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Theorem wwlkm1edg 24408
Description: Removing the trailing edge from a walk (as word) with at least one edge results in a walk. (Contributed by Alexander van der Vekens, 1-Aug-2018.)
Assertion
Ref Expression
wwlkm1edg  |-  ( ( W  e.  ( V WWalks  E )  /\  2  <_  ( # `  W
) )  ->  ( W substr  <. 0 ,  ( ( # `  W
)  -  1 )
>. )  e.  ( V WWalks  E ) )

Proof of Theorem wwlkm1edg
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 wwlkprop 24358 . . 3  |-  ( W  e.  ( V WWalks  E
)  ->  ( V  e.  _V  /\  E  e. 
_V  /\  W  e. Word  V ) )
2 iswwlk 24356 . . . . 5  |-  ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  ->  ( W  e.  ( V WWalks  E )  <->  ( W  =/=  (/)  /\  W  e. Word  V  /\  A. x  e.  ( 0..^ ( (
# `  W )  -  1 ) ) { ( W `  x ) ,  ( W `  ( x  +  1 ) ) }  e.  ran  E
) ) )
3 lencl 12522 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( W  e. Word  V  ->  ( # `
 W )  e. 
NN0 )
4 simpl 457 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( # `  W
)  e.  NN0  /\  2  <_  ( # `  W
) )  ->  ( # `
 W )  e. 
NN0 )
5 1red 9607 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( # `  W
)  e.  NN0  /\  2  <_  ( # `  W
) )  ->  1  e.  RR )
6 2re 10601 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  2  e.  RR
76a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( # `  W
)  e.  NN0  /\  2  <_  ( # `  W
) )  ->  2  e.  RR )
8 nn0re 10800 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( (
# `  W )  e.  NN0  ->  ( # `  W
)  e.  RR )
98adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( # `  W
)  e.  NN0  /\  2  <_  ( # `  W
) )  ->  ( # `
 W )  e.  RR )
10 1le2 10745 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  1  <_  2
1110a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( # `  W
)  e.  NN0  /\  2  <_  ( # `  W
) )  ->  1  <_  2 )
12 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( # `  W
)  e.  NN0  /\  2  <_  ( # `  W
) )  ->  2  <_  ( # `  W
) )
135, 7, 9, 11, 12letrd 9734 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( # `  W
)  e.  NN0  /\  2  <_  ( # `  W
) )  ->  1  <_  ( # `  W
) )
144, 13jca 532 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( # `  W
)  e.  NN0  /\  2  <_  ( # `  W
) )  ->  (
( # `  W )  e.  NN0  /\  1  <_  ( # `  W
) ) )
15 elnnnn0c 10837 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
# `  W )  e.  NN  <->  ( ( # `  W )  e.  NN0  /\  1  <_  ( # `  W
) ) )
1614, 15sylibr 212 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( # `  W
)  e.  NN0  /\  2  <_  ( # `  W
) )  ->  ( # `
 W )  e.  NN )
17 lbfzo0 11826 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( 0  e.  ( 0..^ (
# `  W )
)  <->  ( # `  W
)  e.  NN )
1816, 17sylibr 212 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( # `  W
)  e.  NN0  /\  2  <_  ( # `  W
) )  ->  0  e.  ( 0..^ ( # `  W ) ) )
19 nn0ge2m1nn 10857 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( # `  W
)  e.  NN0  /\  2  <_  ( # `  W
) )  ->  (
( # `  W )  -  1 )  e.  NN )
20 lbfzo0 11826 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( 0  e.  ( 0..^ ( ( # `  W
)  -  1 ) )  <->  ( ( # `  W )  -  1 )  e.  NN )
2119, 20sylibr 212 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( # `  W
)  e.  NN0  /\  2  <_  ( # `  W
) )  ->  0  e.  ( 0..^ ( (
# `  W )  -  1 ) ) )
2218, 21jca 532 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( # `  W
)  e.  NN0  /\  2  <_  ( # `  W
) )  ->  (
0  e.  ( 0..^ ( # `  W
) )  /\  0  e.  ( 0..^ ( (
# `  W )  -  1 ) ) ) )
233, 22sylan 471 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `  W
) )  ->  (
0  e.  ( 0..^ ( # `  W
) )  /\  0  e.  ( 0..^ ( (
# `  W )  -  1 ) ) ) )
24 inelcm 3881 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 0  e.  ( 0..^ ( # `  W
) )  /\  0  e.  ( 0..^ ( (
# `  W )  -  1 ) ) )  ->  ( (
0..^ ( # `  W
) )  i^i  (
0..^ ( ( # `  W )  -  1 ) ) )  =/=  (/) )
2523, 24syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `  W
) )  ->  (
( 0..^ ( # `  W ) )  i^i  ( 0..^ ( (
# `  W )  -  1 ) ) )  =/=  (/) )
26 wrdfn 12520 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( W  e. Word  V  ->  W  Fn  ( 0..^ ( # `  W ) ) )
2726adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `  W
) )  ->  W  Fn  ( 0..^ ( # `  W ) ) )
28 fnresdisj 5689 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( W  Fn  ( 0..^ (
# `  W )
)  ->  ( (
( 0..^ ( # `  W ) )  i^i  ( 0..^ ( (
# `  W )  -  1 ) ) )  =  (/)  <->  ( W  |`  ( 0..^ ( (
# `  W )  -  1 ) ) )  =  (/) ) )
2927, 28syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `  W
) )  ->  (
( ( 0..^ (
# `  W )
)  i^i  ( 0..^ ( ( # `  W
)  -  1 ) ) )  =  (/)  <->  ( W  |`  ( 0..^ ( ( # `  W
)  -  1 ) ) )  =  (/) ) )
30 nn0ge2m1nn0 10858 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( # `  W
)  e.  NN0  /\  2  <_  ( # `  W
) )  ->  (
( # `  W )  -  1 )  e. 
NN0 )
319lem1d 10475 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( # `  W
)  e.  NN0  /\  2  <_  ( # `  W
) )  ->  (
( # `  W )  -  1 )  <_ 
( # `  W ) )
3230, 4, 313jca 1176 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( # `  W
)  e.  NN0  /\  2  <_  ( # `  W
) )  ->  (
( ( # `  W
)  -  1 )  e.  NN0  /\  ( # `
 W )  e. 
NN0  /\  ( ( # `
 W )  - 
1 )  <_  ( # `
 W ) ) )
333, 32sylan 471 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `  W
) )  ->  (
( ( # `  W
)  -  1 )  e.  NN0  /\  ( # `
 W )  e. 
NN0  /\  ( ( # `
 W )  - 
1 )  <_  ( # `
 W ) ) )
34 elfz2nn0 11764 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( # `  W
)  -  1 )  e.  ( 0 ... ( # `  W
) )  <->  ( (
( # `  W )  -  1 )  e. 
NN0  /\  ( # `  W
)  e.  NN0  /\  ( ( # `  W
)  -  1 )  <_  ( # `  W
) ) )
3533, 34sylibr 212 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `  W
) )  ->  (
( # `  W )  -  1 )  e.  ( 0 ... ( # `
 W ) ) )
36 swrd0val 12605 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  ( ( # `  W
)  -  1 )  e.  ( 0 ... ( # `  W
) ) )  -> 
( W substr  <. 0 ,  ( ( # `  W
)  -  1 )
>. )  =  ( W  |`  ( 0..^ ( ( # `  W
)  -  1 ) ) ) )
3736eqeq1d 2469 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  ( ( # `  W
)  -  1 )  e.  ( 0 ... ( # `  W
) ) )  -> 
( ( W substr  <. 0 ,  ( ( # `  W )  -  1 ) >. )  =  (/)  <->  ( W  |`  ( 0..^ ( ( # `  W
)  -  1 ) ) )  =  (/) ) )
3837bicomd 201 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  ( ( # `  W
)  -  1 )  e.  ( 0 ... ( # `  W
) ) )  -> 
( ( W  |`  ( 0..^ ( ( # `  W )  -  1 ) ) )  =  (/) 
<->  ( W substr  <. 0 ,  ( ( # `  W )  -  1 ) >. )  =  (/) ) )
3935, 38syldan 470 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `  W
) )  ->  (
( W  |`  (
0..^ ( ( # `  W )  -  1 ) ) )  =  (/) 
<->  ( W substr  <. 0 ,  ( ( # `  W )  -  1 ) >. )  =  (/) ) )
4029, 39bitr2d 254 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `  W
) )  ->  (
( W substr  <. 0 ,  ( ( # `  W
)  -  1 )
>. )  =  (/)  <->  ( (
0..^ ( # `  W
) )  i^i  (
0..^ ( ( # `  W )  -  1 ) ) )  =  (/) ) )
4140necon3bid 2725 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `  W
) )  ->  (
( W substr  <. 0 ,  ( ( # `  W
)  -  1 )
>. )  =/=  (/)  <->  ( (
0..^ ( # `  W
) )  i^i  (
0..^ ( ( # `  W )  -  1 ) ) )  =/=  (/) ) )
4225, 41mpbird 232 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `  W
) )  ->  ( W substr  <. 0 ,  ( ( # `  W
)  -  1 )
>. )  =/=  (/) )
4342ex 434 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( W  e. Word  V  ->  (
2  <_  ( # `  W
)  ->  ( W substr  <.
0 ,  ( (
# `  W )  -  1 ) >.
)  =/=  (/) ) )
44433ad2ant2 1018 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( W  =/=  (/)  /\  W  e. Word  V  /\  A. x  e.  ( 0..^ ( (
# `  W )  -  1 ) ) { ( W `  x ) ,  ( W `  ( x  +  1 ) ) }  e.  ran  E
)  ->  ( 2  <_  ( # `  W
)  ->  ( W substr  <.
0 ,  ( (
# `  W )  -  1 ) >.
)  =/=  (/) ) )
4544adantl 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( W  =/=  (/)  /\  W  e. Word  V  /\  A. x  e.  ( 0..^ ( (
# `  W )  -  1 ) ) { ( W `  x ) ,  ( W `  ( x  +  1 ) ) }  e.  ran  E
) )  ->  (
2  <_  ( # `  W
)  ->  ( W substr  <.
0 ,  ( (
# `  W )  -  1 ) >.
)  =/=  (/) ) )
4645imp 429 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( V  e. 
_V  /\  E  e.  _V )  /\  ( W  =/=  (/)  /\  W  e. Word  V  /\  A. x  e.  ( 0..^ ( (
# `  W )  -  1 ) ) { ( W `  x ) ,  ( W `  ( x  +  1 ) ) }  e.  ran  E
) )  /\  2  <_  ( # `  W
) )  ->  ( W substr  <. 0 ,  ( ( # `  W
)  -  1 )
>. )  =/=  (/) )
47 swrdcl 12603 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( W  e. Word  V  ->  ( W substr  <. 0 ,  ( ( # `  W
)  -  1 )
>. )  e. Word  V )
4847a1d 25 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( W  e. Word  V  ->  (
2  <_  ( # `  W
)  ->  ( W substr  <.
0 ,  ( (
# `  W )  -  1 ) >.
)  e. Word  V )
)
49483ad2ant2 1018 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( W  =/=  (/)  /\  W  e. Word  V  /\  A. x  e.  ( 0..^ ( (
# `  W )  -  1 ) ) { ( W `  x ) ,  ( W `  ( x  +  1 ) ) }  e.  ran  E
)  ->  ( 2  <_  ( # `  W
)  ->  ( W substr  <.
0 ,  ( (
# `  W )  -  1 ) >.
)  e. Word  V )
)
5049adantl 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( W  =/=  (/)  /\  W  e. Word  V  /\  A. x  e.  ( 0..^ ( (
# `  W )  -  1 ) ) { ( W `  x ) ,  ( W `  ( x  +  1 ) ) }  e.  ran  E
) )  ->  (
2  <_  ( # `  W
)  ->  ( W substr  <.
0 ,  ( (
# `  W )  -  1 ) >.
)  e. Word  V )
)
5150imp 429 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( V  e. 
_V  /\  E  e.  _V )  /\  ( W  =/=  (/)  /\  W  e. Word  V  /\  A. x  e.  ( 0..^ ( (
# `  W )  -  1 ) ) { ( W `  x ) ,  ( W `  ( x  +  1 ) ) }  e.  ran  E
) )  /\  2  <_  ( # `  W
) )  ->  ( W substr  <. 0 ,  ( ( # `  W
)  -  1 )
>. )  e. Word  V )
52 nn0z 10883 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( (
# `  W )  e.  NN0  ->  ( # `  W
)  e.  ZZ )
53 peano2zm 10902 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( (
# `  W )  e.  ZZ  ->  ( ( # `
 W )  - 
1 )  e.  ZZ )
5452, 53syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( (
# `  W )  e.  NN0  ->  ( ( # `
 W )  - 
1 )  e.  ZZ )
55 peano2zm 10902 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( # `  W
)  -  1 )  e.  ZZ  ->  (
( ( # `  W
)  -  1 )  -  1 )  e.  ZZ )
5654, 55syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( (
# `  W )  e.  NN0  ->  ( (
( # `  W )  -  1 )  - 
1 )  e.  ZZ )
5756adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( # `  W
)  e.  NN0  /\  2  <_  ( # `  W
) )  ->  (
( ( # `  W
)  -  1 )  -  1 )  e.  ZZ )
5854adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( # `  W
)  e.  NN0  /\  2  <_  ( # `  W
) )  ->  (
( # `  W )  -  1 )  e.  ZZ )
59 peano2rem 9882 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( (
# `  W )  e.  RR  ->  ( ( # `
 W )  - 
1 )  e.  RR )
608, 59syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( (
# `  W )  e.  NN0  ->  ( ( # `
 W )  - 
1 )  e.  RR )
6160lem1d 10475 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( (
# `  W )  e.  NN0  ->  ( (
( # `  W )  -  1 )  - 
1 )  <_  (
( # `  W )  -  1 ) )
6261adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( # `  W
)  e.  NN0  /\  2  <_  ( # `  W
) )  ->  (
( ( # `  W
)  -  1 )  -  1 )  <_ 
( ( # `  W
)  -  1 ) )
6357, 58, 623jca 1176 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( # `  W
)  e.  NN0  /\  2  <_  ( # `  W
) )  ->  (
( ( ( # `  W )  -  1 )  -  1 )  e.  ZZ  /\  (
( # `  W )  -  1 )  e.  ZZ  /\  ( ( ( # `  W
)  -  1 )  -  1 )  <_ 
( ( # `  W
)  -  1 ) ) )
643, 63sylan 471 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `  W
) )  ->  (
( ( ( # `  W )  -  1 )  -  1 )  e.  ZZ  /\  (
( # `  W )  -  1 )  e.  ZZ  /\  ( ( ( # `  W
)  -  1 )  -  1 )  <_ 
( ( # `  W
)  -  1 ) ) )
65 eluz2 11084 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( # `  W
)  -  1 )  e.  ( ZZ>= `  (
( ( # `  W
)  -  1 )  -  1 ) )  <-> 
( ( ( (
# `  W )  -  1 )  - 
1 )  e.  ZZ  /\  ( ( # `  W
)  -  1 )  e.  ZZ  /\  (
( ( # `  W
)  -  1 )  -  1 )  <_ 
( ( # `  W
)  -  1 ) ) )
6664, 65sylibr 212 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `  W
) )  ->  (
( # `  W )  -  1 )  e.  ( ZZ>= `  ( (
( # `  W )  -  1 )  - 
1 ) ) )
678lem1d 10475 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( (
# `  W )  e.  NN0  ->  ( ( # `
 W )  - 
1 )  <_  ( # `
 W ) )
6867adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( # `  W
)  e.  NN0  /\  2  <_  ( # `  W
) )  ->  (
( # `  W )  -  1 )  <_ 
( # `  W ) )
6930, 4, 683jca 1176 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( # `  W
)  e.  NN0  /\  2  <_  ( # `  W
) )  ->  (
( ( # `  W
)  -  1 )  e.  NN0  /\  ( # `
 W )  e. 
NN0  /\  ( ( # `
 W )  - 
1 )  <_  ( # `
 W ) ) )
703, 69sylan 471 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `  W
) )  ->  (
( ( # `  W
)  -  1 )  e.  NN0  /\  ( # `
 W )  e. 
NN0  /\  ( ( # `
 W )  - 
1 )  <_  ( # `
 W ) ) )
7170, 34sylibr 212 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `  W
) )  ->  (
( # `  W )  -  1 )  e.  ( 0 ... ( # `
 W ) ) )
72 swrd0len 12606 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  ( ( # `  W
)  -  1 )  e.  ( 0 ... ( # `  W
) ) )  -> 
( # `  ( W substr  <. 0 ,  ( (
# `  W )  -  1 ) >.
) )  =  ( ( # `  W
)  -  1 ) )
7372oveq1d 6297 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  ( ( # `  W
)  -  1 )  e.  ( 0 ... ( # `  W
) ) )  -> 
( ( # `  ( W substr  <. 0 ,  ( ( # `  W
)  -  1 )
>. ) )  -  1 )  =  ( ( ( # `  W
)  -  1 )  -  1 ) )
7471, 73syldan 470 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `  W
) )  ->  (
( # `  ( W substr  <. 0 ,  ( (
# `  W )  -  1 ) >.
) )  -  1 )  =  ( ( ( # `  W
)  -  1 )  -  1 ) )
7574fveq2d 5868 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `  W
) )  ->  ( ZZ>=
`  ( ( # `  ( W substr  <. 0 ,  ( ( # `  W )  -  1 ) >. ) )  - 
1 ) )  =  ( ZZ>= `  ( (
( # `  W )  -  1 )  - 
1 ) ) )
7666, 75eleqtrrd 2558 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `  W
) )  ->  (
( # `  W )  -  1 )  e.  ( ZZ>= `  ( ( # `
 ( W substr  <. 0 ,  ( ( # `  W )  -  1 ) >. ) )  - 
1 ) ) )
77 fzoss2 11817 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( # `  W
)  -  1 )  e.  ( ZZ>= `  (
( # `  ( W substr  <. 0 ,  ( (
# `  W )  -  1 ) >.
) )  -  1 ) )  ->  (
0..^ ( ( # `  ( W substr  <. 0 ,  ( ( # `  W )  -  1 ) >. ) )  - 
1 ) )  C_  ( 0..^ ( ( # `  W )  -  1 ) ) )
7876, 77syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `  W
) )  ->  (
0..^ ( ( # `  ( W substr  <. 0 ,  ( ( # `  W )  -  1 ) >. ) )  - 
1 ) )  C_  ( 0..^ ( ( # `  W )  -  1 ) ) )
79 ssralv 3564 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( 0..^ ( ( # `  ( W substr  <. 0 ,  ( ( # `  W )  -  1 ) >. ) )  - 
1 ) )  C_  ( 0..^ ( ( # `  W )  -  1 ) )  ->  ( A. x  e.  (
0..^ ( ( # `  W )  -  1 ) ) { ( W `  x ) ,  ( W `  ( x  +  1
) ) }  e.  ran  E  ->  A. x  e.  ( 0..^ ( (
# `  ( W substr  <.
0 ,  ( (
# `  W )  -  1 ) >.
) )  -  1 ) ) { ( W `  x ) ,  ( W `  ( x  +  1
) ) }  e.  ran  E ) )
8078, 79syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `  W
) )  ->  ( A. x  e.  (
0..^ ( ( # `  W )  -  1 ) ) { ( W `  x ) ,  ( W `  ( x  +  1
) ) }  e.  ran  E  ->  A. x  e.  ( 0..^ ( (
# `  ( W substr  <.
0 ,  ( (
# `  W )  -  1 ) >.
) )  -  1 ) ) { ( W `  x ) ,  ( W `  ( x  +  1
) ) }  e.  ran  E ) )
8171, 72syldan 470 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `  W
) )  ->  ( # `
 ( W substr  <. 0 ,  ( ( # `  W )  -  1 ) >. ) )  =  ( ( # `  W
)  -  1 ) )
8281oveq1d 6297 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `  W
) )  ->  (
( # `  ( W substr  <. 0 ,  ( (
# `  W )  -  1 ) >.
) )  -  1 )  =  ( ( ( # `  W
)  -  1 )  -  1 ) )
8382oveq2d 6298 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `  W
) )  ->  (
0..^ ( ( # `  ( W substr  <. 0 ,  ( ( # `  W )  -  1 ) >. ) )  - 
1 ) )  =  ( 0..^ ( ( ( # `  W
)  -  1 )  -  1 ) ) )
8483eleq2d 2537 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `  W
) )  ->  (
x  e.  ( 0..^ ( ( # `  ( W substr  <. 0 ,  ( ( # `  W
)  -  1 )
>. ) )  -  1 ) )  <->  x  e.  ( 0..^ ( ( (
# `  W )  -  1 )  - 
1 ) ) ) )
85 simpl 457 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `  W
) )  ->  W  e. Word  V )
8685adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( W  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `  W ) )  /\  x  e.  ( 0..^ ( ( ( # `  W )  -  1 )  -  1 ) ) )  ->  W  e. Word  V )
8735adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( W  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `  W ) )  /\  x  e.  ( 0..^ ( ( ( # `  W )  -  1 )  -  1 ) ) )  ->  (
( # `  W )  -  1 )  e.  ( 0 ... ( # `
 W ) ) )
883, 30sylan 471 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `  W
) )  ->  (
( # `  W )  -  1 )  e. 
NN0 )
89 nn0z 10883 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( ( # `  W
)  -  1 )  e.  NN0  ->  ( (
# `  W )  -  1 )  e.  ZZ )
90 fzossrbm1 11818 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( ( # `  W
)  -  1 )  e.  ZZ  ->  (
0..^ ( ( (
# `  W )  -  1 )  - 
1 ) )  C_  ( 0..^ ( ( # `  W )  -  1 ) ) )
9189, 90syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( # `  W
)  -  1 )  e.  NN0  ->  ( 0..^ ( ( ( # `  W )  -  1 )  -  1 ) )  C_  ( 0..^ ( ( # `  W
)  -  1 ) ) )
9288, 91syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `  W
) )  ->  (
0..^ ( ( (
# `  W )  -  1 )  - 
1 ) )  C_  ( 0..^ ( ( # `  W )  -  1 ) ) )
9392sselda 3504 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( W  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `  W ) )  /\  x  e.  ( 0..^ ( ( ( # `  W )  -  1 )  -  1 ) ) )  ->  x  e.  ( 0..^ ( (
# `  W )  -  1 ) ) )
9486, 87, 933jca 1176 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( W  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `  W ) )  /\  x  e.  ( 0..^ ( ( ( # `  W )  -  1 )  -  1 ) ) )  ->  ( W  e. Word  V  /\  (
( # `  W )  -  1 )  e.  ( 0 ... ( # `
 W ) )  /\  x  e.  ( 0..^ ( ( # `  W )  -  1 ) ) ) )
95 swrd0fv 12623 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  ( ( # `  W
)  -  1 )  e.  ( 0 ... ( # `  W
) )  /\  x  e.  ( 0..^ ( (
# `  W )  -  1 ) ) )  ->  ( ( W substr  <. 0 ,  ( ( # `  W
)  -  1 )
>. ) `  x )  =  ( W `  x ) )
9694, 95syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( W  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `  W ) )  /\  x  e.  ( 0..^ ( ( ( # `  W )  -  1 )  -  1 ) ) )  ->  (
( W substr  <. 0 ,  ( ( # `  W
)  -  1 )
>. ) `  x )  =  ( W `  x ) )
9796eqcomd 2475 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( W  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `  W ) )  /\  x  e.  ( 0..^ ( ( ( # `  W )  -  1 )  -  1 ) ) )  ->  ( W `  x )  =  ( ( W substr  <. 0 ,  ( (
# `  W )  -  1 ) >.
) `  x )
)
983, 19sylan 471 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `  W
) )  ->  (
( # `  W )  -  1 )  e.  NN )
99 elfzom1p1elfzo 11859 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( ( # `  W
)  -  1 )  e.  NN  /\  x  e.  ( 0..^ ( ( ( # `  W
)  -  1 )  -  1 ) ) )  ->  ( x  +  1 )  e.  ( 0..^ ( (
# `  W )  -  1 ) ) )
10098, 99sylan 471 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( W  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `  W ) )  /\  x  e.  ( 0..^ ( ( ( # `  W )  -  1 )  -  1 ) ) )  ->  (
x  +  1 )  e.  ( 0..^ ( ( # `  W
)  -  1 ) ) )
10186, 87, 1003jca 1176 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( W  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `  W ) )  /\  x  e.  ( 0..^ ( ( ( # `  W )  -  1 )  -  1 ) ) )  ->  ( W  e. Word  V  /\  (
( # `  W )  -  1 )  e.  ( 0 ... ( # `
 W ) )  /\  ( x  + 
1 )  e.  ( 0..^ ( ( # `  W )  -  1 ) ) ) )
102 swrd0fv 12623 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  ( ( # `  W
)  -  1 )  e.  ( 0 ... ( # `  W
) )  /\  (
x  +  1 )  e.  ( 0..^ ( ( # `  W
)  -  1 ) ) )  ->  (
( W substr  <. 0 ,  ( ( # `  W
)  -  1 )
>. ) `  ( x  +  1 ) )  =  ( W `  ( x  +  1
) ) )
103101, 102syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( W  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `  W ) )  /\  x  e.  ( 0..^ ( ( ( # `  W )  -  1 )  -  1 ) ) )  ->  (
( W substr  <. 0 ,  ( ( # `  W
)  -  1 )
>. ) `  ( x  +  1 ) )  =  ( W `  ( x  +  1
) ) )
104103eqcomd 2475 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( W  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `  W ) )  /\  x  e.  ( 0..^ ( ( ( # `  W )  -  1 )  -  1 ) ) )  ->  ( W `  ( x  +  1 ) )  =  ( ( W substr  <. 0 ,  ( (
# `  W )  -  1 ) >.
) `  ( x  +  1 ) ) )
10597, 104preq12d 4114 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( W  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `  W ) )  /\  x  e.  ( 0..^ ( ( ( # `  W )  -  1 )  -  1 ) ) )  ->  { ( W `  x ) ,  ( W `  ( x  +  1
) ) }  =  { ( ( W substr  <. 0 ,  ( (
# `  W )  -  1 ) >.
) `  x ) ,  ( ( W substr  <. 0 ,  ( (
# `  W )  -  1 ) >.
) `  ( x  +  1 ) ) } )
106105ex 434 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `  W
) )  ->  (
x  e.  ( 0..^ ( ( ( # `  W )  -  1 )  -  1 ) )  ->  { ( W `  x ) ,  ( W `  ( x  +  1
) ) }  =  { ( ( W substr  <. 0 ,  ( (
# `  W )  -  1 ) >.
) `  x ) ,  ( ( W substr  <. 0 ,  ( (
# `  W )  -  1 ) >.
) `  ( x  +  1 ) ) } ) )
10784, 106sylbid 215 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `  W
) )  ->  (
x  e.  ( 0..^ ( ( # `  ( W substr  <. 0 ,  ( ( # `  W
)  -  1 )
>. ) )  -  1 ) )  ->  { ( W `  x ) ,  ( W `  ( x  +  1
) ) }  =  { ( ( W substr  <. 0 ,  ( (
# `  W )  -  1 ) >.
) `  x ) ,  ( ( W substr  <. 0 ,  ( (
# `  W )  -  1 ) >.
) `  ( x  +  1 ) ) } ) )
108107imp 429 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( W  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `  W ) )  /\  x  e.  ( 0..^ ( ( # `  ( W substr  <. 0 ,  ( ( # `  W
)  -  1 )
>. ) )  -  1 ) ) )  ->  { ( W `  x ) ,  ( W `  ( x  +  1 ) ) }  =  { ( ( W substr  <. 0 ,  ( ( # `  W )  -  1 ) >. ) `  x
) ,  ( ( W substr  <. 0 ,  ( ( # `  W
)  -  1 )
>. ) `  ( x  +  1 ) ) } )
109108eleq1d 2536 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( W  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `  W ) )  /\  x  e.  ( 0..^ ( ( # `  ( W substr  <. 0 ,  ( ( # `  W
)  -  1 )
>. ) )  -  1 ) ) )  -> 
( { ( W `
 x ) ,  ( W `  (
x  +  1 ) ) }  e.  ran  E  <->  { ( ( W substr  <. 0 ,  ( (
# `  W )  -  1 ) >.
) `  x ) ,  ( ( W substr  <. 0 ,  ( (
# `  W )  -  1 ) >.
) `  ( x  +  1 ) ) }  e.  ran  E
) )
110109biimpd 207 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( W  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `  W ) )  /\  x  e.  ( 0..^ ( ( # `  ( W substr  <. 0 ,  ( ( # `  W
)  -  1 )
>. ) )  -  1 ) ) )  -> 
( { ( W `
 x ) ,  ( W `  (
x  +  1 ) ) }  e.  ran  E  ->  { ( ( W substr  <. 0 ,  ( ( # `  W
)  -  1 )
>. ) `  x ) ,  ( ( W substr  <. 0 ,  ( (
# `  W )  -  1 ) >.
) `  ( x  +  1 ) ) }  e.  ran  E
) )
111110ralimdva 2872 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `  W
) )  ->  ( A. x  e.  (
0..^ ( ( # `  ( W substr  <. 0 ,  ( ( # `  W )  -  1 ) >. ) )  - 
1 ) ) { ( W `  x
) ,  ( W `
 ( x  + 
1 ) ) }  e.  ran  E  ->  A. x  e.  (
0..^ ( ( # `  ( W substr  <. 0 ,  ( ( # `  W )  -  1 ) >. ) )  - 
1 ) ) { ( ( W substr  <. 0 ,  ( ( # `  W )  -  1 ) >. ) `  x
) ,  ( ( W substr  <. 0 ,  ( ( # `  W
)  -  1 )
>. ) `  ( x  +  1 ) ) }  e.  ran  E
) )
11280, 111syld 44 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `  W
) )  ->  ( A. x  e.  (
0..^ ( ( # `  W )  -  1 ) ) { ( W `  x ) ,  ( W `  ( x  +  1
) ) }  e.  ran  E  ->  A. x  e.  ( 0..^ ( (
# `  ( W substr  <.
0 ,  ( (
# `  W )  -  1 ) >.
) )  -  1 ) ) { ( ( W substr  <. 0 ,  ( ( # `  W )  -  1 ) >. ) `  x
) ,  ( ( W substr  <. 0 ,  ( ( # `  W
)  -  1 )
>. ) `  ( x  +  1 ) ) }  e.  ran  E
) )
113112expcom 435 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 2  <_  ( # `  W
)  ->  ( W  e. Word  V  ->  ( A. x  e.  ( 0..^ ( ( # `  W
)  -  1 ) ) { ( W `
 x ) ,  ( W `  (
x  +  1 ) ) }  e.  ran  E  ->  A. x  e.  ( 0..^ ( ( # `  ( W substr  <. 0 ,  ( ( # `  W )  -  1 ) >. ) )  - 
1 ) ) { ( ( W substr  <. 0 ,  ( ( # `  W )  -  1 ) >. ) `  x
) ,  ( ( W substr  <. 0 ,  ( ( # `  W
)  -  1 )
>. ) `  ( x  +  1 ) ) }  e.  ran  E
) ) )
114113com3l 81 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( W  e. Word  V  ->  ( A. x  e.  (
0..^ ( ( # `  W )  -  1 ) ) { ( W `  x ) ,  ( W `  ( x  +  1
) ) }  e.  ran  E  ->  ( 2  <_  ( # `  W
)  ->  A. x  e.  ( 0..^ ( (
# `  ( W substr  <.
0 ,  ( (
# `  W )  -  1 ) >.
) )  -  1 ) ) { ( ( W substr  <. 0 ,  ( ( # `  W )  -  1 ) >. ) `  x
) ,  ( ( W substr  <. 0 ,  ( ( # `  W
)  -  1 )
>. ) `  ( x  +  1 ) ) }  e.  ran  E
) ) )
115114a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( W  =/=  (/)  ->  ( W  e. Word  V  ->  ( A. x  e.  ( 0..^ ( ( # `  W
)  -  1 ) ) { ( W `
 x ) ,  ( W `  (
x  +  1 ) ) }  e.  ran  E  ->  ( 2  <_ 
( # `  W )  ->  A. x  e.  ( 0..^ ( ( # `  ( W substr  <. 0 ,  ( ( # `  W )  -  1 ) >. ) )  - 
1 ) ) { ( ( W substr  <. 0 ,  ( ( # `  W )  -  1 ) >. ) `  x
) ,  ( ( W substr  <. 0 ,  ( ( # `  W
)  -  1 )
>. ) `  ( x  +  1 ) ) }  e.  ran  E
) ) ) )
1161153imp 1190 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( W  =/=  (/)  /\  W  e. Word  V  /\  A. x  e.  ( 0..^ ( (
# `  W )  -  1 ) ) { ( W `  x ) ,  ( W `  ( x  +  1 ) ) }  e.  ran  E
)  ->  ( 2  <_  ( # `  W
)  ->  A. x  e.  ( 0..^ ( (
# `  ( W substr  <.
0 ,  ( (
# `  W )  -  1 ) >.
) )  -  1 ) ) { ( ( W substr  <. 0 ,  ( ( # `  W )  -  1 ) >. ) `  x
) ,  ( ( W substr  <. 0 ,  ( ( # `  W
)  -  1 )
>. ) `  ( x  +  1 ) ) }  e.  ran  E
) )
117116adantl 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( W  =/=  (/)  /\  W  e. Word  V  /\  A. x  e.  ( 0..^ ( (
# `  W )  -  1 ) ) { ( W `  x ) ,  ( W `  ( x  +  1 ) ) }  e.  ran  E
) )  ->  (
2  <_  ( # `  W
)  ->  A. x  e.  ( 0..^ ( (
# `  ( W substr  <.
0 ,  ( (
# `  W )  -  1 ) >.
) )  -  1 ) ) { ( ( W substr  <. 0 ,  ( ( # `  W )  -  1 ) >. ) `  x
) ,  ( ( W substr  <. 0 ,  ( ( # `  W
)  -  1 )
>. ) `  ( x  +  1 ) ) }  e.  ran  E
) )
118117imp 429 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( V  e. 
_V  /\  E  e.  _V )  /\  ( W  =/=  (/)  /\  W  e. Word  V  /\  A. x  e.  ( 0..^ ( (
# `  W )  -  1 ) ) { ( W `  x ) ,  ( W `  ( x  +  1 ) ) }  e.  ran  E
) )  /\  2  <_  ( # `  W
) )  ->  A. x  e.  ( 0..^ ( (
# `  ( W substr  <.
0 ,  ( (
# `  W )  -  1 ) >.
) )  -  1 ) ) { ( ( W substr  <. 0 ,  ( ( # `  W )  -  1 ) >. ) `  x
) ,  ( ( W substr  <. 0 ,  ( ( # `  W
)  -  1 )
>. ) `  ( x  +  1 ) ) }  e.  ran  E
)
11946, 51, 1183jca 1176 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( V  e. 
_V  /\  E  e.  _V )  /\  ( W  =/=  (/)  /\  W  e. Word  V  /\  A. x  e.  ( 0..^ ( (
# `  W )  -  1 ) ) { ( W `  x ) ,  ( W `  ( x  +  1 ) ) }  e.  ran  E
) )  /\  2  <_  ( # `  W
) )  ->  (
( W substr  <. 0 ,  ( ( # `  W
)  -  1 )
>. )  =/=  (/)  /\  ( W substr  <. 0 ,  ( ( # `  W
)  -  1 )
>. )  e. Word  V  /\  A. x  e.  ( 0..^ ( ( # `  ( W substr  <. 0 ,  ( ( # `  W
)  -  1 )
>. ) )  -  1 ) ) { ( ( W substr  <. 0 ,  ( ( # `  W )  -  1 ) >. ) `  x
) ,  ( ( W substr  <. 0 ,  ( ( # `  W
)  -  1 )
>. ) `  ( x  +  1 ) ) }  e.  ran  E
) )
120 iswwlk 24356 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  ->  ( ( W substr  <. 0 ,  ( ( # `  W )  -  1 ) >. )  e.  ( V WWalks  E )  <->  ( ( W substr  <. 0 ,  ( ( # `  W
)  -  1 )
>. )  =/=  (/)  /\  ( W substr  <. 0 ,  ( ( # `  W
)  -  1 )
>. )  e. Word  V  /\  A. x  e.  ( 0..^ ( ( # `  ( W substr  <. 0 ,  ( ( # `  W
)  -  1 )
>. ) )  -  1 ) ) { ( ( W substr  <. 0 ,  ( ( # `  W )  -  1 ) >. ) `  x
) ,  ( ( W substr  <. 0 ,  ( ( # `  W
)  -  1 )
>. ) `  ( x  +  1 ) ) }  e.  ran  E
) ) )
121120adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( W  =/=  (/)  /\  W  e. Word  V  /\  A. x  e.  ( 0..^ ( (
# `  W )  -  1 ) ) { ( W `  x ) ,  ( W `  ( x  +  1 ) ) }  e.  ran  E
) )  ->  (
( W substr  <. 0 ,  ( ( # `  W
)  -  1 )
>. )  e.  ( V WWalks  E )  <->  ( ( W substr  <. 0 ,  ( ( # `  W
)  -  1 )
>. )  =/=  (/)  /\  ( W substr  <. 0 ,  ( ( # `  W
)  -  1 )
>. )  e. Word  V  /\  A. x  e.  ( 0..^ ( ( # `  ( W substr  <. 0 ,  ( ( # `  W
)  -  1 )
>. ) )  -  1 ) ) { ( ( W substr  <. 0 ,  ( ( # `  W )  -  1 ) >. ) `  x
) ,  ( ( W substr  <. 0 ,  ( ( # `  W
)  -  1 )
>. ) `  ( x  +  1 ) ) }  e.  ran  E
) ) )
122121adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( V  e. 
_V  /\  E  e.  _V )  /\  ( W  =/=  (/)  /\  W  e. Word  V  /\  A. x  e.  ( 0..^ ( (
# `  W )  -  1 ) ) { ( W `  x ) ,  ( W `  ( x  +  1 ) ) }  e.  ran  E
) )  /\  2  <_  ( # `  W
) )  ->  (
( W substr  <. 0 ,  ( ( # `  W
)  -  1 )
>. )  e.  ( V WWalks  E )  <->  ( ( W substr  <. 0 ,  ( ( # `  W
)  -  1 )
>. )  =/=  (/)  /\  ( W substr  <. 0 ,  ( ( # `  W
)  -  1 )
>. )  e. Word  V  /\  A. x  e.  ( 0..^ ( ( # `  ( W substr  <. 0 ,  ( ( # `  W
)  -  1 )
>. ) )  -  1 ) ) { ( ( W substr  <. 0 ,  ( ( # `  W )  -  1 ) >. ) `  x
) ,  ( ( W substr  <. 0 ,  ( ( # `  W
)  -  1 )
>. ) `  ( x  +  1 ) ) }  e.  ran  E
) ) )
123119, 122mpbird 232 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( V  e. 
_V  /\  E  e.  _V )  /\  ( W  =/=  (/)  /\  W  e. Word  V  /\  A. x  e.  ( 0..^ ( (
# `  W )  -  1 ) ) { ( W `  x ) ,  ( W `  ( x  +  1 ) ) }  e.  ran  E
) )  /\  2  <_  ( # `  W
) )  ->  ( W substr  <. 0 ,  ( ( # `  W
)  -  1 )
>. )  e.  ( V WWalks  E ) )
124123ex 434 . . . . . 6  |-  ( ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( W  =/=  (/)  /\  W  e. Word  V  /\  A. x  e.  ( 0..^ ( (
# `  W )  -  1 ) ) { ( W `  x ) ,  ( W `  ( x  +  1 ) ) }  e.  ran  E
) )  ->  (
2  <_  ( # `  W
)  ->  ( W substr  <.
0 ,  ( (
# `  W )  -  1 ) >.
)  e.  ( V WWalks  E ) ) )
125124ex 434 . . . . 5  |-  ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  ->  ( ( W  =/=  (/)  /\  W  e. Word  V  /\  A. x  e.  ( 0..^ ( ( # `  W )  -  1 ) ) { ( W `  x ) ,  ( W `  ( x  +  1
) ) }  e.  ran  E )  ->  (
2  <_  ( # `  W
)  ->  ( W substr  <.
0 ,  ( (
# `  W )  -  1 ) >.
)  e.  ( V WWalks  E ) ) ) )
1262, 125sylbid 215 . . . 4  |-  ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  ->  ( W  e.  ( V WWalks  E )  -> 
( 2  <_  ( # `
 W )  -> 
( W substr  <. 0 ,  ( ( # `  W
)  -  1 )
>. )  e.  ( V WWalks  E ) ) ) )
1271263adant3 1016 . . 3  |-  ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V  /\  W  e. Word  V )  ->  ( W  e.  ( V WWalks  E )  ->  ( 2  <_  ( # `  W
)  ->  ( W substr  <.
0 ,  ( (
# `  W )  -  1 ) >.
)  e.  ( V WWalks  E ) ) ) )
1281, 127mpcom 36 . 2  |-  ( W  e.  ( V WWalks  E
)  ->  ( 2  <_  ( # `  W
)  ->  ( W substr  <.
0 ,  ( (
# `  W )  -  1 ) >.
)  e.  ( V WWalks  E ) ) )
129128imp 429 1  |-  ( ( W  e.  ( V WWalks  E )  /\  2  <_  ( # `  W
) )  ->  ( W substr  <. 0 ,  ( ( # `  W
)  -  1 )
>. )  e.  ( V WWalks  E ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1379    e. wcel 1767    =/= wne 2662   A.wral 2814   _Vcvv 3113    i^i cin 3475    C_ wss 3476   (/)c0 3785   {cpr 4029   <.cop 4033   class class class wbr 4447   ran crn 5000    |` cres 5001    Fn wfn 5581   ` cfv 5586  (class class class)co 6282   RRcr 9487   0cc0 9488   1c1 9489    + caddc 9491    <_ cle 9625    - cmin 9801   NNcn 10532   2c2 10581   NN0cn0 10791   ZZcz 10860   ZZ>=cuz 11078   ...cfz 11668  ..^cfzo 11788   #chash 12367  Word cword 12494   substr csubstr 12498   WWalks cwwlk 24350
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-cnex 9544  ax-resscn 9545  ax-1cn 9546  ax-icn 9547  ax-addcl 9548  ax-addrcl 9549  ax-mulcl 9550  ax-mulrcl 9551  ax-mulcom 9552  ax-addass 9553  ax-mulass 9554  ax-distr 9555  ax-i2m1 9556  ax-1ne0 9557  ax-1rid 9558  ax-rnegex 9559  ax-rrecex 9560  ax-cnre 9561  ax-pre-lttri 9562  ax-pre-lttrn 9563  ax-pre-ltadd 9564  ax-pre-mulgt0 9565
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-fal 1385  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-riota 6243  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-om 6679  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-recs 7039  df-rdg 7073  df-1o 7127  df-oadd 7131  df-er 7308  df-map 7419  df-pm 7420  df-en 7514  df-dom 7515  df-sdom 7516  df-fin 7517  df-card 8316  df-pnf 9626  df-mnf 9627  df-xr 9628  df-ltxr 9629  df-le 9630  df-sub 9803  df-neg 9804  df-nn 10533  df-2 10590  df-n0 10792  df-z 10861  df-uz 11079  df-fz 11669  df-fzo 11789  df-hash 12368  df-word 12502  df-substr 12506  df-wwlk 24352
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