Theorem wwlkextproplem2 30699

Description: Lemma 2 for wwlkextprop 30701. (Contributed by Alexander van der Vekens, 1-Aug-2018.)

Hypothesis

Ref	Expression
hashrabrex.x	|- X = ( ( V WWalksN E ) ` ( N + 1 ) )

Assertion

Ref	Expression
wwlkextproplem2	|- ( ( W e. X /\ N e. NN0 ) -> { ( lastS ` ( W substr <. 0 , ( N + 1 ) >. ) ) , ( lastS ` W ) } e. ran E )

Proof of Theorem wwlkextproplem2

Dummy variable i is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		wwlknimp 30459	. . . 4 |- ( W e. ( ( V WWalksN E ) ` ( N + 1 ) ) -> ( W e. Word V /\ ( # ` W ) = ( ( N + 1 ) + 1 ) /\ A. i e. ( 0..^ ( N + 1 ) ) { ( W ` i ) , ( W ` ( i + 1 ) ) } e. ran E ) )
2		fzonn0p1 11710	. . . . . . . . . . 11 |- ( N e. NN0 -> N e. ( 0..^ ( N + 1 ) ) )
3	2	adantl 466	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( W e. Word V /\ ( # ` W ) = ( ( N + 1 ) + 1 ) ) /\ N e. NN0 ) -> N e. ( 0..^ ( N + 1 ) ) )
4		fveq2 5789	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( i = N -> ( W ` i ) = ( W ` N ) )
5		oveq1 6197	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( i = N -> ( i + 1 ) = ( N + 1 ) )
6	5	fveq2d 5793	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( i = N -> ( W ` ( i + 1 ) ) = ( W ` ( N + 1 ) ) )
7	4, 6	preq12d 4060	. . . . . . . . . . . 12 |- ( i = N -> { ( W ` i ) , ( W ` ( i + 1 ) ) } = { ( W ` N ) , ( W ` ( N + 1 ) ) } )
8	7	eleq1d 2520	. . . . . . . . . . 11 |- ( i = N -> ( { ( W ` i ) , ( W ` ( i + 1 ) ) } e. ran E <-> { ( W ` N ) , ( W ` ( N + 1 ) ) } e. ran E ) )
9	8	rspcv 3165	. . . . . . . . . 10 |- ( N e. ( 0..^ ( N + 1 ) ) -> ( A. i e. ( 0..^ ( N + 1 ) ) { ( W ` i ) , ( W ` ( i + 1 ) ) } e. ran E -> { ( W ` N ) , ( W ` ( N + 1 ) ) } e. ran E ) )
10	3, 9	syl 16	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( W e. Word V /\ ( # ` W ) = ( ( N + 1 ) + 1 ) ) /\ N e. NN0 ) -> ( A. i e. ( 0..^ ( N + 1 ) ) { ( W ` i ) , ( W ` ( i + 1 ) ) } e. ran E -> { ( W ` N ) , ( W ` ( N + 1 ) ) } e. ran E ) )
11	10	imp 429	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( W e. Word V /\ ( # ` W ) = ( ( N + 1 ) + 1 ) ) /\ N e. NN0 ) /\ A. i e. ( 0..^ ( N + 1 ) ) { ( W ` i ) , ( W ` ( i + 1 ) ) } e. ran E ) -> { ( W ` N ) , ( W ` ( N + 1 ) ) } e. ran E )
12		simpll 753	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( W e. Word V /\ ( # ` W ) = ( ( N + 1 ) + 1 ) ) /\ N e. NN0 ) -> W e. Word V )
13		1z 10777	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- 1 e. ZZ
14	13	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( W e. Word V /\ ( # ` W ) = ( ( N + 1 ) + 1 ) ) /\ N e. NN0 ) -> 1 e. ZZ )
15		lencl 12351	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( W e. Word V -> ( # ` W ) e. NN0 )
16	15	nn0zd 10846	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( W e. Word V -> ( # ` W ) e. ZZ )
17	16	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( W e. Word V /\ ( # ` W ) = ( ( N + 1 ) + 1 ) ) /\ N e. NN0 ) -> ( # ` W ) e. ZZ )
18		peano2nn0 10721	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( N e. NN0 -> ( N + 1 ) e. NN0 )
19	18	nn0zd 10846	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( N e. NN0 -> ( N + 1 ) e. ZZ )
20	19	adantl 466	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( W e. Word V /\ ( # ` W ) = ( ( N + 1 ) + 1 ) ) /\ N e. NN0 ) -> ( N + 1 ) e. ZZ )
21	14, 17, 20	3jca 1168	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( W e. Word V /\ ( # ` W ) = ( ( N + 1 ) + 1 ) ) /\ N e. NN0 ) -> ( 1 e. ZZ /\ ( # ` W ) e. ZZ /\ ( N + 1 ) e. ZZ ) )
22		nn0ge0 10706	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( N e. NN0 -> 0 <_ N )
23		1re 9486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- 1 e. RR
24	23	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( N e. NN0 -> 1 e. RR )
25		nn0re 10689	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( N e. NN0 -> N e. RR )
26	24, 25	addge02d 10029	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( N e. NN0 -> ( 0 <_ N <-> 1 <_ ( N + 1 ) ) )
27	22, 26	mpbid 210	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( N e. NN0 -> 1 <_ ( N + 1 ) )
28	27	adantl 466	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( W e. Word V /\ ( # ` W ) = ( ( N + 1 ) + 1 ) ) /\ N e. NN0 ) -> 1 <_ ( N + 1 ) )
29		nn0re 10689	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( N + 1 ) e. NN0 -> ( N + 1 ) e. RR )
30	18, 29	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( N e. NN0 -> ( N + 1 ) e. RR )
31	30	lep1d 10365	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( N e. NN0 -> ( N + 1 ) <_ ( ( N + 1 ) + 1 ) )
32		breq2 4394	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( # ` W ) = ( ( N + 1 ) + 1 ) -> ( ( N + 1 ) <_ ( # ` W ) <-> ( N + 1 ) <_ ( ( N + 1 ) + 1 ) ) )
33	31, 32	syl5ibrcom 222	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( N e. NN0 -> ( ( # ` W ) = ( ( N + 1 ) + 1 ) -> ( N + 1 ) <_ ( # ` W ) ) )
34	33	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( # ` W ) e. NN0 -> ( N e. NN0 -> ( ( # ` W ) = ( ( N + 1 ) + 1 ) -> ( N + 1 ) <_ ( # ` W ) ) ) )
35	34	com23 78	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( # ` W ) e. NN0 -> ( ( # ` W ) = ( ( N + 1 ) + 1 ) -> ( N e. NN0 -> ( N + 1 ) <_ ( # ` W ) ) ) )
36	15, 35	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( W e. Word V -> ( ( # ` W ) = ( ( N + 1 ) + 1 ) -> ( N e. NN0 -> ( N + 1 ) <_ ( # ` W ) ) ) )
37	36	imp31 432	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( W e. Word V /\ ( # ` W ) = ( ( N + 1 ) + 1 ) ) /\ N e. NN0 ) -> ( N + 1 ) <_ ( # ` W ) )
38	28, 37	jca 532	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( W e. Word V /\ ( # ` W ) = ( ( N + 1 ) + 1 ) ) /\ N e. NN0 ) -> ( 1 <_ ( N + 1 ) /\ ( N + 1 ) <_ ( # ` W ) ) )
39		elfz2 11545	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( N + 1 ) e. ( 1 ... ( # ` W ) ) <-> ( ( 1 e. ZZ /\ ( # ` W ) e. ZZ /\ ( N + 1 ) e. ZZ ) /\ ( 1 <_ ( N + 1 ) /\ ( N + 1 ) <_ ( # ` W ) ) ) )
40	21, 38, 39	sylanbrc 664	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( W e. Word V /\ ( # ` W ) = ( ( N + 1 ) + 1 ) ) /\ N e. NN0 ) -> ( N + 1 ) e. ( 1 ... ( # ` W ) ) )
41	12, 40	jca 532	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( W e. Word V /\ ( # ` W ) = ( ( N + 1 ) + 1 ) ) /\ N e. NN0 ) -> ( W e. Word V /\ ( N + 1 ) e. ( 1 ... ( # ` W ) ) ) )
42		swrd0fvlsw 12441	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( W e. Word V /\ ( N + 1 ) e. ( 1 ... ( # ` W ) ) ) -> ( lastS ` ( W substr <. 0 , ( N + 1 ) >. ) ) = ( W ` ( ( N + 1 ) - 1 ) ) )
43	41, 42	syl 16	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( W e. Word V /\ ( # ` W ) = ( ( N + 1 ) + 1 ) ) /\ N e. NN0 ) -> ( lastS ` ( W substr <. 0 , ( N + 1 ) >. ) ) = ( W ` ( ( N + 1 ) - 1 ) ) )
44		nn0cn 10690	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( N e. NN0 -> N e. CC )
45		ax-1cn 9441	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- 1 e. CC
46	45	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( N e. NN0 -> 1 e. CC )
47	44, 46	pncand 9821	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( N e. NN0 -> ( ( N + 1 ) - 1 ) = N )
48	47	fveq2d 5793	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( N e. NN0 -> ( W ` ( ( N + 1 ) - 1 ) ) = ( W ` N ) )
49	48	adantl 466	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( W e. Word V /\ ( # ` W ) = ( ( N + 1 ) + 1 ) ) /\ N e. NN0 ) -> ( W ` ( ( N + 1 ) - 1 ) ) = ( W ` N ) )
50	43, 49	eqtrd 2492	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( W e. Word V /\ ( # ` W ) = ( ( N + 1 ) + 1 ) ) /\ N e. NN0 ) -> ( lastS ` ( W substr <. 0 , ( N + 1 ) >. ) ) = ( W ` N ) )
51		lsw 12368	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( W e. Word V -> ( lastS ` W ) = ( W ` ( ( # ` W ) - 1 ) ) )
52	51	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( W e. Word V /\ ( # ` W ) = ( ( N + 1 ) + 1 ) ) /\ N e. NN0 ) -> ( lastS ` W ) = ( W ` ( ( # ` W ) - 1 ) ) )
53		oveq1 6197	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( # ` W ) = ( ( N + 1 ) + 1 ) -> ( ( # ` W ) - 1 ) = ( ( ( N + 1 ) + 1 ) - 1 ) )
54	53	fveq2d 5793	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( # ` W ) = ( ( N + 1 ) + 1 ) -> ( W ` ( ( # ` W ) - 1 ) ) = ( W ` ( ( ( N + 1 ) + 1 ) - 1 ) ) )
55	54	adantl 466	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( W e. Word V /\ ( # ` W ) = ( ( N + 1 ) + 1 ) ) -> ( W ` ( ( # ` W ) - 1 ) ) = ( W ` ( ( ( N + 1 ) + 1 ) - 1 ) ) )
56	18	nn0cnd 10739	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( N e. NN0 -> ( N + 1 ) e. CC )
57	56, 46	pncand 9821	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( N e. NN0 -> ( ( ( N + 1 ) + 1 ) - 1 ) = ( N + 1 ) )
58	57	fveq2d 5793	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( N e. NN0 -> ( W ` ( ( ( N + 1 ) + 1 ) - 1 ) ) = ( W ` ( N + 1 ) ) )
59	55, 58	sylan9eq 2512	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( W e. Word V /\ ( # ` W ) = ( ( N + 1 ) + 1 ) ) /\ N e. NN0 ) -> ( W ` ( ( # ` W ) - 1 ) ) = ( W ` ( N + 1 ) ) )
60	52, 59	eqtrd 2492	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( W e. Word V /\ ( # ` W ) = ( ( N + 1 ) + 1 ) ) /\ N e. NN0 ) -> ( lastS ` W ) = ( W ` ( N + 1 ) ) )
61	50, 60	preq12d 4060	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( W e. Word V /\ ( # ` W ) = ( ( N + 1 ) + 1 ) ) /\ N e. NN0 ) -> { ( lastS ` ( W substr <. 0 , ( N + 1 ) >. ) ) , ( lastS ` W ) } = { ( W ` N ) , ( W ` ( N + 1 ) ) } )
62	61	eleq1d 2520	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( W e. Word V /\ ( # ` W ) = ( ( N + 1 ) + 1 ) ) /\ N e. NN0 ) -> ( { ( lastS ` ( W substr <. 0 , ( N + 1 ) >. ) ) , ( lastS ` W ) } e. ran E <-> { ( W ` N ) , ( W ` ( N + 1 ) ) } e. ran E ) )
63	62	adantr 465	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( W e. Word V /\ ( # ` W ) = ( ( N + 1 ) + 1 ) ) /\ N e. NN0 ) /\ A. i e. ( 0..^ ( N + 1 ) ) { ( W ` i ) , ( W ` ( i + 1 ) ) } e. ran E ) -> ( { ( lastS ` ( W substr <. 0 , ( N + 1 ) >. ) ) , ( lastS ` W ) } e. ran E <-> { ( W ` N ) , ( W ` ( N + 1 ) ) } e. ran E ) )
64	11, 63	mpbird 232	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( W e. Word V /\ ( # ` W ) = ( ( N + 1 ) + 1 ) ) /\ N e. NN0 ) /\ A. i e. ( 0..^ ( N + 1 ) ) { ( W ` i ) , ( W ` ( i + 1 ) ) } e. ran E ) -> { ( lastS ` ( W substr <. 0 , ( N + 1 ) >. ) ) , ( lastS ` W ) } e. ran E )
65	64	exp31 604	. . . . . 6 |- ( ( W e. Word V /\ ( # ` W ) = ( ( N + 1 ) + 1 ) ) -> ( N e. NN0 -> ( A. i e. ( 0..^ ( N + 1 ) ) { ( W ` i ) , ( W ` ( i + 1 ) ) } e. ran E -> { ( lastS ` ( W substr <. 0 , ( N + 1 ) >. ) ) , ( lastS ` W ) } e. ran E ) ) )
66	65	com23 78	. . . . 5 |- ( ( W e. Word V /\ ( # ` W ) = ( ( N + 1 ) + 1 ) ) -> ( A. i e. ( 0..^ ( N + 1 ) ) { ( W ` i ) , ( W ` ( i + 1 ) ) } e. ran E -> ( N e. NN0 -> { ( lastS ` ( W substr <. 0 , ( N + 1 ) >. ) ) , ( lastS ` W ) } e. ran E ) ) )
67	66	3impia 1185	. . . 4 |- ( ( W e. Word V /\ ( # ` W ) = ( ( N + 1 ) + 1 ) /\ A. i e. ( 0..^ ( N + 1 ) ) { ( W ` i ) , ( W ` ( i + 1 ) ) } e. ran E ) -> ( N e. NN0 -> { ( lastS ` ( W substr <. 0 , ( N + 1 ) >. ) ) , ( lastS ` W ) } e. ran E ) )
68	1, 67	syl 16	. . 3 |- ( W e. ( ( V WWalksN E ) ` ( N + 1 ) ) -> ( N e. NN0 -> { ( lastS ` ( W substr <. 0 , ( N + 1 ) >. ) ) , ( lastS ` W ) } e. ran E ) )
69		hashrabrex.x	. . 3 |- X = ( ( V WWalksN E ) ` ( N + 1 ) )
70	68, 69	eleq2s 2559	. 2 |- ( W e. X -> ( N e. NN0 -> { ( lastS ` ( W substr <. 0 , ( N + 1 ) >. ) ) , ( lastS ` W ) } e. ran E ) )
71	70	imp 429	1 |- ( ( W e. X /\ N e. NN0 ) -> { ( lastS ` ( W substr <. 0 , ( N + 1 ) >. ) ) , ( lastS ` W ) } e. ran E )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   /\ w3a 965   = wceq 1370   e. wcel 1758   A.wral 2795   {cpr 3977   <.cop 3981   class class class wbr 4390   ran crn 4939   ` cfv 5516  (class class class)co 6190   CCcc 9381   RRcr 9382   0cc0 9383   1c1 9384   + caddc 9386   <_ cle 9520   - cmin 9696   NN0cn0 10680   ZZcz 10747   ...cfz 11538  ..^cfzo 11649   #chash 12204  Word cword 12323   lastS clsw 12324   substr csubstr 12327   WWalksN cwwlkn 30450

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-rep 4501  ax-sep 4511  ax-nul 4519  ax-pow 4568  ax-pr 4629  ax-un 6472  ax-cnex 9439  ax-resscn 9440  ax-1cn 9441  ax-icn 9442  ax-addcl 9443  ax-addrcl 9444  ax-mulcl 9445  ax-mulrcl 9446  ax-mulcom 9447  ax-addass 9448  ax-mulass 9449  ax-distr 9450  ax-i2m1 9451  ax-1ne0 9452  ax-1rid 9453  ax-rnegex 9454  ax-rrecex 9455  ax-cnre 9456  ax-pre-lttri 9457  ax-pre-lttrn 9458  ax-pre-ltadd 9459  ax-pre-mulgt0 9460

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-nel 2647  df-ral 2800  df-rex 2801  df-reu 2802  df-rab 2804  df-v 3070  df-sbc 3285  df-csb 3387  df-dif 3429  df-un 3431  df-in 3433  df-ss 3440  df-pss 3442  df-nul 3736  df-if 3890  df-pw 3960  df-sn 3976  df-pr 3978  df-tp 3980  df-op 3982  df-uni 4190  df-int 4227  df-iun 4271  df-br 4391  df-opab 4449  df-mpt 4450  df-tr 4484  df-eprel 4730  df-id 4734  df-po 4739  df-so 4740  df-fr 4777  df-we 4779  df-ord 4820  df-on 4821  df-lim 4822  df-suc 4823  df-xp 4944  df-rel 4945  df-cnv 4946  df-co 4947  df-dm 4948  df-rn 4949  df-res 4950  df-ima 4951  df-iota 5479  df-fun 5518  df-fn 5519  df-f 5520  df-f1 5521  df-fo 5522  df-f1o 5523  df-fv 5524  df-riota 6151  df-ov 6193  df-oprab 6194  df-mpt2 6195  df-om 6577  df-1st 6677  df-2nd 6678  df-recs 6932  df-rdg 6966  df-1o 7020  df-oadd 7024  df-er 7201  df-map 7316  df-pm 7317  df-en 7411  df-dom 7412  df-sdom 7413  df-fin 7414  df-card 8210  df-pnf 9521  df-mnf 9522  df-xr 9523  df-ltxr 9524  df-le 9525  df-sub 9698  df-neg 9699  df-nn 10424  df-n0 10681  df-z 10748  df-uz 10963  df-fz 11539  df-fzo 11650  df-hash 12205  df-word 12331  df-lsw 12332  df-substr 12335  df-wwlk 30451  df-wwlkn 30452

This theorem is referenced by:  wwlkextprop  30701