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Theorem wwlkextproplem2 30699
Description: Lemma 2 for wwlkextprop 30701. (Contributed by Alexander van der Vekens, 1-Aug-2018.)
Hypothesis
Ref Expression
hashrabrex.x  |-  X  =  ( ( V WWalksN  E
) `  ( N  +  1 ) )
Assertion
Ref Expression
wwlkextproplem2  |-  ( ( W  e.  X  /\  N  e.  NN0 )  ->  { ( lastS  `  ( W substr  <. 0 ,  ( N  +  1 ) >.
) ) ,  ( lastS  `  W ) }  e.  ran  E )

Proof of Theorem wwlkextproplem2
Dummy variable  i is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 wwlknimp 30459 . . . 4  |-  ( W  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  ( N  +  1 ) )  ->  ( W  e. Word  V  /\  ( # `  W )  =  ( ( N  +  1 )  +  1 )  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( N  +  1 ) ) { ( W `  i ) ,  ( W `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E
) )
2 fzonn0p1 11710 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  NN0  ->  N  e.  ( 0..^ ( N  +  1 ) ) )
32adantl 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( W  e. Word  V  /\  ( # `  W
)  =  ( ( N  +  1 )  +  1 ) )  /\  N  e.  NN0 )  ->  N  e.  ( 0..^ ( N  + 
1 ) ) )
4 fveq2 5789 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( i  =  N  ->  ( W `  i )  =  ( W `  N ) )
5 oveq1 6197 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( i  =  N  ->  (
i  +  1 )  =  ( N  + 
1 ) )
65fveq2d 5793 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( i  =  N  ->  ( W `  ( i  +  1 ) )  =  ( W `  ( N  +  1
) ) )
74, 6preq12d 4060 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( i  =  N  ->  { ( W `  i ) ,  ( W `  ( i  +  1 ) ) }  =  { ( W `  N ) ,  ( W `  ( N  +  1 ) ) } )
87eleq1d 2520 . . . . . . . . . . 11  |-  ( i  =  N  ->  ( { ( W `  i ) ,  ( W `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  <->  { ( W `  N
) ,  ( W `
 ( N  + 
1 ) ) }  e.  ran  E ) )
98rspcv 3165 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  ( 0..^ ( N  +  1 ) )  ->  ( A. i  e.  ( 0..^ ( N  +  1 ) ) { ( W `  i ) ,  ( W `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  ->  { ( W `  N ) ,  ( W `  ( N  +  1
) ) }  e.  ran  E ) )
103, 9syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( W  e. Word  V  /\  ( # `  W
)  =  ( ( N  +  1 )  +  1 ) )  /\  N  e.  NN0 )  ->  ( A. i  e.  ( 0..^ ( N  +  1 ) ) { ( W `  i ) ,  ( W `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  ->  { ( W `  N ) ,  ( W `  ( N  +  1 ) ) }  e.  ran  E
) )
1110imp 429 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( W  e. Word  V  /\  ( # `  W
)  =  ( ( N  +  1 )  +  1 ) )  /\  N  e.  NN0 )  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( N  +  1 ) ) { ( W `  i ) ,  ( W `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E
)  ->  { ( W `  N ) ,  ( W `  ( N  +  1
) ) }  e.  ran  E )
12 simpll 753 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( W  e. Word  V  /\  ( # `  W
)  =  ( ( N  +  1 )  +  1 ) )  /\  N  e.  NN0 )  ->  W  e. Word  V
)
13 1z 10777 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  1  e.  ZZ
1413a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( W  e. Word  V  /\  ( # `  W
)  =  ( ( N  +  1 )  +  1 ) )  /\  N  e.  NN0 )  ->  1  e.  ZZ )
15 lencl 12351 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( W  e. Word  V  ->  ( # `
 W )  e. 
NN0 )
1615nn0zd 10846 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( W  e. Word  V  ->  ( # `
 W )  e.  ZZ )
1716ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( W  e. Word  V  /\  ( # `  W
)  =  ( ( N  +  1 )  +  1 ) )  /\  N  e.  NN0 )  ->  ( # `  W
)  e.  ZZ )
18 peano2nn0 10721 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( N  +  1 )  e. 
NN0 )
1918nn0zd 10846 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( N  +  1 )  e.  ZZ )
2019adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( W  e. Word  V  /\  ( # `  W
)  =  ( ( N  +  1 )  +  1 ) )  /\  N  e.  NN0 )  ->  ( N  + 
1 )  e.  ZZ )
2114, 17, 203jca 1168 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( W  e. Word  V  /\  ( # `  W
)  =  ( ( N  +  1 )  +  1 ) )  /\  N  e.  NN0 )  ->  ( 1  e.  ZZ  /\  ( # `  W )  e.  ZZ  /\  ( N  +  1 )  e.  ZZ ) )
22 nn0ge0 10706 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( N  e.  NN0  ->  0  <_  N )
23 1re 9486 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  1  e.  RR
2423a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( N  e.  NN0  ->  1  e.  RR )
25 nn0re 10689 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( N  e.  NN0  ->  N  e.  RR )
2624, 25addge02d 10029 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( 0  <_  N  <->  1  <_  ( N  +  1 ) ) )
2722, 26mpbid 210 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( N  e.  NN0  ->  1  <_ 
( N  +  1 ) )
2827adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( W  e. Word  V  /\  ( # `  W
)  =  ( ( N  +  1 )  +  1 ) )  /\  N  e.  NN0 )  ->  1  <_  ( N  +  1 ) )
29 nn0re 10689 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( N  +  1 )  e.  NN0  ->  ( N  +  1 )  e.  RR )
3018, 29syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( N  +  1 )  e.  RR )
3130lep1d 10365 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( N  +  1 )  <_ 
( ( N  + 
1 )  +  1 ) )
32 breq2 4394 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
# `  W )  =  ( ( N  +  1 )  +  1 )  ->  (
( N  +  1 )  <_  ( # `  W
)  <->  ( N  + 
1 )  <_  (
( N  +  1 )  +  1 ) ) )
3331, 32syl5ibrcom 222 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( (
# `  W )  =  ( ( N  +  1 )  +  1 )  ->  ( N  +  1 )  <_  ( # `  W
) ) )
3433a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
# `  W )  e.  NN0  ->  ( N  e.  NN0  ->  ( ( # `
 W )  =  ( ( N  + 
1 )  +  1 )  ->  ( N  +  1 )  <_ 
( # `  W ) ) ) )
3534com23 78 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
# `  W )  e.  NN0  ->  ( ( # `
 W )  =  ( ( N  + 
1 )  +  1 )  ->  ( N  e.  NN0  ->  ( N  +  1 )  <_ 
( # `  W ) ) ) )
3615, 35syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( W  e. Word  V  ->  (
( # `  W )  =  ( ( N  +  1 )  +  1 )  ->  ( N  e.  NN0  ->  ( N  +  1 )  <_  ( # `  W
) ) ) )
3736imp31 432 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( W  e. Word  V  /\  ( # `  W
)  =  ( ( N  +  1 )  +  1 ) )  /\  N  e.  NN0 )  ->  ( N  + 
1 )  <_  ( # `
 W ) )
3828, 37jca 532 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( W  e. Word  V  /\  ( # `  W
)  =  ( ( N  +  1 )  +  1 ) )  /\  N  e.  NN0 )  ->  ( 1  <_ 
( N  +  1 )  /\  ( N  +  1 )  <_ 
( # `  W ) ) )
39 elfz2 11545 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( N  +  1 )  e.  ( 1 ... ( # `  W
) )  <->  ( (
1  e.  ZZ  /\  ( # `  W )  e.  ZZ  /\  ( N  +  1 )  e.  ZZ )  /\  ( 1  <_  ( N  +  1 )  /\  ( N  + 
1 )  <_  ( # `
 W ) ) ) )
4021, 38, 39sylanbrc 664 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( W  e. Word  V  /\  ( # `  W
)  =  ( ( N  +  1 )  +  1 ) )  /\  N  e.  NN0 )  ->  ( N  + 
1 )  e.  ( 1 ... ( # `  W ) ) )
4112, 40jca 532 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( W  e. Word  V  /\  ( # `  W
)  =  ( ( N  +  1 )  +  1 ) )  /\  N  e.  NN0 )  ->  ( W  e. Word  V  /\  ( N  + 
1 )  e.  ( 1 ... ( # `  W ) ) ) )
42 swrd0fvlsw 12441 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  ( N  +  1
)  e.  ( 1 ... ( # `  W
) ) )  -> 
( lastS  `  ( W substr  <. 0 ,  ( N  + 
1 ) >. )
)  =  ( W `
 ( ( N  +  1 )  - 
1 ) ) )
4341, 42syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( W  e. Word  V  /\  ( # `  W
)  =  ( ( N  +  1 )  +  1 ) )  /\  N  e.  NN0 )  ->  ( lastS  `  ( W substr  <. 0 ,  ( N  +  1 ) >.
) )  =  ( W `  ( ( N  +  1 )  -  1 ) ) )
44 nn0cn 10690 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( N  e.  NN0  ->  N  e.  CC )
45 ax-1cn 9441 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  1  e.  CC
4645a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( N  e.  NN0  ->  1  e.  CC )
4744, 46pncand 9821 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( N  +  1 )  -  1 )  =  N )
4847fveq2d 5793 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( W `
 ( ( N  +  1 )  - 
1 ) )  =  ( W `  N
) )
4948adantl 466 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( W  e. Word  V  /\  ( # `  W
)  =  ( ( N  +  1 )  +  1 ) )  /\  N  e.  NN0 )  ->  ( W `  ( ( N  + 
1 )  -  1 ) )  =  ( W `  N ) )
5043, 49eqtrd 2492 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( W  e. Word  V  /\  ( # `  W
)  =  ( ( N  +  1 )  +  1 ) )  /\  N  e.  NN0 )  ->  ( lastS  `  ( W substr  <. 0 ,  ( N  +  1 ) >.
) )  =  ( W `  N ) )
51 lsw 12368 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( W  e. Word  V  ->  ( lastS  `  W )  =  ( W `  ( (
# `  W )  -  1 ) ) )
5251ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( W  e. Word  V  /\  ( # `  W
)  =  ( ( N  +  1 )  +  1 ) )  /\  N  e.  NN0 )  ->  ( lastS  `  W )  =  ( W `  ( ( # `  W
)  -  1 ) ) )
53 oveq1 6197 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
# `  W )  =  ( ( N  +  1 )  +  1 )  ->  (
( # `  W )  -  1 )  =  ( ( ( N  +  1 )  +  1 )  -  1 ) )
5453fveq2d 5793 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
# `  W )  =  ( ( N  +  1 )  +  1 )  ->  ( W `  ( ( # `
 W )  - 
1 ) )  =  ( W `  (
( ( N  + 
1 )  +  1 )  -  1 ) ) )
5554adantl 466 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  ( # `  W )  =  ( ( N  +  1 )  +  1 ) )  -> 
( W `  (
( # `  W )  -  1 ) )  =  ( W `  ( ( ( N  +  1 )  +  1 )  -  1 ) ) )
5618nn0cnd 10739 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( N  +  1 )  e.  CC )
5756, 46pncand 9821 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( ( N  +  1 )  +  1 )  -  1 )  =  ( N  +  1 ) )
5857fveq2d 5793 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( W `
 ( ( ( N  +  1 )  +  1 )  - 
1 ) )  =  ( W `  ( N  +  1 ) ) )
5955, 58sylan9eq 2512 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( W  e. Word  V  /\  ( # `  W
)  =  ( ( N  +  1 )  +  1 ) )  /\  N  e.  NN0 )  ->  ( W `  ( ( # `  W
)  -  1 ) )  =  ( W `
 ( N  + 
1 ) ) )
6052, 59eqtrd 2492 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( W  e. Word  V  /\  ( # `  W
)  =  ( ( N  +  1 )  +  1 ) )  /\  N  e.  NN0 )  ->  ( lastS  `  W )  =  ( W `  ( N  +  1
) ) )
6150, 60preq12d 4060 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( W  e. Word  V  /\  ( # `  W
)  =  ( ( N  +  1 )  +  1 ) )  /\  N  e.  NN0 )  ->  { ( lastS  `  ( W substr  <. 0 ,  ( N  +  1 )
>. ) ) ,  ( lastS  `  W ) }  =  { ( W `  N ) ,  ( W `  ( N  +  1 ) ) } )
6261eleq1d 2520 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( W  e. Word  V  /\  ( # `  W
)  =  ( ( N  +  1 )  +  1 ) )  /\  N  e.  NN0 )  ->  ( { ( lastS  `  ( W substr  <. 0 ,  ( N  + 
1 ) >. )
) ,  ( lastS  `  W
) }  e.  ran  E  <->  { ( W `  N ) ,  ( W `  ( N  +  1 ) ) }  e.  ran  E
) )
6362adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( W  e. Word  V  /\  ( # `  W
)  =  ( ( N  +  1 )  +  1 ) )  /\  N  e.  NN0 )  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( N  +  1 ) ) { ( W `  i ) ,  ( W `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E
)  ->  ( {
( lastS  `  ( W substr  <. 0 ,  ( N  + 
1 ) >. )
) ,  ( lastS  `  W
) }  e.  ran  E  <->  { ( W `  N ) ,  ( W `  ( N  +  1 ) ) }  e.  ran  E
) )
6411, 63mpbird 232 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( W  e. Word  V  /\  ( # `  W
)  =  ( ( N  +  1 )  +  1 ) )  /\  N  e.  NN0 )  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( N  +  1 ) ) { ( W `  i ) ,  ( W `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E
)  ->  { ( lastS  `  ( W substr  <. 0 ,  ( N  + 
1 ) >. )
) ,  ( lastS  `  W
) }  e.  ran  E )
6564exp31 604 . . . . . 6  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  ( # `  W )  =  ( ( N  +  1 )  +  1 ) )  -> 
( N  e.  NN0  ->  ( A. i  e.  ( 0..^ ( N  +  1 ) ) { ( W `  i ) ,  ( W `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  ->  { ( lastS  `  ( W substr  <. 0 ,  ( N  +  1 )
>. ) ) ,  ( lastS  `  W ) }  e.  ran  E ) ) )
6665com23 78 . . . . 5  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  ( # `  W )  =  ( ( N  +  1 )  +  1 ) )  -> 
( A. i  e.  ( 0..^ ( N  +  1 ) ) { ( W `  i ) ,  ( W `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  ->  ( N  e.  NN0  ->  { ( lastS  `  ( W substr  <. 0 ,  ( N  +  1 )
>. ) ) ,  ( lastS  `  W ) }  e.  ran  E ) ) )
67663impia 1185 . . . 4  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  ( # `  W )  =  ( ( N  +  1 )  +  1 )  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( N  +  1 ) ) { ( W `  i ) ,  ( W `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E )  ->  ( N  e.  NN0  ->  { ( lastS  `  ( W substr  <. 0 ,  ( N  + 
1 ) >. )
) ,  ( lastS  `  W
) }  e.  ran  E ) )
681, 67syl 16 . . 3  |-  ( W  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  ( N  +  1 ) )  ->  ( N  e.  NN0  ->  { ( lastS  `  ( W substr  <. 0 ,  ( N  + 
1 ) >. )
) ,  ( lastS  `  W
) }  e.  ran  E ) )
69 hashrabrex.x . . 3  |-  X  =  ( ( V WWalksN  E
) `  ( N  +  1 ) )
7068, 69eleq2s 2559 . 2  |-  ( W  e.  X  ->  ( N  e.  NN0  ->  { ( lastS  `  ( W substr  <. 0 ,  ( N  + 
1 ) >. )
) ,  ( lastS  `  W
) }  e.  ran  E ) )
7170imp 429 1  |-  ( ( W  e.  X  /\  N  e.  NN0 )  ->  { ( lastS  `  ( W substr  <. 0 ,  ( N  +  1 ) >.
) ) ,  ( lastS  `  W ) }  e.  ran  E )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1370    e. wcel 1758   A.wral 2795   {cpr 3977   <.cop 3981   class class class wbr 4390   ran crn 4939   ` cfv 5516  (class class class)co 6190   CCcc 9381   RRcr 9382   0cc0 9383   1c1 9384    + caddc 9386    <_ cle 9520    - cmin 9696   NN0cn0 10680   ZZcz 10747   ...cfz 11538  ..^cfzo 11649   #chash 12204  Word cword 12323   lastS clsw 12324   substr csubstr 12327   WWalksN cwwlkn 30450
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-rep 4501  ax-sep 4511  ax-nul 4519  ax-pow 4568  ax-pr 4629  ax-un 6472  ax-cnex 9439  ax-resscn 9440  ax-1cn 9441  ax-icn 9442  ax-addcl 9443  ax-addrcl 9444  ax-mulcl 9445  ax-mulrcl 9446  ax-mulcom 9447  ax-addass 9448  ax-mulass 9449  ax-distr 9450  ax-i2m1 9451  ax-1ne0 9452  ax-1rid 9453  ax-rnegex 9454  ax-rrecex 9455  ax-cnre 9456  ax-pre-lttri 9457  ax-pre-lttrn 9458  ax-pre-ltadd 9459  ax-pre-mulgt0 9460
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-nel 2647  df-ral 2800  df-rex 2801  df-reu 2802  df-rab 2804  df-v 3070  df-sbc 3285  df-csb 3387  df-dif 3429  df-un 3431  df-in 3433  df-ss 3440  df-pss 3442  df-nul 3736  df-if 3890  df-pw 3960  df-sn 3976  df-pr 3978  df-tp 3980  df-op 3982  df-uni 4190  df-int 4227  df-iun 4271  df-br 4391  df-opab 4449  df-mpt 4450  df-tr 4484  df-eprel 4730  df-id 4734  df-po 4739  df-so 4740  df-fr 4777  df-we 4779  df-ord 4820  df-on 4821  df-lim 4822  df-suc 4823  df-xp 4944  df-rel 4945  df-cnv 4946  df-co 4947  df-dm 4948  df-rn 4949  df-res 4950  df-ima 4951  df-iota 5479  df-fun 5518  df-fn 5519  df-f 5520  df-f1 5521  df-fo 5522  df-f1o 5523  df-fv 5524  df-riota 6151  df-ov 6193  df-oprab 6194  df-mpt2 6195  df-om 6577  df-1st 6677  df-2nd 6678  df-recs 6932  df-rdg 6966  df-1o 7020  df-oadd 7024  df-er 7201  df-map 7316  df-pm 7317  df-en 7411  df-dom 7412  df-sdom 7413  df-fin 7414  df-card 8210  df-pnf 9521  df-mnf 9522  df-xr 9523  df-ltxr 9524  df-le 9525  df-sub 9698  df-neg 9699  df-nn 10424  df-n0 10681  df-z 10748  df-uz 10963  df-fz 11539  df-fzo 11650  df-hash 12205  df-word 12331  df-lsw 12332  df-substr 12335  df-wwlk 30451  df-wwlkn 30452
This theorem is referenced by:  wwlkextprop  30701
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