  i
) ,  ( ( T concat  <" S "> ) `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E
) ) )
145144anbi1d 704 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  ->  ( ( ( T concat  <" S "> )  e.  ( V WWalks  E )  /\  ( # `  ( T concat  <" S "> ) )  =  ( ( N  + 
1 )  +  1 ) )  <->  ( (
( T concat  <" S "> )  =/=  (/)  /\  ( T concat  <" S "> )  e. Word  V  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( ( # `  ( T concat  <" S "> ) )  -  1 ) ) { ( ( T concat  <" S "> ) `  i
) ,  ( ( T concat  <" S "> ) `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E
)  /\  ( # `  ( T concat  <" S "> ) )  =  ( ( N  +  1 )  +  1 ) ) ) )
1461453adant3 1011 . . . . . . . . 9  |-  ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V  /\  N  e.  NN0 )  ->  (
( ( T concat  <" S "> )  e.  ( V WWalks  E )  /\  ( # `  ( T concat  <" S "> ) )  =  ( ( N  +  1 )  +  1 ) )  <->  ( ( ( T concat  <" S "> )  =/=  (/)  /\  ( T concat  <" S "> )  e. Word  V  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( ( # `  ( T concat  <" S "> ) )  -  1 ) ) { ( ( T concat  <" S "> ) `  i
) ,  ( ( T concat  <" S "> ) `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E
)  /\  ( # `  ( T concat  <" S "> ) )  =  ( ( N  +  1 )  +  1 ) ) ) )
147143, 146bitrd 253 . . . . . . . 8  |-  ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V  /\  N  e.  NN0 )  ->  (
( T concat  <" S "> )  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  ( N  +  1 ) )  <->  ( (
( T concat  <" S "> )  =/=  (/)  /\  ( T concat  <" S "> )  e. Word  V  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( ( # `  ( T concat  <" S "> ) )  -  1 ) ) { ( ( T concat  <" S "> ) `  i
) ,  ( ( T concat  <" S "> ) `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E
)  /\  ( # `  ( T concat  <" S "> ) )  =  ( ( N  +  1 )  +  1 ) ) ) )
148147adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V  /\  N  e.  NN0 )  /\  T  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  N
) )  ->  (
( T concat  <" S "> )  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  ( N  +  1 ) )  <->  ( (
( T concat  <" S "> )  =/=  (/)  /\  ( T concat  <" S "> )  e. Word  V  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( ( # `  ( T concat  <" S "> ) )  -  1 ) ) { ( ( T concat  <" S "> ) `  i
) ,  ( ( T concat  <" S "> ) `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E
)  /\  ( # `  ( T concat  <" S "> ) )  =  ( ( N  +  1 )  +  1 ) ) ) )
149141, 148sylibrd 234 . . . . . 6  |-  ( ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V  /\  N  e.  NN0 )  /\  T  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  N
) )  ->  (
( S  e.  V  /\  { ( lastS  `  T
) ,  S }  e.  ran  E )  -> 
( T concat  <" S "> )  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  ( N  +  1 ) ) ) )
150149ex 434 . . . . 5  |-  ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V  /\  N  e.  NN0 )  ->  ( T  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  N
)  ->  ( ( S  e.  V  /\  { ( lastS  `  T ) ,  S }  e.  ran  E )  ->  ( T concat  <" S "> )  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  ( N  +  1 ) ) ) ) )
1511503expa 1191 . . . 4  |-  ( ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  N  e.  NN0 )  ->  ( T  e.  ( ( V WWalksN  E
) `  N )  ->  ( ( S  e.  V  /\  { ( lastS  `  T ) ,  S }  e.  ran  E )  ->  ( T concat  <" S "> )  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  ( N  +  1 ) ) ) ) )
152151adantrr 716 . . 3  |-  ( ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( N  e.  NN0  /\  T  e. Word  V ) )  ->  ( T  e.  ( ( V WWalksN  E
) `  N )  ->  ( ( S  e.  V  /\  { ( lastS  `  T ) ,  S }  e.  ran  E )  ->  ( T concat  <" S "> )  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  ( N  +  1 ) ) ) ) )
1531, 152mpcom 36 . 2  |-  ( T  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  N
)  ->  ( ( S  e.  V  /\  { ( lastS  `  T ) ,  S }  e.  ran  E )  ->  ( T concat  <" S "> )  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  ( N  +  1 ) ) ) )
1541533impib 1189 1  |-  ( ( T  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  N
)  /\  S  e.  V  /\  { ( lastS  `  T
) ,  S }  e.  ran  E )  -> 
( T concat  <" S "> )  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  ( N  +  1 ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 968    = wceq 1374    e. wcel 1762    =/= wne 2655   A.wral 2807   _Vcvv 3106    u. cun 3467   (/)c0 3778   {csn 4020   {cpr 4022   <.cop 4026   ran crn 4993   ` cfv 5579  (class class class)co 6275   CCcc 9479   0cc0 9481   1c1 9482    + caddc 9484    - cmin 9794   NN0cn0 10784   ZZcz 10853   ZZ>=cuz 11071   ...cfz 11661  ..^cfzo 11781   #chash 12360  Word cword 12487   lastS clsw 12488   concat cconcat 12489   <"cs1 12490   WWalks cwwlk 24339   WWalksN cwwlkn 24340
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1961  ax-ext 2438  ax-rep 4551  ax-sep 4561  ax-nul 4569  ax-pow 4618  ax-pr 4679  ax-un 6567  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2446  df-cleq 2452  df-clel 2455  df-nfc 2610  df-ne 2657  df-nel 2658  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3429  df-dif 3472  df-un 3474  df-in 3476  df-ss 3483  df-pss 3485  df-nul 3779  df-if 3933  df-pw 4005  df-sn 4021  df-pr 4023  df-tp 4025  df-op 4027  df-uni 4239  df-int 4276  df-iun 4320  df-br 4441  df-opab 4499  df-mpt 4500  df-tr 4534  df-eprel 4784  df-id 4788  df-po 4793  df-so 4794  df-fr 4831  df-we 4833  df-ord 4874  df-on 4875  df-lim 4876  df-suc 4877  df-xp 4998  df-rel 4999  df-cnv 5000  df-co 5001  df-dm 5002  df-rn 5003  df-res 5004  df-ima 5005  df-iota 5542  df-fun 5581  df-fn 5582  df-f 5583  df-f1 5584  df-fo 5585  df-f1o 5586  df-fv 5587  df-riota 6236  df-ov 6278  df-oprab 6279  df-mpt2 6280  df-om 6672  df-1st 6774  df-2nd 6775  df-recs 7032  df-rdg 7066  df-1o 7120  df-oadd 7124  df-er 7301  df-map 7412  df-pm 7413  df-en 7507  df-dom 7508  df-sdom 7509  df-fin 7510  df-card 8309  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9796  df-neg 9797  df-nn 10526  df-n0 10785  df-z 10854  df-uz 11072  df-fz 11662  df-fzo 11782  df-hash 12361  df-word 12495  df-lsw 12496  df-concat 12497  df-s1 12498  df-wwlk 24341  df-wwlkn 24342
This theorem is referenced by:  wwlknextbi  24387  wwlkextsur  24393
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