Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  wwlkn0 Structured version   Unicode version

Theorem wwlkn0 24561
 Description: A walk of length 0 is represented by a singleton word. (Contributed by Alexander van der Vekens, 20-Jul-2018.)
Assertion
Ref Expression
wwlkn0 WWalksN
Distinct variable groups:   ,   ,
Allowed substitution hint:   ()

Proof of Theorem wwlkn0
StepHypRef Expression
1 wwlknprop 24558 . 2 WWalksN Word
2 simpl 457 . . . . . 6
3 simpr 461 . . . . . 6
4 0nn0 10816 . . . . . . 7
54a1i 11 . . . . . 6
62, 3, 53jca 1177 . . . . 5
76adantr 465 . . . 4 Word
8 iswwlkn 24556 . . . 4 WWalksN WWalks
97, 8syl 16 . . 3 Word WWalksN WWalks
10 0p1e1 10653 . . . . . . . . 9
1110eqeq2i 2461 . . . . . . . 8
12 eqs1 12600 . . . . . . . . . 10 Word
13 wrdlen1 12558 . . . . . . . . . . . 12 Word
14 s1eq 12591 . . . . . . . . . . . . 13
1514reximi 2911 . . . . . . . . . . . 12
1613, 15syl 16 . . . . . . . . . . 11 Word
17 eqeq1 2447 . . . . . . . . . . . . 13
1817eqcoms 2455 . . . . . . . . . . . 12
1918rexbidv 2954 . . . . . . . . . . 11
2016, 19syl5ib 219 . . . . . . . . . 10 Word
2112, 20mpcom 36 . . . . . . . . 9 Word
2221expcom 435 . . . . . . . 8 Word
2311, 22sylbi 195 . . . . . . 7 Word
2423adantl 466 . . . . . 6 WWalks Word
2524com12 31 . . . . 5 Word WWalks
2625adantl 466 . . . 4 Word WWalks
2726adantl 466 . . 3 Word WWalks
289, 27sylbid 215 . 2 Word WWalksN
291, 28mpcom 36 1 WWalksN
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 184   wa 369   w3a 974   wceq 1383   wcel 1804  wrex 2794  cvv 3095  cfv 5578  (class class class)co 6281  cc0 9495  c1 9496   caddc 9498  cn0 10801  chash 12384  Word cword 12513  cs1 12516   WWalks cwwlk 24549   WWalksN cwwlkn 24550 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-rep 4548  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6577  ax-cnex 9551  ax-resscn 9552  ax-1cn 9553  ax-icn 9554  ax-addcl 9555  ax-addrcl 9556  ax-mulcl 9557  ax-mulrcl 9558  ax-mulcom 9559  ax-addass 9560  ax-mulass 9561  ax-distr 9562  ax-i2m1 9563  ax-1ne0 9564  ax-1rid 9565  ax-rnegex 9566  ax-rrecex 9567  ax-cnre 9568  ax-pre-lttri 9569  ax-pre-lttrn 9570  ax-pre-ltadd 9571  ax-pre-mulgt0 9572 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1386  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-nel 2641  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rmo 2801  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-tp 4019  df-op 4021  df-uni 4235  df-int 4272  df-iun 4317  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-tr 4531  df-eprel 4781  df-id 4785  df-po 4790  df-so 4791  df-fr 4828  df-we 4830  df-ord 4871  df-on 4872  df-lim 4873  df-suc 4874  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-f1 5583  df-fo 5584  df-f1o 5585  df-fv 5586  df-riota 6242  df-ov 6284  df-oprab 6285  df-mpt2 6286  df-om 6686  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-recs 7044  df-rdg 7078  df-1o 7132  df-oadd 7136  df-er 7313  df-map 7424  df-pm 7425  df-en 7519  df-dom 7520  df-sdom 7521  df-fin 7522  df-card 8323  df-cda 8551  df-pnf 9633  df-mnf 9634  df-xr 9635  df-ltxr 9636  df-le 9637  df-sub 9812  df-neg 9813  df-nn 10543  df-2 10600  df-n0 10802  df-z 10871  df-uz 11091  df-fz 11682  df-fzo 11804  df-hash 12385  df-word 12521  df-s1 12524  df-wwlk 24551  df-wwlkn 24552 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator