Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  wwlkn Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem wwlkn 25422
 Description: The set of walks (in an undirected graph) of a fixed length as words over the set of vertices. (Contributed by Alexander van der Vekens, 15-Jul-2018.)
Assertion
Ref Expression
wwlkn WWalksN WWalks
Distinct variable groups:   ,   ,   ,
Allowed substitution hints:   ()   ()

Proof of Theorem wwlkn
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp3 1011 . . 3
2 ovex 6323 . . . 4 WWalks
3 rabexg 4556 . . . 4 WWalks WWalks
42, 3mp1i 13 . . 3 WWalks
5 oveq1 6302 . . . . . 6
65eqeq2d 2463 . . . . 5
76rabbidv 3038 . . . 4 WWalks WWalks
8 eqid 2453 . . . 4 WWalks WWalks
97, 8fvmptg 5951 . . 3 WWalks WWalks WWalks
101, 4, 9syl2anc 667 . 2 WWalks WWalks
11 df-wwlkn 25420 . . . . . . 7 WWalksN WWalks
1211a1i 11 . . . . . 6 WWalksN WWalks
13 oveq12 6304 . . . . . . . . 9 WWalks WWalks
14 rabeq 3040 . . . . . . . . 9 WWalks WWalks WWalks WWalks
1513, 14syl 17 . . . . . . . 8 WWalks WWalks
1615mpteq2dv 4493 . . . . . . 7 WWalks WWalks
1716adantl 468 . . . . . 6 WWalks WWalks
18 elex 3056 . . . . . . 7
1918adantr 467 . . . . . 6
20 elex 3056 . . . . . . 7
2120adantl 468 . . . . . 6
22 nn0ex 10882 . . . . . . . 8
2322mptex 6141 . . . . . . 7 WWalks
2423a1i 11 . . . . . 6 WWalks
2512, 17, 19, 21, 24ovmpt2d 6429 . . . . 5 WWalksN WWalks
2625fveq1d 5872 . . . 4 WWalksN WWalks
2726eqeq1d 2455 . . 3 WWalksN WWalks WWalks WWalks
28273adant3 1029 . 2 WWalksN WWalks WWalks WWalks
2910, 28mpbird 236 1 WWalksN WWalks
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 188   wa 371   w3a 986   wceq 1446   wcel 1889  crab 2743  cvv 3047   cmpt 4464  cfv 5585  (class class class)co 6295   cmpt2 6297  c1 9545   caddc 9547  cn0 10876  chash 12522   WWalks cwwlk 25417   WWalksN cwwlkn 25418 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1671  ax-4 1684  ax-5 1760  ax-6 1807  ax-7 1853  ax-8 1891  ax-9 1898  ax-10 1917  ax-11 1922  ax-12 1935  ax-13 2093  ax-ext 2433  ax-rep 4518  ax-sep 4528  ax-nul 4537  ax-pow 4584  ax-pr 4642  ax-un 6588  ax-cnex 9600  ax-resscn 9601  ax-1cn 9602  ax-icn 9603  ax-addcl 9604  ax-addrcl 9605  ax-mulcl 9606  ax-mulrcl 9607  ax-i2m1 9612  ax-1ne0 9613  ax-rrecex 9616  ax-cnre 9617 This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 987  df-3an 988  df-tru 1449  df-ex 1666  df-nf 1670  df-sb 1800  df-eu 2305  df-mo 2306  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2583  df-ne 2626  df-ral 2744  df-rex 2745  df-reu 2746  df-rab 2748  df-v 3049  df-sbc 3270  df-csb 3366  df-dif 3409  df-un 3411  df-in 3413  df-ss 3420  df-pss 3422  df-nul 3734  df-if 3884  df-pw 3955  df-sn 3971  df-pr 3973  df-tp 3975  df-op 3977  df-uni 4202  df-iun 4283  df-br 4406  df-opab 4465  df-mpt 4466  df-tr 4501  df-eprel 4748  df-id 4752  df-po 4758  df-so 4759  df-fr 4796  df-we 4798  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-pred 5383  df-ord 5429  df-on 5430  df-lim 5431  df-suc 5432  df-iota 5549  df-fun 5587  df-fn 5588  df-f 5589  df-f1 5590  df-fo 5591  df-f1o 5592  df-fv 5593  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-om 6698  df-wrecs 7033  df-recs 7095  df-rdg 7133  df-nn 10617  df-n0 10877  df-wwlkn 25420 This theorem is referenced by:  iswwlkn  25424  wwlkn0s  25445  wwlknfi  25478
 Copyright terms: Public domain W3C validator