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Theorem wwlkm1edg 30502
Description: Removing the trailing edge from a walk (as word) with at least one edge results in a walk. (Contributed by Alexander van der Vekens, 1-Aug-2018.)
Assertion
Ref Expression
wwlkm1edg  |-  ( ( W  e.  ( V WWalks  E )  /\  2  <_  ( # `  W
) )  ->  ( W substr  <. 0 ,  ( ( # `  W
)  -  1 )
>. )  e.  ( V WWalks  E ) )

Proof of Theorem wwlkm1edg
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 wwlkprop 30454 . . 3  |-  ( W  e.  ( V WWalks  E
)  ->  ( V  e.  _V  /\  E  e. 
_V  /\  W  e. Word  V ) )
2 iswwlk 30452 . . . . 5  |-  ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  ->  ( W  e.  ( V WWalks  E )  <->  ( W  =/=  (/)  /\  W  e. Word  V  /\  A. x  e.  ( 0..^ ( (
# `  W )  -  1 ) ) { ( W `  x ) ,  ( W `  ( x  +  1 ) ) }  e.  ran  E
) ) )
3 lencl 12348 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( W  e. Word  V  ->  ( # `
 W )  e. 
NN0 )
4 simpl 457 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( # `  W
)  e.  NN0  /\  2  <_  ( # `  W
) )  ->  ( # `
 W )  e. 
NN0 )
5 1re 9483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  1  e.  RR
65a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( # `  W
)  e.  NN0  /\  2  <_  ( # `  W
) )  ->  1  e.  RR )
7 2re 10489 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  2  e.  RR
87a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( # `  W
)  e.  NN0  /\  2  <_  ( # `  W
) )  ->  2  e.  RR )
9 nn0re 10686 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( (
# `  W )  e.  NN0  ->  ( # `  W
)  e.  RR )
109adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( # `  W
)  e.  NN0  /\  2  <_  ( # `  W
) )  ->  ( # `
 W )  e.  RR )
11 1le2 10633 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  1  <_  2
1211a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( # `  W
)  e.  NN0  /\  2  <_  ( # `  W
) )  ->  1  <_  2 )
13 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( # `  W
)  e.  NN0  /\  2  <_  ( # `  W
) )  ->  2  <_  ( # `  W
) )
146, 8, 10, 12, 13letrd 9626 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( # `  W
)  e.  NN0  /\  2  <_  ( # `  W
) )  ->  1  <_  ( # `  W
) )
154, 14jca 532 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( # `  W
)  e.  NN0  /\  2  <_  ( # `  W
) )  ->  (
( # `  W )  e.  NN0  /\  1  <_  ( # `  W
) ) )
16 elnnnn0c 10723 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
# `  W )  e.  NN  <->  ( ( # `  W )  e.  NN0  /\  1  <_  ( # `  W
) ) )
1715, 16sylibr 212 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( # `  W
)  e.  NN0  /\  2  <_  ( # `  W
) )  ->  ( # `
 W )  e.  NN )
18 lbfzo0 11684 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( 0  e.  ( 0..^ (
# `  W )
)  <->  ( # `  W
)  e.  NN )
1917, 18sylibr 212 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( # `  W
)  e.  NN0  /\  2  <_  ( # `  W
) )  ->  0  e.  ( 0..^ ( # `  W ) ) )
20 nn0ge2m1nn 30319 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( # `  W
)  e.  NN0  /\  2  <_  ( # `  W
) )  ->  (
( # `  W )  -  1 )  e.  NN )
21 lbfzo0 11684 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( 0  e.  ( 0..^ ( ( # `  W
)  -  1 ) )  <->  ( ( # `  W )  -  1 )  e.  NN )
2220, 21sylibr 212 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( # `  W
)  e.  NN0  /\  2  <_  ( # `  W
) )  ->  0  e.  ( 0..^ ( (
# `  W )  -  1 ) ) )
2319, 22jca 532 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( # `  W
)  e.  NN0  /\  2  <_  ( # `  W
) )  ->  (
0  e.  ( 0..^ ( # `  W
) )  /\  0  e.  ( 0..^ ( (
# `  W )  -  1 ) ) ) )
243, 23sylan 471 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `  W
) )  ->  (
0  e.  ( 0..^ ( # `  W
) )  /\  0  e.  ( 0..^ ( (
# `  W )  -  1 ) ) ) )
25 inelcm 3828 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 0  e.  ( 0..^ ( # `  W
) )  /\  0  e.  ( 0..^ ( (
# `  W )  -  1 ) ) )  ->  ( (
0..^ ( # `  W
) )  i^i  (
0..^ ( ( # `  W )  -  1 ) ) )  =/=  (/) )
2624, 25syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `  W
) )  ->  (
( 0..^ ( # `  W ) )  i^i  ( 0..^ ( (
# `  W )  -  1 ) ) )  =/=  (/) )
27 wrdfn 12346 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( W  e. Word  V  ->  W  Fn  ( 0..^ ( # `  W ) ) )
2827adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `  W
) )  ->  W  Fn  ( 0..^ ( # `  W ) ) )
29 fnresdisj 5616 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( W  Fn  ( 0..^ (
# `  W )
)  ->  ( (
( 0..^ ( # `  W ) )  i^i  ( 0..^ ( (
# `  W )  -  1 ) ) )  =  (/)  <->  ( W  |`  ( 0..^ ( (
# `  W )  -  1 ) ) )  =  (/) ) )
3028, 29syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `  W
) )  ->  (
( ( 0..^ (
# `  W )
)  i^i  ( 0..^ ( ( # `  W
)  -  1 ) ) )  =  (/)  <->  ( W  |`  ( 0..^ ( ( # `  W
)  -  1 ) ) )  =  (/) ) )
31 nn0ge2m1nn0 30320 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( # `  W
)  e.  NN0  /\  2  <_  ( # `  W
) )  ->  (
( # `  W )  -  1 )  e. 
NN0 )
3210lem1d 10364 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( # `  W
)  e.  NN0  /\  2  <_  ( # `  W
) )  ->  (
( # `  W )  -  1 )  <_ 
( # `  W ) )
3331, 4, 323jca 1168 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( # `  W
)  e.  NN0  /\  2  <_  ( # `  W
) )  ->  (
( ( # `  W
)  -  1 )  e.  NN0  /\  ( # `
 W )  e. 
NN0  /\  ( ( # `
 W )  - 
1 )  <_  ( # `
 W ) ) )
343, 33sylan 471 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `  W
) )  ->  (
( ( # `  W
)  -  1 )  e.  NN0  /\  ( # `
 W )  e. 
NN0  /\  ( ( # `
 W )  - 
1 )  <_  ( # `
 W ) ) )
35 elfz2nn0 11578 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( # `  W
)  -  1 )  e.  ( 0 ... ( # `  W
) )  <->  ( (
( # `  W )  -  1 )  e. 
NN0  /\  ( # `  W
)  e.  NN0  /\  ( ( # `  W
)  -  1 )  <_  ( # `  W
) ) )
3634, 35sylibr 212 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `  W
) )  ->  (
( # `  W )  -  1 )  e.  ( 0 ... ( # `
 W ) ) )
37 swrd0val 12416 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  ( ( # `  W
)  -  1 )  e.  ( 0 ... ( # `  W
) ) )  -> 
( W substr  <. 0 ,  ( ( # `  W
)  -  1 )
>. )  =  ( W  |`  ( 0..^ ( ( # `  W
)  -  1 ) ) ) )
3837eqeq1d 2453 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  ( ( # `  W
)  -  1 )  e.  ( 0 ... ( # `  W
) ) )  -> 
( ( W substr  <. 0 ,  ( ( # `  W )  -  1 ) >. )  =  (/)  <->  ( W  |`  ( 0..^ ( ( # `  W
)  -  1 ) ) )  =  (/) ) )
3938bicomd 201 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  ( ( # `  W
)  -  1 )  e.  ( 0 ... ( # `  W
) ) )  -> 
( ( W  |`  ( 0..^ ( ( # `  W )  -  1 ) ) )  =  (/) 
<->  ( W substr  <. 0 ,  ( ( # `  W )  -  1 ) >. )  =  (/) ) )
4036, 39syldan 470 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `  W
) )  ->  (
( W  |`  (
0..^ ( ( # `  W )  -  1 ) ) )  =  (/) 
<->  ( W substr  <. 0 ,  ( ( # `  W )  -  1 ) >. )  =  (/) ) )
4130, 40bitr2d 254 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `  W
) )  ->  (
( W substr  <. 0 ,  ( ( # `  W
)  -  1 )
>. )  =  (/)  <->  ( (
0..^ ( # `  W
) )  i^i  (
0..^ ( ( # `  W )  -  1 ) ) )  =  (/) ) )
4241necon3bid 2704 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `  W
) )  ->  (
( W substr  <. 0 ,  ( ( # `  W
)  -  1 )
>. )  =/=  (/)  <->  ( (
0..^ ( # `  W
) )  i^i  (
0..^ ( ( # `  W )  -  1 ) ) )  =/=  (/) ) )
4326, 42mpbird 232 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `  W
) )  ->  ( W substr  <. 0 ,  ( ( # `  W
)  -  1 )
>. )  =/=  (/) )
4443ex 434 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( W  e. Word  V  ->  (
2  <_  ( # `  W
)  ->  ( W substr  <.
0 ,  ( (
# `  W )  -  1 ) >.
)  =/=  (/) ) )
45443ad2ant2 1010 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( W  =/=  (/)  /\  W  e. Word  V  /\  A. x  e.  ( 0..^ ( (
# `  W )  -  1 ) ) { ( W `  x ) ,  ( W `  ( x  +  1 ) ) }  e.  ran  E
)  ->  ( 2  <_  ( # `  W
)  ->  ( W substr  <.
0 ,  ( (
# `  W )  -  1 ) >.
)  =/=  (/) ) )
4645adantl 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( W  =/=  (/)  /\  W  e. Word  V  /\  A. x  e.  ( 0..^ ( (
# `  W )  -  1 ) ) { ( W `  x ) ,  ( W `  ( x  +  1 ) ) }  e.  ran  E
) )  ->  (
2  <_  ( # `  W
)  ->  ( W substr  <.
0 ,  ( (
# `  W )  -  1 ) >.
)  =/=  (/) ) )
4746imp 429 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( V  e. 
_V  /\  E  e.  _V )  /\  ( W  =/=  (/)  /\  W  e. Word  V  /\  A. x  e.  ( 0..^ ( (
# `  W )  -  1 ) ) { ( W `  x ) ,  ( W `  ( x  +  1 ) ) }  e.  ran  E
) )  /\  2  <_  ( # `  W
) )  ->  ( W substr  <. 0 ,  ( ( # `  W
)  -  1 )
>. )  =/=  (/) )
48 swrdcl 12414 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( W  e. Word  V  ->  ( W substr  <. 0 ,  ( ( # `  W
)  -  1 )
>. )  e. Word  V )
4948a1d 25 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( W  e. Word  V  ->  (
2  <_  ( # `  W
)  ->  ( W substr  <.
0 ,  ( (
# `  W )  -  1 ) >.
)  e. Word  V )
)
50493ad2ant2 1010 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( W  =/=  (/)  /\  W  e. Word  V  /\  A. x  e.  ( 0..^ ( (
# `  W )  -  1 ) ) { ( W `  x ) ,  ( W `  ( x  +  1 ) ) }  e.  ran  E
)  ->  ( 2  <_  ( # `  W
)  ->  ( W substr  <.
0 ,  ( (
# `  W )  -  1 ) >.
)  e. Word  V )
)
5150adantl 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( W  =/=  (/)  /\  W  e. Word  V  /\  A. x  e.  ( 0..^ ( (
# `  W )  -  1 ) ) { ( W `  x ) ,  ( W `  ( x  +  1 ) ) }  e.  ran  E
) )  ->  (
2  <_  ( # `  W
)  ->  ( W substr  <.
0 ,  ( (
# `  W )  -  1 ) >.
)  e. Word  V )
)
5251imp 429 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( V  e. 
_V  /\  E  e.  _V )  /\  ( W  =/=  (/)  /\  W  e. Word  V  /\  A. x  e.  ( 0..^ ( (
# `  W )  -  1 ) ) { ( W `  x ) ,  ( W `  ( x  +  1 ) ) }  e.  ran  E
) )  /\  2  <_  ( # `  W
) )  ->  ( W substr  <. 0 ,  ( ( # `  W
)  -  1 )
>. )  e. Word  V )
53 nn0z 10767 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( (
# `  W )  e.  NN0  ->  ( # `  W
)  e.  ZZ )
54 peano2zm 10786 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( (
# `  W )  e.  ZZ  ->  ( ( # `
 W )  - 
1 )  e.  ZZ )
5553, 54syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( (
# `  W )  e.  NN0  ->  ( ( # `
 W )  - 
1 )  e.  ZZ )
56 peano2zm 10786 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( # `  W
)  -  1 )  e.  ZZ  ->  (
( ( # `  W
)  -  1 )  -  1 )  e.  ZZ )
5755, 56syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( (
# `  W )  e.  NN0  ->  ( (
( # `  W )  -  1 )  - 
1 )  e.  ZZ )
5857adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( # `  W
)  e.  NN0  /\  2  <_  ( # `  W
) )  ->  (
( ( # `  W
)  -  1 )  -  1 )  e.  ZZ )
5955adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( # `  W
)  e.  NN0  /\  2  <_  ( # `  W
) )  ->  (
( # `  W )  -  1 )  e.  ZZ )
60 peano2rem 9773 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( (
# `  W )  e.  RR  ->  ( ( # `
 W )  - 
1 )  e.  RR )
619, 60syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( (
# `  W )  e.  NN0  ->  ( ( # `
 W )  - 
1 )  e.  RR )
6261lem1d 10364 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( (
# `  W )  e.  NN0  ->  ( (
( # `  W )  -  1 )  - 
1 )  <_  (
( # `  W )  -  1 ) )
6362adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( # `  W
)  e.  NN0  /\  2  <_  ( # `  W
) )  ->  (
( ( # `  W
)  -  1 )  -  1 )  <_ 
( ( # `  W
)  -  1 ) )
6458, 59, 633jca 1168 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( # `  W
)  e.  NN0  /\  2  <_  ( # `  W
) )  ->  (
( ( ( # `  W )  -  1 )  -  1 )  e.  ZZ  /\  (
( # `  W )  -  1 )  e.  ZZ  /\  ( ( ( # `  W
)  -  1 )  -  1 )  <_ 
( ( # `  W
)  -  1 ) ) )
653, 64sylan 471 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `  W
) )  ->  (
( ( ( # `  W )  -  1 )  -  1 )  e.  ZZ  /\  (
( # `  W )  -  1 )  e.  ZZ  /\  ( ( ( # `  W
)  -  1 )  -  1 )  <_ 
( ( # `  W
)  -  1 ) ) )
66 eluz2 10965 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( # `  W
)  -  1 )  e.  ( ZZ>= `  (
( ( # `  W
)  -  1 )  -  1 ) )  <-> 
( ( ( (
# `  W )  -  1 )  - 
1 )  e.  ZZ  /\  ( ( # `  W
)  -  1 )  e.  ZZ  /\  (
( ( # `  W
)  -  1 )  -  1 )  <_ 
( ( # `  W
)  -  1 ) ) )
6765, 66sylibr 212 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `  W
) )  ->  (
( # `  W )  -  1 )  e.  ( ZZ>= `  ( (
( # `  W )  -  1 )  - 
1 ) ) )
689lem1d 10364 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( (
# `  W )  e.  NN0  ->  ( ( # `
 W )  - 
1 )  <_  ( # `
 W ) )
6968adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( # `  W
)  e.  NN0  /\  2  <_  ( # `  W
) )  ->  (
( # `  W )  -  1 )  <_ 
( # `  W ) )
7031, 4, 693jca 1168 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( # `  W
)  e.  NN0  /\  2  <_  ( # `  W
) )  ->  (
( ( # `  W
)  -  1 )  e.  NN0  /\  ( # `
 W )  e. 
NN0  /\  ( ( # `
 W )  - 
1 )  <_  ( # `
 W ) ) )
713, 70sylan 471 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `  W
) )  ->  (
( ( # `  W
)  -  1 )  e.  NN0  /\  ( # `
 W )  e. 
NN0  /\  ( ( # `
 W )  - 
1 )  <_  ( # `
 W ) ) )
7271, 35sylibr 212 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `  W
) )  ->  (
( # `  W )  -  1 )  e.  ( 0 ... ( # `
 W ) ) )
73 swrd0len 12417 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  ( ( # `  W
)  -  1 )  e.  ( 0 ... ( # `  W
) ) )  -> 
( # `  ( W substr  <. 0 ,  ( (
# `  W )  -  1 ) >.
) )  =  ( ( # `  W
)  -  1 ) )
7473oveq1d 6202 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  ( ( # `  W
)  -  1 )  e.  ( 0 ... ( # `  W
) ) )  -> 
( ( # `  ( W substr  <. 0 ,  ( ( # `  W
)  -  1 )
>. ) )  -  1 )  =  ( ( ( # `  W
)  -  1 )  -  1 ) )
7572, 74syldan 470 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `  W
) )  ->  (
( # `  ( W substr  <. 0 ,  ( (
# `  W )  -  1 ) >.
) )  -  1 )  =  ( ( ( # `  W
)  -  1 )  -  1 ) )
7675fveq2d 5790 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `  W
) )  ->  ( ZZ>=
`  ( ( # `  ( W substr  <. 0 ,  ( ( # `  W )  -  1 ) >. ) )  - 
1 ) )  =  ( ZZ>= `  ( (
( # `  W )  -  1 )  - 
1 ) ) )
7776eleq2d 2520 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `  W
) )  ->  (
( ( # `  W
)  -  1 )  e.  ( ZZ>= `  (
( # `  ( W substr  <. 0 ,  ( (
# `  W )  -  1 ) >.
) )  -  1 ) )  <->  ( ( # `
 W )  - 
1 )  e.  (
ZZ>= `  ( ( (
# `  W )  -  1 )  - 
1 ) ) ) )
7867, 77mpbird 232 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `  W
) )  ->  (
( # `  W )  -  1 )  e.  ( ZZ>= `  ( ( # `
 ( W substr  <. 0 ,  ( ( # `  W )  -  1 ) >. ) )  - 
1 ) ) )
79 fzoss2 11675 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( # `  W
)  -  1 )  e.  ( ZZ>= `  (
( # `  ( W substr  <. 0 ,  ( (
# `  W )  -  1 ) >.
) )  -  1 ) )  ->  (
0..^ ( ( # `  ( W substr  <. 0 ,  ( ( # `  W )  -  1 ) >. ) )  - 
1 ) )  C_  ( 0..^ ( ( # `  W )  -  1 ) ) )
8078, 79syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `  W
) )  ->  (
0..^ ( ( # `  ( W substr  <. 0 ,  ( ( # `  W )  -  1 ) >. ) )  - 
1 ) )  C_  ( 0..^ ( ( # `  W )  -  1 ) ) )
81 ssralv 3511 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( 0..^ ( ( # `  ( W substr  <. 0 ,  ( ( # `  W )  -  1 ) >. ) )  - 
1 ) )  C_  ( 0..^ ( ( # `  W )  -  1 ) )  ->  ( A. x  e.  (
0..^ ( ( # `  W )  -  1 ) ) { ( W `  x ) ,  ( W `  ( x  +  1
) ) }  e.  ran  E  ->  A. x  e.  ( 0..^ ( (
# `  ( W substr  <.
0 ,  ( (
# `  W )  -  1 ) >.
) )  -  1 ) ) { ( W `  x ) ,  ( W `  ( x  +  1
) ) }  e.  ran  E ) )
8280, 81syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `  W
) )  ->  ( A. x  e.  (
0..^ ( ( # `  W )  -  1 ) ) { ( W `  x ) ,  ( W `  ( x  +  1
) ) }  e.  ran  E  ->  A. x  e.  ( 0..^ ( (
# `  ( W substr  <.
0 ,  ( (
# `  W )  -  1 ) >.
) )  -  1 ) ) { ( W `  x ) ,  ( W `  ( x  +  1
) ) }  e.  ran  E ) )
8372, 73syldan 470 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `  W
) )  ->  ( # `
 ( W substr  <. 0 ,  ( ( # `  W )  -  1 ) >. ) )  =  ( ( # `  W
)  -  1 ) )
8483oveq1d 6202 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `  W
) )  ->  (
( # `  ( W substr  <. 0 ,  ( (
# `  W )  -  1 ) >.
) )  -  1 )  =  ( ( ( # `  W
)  -  1 )  -  1 ) )
8584oveq2d 6203 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `  W
) )  ->  (
0..^ ( ( # `  ( W substr  <. 0 ,  ( ( # `  W )  -  1 ) >. ) )  - 
1 ) )  =  ( 0..^ ( ( ( # `  W
)  -  1 )  -  1 ) ) )
8685eleq2d 2520 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `  W
) )  ->  (
x  e.  ( 0..^ ( ( # `  ( W substr  <. 0 ,  ( ( # `  W
)  -  1 )
>. ) )  -  1 ) )  <->  x  e.  ( 0..^ ( ( (
# `  W )  -  1 )  - 
1 ) ) ) )
87 simpl 457 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `  W
) )  ->  W  e. Word  V )
8887adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( W  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `  W ) )  /\  x  e.  ( 0..^ ( ( ( # `  W )  -  1 )  -  1 ) ) )  ->  W  e. Word  V )
8936adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( W  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `  W ) )  /\  x  e.  ( 0..^ ( ( ( # `  W )  -  1 )  -  1 ) ) )  ->  (
( # `  W )  -  1 )  e.  ( 0 ... ( # `
 W ) ) )
903, 31sylan 471 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `  W
) )  ->  (
( # `  W )  -  1 )  e. 
NN0 )
91 fzossrbm1 11676 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( # `  W
)  -  1 )  e.  NN0  ->  ( 0..^ ( ( ( # `  W )  -  1 )  -  1 ) )  C_  ( 0..^ ( ( # `  W
)  -  1 ) ) )
9290, 91syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `  W
) )  ->  (
0..^ ( ( (
# `  W )  -  1 )  - 
1 ) )  C_  ( 0..^ ( ( # `  W )  -  1 ) ) )
9392sselda 3451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( W  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `  W ) )  /\  x  e.  ( 0..^ ( ( ( # `  W )  -  1 )  -  1 ) ) )  ->  x  e.  ( 0..^ ( (
# `  W )  -  1 ) ) )
9488, 89, 933jca 1168 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( W  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `  W ) )  /\  x  e.  ( 0..^ ( ( ( # `  W )  -  1 )  -  1 ) ) )  ->  ( W  e. Word  V  /\  (
( # `  W )  -  1 )  e.  ( 0 ... ( # `
 W ) )  /\  x  e.  ( 0..^ ( ( # `  W )  -  1 ) ) ) )
95 swrd0fv 12434 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  ( ( # `  W
)  -  1 )  e.  ( 0 ... ( # `  W
) )  /\  x  e.  ( 0..^ ( (
# `  W )  -  1 ) ) )  ->  ( ( W substr  <. 0 ,  ( ( # `  W
)  -  1 )
>. ) `  x )  =  ( W `  x ) )
9694, 95syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( W  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `  W ) )  /\  x  e.  ( 0..^ ( ( ( # `  W )  -  1 )  -  1 ) ) )  ->  (
( W substr  <. 0 ,  ( ( # `  W
)  -  1 )
>. ) `  x )  =  ( W `  x ) )
9796eqcomd 2458 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( W  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `  W ) )  /\  x  e.  ( 0..^ ( ( ( # `  W )  -  1 )  -  1 ) ) )  ->  ( W `  x )  =  ( ( W substr  <. 0 ,  ( (
# `  W )  -  1 ) >.
) `  x )
)
983, 20sylan 471 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `  W
) )  ->  (
( # `  W )  -  1 )  e.  NN )
99 elfzom1p1elfzo 30350 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( ( # `  W
)  -  1 )  e.  NN  /\  x  e.  ( 0..^ ( ( ( # `  W
)  -  1 )  -  1 ) ) )  ->  ( x  +  1 )  e.  ( 0..^ ( (
# `  W )  -  1 ) ) )
10098, 99sylan 471 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( W  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `  W ) )  /\  x  e.  ( 0..^ ( ( ( # `  W )  -  1 )  -  1 ) ) )  ->  (
x  +  1 )  e.  ( 0..^ ( ( # `  W
)  -  1 ) ) )
10188, 89, 1003jca 1168 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( W  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `  W ) )  /\  x  e.  ( 0..^ ( ( ( # `  W )  -  1 )  -  1 ) ) )  ->  ( W  e. Word  V  /\  (
( # `  W )  -  1 )  e.  ( 0 ... ( # `
 W ) )  /\  ( x  + 
1 )  e.  ( 0..^ ( ( # `  W )  -  1 ) ) ) )
102 swrd0fv 12434 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  ( ( # `  W
)  -  1 )  e.  ( 0 ... ( # `  W
) )  /\  (
x  +  1 )  e.  ( 0..^ ( ( # `  W
)  -  1 ) ) )  ->  (
( W substr  <. 0 ,  ( ( # `  W
)  -  1 )
>. ) `  ( x  +  1 ) )  =  ( W `  ( x  +  1
) ) )
103101, 102syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( W  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `  W ) )  /\  x  e.  ( 0..^ ( ( ( # `  W )  -  1 )  -  1 ) ) )  ->  (
( W substr  <. 0 ,  ( ( # `  W
)  -  1 )
>. ) `  ( x  +  1 ) )  =  ( W `  ( x  +  1
) ) )
104103eqcomd 2458 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( W  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `  W ) )  /\  x  e.  ( 0..^ ( ( ( # `  W )  -  1 )  -  1 ) ) )  ->  ( W `  ( x  +  1 ) )  =  ( ( W substr  <. 0 ,  ( (
# `  W )  -  1 ) >.
) `  ( x  +  1 ) ) )
10597, 104preq12d 4057 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( W  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `  W ) )  /\  x  e.  ( 0..^ ( ( ( # `  W )  -  1 )  -  1 ) ) )  ->  { ( W `  x ) ,  ( W `  ( x  +  1
) ) }  =  { ( ( W substr  <. 0 ,  ( (
# `  W )  -  1 ) >.
) `  x ) ,  ( ( W substr  <. 0 ,  ( (
# `  W )  -  1 ) >.
) `  ( x  +  1 ) ) } )
106105ex 434 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `  W
) )  ->  (
x  e.  ( 0..^ ( ( ( # `  W )  -  1 )  -  1 ) )  ->  { ( W `  x ) ,  ( W `  ( x  +  1
) ) }  =  { ( ( W substr  <. 0 ,  ( (
# `  W )  -  1 ) >.
) `  x ) ,  ( ( W substr  <. 0 ,  ( (
# `  W )  -  1 ) >.
) `  ( x  +  1 ) ) } ) )
10786, 106sylbid 215 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `  W
) )  ->  (
x  e.  ( 0..^ ( ( # `  ( W substr  <. 0 ,  ( ( # `  W
)  -  1 )
>. ) )  -  1 ) )  ->  { ( W `  x ) ,  ( W `  ( x  +  1
) ) }  =  { ( ( W substr  <. 0 ,  ( (
# `  W )  -  1 ) >.
) `  x ) ,  ( ( W substr  <. 0 ,  ( (
# `  W )  -  1 ) >.
) `  ( x  +  1 ) ) } ) )
108107imp 429 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( W  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `  W ) )  /\  x  e.  ( 0..^ ( ( # `  ( W substr  <. 0 ,  ( ( # `  W
)  -  1 )
>. ) )  -  1 ) ) )  ->  { ( W `  x ) ,  ( W `  ( x  +  1 ) ) }  =  { ( ( W substr  <. 0 ,  ( ( # `  W )  -  1 ) >. ) `  x
) ,  ( ( W substr  <. 0 ,  ( ( # `  W
)  -  1 )
>. ) `  ( x  +  1 ) ) } )
109108eleq1d 2519 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( W  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `  W ) )  /\  x  e.  ( 0..^ ( ( # `  ( W substr  <. 0 ,  ( ( # `  W
)  -  1 )
>. ) )  -  1 ) ) )  -> 
( { ( W `
 x ) ,  ( W `  (
x  +  1 ) ) }  e.  ran  E  <->  { ( ( W substr  <. 0 ,  ( (
# `  W )  -  1 ) >.
) `  x ) ,  ( ( W substr  <. 0 ,  ( (
# `  W )  -  1 ) >.
) `  ( x  +  1 ) ) }  e.  ran  E
) )
110109biimpd 207 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( W  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `  W ) )  /\  x  e.  ( 0..^ ( ( # `  ( W substr  <. 0 ,  ( ( # `  W
)  -  1 )
>. ) )  -  1 ) ) )  -> 
( { ( W `
 x ) ,  ( W `  (
x  +  1 ) ) }  e.  ran  E  ->  { ( ( W substr  <. 0 ,  ( ( # `  W
)  -  1 )
>. ) `  x ) ,  ( ( W substr  <. 0 ,  ( (
# `  W )  -  1 ) >.
) `  ( x  +  1 ) ) }  e.  ran  E
) )
111110ralimdva 2822 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `  W
) )  ->  ( A. x  e.  (
0..^ ( ( # `  ( W substr  <. 0 ,  ( ( # `  W )  -  1 ) >. ) )  - 
1 ) ) { ( W `  x
) ,  ( W `
 ( x  + 
1 ) ) }  e.  ran  E  ->  A. x  e.  (
0..^ ( ( # `  ( W substr  <. 0 ,  ( ( # `  W )  -  1 ) >. ) )  - 
1 ) ) { ( ( W substr  <. 0 ,  ( ( # `  W )  -  1 ) >. ) `  x
) ,  ( ( W substr  <. 0 ,  ( ( # `  W
)  -  1 )
>. ) `  ( x  +  1 ) ) }  e.  ran  E
) )
11282, 111syld 44 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `  W
) )  ->  ( A. x  e.  (
0..^ ( ( # `  W )  -  1 ) ) { ( W `  x ) ,  ( W `  ( x  +  1
) ) }  e.  ran  E  ->  A. x  e.  ( 0..^ ( (
# `  ( W substr  <.
0 ,  ( (
# `  W )  -  1 ) >.
) )  -  1 ) ) { ( ( W substr  <. 0 ,  ( ( # `  W )  -  1 ) >. ) `  x
) ,  ( ( W substr  <. 0 ,  ( ( # `  W
)  -  1 )
>. ) `  ( x  +  1 ) ) }  e.  ran  E
) )
113112expcom 435 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 2  <_  ( # `  W
)  ->  ( W  e. Word  V  ->  ( A. x  e.  ( 0..^ ( ( # `  W
)  -  1 ) ) { ( W `
 x ) ,  ( W `  (
x  +  1 ) ) }  e.  ran  E  ->  A. x  e.  ( 0..^ ( ( # `  ( W substr  <. 0 ,  ( ( # `  W )  -  1 ) >. ) )  - 
1 ) ) { ( ( W substr  <. 0 ,  ( ( # `  W )  -  1 ) >. ) `  x
) ,  ( ( W substr  <. 0 ,  ( ( # `  W
)  -  1 )
>. ) `  ( x  +  1 ) ) }  e.  ran  E
) ) )
114113com3l 81 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( W  e. Word  V  ->  ( A. x  e.  (
0..^ ( ( # `  W )  -  1 ) ) { ( W `  x ) ,  ( W `  ( x  +  1
) ) }  e.  ran  E  ->  ( 2  <_  ( # `  W
)  ->  A. x  e.  ( 0..^ ( (
# `  ( W substr  <.
0 ,  ( (
# `  W )  -  1 ) >.
) )  -  1 ) ) { ( ( W substr  <. 0 ,  ( ( # `  W )  -  1 ) >. ) `  x
) ,  ( ( W substr  <. 0 ,  ( ( # `  W
)  -  1 )
>. ) `  ( x  +  1 ) ) }  e.  ran  E
) ) )
115114a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( W  =/=  (/)  ->  ( W  e. Word  V  ->  ( A. x  e.  ( 0..^ ( ( # `  W
)  -  1 ) ) { ( W `
 x ) ,  ( W `  (
x  +  1 ) ) }  e.  ran  E  ->  ( 2  <_ 
( # `  W )  ->  A. x  e.  ( 0..^ ( ( # `  ( W substr  <. 0 ,  ( ( # `  W )  -  1 ) >. ) )  - 
1 ) ) { ( ( W substr  <. 0 ,  ( ( # `  W )  -  1 ) >. ) `  x
) ,  ( ( W substr  <. 0 ,  ( ( # `  W
)  -  1 )
>. ) `  ( x  +  1 ) ) }  e.  ran  E
) ) ) )
1161153imp 1182 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( W  =/=  (/)  /\  W  e. Word  V  /\  A. x  e.  ( 0..^ ( (
# `  W )  -  1 ) ) { ( W `  x ) ,  ( W `  ( x  +  1 ) ) }  e.  ran  E
)  ->  ( 2  <_  ( # `  W
)  ->  A. x  e.  ( 0..^ ( (
# `  ( W substr  <.
0 ,  ( (
# `  W )  -  1 ) >.
) )  -  1 ) ) { ( ( W substr  <. 0 ,  ( ( # `  W )  -  1 ) >. ) `  x
) ,  ( ( W substr  <. 0 ,  ( ( # `  W
)  -  1 )
>. ) `  ( x  +  1 ) ) }  e.  ran  E
) )
117116adantl 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( W  =/=  (/)  /\  W  e. Word  V  /\  A. x  e.  ( 0..^ ( (
# `  W )  -  1 ) ) { ( W `  x ) ,  ( W `  ( x  +  1 ) ) }  e.  ran  E
) )  ->  (
2  <_  ( # `  W
)  ->  A. x  e.  ( 0..^ ( (
# `  ( W substr  <.
0 ,  ( (
# `  W )  -  1 ) >.
) )  -  1 ) ) { ( ( W substr  <. 0 ,  ( ( # `  W )  -  1 ) >. ) `  x
) ,  ( ( W substr  <. 0 ,  ( ( # `  W
)  -  1 )
>. ) `  ( x  +  1 ) ) }  e.  ran  E
) )
118117imp 429 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( V  e. 
_V  /\  E  e.  _V )  /\  ( W  =/=  (/)  /\  W  e. Word  V  /\  A. x  e.  ( 0..^ ( (
# `  W )  -  1 ) ) { ( W `  x ) ,  ( W `  ( x  +  1 ) ) }  e.  ran  E
) )  /\  2  <_  ( # `  W
) )  ->  A. x  e.  ( 0..^ ( (
# `  ( W substr  <.
0 ,  ( (
# `  W )  -  1 ) >.
) )  -  1 ) ) { ( ( W substr  <. 0 ,  ( ( # `  W )  -  1 ) >. ) `  x
) ,  ( ( W substr  <. 0 ,  ( ( # `  W
)  -  1 )
>. ) `  ( x  +  1 ) ) }  e.  ran  E
)
11947, 52, 1183jca 1168 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( V  e. 
_V  /\  E  e.  _V )  /\  ( W  =/=  (/)  /\  W  e. Word  V  /\  A. x  e.  ( 0..^ ( (
# `  W )  -  1 ) ) { ( W `  x ) ,  ( W `  ( x  +  1 ) ) }  e.  ran  E
) )  /\  2  <_  ( # `  W
) )  ->  (
( W substr  <. 0 ,  ( ( # `  W
)  -  1 )
>. )  =/=  (/)  /\  ( W substr  <. 0 ,  ( ( # `  W
)  -  1 )
>. )  e. Word  V  /\  A. x  e.  ( 0..^ ( ( # `  ( W substr  <. 0 ,  ( ( # `  W
)  -  1 )
>. ) )  -  1 ) ) { ( ( W substr  <. 0 ,  ( ( # `  W )  -  1 ) >. ) `  x
) ,  ( ( W substr  <. 0 ,  ( ( # `  W
)  -  1 )
>. ) `  ( x  +  1 ) ) }  e.  ran  E
) )
120 iswwlk 30452 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  ->  ( ( W substr  <. 0 ,  ( ( # `  W )  -  1 ) >. )  e.  ( V WWalks  E )  <->  ( ( W substr  <. 0 ,  ( ( # `  W
)  -  1 )
>. )  =/=  (/)  /\  ( W substr  <. 0 ,  ( ( # `  W
)  -  1 )
>. )  e. Word  V  /\  A. x  e.  ( 0..^ ( ( # `  ( W substr  <. 0 ,  ( ( # `  W
)  -  1 )
>. ) )  -  1 ) ) { ( ( W substr  <. 0 ,  ( ( # `  W )  -  1 ) >. ) `  x
) ,  ( ( W substr  <. 0 ,  ( ( # `  W
)  -  1 )
>. ) `  ( x  +  1 ) ) }  e.  ran  E
) ) )
121120adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( W  =/=  (/)  /\  W  e. Word  V  /\  A. x  e.  ( 0..^ ( (
# `  W )  -  1 ) ) { ( W `  x ) ,  ( W `  ( x  +  1 ) ) }  e.  ran  E
) )  ->  (
( W substr  <. 0 ,  ( ( # `  W
)  -  1 )
>. )  e.  ( V WWalks  E )  <->  ( ( W substr  <. 0 ,  ( ( # `  W
)  -  1 )
>. )  =/=  (/)  /\  ( W substr  <. 0 ,  ( ( # `  W
)  -  1 )
>. )  e. Word  V  /\  A. x  e.  ( 0..^ ( ( # `  ( W substr  <. 0 ,  ( ( # `  W
)  -  1 )
>. ) )  -  1 ) ) { ( ( W substr  <. 0 ,  ( ( # `  W )  -  1 ) >. ) `  x
) ,  ( ( W substr  <. 0 ,  ( ( # `  W
)  -  1 )
>. ) `  ( x  +  1 ) ) }  e.  ran  E
) ) )
122121adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( V  e. 
_V  /\  E  e.  _V )  /\  ( W  =/=  (/)  /\  W  e. Word  V  /\  A. x  e.  ( 0..^ ( (
# `  W )  -  1 ) ) { ( W `  x ) ,  ( W `  ( x  +  1 ) ) }  e.  ran  E
) )  /\  2  <_  ( # `  W
) )  ->  (
( W substr  <. 0 ,  ( ( # `  W
)  -  1 )
>. )  e.  ( V WWalks  E )  <->  ( ( W substr  <. 0 ,  ( ( # `  W
)  -  1 )
>. )  =/=  (/)  /\  ( W substr  <. 0 ,  ( ( # `  W
)  -  1 )
>. )  e. Word  V  /\  A. x  e.  ( 0..^ ( ( # `  ( W substr  <. 0 ,  ( ( # `  W
)  -  1 )
>. ) )  -  1 ) ) { ( ( W substr  <. 0 ,  ( ( # `  W )  -  1 ) >. ) `  x
) ,  ( ( W substr  <. 0 ,  ( ( # `  W
)  -  1 )
>. ) `  ( x  +  1 ) ) }  e.  ran  E
) ) )
123119, 122mpbird 232 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( V  e. 
_V  /\  E  e.  _V )  /\  ( W  =/=  (/)  /\  W  e. Word  V  /\  A. x  e.  ( 0..^ ( (
# `  W )  -  1 ) ) { ( W `  x ) ,  ( W `  ( x  +  1 ) ) }  e.  ran  E
) )  /\  2  <_  ( # `  W
) )  ->  ( W substr  <. 0 ,  ( ( # `  W
)  -  1 )
>. )  e.  ( V WWalks  E ) )
124123ex 434 . . . . . 6  |-  ( ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( W  =/=  (/)  /\  W  e. Word  V  /\  A. x  e.  ( 0..^ ( (
# `  W )  -  1 ) ) { ( W `  x ) ,  ( W `  ( x  +  1 ) ) }  e.  ran  E
) )  ->  (
2  <_  ( # `  W
)  ->  ( W substr  <.
0 ,  ( (
# `  W )  -  1 ) >.
)  e.  ( V WWalks  E ) ) )
125124ex 434 . . . . 5  |-  ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  ->  ( ( W  =/=  (/)  /\  W  e. Word  V  /\  A. x  e.  ( 0..^ ( ( # `  W )  -  1 ) ) { ( W `  x ) ,  ( W `  ( x  +  1
) ) }  e.  ran  E )  ->  (
2  <_  ( # `  W
)  ->  ( W substr  <.
0 ,  ( (
# `  W )  -  1 ) >.
)  e.  ( V WWalks  E ) ) ) )
1262, 125sylbid 215 . . . 4  |-  ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  ->  ( W  e.  ( V WWalks  E )  -> 
( 2  <_  ( # `
 W )  -> 
( W substr  <. 0 ,  ( ( # `  W
)  -  1 )
>. )  e.  ( V WWalks  E ) ) ) )
1271263adant3 1008 . . 3  |-  ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V  /\  W  e. Word  V )  ->  ( W  e.  ( V WWalks  E )  ->  ( 2  <_  ( # `  W
)  ->  ( W substr  <.
0 ,  ( (
# `  W )  -  1 ) >.
)  e.  ( V WWalks  E ) ) ) )
1281, 127mpcom 36 . 2  |-  ( W  e.  ( V WWalks  E
)  ->  ( 2  <_  ( # `  W
)  ->  ( W substr  <.
0 ,  ( (
# `  W )  -  1 ) >.
)  e.  ( V WWalks  E ) ) )
129128imp 429 1  |-  ( ( W  e.  ( V WWalks  E )  /\  2  <_  ( # `  W
) )  ->  ( W substr  <. 0 ,  ( ( # `  W
)  -  1 )
>. )  e.  ( V WWalks  E ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1370    e. wcel 1758    =/= wne 2642   A.wral 2793   _Vcvv 3065    i^i cin 3422    C_ wss 3423   (/)c0 3732   {cpr 3974   <.cop 3978   class class class wbr 4387   ran crn 4936    |` cres 4937    Fn wfn 5508   ` cfv 5513  (class class class)co 6187   RRcr 9379   0cc0 9380   1c1 9381    + caddc 9383    <_ cle 9517    - cmin 9693   NNcn 10420   2c2 10469   NN0cn0 10677   ZZcz 10744   ZZ>=cuz 10959   ...cfz 11535  ..^cfzo 11646   #chash 12201  Word cword 12320   substr csubstr 12324   WWalks cwwlk 30446
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-rep 4498  ax-sep 4508  ax-nul 4516  ax-pow 4565  ax-pr 4626  ax-un 6469  ax-cnex 9436  ax-resscn 9437  ax-1cn 9438  ax-icn 9439  ax-addcl 9440  ax-addrcl 9441  ax-mulcl 9442  ax-mulrcl 9443  ax-mulcom 9444  ax-addass 9445  ax-mulass 9446  ax-distr 9447  ax-i2m1 9448  ax-1ne0 9449  ax-1rid 9450  ax-rnegex 9451  ax-rrecex 9452  ax-cnre 9453  ax-pre-lttri 9454  ax-pre-lttrn 9455  ax-pre-ltadd 9456  ax-pre-mulgt0 9457
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-fal 1376  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2599  df-ne 2644  df-nel 2645  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rab 2802  df-v 3067  df-sbc 3282  df-csb 3384  df-dif 3426  df-un 3428  df-in 3430  df-ss 3437  df-pss 3439  df-nul 3733  df-if 3887  df-pw 3957  df-sn 3973  df-pr 3975  df-tp 3977  df-op 3979  df-uni 4187  df-int 4224  df-iun 4268  df-br 4388  df-opab 4446  df-mpt 4447  df-tr 4481  df-eprel 4727  df-id 4731  df-po 4736  df-so 4737  df-fr 4774  df-we 4776  df-ord 4817  df-on 4818  df-lim 4819  df-suc 4820  df-xp 4941  df-rel 4942  df-cnv 4943  df-co 4944  df-dm 4945  df-rn 4946  df-res 4947  df-ima 4948  df-iota 5476  df-fun 5515  df-fn 5516  df-f 5517  df-f1 5518  df-fo 5519  df-f1o 5520  df-fv 5521  df-riota 6148  df-ov 6190  df-oprab 6191  df-mpt2 6192  df-om 6574  df-1st 6674  df-2nd 6675  df-recs 6929  df-rdg 6963  df-1o 7017  df-oadd 7021  df-er 7198  df-map 7313  df-pm 7314  df-en 7408  df-dom 7409  df-sdom 7410  df-fin 7411  df-card 8207  df-pnf 9518  df-mnf 9519  df-xr 9520  df-ltxr 9521  df-le 9522  df-sub 9695  df-neg 9696  df-nn 10421  df-2 10478  df-n0 10678  df-z 10745  df-uz 10960  df-fz 11536  df-fzo 11647  df-hash 12202  df-word 12328  df-substr 12332  df-wwlk 30448
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