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Theorem wwlknext 30480
Description: Extension of a walk (as word) by adding an edge/vertex. (Contributed by Alexander van der Vekens, 4-Aug-2018.)
Assertion
Ref Expression
wwlknext  |-  ( ( T  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  N
)  /\  S  e.  V  /\  { ( lastS  `  T
) ,  S }  e.  ran  E )  -> 
( T concat  <" S "> )  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  ( N  +  1 ) ) )

Proof of Theorem wwlknext
Dummy variable  i is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 wwlknprop 30444 . . 3  |-  ( T  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  N
)  ->  ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( N  e.  NN0  /\  T  e. Word  V ) ) )
2 wwlknimp 30445 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( T  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  N
)  ->  ( T  e. Word  V  /\  ( # `  T )  =  ( N  +  1 )  /\  A. i  e.  ( 0..^ N ) { ( T `  i ) ,  ( T `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E
) )
3 simp1 988 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( T  e. Word  V  /\  ( # `  T )  =  ( N  + 
1 )  /\  A. i  e.  ( 0..^ N ) { ( T `  i ) ,  ( T `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E )  ->  T  e. Word  V )
4 simprl 755 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( S  e.  V  /\  { ( lastS  `  T
) ,  S }  e.  ran  E ) )  ->  S  e.  V
)
5 cats1un 12458 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( T  e. Word  V  /\  S  e.  V )  ->  ( T concat  <" S "> )  =  ( T  u.  { <. (
# `  T ) ,  S >. } ) )
63, 4, 5syl2an 477 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( T  e. Word  V  /\  ( # `  T
)  =  ( N  +  1 )  /\  A. i  e.  ( 0..^ N ) { ( T `  i ) ,  ( T `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E )  /\  ( N  e.  NN0  /\  ( S  e.  V  /\  { ( lastS  `  T ) ,  S }  e.  ran  E ) ) )  -> 
( T concat  <" S "> )  =  ( T  u.  { <. (
# `  T ) ,  S >. } ) )
7 opex 4640 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  <. ( # `
 T ) ,  S >.  e.  _V
87snnz 4077 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  { <. (
# `  T ) ,  S >. }  =/=  (/)
98neii 2645 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  -.  { <. ( # `  T
) ,  S >. }  =  (/)
109intnan 905 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  -.  ( T  =  (/)  /\  { <. ( # `  T
) ,  S >. }  =  (/) )
11 df-ne 2643 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( T  u.  { <. (
# `  T ) ,  S >. } )  =/=  (/) 
<->  -.  ( T  u.  {
<. ( # `  T
) ,  S >. } )  =  (/) )
12 un00 3798 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( T  =  (/)  /\  { <. ( # `  T
) ,  S >. }  =  (/) )  <->  ( T  u.  { <. ( # `  T
) ,  S >. } )  =  (/) )
1311, 12xchbinxr 311 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( T  u.  { <. (
# `  T ) ,  S >. } )  =/=  (/) 
<->  -.  ( T  =  (/)  /\  { <. ( # `
 T ) ,  S >. }  =  (/) ) )
1410, 13mpbir 209 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( T  u.  { <. ( # `
 T ) ,  S >. } )  =/=  (/)
1514a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( T  e. Word  V  /\  ( # `  T
)  =  ( N  +  1 )  /\  A. i  e.  ( 0..^ N ) { ( T `  i ) ,  ( T `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E )  /\  ( N  e.  NN0  /\  ( S  e.  V  /\  { ( lastS  `  T ) ,  S }  e.  ran  E ) ) )  -> 
( T  u.  { <. ( # `  T
) ,  S >. } )  =/=  (/) )
166, 15eqnetrd 2738 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( T  e. Word  V  /\  ( # `  T
)  =  ( N  +  1 )  /\  A. i  e.  ( 0..^ N ) { ( T `  i ) ,  ( T `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E )  /\  ( N  e.  NN0  /\  ( S  e.  V  /\  { ( lastS  `  T ) ,  S }  e.  ran  E ) ) )  -> 
( T concat  <" S "> )  =/=  (/) )
17 s1cl 12381 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( S  e.  V  ->  <" S ">  e. Word  V )
1817ad2antrl 727 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( S  e.  V  /\  { ( lastS  `  T
) ,  S }  e.  ran  E ) )  ->  <" S ">  e. Word  V )
19 ccatcl 12362 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( T  e. Word  V  /\  <" S ">  e. Word  V )  ->  ( T concat  <" S "> )  e. Word  V )
203, 18, 19syl2an 477 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( T  e. Word  V  /\  ( # `  T
)  =  ( N  +  1 )  /\  A. i  e.  ( 0..^ N ) { ( T `  i ) ,  ( T `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E )  /\  ( N  e.  NN0  /\  ( S  e.  V  /\  { ( lastS  `  T ) ,  S }  e.  ran  E ) ) )  -> 
( T concat  <" S "> )  e. Word  V
)
21 simplrl 759 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( ( ( ( S  e.  V  /\  N  e. 
NN0 )  /\  ( T  e. Word  V  /\  ( # `
 T )  =  ( N  +  1 ) ) )  /\  i  e.  ( 0..^ N ) )  ->  T  e. Word  V )
22 simpll 753 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( ( ( S  e.  V  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( T  e. Word  V  /\  ( # `  T
)  =  ( N  +  1 ) ) )  ->  S  e.  V )
2322adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( ( ( ( S  e.  V  /\  N  e. 
NN0 )  /\  ( T  e. Word  V  /\  ( # `
 T )  =  ( N  +  1 ) ) )  /\  i  e.  ( 0..^ N ) )  ->  S  e.  V )
24 fzossfzop1 11697 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( 0..^ N )  C_  (
0..^ ( N  + 
1 ) ) )
2524sseld 3439 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( i  e.  ( 0..^ N )  ->  i  e.  ( 0..^ ( N  + 
1 ) ) ) )
2625ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35  |-  ( ( ( S  e.  V  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( T  e. Word  V  /\  ( # `  T
)  =  ( N  +  1 ) ) )  ->  ( i  e.  ( 0..^ N )  ->  i  e.  ( 0..^ ( N  + 
1 ) ) ) )
2726imp 429 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( ( ( ( S  e.  V  /\  N  e. 
NN0 )  /\  ( T  e. Word  V  /\  ( # `
 T )  =  ( N  +  1 ) ) )  /\  i  e.  ( 0..^ N ) )  -> 
i  e.  ( 0..^ ( N  +  1 ) ) )
28 oveq2 6184 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37  |-  ( (
# `  T )  =  ( N  + 
1 )  ->  (
0..^ ( # `  T
) )  =  ( 0..^ ( N  + 
1 ) ) )
2928eleq2d 2519 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36  |-  ( (
# `  T )  =  ( N  + 
1 )  ->  (
i  e.  ( 0..^ ( # `  T
) )  <->  i  e.  ( 0..^ ( N  + 
1 ) ) ) )
3029adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35  |-  ( ( T  e. Word  V  /\  ( # `  T )  =  ( N  + 
1 ) )  -> 
( i  e.  ( 0..^ ( # `  T
) )  <->  i  e.  ( 0..^ ( N  + 
1 ) ) ) )
3130ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( ( ( ( S  e.  V  /\  N  e. 
NN0 )  /\  ( T  e. Word  V  /\  ( # `
 T )  =  ( N  +  1 ) ) )  /\  i  e.  ( 0..^ N ) )  -> 
( i  e.  ( 0..^ ( # `  T
) )  <->  i  e.  ( 0..^ ( N  + 
1 ) ) ) )
3227, 31mpbird 232 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( ( ( ( S  e.  V  /\  N  e. 
NN0 )  /\  ( T  e. Word  V  /\  ( # `
 T )  =  ( N  +  1 ) ) )  /\  i  e.  ( 0..^ N ) )  -> 
i  e.  ( 0..^ ( # `  T
) ) )
33 ccats1val1 12394 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( ( T  e. Word  V  /\  S  e.  V  /\  i  e.  ( 0..^ ( # `  T
) ) )  -> 
( ( T concat  <" S "> ) `  i
)  =  ( T `
 i ) )
3421, 23, 32, 33syl3anc 1219 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( ( ( ( S  e.  V  /\  N  e. 
NN0 )  /\  ( T  e. Word  V  /\  ( # `
 T )  =  ( N  +  1 ) ) )  /\  i  e.  ( 0..^ N ) )  -> 
( ( T concat  <" S "> ) `  i
)  =  ( T `
 i ) )
3534eqcomd 2457 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( ( ( S  e.  V  /\  N  e. 
NN0 )  /\  ( T  e. Word  V  /\  ( # `
 T )  =  ( N  +  1 ) ) )  /\  i  e.  ( 0..^ N ) )  -> 
( T `  i
)  =  ( ( T concat  <" S "> ) `  i ) )
36 fzonn0p1p1 30340 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35  |-  ( i  e.  ( 0..^ N )  ->  ( i  +  1 )  e.  ( 0..^ ( N  +  1 ) ) )
3736adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( ( ( ( S  e.  V  /\  N  e. 
NN0 )  /\  ( T  e. Word  V  /\  ( # `
 T )  =  ( N  +  1 ) ) )  /\  i  e.  ( 0..^ N ) )  -> 
( i  +  1 )  e.  ( 0..^ ( N  +  1 ) ) )
3828adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35  |-  ( ( T  e. Word  V  /\  ( # `  T )  =  ( N  + 
1 ) )  -> 
( 0..^ ( # `  T ) )  =  ( 0..^ ( N  +  1 ) ) )
3938ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( ( ( ( S  e.  V  /\  N  e. 
NN0 )  /\  ( T  e. Word  V  /\  ( # `
 T )  =  ( N  +  1 ) ) )  /\  i  e.  ( 0..^ N ) )  -> 
( 0..^ ( # `  T ) )  =  ( 0..^ ( N  +  1 ) ) )
4037, 39eleqtrrd 2539 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( ( ( ( S  e.  V  /\  N  e. 
NN0 )  /\  ( T  e. Word  V  /\  ( # `
 T )  =  ( N  +  1 ) ) )  /\  i  e.  ( 0..^ N ) )  -> 
( i  +  1 )  e.  ( 0..^ ( # `  T
) ) )
41 ccats1val1 12394 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( ( T  e. Word  V  /\  S  e.  V  /\  ( i  +  1 )  e.  ( 0..^ ( # `  T
) ) )  -> 
( ( T concat  <" S "> ) `  (
i  +  1 ) )  =  ( T `
 ( i  +  1 ) ) )
4221, 23, 40, 41syl3anc 1219 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( ( ( ( S  e.  V  /\  N  e. 
NN0 )  /\  ( T  e. Word  V  /\  ( # `
 T )  =  ( N  +  1 ) ) )  /\  i  e.  ( 0..^ N ) )  -> 
( ( T concat  <" S "> ) `  (
i  +  1 ) )  =  ( T `
 ( i  +  1 ) ) )
4342eqcomd 2457 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( ( ( S  e.  V  /\  N  e. 
NN0 )  /\  ( T  e. Word  V  /\  ( # `
 T )  =  ( N  +  1 ) ) )  /\  i  e.  ( 0..^ N ) )  -> 
( T `  (
i  +  1 ) )  =  ( ( T concat  <" S "> ) `  ( i  +  1 ) ) )
4435, 43preq12d 4046 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( ( ( S  e.  V  /\  N  e. 
NN0 )  /\  ( T  e. Word  V  /\  ( # `
 T )  =  ( N  +  1 ) ) )  /\  i  e.  ( 0..^ N ) )  ->  { ( T `  i ) ,  ( T `  ( i  +  1 ) ) }  =  { ( ( T concat  <" S "> ) `  i
) ,  ( ( T concat  <" S "> ) `  ( i  +  1 ) ) } )
4544exp41 610 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( S  e.  V  ->  ( N  e.  NN0  ->  (
( T  e. Word  V  /\  ( # `  T
)  =  ( N  +  1 ) )  ->  ( i  e.  ( 0..^ N )  ->  { ( T `
 i ) ,  ( T `  (
i  +  1 ) ) }  =  {
( ( T concat  <" S "> ) `  i
) ,  ( ( T concat  <" S "> ) `  ( i  +  1 ) ) } ) ) ) )
4645adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( S  e.  V  /\  { ( lastS  `  T ) ,  S }  e.  ran  E )  ->  ( N  e.  NN0  ->  ( ( T  e. Word  V  /\  ( # `
 T )  =  ( N  +  1 ) )  ->  (
i  e.  ( 0..^ N )  ->  { ( T `  i ) ,  ( T `  ( i  +  1 ) ) }  =  { ( ( T concat  <" S "> ) `  i ) ,  ( ( T concat  <" S "> ) `  ( i  +  1 ) ) } ) ) ) )
4746impcom 430 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( S  e.  V  /\  { ( lastS  `  T
) ,  S }  e.  ran  E ) )  ->  ( ( T  e. Word  V  /\  ( # `
 T )  =  ( N  +  1 ) )  ->  (
i  e.  ( 0..^ N )  ->  { ( T `  i ) ,  ( T `  ( i  +  1 ) ) }  =  { ( ( T concat  <" S "> ) `  i ) ,  ( ( T concat  <" S "> ) `  ( i  +  1 ) ) } ) ) )
4847impcom 430 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( T  e. Word  V  /\  ( # `  T
)  =  ( N  +  1 ) )  /\  ( N  e. 
NN0  /\  ( S  e.  V  /\  { ( lastS  `  T ) ,  S }  e.  ran  E ) ) )  ->  (
i  e.  ( 0..^ N )  ->  { ( T `  i ) ,  ( T `  ( i  +  1 ) ) }  =  { ( ( T concat  <" S "> ) `  i ) ,  ( ( T concat  <" S "> ) `  ( i  +  1 ) ) } ) )
4948imp 429 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( T  e. Word  V  /\  ( # `  T
)  =  ( N  +  1 ) )  /\  ( N  e. 
NN0  /\  ( S  e.  V  /\  { ( lastS  `  T ) ,  S }  e.  ran  E ) ) )  /\  i  e.  ( 0..^ N ) )  ->  { ( T `  i ) ,  ( T `  ( i  +  1 ) ) }  =  { ( ( T concat  <" S "> ) `  i ) ,  ( ( T concat  <" S "> ) `  ( i  +  1 ) ) } )
5049eleq1d 2518 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( T  e. Word  V  /\  ( # `  T
)  =  ( N  +  1 ) )  /\  ( N  e. 
NN0  /\  ( S  e.  V  /\  { ( lastS  `  T ) ,  S }  e.  ran  E ) ) )  /\  i  e.  ( 0..^ N ) )  ->  ( {
( T `  i
) ,  ( T `
 ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  <->  { (
( T concat  <" S "> ) `  i
) ,  ( ( T concat  <" S "> ) `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E
) )
5150ralbidva 2811 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( T  e. Word  V  /\  ( # `  T
)  =  ( N  +  1 ) )  /\  ( N  e. 
NN0  /\  ( S  e.  V  /\  { ( lastS  `  T ) ,  S }  e.  ran  E ) ) )  ->  ( A. i  e.  (
0..^ N ) { ( T `  i
) ,  ( T `
 ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  <->  A. i  e.  ( 0..^ N ) { ( ( T concat  <" S "> ) `  i ) ,  ( ( T concat  <" S "> ) `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E
) )
5251biimpd 207 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( T  e. Word  V  /\  ( # `  T
)  =  ( N  +  1 ) )  /\  ( N  e. 
NN0  /\  ( S  e.  V  /\  { ( lastS  `  T ) ,  S }  e.  ran  E ) ) )  ->  ( A. i  e.  (
0..^ N ) { ( T `  i
) ,  ( T `
 ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  ->  A. i  e.  (
0..^ N ) { ( ( T concat  <" S "> ) `  i
) ,  ( ( T concat  <" S "> ) `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E
) )
5352ex 434 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( T  e. Word  V  /\  ( # `  T )  =  ( N  + 
1 ) )  -> 
( ( N  e. 
NN0  /\  ( S  e.  V  /\  { ( lastS  `  T ) ,  S }  e.  ran  E ) )  ->  ( A. i  e.  ( 0..^ N ) { ( T `  i ) ,  ( T `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  ->  A. i  e.  ( 0..^ N ) { ( ( T concat  <" S "> ) `  i ) ,  ( ( T concat  <" S "> ) `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E
) ) )
5453com23 78 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( T  e. Word  V  /\  ( # `  T )  =  ( N  + 
1 ) )  -> 
( A. i  e.  ( 0..^ N ) { ( T `  i ) ,  ( T `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  ->  ( ( N  e. 
NN0  /\  ( S  e.  V  /\  { ( lastS  `  T ) ,  S }  e.  ran  E ) )  ->  A. i  e.  ( 0..^ N ) { ( ( T concat  <" S "> ) `  i ) ,  ( ( T concat  <" S "> ) `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E
) ) )
55543impia 1185 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( T  e. Word  V  /\  ( # `  T )  =  ( N  + 
1 )  /\  A. i  e.  ( 0..^ N ) { ( T `  i ) ,  ( T `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E )  ->  (
( N  e.  NN0  /\  ( S  e.  V  /\  { ( lastS  `  T
) ,  S }  e.  ran  E ) )  ->  A. i  e.  ( 0..^ N ) { ( ( T concat  <" S "> ) `  i
) ,  ( ( T concat  <" S "> ) `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E
) )
5655imp 429 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( T  e. Word  V  /\  ( # `  T
)  =  ( N  +  1 )  /\  A. i  e.  ( 0..^ N ) { ( T `  i ) ,  ( T `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E )  /\  ( N  e.  NN0  /\  ( S  e.  V  /\  { ( lastS  `  T ) ,  S }  e.  ran  E ) ) )  ->  A. i  e.  (
0..^ N ) { ( ( T concat  <" S "> ) `  i
) ,  ( ( T concat  <" S "> ) `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E
)
57 oveq1 6183 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( (
# `  T )  =  ( N  + 
1 )  ->  (
( # `  T )  -  1 )  =  ( ( N  + 
1 )  -  1 ) )
5857ad2antll 728 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( ( S  e.  V  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( T  e. Word  V  /\  ( # `  T
)  =  ( N  +  1 ) ) )  ->  ( ( # `
 T )  - 
1 )  =  ( ( N  +  1 )  -  1 ) )
59 nn0cn 10676 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( N  e.  NN0  ->  N  e.  CC )
60 ax-1cn 9427 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  1  e.  CC
61 pncan 9703 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( ( N  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( N  + 
1 )  -  1 )  =  N )
6259, 60, 61sylancl 662 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( N  +  1 )  -  1 )  =  N )
6362ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( ( S  e.  V  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( T  e. Word  V  /\  ( # `  T
)  =  ( N  +  1 ) ) )  ->  ( ( N  +  1 )  -  1 )  =  N )
6458, 63eqtrd 2490 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( ( S  e.  V  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( T  e. Word  V  /\  ( # `  T
)  =  ( N  +  1 ) ) )  ->  ( ( # `
 T )  - 
1 )  =  N )
6564fveq2d 5779 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( ( S  e.  V  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( T  e. Word  V  /\  ( # `  T
)  =  ( N  +  1 ) ) )  ->  ( T `  ( ( # `  T
)  -  1 ) )  =  ( T `
 N ) )
66 lsw 12354 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( T  e. Word  V  ->  ( lastS  `  T )  =  ( T `  ( (
# `  T )  -  1 ) ) )
6766ad2antrl 727 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( ( S  e.  V  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( T  e. Word  V  /\  ( # `  T
)  =  ( N  +  1 ) ) )  ->  ( lastS  `  T
)  =  ( T `
 ( ( # `  T )  -  1 ) ) )
68 simprl 755 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( ( S  e.  V  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( T  e. Word  V  /\  ( # `  T
)  =  ( N  +  1 ) ) )  ->  T  e. Word  V )
69 fzonn0p1 11696 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( N  e.  NN0  ->  N  e.  ( 0..^ ( N  +  1 ) ) )
7069ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( ( S  e.  V  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( T  e. Word  V  /\  ( # `  T
)  =  ( N  +  1 ) ) )  ->  N  e.  ( 0..^ ( N  + 
1 ) ) )
7128eleq2d 2519 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( (
# `  T )  =  ( N  + 
1 )  ->  ( N  e.  ( 0..^ ( # `  T
) )  <->  N  e.  ( 0..^ ( N  + 
1 ) ) ) )
7271ad2antll 728 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( ( S  e.  V  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( T  e. Word  V  /\  ( # `  T
)  =  ( N  +  1 ) ) )  ->  ( N  e.  ( 0..^ ( # `  T ) )  <->  N  e.  ( 0..^ ( N  + 
1 ) ) ) )
7370, 72mpbird 232 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( ( S  e.  V  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( T  e. Word  V  /\  ( # `  T
)  =  ( N  +  1 ) ) )  ->  N  e.  ( 0..^ ( # `  T
) ) )
74 ccats1val1 12394 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( T  e. Word  V  /\  S  e.  V  /\  N  e.  ( 0..^ ( # `  T
) ) )  -> 
( ( T concat  <" S "> ) `  N
)  =  ( T `
 N ) )
7568, 22, 73, 74syl3anc 1219 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( ( S  e.  V  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( T  e. Word  V  /\  ( # `  T
)  =  ( N  +  1 ) ) )  ->  ( ( T concat  <" S "> ) `  N )  =  ( T `  N ) )
7665, 67, 753eqtr4d 2500 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( S  e.  V  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( T  e. Word  V  /\  ( # `  T
)  =  ( N  +  1 ) ) )  ->  ( lastS  `  T
)  =  ( ( T concat  <" S "> ) `  N ) )
77 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( ( T  e. Word  V  /\  ( # `  T )  =  ( N  + 
1 ) )  -> 
( # `  T )  =  ( N  + 
1 ) )
7877eqcomd 2457 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( T  e. Word  V  /\  ( # `  T )  =  ( N  + 
1 ) )  -> 
( N  +  1 )  =  ( # `  T ) )
7978adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( ( S  e.  V  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( T  e. Word  V  /\  ( # `  T
)  =  ( N  +  1 ) ) )  ->  ( N  +  1 )  =  ( # `  T
) )
80 ccats1val2 12395 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( T  e. Word  V  /\  S  e.  V  /\  ( N  +  1
)  =  ( # `  T ) )  -> 
( ( T concat  <" S "> ) `  ( N  +  1 ) )  =  S )
8168, 22, 79, 80syl3anc 1219 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( ( S  e.  V  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( T  e. Word  V  /\  ( # `  T
)  =  ( N  +  1 ) ) )  ->  ( ( T concat  <" S "> ) `  ( N  +  1 ) )  =  S )
8281eqcomd 2457 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( S  e.  V  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( T  e. Word  V  /\  ( # `  T
)  =  ( N  +  1 ) ) )  ->  S  =  ( ( T concat  <" S "> ) `  ( N  +  1 ) ) )
8376, 82preq12d 4046 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( S  e.  V  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( T  e. Word  V  /\  ( # `  T
)  =  ( N  +  1 ) ) )  ->  { ( lastS  `  T ) ,  S }  =  { (
( T concat  <" S "> ) `  N
) ,  ( ( T concat  <" S "> ) `  ( N  +  1 ) ) } )
8483eleq1d 2518 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( S  e.  V  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( T  e. Word  V  /\  ( # `  T
)  =  ( N  +  1 ) ) )  ->  ( {
( lastS  `  T ) ,  S }  e.  ran  E  <->  { ( ( T concat  <" S "> ) `  N ) ,  ( ( T concat  <" S "> ) `  ( N  +  1 ) ) }  e.  ran  E
) )
8584biimpcd 224 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( { ( lastS  `  T ) ,  S }  e.  ran  E  ->  ( ( ( S  e.  V  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( T  e. Word  V  /\  ( # `  T )  =  ( N  + 
1 ) ) )  ->  { ( ( T concat  <" S "> ) `  N ) ,  ( ( T concat  <" S "> ) `  ( N  +  1 ) ) }  e.  ran  E
) )
8685exp4c 608 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( { ( lastS  `  T ) ,  S }  e.  ran  E  ->  ( S  e.  V  ->  ( N  e.  NN0  ->  ( ( T  e. Word  V  /\  ( # `
 T )  =  ( N  +  1 ) )  ->  { ( ( T concat  <" S "> ) `  N
) ,  ( ( T concat  <" S "> ) `  ( N  +  1 ) ) }  e.  ran  E
) ) ) )
8786impcom 430 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( S  e.  V  /\  { ( lastS  `  T ) ,  S }  e.  ran  E )  ->  ( N  e.  NN0  ->  ( ( T  e. Word  V  /\  ( # `
 T )  =  ( N  +  1 ) )  ->  { ( ( T concat  <" S "> ) `  N
) ,  ( ( T concat  <" S "> ) `  ( N  +  1 ) ) }  e.  ran  E
) ) )
8887impcom 430 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( S  e.  V  /\  { ( lastS  `  T
) ,  S }  e.  ran  E ) )  ->  ( ( T  e. Word  V  /\  ( # `
 T )  =  ( N  +  1 ) )  ->  { ( ( T concat  <" S "> ) `  N
) ,  ( ( T concat  <" S "> ) `  ( N  +  1 ) ) }  e.  ran  E
) )
8988com12 31 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( T  e. Word  V  /\  ( # `  T )  =  ( N  + 
1 ) )  -> 
( ( N  e. 
NN0  /\  ( S  e.  V  /\  { ( lastS  `  T ) ,  S }  e.  ran  E ) )  ->  { (
( T concat  <" S "> ) `  N
) ,  ( ( T concat  <" S "> ) `  ( N  +  1 ) ) }  e.  ran  E
) )
90893adant3 1008 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( T  e. Word  V  /\  ( # `  T )  =  ( N  + 
1 )  /\  A. i  e.  ( 0..^ N ) { ( T `  i ) ,  ( T `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E )  ->  (
( N  e.  NN0  /\  ( S  e.  V  /\  { ( lastS  `  T
) ,  S }  e.  ran  E ) )  ->  { ( ( T concat  <" S "> ) `  N ) ,  ( ( T concat  <" S "> ) `  ( N  +  1 ) ) }  e.  ran  E
) )
9190imp 429 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( T  e. Word  V  /\  ( # `  T
)  =  ( N  +  1 )  /\  A. i  e.  ( 0..^ N ) { ( T `  i ) ,  ( T `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E )  /\  ( N  e.  NN0  /\  ( S  e.  V  /\  { ( lastS  `  T ) ,  S }  e.  ran  E ) ) )  ->  { ( ( T concat  <" S "> ) `  N ) ,  ( ( T concat  <" S "> ) `  ( N  +  1 ) ) }  e.  ran  E
)
92 fveq2 5775 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( i  =  N  ->  (
( T concat  <" S "> ) `  i
)  =  ( ( T concat  <" S "> ) `  N ) )
93 oveq1 6183 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( i  =  N  ->  (
i  +  1 )  =  ( N  + 
1 ) )
9493fveq2d 5779 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( i  =  N  ->  (
( T concat  <" S "> ) `  (
i  +  1 ) )  =  ( ( T concat  <" S "> ) `  ( N  +  1 ) ) )
9592, 94preq12d 4046 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( i  =  N  ->  { ( ( T concat  <" S "> ) `  i
) ,  ( ( T concat  <" S "> ) `  ( i  +  1 ) ) }  =  { ( ( T concat  <" S "> ) `  N
) ,  ( ( T concat  <" S "> ) `  ( N  +  1 ) ) } )
9695eleq1d 2518 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( i  =  N  ->  ( { ( ( T concat  <" S "> ) `  i ) ,  ( ( T concat  <" S "> ) `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  <->  { ( ( T concat  <" S "> ) `  N
) ,  ( ( T concat  <" S "> ) `  ( N  +  1 ) ) }  e.  ran  E
) )
9796ralsng 3996 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( A. i  e.  { N }  { ( ( T concat  <" S "> ) `  i ) ,  ( ( T concat  <" S "> ) `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  <->  { ( ( T concat  <" S "> ) `  N
) ,  ( ( T concat  <" S "> ) `  ( N  +  1 ) ) }  e.  ran  E
) )
9897ad2antrl 727 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( T  e. Word  V  /\  ( # `  T
)  =  ( N  +  1 )  /\  A. i  e.  ( 0..^ N ) { ( T `  i ) ,  ( T `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E )  /\  ( N  e.  NN0  /\  ( S  e.  V  /\  { ( lastS  `  T ) ,  S }  e.  ran  E ) ) )  -> 
( A. i  e. 
{ N }  {
( ( T concat  <" S "> ) `  i
) ,  ( ( T concat  <" S "> ) `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  <->  { ( ( T concat  <" S "> ) `  N
) ,  ( ( T concat  <" S "> ) `  ( N  +  1 ) ) }  e.  ran  E
) )
9991, 98mpbird 232 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( T  e. Word  V  /\  ( # `  T
)  =  ( N  +  1 )  /\  A. i  e.  ( 0..^ N ) { ( T `  i ) ,  ( T `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E )  /\  ( N  e.  NN0  /\  ( S  e.  V  /\  { ( lastS  `  T ) ,  S }  e.  ran  E ) ) )  ->  A. i  e.  { N }  { ( ( T concat  <" S "> ) `  i ) ,  ( ( T concat  <" S "> ) `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E
)
100 ralunb 3621 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( A. i  e.  ( (
0..^ N )  u. 
{ N } ) { ( ( T concat  <" S "> ) `  i ) ,  ( ( T concat  <" S "> ) `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  <->  ( A. i  e.  ( 0..^ N ) { ( ( T concat  <" S "> ) `  i
) ,  ( ( T concat  <" S "> ) `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  /\  A. i  e.  { N }  { (
( T concat  <" S "> ) `  i
) ,  ( ( T concat  <" S "> ) `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E
) )
10156, 99, 100sylanbrc 664 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( T  e. Word  V  /\  ( # `  T
)  =  ( N  +  1 )  /\  A. i  e.  ( 0..^ N ) { ( T `  i ) ,  ( T `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E )  /\  ( N  e.  NN0  /\  ( S  e.  V  /\  { ( lastS  `  T ) ,  S }  e.  ran  E ) ) )  ->  A. i  e.  (
( 0..^ N )  u.  { N }
) { ( ( T concat  <" S "> ) `  i ) ,  ( ( T concat  <" S "> ) `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E
)
102 elnn0uz 10985 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( N  e.  NN0  <->  N  e.  ( ZZ>=
`  0 ) )
103 eluzfz2 11546 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  0
)  ->  N  e.  ( 0 ... N
) )
104102, 103sylbi 195 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( N  e.  NN0  ->  N  e.  ( 0 ... N
) )
105 fzelp1 11594 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( N  e.  ( 0 ... N )  ->  N  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) )
106 fzosplit 11669 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( N  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) )  ->  (
0..^ ( N  + 
1 ) )  =  ( ( 0..^ N )  u.  ( N..^ ( N  +  1 ) ) ) )
107104, 105, 1063syl 20 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( 0..^ ( N  +  1 ) )  =  ( ( 0..^ N )  u.  ( N..^ ( N  +  1 ) ) ) )
108 nn0z 10756 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( N  e.  NN0  ->  N  e.  ZZ )
109 fzosn 11693 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( N  e.  ZZ  ->  ( N..^ ( N  +  1 ) )  =  { N } )
110108, 109syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( N..^ ( N  +  1 ) )  =  { N } )
111110uneq2d 3594 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( 0..^ N )  u.  ( N..^ ( N  +  1 ) ) )  =  ( ( 0..^ N )  u. 
{ N } ) )
112107, 111eqtrd 2490 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( 0..^ ( N  +  1 ) )  =  ( ( 0..^ N )  u.  { N }
) )
113112ad2antrl 727 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( T  e. Word  V  /\  ( # `  T
)  =  ( N  +  1 )  /\  A. i  e.  ( 0..^ N ) { ( T `  i ) ,  ( T `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E )  /\  ( N  e.  NN0  /\  ( S  e.  V  /\  { ( lastS  `  T ) ,  S }  e.  ran  E ) ) )  -> 
( 0..^ ( N  +  1 ) )  =  ( ( 0..^ N )  u.  { N } ) )
114113raleqdv 3005 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( T  e. Word  V  /\  ( # `  T
)  =  ( N  +  1 )  /\  A. i  e.  ( 0..^ N ) { ( T `  i ) ,  ( T `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E )  /\  ( N  e.  NN0  /\  ( S  e.  V  /\  { ( lastS  `  T ) ,  S }  e.  ran  E ) ) )  -> 
( A. i  e.  ( 0..^ ( N  +  1 ) ) { ( ( T concat  <" S "> ) `  i ) ,  ( ( T concat  <" S "> ) `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  <->  A. i  e.  ( ( 0..^ N )  u. 
{ N } ) { ( ( T concat  <" S "> ) `  i ) ,  ( ( T concat  <" S "> ) `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E
) )
115101, 114mpbird 232 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( T  e. Word  V  /\  ( # `  T
)  =  ( N  +  1 )  /\  A. i  e.  ( 0..^ N ) { ( T `  i ) ,  ( T `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E )  /\  ( N  e.  NN0  /\  ( S  e.  V  /\  { ( lastS  `  T ) ,  S }  e.  ran  E ) ) )  ->  A. i  e.  (
0..^ ( N  + 
1 ) ) { ( ( T concat  <" S "> ) `  i
) ,  ( ( T concat  <" S "> ) `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E
)
116 ccatlen 12363 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( T  e. Word  V  /\  <" S ">  e. Word  V )  ->  ( # `
 ( T concat  <" S "> ) )  =  ( ( # `  T
)  +  ( # `  <" S "> ) ) )
1173, 18, 116syl2an 477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( T  e. Word  V  /\  ( # `  T
)  =  ( N  +  1 )  /\  A. i  e.  ( 0..^ N ) { ( T `  i ) ,  ( T `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E )  /\  ( N  e.  NN0  /\  ( S  e.  V  /\  { ( lastS  `  T ) ,  S }  e.  ran  E ) ) )  -> 
( # `  ( T concat  <" S "> ) )  =  ( ( # `  T
)  +  ( # `  <" S "> ) ) )
118117oveq1d 6191 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( T  e. Word  V  /\  ( # `  T
)  =  ( N  +  1 )  /\  A. i  e.  ( 0..^ N ) { ( T `  i ) ,  ( T `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E )  /\  ( N  e.  NN0  /\  ( S  e.  V  /\  { ( lastS  `  T ) ,  S }  e.  ran  E ) ) )  -> 
( ( # `  ( T concat  <" S "> ) )  -  1 )  =  ( ( ( # `  T
)  +  ( # `  <" S "> ) )  -  1 ) )
119 simpl2 992 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( T  e. Word  V  /\  ( # `  T
)  =  ( N  +  1 )  /\  A. i  e.  ( 0..^ N ) { ( T `  i ) ,  ( T `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E )  /\  ( N  e.  NN0  /\  ( S  e.  V  /\  { ( lastS  `  T ) ,  S }  e.  ran  E ) ) )  -> 
( # `  T )  =  ( N  + 
1 ) )
120 s1len 12384 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( # `  <" S "> )  =  1
121120a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( T  e. Word  V  /\  ( # `  T
)  =  ( N  +  1 )  /\  A. i  e.  ( 0..^ N ) { ( T `  i ) ,  ( T `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E )  /\  ( N  e.  NN0  /\  ( S  e.  V  /\  { ( lastS  `  T ) ,  S }  e.  ran  E ) ) )  -> 
( # `  <" S "> )  =  1 )
122119, 121oveq12d 6194 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( T  e. Word  V  /\  ( # `  T
)  =  ( N  +  1 )  /\  A. i  e.  ( 0..^ N ) { ( T `  i ) ,  ( T `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E )  /\  ( N  e.  NN0  /\  ( S  e.  V  /\  { ( lastS  `  T ) ,  S }  e.  ran  E ) ) )  -> 
( ( # `  T
)  +  ( # `  <" S "> ) )  =  ( ( N  +  1 )  +  1 ) )
123122oveq1d 6191 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( T  e. Word  V  /\  ( # `  T
)  =  ( N  +  1 )  /\  A. i  e.  ( 0..^ N ) { ( T `  i ) ,  ( T `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E )  /\  ( N  e.  NN0  /\  ( S  e.  V  /\  { ( lastS  `  T ) ,  S }  e.  ran  E ) ) )  -> 
( ( ( # `  T )  +  (
# `  <" S "> ) )  - 
1 )  =  ( ( ( N  + 
1 )  +  1 )  -  1 ) )
124 peano2nn0 10707 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( N  +  1 )  e. 
NN0 )
125124nn0cnd 10725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( N  +  1 )  e.  CC )
126 pncan 9703 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( N  +  1 )  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( ( N  +  1 )  +  1 )  -  1 )  =  ( N  +  1 ) )
127125, 60, 126sylancl 662 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( ( N  +  1 )  +  1 )  -  1 )  =  ( N  +  1 ) )
128127ad2antrl 727 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( T  e. Word  V  /\  ( # `  T
)  =  ( N  +  1 )  /\  A. i  e.  ( 0..^ N ) { ( T `  i ) ,  ( T `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E )  /\  ( N  e.  NN0  /\  ( S  e.  V  /\  { ( lastS  `  T ) ,  S }  e.  ran  E ) ) )  -> 
( ( ( N  +  1 )  +  1 )  -  1 )  =  ( N  +  1 ) )
129118, 123, 1283eqtrd 2494 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( T  e. Word  V  /\  ( # `  T
)  =  ( N  +  1 )  /\  A. i  e.  ( 0..^ N ) { ( T `  i ) ,  ( T `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E )  /\  ( N  e.  NN0  /\  ( S  e.  V  /\  { ( lastS  `  T ) ,  S }  e.  ran  E ) ) )  -> 
( ( # `  ( T concat  <" S "> ) )  -  1 )  =  ( N  +  1 ) )
130129oveq2d 6192 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( T  e. Word  V  /\  ( # `  T
)  =  ( N  +  1 )  /\  A. i  e.  ( 0..^ N ) { ( T `  i ) ,  ( T `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E )  /\  ( N  e.  NN0  /\  ( S  e.  V  /\  { ( lastS  `  T ) ,  S }  e.  ran  E ) ) )  -> 
( 0..^ ( (
# `  ( T concat  <" S "> ) )  -  1 ) )  =  ( 0..^ ( N  + 
1 ) ) )
131130raleqdv 3005 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( T  e. Word  V  /\  ( # `  T
)  =  ( N  +  1 )  /\  A. i  e.  ( 0..^ N ) { ( T `  i ) ,  ( T `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E )  /\  ( N  e.  NN0  /\  ( S  e.  V  /\  { ( lastS  `  T ) ,  S }  e.  ran  E ) ) )  -> 
( A. i  e.  ( 0..^ ( (
# `  ( T concat  <" S "> ) )  -  1 ) ) { ( ( T concat  <" S "> ) `  i
) ,  ( ( T concat  <" S "> ) `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  <->  A. i  e.  ( 0..^ ( N  +  1 ) ) { ( ( T concat  <" S "> ) `  i
) ,  ( ( T concat  <" S "> ) `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E
) )
132115, 131mpbird 232 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( T  e. Word  V  /\  ( # `  T
)  =  ( N  +  1 )  /\  A. i  e.  ( 0..^ N ) { ( T `  i ) ,  ( T `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E )  /\  ( N  e.  NN0  /\  ( S  e.  V  /\  { ( lastS  `  T ) ,  S }  e.  ran  E ) ) )  ->  A. i  e.  (
0..^ ( ( # `  ( T concat  <" S "> ) )  - 
1 ) ) { ( ( T concat  <" S "> ) `  i
) ,  ( ( T concat  <" S "> ) `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E
)
13316, 20, 1323jca 1168 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( T  e. Word  V  /\  ( # `  T
)  =  ( N  +  1 )  /\  A. i  e.  ( 0..^ N ) { ( T `  i ) ,  ( T `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E )  /\  ( N  e.  NN0  /\  ( S  e.  V  /\  { ( lastS  `  T ) ,  S }  e.  ran  E ) ) )  -> 
( ( T concat  <" S "> )  =/=  (/)  /\  ( T concat  <" S "> )  e. Word  V  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( ( # `  ( T concat  <" S "> ) )  -  1 ) ) { ( ( T concat  <" S "> ) `  i
) ,  ( ( T concat  <" S "> ) `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E
) )
134117, 122eqtrd 2490 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( T  e. Word  V  /\  ( # `  T
)  =  ( N  +  1 )  /\  A. i  e.  ( 0..^ N ) { ( T `  i ) ,  ( T `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E )  /\  ( N  e.  NN0  /\  ( S  e.  V  /\  { ( lastS  `  T ) ,  S }  e.  ran  E ) ) )  -> 
( # `  ( T concat  <" S "> ) )  =  ( ( N  +  1 )  +  1 ) )
135133, 134jca 532 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( T  e. Word  V  /\  ( # `  T
)  =  ( N  +  1 )  /\  A. i  e.  ( 0..^ N ) { ( T `  i ) ,  ( T `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E )  /\  ( N  e.  NN0  /\  ( S  e.  V  /\  { ( lastS  `  T ) ,  S }  e.  ran  E ) ) )  -> 
( ( ( T concat  <" S "> )  =/=  (/)  /\  ( T concat  <" S "> )  e. Word  V  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( ( # `  ( T concat  <" S "> ) )  -  1 ) ) { ( ( T concat  <" S "> ) `  i
) ,  ( ( T concat  <" S "> ) `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E
)  /\  ( # `  ( T concat  <" S "> ) )  =  ( ( N  +  1 )  +  1 ) ) )
136135ex 434 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( T  e. Word  V  /\  ( # `  T )  =  ( N  + 
1 )  /\  A. i  e.  ( 0..^ N ) { ( T `  i ) ,  ( T `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E )  ->  (
( N  e.  NN0  /\  ( S  e.  V  /\  { ( lastS  `  T
) ,  S }  e.  ran  E ) )  ->  ( ( ( T concat  <" S "> )  =/=  (/)  /\  ( T concat  <" S "> )  e. Word  V  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( ( # `  ( T concat  <" S "> ) )  -  1 ) ) { ( ( T concat  <" S "> ) `  i
) ,  ( ( T concat  <" S "> ) `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E
)  /\  ( # `  ( T concat  <" S "> ) )  =  ( ( N  +  1 )  +  1 ) ) ) )
1372, 136syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( T  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  N
)  ->  ( ( N  e.  NN0  /\  ( S  e.  V  /\  { ( lastS  `  T ) ,  S }  e.  ran  E ) )  ->  (
( ( T concat  <" S "> )  =/=  (/)  /\  ( T concat  <" S "> )  e. Word  V  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( ( # `  ( T concat  <" S "> ) )  -  1 ) ) { ( ( T concat  <" S "> ) `  i
) ,  ( ( T concat  <" S "> ) `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E
)  /\  ( # `  ( T concat  <" S "> ) )  =  ( ( N  +  1 )  +  1 ) ) ) )
138137expd 436 . . . . . . . . . 10  |-  ( T  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  N
)  ->  ( N  e.  NN0  ->  ( ( S  e.  V  /\  { ( lastS  `  T ) ,  S }  e.  ran  E )  ->  ( (
( T concat  <" S "> )  =/=  (/)  /\  ( T concat  <" S "> )  e. Word  V  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( ( # `  ( T concat  <" S "> ) )  -  1 ) ) { ( ( T concat  <" S "> ) `  i
) ,  ( ( T concat  <" S "> ) `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E
)  /\  ( # `  ( T concat  <" S "> ) )  =  ( ( N  +  1 )  +  1 ) ) ) ) )
139138com12 31 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( T  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  N
)  ->  ( ( S  e.  V  /\  { ( lastS  `  T ) ,  S }  e.  ran  E )  ->  ( (
( T concat  <" S "> )  =/=  (/)  /\  ( T concat  <" S "> )  e. Word  V  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( ( # `  ( T concat  <" S "> ) )  -  1 ) ) { ( ( T concat  <" S "> ) `  i
) ,  ( ( T concat  <" S "> ) `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E
)  /\  ( # `  ( T concat  <" S "> ) )  =  ( ( N  +  1 )  +  1 ) ) ) ) )
1401393ad2ant3 1011 . . . . . . . 8  |-  ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V  /\  N  e.  NN0 )  ->  ( T  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  N
)  ->  ( ( S  e.  V  /\  { ( lastS  `  T ) ,  S }  e.  ran  E )  ->  ( (
( T concat  <" S "> )  =/=  (/)  /\  ( T concat  <" S "> )  e. Word  V  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( ( # `  ( T concat  <" S "> ) )  -  1 ) ) { ( ( T concat  <" S "> ) `  i
) ,  ( ( T concat  <" S "> ) `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E
)  /\  ( # `  ( T concat  <" S "> ) )  =  ( ( N  +  1 )  +  1 ) ) ) ) )
141140imp 429 . . . . . . 7  |-  ( ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V  /\  N  e.  NN0 )  /\  T  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  N
) )  ->  (
( S  e.  V  /\  { ( lastS  `  T
) ,  S }  e.  ran  E )  -> 
( ( ( T concat  <" S "> )  =/=  (/)  /\  ( T concat  <" S "> )  e. Word  V  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( ( # `  ( T concat  <" S "> ) )  -  1 ) ) { ( ( T concat  <" S "> ) `  i
) ,  ( ( T concat  <" S "> ) `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E
)  /\  ( # `  ( T concat  <" S "> ) )  =  ( ( N  +  1 )  +  1 ) ) ) )
142 iswwlkn 30442 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V  /\  ( N  +  1 )  e.  NN0 )  -> 
( ( T concat  <" S "> )  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  ( N  +  1 ) )  <->  ( ( T concat  <" S "> )  e.  ( V WWalks  E )  /\  ( # `
 ( T concat  <" S "> ) )  =  ( ( N  + 
1 )  +  1 ) ) ) )
143124, 142syl3an3 1254 . . . . . . . . 9  |-  ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V  /\  N  e.  NN0 )  ->  (
( T concat  <" S "> )  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  ( N  +  1 ) )  <->  ( ( T concat  <" S "> )  e.  ( V WWalks  E )  /\  ( # `
 ( T concat  <" S "> ) )  =  ( ( N  + 
1 )  +  1 ) ) ) )
144 iswwlk 30441 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  ->  ( ( T concat  <" S "> )  e.  ( V WWalks  E )  <->  ( ( T concat  <" S "> )  =/=  (/)  /\  ( T concat  <" S "> )  e. Word  V  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( ( # `  ( T concat  <" S "> ) )  -  1 ) ) { ( ( T concat  <" S "> ) `  i
) ,  ( ( T concat  <" S "> ) `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E
) ) )
145144anbi1d 704 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  ->  ( ( ( T concat  <" S "> )  e.  ( V WWalks  E )  /\  ( # `  ( T concat  <" S "> ) )  =  ( ( N  + 
1 )  +  1 ) )  <->  ( (
( T concat  <" S "> )  =/=  (/)  /\  ( T concat  <" S "> )  e. Word  V  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( ( # `  ( T concat  <" S "> ) )  -  1 ) ) { ( ( T concat  <" S "> ) `  i
) ,  ( ( T concat  <" S "> ) `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E
)  /\  ( # `  ( T concat  <" S "> ) )  =  ( ( N  +  1 )  +  1 ) ) ) )
1461453adant3 1008 . . . . . . . . 9  |-  ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V  /\  N  e.  NN0 )  ->  (
( ( T concat  <" S "> )  e.  ( V WWalks  E )  /\  ( # `  ( T concat  <" S "> ) )  =  ( ( N  +  1 )  +  1 ) )  <->  ( ( ( T concat  <" S "> )  =/=  (/)  /\  ( T concat  <" S "> )  e. Word  V  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( ( # `  ( T concat  <" S "> ) )  -  1 ) ) { ( ( T concat  <" S "> ) `  i
) ,  ( ( T concat  <" S "> ) `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E
)  /\  ( # `  ( T concat  <" S "> ) )  =  ( ( N  +  1 )  +  1 ) ) ) )
147143, 146bitrd 253 . . . . . . . 8  |-  ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V  /\  N  e.  NN0 )  ->  (
( T concat  <" S "> )  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  ( N  +  1 ) )  <->  ( (
( T concat  <" S "> )  =/=  (/)  /\  ( T concat  <" S "> )  e. Word  V  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( ( # `  ( T concat  <" S "> ) )  -  1 ) ) { ( ( T concat  <" S "> ) `  i
) ,  ( ( T concat  <" S "> ) `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E
)  /\  ( # `  ( T concat  <" S "> ) )  =  ( ( N  +  1 )  +  1 ) ) ) )
148147adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V  /\  N  e.  NN0 )  /\  T  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  N
) )  ->  (
( T concat  <" S "> )  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  ( N  +  1 ) )  <->  ( (
( T concat  <" S "> )  =/=  (/)  /\  ( T concat  <" S "> )  e. Word  V  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( ( # `  ( T concat  <" S "> ) )  -  1 ) ) { ( ( T concat  <" S "> ) `  i
) ,  ( ( T concat  <" S "> ) `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E
)  /\  ( # `  ( T concat  <" S "> ) )  =  ( ( N  +  1 )  +  1 ) ) ) )
149141, 148sylibrd 234 . . . . . 6  |-  ( ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V  /\  N  e.  NN0 )  /\  T  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  N
) )  ->  (
( S  e.  V  /\  { ( lastS  `  T
) ,  S }  e.  ran  E )  -> 
( T concat  <" S "> )  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  ( N  +  1 ) ) ) )
150149ex 434 . . . . 5  |-  ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V  /\  N  e.  NN0 )  ->  ( T  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  N
)  ->  ( ( S  e.  V  /\  { ( lastS  `  T ) ,  S }  e.  ran  E )  ->  ( T concat  <" S "> )  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  ( N  +  1 ) ) ) ) )
1511503expa 1188 . . . 4  |-  ( ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  N  e.  NN0 )  ->  ( T  e.  ( ( V WWalksN  E
) `  N )  ->  ( ( S  e.  V  /\  { ( lastS  `  T ) ,  S }  e.  ran  E )  ->  ( T concat  <" S "> )  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  ( N  +  1 ) ) ) ) )
152151adantrr 716 . . 3  |-  ( ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( N  e.  NN0  /\  T  e. Word  V ) )  ->  ( T  e.  ( ( V WWalksN  E
) `  N )  ->  ( ( S  e.  V  /\  { ( lastS  `  T ) ,  S }  e.  ran  E )  ->  ( T concat  <" S "> )  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  ( N  +  1 ) ) ) ) )
1531, 152mpcom 36 . 2  |-  ( T  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  N
)  ->  ( ( S  e.  V  /\  { ( lastS  `  T ) ,  S }  e.  ran  E )  ->  ( T concat  <" S "> )  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  ( N  +  1 ) ) ) )
1541533impib 1186 1  |-  ( ( T  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  N
)  /\  S  e.  V  /\  { ( lastS  `  T
) ,  S }  e.  ran  E )  -> 
( T concat  <" S "> )  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  ( N  +  1 ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1370    e. wcel 1757    =/= wne 2641   A.wral 2792   _Vcvv 3054    u. cun 3410   (/)c0 3721   {csn 3961   {cpr 3963   <.cop 3967   ran crn 4925   ` cfv 5502  (class class class)co 6176   CCcc 9367   0cc0 9369   1c1 9370    + caddc 9372    - cmin 9682   NN0cn0 10666   ZZcz 10733   ZZ>=cuz 10948   ...cfz 11524  ..^cfzo 11635   #chash 12190  Word cword 12309   lastS clsw 12310   concat cconcat 12311   <"cs1 12312   WWalks cwwlk 30435   WWalksN cwwlkn 30436
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1709  ax-7 1729  ax-8 1759  ax-9 1761  ax-10 1776  ax-11 1781  ax-12 1793  ax-13 1944  ax-ext 2429  ax-rep 4487  ax-sep 4497  ax-nul 4505  ax-pow 4554  ax-pr 4615  ax-un 6458  ax-cnex 9425  ax-resscn 9426  ax-1cn 9427  ax-icn 9428  ax-addcl 9429  ax-addrcl 9430  ax-mulcl 9431  ax-mulrcl 9432  ax-mulcom 9433  ax-addass 9434  ax-mulass 9435  ax-distr 9436  ax-i2m1 9437  ax-1ne0 9438  ax-1rid 9439  ax-rnegex 9440  ax-rrecex 9441  ax-cnre 9442  ax-pre-lttri 9443  ax-pre-lttrn 9444  ax-pre-ltadd 9445  ax-pre-mulgt0 9446
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1702  df-eu 2263  df-mo 2264  df-clab 2436  df-cleq 2442  df-clel 2445  df-nfc 2598  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2797  df-rex 2798  df-reu 2799  df-rab 2801  df-v 3056  df-sbc 3271  df-csb 3373  df-dif 3415  df-un 3417  df-in 3419  df-ss 3426  df-pss 3428  df-nul 3722  df-if 3876  df-pw 3946  df-sn 3962  df-pr 3964  df-tp 3966  df-op 3968  df-uni 4176  df-int 4213  df-iun 4257  df-br 4377  df-opab 4435  df-mpt 4436  df-tr 4470  df-eprel 4716  df-id 4720  df-po 4725  df-so 4726  df-fr 4763  df-we 4765  df-ord 4806  df-on 4807  df-lim 4808  df-suc 4809  df-xp 4930  df-rel 4931  df-cnv 4932  df-co 4933  df-dm 4934  df-rn 4935  df-res 4936  df-ima 4937  df-iota 5465  df-fun 5504  df-fn 5505  df-f 5506  df-f1 5507  df-fo 5508  df-f1o 5509  df-fv 5510  df-riota 6137  df-ov 6179  df-oprab 6180  df-mpt2 6181  df-om 6563  df-1st 6663  df-2nd 6664  df-recs 6918  df-rdg 6952  df-1o 7006  df-oadd 7010  df-er 7187  df-map 7302  df-pm 7303  df-en 7397  df-dom 7398  df-sdom 7399  df-fin 7400  df-card 8196  df-pnf 9507  df-mnf 9508  df-xr 9509  df-ltxr 9510  df-le 9511  df-sub 9684  df-neg 9685  df-nn 10410  df-n0 10667  df-z 10734  df-uz 10949  df-fz 11525  df-fzo 11636  df-hash 12191  df-word 12317  df-lsw 12318  df-concat 12319  df-s1 12320  df-wwlk 30437  df-wwlkn 30438
This theorem is referenced by:  wwlknextbi  30481  wwlkextsur  30487
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