Theorem wwlkextproplem2 24863

Description: Lemma 2 for wwlkextprop 24865. (Contributed by Alexander van der Vekens, 1-Aug-2018.)

Hypothesis

Ref	Expression
wwlkextprop.x	|- X = ( ( V WWalksN E ) ` ( N + 1 ) )

Assertion

Ref	Expression
wwlkextproplem2	|- ( ( W e. X /\ N e. NN0 ) -> { ( lastS ` ( W substr <. 0 , ( N + 1 ) >. ) ) , ( lastS ` W ) } e. ran E )

Proof of Theorem wwlkextproplem2

Dummy variable i is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		wwlknimp 24808	. . . 4 |- ( W e. ( ( V WWalksN E ) ` ( N + 1 ) ) -> ( W e. Word V /\ ( # ` W ) = ( ( N + 1 ) + 1 ) /\ A. i e. ( 0..^ ( N + 1 ) ) { ( W ` i ) , ( W ` ( i + 1 ) ) } e. ran E ) )
2		fzonn0p1 11791	. . . . . . . . . . 11 |- ( N e. NN0 -> N e. ( 0..^ ( N + 1 ) ) )
3	2	adantl 464	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( W e. Word V /\ ( # ` W ) = ( ( N + 1 ) + 1 ) ) /\ N e. NN0 ) -> N e. ( 0..^ ( N + 1 ) ) )
4		fveq2 5774	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( i = N -> ( W ` i ) = ( W ` N ) )
5		oveq1 6203	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( i = N -> ( i + 1 ) = ( N + 1 ) )
6	5	fveq2d 5778	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( i = N -> ( W ` ( i + 1 ) ) = ( W ` ( N + 1 ) ) )
7	4, 6	preq12d 4031	. . . . . . . . . . . 12 |- ( i = N -> { ( W ` i ) , ( W ` ( i + 1 ) ) } = { ( W ` N ) , ( W ` ( N + 1 ) ) } )
8	7	eleq1d 2451	. . . . . . . . . . 11 |- ( i = N -> ( { ( W ` i ) , ( W ` ( i + 1 ) ) } e. ran E <-> { ( W ` N ) , ( W ` ( N + 1 ) ) } e. ran E ) )
9	8	rspcv 3131	. . . . . . . . . 10 |- ( N e. ( 0..^ ( N + 1 ) ) -> ( A. i e. ( 0..^ ( N + 1 ) ) { ( W ` i ) , ( W ` ( i + 1 ) ) } e. ran E -> { ( W ` N ) , ( W ` ( N + 1 ) ) } e. ran E ) )
10	3, 9	syl 16	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( W e. Word V /\ ( # ` W ) = ( ( N + 1 ) + 1 ) ) /\ N e. NN0 ) -> ( A. i e. ( 0..^ ( N + 1 ) ) { ( W ` i ) , ( W ` ( i + 1 ) ) } e. ran E -> { ( W ` N ) , ( W ` ( N + 1 ) ) } e. ran E ) )
11	10	imp 427	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( W e. Word V /\ ( # ` W ) = ( ( N + 1 ) + 1 ) ) /\ N e. NN0 ) /\ A. i e. ( 0..^ ( N + 1 ) ) { ( W ` i ) , ( W ` ( i + 1 ) ) } e. ran E ) -> { ( W ` N ) , ( W ` ( N + 1 ) ) } e. ran E )
12		simpll 751	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( W e. Word V /\ ( # ` W ) = ( ( N + 1 ) + 1 ) ) /\ N e. NN0 ) -> W e. Word V )
13		1zzd 10812	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( W e. Word V /\ ( # ` W ) = ( ( N + 1 ) + 1 ) ) /\ N e. NN0 ) -> 1 e. ZZ )
14		lencl 12469	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( W e. Word V -> ( # ` W ) e. NN0 )
15	14	nn0zd 10882	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( W e. Word V -> ( # ` W ) e. ZZ )
16	15	ad2antrr 723	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( W e. Word V /\ ( # ` W ) = ( ( N + 1 ) + 1 ) ) /\ N e. NN0 ) -> ( # ` W ) e. ZZ )
17		peano2nn0 10753	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( N e. NN0 -> ( N + 1 ) e. NN0 )
18	17	nn0zd 10882	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( N e. NN0 -> ( N + 1 ) e. ZZ )
19	18	adantl 464	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( W e. Word V /\ ( # ` W ) = ( ( N + 1 ) + 1 ) ) /\ N e. NN0 ) -> ( N + 1 ) e. ZZ )
20	13, 16, 19	3jca 1174	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( W e. Word V /\ ( # ` W ) = ( ( N + 1 ) + 1 ) ) /\ N e. NN0 ) -> ( 1 e. ZZ /\ ( # ` W ) e. ZZ /\ ( N + 1 ) e. ZZ ) )
21		nn0ge0 10738	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( N e. NN0 -> 0 <_ N )
22		1red 9522	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( N e. NN0 -> 1 e. RR )
23		nn0re 10721	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( N e. NN0 -> N e. RR )
24	22, 23	addge02d 10058	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( N e. NN0 -> ( 0 <_ N <-> 1 <_ ( N + 1 ) ) )
25	21, 24	mpbid 210	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( N e. NN0 -> 1 <_ ( N + 1 ) )
26	25	adantl 464	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( W e. Word V /\ ( # ` W ) = ( ( N + 1 ) + 1 ) ) /\ N e. NN0 ) -> 1 <_ ( N + 1 ) )
27	17	nn0red 10770	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( N e. NN0 -> ( N + 1 ) e. RR )
28	27	lep1d 10393	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( N e. NN0 -> ( N + 1 ) <_ ( ( N + 1 ) + 1 ) )
29		breq2 4371	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( # ` W ) = ( ( N + 1 ) + 1 ) -> ( ( N + 1 ) <_ ( # ` W ) <-> ( N + 1 ) <_ ( ( N + 1 ) + 1 ) ) )
30	28, 29	syl5ibrcom 222	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( N e. NN0 -> ( ( # ` W ) = ( ( N + 1 ) + 1 ) -> ( N + 1 ) <_ ( # ` W ) ) )
31	30	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( # ` W ) e. NN0 -> ( N e. NN0 -> ( ( # ` W ) = ( ( N + 1 ) + 1 ) -> ( N + 1 ) <_ ( # ` W ) ) ) )
32	31	com23 78	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( # ` W ) e. NN0 -> ( ( # ` W ) = ( ( N + 1 ) + 1 ) -> ( N e. NN0 -> ( N + 1 ) <_ ( # ` W ) ) ) )
33	14, 32	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( W e. Word V -> ( ( # ` W ) = ( ( N + 1 ) + 1 ) -> ( N e. NN0 -> ( N + 1 ) <_ ( # ` W ) ) ) )
34	33	imp31 430	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( W e. Word V /\ ( # ` W ) = ( ( N + 1 ) + 1 ) ) /\ N e. NN0 ) -> ( N + 1 ) <_ ( # ` W ) )
35	26, 34	jca 530	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( W e. Word V /\ ( # ` W ) = ( ( N + 1 ) + 1 ) ) /\ N e. NN0 ) -> ( 1 <_ ( N + 1 ) /\ ( N + 1 ) <_ ( # ` W ) ) )
36		elfz2 11600	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( N + 1 ) e. ( 1 ... ( # ` W ) ) <-> ( ( 1 e. ZZ /\ ( # ` W ) e. ZZ /\ ( N + 1 ) e. ZZ ) /\ ( 1 <_ ( N + 1 ) /\ ( N + 1 ) <_ ( # ` W ) ) ) )
37	20, 35, 36	sylanbrc 662	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( W e. Word V /\ ( # ` W ) = ( ( N + 1 ) + 1 ) ) /\ N e. NN0 ) -> ( N + 1 ) e. ( 1 ... ( # ` W ) ) )
38	12, 37	jca 530	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( W e. Word V /\ ( # ` W ) = ( ( N + 1 ) + 1 ) ) /\ N e. NN0 ) -> ( W e. Word V /\ ( N + 1 ) e. ( 1 ... ( # ` W ) ) ) )
39		swrd0fvlsw 12579	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( W e. Word V /\ ( N + 1 ) e. ( 1 ... ( # ` W ) ) ) -> ( lastS ` ( W substr <. 0 , ( N + 1 ) >. ) ) = ( W ` ( ( N + 1 ) - 1 ) ) )
40	38, 39	syl 16	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( W e. Word V /\ ( # ` W ) = ( ( N + 1 ) + 1 ) ) /\ N e. NN0 ) -> ( lastS ` ( W substr <. 0 , ( N + 1 ) >. ) ) = ( W ` ( ( N + 1 ) - 1 ) ) )
41		nn0cn 10722	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( N e. NN0 -> N e. CC )
42		1cnd 9523	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( N e. NN0 -> 1 e. CC )
43	41, 42	pncand 9845	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( N e. NN0 -> ( ( N + 1 ) - 1 ) = N )
44	43	fveq2d 5778	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( N e. NN0 -> ( W ` ( ( N + 1 ) - 1 ) ) = ( W ` N ) )
45	44	adantl 464	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( W e. Word V /\ ( # ` W ) = ( ( N + 1 ) + 1 ) ) /\ N e. NN0 ) -> ( W ` ( ( N + 1 ) - 1 ) ) = ( W ` N ) )
46	40, 45	eqtrd 2423	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( W e. Word V /\ ( # ` W ) = ( ( N + 1 ) + 1 ) ) /\ N e. NN0 ) -> ( lastS ` ( W substr <. 0 , ( N + 1 ) >. ) ) = ( W ` N ) )
47		lsw 12493	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( W e. Word V -> ( lastS ` W ) = ( W ` ( ( # ` W ) - 1 ) ) )
48	47	ad2antrr 723	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( W e. Word V /\ ( # ` W ) = ( ( N + 1 ) + 1 ) ) /\ N e. NN0 ) -> ( lastS ` W ) = ( W ` ( ( # ` W ) - 1 ) ) )
49		oveq1 6203	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( # ` W ) = ( ( N + 1 ) + 1 ) -> ( ( # ` W ) - 1 ) = ( ( ( N + 1 ) + 1 ) - 1 ) )
50	49	fveq2d 5778	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( # ` W ) = ( ( N + 1 ) + 1 ) -> ( W ` ( ( # ` W ) - 1 ) ) = ( W ` ( ( ( N + 1 ) + 1 ) - 1 ) ) )
51	50	adantl 464	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( W e. Word V /\ ( # ` W ) = ( ( N + 1 ) + 1 ) ) -> ( W ` ( ( # ` W ) - 1 ) ) = ( W ` ( ( ( N + 1 ) + 1 ) - 1 ) ) )
52	17	nn0cnd 10771	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( N e. NN0 -> ( N + 1 ) e. CC )
53	52, 42	pncand 9845	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( N e. NN0 -> ( ( ( N + 1 ) + 1 ) - 1 ) = ( N + 1 ) )
54	53	fveq2d 5778	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( N e. NN0 -> ( W ` ( ( ( N + 1 ) + 1 ) - 1 ) ) = ( W ` ( N + 1 ) ) )
55	51, 54	sylan9eq 2443	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( W e. Word V /\ ( # ` W ) = ( ( N + 1 ) + 1 ) ) /\ N e. NN0 ) -> ( W ` ( ( # ` W ) - 1 ) ) = ( W ` ( N + 1 ) ) )
56	48, 55	eqtrd 2423	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( W e. Word V /\ ( # ` W ) = ( ( N + 1 ) + 1 ) ) /\ N e. NN0 ) -> ( lastS ` W ) = ( W ` ( N + 1 ) ) )
57	46, 56	preq12d 4031	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( W e. Word V /\ ( # ` W ) = ( ( N + 1 ) + 1 ) ) /\ N e. NN0 ) -> { ( lastS ` ( W substr <. 0 , ( N + 1 ) >. ) ) , ( lastS ` W ) } = { ( W ` N ) , ( W ` ( N + 1 ) ) } )
58	57	eleq1d 2451	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( W e. Word V /\ ( # ` W ) = ( ( N + 1 ) + 1 ) ) /\ N e. NN0 ) -> ( { ( lastS ` ( W substr <. 0 , ( N + 1 ) >. ) ) , ( lastS ` W ) } e. ran E <-> { ( W ` N ) , ( W ` ( N + 1 ) ) } e. ran E ) )
59	58	adantr 463	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( W e. Word V /\ ( # ` W ) = ( ( N + 1 ) + 1 ) ) /\ N e. NN0 ) /\ A. i e. ( 0..^ ( N + 1 ) ) { ( W ` i ) , ( W ` ( i + 1 ) ) } e. ran E ) -> ( { ( lastS ` ( W substr <. 0 , ( N + 1 ) >. ) ) , ( lastS ` W ) } e. ran E <-> { ( W ` N ) , ( W ` ( N + 1 ) ) } e. ran E ) )
60	11, 59	mpbird 232	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( W e. Word V /\ ( # ` W ) = ( ( N + 1 ) + 1 ) ) /\ N e. NN0 ) /\ A. i e. ( 0..^ ( N + 1 ) ) { ( W ` i ) , ( W ` ( i + 1 ) ) } e. ran E ) -> { ( lastS ` ( W substr <. 0 , ( N + 1 ) >. ) ) , ( lastS ` W ) } e. ran E )
61	60	exp31 602	. . . . . 6 |- ( ( W e. Word V /\ ( # ` W ) = ( ( N + 1 ) + 1 ) ) -> ( N e. NN0 -> ( A. i e. ( 0..^ ( N + 1 ) ) { ( W ` i ) , ( W ` ( i + 1 ) ) } e. ran E -> { ( lastS ` ( W substr <. 0 , ( N + 1 ) >. ) ) , ( lastS ` W ) } e. ran E ) ) )
62	61	com23 78	. . . . 5 |- ( ( W e. Word V /\ ( # ` W ) = ( ( N + 1 ) + 1 ) ) -> ( A. i e. ( 0..^ ( N + 1 ) ) { ( W ` i ) , ( W ` ( i + 1 ) ) } e. ran E -> ( N e. NN0 -> { ( lastS ` ( W substr <. 0 , ( N + 1 ) >. ) ) , ( lastS ` W ) } e. ran E ) ) )
63	62	3impia 1191	. . . 4 |- ( ( W e. Word V /\ ( # ` W ) = ( ( N + 1 ) + 1 ) /\ A. i e. ( 0..^ ( N + 1 ) ) { ( W ` i ) , ( W ` ( i + 1 ) ) } e. ran E ) -> ( N e. NN0 -> { ( lastS ` ( W substr <. 0 , ( N + 1 ) >. ) ) , ( lastS ` W ) } e. ran E ) )
64	1, 63	syl 16	. . 3 |- ( W e. ( ( V WWalksN E ) ` ( N + 1 ) ) -> ( N e. NN0 -> { ( lastS ` ( W substr <. 0 , ( N + 1 ) >. ) ) , ( lastS ` W ) } e. ran E ) )
65		wwlkextprop.x	. . 3 |- X = ( ( V WWalksN E ) ` ( N + 1 ) )
66	64, 65	eleq2s 2490	. 2 |- ( W e. X -> ( N e. NN0 -> { ( lastS ` ( W substr <. 0 , ( N + 1 ) >. ) ) , ( lastS ` W ) } e. ran E ) )
67	66	imp 427	1 |- ( ( W e. X /\ N e. NN0 ) -> { ( lastS ` ( W substr <. 0 , ( N + 1 ) >. ) ) , ( lastS ` W ) } e. ran E )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 367   /\ w3a 971   = wceq 1399   e. wcel 1826   A.wral 2732   {cpr 3946   <.cop 3950   class class class wbr 4367   ran crn 4914   ` cfv 5496  (class class class)co 6196   0cc0 9403   1c1 9404   + caddc 9406   <_ cle 9540   - cmin 9718   NN0cn0 10712   ZZcz 10781   ...cfz 11593  ..^cfzo 11717   #chash 12307  Word cword 12438   lastS clsw 12439   substr csubstr 12442   WWalksN cwwlkn 24799

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1626  ax-4 1639  ax-5 1712  ax-6 1755  ax-7 1798  ax-8 1828  ax-9 1830  ax-10 1845  ax-11 1850  ax-12 1862  ax-13 2006  ax-ext 2360  ax-rep 4478  ax-sep 4488  ax-nul 4496  ax-pow 4543  ax-pr 4601  ax-un 6491  ax-cnex 9459  ax-resscn 9460  ax-1cn 9461  ax-icn 9462  ax-addcl 9463  ax-addrcl 9464  ax-mulcl 9465  ax-mulrcl 9466  ax-mulcom 9467  ax-addass 9468  ax-mulass 9469  ax-distr 9470  ax-i2m1 9471  ax-1ne0 9472  ax-1rid 9473  ax-rnegex 9474  ax-rrecex 9475  ax-cnre 9476  ax-pre-lttri 9477  ax-pre-lttrn 9478  ax-pre-ltadd 9479  ax-pre-mulgt0 9480

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1402  df-ex 1621  df-nf 1625  df-sb 1748  df-eu 2222  df-mo 2223  df-clab 2368  df-cleq 2374  df-clel 2377  df-nfc 2532  df-ne 2579  df-nel 2580  df-ral 2737  df-rex 2738  df-reu 2739  df-rmo 2740  df-rab 2741  df-v 3036  df-sbc 3253  df-csb 3349  df-dif 3392  df-un 3394  df-in 3396  df-ss 3403  df-pss 3405  df-nul 3712  df-if 3858  df-pw 3929  df-sn 3945  df-pr 3947  df-tp 3949  df-op 3951  df-uni 4164  df-int 4200  df-iun 4245  df-br 4368  df-opab 4426  df-mpt 4427  df-tr 4461  df-eprel 4705  df-id 4709  df-po 4714  df-so 4715  df-fr 4752  df-we 4754  df-ord 4795  df-on 4796  df-lim 4797  df-suc 4798  df-xp 4919  df-rel 4920  df-cnv 4921  df-co 4922  df-dm 4923  df-rn 4924  df-res 4925  df-ima 4926  df-iota 5460  df-fun 5498  df-fn 5499  df-f 5500  df-f1 5501  df-fo 5502  df-f1o 5503  df-fv 5504  df-riota 6158  df-ov 6199  df-oprab 6200  df-mpt2 6201  df-om 6600  df-1st 6699  df-2nd 6700  df-recs 6960  df-rdg 6994  df-1o 7048  df-oadd 7052  df-er 7229  df-map 7340  df-pm 7341  df-en 7436  df-dom 7437  df-sdom 7438  df-fin 7439  df-card 8233  df-cda 8461  df-pnf 9541  df-mnf 9542  df-xr 9543  df-ltxr 9544  df-le 9545  df-sub 9720  df-neg 9721  df-nn 10453  df-2 10511  df-n0 10713  df-z 10782  df-uz 11002  df-fz 11594  df-fzo 11718  df-hash 12308  df-word 12446  df-lsw 12447  df-substr 12450  df-wwlk 24800  df-wwlkn 24801

This theorem is referenced by:  wwlkextprop  24865