Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  wwlkn0s Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem wwlkn0s 25512
 Description: The set of all walks as words of length 0 is the set of all words of length 1 over the vertices. (Contributed by Alexander van der Vekens, 22-Jul-2018.)
Assertion
Ref Expression
wwlkn0s WWalksN Word
Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,

Proof of Theorem wwlkn0s
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 0nn0 10908 . . 3
2 wwlkn 25489 . . 3 WWalksN WWalks
31, 2mp3an3 1379 . 2 WWalksN WWalks
4 0p1e1 10743 . . . . . 6
54eqeq2i 2483 . . . . 5
65anbi2i 708 . . . 4 WWalks WWalks
7 iswwlk 25490 . . . . . . . 8 WWalks Word ..^
87adantr 472 . . . . . . 7 WWalks Word ..^
9 simp2 1031 . . . . . . . 8 Word ..^ Word
10 ax-1ne0 9626 . . . . . . . . . . . . 13
11 pm13.181 2725 . . . . . . . . . . . . 13
1210, 11mpan2 685 . . . . . . . . . . . 12
13 vex 3034 . . . . . . . . . . . . . 14
14 hasheq0 12582 . . . . . . . . . . . . . 14
1513, 14mp1i 13 . . . . . . . . . . . . 13
1615necon3bid 2687 . . . . . . . . . . . 12
1712, 16mpbid 215 . . . . . . . . . . 11
1817ad2antlr 741 . . . . . . . . . 10 Word
19 simpr 468 . . . . . . . . . 10 Word Word
20 ral0 3865 . . . . . . . . . . . 12
21 oveq1 6315 . . . . . . . . . . . . . . . 16
22 1m1e0 10700 . . . . . . . . . . . . . . . 16
2321, 22syl6eq 2521 . . . . . . . . . . . . . . 15
2423oveq2d 6324 . . . . . . . . . . . . . 14 ..^ ..^
25 fzo0 11969 . . . . . . . . . . . . . 14 ..^
2624, 25syl6eq 2521 . . . . . . . . . . . . 13 ..^
2726raleqdv 2979 . . . . . . . . . . . 12 ..^
2820, 27mpbiri 241 . . . . . . . . . . 11 ..^
2928ad2antlr 741 . . . . . . . . . 10 Word ..^
3018, 19, 293jca 1210 . . . . . . . . 9 Word Word ..^
3130ex 441 . . . . . . . 8 Word Word ..^
329, 31impbid2 209 . . . . . . 7 Word ..^ Word
338, 32bitrd 261 . . . . . 6 WWalks Word
3433ex 441 . . . . 5 WWalks Word
3534pm5.32rd 652 . . . 4 WWalks Word
366, 35syl5bb 265 . . 3 WWalks Word
3736rabbidva2 3020 . 2 WWalks Word
383, 37eqtrd 2505 1 WWalksN Word
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 189   wa 376   w3a 1007   wceq 1452   wcel 1904   wne 2641  wral 2756  crab 2760  cvv 3031  c0 3722  cpr 3961   crn 4840  cfv 5589  (class class class)co 6308  cc0 9557  c1 9558   caddc 9560   cmin 9880  cn0 10893  ..^cfzo 11942  chash 12553  Word cword 12703   WWalks cwwlk 25484   WWalksN cwwlkn 25485 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634 This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-oadd 7204  df-er 7381  df-map 7492  df-pm 7493  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-card 8391  df-cda 8616  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-nn 10632  df-2 10690  df-n0 10894  df-z 10962  df-uz 11183  df-fz 11811  df-fzo 11943  df-hash 12554  df-word 12711  df-wwlk 25486  df-wwlkn 25487 This theorem is referenced by:  rusgranumwlkb0  25760
 Copyright terms: Public domain W3C validator