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Theorem wwlknext 24589
Description: Extension of a walk (as word) by adding an edge/vertex. (Contributed by Alexander van der Vekens, 4-Aug-2018.)
Assertion
Ref Expression
wwlknext  |-  ( ( T  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  N
)  /\  S  e.  V  /\  { ( lastS  `  T
) ,  S }  e.  ran  E )  -> 
( T concat  <" S "> )  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  ( N  +  1 ) ) )

Proof of Theorem wwlknext
Dummy variable  i is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 wwlknprop 24551 . . 3  |-  ( T  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  N
)  ->  ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( N  e.  NN0  /\  T  e. Word  V ) ) )
2 wwlknimp 24552 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( T  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  N
)  ->  ( T  e. Word  V  /\  ( # `  T )  =  ( N  +  1 )  /\  A. i  e.  ( 0..^ N ) { ( T `  i ) ,  ( T `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E
) )
3 simp1 995 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( T  e. Word  V  /\  ( # `  T )  =  ( N  + 
1 )  /\  A. i  e.  ( 0..^ N ) { ( T `  i ) ,  ( T `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E )  ->  T  e. Word  V )
4 simprl 755 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( S  e.  V  /\  { ( lastS  `  T
) ,  S }  e.  ran  E ) )  ->  S  e.  V
)
5 cats1un 12675 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( T  e. Word  V  /\  S  e.  V )  ->  ( T concat  <" S "> )  =  ( T  u.  { <. (
# `  T ) ,  S >. } ) )
63, 4, 5syl2an 477 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( T  e. Word  V  /\  ( # `  T
)  =  ( N  +  1 )  /\  A. i  e.  ( 0..^ N ) { ( T `  i ) ,  ( T `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E )  /\  ( N  e.  NN0  /\  ( S  e.  V  /\  { ( lastS  `  T ) ,  S }  e.  ran  E ) ) )  -> 
( T concat  <" S "> )  =  ( T  u.  { <. (
# `  T ) ,  S >. } ) )
7 opex 4697 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  <. ( # `
 T ) ,  S >.  e.  _V
87snnz 4129 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  { <. (
# `  T ) ,  S >. }  =/=  (/)
98neii 2640 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  -.  { <. ( # `  T
) ,  S >. }  =  (/)
109intnan 912 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  -.  ( T  =  (/)  /\  { <. ( # `  T
) ,  S >. }  =  (/) )
11 df-ne 2638 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( T  u.  { <. (
# `  T ) ,  S >. } )  =/=  (/) 
<->  -.  ( T  u.  {
<. ( # `  T
) ,  S >. } )  =  (/) )
12 un00 3844 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( T  =  (/)  /\  { <. ( # `  T
) ,  S >. }  =  (/) )  <->  ( T  u.  { <. ( # `  T
) ,  S >. } )  =  (/) )
1311, 12xchbinxr 311 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( T  u.  { <. (
# `  T ) ,  S >. } )  =/=  (/) 
<->  -.  ( T  =  (/)  /\  { <. ( # `
 T ) ,  S >. }  =  (/) ) )
1410, 13mpbir 209 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( T  u.  { <. ( # `
 T ) ,  S >. } )  =/=  (/)
1514a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( T  e. Word  V  /\  ( # `  T
)  =  ( N  +  1 )  /\  A. i  e.  ( 0..^ N ) { ( T `  i ) ,  ( T `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E )  /\  ( N  e.  NN0  /\  ( S  e.  V  /\  { ( lastS  `  T ) ,  S }  e.  ran  E ) ) )  -> 
( T  u.  { <. ( # `  T
) ,  S >. } )  =/=  (/) )
166, 15eqnetrd 2734 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( T  e. Word  V  /\  ( # `  T
)  =  ( N  +  1 )  /\  A. i  e.  ( 0..^ N ) { ( T `  i ) ,  ( T `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E )  /\  ( N  e.  NN0  /\  ( S  e.  V  /\  { ( lastS  `  T ) ,  S }  e.  ran  E ) ) )  -> 
( T concat  <" S "> )  =/=  (/) )
17 s1cl 12588 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( S  e.  V  ->  <" S ">  e. Word  V )
1817ad2antrl 727 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( S  e.  V  /\  { ( lastS  `  T
) ,  S }  e.  ran  E ) )  ->  <" S ">  e. Word  V )
19 ccatcl 12567 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( T  e. Word  V  /\  <" S ">  e. Word  V )  ->  ( T concat  <" S "> )  e. Word  V )
203, 18, 19syl2an 477 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( T  e. Word  V  /\  ( # `  T
)  =  ( N  +  1 )  /\  A. i  e.  ( 0..^ N ) { ( T `  i ) ,  ( T `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E )  /\  ( N  e.  NN0  /\  ( S  e.  V  /\  { ( lastS  `  T ) ,  S }  e.  ran  E ) ) )  -> 
( T concat  <" S "> )  e. Word  V
)
21 simplrl 759 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( ( ( ( S  e.  V  /\  N  e. 
NN0 )  /\  ( T  e. Word  V  /\  ( # `
 T )  =  ( N  +  1 ) ) )  /\  i  e.  ( 0..^ N ) )  ->  T  e. Word  V )
22 simpll 753 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( ( ( S  e.  V  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( T  e. Word  V  /\  ( # `  T
)  =  ( N  +  1 ) ) )  ->  S  e.  V )
2322adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( ( ( ( S  e.  V  /\  N  e. 
NN0 )  /\  ( T  e. Word  V  /\  ( # `
 T )  =  ( N  +  1 ) ) )  /\  i  e.  ( 0..^ N ) )  ->  S  e.  V )
24 fzossfzop1 11867 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( 0..^ N )  C_  (
0..^ ( N  + 
1 ) ) )
2524sseld 3485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( i  e.  ( 0..^ N )  ->  i  e.  ( 0..^ ( N  + 
1 ) ) ) )
2625ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35  |-  ( ( ( S  e.  V  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( T  e. Word  V  /\  ( # `  T
)  =  ( N  +  1 ) ) )  ->  ( i  e.  ( 0..^ N )  ->  i  e.  ( 0..^ ( N  + 
1 ) ) ) )
2726imp 429 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( ( ( ( S  e.  V  /\  N  e. 
NN0 )  /\  ( T  e. Word  V  /\  ( # `
 T )  =  ( N  +  1 ) ) )  /\  i  e.  ( 0..^ N ) )  -> 
i  e.  ( 0..^ ( N  +  1 ) ) )
28 oveq2 6285 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37  |-  ( (
# `  T )  =  ( N  + 
1 )  ->  (
0..^ ( # `  T
) )  =  ( 0..^ ( N  + 
1 ) ) )
2928eleq2d 2511 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36  |-  ( (
# `  T )  =  ( N  + 
1 )  ->  (
i  e.  ( 0..^ ( # `  T
) )  <->  i  e.  ( 0..^ ( N  + 
1 ) ) ) )
3029adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35  |-  ( ( T  e. Word  V  /\  ( # `  T )  =  ( N  + 
1 ) )  -> 
( i  e.  ( 0..^ ( # `  T
) )  <->  i  e.  ( 0..^ ( N  + 
1 ) ) ) )
3130ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( ( ( ( S  e.  V  /\  N  e. 
NN0 )  /\  ( T  e. Word  V  /\  ( # `
 T )  =  ( N  +  1 ) ) )  /\  i  e.  ( 0..^ N ) )  -> 
( i  e.  ( 0..^ ( # `  T
) )  <->  i  e.  ( 0..^ ( N  + 
1 ) ) ) )
3227, 31mpbird 232 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( ( ( ( S  e.  V  /\  N  e. 
NN0 )  /\  ( T  e. Word  V  /\  ( # `
 T )  =  ( N  +  1 ) ) )  /\  i  e.  ( 0..^ N ) )  -> 
i  e.  ( 0..^ ( # `  T
) ) )
33 ccats1val1 12604 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( ( T  e. Word  V  /\  S  e.  V  /\  i  e.  ( 0..^ ( # `  T
) ) )  -> 
( ( T concat  <" S "> ) `  i
)  =  ( T `
 i ) )
3421, 23, 32, 33syl3anc 1227 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( ( ( ( S  e.  V  /\  N  e. 
NN0 )  /\  ( T  e. Word  V  /\  ( # `
 T )  =  ( N  +  1 ) ) )  /\  i  e.  ( 0..^ N ) )  -> 
( ( T concat  <" S "> ) `  i
)  =  ( T `
 i ) )
3534eqcomd 2449 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( ( ( S  e.  V  /\  N  e. 
NN0 )  /\  ( T  e. Word  V  /\  ( # `
 T )  =  ( N  +  1 ) ) )  /\  i  e.  ( 0..^ N ) )  -> 
( T `  i
)  =  ( ( T concat  <" S "> ) `  i ) )
36 fzonn0p1p1 11868 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35  |-  ( i  e.  ( 0..^ N )  ->  ( i  +  1 )  e.  ( 0..^ ( N  +  1 ) ) )
3736adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( ( ( ( S  e.  V  /\  N  e. 
NN0 )  /\  ( T  e. Word  V  /\  ( # `
 T )  =  ( N  +  1 ) ) )  /\  i  e.  ( 0..^ N ) )  -> 
( i  +  1 )  e.  ( 0..^ ( N  +  1 ) ) )
3828adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35  |-  ( ( T  e. Word  V  /\  ( # `  T )  =  ( N  + 
1 ) )  -> 
( 0..^ ( # `  T ) )  =  ( 0..^ ( N  +  1 ) ) )
3938ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( ( ( ( S  e.  V  /\  N  e. 
NN0 )  /\  ( T  e. Word  V  /\  ( # `
 T )  =  ( N  +  1 ) ) )  /\  i  e.  ( 0..^ N ) )  -> 
( 0..^ ( # `  T ) )  =  ( 0..^ ( N  +  1 ) ) )
4037, 39eleqtrrd 2532 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( ( ( ( S  e.  V  /\  N  e. 
NN0 )  /\  ( T  e. Word  V  /\  ( # `
 T )  =  ( N  +  1 ) ) )  /\  i  e.  ( 0..^ N ) )  -> 
( i  +  1 )  e.  ( 0..^ ( # `  T
) ) )
41 ccats1val1 12604 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( ( T  e. Word  V  /\  S  e.  V  /\  ( i  +  1 )  e.  ( 0..^ ( # `  T
) ) )  -> 
( ( T concat  <" S "> ) `  (
i  +  1 ) )  =  ( T `
 ( i  +  1 ) ) )
4221, 23, 40, 41syl3anc 1227 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( ( ( ( S  e.  V  /\  N  e. 
NN0 )  /\  ( T  e. Word  V  /\  ( # `
 T )  =  ( N  +  1 ) ) )  /\  i  e.  ( 0..^ N ) )  -> 
( ( T concat  <" S "> ) `  (
i  +  1 ) )  =  ( T `
 ( i  +  1 ) ) )
4342eqcomd 2449 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( ( ( S  e.  V  /\  N  e. 
NN0 )  /\  ( T  e. Word  V  /\  ( # `
 T )  =  ( N  +  1 ) ) )  /\  i  e.  ( 0..^ N ) )  -> 
( T `  (
i  +  1 ) )  =  ( ( T concat  <" S "> ) `  ( i  +  1 ) ) )
4435, 43preq12d 4098 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( ( ( S  e.  V  /\  N  e. 
NN0 )  /\  ( T  e. Word  V  /\  ( # `
 T )  =  ( N  +  1 ) ) )  /\  i  e.  ( 0..^ N ) )  ->  { ( T `  i ) ,  ( T `  ( i  +  1 ) ) }  =  { ( ( T concat  <" S "> ) `  i
) ,  ( ( T concat  <" S "> ) `  ( i  +  1 ) ) } )
4544exp41 610 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( S  e.  V  ->  ( N  e.  NN0  ->  (
( T  e. Word  V  /\  ( # `  T
)  =  ( N  +  1 ) )  ->  ( i  e.  ( 0..^ N )  ->  { ( T `
 i ) ,  ( T `  (
i  +  1 ) ) }  =  {
( ( T concat  <" S "> ) `  i
) ,  ( ( T concat  <" S "> ) `  ( i  +  1 ) ) } ) ) ) )
4645adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( S  e.  V  /\  { ( lastS  `  T ) ,  S }  e.  ran  E )  ->  ( N  e.  NN0  ->  ( ( T  e. Word  V  /\  ( # `
 T )  =  ( N  +  1 ) )  ->  (
i  e.  ( 0..^ N )  ->  { ( T `  i ) ,  ( T `  ( i  +  1 ) ) }  =  { ( ( T concat  <" S "> ) `  i ) ,  ( ( T concat  <" S "> ) `  ( i  +  1 ) ) } ) ) ) )
4746impcom 430 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( S  e.  V  /\  { ( lastS  `  T
) ,  S }  e.  ran  E ) )  ->  ( ( T  e. Word  V  /\  ( # `
 T )  =  ( N  +  1 ) )  ->  (
i  e.  ( 0..^ N )  ->  { ( T `  i ) ,  ( T `  ( i  +  1 ) ) }  =  { ( ( T concat  <" S "> ) `  i ) ,  ( ( T concat  <" S "> ) `  ( i  +  1 ) ) } ) ) )
4847impcom 430 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( T  e. Word  V  /\  ( # `  T
)  =  ( N  +  1 ) )  /\  ( N  e. 
NN0  /\  ( S  e.  V  /\  { ( lastS  `  T ) ,  S }  e.  ran  E ) ) )  ->  (
i  e.  ( 0..^ N )  ->  { ( T `  i ) ,  ( T `  ( i  +  1 ) ) }  =  { ( ( T concat  <" S "> ) `  i ) ,  ( ( T concat  <" S "> ) `  ( i  +  1 ) ) } ) )
4948imp 429 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( T  e. Word  V  /\  ( # `  T
)  =  ( N  +  1 ) )  /\  ( N  e. 
NN0  /\  ( S  e.  V  /\  { ( lastS  `  T ) ,  S }  e.  ran  E ) ) )  /\  i  e.  ( 0..^ N ) )  ->  { ( T `  i ) ,  ( T `  ( i  +  1 ) ) }  =  { ( ( T concat  <" S "> ) `  i ) ,  ( ( T concat  <" S "> ) `  ( i  +  1 ) ) } )
5049eleq1d 2510 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( T  e. Word  V  /\  ( # `  T
)  =  ( N  +  1 ) )  /\  ( N  e. 
NN0  /\  ( S  e.  V  /\  { ( lastS  `  T ) ,  S }  e.  ran  E ) ) )  /\  i  e.  ( 0..^ N ) )  ->  ( {
( T `  i
) ,  ( T `
 ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  <->  { (
( T concat  <" S "> ) `  i
) ,  ( ( T concat  <" S "> ) `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E
) )
5150ralbidva 2877 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( T  e. Word  V  /\  ( # `  T
)  =  ( N  +  1 ) )  /\  ( N  e. 
NN0  /\  ( S  e.  V  /\  { ( lastS  `  T ) ,  S }  e.  ran  E ) ) )  ->  ( A. i  e.  (
0..^ N ) { ( T `  i
) ,  ( T `
 ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  <->  A. i  e.  ( 0..^ N ) { ( ( T concat  <" S "> ) `  i ) ,  ( ( T concat  <" S "> ) `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E
) )
5251biimpd 207 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( T  e. Word  V  /\  ( # `  T
)  =  ( N  +  1 ) )  /\  ( N  e. 
NN0  /\  ( S  e.  V  /\  { ( lastS  `  T ) ,  S }  e.  ran  E ) ) )  ->  ( A. i  e.  (
0..^ N ) { ( T `  i
) ,  ( T `
 ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  ->  A. i  e.  (
0..^ N ) { ( ( T concat  <" S "> ) `  i
) ,  ( ( T concat  <" S "> ) `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E
) )
5352ex 434 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( T  e. Word  V  /\  ( # `  T )  =  ( N  + 
1 ) )  -> 
( ( N  e. 
NN0  /\  ( S  e.  V  /\  { ( lastS  `  T ) ,  S }  e.  ran  E ) )  ->  ( A. i  e.  ( 0..^ N ) { ( T `  i ) ,  ( T `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  ->  A. i  e.  ( 0..^ N ) { ( ( T concat  <" S "> ) `  i ) ,  ( ( T concat  <" S "> ) `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E
) ) )
5453com23 78 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( T  e. Word  V  /\  ( # `  T )  =  ( N  + 
1 ) )  -> 
( A. i  e.  ( 0..^ N ) { ( T `  i ) ,  ( T `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  ->  ( ( N  e. 
NN0  /\  ( S  e.  V  /\  { ( lastS  `  T ) ,  S }  e.  ran  E ) )  ->  A. i  e.  ( 0..^ N ) { ( ( T concat  <" S "> ) `  i ) ,  ( ( T concat  <" S "> ) `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E
) ) )
55543impia 1192 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( T  e. Word  V  /\  ( # `  T )  =  ( N  + 
1 )  /\  A. i  e.  ( 0..^ N ) { ( T `  i ) ,  ( T `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E )  ->  (
( N  e.  NN0  /\  ( S  e.  V  /\  { ( lastS  `  T
) ,  S }  e.  ran  E ) )  ->  A. i  e.  ( 0..^ N ) { ( ( T concat  <" S "> ) `  i
) ,  ( ( T concat  <" S "> ) `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E
) )
5655imp 429 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( T  e. Word  V  /\  ( # `  T
)  =  ( N  +  1 )  /\  A. i  e.  ( 0..^ N ) { ( T `  i ) ,  ( T `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E )  /\  ( N  e.  NN0  /\  ( S  e.  V  /\  { ( lastS  `  T ) ,  S }  e.  ran  E ) ) )  ->  A. i  e.  (
0..^ N ) { ( ( T concat  <" S "> ) `  i
) ,  ( ( T concat  <" S "> ) `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E
)
57 oveq1 6284 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( (
# `  T )  =  ( N  + 
1 )  ->  (
( # `  T )  -  1 )  =  ( ( N  + 
1 )  -  1 ) )
5857ad2antll 728 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( ( S  e.  V  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( T  e. Word  V  /\  ( # `  T
)  =  ( N  +  1 ) ) )  ->  ( ( # `
 T )  - 
1 )  =  ( ( N  +  1 )  -  1 ) )
59 nn0cn 10806 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( N  e.  NN0  ->  N  e.  CC )
60 ax-1cn 9548 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  1  e.  CC
61 pncan 9826 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( ( N  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( N  + 
1 )  -  1 )  =  N )
6259, 60, 61sylancl 662 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( N  +  1 )  -  1 )  =  N )
6362ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( ( S  e.  V  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( T  e. Word  V  /\  ( # `  T
)  =  ( N  +  1 ) ) )  ->  ( ( N  +  1 )  -  1 )  =  N )
6458, 63eqtrd 2482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( ( S  e.  V  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( T  e. Word  V  /\  ( # `  T
)  =  ( N  +  1 ) ) )  ->  ( ( # `
 T )  - 
1 )  =  N )
6564fveq2d 5856 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( ( S  e.  V  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( T  e. Word  V  /\  ( # `  T
)  =  ( N  +  1 ) ) )  ->  ( T `  ( ( # `  T
)  -  1 ) )  =  ( T `
 N ) )
66 lsw 12559 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( T  e. Word  V  ->  ( lastS  `  T )  =  ( T `  ( (
# `  T )  -  1 ) ) )
6766ad2antrl 727 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( ( S  e.  V  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( T  e. Word  V  /\  ( # `  T
)  =  ( N  +  1 ) ) )  ->  ( lastS  `  T
)  =  ( T `
 ( ( # `  T )  -  1 ) ) )
68 simprl 755 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( ( S  e.  V  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( T  e. Word  V  /\  ( # `  T
)  =  ( N  +  1 ) ) )  ->  T  e. Word  V )
69 fzonn0p1 11866 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( N  e.  NN0  ->  N  e.  ( 0..^ ( N  +  1 ) ) )
7069ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( ( S  e.  V  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( T  e. Word  V  /\  ( # `  T
)  =  ( N  +  1 ) ) )  ->  N  e.  ( 0..^ ( N  + 
1 ) ) )
7128eleq2d 2511 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( (
# `  T )  =  ( N  + 
1 )  ->  ( N  e.  ( 0..^ ( # `  T
) )  <->  N  e.  ( 0..^ ( N  + 
1 ) ) ) )
7271ad2antll 728 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( ( S  e.  V  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( T  e. Word  V  /\  ( # `  T
)  =  ( N  +  1 ) ) )  ->  ( N  e.  ( 0..^ ( # `  T ) )  <->  N  e.  ( 0..^ ( N  + 
1 ) ) ) )
7370, 72mpbird 232 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( ( S  e.  V  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( T  e. Word  V  /\  ( # `  T
)  =  ( N  +  1 ) ) )  ->  N  e.  ( 0..^ ( # `  T
) ) )
74 ccats1val1 12604 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( T  e. Word  V  /\  S  e.  V  /\  N  e.  ( 0..^ ( # `  T
) ) )  -> 
( ( T concat  <" S "> ) `  N
)  =  ( T `
 N ) )
7568, 22, 73, 74syl3anc 1227 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( ( S  e.  V  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( T  e. Word  V  /\  ( # `  T
)  =  ( N  +  1 ) ) )  ->  ( ( T concat  <" S "> ) `  N )  =  ( T `  N ) )
7665, 67, 753eqtr4d 2492 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( S  e.  V  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( T  e. Word  V  /\  ( # `  T
)  =  ( N  +  1 ) ) )  ->  ( lastS  `  T
)  =  ( ( T concat  <" S "> ) `  N ) )
77 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( ( T  e. Word  V  /\  ( # `  T )  =  ( N  + 
1 ) )  -> 
( # `  T )  =  ( N  + 
1 ) )
7877eqcomd 2449 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( T  e. Word  V  /\  ( # `  T )  =  ( N  + 
1 ) )  -> 
( N  +  1 )  =  ( # `  T ) )
7978adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( ( S  e.  V  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( T  e. Word  V  /\  ( # `  T
)  =  ( N  +  1 ) ) )  ->  ( N  +  1 )  =  ( # `  T
) )
80 ccats1val2 12605 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( T  e. Word  V  /\  S  e.  V  /\  ( N  +  1
)  =  ( # `  T ) )  -> 
( ( T concat  <" S "> ) `  ( N  +  1 ) )  =  S )
8168, 22, 79, 80syl3anc 1227 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( ( S  e.  V  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( T  e. Word  V  /\  ( # `  T
)  =  ( N  +  1 ) ) )  ->  ( ( T concat  <" S "> ) `  ( N  +  1 ) )  =  S )
8281eqcomd 2449 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( S  e.  V  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( T  e. Word  V  /\  ( # `  T
)  =  ( N  +  1 ) ) )  ->  S  =  ( ( T concat  <" S "> ) `  ( N  +  1 ) ) )
8376, 82preq12d 4098 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( S  e.  V  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( T  e. Word  V  /\  ( # `  T
)  =  ( N  +  1 ) ) )  ->  { ( lastS  `  T ) ,  S }  =  { (
( T concat  <" S "> ) `  N
) ,  ( ( T concat  <" S "> ) `  ( N  +  1 ) ) } )
8483eleq1d 2510 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( S  e.  V  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( T  e. Word  V  /\  ( # `  T
)  =  ( N  +  1 ) ) )  ->  ( {
( lastS  `  T ) ,  S }  e.  ran  E  <->  { ( ( T concat  <" S "> ) `  N ) ,  ( ( T concat  <" S "> ) `  ( N  +  1 ) ) }  e.  ran  E
) )
8584biimpcd 224 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( { ( lastS  `  T ) ,  S }  e.  ran  E  ->  ( ( ( S  e.  V  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( T  e. Word  V  /\  ( # `  T )  =  ( N  + 
1 ) ) )  ->  { ( ( T concat  <" S "> ) `  N ) ,  ( ( T concat  <" S "> ) `  ( N  +  1 ) ) }  e.  ran  E
) )
8685exp4c 608 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( { ( lastS  `  T ) ,  S }  e.  ran  E  ->  ( S  e.  V  ->  ( N  e.  NN0  ->  ( ( T  e. Word  V  /\  ( # `
 T )  =  ( N  +  1 ) )  ->  { ( ( T concat  <" S "> ) `  N
) ,  ( ( T concat  <" S "> ) `  ( N  +  1 ) ) }  e.  ran  E
) ) ) )
8786impcom 430 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( S  e.  V  /\  { ( lastS  `  T ) ,  S }  e.  ran  E )  ->  ( N  e.  NN0  ->  ( ( T  e. Word  V  /\  ( # `
 T )  =  ( N  +  1 ) )  ->  { ( ( T concat  <" S "> ) `  N
) ,  ( ( T concat  <" S "> ) `  ( N  +  1 ) ) }  e.  ran  E
) ) )
8887impcom 430 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( S  e.  V  /\  { ( lastS  `  T
) ,  S }  e.  ran  E ) )  ->  ( ( T  e. Word  V  /\  ( # `
 T )  =  ( N  +  1 ) )  ->  { ( ( T concat  <" S "> ) `  N
) ,  ( ( T concat  <" S "> ) `  ( N  +  1 ) ) }  e.  ran  E
) )
8988com12 31 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( T  e. Word  V  /\  ( # `  T )  =  ( N  + 
1 ) )  -> 
( ( N  e. 
NN0  /\  ( S  e.  V  /\  { ( lastS  `  T ) ,  S }  e.  ran  E ) )  ->  { (
( T concat  <" S "> ) `  N
) ,  ( ( T concat  <" S "> ) `  ( N  +  1 ) ) }  e.  ran  E
) )
90893adant3 1015 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( T  e. Word  V  /\  ( # `  T )  =  ( N  + 
1 )  /\  A. i  e.  ( 0..^ N ) { ( T `  i ) ,  ( T `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E )  ->  (
( N  e.  NN0  /\  ( S  e.  V  /\  { ( lastS  `  T
) ,  S }  e.  ran  E ) )  ->  { ( ( T concat  <" S "> ) `  N ) ,  ( ( T concat  <" S "> ) `  ( N  +  1 ) ) }  e.  ran  E
) )
9190imp 429 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( T  e. Word  V  /\  ( # `  T
)  =  ( N  +  1 )  /\  A. i  e.  ( 0..^ N ) { ( T `  i ) ,  ( T `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E )  /\  ( N  e.  NN0  /\  ( S  e.  V  /\  { ( lastS  `  T ) ,  S }  e.  ran  E ) ) )  ->  { ( ( T concat  <" S "> ) `  N ) ,  ( ( T concat  <" S "> ) `  ( N  +  1 ) ) }  e.  ran  E
)
92 fveq2 5852 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( i  =  N  ->  (
( T concat  <" S "> ) `  i
)  =  ( ( T concat  <" S "> ) `  N ) )
93 oveq1 6284 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( i  =  N  ->  (
i  +  1 )  =  ( N  + 
1 ) )
9493fveq2d 5856 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( i  =  N  ->  (
( T concat  <" S "> ) `  (
i  +  1 ) )  =  ( ( T concat  <" S "> ) `  ( N  +  1 ) ) )
9592, 94preq12d 4098 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( i  =  N  ->  { ( ( T concat  <" S "> ) `  i
) ,  ( ( T concat  <" S "> ) `  ( i  +  1 ) ) }  =  { ( ( T concat  <" S "> ) `  N
) ,  ( ( T concat  <" S "> ) `  ( N  +  1 ) ) } )
9695eleq1d 2510 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( i  =  N  ->  ( { ( ( T concat  <" S "> ) `  i ) ,  ( ( T concat  <" S "> ) `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  <->  { ( ( T concat  <" S "> ) `  N
) ,  ( ( T concat  <" S "> ) `  ( N  +  1 ) ) }  e.  ran  E
) )
9796ralsng 4045 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( A. i  e.  { N }  { ( ( T concat  <" S "> ) `  i ) ,  ( ( T concat  <" S "> ) `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  <->  { ( ( T concat  <" S "> ) `  N
) ,  ( ( T concat  <" S "> ) `  ( N  +  1 ) ) }  e.  ran  E
) )
9897ad2antrl 727 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( T  e. Word  V  /\  ( # `  T
)  =  ( N  +  1 )  /\  A. i  e.  ( 0..^ N ) { ( T `  i ) ,  ( T `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E )  /\  ( N  e.  NN0  /\  ( S  e.  V  /\  { ( lastS  `  T ) ,  S }  e.  ran  E ) ) )  -> 
( A. i  e. 
{ N }  {
( ( T concat  <" S "> ) `  i
) ,  ( ( T concat  <" S "> ) `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  <->  { ( ( T concat  <" S "> ) `  N
) ,  ( ( T concat  <" S "> ) `  ( N  +  1 ) ) }  e.  ran  E
) )
9991, 98mpbird 232 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( T  e. Word  V  /\  ( # `  T
)  =  ( N  +  1 )  /\  A. i  e.  ( 0..^ N ) { ( T `  i ) ,  ( T `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E )  /\  ( N  e.  NN0  /\  ( S  e.  V  /\  { ( lastS  `  T ) ,  S }  e.  ran  E ) ) )  ->  A. i  e.  { N }  { ( ( T concat  <" S "> ) `  i ) ,  ( ( T concat  <" S "> ) `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E
)
100 ralunb 3667 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( A. i  e.  ( (
0..^ N )  u. 
{ N } ) { ( ( T concat  <" S "> ) `  i ) ,  ( ( T concat  <" S "> ) `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  <->  ( A. i  e.  ( 0..^ N ) { ( ( T concat  <" S "> ) `  i
) ,  ( ( T concat  <" S "> ) `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  /\  A. i  e.  { N }  { (
( T concat  <" S "> ) `  i
) ,  ( ( T concat  <" S "> ) `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E
) )
10156, 99, 100sylanbrc 664 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( T  e. Word  V  /\  ( # `  T
)  =  ( N  +  1 )  /\  A. i  e.  ( 0..^ N ) { ( T `  i ) ,  ( T `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E )  /\  ( N  e.  NN0  /\  ( S  e.  V  /\  { ( lastS  `  T ) ,  S }  e.  ran  E ) ) )  ->  A. i  e.  (
( 0..^ N )  u.  { N }
) { ( ( T concat  <" S "> ) `  i ) ,  ( ( T concat  <" S "> ) `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E
)
102 elnn0uz 11122 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( N  e.  NN0  <->  N  e.  ( ZZ>=
`  0 ) )
103 eluzfz2 11698 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  0
)  ->  N  e.  ( 0 ... N
) )
104102, 103sylbi 195 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( N  e.  NN0  ->  N  e.  ( 0 ... N
) )
105 fzelp1 11736 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( N  e.  ( 0 ... N )  ->  N  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) )
106 fzosplit 11832 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( N  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) )  ->  (
0..^ ( N  + 
1 ) )  =  ( ( 0..^ N )  u.  ( N..^ ( N  +  1 ) ) ) )
107104, 105, 1063syl 20 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( 0..^ ( N  +  1 ) )  =  ( ( 0..^ N )  u.  ( N..^ ( N  +  1 ) ) ) )
108 nn0z 10888 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( N  e.  NN0  ->  N  e.  ZZ )
109 fzosn 11860 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( N  e.  ZZ  ->  ( N..^ ( N  +  1 ) )  =  { N } )
110108, 109syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( N..^ ( N  +  1 ) )  =  { N } )
111110uneq2d 3640 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( 0..^ N )  u.  ( N..^ ( N  +  1 ) ) )  =  ( ( 0..^ N )  u. 
{ N } ) )
112107, 111eqtrd 2482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( 0..^ ( N  +  1 ) )  =  ( ( 0..^ N )  u.  { N }
) )
113112ad2antrl 727 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( T  e. Word  V  /\  ( # `  T
)  =  ( N  +  1 )  /\  A. i  e.  ( 0..^ N ) { ( T `  i ) ,  ( T `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E )  /\  ( N  e.  NN0  /\  ( S  e.  V  /\  { ( lastS  `  T ) ,  S }  e.  ran  E ) ) )  -> 
( 0..^ ( N  +  1 ) )  =  ( ( 0..^ N )  u.  { N } ) )
114113raleqdv 3044 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( T  e. Word  V  /\  ( # `  T
)  =  ( N  +  1 )  /\  A. i  e.  ( 0..^ N ) { ( T `  i ) ,  ( T `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E )  /\  ( N  e.  NN0  /\  ( S  e.  V  /\  { ( lastS  `  T ) ,  S }  e.  ran  E ) ) )  -> 
( A. i  e.  ( 0..^ ( N  +  1 ) ) { ( ( T concat  <" S "> ) `  i ) ,  ( ( T concat  <" S "> ) `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  <->  A. i  e.  ( ( 0..^ N )  u. 
{ N } ) { ( ( T concat  <" S "> ) `  i ) ,  ( ( T concat  <" S "> ) `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E
) )
115101, 114mpbird 232 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( T  e. Word  V  /\  ( # `  T
)  =  ( N  +  1 )  /\  A. i  e.  ( 0..^ N ) { ( T `  i ) ,  ( T `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E )  /\  ( N  e.  NN0  /\  ( S  e.  V  /\  { ( lastS  `  T ) ,  S }  e.  ran  E ) ) )  ->  A. i  e.  (
0..^ ( N  + 
1 ) ) { ( ( T concat  <" S "> ) `  i
) ,  ( ( T concat  <" S "> ) `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E
)
116 ccatlen 12568 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( T  e. Word  V  /\  <" S ">  e. Word  V )  ->  ( # `
 ( T concat  <" S "> ) )  =  ( ( # `  T
)  +  ( # `  <" S "> ) ) )
1173, 18, 116syl2an 477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( T  e. Word  V  /\  ( # `  T
)  =  ( N  +  1 )  /\  A. i  e.  ( 0..^ N ) { ( T `  i ) ,  ( T `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E )  /\  ( N  e.  NN0  /\  ( S  e.  V  /\  { ( lastS  `  T ) ,  S }  e.  ran  E ) ) )  -> 
( # `  ( T concat  <" S "> ) )  =  ( ( # `  T
)  +  ( # `  <" S "> ) ) )
118117oveq1d 6292 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( T  e. Word  V  /\  ( # `  T
)  =  ( N  +  1 )  /\  A. i  e.  ( 0..^ N ) { ( T `  i ) ,  ( T `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E )  /\  ( N  e.  NN0  /\  ( S  e.  V  /\  { ( lastS  `  T ) ,  S }  e.  ran  E ) ) )  -> 
( ( # `  ( T concat  <" S "> ) )  -  1 )  =  ( ( ( # `  T
)  +  ( # `  <" S "> ) )  -  1 ) )
119 simpl2 999 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( T  e. Word  V  /\  ( # `  T
)  =  ( N  +  1 )  /\  A. i  e.  ( 0..^ N ) { ( T `  i ) ,  ( T `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E )  /\  ( N  e.  NN0  /\  ( S  e.  V  /\  { ( lastS  `  T ) ,  S }  e.  ran  E ) ) )  -> 
( # `  T )  =  ( N  + 
1 ) )
120 s1len 12591 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( # `  <" S "> )  =  1
121120a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( T  e. Word  V  /\  ( # `  T
)  =  ( N  +  1 )  /\  A. i  e.  ( 0..^ N ) { ( T `  i ) ,  ( T `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E )  /\  ( N  e.  NN0  /\  ( S  e.  V  /\  { ( lastS  `  T ) ,  S }  e.  ran  E ) ) )  -> 
( # `  <" S "> )  =  1 )
122119, 121oveq12d 6295 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( T  e. Word  V  /\  ( # `  T
)  =  ( N  +  1 )  /\  A. i  e.  ( 0..^ N ) { ( T `  i ) ,  ( T `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E )  /\  ( N  e.  NN0  /\  ( S  e.  V  /\  { ( lastS  `  T ) ,  S }  e.  ran  E ) ) )  -> 
( ( # `  T
)  +  ( # `  <" S "> ) )  =  ( ( N  +  1 )  +  1 ) )
123122oveq1d 6292 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( T  e. Word  V  /\  ( # `  T
)  =  ( N  +  1 )  /\  A. i  e.  ( 0..^ N ) { ( T `  i ) ,  ( T `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E )  /\  ( N  e.  NN0  /\  ( S  e.  V  /\  { ( lastS  `  T ) ,  S }  e.  ran  E ) ) )  -> 
( ( ( # `  T )  +  (
# `  <" S "> ) )  - 
1 )  =  ( ( ( N  + 
1 )  +  1 )  -  1 ) )
124 peano2nn0 10837 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( N  +  1 )  e. 
NN0 )
125124nn0cnd 10855 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( N  +  1 )  e.  CC )
126 pncan 9826 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( N  +  1 )  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( ( N  +  1 )  +  1 )  -  1 )  =  ( N  +  1 ) )
127125, 60, 126sylancl 662 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( ( N  +  1 )  +  1 )  -  1 )  =  ( N  +  1 ) )
128127ad2antrl 727 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( T  e. Word  V  /\  ( # `  T
)  =  ( N  +  1 )  /\  A. i  e.  ( 0..^ N ) { ( T `  i ) ,  ( T `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E )  /\  ( N  e.  NN0  /\  ( S  e.  V  /\  { ( lastS  `  T ) ,  S }  e.  ran  E ) ) )  -> 
( ( ( N  +  1 )  +  1 )  -  1 )  =  ( N  +  1 ) )
129118, 123, 1283eqtrd 2486 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( T  e. Word  V  /\  ( # `  T
)  =  ( N  +  1 )  /\  A. i  e.  ( 0..^ N ) { ( T `  i ) ,  ( T `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E )  /\  ( N  e.  NN0  /\  ( S  e.  V  /\  { ( lastS  `  T ) ,  S }  e.  ran  E ) ) )  -> 
( ( # `  ( T concat  <" S "> ) )  -  1 )  =  ( N  +  1 ) )
130129oveq2d 6293 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( T  e. Word  V  /\  ( # `  T
)  =  ( N  +  1 )  /\  A. i  e.  ( 0..^ N ) { ( T `  i ) ,  ( T `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E )  /\  ( N  e.  NN0  /\  ( S  e.  V  /\  { ( lastS  `  T ) ,  S }  e.  ran  E ) ) )  -> 
( 0..^ ( (
# `  ( T concat  <" S "> ) )  -  1 ) )  =  ( 0..^ ( N  + 
1 ) ) )
131130raleqdv 3044 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( T  e. Word  V  /\  ( # `  T
)  =  ( N  +  1 )  /\  A. i  e.  ( 0..^ N ) { ( T `  i ) ,  ( T `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E )  /\  ( N  e.  NN0  /\  ( S  e.  V  /\  { ( lastS  `  T ) ,  S }  e.  ran  E ) ) )  -> 
( A. i  e.  ( 0..^ ( (
# `  ( T concat  <" S "> ) )  -  1 ) ) { ( ( T concat  <" S "> ) `  i
) ,  ( ( T concat  <" S "> ) `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  <->  A. i  e.  ( 0..^ ( N  +  1 ) ) { ( ( T concat  <" S "> ) `  i
) ,  ( ( T concat  <" S "> ) `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E
) )
132115, 131mpbird 232 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( T  e. Word  V  /\  ( # `  T
)  =  ( N  +  1 )  /\  A. i  e.  ( 0..^ N ) { ( T `  i ) ,  ( T `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E )  /\  ( N  e.  NN0  /\  ( S  e.  V  /\  { ( lastS  `  T ) ,  S }  e.  ran  E ) ) )  ->  A. i  e.  (
0..^ ( ( # `  ( T concat  <" S "> ) )  - 
1 ) ) { ( ( T concat  <" S "> ) `  i
) ,  ( ( T concat  <" S "> ) `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E
)
13316, 20, 1323jca 1175 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( T  e. Word  V  /\  ( # `  T
)  =  ( N  +  1 )  /\  A. i  e.  ( 0..^ N ) { ( T `  i ) ,  ( T `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E )  /\  ( N  e.  NN0  /\  ( S  e.  V  /\  { ( lastS  `  T ) ,  S }  e.  ran  E ) ) )  -> 
( ( T concat  <" S "> )  =/=  (/)  /\  ( T concat  <" S "> )  e. Word  V  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( ( # `  ( T concat  <" S "> ) )  -  1 ) ) { ( ( T concat  <" S "> ) `  i
) ,  ( ( T concat  <" S "> ) `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E
) )
134117, 122eqtrd 2482 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( T  e. Word  V  /\  ( # `  T
)  =  ( N  +  1 )  /\  A. i  e.  ( 0..^ N ) { ( T `  i ) ,  ( T `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E )  /\  ( N  e.  NN0  /\  ( S  e.  V  /\  { ( lastS  `  T ) ,  S }  e.  ran  E ) ) )  -> 
( # `  ( T concat  <" S "> ) )  =  ( ( N  +  1 )  +  1 ) )
135133, 134jca 532 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( T  e. Word  V  /\  ( # `  T
)  =  ( N  +  1 )  /\  A. i  e.  ( 0..^ N ) { ( T `  i ) ,  ( T `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E )  /\  ( N  e.  NN0  /\  ( S  e.  V  /\  { ( lastS  `  T ) ,  S }  e.  ran  E ) ) )  -> 
( ( ( T concat  <" S "> )  =/=  (/)  /\  ( T concat  <" S "> )  e. Word  V  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( ( # `  ( T concat  <" S "> ) )  -  1 ) ) { ( ( T concat  <" S "> ) `  i
) ,  ( ( T concat  <" S "> ) `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E
)  /\  ( # `  ( T concat  <" S "> ) )  =  ( ( N  +  1 )  +  1 ) ) )
136135ex 434 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( T  e. Word  V  /\  ( # `  T )  =  ( N  + 
1 )  /\  A. i  e.  ( 0..^ N ) { ( T `  i ) ,  ( T `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E )  ->  (
( N  e.  NN0  /\  ( S  e.  V  /\  { ( lastS  `  T
) ,  S }  e.  ran  E ) )  ->  ( ( ( T concat  <" S "> )  =/=  (/)  /\  ( T concat  <" S "> )  e. Word  V  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( ( # `  ( T concat  <" S "> ) )  -  1 ) ) { ( ( T concat  <" S "> ) `  i
) ,  ( ( T concat  <" S "> ) `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E
)  /\  ( # `  ( T concat  <" S "> ) )  =  ( ( N  +  1 )  +  1 ) ) ) )
1372, 136syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( T  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  N
)  ->  ( ( N  e.  NN0  /\  ( S  e.  V  /\  { ( lastS  `  T ) ,  S }  e.  ran  E ) )  ->  (
( ( T concat  <" S "> )  =/=  (/)  /\  ( T concat  <" S "> )  e. Word  V  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( ( # `  ( T concat  <" S "> ) )  -  1 ) ) { ( ( T concat  <" S "> ) `  i
) ,  ( ( T concat  <" S "> ) `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E
)  /\  ( # `  ( T concat  <" S "> ) )  =  ( ( N  +  1 )  +  1 ) ) ) )
138137expd 436 . . . . . . . . . 10  |-  ( T  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  N
)  ->  ( N  e.  NN0  ->  ( ( S  e.  V  /\  { ( lastS  `  T ) ,  S }  e.  ran  E )  ->  ( (
( T concat  <" S "> )  =/=  (/)  /\  ( T concat  <" S "> )  e. Word  V  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( ( # `  ( T concat  <" S "> ) )  -  1 ) ) { ( ( T concat  <" S "> ) `  i
) ,  ( ( T concat  <" S "> ) `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E
)  /\  ( # `  ( T concat  <" S "> ) )  =  ( ( N  +  1 )  +  1 ) ) ) ) )
139138com12 31 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( T  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  N
)  ->  ( ( S  e.  V  /\  { ( lastS  `  T ) ,  S }  e.  ran  E )  ->  ( (
( T concat  <" S "> )  =/=  (/)  /\  ( T concat  <" S "> )  e. Word  V  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( ( # `  ( T concat  <" S "> ) )  -  1 ) ) { ( ( T concat  <" S "> ) `  i
) ,  ( ( T concat  <" S "> ) `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E
)  /\  ( # `  ( T concat  <" S "> ) )  =  ( ( N  +  1 )  +  1 ) ) ) ) )
1401393ad2ant3 1018 . . . . . . . 8  |-  ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V  /\  N  e.  NN0 )  ->  ( T  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  N
)  ->  ( ( S  e.  V  /\  { ( lastS  `  T ) ,  S }  e.  ran  E )  ->  ( (
( T concat  <" S "> )  =/=  (/)  /\  ( T concat  <" S "> )  e. Word  V  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( ( # `  ( T concat  <" S "> ) )  -  1 ) ) { ( ( T concat  <" S "> ) `  i
) ,  ( ( T concat  <" S "> ) `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E
)  /\  ( # `  ( T concat  <" S "> ) )  =  ( ( N  +  1 )  +  1 ) ) ) ) )
141140imp 429 . . . . . . 7  |-  ( ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V  /\  N  e.  NN0 )  /\  T  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  N
) )  ->  (
( S  e.  V  /\  { ( lastS  `  T
) ,  S }  e.  ran  E )  -> 
( ( ( T concat  <" S "> )  =/=  (/)  /\  ( T concat  <" S "> )  e. Word  V  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( ( # `  ( T concat  <" S "> ) )  -  1 ) ) { ( ( T concat  <" S "> ) `  i
) ,  ( ( T concat  <" S "> ) `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E
)  /\  ( # `  ( T concat  <" S "> ) )  =  ( ( N  +  1 )  +  1 ) ) ) )
142 iswwlkn 24549 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V  /\  ( N  +  1 )  e.  NN0 )  -> 
( ( T concat  <" S "> )  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  ( N  +  1 ) )  <->  ( ( T concat  <" S "> )  e.  ( V WWalks  E )  /\  ( # `
 ( T concat  <" S "> ) )  =  ( ( N  + 
1 )  +  1 ) ) ) )
143124, 142syl3an3 1262 . . . . . . . . 9  |-  ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V  /\  N  e.  NN0 )  ->  (
( T concat  <" S "> )  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  ( N  +  1 ) )  <->  ( ( T concat  <" S "> )  e.  ( V WWalks  E )  /\  ( # `
 ( T concat  <" S "> ) )  =  ( ( N  + 
1 )  +  1 ) ) ) )
144 iswwlk 24548 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  ->  ( ( T concat  <" S "> )  e.  ( V WWalks  E )  <->  ( ( T concat  <" S "> )  =/=  (/)  /\  ( T concat  <" S "> )  e. Word  V  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( ( # `  ( T concat  <" S "> ) )  -  1 ) ) { ( ( T concat  <" S "> ) `  i
) ,  ( ( T concat  <" S "> ) `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E
) ) )
145144anbi1d 704 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  ->  ( ( ( T concat  <" S "> )  e.  ( V WWalks  E )  /\  ( # `  ( T concat  <" S "> ) )  =  ( ( N  + 
1 )  +  1 ) )  <->  ( (
( T concat  <" S "> )  =/=  (/)  /\  ( T concat  <" S "> )  e. Word  V  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( ( # `  ( T concat  <" S "> ) )  -  1 ) ) { ( ( T concat  <" S "> ) `  i
) ,  ( ( T concat  <" S "> ) `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E
)  /\  ( # `  ( T concat  <" S "> ) )  =  ( ( N  +  1 )  +  1 ) ) ) )
1461453adant3 1015 . . . . . . . . 9  |-  ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V  /\  N  e.  NN0 )  ->  (
( ( T concat  <" S "> )  e.  ( V WWalks  E )  /\  ( # `  ( T concat  <" S "> ) )  =  ( ( N  +  1 )  +  1 ) )  <->  ( ( ( T concat  <" S "> )  =/=  (/)  /\  ( T concat  <" S "> )  e. Word  V  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( ( # `  ( T concat  <" S "> ) )  -  1 ) ) { ( ( T concat  <" S "> ) `  i
) ,  ( ( T concat  <" S "> ) `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E
)  /\  ( # `  ( T concat  <" S "> ) )  =  ( ( N  +  1 )  +  1 ) ) ) )
147143, 146bitrd 253 . . . . . . . 8  |-  ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V  /\  N  e.  NN0 )  ->  (
( T concat  <" S "> )  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  ( N  +  1 ) )  <->  ( (
( T concat  <" S "> )  =/=  (/)  /\  ( T concat  <" S "> )  e. Word  V  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( ( # `  ( T concat  <" S "> ) )  -  1 ) ) { ( ( T concat  <" S "> ) `  i
) ,  ( ( T concat  <" S "> ) `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E
)  /\  ( # `  ( T concat  <" S "> ) )  =  ( ( N  +  1 )  +  1 ) ) ) )
148147adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V  /\  N  e.  NN0 )  /\  T  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  N
) )  ->  (
( T concat  <" S "> )  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  ( N  +  1 ) )  <->  ( (
( T concat  <" S "> )  =/=  (/)  /\  ( T concat  <" S "> )  e. Word  V  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( ( # `  ( T concat  <" S "> ) )  -  1 ) ) { ( ( T concat  <" S "> ) `  i
) ,  ( ( T concat  <" S "> ) `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E
)  /\  ( # `  ( T concat  <" S "> ) )  =  ( ( N  +  1 )  +  1 ) ) ) )
149141, 148sylibrd 234 . . . . . 6  |-  ( ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V  /\  N  e.  NN0 )  /\  T  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  N
) )  ->  (
( S  e.  V  /\  { ( lastS  `  T
) ,  S }  e.  ran  E )  -> 
( T concat  <" S "> )  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  ( N  +  1 ) ) ) )
150149ex 434 . . . . 5  |-  ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V  /\  N  e.  NN0 )  ->  ( T  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  N
)  ->  ( ( S  e.  V  /\  { ( lastS  `  T ) ,  S }  e.  ran  E )  ->  ( T concat  <" S "> )  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  ( N  +  1 ) ) ) ) )
1511503expa 1195 . . . 4  |-  ( ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  N  e.  NN0 )  ->  ( T  e.  ( ( V WWalksN  E
) `  N )  ->  ( ( S  e.  V  /\  { ( lastS  `  T ) ,  S }  e.  ran  E )  ->  ( T concat  <" S "> )  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  ( N  +  1 ) ) ) ) )
152151adantrr 716 . . 3  |-  ( ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( N  e.  NN0  /\  T  e. Word  V ) )  ->  ( T  e.  ( ( V WWalksN  E
) `  N )  ->  ( ( S  e.  V  /\  { ( lastS  `  T ) ,  S }  e.  ran  E )  ->  ( T concat  <" S "> )  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  ( N  +  1 ) ) ) ) )
1531, 152mpcom 36 . 2  |-  ( T  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  N
)  ->  ( ( S  e.  V  /\  { ( lastS  `  T ) ,  S }  e.  ran  E )  ->  ( T concat  <" S "> )  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  ( N  +  1 ) ) ) )
1541533impib 1193 1  |-  ( ( T  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  N
)  /\  S  e.  V  /\  { ( lastS  `  T
) ,  S }  e.  ran  E )  -> 
( T concat  <" S "> )  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  ( N  +  1 ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 972    = wceq 1381    e. wcel 1802    =/= wne 2636   A.wral 2791   _Vcvv 3093    u. cun 3456   (/)c0 3767   {csn 4010   {cpr 4012   <.cop 4016   ran crn 4986   ` cfv 5574  (class class class)co 6277   CCcc 9488   0cc0 9490   1c1 9491    + caddc 9493    - cmin 9805   NN0cn0 10796   ZZcz 10865   ZZ>=cuz 11085   ...cfz 11676  ..^cfzo 11798   #chash 12379  Word cword 12508   lastS clsw 12509   concat cconcat 12510   <"cs1 12511   WWalks cwwlk 24542   WWalksN cwwlkn 24543
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1603  ax-4 1616  ax-5 1689  ax-6 1732  ax-7 1774  ax-8 1804  ax-9 1806  ax-10 1821  ax-11 1826  ax-12 1838  ax-13 1983  ax-ext 2419  ax-rep 4544  ax-sep 4554  ax-nul 4562  ax-pow 4611  ax-pr 4672  ax-un 6573  ax-cnex 9546  ax-resscn 9547  ax-1cn 9548  ax-icn 9549  ax-addcl 9550  ax-addrcl 9551  ax-mulcl 9552  ax-mulrcl 9553  ax-mulcom 9554  ax-addass 9555  ax-mulass 9556  ax-distr 9557  ax-i2m1 9558  ax-1ne0 9559  ax-1rid 9560  ax-rnegex 9561  ax-rrecex 9562  ax-cnre 9563  ax-pre-lttri 9564  ax-pre-lttrn 9565  ax-pre-ltadd 9566  ax-pre-mulgt0 9567
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 973  df-3an 974  df-tru 1384  df-ex 1598  df-nf 1602  df-sb 1725  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2427  df-cleq 2433  df-clel 2436  df-nfc 2591  df-ne 2638  df-nel 2639  df-ral 2796  df-rex 2797  df-reu 2798  df-rmo 2799  df-rab 2800  df-v 3095  df-sbc 3312  df-csb 3418  df-dif 3461  df-un 3463  df-in 3465  df-ss 3472  df-pss 3474  df-nul 3768  df-if 3923  df-pw 3995  df-sn 4011  df-pr 4013  df-tp 4015  df-op 4017  df-uni 4231  df-int 4268  df-iun 4313  df-br 4434  df-opab 4492  df-mpt 4493  df-tr 4527  df-eprel 4777  df-id 4781  df-po 4786  df-so 4787  df-fr 4824  df-we 4826  df-ord 4867  df-on 4868  df-lim 4869  df-suc 4870  df-xp 4991  df-rel 4992  df-cnv 4993  df-co 4994  df-dm 4995  df-rn 4996  df-res 4997  df-ima 4998  df-iota 5537  df-fun 5576  df-fn 5577  df-f 5578  df-f1 5579  df-fo 5580  df-f1o 5581  df-fv 5582  df-riota 6238  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-om 6682  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-recs 7040  df-rdg 7074  df-1o 7128  df-oadd 7132  df-er 7309  df-map 7420  df-pm 7421  df-en 7515  df-dom 7516  df-sdom 7517  df-fin 7518  df-card 8318  df-cda 8546  df-pnf 9628  df-mnf 9629  df-xr 9630  df-ltxr 9631  df-le 9632  df-sub 9807  df-neg 9808  df-nn 10538  df-2 10595  df-n0 10797  df-z 10866  df-uz 11086  df-fz 11677  df-fzo 11799  df-hash 12380  df-word 12516  df-lsw 12517  df-concat 12518  df-s1 12519  df-wwlk 24544  df-wwlkn 24545
This theorem is referenced by:  wwlknextbi  24590  wwlkextsur  24596
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