Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  wunr1om Structured version   Unicode version

Theorem wunr1om 9109
 Description: A weak universe is infinite, because it contains all the finite levels of the cumulative hierarchy. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Jan-2017.)
Hypothesis
Ref Expression
wun0.1 WUni
Assertion
Ref Expression
wunr1om

Proof of Theorem wunr1om
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 r1fnon 8197 . . . . . 6
2 fnfun 5684 . . . . . 6
31, 2ax-mp 5 . . . . 5
4 fvelima 5926 . . . . 5
53, 4mpan 670 . . . 4
6 fveq2 5872 . . . . . . . 8
76eleq1d 2536 . . . . . . 7
8 fveq2 5872 . . . . . . . 8
98eleq1d 2536 . . . . . . 7
10 fveq2 5872 . . . . . . . 8
1110eleq1d 2536 . . . . . . 7
12 r10 8198 . . . . . . . 8
13 wun0.1 . . . . . . . . 9 WUni
1413wun0 9108 . . . . . . . 8
1512, 14syl5eqel 2559 . . . . . . 7
1613adantr 465 . . . . . . . . . 10 WUni
17 simpr 461 . . . . . . . . . 10
1816, 17wunpw 9097 . . . . . . . . 9
19 nnon 6701 . . . . . . . . . . 11
20 r1suc 8200 . . . . . . . . . . 11
2119, 20syl 16 . . . . . . . . . 10
2221eleq1d 2536 . . . . . . . . 9
2318, 22syl5ibr 221 . . . . . . . 8
2423expd 436 . . . . . . 7
257, 9, 11, 15, 24finds2 6723 . . . . . 6
26 eleq1 2539 . . . . . . 7
2726imbi2d 316 . . . . . 6
2825, 27syl5ibcom 220 . . . . 5
2928rexlimiv 2953 . . . 4
305, 29syl 16 . . 3
3130com12 31 . 2
3231ssrdv 3515 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wa 369   wceq 1379   wcel 1767  wrex 2818   wss 3481  c0 3790  cpw 4016  con0 4884   csuc 4886  cima 5008   wfun 5588   wfn 5589  cfv 5594  com 6695  cr1 8192  WUnicwun 9090 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4564  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-tp 4038  df-op 4040  df-uni 4252  df-iun 4333  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-tr 4547  df-eprel 4797  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-fr 4844  df-we 4846  df-ord 4887  df-on 4888  df-lim 4889  df-suc 4890  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-om 6696  df-recs 7054  df-rdg 7088  df-r1 8194  df-wun 9092 This theorem is referenced by:  wunom  9110
 Copyright terms: Public domain W3C validator