MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  wwlknext Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem wwlknext 25464
Description: Extension of a walk (as word) by adding an edge/vertex. (Contributed by Alexander van der Vekens, 4-Aug-2018.)
Assertion
Ref Expression
wwlknext  |-  ( ( T  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  N
)  /\  S  e.  V  /\  { ( lastS  `  T
) ,  S }  e.  ran  E )  -> 
( T ++  <" S "> )  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  ( N  +  1 ) ) )

Proof of Theorem wwlknext
Dummy variable  i is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 wwlknprop 25426 . . 3  |-  ( T  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  N
)  ->  ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( N  e.  NN0  /\  T  e. Word  V ) ) )
2 wwlknimp 25427 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( T  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  N
)  ->  ( T  e. Word  V  /\  ( # `  T )  =  ( N  +  1 )  /\  A. i  e.  ( 0..^ N ) { ( T `  i ) ,  ( T `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E
) )
3 simp1 1009 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( T  e. Word  V  /\  ( # `  T )  =  ( N  + 
1 )  /\  A. i  e.  ( 0..^ N ) { ( T `  i ) ,  ( T `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E )  ->  T  e. Word  V )
4 simprl 765 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( S  e.  V  /\  { ( lastS  `  T
) ,  S }  e.  ran  E ) )  ->  S  e.  V
)
5 cats1un 12839 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( T  e. Word  V  /\  S  e.  V )  ->  ( T ++  <" S "> )  =  ( T  u.  { <. (
# `  T ) ,  S >. } ) )
63, 4, 5syl2an 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( T  e. Word  V  /\  ( # `  T
)  =  ( N  +  1 )  /\  A. i  e.  ( 0..^ N ) { ( T `  i ) ,  ( T `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E )  /\  ( N  e.  NN0  /\  ( S  e.  V  /\  { ( lastS  `  T ) ,  S }  e.  ran  E ) ) )  -> 
( T ++  <" S "> )  =  ( T  u.  { <. (
# `  T ) ,  S >. } ) )
7 opex 4667 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  <. ( # `
 T ) ,  S >.  e.  _V
87snnz 4093 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  { <. (
# `  T ) ,  S >. }  =/=  (/)
98neii 2628 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  -.  { <. ( # `  T
) ,  S >. }  =  (/)
109intnan 926 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  -.  ( T  =  (/)  /\  { <. ( # `  T
) ,  S >. }  =  (/) )
11 df-ne 2626 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( T  u.  { <. (
# `  T ) ,  S >. } )  =/=  (/) 
<->  -.  ( T  u.  {
<. ( # `  T
) ,  S >. } )  =  (/) )
12 un00 3802 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( T  =  (/)  /\  { <. ( # `  T
) ,  S >. }  =  (/) )  <->  ( T  u.  { <. ( # `  T
) ,  S >. } )  =  (/) )
1311, 12xchbinxr 313 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( T  u.  { <. (
# `  T ) ,  S >. } )  =/=  (/) 
<->  -.  ( T  =  (/)  /\  { <. ( # `
 T ) ,  S >. }  =  (/) ) )
1410, 13mpbir 213 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( T  u.  { <. ( # `
 T ) ,  S >. } )  =/=  (/)
1514a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( T  e. Word  V  /\  ( # `  T
)  =  ( N  +  1 )  /\  A. i  e.  ( 0..^ N ) { ( T `  i ) ,  ( T `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E )  /\  ( N  e.  NN0  /\  ( S  e.  V  /\  { ( lastS  `  T ) ,  S }  e.  ran  E ) ) )  -> 
( T  u.  { <. ( # `  T
) ,  S >. } )  =/=  (/) )
166, 15eqnetrd 2693 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( T  e. Word  V  /\  ( # `  T
)  =  ( N  +  1 )  /\  A. i  e.  ( 0..^ N ) { ( T `  i ) ,  ( T `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E )  /\  ( N  e.  NN0  /\  ( S  e.  V  /\  { ( lastS  `  T ) ,  S }  e.  ran  E ) ) )  -> 
( T ++  <" S "> )  =/=  (/) )
17 s1cl 12748 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( S  e.  V  ->  <" S ">  e. Word  V )
1817ad2antrl 735 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( S  e.  V  /\  { ( lastS  `  T
) ,  S }  e.  ran  E ) )  ->  <" S ">  e. Word  V )
19 ccatcl 12727 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( T  e. Word  V  /\  <" S ">  e. Word  V )  ->  ( T ++  <" S "> )  e. Word  V )
203, 18, 19syl2an 480 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( T  e. Word  V  /\  ( # `  T
)  =  ( N  +  1 )  /\  A. i  e.  ( 0..^ N ) { ( T `  i ) ,  ( T `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E )  /\  ( N  e.  NN0  /\  ( S  e.  V  /\  { ( lastS  `  T ) ,  S }  e.  ran  E ) ) )  -> 
( T ++  <" S "> )  e. Word  V
)
21 simplrl 771 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( ( ( ( S  e.  V  /\  N  e. 
NN0 )  /\  ( T  e. Word  V  /\  ( # `
 T )  =  ( N  +  1 ) ) )  /\  i  e.  ( 0..^ N ) )  ->  T  e. Word  V )
22 simpll 761 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( ( ( S  e.  V  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( T  e. Word  V  /\  ( # `  T
)  =  ( N  +  1 ) ) )  ->  S  e.  V )
2322adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( ( ( ( S  e.  V  /\  N  e. 
NN0 )  /\  ( T  e. Word  V  /\  ( # `
 T )  =  ( N  +  1 ) ) )  /\  i  e.  ( 0..^ N ) )  ->  S  e.  V )
24 fzossfzop1 11998 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( 0..^ N )  C_  (
0..^ ( N  + 
1 ) ) )
2524sseld 3433 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( i  e.  ( 0..^ N )  ->  i  e.  ( 0..^ ( N  + 
1 ) ) ) )
2625ad2antlr 734 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35  |-  ( ( ( S  e.  V  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( T  e. Word  V  /\  ( # `  T
)  =  ( N  +  1 ) ) )  ->  ( i  e.  ( 0..^ N )  ->  i  e.  ( 0..^ ( N  + 
1 ) ) ) )
2726imp 431 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( ( ( ( S  e.  V  /\  N  e. 
NN0 )  /\  ( T  e. Word  V  /\  ( # `
 T )  =  ( N  +  1 ) ) )  /\  i  e.  ( 0..^ N ) )  -> 
i  e.  ( 0..^ ( N  +  1 ) ) )
28 oveq2 6303 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37  |-  ( (
# `  T )  =  ( N  + 
1 )  ->  (
0..^ ( # `  T
) )  =  ( 0..^ ( N  + 
1 ) ) )
2928eleq2d 2516 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36  |-  ( (
# `  T )  =  ( N  + 
1 )  ->  (
i  e.  ( 0..^ ( # `  T
) )  <->  i  e.  ( 0..^ ( N  + 
1 ) ) ) )
3029adantl 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35  |-  ( ( T  e. Word  V  /\  ( # `  T )  =  ( N  + 
1 ) )  -> 
( i  e.  ( 0..^ ( # `  T
) )  <->  i  e.  ( 0..^ ( N  + 
1 ) ) ) )
3130ad2antlr 734 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( ( ( ( S  e.  V  /\  N  e. 
NN0 )  /\  ( T  e. Word  V  /\  ( # `
 T )  =  ( N  +  1 ) ) )  /\  i  e.  ( 0..^ N ) )  -> 
( i  e.  ( 0..^ ( # `  T
) )  <->  i  e.  ( 0..^ ( N  + 
1 ) ) ) )
3227, 31mpbird 236 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( ( ( ( S  e.  V  /\  N  e. 
NN0 )  /\  ( T  e. Word  V  /\  ( # `
 T )  =  ( N  +  1 ) ) )  /\  i  e.  ( 0..^ N ) )  -> 
i  e.  ( 0..^ ( # `  T
) ) )
33 ccats1val1 12766 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( ( T  e. Word  V  /\  S  e.  V  /\  i  e.  ( 0..^ ( # `  T
) ) )  -> 
( ( T ++  <" S "> ) `  i )  =  ( T `  i ) )
3421, 23, 32, 33syl3anc 1269 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( ( ( ( S  e.  V  /\  N  e. 
NN0 )  /\  ( T  e. Word  V  /\  ( # `
 T )  =  ( N  +  1 ) ) )  /\  i  e.  ( 0..^ N ) )  -> 
( ( T ++  <" S "> ) `  i )  =  ( T `  i ) )
3534eqcomd 2459 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( ( ( S  e.  V  /\  N  e. 
NN0 )  /\  ( T  e. Word  V  /\  ( # `
 T )  =  ( N  +  1 ) ) )  /\  i  e.  ( 0..^ N ) )  -> 
( T `  i
)  =  ( ( T ++  <" S "> ) `  i ) )
36 fzonn0p1p1 11999 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35  |-  ( i  e.  ( 0..^ N )  ->  ( i  +  1 )  e.  ( 0..^ ( N  +  1 ) ) )
3736adantl 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( ( ( ( S  e.  V  /\  N  e. 
NN0 )  /\  ( T  e. Word  V  /\  ( # `
 T )  =  ( N  +  1 ) ) )  /\  i  e.  ( 0..^ N ) )  -> 
( i  +  1 )  e.  ( 0..^ ( N  +  1 ) ) )
3828adantl 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35  |-  ( ( T  e. Word  V  /\  ( # `  T )  =  ( N  + 
1 ) )  -> 
( 0..^ ( # `  T ) )  =  ( 0..^ ( N  +  1 ) ) )
3938ad2antlr 734 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( ( ( ( S  e.  V  /\  N  e. 
NN0 )  /\  ( T  e. Word  V  /\  ( # `
 T )  =  ( N  +  1 ) ) )  /\  i  e.  ( 0..^ N ) )  -> 
( 0..^ ( # `  T ) )  =  ( 0..^ ( N  +  1 ) ) )
4037, 39eleqtrrd 2534 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( ( ( ( S  e.  V  /\  N  e. 
NN0 )  /\  ( T  e. Word  V  /\  ( # `
 T )  =  ( N  +  1 ) ) )  /\  i  e.  ( 0..^ N ) )  -> 
( i  +  1 )  e.  ( 0..^ ( # `  T
) ) )
41 ccats1val1 12766 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( ( T  e. Word  V  /\  S  e.  V  /\  ( i  +  1 )  e.  ( 0..^ ( # `  T
) ) )  -> 
( ( T ++  <" S "> ) `  ( i  +  1 ) )  =  ( T `  ( i  +  1 ) ) )
4221, 23, 40, 41syl3anc 1269 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( ( ( ( S  e.  V  /\  N  e. 
NN0 )  /\  ( T  e. Word  V  /\  ( # `
 T )  =  ( N  +  1 ) ) )  /\  i  e.  ( 0..^ N ) )  -> 
( ( T ++  <" S "> ) `  ( i  +  1 ) )  =  ( T `  ( i  +  1 ) ) )
4342eqcomd 2459 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( ( ( S  e.  V  /\  N  e. 
NN0 )  /\  ( T  e. Word  V  /\  ( # `
 T )  =  ( N  +  1 ) ) )  /\  i  e.  ( 0..^ N ) )  -> 
( T `  (
i  +  1 ) )  =  ( ( T ++  <" S "> ) `  ( i  +  1 ) ) )
4435, 43preq12d 4062 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( ( ( S  e.  V  /\  N  e. 
NN0 )  /\  ( T  e. Word  V  /\  ( # `
 T )  =  ( N  +  1 ) ) )  /\  i  e.  ( 0..^ N ) )  ->  { ( T `  i ) ,  ( T `  ( i  +  1 ) ) }  =  { ( ( T ++  <" S "> ) `  i
) ,  ( ( T ++  <" S "> ) `  ( i  +  1 ) ) } )
4544exp41 615 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( S  e.  V  ->  ( N  e.  NN0  ->  (
( T  e. Word  V  /\  ( # `  T
)  =  ( N  +  1 ) )  ->  ( i  e.  ( 0..^ N )  ->  { ( T `
 i ) ,  ( T `  (
i  +  1 ) ) }  =  {
( ( T ++  <" S "> ) `  i ) ,  ( ( T ++  <" S "> ) `  (
i  +  1 ) ) } ) ) ) )
4645adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( S  e.  V  /\  { ( lastS  `  T ) ,  S }  e.  ran  E )  ->  ( N  e.  NN0  ->  ( ( T  e. Word  V  /\  ( # `
 T )  =  ( N  +  1 ) )  ->  (
i  e.  ( 0..^ N )  ->  { ( T `  i ) ,  ( T `  ( i  +  1 ) ) }  =  { ( ( T ++ 
<" S "> ) `  i ) ,  ( ( T ++ 
<" S "> ) `  ( i  +  1 ) ) } ) ) ) )
4746impcom 432 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( S  e.  V  /\  { ( lastS  `  T
) ,  S }  e.  ran  E ) )  ->  ( ( T  e. Word  V  /\  ( # `
 T )  =  ( N  +  1 ) )  ->  (
i  e.  ( 0..^ N )  ->  { ( T `  i ) ,  ( T `  ( i  +  1 ) ) }  =  { ( ( T ++ 
<" S "> ) `  i ) ,  ( ( T ++ 
<" S "> ) `  ( i  +  1 ) ) } ) ) )
4847impcom 432 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( T  e. Word  V  /\  ( # `  T
)  =  ( N  +  1 ) )  /\  ( N  e. 
NN0  /\  ( S  e.  V  /\  { ( lastS  `  T ) ,  S }  e.  ran  E ) ) )  ->  (
i  e.  ( 0..^ N )  ->  { ( T `  i ) ,  ( T `  ( i  +  1 ) ) }  =  { ( ( T ++ 
<" S "> ) `  i ) ,  ( ( T ++ 
<" S "> ) `  ( i  +  1 ) ) } ) )
4948imp 431 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( T  e. Word  V  /\  ( # `  T
)  =  ( N  +  1 ) )  /\  ( N  e. 
NN0  /\  ( S  e.  V  /\  { ( lastS  `  T ) ,  S }  e.  ran  E ) ) )  /\  i  e.  ( 0..^ N ) )  ->  { ( T `  i ) ,  ( T `  ( i  +  1 ) ) }  =  { ( ( T ++ 
<" S "> ) `  i ) ,  ( ( T ++ 
<" S "> ) `  ( i  +  1 ) ) } )
5049eleq1d 2515 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( T  e. Word  V  /\  ( # `  T
)  =  ( N  +  1 ) )  /\  ( N  e. 
NN0  /\  ( S  e.  V  /\  { ( lastS  `  T ) ,  S }  e.  ran  E ) ) )  /\  i  e.  ( 0..^ N ) )  ->  ( {
( T `  i
) ,  ( T `
 ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  <->  { (
( T ++  <" S "> ) `  i
) ,  ( ( T ++  <" S "> ) `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E
) )
5150ralbidva 2826 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( T  e. Word  V  /\  ( # `  T
)  =  ( N  +  1 ) )  /\  ( N  e. 
NN0  /\  ( S  e.  V  /\  { ( lastS  `  T ) ,  S }  e.  ran  E ) ) )  ->  ( A. i  e.  (
0..^ N ) { ( T `  i
) ,  ( T `
 ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  <->  A. i  e.  ( 0..^ N ) { ( ( T ++ 
<" S "> ) `  i ) ,  ( ( T ++ 
<" S "> ) `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E
) )
5251biimpd 211 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( T  e. Word  V  /\  ( # `  T
)  =  ( N  +  1 ) )  /\  ( N  e. 
NN0  /\  ( S  e.  V  /\  { ( lastS  `  T ) ,  S }  e.  ran  E ) ) )  ->  ( A. i  e.  (
0..^ N ) { ( T `  i
) ,  ( T `
 ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  ->  A. i  e.  (
0..^ N ) { ( ( T ++  <" S "> ) `  i ) ,  ( ( T ++  <" S "> ) `  (
i  +  1 ) ) }  e.  ran  E ) )
5352ex 436 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( T  e. Word  V  /\  ( # `  T )  =  ( N  + 
1 ) )  -> 
( ( N  e. 
NN0  /\  ( S  e.  V  /\  { ( lastS  `  T ) ,  S }  e.  ran  E ) )  ->  ( A. i  e.  ( 0..^ N ) { ( T `  i ) ,  ( T `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  ->  A. i  e.  ( 0..^ N ) { ( ( T ++ 
<" S "> ) `  i ) ,  ( ( T ++ 
<" S "> ) `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E
) ) )
5453com23 81 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( T  e. Word  V  /\  ( # `  T )  =  ( N  + 
1 ) )  -> 
( A. i  e.  ( 0..^ N ) { ( T `  i ) ,  ( T `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  ->  ( ( N  e. 
NN0  /\  ( S  e.  V  /\  { ( lastS  `  T ) ,  S }  e.  ran  E ) )  ->  A. i  e.  ( 0..^ N ) { ( ( T ++ 
<" S "> ) `  i ) ,  ( ( T ++ 
<" S "> ) `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E
) ) )
55543impia 1206 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( T  e. Word  V  /\  ( # `  T )  =  ( N  + 
1 )  /\  A. i  e.  ( 0..^ N ) { ( T `  i ) ,  ( T `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E )  ->  (
( N  e.  NN0  /\  ( S  e.  V  /\  { ( lastS  `  T
) ,  S }  e.  ran  E ) )  ->  A. i  e.  ( 0..^ N ) { ( ( T ++  <" S "> ) `  i ) ,  ( ( T ++  <" S "> ) `  (
i  +  1 ) ) }  e.  ran  E ) )
5655imp 431 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( T  e. Word  V  /\  ( # `  T
)  =  ( N  +  1 )  /\  A. i  e.  ( 0..^ N ) { ( T `  i ) ,  ( T `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E )  /\  ( N  e.  NN0  /\  ( S  e.  V  /\  { ( lastS  `  T ) ,  S }  e.  ran  E ) ) )  ->  A. i  e.  (
0..^ N ) { ( ( T ++  <" S "> ) `  i ) ,  ( ( T ++  <" S "> ) `  (
i  +  1 ) ) }  e.  ran  E )
57 oveq1 6302 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( (
# `  T )  =  ( N  + 
1 )  ->  (
( # `  T )  -  1 )  =  ( ( N  + 
1 )  -  1 ) )
5857ad2antll 736 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( ( S  e.  V  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( T  e. Word  V  /\  ( # `  T
)  =  ( N  +  1 ) ) )  ->  ( ( # `
 T )  - 
1 )  =  ( ( N  +  1 )  -  1 ) )
59 nn0cn 10886 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( N  e.  NN0  ->  N  e.  CC )
60 ax-1cn 9602 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  1  e.  CC
61 pncan 9886 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( ( N  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( N  + 
1 )  -  1 )  =  N )
6259, 60, 61sylancl 669 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( N  +  1 )  -  1 )  =  N )
6362ad2antlr 734 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( ( S  e.  V  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( T  e. Word  V  /\  ( # `  T
)  =  ( N  +  1 ) ) )  ->  ( ( N  +  1 )  -  1 )  =  N )
6458, 63eqtrd 2487 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( ( S  e.  V  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( T  e. Word  V  /\  ( # `  T
)  =  ( N  +  1 ) ) )  ->  ( ( # `
 T )  - 
1 )  =  N )
6564fveq2d 5874 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( ( S  e.  V  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( T  e. Word  V  /\  ( # `  T
)  =  ( N  +  1 ) ) )  ->  ( T `  ( ( # `  T
)  -  1 ) )  =  ( T `
 N ) )
66 lsw 12718 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( T  e. Word  V  ->  ( lastS  `  T )  =  ( T `  ( (
# `  T )  -  1 ) ) )
6766ad2antrl 735 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( ( S  e.  V  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( T  e. Word  V  /\  ( # `  T
)  =  ( N  +  1 ) ) )  ->  ( lastS  `  T
)  =  ( T `
 ( ( # `  T )  -  1 ) ) )
68 simprl 765 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( ( S  e.  V  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( T  e. Word  V  /\  ( # `  T
)  =  ( N  +  1 ) ) )  ->  T  e. Word  V )
69 fzonn0p1 11997 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( N  e.  NN0  ->  N  e.  ( 0..^ ( N  +  1 ) ) )
7069ad2antlr 734 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( ( S  e.  V  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( T  e. Word  V  /\  ( # `  T
)  =  ( N  +  1 ) ) )  ->  N  e.  ( 0..^ ( N  + 
1 ) ) )
7128eleq2d 2516 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( (
# `  T )  =  ( N  + 
1 )  ->  ( N  e.  ( 0..^ ( # `  T
) )  <->  N  e.  ( 0..^ ( N  + 
1 ) ) ) )
7271ad2antll 736 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( ( S  e.  V  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( T  e. Word  V  /\  ( # `  T
)  =  ( N  +  1 ) ) )  ->  ( N  e.  ( 0..^ ( # `  T ) )  <->  N  e.  ( 0..^ ( N  + 
1 ) ) ) )
7370, 72mpbird 236 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( ( S  e.  V  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( T  e. Word  V  /\  ( # `  T
)  =  ( N  +  1 ) ) )  ->  N  e.  ( 0..^ ( # `  T
) ) )
74 ccats1val1 12766 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( T  e. Word  V  /\  S  e.  V  /\  N  e.  ( 0..^ ( # `  T
) ) )  -> 
( ( T ++  <" S "> ) `  N )  =  ( T `  N ) )
7568, 22, 73, 74syl3anc 1269 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( ( S  e.  V  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( T  e. Word  V  /\  ( # `  T
)  =  ( N  +  1 ) ) )  ->  ( ( T ++  <" S "> ) `  N )  =  ( T `  N ) )
7665, 67, 753eqtr4d 2497 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( S  e.  V  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( T  e. Word  V  /\  ( # `  T
)  =  ( N  +  1 ) ) )  ->  ( lastS  `  T
)  =  ( ( T ++  <" S "> ) `  N ) )
77 simpr 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( ( T  e. Word  V  /\  ( # `  T )  =  ( N  + 
1 ) )  -> 
( # `  T )  =  ( N  + 
1 ) )
7877eqcomd 2459 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( T  e. Word  V  /\  ( # `  T )  =  ( N  + 
1 ) )  -> 
( N  +  1 )  =  ( # `  T ) )
7978adantl 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( ( S  e.  V  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( T  e. Word  V  /\  ( # `  T
)  =  ( N  +  1 ) ) )  ->  ( N  +  1 )  =  ( # `  T
) )
80 ccats1val2 12767 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( T  e. Word  V  /\  S  e.  V  /\  ( N  +  1
)  =  ( # `  T ) )  -> 
( ( T ++  <" S "> ) `  ( N  +  1 ) )  =  S )
8168, 22, 79, 80syl3anc 1269 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( ( S  e.  V  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( T  e. Word  V  /\  ( # `  T
)  =  ( N  +  1 ) ) )  ->  ( ( T ++  <" S "> ) `  ( N  +  1 ) )  =  S )
8281eqcomd 2459 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( S  e.  V  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( T  e. Word  V  /\  ( # `  T
)  =  ( N  +  1 ) ) )  ->  S  =  ( ( T ++  <" S "> ) `  ( N  +  1 ) ) )
8376, 82preq12d 4062 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( S  e.  V  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( T  e. Word  V  /\  ( # `  T
)  =  ( N  +  1 ) ) )  ->  { ( lastS  `  T ) ,  S }  =  { (
( T ++  <" S "> ) `  N
) ,  ( ( T ++  <" S "> ) `  ( N  +  1 ) ) } )
8483eleq1d 2515 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( S  e.  V  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( T  e. Word  V  /\  ( # `  T
)  =  ( N  +  1 ) ) )  ->  ( {
( lastS  `  T ) ,  S }  e.  ran  E  <->  { ( ( T ++ 
<" S "> ) `  N ) ,  ( ( T ++ 
<" S "> ) `  ( N  +  1 ) ) }  e.  ran  E
) )
8584biimpcd 228 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( { ( lastS  `  T ) ,  S }  e.  ran  E  ->  ( ( ( S  e.  V  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( T  e. Word  V  /\  ( # `  T )  =  ( N  + 
1 ) ) )  ->  { ( ( T ++  <" S "> ) `  N ) ,  ( ( T ++ 
<" S "> ) `  ( N  +  1 ) ) }  e.  ran  E
) )
8685exp4c 613 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( { ( lastS  `  T ) ,  S }  e.  ran  E  ->  ( S  e.  V  ->  ( N  e.  NN0  ->  ( ( T  e. Word  V  /\  ( # `
 T )  =  ( N  +  1 ) )  ->  { ( ( T ++  <" S "> ) `  N
) ,  ( ( T ++  <" S "> ) `  ( N  +  1 ) ) }  e.  ran  E
) ) ) )
8786impcom 432 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( S  e.  V  /\  { ( lastS  `  T ) ,  S }  e.  ran  E )  ->  ( N  e.  NN0  ->  ( ( T  e. Word  V  /\  ( # `
 T )  =  ( N  +  1 ) )  ->  { ( ( T ++  <" S "> ) `  N
) ,  ( ( T ++  <" S "> ) `  ( N  +  1 ) ) }  e.  ran  E
) ) )
8887impcom 432 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( S  e.  V  /\  { ( lastS  `  T
) ,  S }  e.  ran  E ) )  ->  ( ( T  e. Word  V  /\  ( # `
 T )  =  ( N  +  1 ) )  ->  { ( ( T ++  <" S "> ) `  N
) ,  ( ( T ++  <" S "> ) `  ( N  +  1 ) ) }  e.  ran  E
) )
8988com12 32 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( T  e. Word  V  /\  ( # `  T )  =  ( N  + 
1 ) )  -> 
( ( N  e. 
NN0  /\  ( S  e.  V  /\  { ( lastS  `  T ) ,  S }  e.  ran  E ) )  ->  { (
( T ++  <" S "> ) `  N
) ,  ( ( T ++  <" S "> ) `  ( N  +  1 ) ) }  e.  ran  E
) )
90893adant3 1029 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( T  e. Word  V  /\  ( # `  T )  =  ( N  + 
1 )  /\  A. i  e.  ( 0..^ N ) { ( T `  i ) ,  ( T `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E )  ->  (
( N  e.  NN0  /\  ( S  e.  V  /\  { ( lastS  `  T
) ,  S }  e.  ran  E ) )  ->  { ( ( T ++  <" S "> ) `  N ) ,  ( ( T ++ 
<" S "> ) `  ( N  +  1 ) ) }  e.  ran  E
) )
9190imp 431 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( T  e. Word  V  /\  ( # `  T
)  =  ( N  +  1 )  /\  A. i  e.  ( 0..^ N ) { ( T `  i ) ,  ( T `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E )  /\  ( N  e.  NN0  /\  ( S  e.  V  /\  { ( lastS  `  T ) ,  S }  e.  ran  E ) ) )  ->  { ( ( T ++ 
<" S "> ) `  N ) ,  ( ( T ++ 
<" S "> ) `  ( N  +  1 ) ) }  e.  ran  E
)
92 fveq2 5870 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( i  =  N  ->  (
( T ++  <" S "> ) `  i
)  =  ( ( T ++  <" S "> ) `  N ) )
93 oveq1 6302 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( i  =  N  ->  (
i  +  1 )  =  ( N  + 
1 ) )
9493fveq2d 5874 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( i  =  N  ->  (
( T ++  <" S "> ) `  (
i  +  1 ) )  =  ( ( T ++  <" S "> ) `  ( N  +  1 ) ) )
9592, 94preq12d 4062 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( i  =  N  ->  { ( ( T ++  <" S "> ) `  i
) ,  ( ( T ++  <" S "> ) `  ( i  +  1 ) ) }  =  { ( ( T ++  <" S "> ) `  N
) ,  ( ( T ++  <" S "> ) `  ( N  +  1 ) ) } )
9695eleq1d 2515 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( i  =  N  ->  ( { ( ( T ++ 
<" S "> ) `  i ) ,  ( ( T ++ 
<" S "> ) `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  <->  { ( ( T ++  <" S "> ) `  N ) ,  ( ( T ++  <" S "> ) `  ( N  +  1 ) ) }  e.  ran  E ) )
9796ralsng 4008 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( A. i  e.  { N }  { ( ( T ++ 
<" S "> ) `  i ) ,  ( ( T ++ 
<" S "> ) `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  <->  { ( ( T ++  <" S "> ) `  N ) ,  ( ( T ++  <" S "> ) `  ( N  +  1 ) ) }  e.  ran  E ) )
9897ad2antrl 735 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( T  e. Word  V  /\  ( # `  T
)  =  ( N  +  1 )  /\  A. i  e.  ( 0..^ N ) { ( T `  i ) ,  ( T `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E )  /\  ( N  e.  NN0  /\  ( S  e.  V  /\  { ( lastS  `  T ) ,  S }  e.  ran  E ) ) )  -> 
( A. i  e. 
{ N }  {
( ( T ++  <" S "> ) `  i ) ,  ( ( T ++  <" S "> ) `  (
i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  <->  { ( ( T ++ 
<" S "> ) `  N ) ,  ( ( T ++ 
<" S "> ) `  ( N  +  1 ) ) }  e.  ran  E
) )
9991, 98mpbird 236 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( T  e. Word  V  /\  ( # `  T
)  =  ( N  +  1 )  /\  A. i  e.  ( 0..^ N ) { ( T `  i ) ,  ( T `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E )  /\  ( N  e.  NN0  /\  ( S  e.  V  /\  { ( lastS  `  T ) ,  S }  e.  ran  E ) ) )  ->  A. i  e.  { N }  { ( ( T ++ 
<" S "> ) `  i ) ,  ( ( T ++ 
<" S "> ) `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E
)
100 ralunb 3617 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( A. i  e.  ( (
0..^ N )  u. 
{ N } ) { ( ( T ++ 
<" S "> ) `  i ) ,  ( ( T ++ 
<" S "> ) `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  <->  ( A. i  e.  ( 0..^ N ) { ( ( T ++  <" S "> ) `  i ) ,  ( ( T ++  <" S "> ) `  (
i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  /\  A. i  e. 
{ N }  {
( ( T ++  <" S "> ) `  i ) ,  ( ( T ++  <" S "> ) `  (
i  +  1 ) ) }  e.  ran  E ) )
10156, 99, 100sylanbrc 671 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( T  e. Word  V  /\  ( # `  T
)  =  ( N  +  1 )  /\  A. i  e.  ( 0..^ N ) { ( T `  i ) ,  ( T `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E )  /\  ( N  e.  NN0  /\  ( S  e.  V  /\  { ( lastS  `  T ) ,  S }  e.  ran  E ) ) )  ->  A. i  e.  (
( 0..^ N )  u.  { N }
) { ( ( T ++  <" S "> ) `  i ) ,  ( ( T ++ 
<" S "> ) `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E
)
102 elnn0uz 11203 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( N  e.  NN0  <->  N  e.  ( ZZ>=
`  0 ) )
103 eluzfz2 11814 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  0
)  ->  N  e.  ( 0 ... N
) )
104102, 103sylbi 199 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( N  e.  NN0  ->  N  e.  ( 0 ... N
) )
105 fzelp1 11855 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( N  e.  ( 0 ... N )  ->  N  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) )
106 fzosplit 11958 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( N  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) )  ->  (
0..^ ( N  + 
1 ) )  =  ( ( 0..^ N )  u.  ( N..^ ( N  +  1 ) ) ) )
107104, 105, 1063syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( 0..^ ( N  +  1 ) )  =  ( ( 0..^ N )  u.  ( N..^ ( N  +  1 ) ) ) )
108 nn0z 10967 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( N  e.  NN0  ->  N  e.  ZZ )
109 fzosn 11991 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( N  e.  ZZ  ->  ( N..^ ( N  +  1 ) )  =  { N } )
110108, 109syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( N..^ ( N  +  1 ) )  =  { N } )
111110uneq2d 3590 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( 0..^ N )  u.  ( N..^ ( N  +  1 ) ) )  =  ( ( 0..^ N )  u. 
{ N } ) )
112107, 111eqtrd 2487 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( 0..^ ( N  +  1 ) )  =  ( ( 0..^ N )  u.  { N }
) )
113112ad2antrl 735 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( T  e. Word  V  /\  ( # `  T
)  =  ( N  +  1 )  /\  A. i  e.  ( 0..^ N ) { ( T `  i ) ,  ( T `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E )  /\  ( N  e.  NN0  /\  ( S  e.  V  /\  { ( lastS  `  T ) ,  S }  e.  ran  E ) ) )  -> 
( 0..^ ( N  +  1 ) )  =  ( ( 0..^ N )  u.  { N } ) )
114113raleqdv 2995 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( T  e. Word  V  /\  ( # `  T
)  =  ( N  +  1 )  /\  A. i  e.  ( 0..^ N ) { ( T `  i ) ,  ( T `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E )  /\  ( N  e.  NN0  /\  ( S  e.  V  /\  { ( lastS  `  T ) ,  S }  e.  ran  E ) ) )  -> 
( A. i  e.  ( 0..^ ( N  +  1 ) ) { ( ( T ++ 
<" S "> ) `  i ) ,  ( ( T ++ 
<" S "> ) `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  <->  A. i  e.  ( ( 0..^ N )  u. 
{ N } ) { ( ( T ++ 
<" S "> ) `  i ) ,  ( ( T ++ 
<" S "> ) `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E
) )
115101, 114mpbird 236 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( T  e. Word  V  /\  ( # `  T
)  =  ( N  +  1 )  /\  A. i  e.  ( 0..^ N ) { ( T `  i ) ,  ( T `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E )  /\  ( N  e.  NN0  /\  ( S  e.  V  /\  { ( lastS  `  T ) ,  S }  e.  ran  E ) ) )  ->  A. i  e.  (
0..^ ( N  + 
1 ) ) { ( ( T ++  <" S "> ) `  i ) ,  ( ( T ++  <" S "> ) `  (
i  +  1 ) ) }  e.  ran  E )
116 ccatlen 12728 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( T  e. Word  V  /\  <" S ">  e. Word  V )  ->  ( # `
 ( T ++  <" S "> )
)  =  ( (
# `  T )  +  ( # `  <" S "> )
) )
1173, 18, 116syl2an 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( T  e. Word  V  /\  ( # `  T
)  =  ( N  +  1 )  /\  A. i  e.  ( 0..^ N ) { ( T `  i ) ,  ( T `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E )  /\  ( N  e.  NN0  /\  ( S  e.  V  /\  { ( lastS  `  T ) ,  S }  e.  ran  E ) ) )  -> 
( # `  ( T ++ 
<" S "> ) )  =  ( ( # `  T
)  +  ( # `  <" S "> ) ) )
118117oveq1d 6310 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( T  e. Word  V  /\  ( # `  T
)  =  ( N  +  1 )  /\  A. i  e.  ( 0..^ N ) { ( T `  i ) ,  ( T `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E )  /\  ( N  e.  NN0  /\  ( S  e.  V  /\  { ( lastS  `  T ) ,  S }  e.  ran  E ) ) )  -> 
( ( # `  ( T ++  <" S "> ) )  -  1 )  =  ( ( ( # `  T
)  +  ( # `  <" S "> ) )  -  1 ) )
119 simpl2 1013 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( T  e. Word  V  /\  ( # `  T
)  =  ( N  +  1 )  /\  A. i  e.  ( 0..^ N ) { ( T `  i ) ,  ( T `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E )  /\  ( N  e.  NN0  /\  ( S  e.  V  /\  { ( lastS  `  T ) ,  S }  e.  ran  E ) ) )  -> 
( # `  T )  =  ( N  + 
1 ) )
120 s1len 12751 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( # `  <" S "> )  =  1
121120a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( T  e. Word  V  /\  ( # `  T
)  =  ( N  +  1 )  /\  A. i  e.  ( 0..^ N ) { ( T `  i ) ,  ( T `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E )  /\  ( N  e.  NN0  /\  ( S  e.  V  /\  { ( lastS  `  T ) ,  S }  e.  ran  E ) ) )  -> 
( # `  <" S "> )  =  1 )
122119, 121oveq12d 6313 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( T  e. Word  V  /\  ( # `  T
)  =  ( N  +  1 )  /\  A. i  e.  ( 0..^ N ) { ( T `  i ) ,  ( T `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E )  /\  ( N  e.  NN0  /\  ( S  e.  V  /\  { ( lastS  `  T ) ,  S }  e.  ran  E ) ) )  -> 
( ( # `  T
)  +  ( # `  <" S "> ) )  =  ( ( N  +  1 )  +  1 ) )
123122oveq1d 6310 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( T  e. Word  V  /\  ( # `  T
)  =  ( N  +  1 )  /\  A. i  e.  ( 0..^ N ) { ( T `  i ) ,  ( T `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E )  /\  ( N  e.  NN0  /\  ( S  e.  V  /\  { ( lastS  `  T ) ,  S }  e.  ran  E ) ) )  -> 
( ( ( # `  T )  +  (
# `  <" S "> ) )  - 
1 )  =  ( ( ( N  + 
1 )  +  1 )  -  1 ) )
124 peano2nn0 10917 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( N  +  1 )  e. 
NN0 )
125124nn0cnd 10934 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( N  +  1 )  e.  CC )
126 pncan 9886 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( N  +  1 )  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( ( N  +  1 )  +  1 )  -  1 )  =  ( N  +  1 ) )
127125, 60, 126sylancl 669 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( ( N  +  1 )  +  1 )  -  1 )  =  ( N  +  1 ) )
128127ad2antrl 735 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( T  e. Word  V  /\  ( # `  T
)  =  ( N  +  1 )  /\  A. i  e.  ( 0..^ N ) { ( T `  i ) ,  ( T `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E )  /\  ( N  e.  NN0  /\  ( S  e.  V  /\  { ( lastS  `  T ) ,  S }  e.  ran  E ) ) )  -> 
( ( ( N  +  1 )  +  1 )  -  1 )  =  ( N  +  1 ) )
129118, 123, 1283eqtrd 2491 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( T  e. Word  V  /\  ( # `  T
)  =  ( N  +  1 )  /\  A. i  e.  ( 0..^ N ) { ( T `  i ) ,  ( T `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E )  /\  ( N  e.  NN0  /\  ( S  e.  V  /\  { ( lastS  `  T ) ,  S }  e.  ran  E ) ) )  -> 
( ( # `  ( T ++  <" S "> ) )  -  1 )  =  ( N  +  1 ) )
130129oveq2d 6311 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( T  e. Word  V  /\  ( # `  T
)  =  ( N  +  1 )  /\  A. i  e.  ( 0..^ N ) { ( T `  i ) ,  ( T `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E )  /\  ( N  e.  NN0  /\  ( S  e.  V  /\  { ( lastS  `  T ) ,  S }  e.  ran  E ) ) )  -> 
( 0..^ ( (
# `  ( T ++  <" S "> ) )  -  1 ) )  =  ( 0..^ ( N  + 
1 ) ) )
131130raleqdv 2995 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( T  e. Word  V  /\  ( # `  T
)  =  ( N  +  1 )  /\  A. i  e.  ( 0..^ N ) { ( T `  i ) ,  ( T `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E )  /\  ( N  e.  NN0  /\  ( S  e.  V  /\  { ( lastS  `  T ) ,  S }  e.  ran  E ) ) )  -> 
( A. i  e.  ( 0..^ ( (
# `  ( T ++  <" S "> ) )  -  1 ) ) { ( ( T ++  <" S "> ) `  i
) ,  ( ( T ++  <" S "> ) `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  <->  A. i  e.  ( 0..^ ( N  +  1 ) ) { ( ( T ++  <" S "> ) `  i
) ,  ( ( T ++  <" S "> ) `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E
) )
132115, 131mpbird 236 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( T  e. Word  V  /\  ( # `  T
)  =  ( N  +  1 )  /\  A. i  e.  ( 0..^ N ) { ( T `  i ) ,  ( T `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E )  /\  ( N  e.  NN0  /\  ( S  e.  V  /\  { ( lastS  `  T ) ,  S }  e.  ran  E ) ) )  ->  A. i  e.  (
0..^ ( ( # `  ( T ++  <" S "> ) )  - 
1 ) ) { ( ( T ++  <" S "> ) `  i ) ,  ( ( T ++  <" S "> ) `  (
i  +  1 ) ) }  e.  ran  E )
13316, 20, 1323jca 1189 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( T  e. Word  V  /\  ( # `  T
)  =  ( N  +  1 )  /\  A. i  e.  ( 0..^ N ) { ( T `  i ) ,  ( T `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E )  /\  ( N  e.  NN0  /\  ( S  e.  V  /\  { ( lastS  `  T ) ,  S }  e.  ran  E ) ) )  -> 
( ( T ++  <" S "> )  =/=  (/)  /\  ( T ++ 
<" S "> )  e. Word  V  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( ( # `  ( T ++  <" S "> ) )  -  1 ) ) { ( ( T ++  <" S "> ) `  i
) ,  ( ( T ++  <" S "> ) `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E
) )
134117, 122eqtrd 2487 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( T  e. Word  V  /\  ( # `  T
)  =  ( N  +  1 )  /\  A. i  e.  ( 0..^ N ) { ( T `  i ) ,  ( T `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E )  /\  ( N  e.  NN0  /\  ( S  e.  V  /\  { ( lastS  `  T ) ,  S }  e.  ran  E ) ) )  -> 
( # `  ( T ++ 
<" S "> ) )  =  ( ( N  +  1 )  +  1 ) )
135133, 134jca 535 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( T  e. Word  V  /\  ( # `  T
)  =  ( N  +  1 )  /\  A. i  e.  ( 0..^ N ) { ( T `  i ) ,  ( T `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E )  /\  ( N  e.  NN0  /\  ( S  e.  V  /\  { ( lastS  `  T ) ,  S }  e.  ran  E ) ) )  -> 
( ( ( T ++ 
<" S "> )  =/=  (/)  /\  ( T ++ 
<" S "> )  e. Word  V  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( ( # `  ( T ++  <" S "> ) )  -  1 ) ) { ( ( T ++  <" S "> ) `  i
) ,  ( ( T ++  <" S "> ) `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E
)  /\  ( # `  ( T ++  <" S "> ) )  =  ( ( N  +  1 )  +  1 ) ) )
136135ex 436 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( T  e. Word  V  /\  ( # `  T )  =  ( N  + 
1 )  /\  A. i  e.  ( 0..^ N ) { ( T `  i ) ,  ( T `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E )  ->  (
( N  e.  NN0  /\  ( S  e.  V  /\  { ( lastS  `  T
) ,  S }  e.  ran  E ) )  ->  ( ( ( T ++  <" S "> )  =/=  (/)  /\  ( T ++  <" S "> )  e. Word  V  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( ( # `  ( T ++  <" S "> ) )  -  1 ) ) { ( ( T ++  <" S "> ) `  i
) ,  ( ( T ++  <" S "> ) `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E
)  /\  ( # `  ( T ++  <" S "> ) )  =  ( ( N  +  1 )  +  1 ) ) ) )
1372, 136syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( T  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  N
)  ->  ( ( N  e.  NN0  /\  ( S  e.  V  /\  { ( lastS  `  T ) ,  S }  e.  ran  E ) )  ->  (
( ( T ++  <" S "> )  =/=  (/)  /\  ( T ++ 
<" S "> )  e. Word  V  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( ( # `  ( T ++  <" S "> ) )  -  1 ) ) { ( ( T ++  <" S "> ) `  i
) ,  ( ( T ++  <" S "> ) `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E
)  /\  ( # `  ( T ++  <" S "> ) )  =  ( ( N  +  1 )  +  1 ) ) ) )
138137expd 438 . . . . . . . . . 10  |-  ( T  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  N
)  ->  ( N  e.  NN0  ->  ( ( S  e.  V  /\  { ( lastS  `  T ) ,  S }  e.  ran  E )  ->  ( (
( T ++  <" S "> )  =/=  (/)  /\  ( T ++  <" S "> )  e. Word  V  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( ( # `  ( T ++  <" S "> ) )  -  1 ) ) { ( ( T ++  <" S "> ) `  i
) ,  ( ( T ++  <" S "> ) `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E
)  /\  ( # `  ( T ++  <" S "> ) )  =  ( ( N  +  1 )  +  1 ) ) ) ) )
139138com12 32 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( T  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  N
)  ->  ( ( S  e.  V  /\  { ( lastS  `  T ) ,  S }  e.  ran  E )  ->  ( (
( T ++  <" S "> )  =/=  (/)  /\  ( T ++  <" S "> )  e. Word  V  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( ( # `  ( T ++  <" S "> ) )  -  1 ) ) { ( ( T ++  <" S "> ) `  i
) ,  ( ( T ++  <" S "> ) `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E
)  /\  ( # `  ( T ++  <" S "> ) )  =  ( ( N  +  1 )  +  1 ) ) ) ) )
1401393ad2ant3 1032 . . . . . . . 8  |-  ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V  /\  N  e.  NN0 )  ->  ( T  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  N
)  ->  ( ( S  e.  V  /\  { ( lastS  `  T ) ,  S }  e.  ran  E )  ->  ( (
( T ++  <" S "> )  =/=  (/)  /\  ( T ++  <" S "> )  e. Word  V  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( ( # `  ( T ++  <" S "> ) )  -  1 ) ) { ( ( T ++  <" S "> ) `  i
) ,  ( ( T ++  <" S "> ) `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E
)  /\  ( # `  ( T ++  <" S "> ) )  =  ( ( N  +  1 )  +  1 ) ) ) ) )
141140imp 431 . . . . . . 7  |-  ( ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V  /\  N  e.  NN0 )  /\  T  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  N
) )  ->  (
( S  e.  V  /\  { ( lastS  `  T
) ,  S }  e.  ran  E )  -> 
( ( ( T ++ 
<" S "> )  =/=  (/)  /\  ( T ++ 
<" S "> )  e. Word  V  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( ( # `  ( T ++  <" S "> ) )  -  1 ) ) { ( ( T ++  <" S "> ) `  i
) ,  ( ( T ++  <" S "> ) `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E
)  /\  ( # `  ( T ++  <" S "> ) )  =  ( ( N  +  1 )  +  1 ) ) ) )
142 iswwlkn 25424 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V  /\  ( N  +  1 )  e.  NN0 )  -> 
( ( T ++  <" S "> )  e.  ( ( V WWalksN  E
) `  ( N  +  1 ) )  <-> 
( ( T ++  <" S "> )  e.  ( V WWalks  E )  /\  ( # `  ( T ++  <" S "> ) )  =  ( ( N  +  1 )  +  1 ) ) ) )
143124, 142syl3an3 1304 . . . . . . . . 9  |-  ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V  /\  N  e.  NN0 )  ->  (
( T ++  <" S "> )  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  ( N  +  1 ) )  <->  ( ( T ++  <" S "> )  e.  ( V WWalks  E )  /\  ( # `
 ( T ++  <" S "> )
)  =  ( ( N  +  1 )  +  1 ) ) ) )
144 iswwlk 25423 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  ->  ( ( T ++  <" S "> )  e.  ( V WWalks  E )  <-> 
( ( T ++  <" S "> )  =/=  (/)  /\  ( T ++ 
<" S "> )  e. Word  V  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( ( # `  ( T ++  <" S "> ) )  -  1 ) ) { ( ( T ++  <" S "> ) `  i
) ,  ( ( T ++  <" S "> ) `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E
) ) )
145144anbi1d 712 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  ->  ( ( ( T ++ 
<" S "> )  e.  ( V WWalks  E )  /\  ( # `  ( T ++  <" S "> ) )  =  ( ( N  + 
1 )  +  1 ) )  <->  ( (
( T ++  <" S "> )  =/=  (/)  /\  ( T ++  <" S "> )  e. Word  V  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( ( # `  ( T ++  <" S "> ) )  -  1 ) ) { ( ( T ++  <" S "> ) `  i
) ,  ( ( T ++  <" S "> ) `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E
)  /\  ( # `  ( T ++  <" S "> ) )  =  ( ( N  +  1 )  +  1 ) ) ) )
1461453adant3 1029 . . . . . . . . 9  |-  ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V  /\  N  e.  NN0 )  ->  (
( ( T ++  <" S "> )  e.  ( V WWalks  E )  /\  ( # `  ( T ++  <" S "> ) )  =  ( ( N  +  1 )  +  1 ) )  <->  ( ( ( T ++  <" S "> )  =/=  (/)  /\  ( T ++  <" S "> )  e. Word  V  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( ( # `  ( T ++  <" S "> ) )  -  1 ) ) { ( ( T ++  <" S "> ) `  i
) ,  ( ( T ++  <" S "> ) `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E
)  /\  ( # `  ( T ++  <" S "> ) )  =  ( ( N  +  1 )  +  1 ) ) ) )
147143, 146bitrd 257 . . . . . . . 8  |-  ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V  /\  N  e.  NN0 )  ->  (
( T ++  <" S "> )  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  ( N  +  1 ) )  <->  ( (
( T ++  <" S "> )  =/=  (/)  /\  ( T ++  <" S "> )  e. Word  V  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( ( # `  ( T ++  <" S "> ) )  -  1 ) ) { ( ( T ++  <" S "> ) `  i
) ,  ( ( T ++  <" S "> ) `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E
)  /\  ( # `  ( T ++  <" S "> ) )  =  ( ( N  +  1 )  +  1 ) ) ) )
148147adantr 467 . . . . . . 7  |-  ( ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V  /\  N  e.  NN0 )  /\  T  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  N
) )  ->  (
( T ++  <" S "> )  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  ( N  +  1 ) )  <->  ( (
( T ++  <" S "> )  =/=  (/)  /\  ( T ++  <" S "> )  e. Word  V  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( ( # `  ( T ++  <" S "> ) )  -  1 ) ) { ( ( T ++  <" S "> ) `  i
) ,  ( ( T ++  <" S "> ) `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E
)  /\  ( # `  ( T ++  <" S "> ) )  =  ( ( N  +  1 )  +  1 ) ) ) )
149141, 148sylibrd 238 . . . . . 6  |-  ( ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V  /\  N  e.  NN0 )  /\  T  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  N
) )  ->  (
( S  e.  V  /\  { ( lastS  `  T
) ,  S }  e.  ran  E )  -> 
( T ++  <" S "> )  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  ( N  +  1 ) ) ) )
150149ex 436 . . . . 5  |-  ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V  /\  N  e.  NN0 )  ->  ( T  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  N
)  ->  ( ( S  e.  V  /\  { ( lastS  `  T ) ,  S }  e.  ran  E )  ->  ( T ++  <" S "> )  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  ( N  +  1 ) ) ) ) )
1511503expa 1209 . . . 4  |-  ( ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  N  e.  NN0 )  ->  ( T  e.  ( ( V WWalksN  E
) `  N )  ->  ( ( S  e.  V  /\  { ( lastS  `  T ) ,  S }  e.  ran  E )  ->  ( T ++  <" S "> )  e.  ( ( V WWalksN  E
) `  ( N  +  1 ) ) ) ) )
152151adantrr 724 . . 3  |-  ( ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( N  e.  NN0  /\  T  e. Word  V ) )  ->  ( T  e.  ( ( V WWalksN  E
) `  N )  ->  ( ( S  e.  V  /\  { ( lastS  `  T ) ,  S }  e.  ran  E )  ->  ( T ++  <" S "> )  e.  ( ( V WWalksN  E
) `  ( N  +  1 ) ) ) ) )
1531, 152mpcom 37 . 2  |-  ( T  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  N
)  ->  ( ( S  e.  V  /\  { ( lastS  `  T ) ,  S }  e.  ran  E )  ->  ( T ++  <" S "> )  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  ( N  +  1 ) ) ) )
1541533impib 1207 1  |-  ( ( T  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  N
)  /\  S  e.  V  /\  { ( lastS  `  T
) ,  S }  e.  ran  E )  -> 
( T ++  <" S "> )  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  ( N  +  1 ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 188    /\ wa 371    /\ w3a 986    = wceq 1446    e. wcel 1889    =/= wne 2624   A.wral 2739   _Vcvv 3047    u. cun 3404   (/)c0 3733   {csn 3970   {cpr 3972   <.cop 3976   ran crn 4838   ` cfv 5585  (class class class)co 6295   CCcc 9542   0cc0 9544   1c1 9545    + caddc 9547    - cmin 9865   NN0cn0 10876   ZZcz 10944   ZZ>=cuz 11166   ...cfz 11791  ..^cfzo 11922   #chash 12522  Word cword 12663   lastS clsw 12664   ++ cconcat 12665   <"cs1 12666   WWalks cwwlk 25417   WWalksN cwwlkn 25418
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1671  ax-4 1684  ax-5 1760  ax-6 1807  ax-7 1853  ax-8 1891  ax-9 1898  ax-10 1917  ax-11 1922  ax-12 1935  ax-13 2093  ax-ext 2433  ax-rep 4518  ax-sep 4528  ax-nul 4537  ax-pow 4584  ax-pr 4642  ax-un 6588  ax-cnex 9600  ax-resscn 9601  ax-1cn 9602  ax-icn 9603  ax-addcl 9604  ax-addrcl 9605  ax-mulcl 9606  ax-mulrcl 9607  ax-mulcom 9608  ax-addass 9609  ax-mulass 9610  ax-distr 9611  ax-i2m1 9612  ax-1ne0 9613  ax-1rid 9614  ax-rnegex 9615  ax-rrecex 9616  ax-cnre 9617  ax-pre-lttri 9618  ax-pre-lttrn 9619  ax-pre-ltadd 9620  ax-pre-mulgt0 9621
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 987  df-3an 988  df-tru 1449  df-ex 1666  df-nf 1670  df-sb 1800  df-eu 2305  df-mo 2306  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2583  df-ne 2626  df-nel 2627  df-ral 2744  df-rex 2745  df-reu 2746  df-rmo 2747  df-rab 2748  df-v 3049  df-sbc 3270  df-csb 3366  df-dif 3409  df-un 3411  df-in 3413  df-ss 3420  df-pss 3422  df-nul 3734  df-if 3884  df-pw 3955  df-sn 3971  df-pr 3973  df-tp 3975  df-op 3977  df-uni 4202  df-int 4238  df-iun 4283  df-br 4406  df-opab 4465  df-mpt 4466  df-tr 4501  df-eprel 4748  df-id 4752  df-po 4758  df-so 4759  df-fr 4796  df-we 4798  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-pred 5383  df-ord 5429  df-on 5430  df-lim 5431  df-suc 5432  df-iota 5549  df-fun 5587  df-fn 5588  df-f 5589  df-f1 5590  df-fo 5591  df-f1o 5592  df-fv 5593  df-riota 6257  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-om 6698  df-1st 6798  df-2nd 6799  df-wrecs 7033  df-recs 7095  df-rdg 7133  df-1o 7187  df-oadd 7191  df-er 7368  df-map 7479  df-pm 7480  df-en 7575  df-dom 7576  df-sdom 7577  df-fin 7578  df-card 8378  df-cda 8603  df-pnf 9682  df-mnf 9683  df-xr 9684  df-ltxr 9685  df-le 9686  df-sub 9867  df-neg 9868  df-nn 10617  df-2 10675  df-n0 10877  df-z 10945  df-uz 11167  df-fz 11792  df-fzo 11923  df-hash 12523  df-word 12671  df-lsw 12672  df-concat 12673  df-s1 12674  df-wwlk 25419  df-wwlkn 25420
This theorem is referenced by:  wwlknextbi  25465  wwlkextsur  25471
  Copyright terms: Public domain W3C validator