Theorem wwlkextproplem2 30532

Description: Lemma 2 for wwlkextprop 30534. (Contributed by Alexander van der Vekens, 1-Aug-2018.)

Hypothesis

Ref	Expression
hashrabrex.x	|- X = ( ( V WWalksN E ) ` ( N + 1 ) )

Assertion

Ref	Expression
wwlkextproplem2	|- ( ( W e. X /\ N e. NN0 ) -> { ( lastS ` ( W substr <. 0 , ( N + 1 ) >. ) ) , ( lastS ` W ) } e. ran E )

Proof of Theorem wwlkextproplem2

Dummy variable i is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		wwlknimp 30292	. . . 4 |- ( W e. ( ( V WWalksN E ) ` ( N + 1 ) ) -> ( W e. Word V /\ ( # ` W ) = ( ( N + 1 ) + 1 ) /\ A. i e. ( 0..^ ( N + 1 ) ) { ( W ` i ) , ( W ` ( i + 1 ) ) } e. ran E ) )
2		fzonn0p1 11601	. . . . . . . . . . 11 |- ( N e. NN0 -> N e. ( 0..^ ( N + 1 ) ) )
3	2	adantl 466	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( W e. Word V /\ ( # ` W ) = ( ( N + 1 ) + 1 ) ) /\ N e. NN0 ) -> N e. ( 0..^ ( N + 1 ) ) )
4		fveq2 5686	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( i = N -> ( W ` i ) = ( W ` N ) )
5		oveq1 6093	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( i = N -> ( i + 1 ) = ( N + 1 ) )
6	5	fveq2d 5690	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( i = N -> ( W ` ( i + 1 ) ) = ( W ` ( N + 1 ) ) )
7	4, 6	preq12d 3957	. . . . . . . . . . . 12 |- ( i = N -> { ( W ` i ) , ( W ` ( i + 1 ) ) } = { ( W ` N ) , ( W ` ( N + 1 ) ) } )
8	7	eleq1d 2504	. . . . . . . . . . 11 |- ( i = N -> ( { ( W ` i ) , ( W ` ( i + 1 ) ) } e. ran E <-> { ( W ` N ) , ( W ` ( N + 1 ) ) } e. ran E ) )
9	8	rspcv 3064	. . . . . . . . . 10 |- ( N e. ( 0..^ ( N + 1 ) ) -> ( A. i e. ( 0..^ ( N + 1 ) ) { ( W ` i ) , ( W ` ( i + 1 ) ) } e. ran E -> { ( W ` N ) , ( W ` ( N + 1 ) ) } e. ran E ) )
10	3, 9	syl 16	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( W e. Word V /\ ( # ` W ) = ( ( N + 1 ) + 1 ) ) /\ N e. NN0 ) -> ( A. i e. ( 0..^ ( N + 1 ) ) { ( W ` i ) , ( W ` ( i + 1 ) ) } e. ran E -> { ( W ` N ) , ( W ` ( N + 1 ) ) } e. ran E ) )
11	10	imp 429	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( W e. Word V /\ ( # ` W ) = ( ( N + 1 ) + 1 ) ) /\ N e. NN0 ) /\ A. i e. ( 0..^ ( N + 1 ) ) { ( W ` i ) , ( W ` ( i + 1 ) ) } e. ran E ) -> { ( W ` N ) , ( W ` ( N + 1 ) ) } e. ran E )
12		simpll 753	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( W e. Word V /\ ( # ` W ) = ( ( N + 1 ) + 1 ) ) /\ N e. NN0 ) -> W e. Word V )
13		1z 10668	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- 1 e. ZZ
14	13	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( W e. Word V /\ ( # ` W ) = ( ( N + 1 ) + 1 ) ) /\ N e. NN0 ) -> 1 e. ZZ )
15		lencl 12241	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( W e. Word V -> ( # ` W ) e. NN0 )
16	15	nn0zd 10737	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( W e. Word V -> ( # ` W ) e. ZZ )
17	16	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( W e. Word V /\ ( # ` W ) = ( ( N + 1 ) + 1 ) ) /\ N e. NN0 ) -> ( # ` W ) e. ZZ )
18		peano2nn0 10612	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( N e. NN0 -> ( N + 1 ) e. NN0 )
19	18	nn0zd 10737	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( N e. NN0 -> ( N + 1 ) e. ZZ )
20	19	adantl 466	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( W e. Word V /\ ( # ` W ) = ( ( N + 1 ) + 1 ) ) /\ N e. NN0 ) -> ( N + 1 ) e. ZZ )
21	14, 17, 20	3jca 1168	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( W e. Word V /\ ( # ` W ) = ( ( N + 1 ) + 1 ) ) /\ N e. NN0 ) -> ( 1 e. ZZ /\ ( # ` W ) e. ZZ /\ ( N + 1 ) e. ZZ ) )
22		nn0ge0 10597	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( N e. NN0 -> 0 <_ N )
23		1re 9377	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- 1 e. RR
24	23	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( N e. NN0 -> 1 e. RR )
25		nn0re 10580	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( N e. NN0 -> N e. RR )
26	24, 25	addge02d 9920	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( N e. NN0 -> ( 0 <_ N <-> 1 <_ ( N + 1 ) ) )
27	22, 26	mpbid 210	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( N e. NN0 -> 1 <_ ( N + 1 ) )
28	27	adantl 466	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( W e. Word V /\ ( # ` W ) = ( ( N + 1 ) + 1 ) ) /\ N e. NN0 ) -> 1 <_ ( N + 1 ) )
29		nn0re 10580	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( N + 1 ) e. NN0 -> ( N + 1 ) e. RR )
30	18, 29	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( N e. NN0 -> ( N + 1 ) e. RR )
31	30	lep1d 10256	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( N e. NN0 -> ( N + 1 ) <_ ( ( N + 1 ) + 1 ) )
32		breq2 4291	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( # ` W ) = ( ( N + 1 ) + 1 ) -> ( ( N + 1 ) <_ ( # ` W ) <-> ( N + 1 ) <_ ( ( N + 1 ) + 1 ) ) )
33	31, 32	syl5ibrcom 222	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( N e. NN0 -> ( ( # ` W ) = ( ( N + 1 ) + 1 ) -> ( N + 1 ) <_ ( # ` W ) ) )
34	33	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( # ` W ) e. NN0 -> ( N e. NN0 -> ( ( # ` W ) = ( ( N + 1 ) + 1 ) -> ( N + 1 ) <_ ( # ` W ) ) ) )
35	34	com23 78	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( # ` W ) e. NN0 -> ( ( # ` W ) = ( ( N + 1 ) + 1 ) -> ( N e. NN0 -> ( N + 1 ) <_ ( # ` W ) ) ) )
36	15, 35	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( W e. Word V -> ( ( # ` W ) = ( ( N + 1 ) + 1 ) -> ( N e. NN0 -> ( N + 1 ) <_ ( # ` W ) ) ) )
37	36	imp31 432	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( W e. Word V /\ ( # ` W ) = ( ( N + 1 ) + 1 ) ) /\ N e. NN0 ) -> ( N + 1 ) <_ ( # ` W ) )
38	28, 37	jca 532	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( W e. Word V /\ ( # ` W ) = ( ( N + 1 ) + 1 ) ) /\ N e. NN0 ) -> ( 1 <_ ( N + 1 ) /\ ( N + 1 ) <_ ( # ` W ) ) )
39		elfz2 11436	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( N + 1 ) e. ( 1 ... ( # ` W ) ) <-> ( ( 1 e. ZZ /\ ( # ` W ) e. ZZ /\ ( N + 1 ) e. ZZ ) /\ ( 1 <_ ( N + 1 ) /\ ( N + 1 ) <_ ( # ` W ) ) ) )
40	21, 38, 39	sylanbrc 664	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( W e. Word V /\ ( # ` W ) = ( ( N + 1 ) + 1 ) ) /\ N e. NN0 ) -> ( N + 1 ) e. ( 1 ... ( # ` W ) ) )
41	12, 40	jca 532	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( W e. Word V /\ ( # ` W ) = ( ( N + 1 ) + 1 ) ) /\ N e. NN0 ) -> ( W e. Word V /\ ( N + 1 ) e. ( 1 ... ( # ` W ) ) ) )
42		swrd0fvlsw 12331	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( W e. Word V /\ ( N + 1 ) e. ( 1 ... ( # ` W ) ) ) -> ( lastS ` ( W substr <. 0 , ( N + 1 ) >. ) ) = ( W ` ( ( N + 1 ) - 1 ) ) )
43	41, 42	syl 16	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( W e. Word V /\ ( # ` W ) = ( ( N + 1 ) + 1 ) ) /\ N e. NN0 ) -> ( lastS ` ( W substr <. 0 , ( N + 1 ) >. ) ) = ( W ` ( ( N + 1 ) - 1 ) ) )
44		nn0cn 10581	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( N e. NN0 -> N e. CC )
45		ax-1cn 9332	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- 1 e. CC
46	45	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( N e. NN0 -> 1 e. CC )
47	44, 46	pncand 9712	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( N e. NN0 -> ( ( N + 1 ) - 1 ) = N )
48	47	fveq2d 5690	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( N e. NN0 -> ( W ` ( ( N + 1 ) - 1 ) ) = ( W ` N ) )
49	48	adantl 466	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( W e. Word V /\ ( # ` W ) = ( ( N + 1 ) + 1 ) ) /\ N e. NN0 ) -> ( W ` ( ( N + 1 ) - 1 ) ) = ( W ` N ) )
50	43, 49	eqtrd 2470	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( W e. Word V /\ ( # ` W ) = ( ( N + 1 ) + 1 ) ) /\ N e. NN0 ) -> ( lastS ` ( W substr <. 0 , ( N + 1 ) >. ) ) = ( W ` N ) )
51		lsw 12258	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( W e. Word V -> ( lastS ` W ) = ( W ` ( ( # ` W ) - 1 ) ) )
52	51	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( W e. Word V /\ ( # ` W ) = ( ( N + 1 ) + 1 ) ) /\ N e. NN0 ) -> ( lastS ` W ) = ( W ` ( ( # ` W ) - 1 ) ) )
53		oveq1 6093	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( # ` W ) = ( ( N + 1 ) + 1 ) -> ( ( # ` W ) - 1 ) = ( ( ( N + 1 ) + 1 ) - 1 ) )
54	53	fveq2d 5690	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( # ` W ) = ( ( N + 1 ) + 1 ) -> ( W ` ( ( # ` W ) - 1 ) ) = ( W ` ( ( ( N + 1 ) + 1 ) - 1 ) ) )
55	54	adantl 466	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( W e. Word V /\ ( # ` W ) = ( ( N + 1 ) + 1 ) ) -> ( W ` ( ( # ` W ) - 1 ) ) = ( W ` ( ( ( N + 1 ) + 1 ) - 1 ) ) )
56	18	nn0cnd 10630	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( N e. NN0 -> ( N + 1 ) e. CC )
57	56, 46	pncand 9712	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( N e. NN0 -> ( ( ( N + 1 ) + 1 ) - 1 ) = ( N + 1 ) )
58	57	fveq2d 5690	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( N e. NN0 -> ( W ` ( ( ( N + 1 ) + 1 ) - 1 ) ) = ( W ` ( N + 1 ) ) )
59	55, 58	sylan9eq 2490	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( W e. Word V /\ ( # ` W ) = ( ( N + 1 ) + 1 ) ) /\ N e. NN0 ) -> ( W ` ( ( # ` W ) - 1 ) ) = ( W ` ( N + 1 ) ) )
60	52, 59	eqtrd 2470	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( W e. Word V /\ ( # ` W ) = ( ( N + 1 ) + 1 ) ) /\ N e. NN0 ) -> ( lastS ` W ) = ( W ` ( N + 1 ) ) )
61	50, 60	preq12d 3957	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( W e. Word V /\ ( # ` W ) = ( ( N + 1 ) + 1 ) ) /\ N e. NN0 ) -> { ( lastS ` ( W substr <. 0 , ( N + 1 ) >. ) ) , ( lastS ` W ) } = { ( W ` N ) , ( W ` ( N + 1 ) ) } )
62	61	eleq1d 2504	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( W e. Word V /\ ( # ` W ) = ( ( N + 1 ) + 1 ) ) /\ N e. NN0 ) -> ( { ( lastS ` ( W substr <. 0 , ( N + 1 ) >. ) ) , ( lastS ` W ) } e. ran E <-> { ( W ` N ) , ( W ` ( N + 1 ) ) } e. ran E ) )
63	62	adantr 465	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( W e. Word V /\ ( # ` W ) = ( ( N + 1 ) + 1 ) ) /\ N e. NN0 ) /\ A. i e. ( 0..^ ( N + 1 ) ) { ( W ` i ) , ( W ` ( i + 1 ) ) } e. ran E ) -> ( { ( lastS ` ( W substr <. 0 , ( N + 1 ) >. ) ) , ( lastS ` W ) } e. ran E <-> { ( W ` N ) , ( W ` ( N + 1 ) ) } e. ran E ) )
64	11, 63	mpbird 232	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( W e. Word V /\ ( # ` W ) = ( ( N + 1 ) + 1 ) ) /\ N e. NN0 ) /\ A. i e. ( 0..^ ( N + 1 ) ) { ( W ` i ) , ( W ` ( i + 1 ) ) } e. ran E ) -> { ( lastS ` ( W substr <. 0 , ( N + 1 ) >. ) ) , ( lastS ` W ) } e. ran E )
65	64	exp31 604	. . . . . 6 |- ( ( W e. Word V /\ ( # ` W ) = ( ( N + 1 ) + 1 ) ) -> ( N e. NN0 -> ( A. i e. ( 0..^ ( N + 1 ) ) { ( W ` i ) , ( W ` ( i + 1 ) ) } e. ran E -> { ( lastS ` ( W substr <. 0 , ( N + 1 ) >. ) ) , ( lastS ` W ) } e. ran E ) ) )
66	65	com23 78	. . . . 5 |- ( ( W e. Word V /\ ( # ` W ) = ( ( N + 1 ) + 1 ) ) -> ( A. i e. ( 0..^ ( N + 1 ) ) { ( W ` i ) , ( W ` ( i + 1 ) ) } e. ran E -> ( N e. NN0 -> { ( lastS ` ( W substr <. 0 , ( N + 1 ) >. ) ) , ( lastS ` W ) } e. ran E ) ) )
67	66	3impia 1184	. . . 4 |- ( ( W e. Word V /\ ( # ` W ) = ( ( N + 1 ) + 1 ) /\ A. i e. ( 0..^ ( N + 1 ) ) { ( W ` i ) , ( W ` ( i + 1 ) ) } e. ran E ) -> ( N e. NN0 -> { ( lastS ` ( W substr <. 0 , ( N + 1 ) >. ) ) , ( lastS ` W ) } e. ran E ) )
68	1, 67	syl 16	. . 3 |- ( W e. ( ( V WWalksN E ) ` ( N + 1 ) ) -> ( N e. NN0 -> { ( lastS ` ( W substr <. 0 , ( N + 1 ) >. ) ) , ( lastS ` W ) } e. ran E ) )
69		hashrabrex.x	. . 3 |- X = ( ( V WWalksN E ) ` ( N + 1 ) )
70	68, 69	eleq2s 2530	. 2 |- ( W e. X -> ( N e. NN0 -> { ( lastS ` ( W substr <. 0 , ( N + 1 ) >. ) ) , ( lastS ` W ) } e. ran E ) )
71	70	imp 429	1 |- ( ( W e. X /\ N e. NN0 ) -> { ( lastS ` ( W substr <. 0 , ( N + 1 ) >. ) ) , ( lastS ` W ) } e. ran E )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   /\ w3a 965   = wceq 1369   e. wcel 1756   A.wral 2710   {cpr 3874   <.cop 3878   class class class wbr 4287   ran crn 4836   ` cfv 5413  (class class class)co 6086   CCcc 9272   RRcr 9273   0cc0 9274   1c1 9275   + caddc 9277   <_ cle 9411   - cmin 9587   NN0cn0 10571   ZZcz 10638   ...cfz 11429  ..^cfzo 11540   #chash 12095  Word cword 12213   lastS clsw 12214   substr csubstr 12217   WWalksN cwwlkn 30283

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2419  ax-rep 4398  ax-sep 4408  ax-nul 4416  ax-pow 4465  ax-pr 4526  ax-un 6367  ax-cnex 9330  ax-resscn 9331  ax-1cn 9332  ax-icn 9333  ax-addcl 9334  ax-addrcl 9335  ax-mulcl 9336  ax-mulrcl 9337  ax-mulcom 9338  ax-addass 9339  ax-mulass 9340  ax-distr 9341  ax-i2m1 9342  ax-1ne0 9343  ax-1rid 9344  ax-rnegex 9345  ax-rrecex 9346  ax-cnre 9347  ax-pre-lttri 9348  ax-pre-lttrn 9349  ax-pre-ltadd 9350  ax-pre-mulgt0 9351

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2256  df-mo 2257  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2715  df-rex 2716  df-reu 2717  df-rab 2719  df-v 2969  df-sbc 3182  df-csb 3284  df-dif 3326  df-un 3328  df-in 3330  df-ss 3337  df-pss 3339  df-nul 3633  df-if 3787  df-pw 3857  df-sn 3873  df-pr 3875  df-tp 3877  df-op 3879  df-uni 4087  df-int 4124  df-iun 4168  df-br 4288  df-opab 4346  df-mpt 4347  df-tr 4381  df-eprel 4627  df-id 4631  df-po 4636  df-so 4637  df-fr 4674  df-we 4676  df-ord 4717  df-on 4718  df-lim 4719  df-suc 4720  df-xp 4841  df-rel 4842  df-cnv 4843  df-co 4844  df-dm 4845  df-rn 4846  df-res 4847  df-ima 4848  df-iota 5376  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-riota 6047  df-ov 6089  df-oprab 6090  df-mpt2 6091  df-om 6472  df-1st 6572  df-2nd 6573  df-recs 6824  df-rdg 6858  df-1o 6912  df-oadd 6916  df-er 7093  df-map 7208  df-pm 7209  df-en 7303  df-dom 7304  df-sdom 7305  df-fin 7306  df-card 8101  df-pnf 9412  df-mnf 9413  df-xr 9414  df-ltxr 9415  df-le 9416  df-sub 9589  df-neg 9590  df-nn 10315  df-n0 10572  df-z 10639  df-uz 10854  df-fz 11430  df-fzo 11541  df-hash 12096  df-word 12221  df-lsw 12222  df-substr 12225  df-wwlk 30284  df-wwlkn 30285

This theorem is referenced by:  wwlkextprop  30534