Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  wwlkn0s Structured version   Unicode version

Theorem wwlkn0s 30488
 Description: The set of all walks as words of length 0 is the set of all words of length 1 over the verices. (Contributed by Alexander van der Vekens, 22-Jul-2018.)
Assertion
Ref Expression
wwlkn0s WWalksN Word
Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,

Proof of Theorem wwlkn0s
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 0nn0 10706 . . 3
2 wwlkn 30465 . . 3 WWalksN WWalks
31, 2mp3an3 1304 . 2 WWalksN WWalks
4 0p1e1 10545 . . . . . 6
54eqeq2i 2472 . . . . 5
65anbi2i 694 . . . 4 WWalks WWalks
7 iswwlk 30466 . . . . . . . 8 WWalks Word ..^
87adantr 465 . . . . . . 7 WWalks Word ..^
9 simp2 989 . . . . . . . 8 Word ..^ Word
10 ax-1ne0 9463 . . . . . . . . . . . . 13
11 pm13.181 2764 . . . . . . . . . . . . 13
1210, 11mpan2 671 . . . . . . . . . . . 12
13 vex 3081 . . . . . . . . . . . . . 14
14 hasheq0 12249 . . . . . . . . . . . . . 14
1513, 14mp1i 12 . . . . . . . . . . . . 13
1615necon3bid 2710 . . . . . . . . . . . 12
1712, 16mpbid 210 . . . . . . . . . . 11
1817ad2antlr 726 . . . . . . . . . 10 Word
19 simpr 461 . . . . . . . . . 10 Word Word
20 ral0 3893 . . . . . . . . . . . 12
21 oveq1 6208 . . . . . . . . . . . . . . . 16
22 1m1e0 10502 . . . . . . . . . . . . . . . 16
2321, 22syl6eq 2511 . . . . . . . . . . . . . . 15
2423oveq2d 6217 . . . . . . . . . . . . . 14 ..^ ..^
25 fzo0 11691 . . . . . . . . . . . . . 14 ..^
2624, 25syl6eq 2511 . . . . . . . . . . . . 13 ..^
27 biidd 237 . . . . . . . . . . . . 13
2826, 27raleqbidv 3037 . . . . . . . . . . . 12 ..^
2920, 28mpbiri 233 . . . . . . . . . . 11 ..^
3029ad2antlr 726 . . . . . . . . . 10 Word ..^
3118, 19, 303jca 1168 . . . . . . . . 9 Word Word ..^
3231ex 434 . . . . . . . 8 Word Word ..^
339, 32impbid2 204 . . . . . . 7 Word ..^ Word
348, 33bitrd 253 . . . . . 6 WWalks Word
3534ex 434 . . . . 5 WWalks Word
3635pm5.32rd 640 . . . 4 WWalks Word
376, 36syl5bb 257 . . 3 WWalks Word
3837rabbidva2 3068 . 2 WWalks Word
393, 38eqtrd 2495 1 WWalksN Word
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 184   wa 369   w3a 965   wceq 1370   wcel 1758   wne 2648  wral 2799  crab 2803  cvv 3078  c0 3746  cpr 3988   crn 4950  cfv 5527  (class class class)co 6201  cc0 9394  c1 9395   caddc 9397   cmin 9707  cn0 10691  ..^cfzo 11666  chash 12221  Word cword 12340   WWalks cwwlk 30460   WWalksN cwwlkn 30461 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4512  ax-sep 4522  ax-nul 4530  ax-pow 4579  ax-pr 4640  ax-un 6483  ax-cnex 9450  ax-resscn 9451  ax-1cn 9452  ax-icn 9453  ax-addcl 9454  ax-addrcl 9455  ax-mulcl 9456  ax-mulrcl 9457  ax-mulcom 9458  ax-addass 9459  ax-mulass 9460  ax-distr 9461  ax-i2m1 9462  ax-1ne0 9463  ax-1rid 9464  ax-rnegex 9465  ax-rrecex 9466  ax-cnre 9467  ax-pre-lttri 9468  ax-pre-lttrn 9469  ax-pre-ltadd 9470  ax-pre-mulgt0 9471 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-nel 2651  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3397  df-dif 3440  df-un 3442  df-in 3444  df-ss 3451  df-pss 3453  df-nul 3747  df-if 3901  df-pw 3971  df-sn 3987  df-pr 3989  df-tp 3991  df-op 3993  df-uni 4201  df-int 4238  df-iun 4282  df-br 4402  df-opab 4460  df-mpt 4461  df-tr 4495  df-eprel 4741  df-id 4745  df-po 4750  df-so 4751  df-fr 4788  df-we 4790  df-ord 4831  df-on 4832  df-lim 4833  df-suc 4834  df-xp 4955  df-rel 4956  df-cnv 4957  df-co 4958  df-dm 4959  df-rn 4960  df-res 4961  df-ima 4962  df-iota 5490  df-fun 5529  df-fn 5530  df-f 5531  df-f1 5532  df-fo 5533  df-f1o 5534  df-fv 5535  df-riota 6162  df-ov 6204  df-oprab 6205  df-mpt2 6206  df-om 6588  df-1st 6688  df-2nd 6689  df-recs 6943  df-rdg 6977  df-1o 7031  df-oadd 7035  df-er 7212  df-map 7327  df-pm 7328  df-en 7422  df-dom 7423  df-sdom 7424  df-fin 7425  df-card 8221  df-pnf 9532  df-mnf 9533  df-xr 9534  df-ltxr 9535  df-le 9536  df-sub 9709  df-neg 9710  df-nn 10435  df-n0 10692  df-z 10759  df-uz 10974  df-fz 11556  df-fzo 11667  df-hash 12222  df-word 12348  df-wwlk 30462  df-wwlkn 30463 This theorem is referenced by:  rusgranumwlkb0  30720
 Copyright terms: Public domain W3C validator