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Theorem wwlkextproplem2 30532
Description: Lemma 2 for wwlkextprop 30534. (Contributed by Alexander van der Vekens, 1-Aug-2018.)
Hypothesis
Ref Expression
hashrabrex.x  |-  X  =  ( ( V WWalksN  E
) `  ( N  +  1 ) )
Assertion
Ref Expression
wwlkextproplem2  |-  ( ( W  e.  X  /\  N  e.  NN0 )  ->  { ( lastS  `  ( W substr  <. 0 ,  ( N  +  1 ) >.
) ) ,  ( lastS  `  W ) }  e.  ran  E )

Proof of Theorem wwlkextproplem2
Dummy variable  i is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 wwlknimp 30292 . . . 4  |-  ( W  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  ( N  +  1 ) )  ->  ( W  e. Word  V  /\  ( # `  W )  =  ( ( N  +  1 )  +  1 )  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( N  +  1 ) ) { ( W `  i ) ,  ( W `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E
) )
2 fzonn0p1 11601 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  NN0  ->  N  e.  ( 0..^ ( N  +  1 ) ) )
32adantl 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( W  e. Word  V  /\  ( # `  W
)  =  ( ( N  +  1 )  +  1 ) )  /\  N  e.  NN0 )  ->  N  e.  ( 0..^ ( N  + 
1 ) ) )
4 fveq2 5686 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( i  =  N  ->  ( W `  i )  =  ( W `  N ) )
5 oveq1 6093 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( i  =  N  ->  (
i  +  1 )  =  ( N  + 
1 ) )
65fveq2d 5690 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( i  =  N  ->  ( W `  ( i  +  1 ) )  =  ( W `  ( N  +  1
) ) )
74, 6preq12d 3957 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( i  =  N  ->  { ( W `  i ) ,  ( W `  ( i  +  1 ) ) }  =  { ( W `  N ) ,  ( W `  ( N  +  1 ) ) } )
87eleq1d 2504 . . . . . . . . . . 11  |-  ( i  =  N  ->  ( { ( W `  i ) ,  ( W `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  <->  { ( W `  N
) ,  ( W `
 ( N  + 
1 ) ) }  e.  ran  E ) )
98rspcv 3064 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  ( 0..^ ( N  +  1 ) )  ->  ( A. i  e.  ( 0..^ ( N  +  1 ) ) { ( W `  i ) ,  ( W `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  ->  { ( W `  N ) ,  ( W `  ( N  +  1
) ) }  e.  ran  E ) )
103, 9syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( W  e. Word  V  /\  ( # `  W
)  =  ( ( N  +  1 )  +  1 ) )  /\  N  e.  NN0 )  ->  ( A. i  e.  ( 0..^ ( N  +  1 ) ) { ( W `  i ) ,  ( W `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  ->  { ( W `  N ) ,  ( W `  ( N  +  1 ) ) }  e.  ran  E
) )
1110imp 429 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( W  e. Word  V  /\  ( # `  W
)  =  ( ( N  +  1 )  +  1 ) )  /\  N  e.  NN0 )  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( N  +  1 ) ) { ( W `  i ) ,  ( W `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E
)  ->  { ( W `  N ) ,  ( W `  ( N  +  1
) ) }  e.  ran  E )
12 simpll 753 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( W  e. Word  V  /\  ( # `  W
)  =  ( ( N  +  1 )  +  1 ) )  /\  N  e.  NN0 )  ->  W  e. Word  V
)
13 1z 10668 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  1  e.  ZZ
1413a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( W  e. Word  V  /\  ( # `  W
)  =  ( ( N  +  1 )  +  1 ) )  /\  N  e.  NN0 )  ->  1  e.  ZZ )
15 lencl 12241 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( W  e. Word  V  ->  ( # `
 W )  e. 
NN0 )
1615nn0zd 10737 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( W  e. Word  V  ->  ( # `
 W )  e.  ZZ )
1716ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( W  e. Word  V  /\  ( # `  W
)  =  ( ( N  +  1 )  +  1 ) )  /\  N  e.  NN0 )  ->  ( # `  W
)  e.  ZZ )
18 peano2nn0 10612 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( N  +  1 )  e. 
NN0 )
1918nn0zd 10737 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( N  +  1 )  e.  ZZ )
2019adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( W  e. Word  V  /\  ( # `  W
)  =  ( ( N  +  1 )  +  1 ) )  /\  N  e.  NN0 )  ->  ( N  + 
1 )  e.  ZZ )
2114, 17, 203jca 1168 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( W  e. Word  V  /\  ( # `  W
)  =  ( ( N  +  1 )  +  1 ) )  /\  N  e.  NN0 )  ->  ( 1  e.  ZZ  /\  ( # `  W )  e.  ZZ  /\  ( N  +  1 )  e.  ZZ ) )
22 nn0ge0 10597 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( N  e.  NN0  ->  0  <_  N )
23 1re 9377 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  1  e.  RR
2423a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( N  e.  NN0  ->  1  e.  RR )
25 nn0re 10580 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( N  e.  NN0  ->  N  e.  RR )
2624, 25addge02d 9920 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( 0  <_  N  <->  1  <_  ( N  +  1 ) ) )
2722, 26mpbid 210 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( N  e.  NN0  ->  1  <_ 
( N  +  1 ) )
2827adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( W  e. Word  V  /\  ( # `  W
)  =  ( ( N  +  1 )  +  1 ) )  /\  N  e.  NN0 )  ->  1  <_  ( N  +  1 ) )
29 nn0re 10580 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( N  +  1 )  e.  NN0  ->  ( N  +  1 )  e.  RR )
3018, 29syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( N  +  1 )  e.  RR )
3130lep1d 10256 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( N  +  1 )  <_ 
( ( N  + 
1 )  +  1 ) )
32 breq2 4291 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
# `  W )  =  ( ( N  +  1 )  +  1 )  ->  (
( N  +  1 )  <_  ( # `  W
)  <->  ( N  + 
1 )  <_  (
( N  +  1 )  +  1 ) ) )
3331, 32syl5ibrcom 222 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( (
# `  W )  =  ( ( N  +  1 )  +  1 )  ->  ( N  +  1 )  <_  ( # `  W
) ) )
3433a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
# `  W )  e.  NN0  ->  ( N  e.  NN0  ->  ( ( # `
 W )  =  ( ( N  + 
1 )  +  1 )  ->  ( N  +  1 )  <_ 
( # `  W ) ) ) )
3534com23 78 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
# `  W )  e.  NN0  ->  ( ( # `
 W )  =  ( ( N  + 
1 )  +  1 )  ->  ( N  e.  NN0  ->  ( N  +  1 )  <_ 
( # `  W ) ) ) )
3615, 35syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( W  e. Word  V  ->  (
( # `  W )  =  ( ( N  +  1 )  +  1 )  ->  ( N  e.  NN0  ->  ( N  +  1 )  <_  ( # `  W
) ) ) )
3736imp31 432 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( W  e. Word  V  /\  ( # `  W
)  =  ( ( N  +  1 )  +  1 ) )  /\  N  e.  NN0 )  ->  ( N  + 
1 )  <_  ( # `
 W ) )
3828, 37jca 532 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( W  e. Word  V  /\  ( # `  W
)  =  ( ( N  +  1 )  +  1 ) )  /\  N  e.  NN0 )  ->  ( 1  <_ 
( N  +  1 )  /\  ( N  +  1 )  <_ 
( # `  W ) ) )
39 elfz2 11436 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( N  +  1 )  e.  ( 1 ... ( # `  W
) )  <->  ( (
1  e.  ZZ  /\  ( # `  W )  e.  ZZ  /\  ( N  +  1 )  e.  ZZ )  /\  ( 1  <_  ( N  +  1 )  /\  ( N  + 
1 )  <_  ( # `
 W ) ) ) )
4021, 38, 39sylanbrc 664 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( W  e. Word  V  /\  ( # `  W
)  =  ( ( N  +  1 )  +  1 ) )  /\  N  e.  NN0 )  ->  ( N  + 
1 )  e.  ( 1 ... ( # `  W ) ) )
4112, 40jca 532 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( W  e. Word  V  /\  ( # `  W
)  =  ( ( N  +  1 )  +  1 ) )  /\  N  e.  NN0 )  ->  ( W  e. Word  V  /\  ( N  + 
1 )  e.  ( 1 ... ( # `  W ) ) ) )
42 swrd0fvlsw 12331 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  ( N  +  1
)  e.  ( 1 ... ( # `  W
) ) )  -> 
( lastS  `  ( W substr  <. 0 ,  ( N  + 
1 ) >. )
)  =  ( W `
 ( ( N  +  1 )  - 
1 ) ) )
4341, 42syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( W  e. Word  V  /\  ( # `  W
)  =  ( ( N  +  1 )  +  1 ) )  /\  N  e.  NN0 )  ->  ( lastS  `  ( W substr  <. 0 ,  ( N  +  1 ) >.
) )  =  ( W `  ( ( N  +  1 )  -  1 ) ) )
44 nn0cn 10581 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( N  e.  NN0  ->  N  e.  CC )
45 ax-1cn 9332 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  1  e.  CC
4645a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( N  e.  NN0  ->  1  e.  CC )
4744, 46pncand 9712 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( N  +  1 )  -  1 )  =  N )
4847fveq2d 5690 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( W `
 ( ( N  +  1 )  - 
1 ) )  =  ( W `  N
) )
4948adantl 466 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( W  e. Word  V  /\  ( # `  W
)  =  ( ( N  +  1 )  +  1 ) )  /\  N  e.  NN0 )  ->  ( W `  ( ( N  + 
1 )  -  1 ) )  =  ( W `  N ) )
5043, 49eqtrd 2470 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( W  e. Word  V  /\  ( # `  W
)  =  ( ( N  +  1 )  +  1 ) )  /\  N  e.  NN0 )  ->  ( lastS  `  ( W substr  <. 0 ,  ( N  +  1 ) >.
) )  =  ( W `  N ) )
51 lsw 12258 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( W  e. Word  V  ->  ( lastS  `  W )  =  ( W `  ( (
# `  W )  -  1 ) ) )
5251ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( W  e. Word  V  /\  ( # `  W
)  =  ( ( N  +  1 )  +  1 ) )  /\  N  e.  NN0 )  ->  ( lastS  `  W )  =  ( W `  ( ( # `  W
)  -  1 ) ) )
53 oveq1 6093 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
# `  W )  =  ( ( N  +  1 )  +  1 )  ->  (
( # `  W )  -  1 )  =  ( ( ( N  +  1 )  +  1 )  -  1 ) )
5453fveq2d 5690 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
# `  W )  =  ( ( N  +  1 )  +  1 )  ->  ( W `  ( ( # `
 W )  - 
1 ) )  =  ( W `  (
( ( N  + 
1 )  +  1 )  -  1 ) ) )
5554adantl 466 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  ( # `  W )  =  ( ( N  +  1 )  +  1 ) )  -> 
( W `  (
( # `  W )  -  1 ) )  =  ( W `  ( ( ( N  +  1 )  +  1 )  -  1 ) ) )
5618nn0cnd 10630 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( N  +  1 )  e.  CC )
5756, 46pncand 9712 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( ( N  +  1 )  +  1 )  -  1 )  =  ( N  +  1 ) )
5857fveq2d 5690 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( W `
 ( ( ( N  +  1 )  +  1 )  - 
1 ) )  =  ( W `  ( N  +  1 ) ) )
5955, 58sylan9eq 2490 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( W  e. Word  V  /\  ( # `  W
)  =  ( ( N  +  1 )  +  1 ) )  /\  N  e.  NN0 )  ->  ( W `  ( ( # `  W
)  -  1 ) )  =  ( W `
 ( N  + 
1 ) ) )
6052, 59eqtrd 2470 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( W  e. Word  V  /\  ( # `  W
)  =  ( ( N  +  1 )  +  1 ) )  /\  N  e.  NN0 )  ->  ( lastS  `  W )  =  ( W `  ( N  +  1
) ) )
6150, 60preq12d 3957 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( W  e. Word  V  /\  ( # `  W
)  =  ( ( N  +  1 )  +  1 ) )  /\  N  e.  NN0 )  ->  { ( lastS  `  ( W substr  <. 0 ,  ( N  +  1 )
>. ) ) ,  ( lastS  `  W ) }  =  { ( W `  N ) ,  ( W `  ( N  +  1 ) ) } )
6261eleq1d 2504 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( W  e. Word  V  /\  ( # `  W
)  =  ( ( N  +  1 )  +  1 ) )  /\  N  e.  NN0 )  ->  ( { ( lastS  `  ( W substr  <. 0 ,  ( N  + 
1 ) >. )
) ,  ( lastS  `  W
) }  e.  ran  E  <->  { ( W `  N ) ,  ( W `  ( N  +  1 ) ) }  e.  ran  E
) )
6362adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( W  e. Word  V  /\  ( # `  W
)  =  ( ( N  +  1 )  +  1 ) )  /\  N  e.  NN0 )  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( N  +  1 ) ) { ( W `  i ) ,  ( W `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E
)  ->  ( {
( lastS  `  ( W substr  <. 0 ,  ( N  + 
1 ) >. )
) ,  ( lastS  `  W
) }  e.  ran  E  <->  { ( W `  N ) ,  ( W `  ( N  +  1 ) ) }  e.  ran  E
) )
6411, 63mpbird 232 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( W  e. Word  V  /\  ( # `  W
)  =  ( ( N  +  1 )  +  1 ) )  /\  N  e.  NN0 )  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( N  +  1 ) ) { ( W `  i ) ,  ( W `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E
)  ->  { ( lastS  `  ( W substr  <. 0 ,  ( N  + 
1 ) >. )
) ,  ( lastS  `  W
) }  e.  ran  E )
6564exp31 604 . . . . . 6  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  ( # `  W )  =  ( ( N  +  1 )  +  1 ) )  -> 
( N  e.  NN0  ->  ( A. i  e.  ( 0..^ ( N  +  1 ) ) { ( W `  i ) ,  ( W `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  ->  { ( lastS  `  ( W substr  <. 0 ,  ( N  +  1 )
>. ) ) ,  ( lastS  `  W ) }  e.  ran  E ) ) )
6665com23 78 . . . . 5  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  ( # `  W )  =  ( ( N  +  1 )  +  1 ) )  -> 
( A. i  e.  ( 0..^ ( N  +  1 ) ) { ( W `  i ) ,  ( W `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  ->  ( N  e.  NN0  ->  { ( lastS  `  ( W substr  <. 0 ,  ( N  +  1 )
>. ) ) ,  ( lastS  `  W ) }  e.  ran  E ) ) )
67663impia 1184 . . . 4  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  ( # `  W )  =  ( ( N  +  1 )  +  1 )  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( N  +  1 ) ) { ( W `  i ) ,  ( W `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E )  ->  ( N  e.  NN0  ->  { ( lastS  `  ( W substr  <. 0 ,  ( N  + 
1 ) >. )
) ,  ( lastS  `  W
) }  e.  ran  E ) )
681, 67syl 16 . . 3  |-  ( W  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  ( N  +  1 ) )  ->  ( N  e.  NN0  ->  { ( lastS  `  ( W substr  <. 0 ,  ( N  + 
1 ) >. )
) ,  ( lastS  `  W
) }  e.  ran  E ) )
69 hashrabrex.x . . 3  |-  X  =  ( ( V WWalksN  E
) `  ( N  +  1 ) )
7068, 69eleq2s 2530 . 2  |-  ( W  e.  X  ->  ( N  e.  NN0  ->  { ( lastS  `  ( W substr  <. 0 ,  ( N  + 
1 ) >. )
) ,  ( lastS  `  W
) }  e.  ran  E ) )
7170imp 429 1  |-  ( ( W  e.  X  /\  N  e.  NN0 )  ->  { ( lastS  `  ( W substr  <. 0 ,  ( N  +  1 ) >.
) ) ,  ( lastS  `  W ) }  e.  ran  E )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1369    e. wcel 1756   A.wral 2710   {cpr 3874   <.cop 3878   class class class wbr 4287   ran crn 4836   ` cfv 5413  (class class class)co 6086   CCcc 9272   RRcr 9273   0cc0 9274   1c1 9275    + caddc 9277    <_ cle 9411    - cmin 9587   NN0cn0 10571   ZZcz 10638   ...cfz 11429  ..^cfzo 11540   #chash 12095  Word cword 12213   lastS clsw 12214   substr csubstr 12217   WWalksN cwwlkn 30283
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2419  ax-rep 4398  ax-sep 4408  ax-nul 4416  ax-pow 4465  ax-pr 4526  ax-un 6367  ax-cnex 9330  ax-resscn 9331  ax-1cn 9332  ax-icn 9333  ax-addcl 9334  ax-addrcl 9335  ax-mulcl 9336  ax-mulrcl 9337  ax-mulcom 9338  ax-addass 9339  ax-mulass 9340  ax-distr 9341  ax-i2m1 9342  ax-1ne0 9343  ax-1rid 9344  ax-rnegex 9345  ax-rrecex 9346  ax-cnre 9347  ax-pre-lttri 9348  ax-pre-lttrn 9349  ax-pre-ltadd 9350  ax-pre-mulgt0 9351
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2256  df-mo 2257  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2715  df-rex 2716  df-reu 2717  df-rab 2719  df-v 2969  df-sbc 3182  df-csb 3284  df-dif 3326  df-un 3328  df-in 3330  df-ss 3337  df-pss 3339  df-nul 3633  df-if 3787  df-pw 3857  df-sn 3873  df-pr 3875  df-tp 3877  df-op 3879  df-uni 4087  df-int 4124  df-iun 4168  df-br 4288  df-opab 4346  df-mpt 4347  df-tr 4381  df-eprel 4627  df-id 4631  df-po 4636  df-so 4637  df-fr 4674  df-we 4676  df-ord 4717  df-on 4718  df-lim 4719  df-suc 4720  df-xp 4841  df-rel 4842  df-cnv 4843  df-co 4844  df-dm 4845  df-rn 4846  df-res 4847  df-ima 4848  df-iota 5376  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-riota 6047  df-ov 6089  df-oprab 6090  df-mpt2 6091  df-om 6472  df-1st 6572  df-2nd 6573  df-recs 6824  df-rdg 6858  df-1o 6912  df-oadd 6916  df-er 7093  df-map 7208  df-pm 7209  df-en 7303  df-dom 7304  df-sdom 7305  df-fin 7306  df-card 8101  df-pnf 9412  df-mnf 9413  df-xr 9414  df-ltxr 9415  df-le 9416  df-sub 9589  df-neg 9590  df-nn 10315  df-n0 10572  df-z 10639  df-uz 10854  df-fz 11430  df-fzo 11541  df-hash 12096  df-word 12221  df-lsw 12222  df-substr 12225  df-wwlk 30284  df-wwlkn 30285
This theorem is referenced by:  wwlkextprop  30534
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