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Theorem wwlkextproplem2 24863
Description: Lemma 2 for wwlkextprop 24865. (Contributed by Alexander van der Vekens, 1-Aug-2018.)
Hypothesis
Ref Expression
wwlkextprop.x  |-  X  =  ( ( V WWalksN  E
) `  ( N  +  1 ) )
Assertion
Ref Expression
wwlkextproplem2  |-  ( ( W  e.  X  /\  N  e.  NN0 )  ->  { ( lastS  `  ( W substr  <. 0 ,  ( N  +  1 ) >.
) ) ,  ( lastS  `  W ) }  e.  ran  E )

Proof of Theorem wwlkextproplem2
Dummy variable  i is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 wwlknimp 24808 . . . 4  |-  ( W  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  ( N  +  1 ) )  ->  ( W  e. Word  V  /\  ( # `  W )  =  ( ( N  +  1 )  +  1 )  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( N  +  1 ) ) { ( W `  i ) ,  ( W `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E
) )
2 fzonn0p1 11791 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  NN0  ->  N  e.  ( 0..^ ( N  +  1 ) ) )
32adantl 464 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( W  e. Word  V  /\  ( # `  W
)  =  ( ( N  +  1 )  +  1 ) )  /\  N  e.  NN0 )  ->  N  e.  ( 0..^ ( N  + 
1 ) ) )
4 fveq2 5774 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( i  =  N  ->  ( W `  i )  =  ( W `  N ) )
5 oveq1 6203 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( i  =  N  ->  (
i  +  1 )  =  ( N  + 
1 ) )
65fveq2d 5778 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( i  =  N  ->  ( W `  ( i  +  1 ) )  =  ( W `  ( N  +  1
) ) )
74, 6preq12d 4031 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( i  =  N  ->  { ( W `  i ) ,  ( W `  ( i  +  1 ) ) }  =  { ( W `  N ) ,  ( W `  ( N  +  1 ) ) } )
87eleq1d 2451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( i  =  N  ->  ( { ( W `  i ) ,  ( W `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  <->  { ( W `  N
) ,  ( W `
 ( N  + 
1 ) ) }  e.  ran  E ) )
98rspcv 3131 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  ( 0..^ ( N  +  1 ) )  ->  ( A. i  e.  ( 0..^ ( N  +  1 ) ) { ( W `  i ) ,  ( W `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  ->  { ( W `  N ) ,  ( W `  ( N  +  1
) ) }  e.  ran  E ) )
103, 9syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( W  e. Word  V  /\  ( # `  W
)  =  ( ( N  +  1 )  +  1 ) )  /\  N  e.  NN0 )  ->  ( A. i  e.  ( 0..^ ( N  +  1 ) ) { ( W `  i ) ,  ( W `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  ->  { ( W `  N ) ,  ( W `  ( N  +  1 ) ) }  e.  ran  E
) )
1110imp 427 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( W  e. Word  V  /\  ( # `  W
)  =  ( ( N  +  1 )  +  1 ) )  /\  N  e.  NN0 )  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( N  +  1 ) ) { ( W `  i ) ,  ( W `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E
)  ->  { ( W `  N ) ,  ( W `  ( N  +  1
) ) }  e.  ran  E )
12 simpll 751 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( W  e. Word  V  /\  ( # `  W
)  =  ( ( N  +  1 )  +  1 ) )  /\  N  e.  NN0 )  ->  W  e. Word  V
)
13 1zzd 10812 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( W  e. Word  V  /\  ( # `  W
)  =  ( ( N  +  1 )  +  1 ) )  /\  N  e.  NN0 )  ->  1  e.  ZZ )
14 lencl 12469 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( W  e. Word  V  ->  ( # `
 W )  e. 
NN0 )
1514nn0zd 10882 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( W  e. Word  V  ->  ( # `
 W )  e.  ZZ )
1615ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( W  e. Word  V  /\  ( # `  W
)  =  ( ( N  +  1 )  +  1 ) )  /\  N  e.  NN0 )  ->  ( # `  W
)  e.  ZZ )
17 peano2nn0 10753 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( N  +  1 )  e. 
NN0 )
1817nn0zd 10882 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( N  +  1 )  e.  ZZ )
1918adantl 464 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( W  e. Word  V  /\  ( # `  W
)  =  ( ( N  +  1 )  +  1 ) )  /\  N  e.  NN0 )  ->  ( N  + 
1 )  e.  ZZ )
2013, 16, 193jca 1174 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( W  e. Word  V  /\  ( # `  W
)  =  ( ( N  +  1 )  +  1 ) )  /\  N  e.  NN0 )  ->  ( 1  e.  ZZ  /\  ( # `  W )  e.  ZZ  /\  ( N  +  1 )  e.  ZZ ) )
21 nn0ge0 10738 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( N  e.  NN0  ->  0  <_  N )
22 1red 9522 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( N  e.  NN0  ->  1  e.  RR )
23 nn0re 10721 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( N  e.  NN0  ->  N  e.  RR )
2422, 23addge02d 10058 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( 0  <_  N  <->  1  <_  ( N  +  1 ) ) )
2521, 24mpbid 210 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( N  e.  NN0  ->  1  <_ 
( N  +  1 ) )
2625adantl 464 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( W  e. Word  V  /\  ( # `  W
)  =  ( ( N  +  1 )  +  1 ) )  /\  N  e.  NN0 )  ->  1  <_  ( N  +  1 ) )
2717nn0red 10770 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( N  +  1 )  e.  RR )
2827lep1d 10393 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( N  +  1 )  <_ 
( ( N  + 
1 )  +  1 ) )
29 breq2 4371 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
# `  W )  =  ( ( N  +  1 )  +  1 )  ->  (
( N  +  1 )  <_  ( # `  W
)  <->  ( N  + 
1 )  <_  (
( N  +  1 )  +  1 ) ) )
3028, 29syl5ibrcom 222 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( (
# `  W )  =  ( ( N  +  1 )  +  1 )  ->  ( N  +  1 )  <_  ( # `  W
) ) )
3130a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
# `  W )  e.  NN0  ->  ( N  e.  NN0  ->  ( ( # `
 W )  =  ( ( N  + 
1 )  +  1 )  ->  ( N  +  1 )  <_ 
( # `  W ) ) ) )
3231com23 78 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
# `  W )  e.  NN0  ->  ( ( # `
 W )  =  ( ( N  + 
1 )  +  1 )  ->  ( N  e.  NN0  ->  ( N  +  1 )  <_ 
( # `  W ) ) ) )
3314, 32syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( W  e. Word  V  ->  (
( # `  W )  =  ( ( N  +  1 )  +  1 )  ->  ( N  e.  NN0  ->  ( N  +  1 )  <_  ( # `  W
) ) ) )
3433imp31 430 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( W  e. Word  V  /\  ( # `  W
)  =  ( ( N  +  1 )  +  1 ) )  /\  N  e.  NN0 )  ->  ( N  + 
1 )  <_  ( # `
 W ) )
3526, 34jca 530 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( W  e. Word  V  /\  ( # `  W
)  =  ( ( N  +  1 )  +  1 ) )  /\  N  e.  NN0 )  ->  ( 1  <_ 
( N  +  1 )  /\  ( N  +  1 )  <_ 
( # `  W ) ) )
36 elfz2 11600 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( N  +  1 )  e.  ( 1 ... ( # `  W
) )  <->  ( (
1  e.  ZZ  /\  ( # `  W )  e.  ZZ  /\  ( N  +  1 )  e.  ZZ )  /\  ( 1  <_  ( N  +  1 )  /\  ( N  + 
1 )  <_  ( # `
 W ) ) ) )
3720, 35, 36sylanbrc 662 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( W  e. Word  V  /\  ( # `  W
)  =  ( ( N  +  1 )  +  1 ) )  /\  N  e.  NN0 )  ->  ( N  + 
1 )  e.  ( 1 ... ( # `  W ) ) )
3812, 37jca 530 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( W  e. Word  V  /\  ( # `  W
)  =  ( ( N  +  1 )  +  1 ) )  /\  N  e.  NN0 )  ->  ( W  e. Word  V  /\  ( N  + 
1 )  e.  ( 1 ... ( # `  W ) ) ) )
39 swrd0fvlsw 12579 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  ( N  +  1
)  e.  ( 1 ... ( # `  W
) ) )  -> 
( lastS  `  ( W substr  <. 0 ,  ( N  + 
1 ) >. )
)  =  ( W `
 ( ( N  +  1 )  - 
1 ) ) )
4038, 39syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( W  e. Word  V  /\  ( # `  W
)  =  ( ( N  +  1 )  +  1 ) )  /\  N  e.  NN0 )  ->  ( lastS  `  ( W substr  <. 0 ,  ( N  +  1 ) >.
) )  =  ( W `  ( ( N  +  1 )  -  1 ) ) )
41 nn0cn 10722 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( N  e.  NN0  ->  N  e.  CC )
42 1cnd 9523 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( N  e.  NN0  ->  1  e.  CC )
4341, 42pncand 9845 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( N  +  1 )  -  1 )  =  N )
4443fveq2d 5778 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( W `
 ( ( N  +  1 )  - 
1 ) )  =  ( W `  N
) )
4544adantl 464 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( W  e. Word  V  /\  ( # `  W
)  =  ( ( N  +  1 )  +  1 ) )  /\  N  e.  NN0 )  ->  ( W `  ( ( N  + 
1 )  -  1 ) )  =  ( W `  N ) )
4640, 45eqtrd 2423 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( W  e. Word  V  /\  ( # `  W
)  =  ( ( N  +  1 )  +  1 ) )  /\  N  e.  NN0 )  ->  ( lastS  `  ( W substr  <. 0 ,  ( N  +  1 ) >.
) )  =  ( W `  N ) )
47 lsw 12493 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( W  e. Word  V  ->  ( lastS  `  W )  =  ( W `  ( (
# `  W )  -  1 ) ) )
4847ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( W  e. Word  V  /\  ( # `  W
)  =  ( ( N  +  1 )  +  1 ) )  /\  N  e.  NN0 )  ->  ( lastS  `  W )  =  ( W `  ( ( # `  W
)  -  1 ) ) )
49 oveq1 6203 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
# `  W )  =  ( ( N  +  1 )  +  1 )  ->  (
( # `  W )  -  1 )  =  ( ( ( N  +  1 )  +  1 )  -  1 ) )
5049fveq2d 5778 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
# `  W )  =  ( ( N  +  1 )  +  1 )  ->  ( W `  ( ( # `
 W )  - 
1 ) )  =  ( W `  (
( ( N  + 
1 )  +  1 )  -  1 ) ) )
5150adantl 464 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  ( # `  W )  =  ( ( N  +  1 )  +  1 ) )  -> 
( W `  (
( # `  W )  -  1 ) )  =  ( W `  ( ( ( N  +  1 )  +  1 )  -  1 ) ) )
5217nn0cnd 10771 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( N  +  1 )  e.  CC )
5352, 42pncand 9845 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( ( N  +  1 )  +  1 )  -  1 )  =  ( N  +  1 ) )
5453fveq2d 5778 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( W `
 ( ( ( N  +  1 )  +  1 )  - 
1 ) )  =  ( W `  ( N  +  1 ) ) )
5551, 54sylan9eq 2443 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( W  e. Word  V  /\  ( # `  W
)  =  ( ( N  +  1 )  +  1 ) )  /\  N  e.  NN0 )  ->  ( W `  ( ( # `  W
)  -  1 ) )  =  ( W `
 ( N  + 
1 ) ) )
5648, 55eqtrd 2423 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( W  e. Word  V  /\  ( # `  W
)  =  ( ( N  +  1 )  +  1 ) )  /\  N  e.  NN0 )  ->  ( lastS  `  W )  =  ( W `  ( N  +  1
) ) )
5746, 56preq12d 4031 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( W  e. Word  V  /\  ( # `  W
)  =  ( ( N  +  1 )  +  1 ) )  /\  N  e.  NN0 )  ->  { ( lastS  `  ( W substr  <. 0 ,  ( N  +  1 )
>. ) ) ,  ( lastS  `  W ) }  =  { ( W `  N ) ,  ( W `  ( N  +  1 ) ) } )
5857eleq1d 2451 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( W  e. Word  V  /\  ( # `  W
)  =  ( ( N  +  1 )  +  1 ) )  /\  N  e.  NN0 )  ->  ( { ( lastS  `  ( W substr  <. 0 ,  ( N  + 
1 ) >. )
) ,  ( lastS  `  W
) }  e.  ran  E  <->  { ( W `  N ) ,  ( W `  ( N  +  1 ) ) }  e.  ran  E
) )
5958adantr 463 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( W  e. Word  V  /\  ( # `  W
)  =  ( ( N  +  1 )  +  1 ) )  /\  N  e.  NN0 )  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( N  +  1 ) ) { ( W `  i ) ,  ( W `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E
)  ->  ( {
( lastS  `  ( W substr  <. 0 ,  ( N  + 
1 ) >. )
) ,  ( lastS  `  W
) }  e.  ran  E  <->  { ( W `  N ) ,  ( W `  ( N  +  1 ) ) }  e.  ran  E
) )
6011, 59mpbird 232 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( W  e. Word  V  /\  ( # `  W
)  =  ( ( N  +  1 )  +  1 ) )  /\  N  e.  NN0 )  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( N  +  1 ) ) { ( W `  i ) ,  ( W `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E
)  ->  { ( lastS  `  ( W substr  <. 0 ,  ( N  + 
1 ) >. )
) ,  ( lastS  `  W
) }  e.  ran  E )
6160exp31 602 . . . . . 6  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  ( # `  W )  =  ( ( N  +  1 )  +  1 ) )  -> 
( N  e.  NN0  ->  ( A. i  e.  ( 0..^ ( N  +  1 ) ) { ( W `  i ) ,  ( W `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  ->  { ( lastS  `  ( W substr  <. 0 ,  ( N  +  1 )
>. ) ) ,  ( lastS  `  W ) }  e.  ran  E ) ) )
6261com23 78 . . . . 5  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  ( # `  W )  =  ( ( N  +  1 )  +  1 ) )  -> 
( A. i  e.  ( 0..^ ( N  +  1 ) ) { ( W `  i ) ,  ( W `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  ->  ( N  e.  NN0  ->  { ( lastS  `  ( W substr  <. 0 ,  ( N  +  1 )
>. ) ) ,  ( lastS  `  W ) }  e.  ran  E ) ) )
63623impia 1191 . . . 4  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  ( # `  W )  =  ( ( N  +  1 )  +  1 )  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( N  +  1 ) ) { ( W `  i ) ,  ( W `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E )  ->  ( N  e.  NN0  ->  { ( lastS  `  ( W substr  <. 0 ,  ( N  + 
1 ) >. )
) ,  ( lastS  `  W
) }  e.  ran  E ) )
641, 63syl 16 . . 3  |-  ( W  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  ( N  +  1 ) )  ->  ( N  e.  NN0  ->  { ( lastS  `  ( W substr  <. 0 ,  ( N  + 
1 ) >. )
) ,  ( lastS  `  W
) }  e.  ran  E ) )
65 wwlkextprop.x . . 3  |-  X  =  ( ( V WWalksN  E
) `  ( N  +  1 ) )
6664, 65eleq2s 2490 . 2  |-  ( W  e.  X  ->  ( N  e.  NN0  ->  { ( lastS  `  ( W substr  <. 0 ,  ( N  + 
1 ) >. )
) ,  ( lastS  `  W
) }  e.  ran  E ) )
6766imp 427 1  |-  ( ( W  e.  X  /\  N  e.  NN0 )  ->  { ( lastS  `  ( W substr  <. 0 ,  ( N  +  1 ) >.
) ) ,  ( lastS  `  W ) }  e.  ran  E )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367    /\ w3a 971    = wceq 1399    e. wcel 1826   A.wral 2732   {cpr 3946   <.cop 3950   class class class wbr 4367   ran crn 4914   ` cfv 5496  (class class class)co 6196   0cc0 9403   1c1 9404    + caddc 9406    <_ cle 9540    - cmin 9718   NN0cn0 10712   ZZcz 10781   ...cfz 11593  ..^cfzo 11717   #chash 12307  Word cword 12438   lastS clsw 12439   substr csubstr 12442   WWalksN cwwlkn 24799
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1626  ax-4 1639  ax-5 1712  ax-6 1755  ax-7 1798  ax-8 1828  ax-9 1830  ax-10 1845  ax-11 1850  ax-12 1862  ax-13 2006  ax-ext 2360  ax-rep 4478  ax-sep 4488  ax-nul 4496  ax-pow 4543  ax-pr 4601  ax-un 6491  ax-cnex 9459  ax-resscn 9460  ax-1cn 9461  ax-icn 9462  ax-addcl 9463  ax-addrcl 9464  ax-mulcl 9465  ax-mulrcl 9466  ax-mulcom 9467  ax-addass 9468  ax-mulass 9469  ax-distr 9470  ax-i2m1 9471  ax-1ne0 9472  ax-1rid 9473  ax-rnegex 9474  ax-rrecex 9475  ax-cnre 9476  ax-pre-lttri 9477  ax-pre-lttrn 9478  ax-pre-ltadd 9479  ax-pre-mulgt0 9480
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1402  df-ex 1621  df-nf 1625  df-sb 1748  df-eu 2222  df-mo 2223  df-clab 2368  df-cleq 2374  df-clel 2377  df-nfc 2532  df-ne 2579  df-nel 2580  df-ral 2737  df-rex 2738  df-reu 2739  df-rmo 2740  df-rab 2741  df-v 3036  df-sbc 3253  df-csb 3349  df-dif 3392  df-un 3394  df-in 3396  df-ss 3403  df-pss 3405  df-nul 3712  df-if 3858  df-pw 3929  df-sn 3945  df-pr 3947  df-tp 3949  df-op 3951  df-uni 4164  df-int 4200  df-iun 4245  df-br 4368  df-opab 4426  df-mpt 4427  df-tr 4461  df-eprel 4705  df-id 4709  df-po 4714  df-so 4715  df-fr 4752  df-we 4754  df-ord 4795  df-on 4796  df-lim 4797  df-suc 4798  df-xp 4919  df-rel 4920  df-cnv 4921  df-co 4922  df-dm 4923  df-rn 4924  df-res 4925  df-ima 4926  df-iota 5460  df-fun 5498  df-fn 5499  df-f 5500  df-f1 5501  df-fo 5502  df-f1o 5503  df-fv 5504  df-riota 6158  df-ov 6199  df-oprab 6200  df-mpt2 6201  df-om 6600  df-1st 6699  df-2nd 6700  df-recs 6960  df-rdg 6994  df-1o 7048  df-oadd 7052  df-er 7229  df-map 7340  df-pm 7341  df-en 7436  df-dom 7437  df-sdom 7438  df-fin 7439  df-card 8233  df-cda 8461  df-pnf 9541  df-mnf 9542  df-xr 9543  df-ltxr 9544  df-le 9545  df-sub 9720  df-neg 9721  df-nn 10453  df-2 10511  df-n0 10713  df-z 10782  df-uz 11002  df-fz 11594  df-fzo 11718  df-hash 12308  df-word 12446  df-lsw 12447  df-substr 12450  df-wwlk 24800  df-wwlkn 24801
This theorem is referenced by:  wwlkextprop  24865
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