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Theorem wunnat 14865
Description: A weak universe is closed under the natural transformation operation. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
wunnat.1  |-  ( ph  ->  U  e. WUni )
wunnat.2  |-  ( ph  ->  C  e.  U )
wunnat.3  |-  ( ph  ->  D  e.  U )
Assertion
Ref Expression
wunnat  |-  ( ph  ->  ( C Nat  D )  e.  U )

Proof of Theorem wunnat
Dummy variables  f 
a  g  r  s  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 wunnat.1 . 2  |-  ( ph  ->  U  e. WUni )
2 wunnat.2 . . . 4  |-  ( ph  ->  C  e.  U )
3 wunnat.3 . . . 4  |-  ( ph  ->  D  e.  U )
41, 2, 3wunfunc 14808 . . 3  |-  ( ph  ->  ( C  Func  D
)  e.  U )
51, 4, 4wunxp 8890 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( C  Func  D )  X.  ( C 
Func  D ) )  e.  U )
6 df-hom 14261 . . . . . . 7  |-  Hom  = Slot ; 1 4
76, 1, 3wunstr 14192 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( Hom  `  D
)  e.  U )
81, 7wunrn 8895 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ran  ( Hom  `  D
)  e.  U )
91, 8wununi 8872 . . . 4  |-  ( ph  ->  U. ran  ( Hom  `  D )  e.  U
)
10 df-base 14178 . . . . 5  |-  Base  = Slot  1
1110, 1, 2wunstr 14192 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( Base `  C
)  e.  U )
121, 9, 11wunmap 8892 . . 3  |-  ( ph  ->  ( U. ran  ( Hom  `  D )  ^m  ( Base `  C )
)  e.  U )
131, 12wunpw 8873 . 2  |-  ( ph  ->  ~P ( U. ran  ( Hom  `  D )  ^m  ( Base `  C
) )  e.  U
)
14 fvex 5700 . . . . . 6  |-  ( 1st `  f )  e.  _V
15 fvex 5700 . . . . . . . . 9  |-  ( 1st `  g )  e.  _V
16 ssrab2 3436 . . . . . . . . . . . . 13  |-  { a  e.  X_ x  e.  (
Base `  C )
( ( r `  x ) ( Hom  `  D ) ( s `
 x ) )  |  A. x  e.  ( Base `  C
) A. y  e.  ( Base `  C
) A. z  e.  ( x ( Hom  `  C ) y ) ( ( a `  y ) ( <.
( r `  x
) ,  ( r `
 y ) >.
(comp `  D )
( s `  y
) ) ( ( x ( 2nd `  f
) y ) `  z ) )  =  ( ( ( x ( 2nd `  g
) y ) `  z ) ( <.
( r `  x
) ,  ( s `
 x ) >.
(comp `  D )
( s `  y
) ) ( a `
 x ) ) }  C_  X_ x  e.  ( Base `  C
) ( ( r `
 x ) ( Hom  `  D )
( s `  x
) )
17 ovssunirn 6116 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( r `  x ) ( Hom  `  D
) ( s `  x ) )  C_  U.
ran  ( Hom  `  D
)
1817rgenw 2782 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  A. x  e.  ( Base `  C
) ( ( r `
 x ) ( Hom  `  D )
( s `  x
) )  C_  U. ran  ( Hom  `  D )
19 ss2ixp 7275 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A. x  e.  ( Base `  C ) ( ( r `  x ) ( Hom  `  D
) ( s `  x ) )  C_  U.
ran  ( Hom  `  D
)  ->  X_ x  e.  ( Base `  C
) ( ( r `
 x ) ( Hom  `  D )
( s `  x
) )  C_  X_ x  e.  ( Base `  C
) U. ran  ( Hom  `  D ) )
2018, 19ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  X_ x  e.  ( Base `  C
) ( ( r `
 x ) ( Hom  `  D )
( s `  x
) )  C_  X_ x  e.  ( Base `  C
) U. ran  ( Hom  `  D )
21 fvex 5700 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( Base `  C )  e.  _V
22 fvex 5700 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( Hom  `  D )  e.  _V
2322rnex 6511 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ran  ( Hom  `  D )  e. 
_V
2423uniex 6375 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  U. ran  ( Hom  `  D )  e.  _V
2521, 24ixpconst 7272 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  X_ x  e.  ( Base `  C
) U. ran  ( Hom  `  D )  =  ( U. ran  ( Hom  `  D )  ^m  ( Base `  C )
)
2620, 25sseqtri 3387 . . . . . . . . . . . . 13  |-  X_ x  e.  ( Base `  C
) ( ( r `
 x ) ( Hom  `  D )
( s `  x
) )  C_  ( U. ran  ( Hom  `  D
)  ^m  ( Base `  C ) )
2716, 26sstri 3364 . . . . . . . . . . . 12  |-  { a  e.  X_ x  e.  (
Base `  C )
( ( r `  x ) ( Hom  `  D ) ( s `
 x ) )  |  A. x  e.  ( Base `  C
) A. y  e.  ( Base `  C
) A. z  e.  ( x ( Hom  `  C ) y ) ( ( a `  y ) ( <.
( r `  x
) ,  ( r `
 y ) >.
(comp `  D )
( s `  y
) ) ( ( x ( 2nd `  f
) y ) `  z ) )  =  ( ( ( x ( 2nd `  g
) y ) `  z ) ( <.
( r `  x
) ,  ( s `
 x ) >.
(comp `  D )
( s `  y
) ) ( a `
 x ) ) }  C_  ( U. ran  ( Hom  `  D
)  ^m  ( Base `  C ) )
28 ovex 6115 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( U. ran  ( Hom  `  D
)  ^m  ( Base `  C ) )  e. 
_V
2928elpw2 4455 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( { a  e.  X_ x  e.  ( Base `  C
) ( ( r `
 x ) ( Hom  `  D )
( s `  x
) )  |  A. x  e.  ( Base `  C ) A. y  e.  ( Base `  C
) A. z  e.  ( x ( Hom  `  C ) y ) ( ( a `  y ) ( <.
( r `  x
) ,  ( r `
 y ) >.
(comp `  D )
( s `  y
) ) ( ( x ( 2nd `  f
) y ) `  z ) )  =  ( ( ( x ( 2nd `  g
) y ) `  z ) ( <.
( r `  x
) ,  ( s `
 x ) >.
(comp `  D )
( s `  y
) ) ( a `
 x ) ) }  e.  ~P ( U. ran  ( Hom  `  D
)  ^m  ( Base `  C ) )  <->  { a  e.  X_ x  e.  (
Base `  C )
( ( r `  x ) ( Hom  `  D ) ( s `
 x ) )  |  A. x  e.  ( Base `  C
) A. y  e.  ( Base `  C
) A. z  e.  ( x ( Hom  `  C ) y ) ( ( a `  y ) ( <.
( r `  x
) ,  ( r `
 y ) >.
(comp `  D )
( s `  y
) ) ( ( x ( 2nd `  f
) y ) `  z ) )  =  ( ( ( x ( 2nd `  g
) y ) `  z ) ( <.
( r `  x
) ,  ( s `
 x ) >.
(comp `  D )
( s `  y
) ) ( a `
 x ) ) }  C_  ( U. ran  ( Hom  `  D
)  ^m  ( Base `  C ) ) )
3027, 29mpbir 209 . . . . . . . . . . 11  |-  { a  e.  X_ x  e.  (
Base `  C )
( ( r `  x ) ( Hom  `  D ) ( s `
 x ) )  |  A. x  e.  ( Base `  C
) A. y  e.  ( Base `  C
) A. z  e.  ( x ( Hom  `  C ) y ) ( ( a `  y ) ( <.
( r `  x
) ,  ( r `
 y ) >.
(comp `  D )
( s `  y
) ) ( ( x ( 2nd `  f
) y ) `  z ) )  =  ( ( ( x ( 2nd `  g
) y ) `  z ) ( <.
( r `  x
) ,  ( s `
 x ) >.
(comp `  D )
( s `  y
) ) ( a `
 x ) ) }  e.  ~P ( U. ran  ( Hom  `  D
)  ^m  ( Base `  C ) )
3130sbcth 3200 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 1st `  g )  e.  _V  ->  [. ( 1st `  g )  / 
s ]. { a  e.  X_ x  e.  ( Base `  C ) ( ( r `  x
) ( Hom  `  D
) ( s `  x ) )  | 
A. x  e.  (
Base `  C ) A. y  e.  ( Base `  C ) A. z  e.  ( x
( Hom  `  C ) y ) ( ( a `  y ) ( <. ( r `  x ) ,  ( r `  y )
>. (comp `  D )
( s `  y
) ) ( ( x ( 2nd `  f
) y ) `  z ) )  =  ( ( ( x ( 2nd `  g
) y ) `  z ) ( <.
( r `  x
) ,  ( s `
 x ) >.
(comp `  D )
( s `  y
) ) ( a `
 x ) ) }  e.  ~P ( U. ran  ( Hom  `  D
)  ^m  ( Base `  C ) ) )
32 sbcel1g 3680 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 1st `  g )  e.  _V  ->  ( [. ( 1st `  g
)  /  s ]. { a  e.  X_ x  e.  ( Base `  C ) ( ( r `  x ) ( Hom  `  D
) ( s `  x ) )  | 
A. x  e.  (
Base `  C ) A. y  e.  ( Base `  C ) A. z  e.  ( x
( Hom  `  C ) y ) ( ( a `  y ) ( <. ( r `  x ) ,  ( r `  y )
>. (comp `  D )
( s `  y
) ) ( ( x ( 2nd `  f
) y ) `  z ) )  =  ( ( ( x ( 2nd `  g
) y ) `  z ) ( <.
( r `  x
) ,  ( s `
 x ) >.
(comp `  D )
( s `  y
) ) ( a `
 x ) ) }  e.  ~P ( U. ran  ( Hom  `  D
)  ^m  ( Base `  C ) )  <->  [_ ( 1st `  g )  /  s ]_ { a  e.  X_ x  e.  ( Base `  C ) ( ( r `  x ) ( Hom  `  D
) ( s `  x ) )  | 
A. x  e.  (
Base `  C ) A. y  e.  ( Base `  C ) A. z  e.  ( x
( Hom  `  C ) y ) ( ( a `  y ) ( <. ( r `  x ) ,  ( r `  y )
>. (comp `  D )
( s `  y
) ) ( ( x ( 2nd `  f
) y ) `  z ) )  =  ( ( ( x ( 2nd `  g
) y ) `  z ) ( <.
( r `  x
) ,  ( s `
 x ) >.
(comp `  D )
( s `  y
) ) ( a `
 x ) ) }  e.  ~P ( U. ran  ( Hom  `  D
)  ^m  ( Base `  C ) ) ) )
3331, 32mpbid 210 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 1st `  g )  e.  _V  ->  [_ ( 1st `  g )  / 
s ]_ { a  e.  X_ x  e.  ( Base `  C ) ( ( r `  x
) ( Hom  `  D
) ( s `  x ) )  | 
A. x  e.  (
Base `  C ) A. y  e.  ( Base `  C ) A. z  e.  ( x
( Hom  `  C ) y ) ( ( a `  y ) ( <. ( r `  x ) ,  ( r `  y )
>. (comp `  D )
( s `  y
) ) ( ( x ( 2nd `  f
) y ) `  z ) )  =  ( ( ( x ( 2nd `  g
) y ) `  z ) ( <.
( r `  x
) ,  ( s `
 x ) >.
(comp `  D )
( s `  y
) ) ( a `
 x ) ) }  e.  ~P ( U. ran  ( Hom  `  D
)  ^m  ( Base `  C ) ) )
3415, 33ax-mp 5 . . . . . . . 8  |-  [_ ( 1st `  g )  / 
s ]_ { a  e.  X_ x  e.  ( Base `  C ) ( ( r `  x
) ( Hom  `  D
) ( s `  x ) )  | 
A. x  e.  (
Base `  C ) A. y  e.  ( Base `  C ) A. z  e.  ( x
( Hom  `  C ) y ) ( ( a `  y ) ( <. ( r `  x ) ,  ( r `  y )
>. (comp `  D )
( s `  y
) ) ( ( x ( 2nd `  f
) y ) `  z ) )  =  ( ( ( x ( 2nd `  g
) y ) `  z ) ( <.
( r `  x
) ,  ( s `
 x ) >.
(comp `  D )
( s `  y
) ) ( a `
 x ) ) }  e.  ~P ( U. ran  ( Hom  `  D
)  ^m  ( Base `  C ) )
3534sbcth 3200 . . . . . . 7  |-  ( ( 1st `  f )  e.  _V  ->  [. ( 1st `  f )  / 
r ]. [_ ( 1st `  g )  /  s ]_ { a  e.  X_ x  e.  ( Base `  C ) ( ( r `  x ) ( Hom  `  D
) ( s `  x ) )  | 
A. x  e.  (
Base `  C ) A. y  e.  ( Base `  C ) A. z  e.  ( x
( Hom  `  C ) y ) ( ( a `  y ) ( <. ( r `  x ) ,  ( r `  y )
>. (comp `  D )
( s `  y
) ) ( ( x ( 2nd `  f
) y ) `  z ) )  =  ( ( ( x ( 2nd `  g
) y ) `  z ) ( <.
( r `  x
) ,  ( s `
 x ) >.
(comp `  D )
( s `  y
) ) ( a `
 x ) ) }  e.  ~P ( U. ran  ( Hom  `  D
)  ^m  ( Base `  C ) ) )
36 sbcel1g 3680 . . . . . . 7  |-  ( ( 1st `  f )  e.  _V  ->  ( [. ( 1st `  f
)  /  r ]. [_ ( 1st `  g
)  /  s ]_ { a  e.  X_ x  e.  ( Base `  C ) ( ( r `  x ) ( Hom  `  D
) ( s `  x ) )  | 
A. x  e.  (
Base `  C ) A. y  e.  ( Base `  C ) A. z  e.  ( x
( Hom  `  C ) y ) ( ( a `  y ) ( <. ( r `  x ) ,  ( r `  y )
>. (comp `  D )
( s `  y
) ) ( ( x ( 2nd `  f
) y ) `  z ) )  =  ( ( ( x ( 2nd `  g
) y ) `  z ) ( <.
( r `  x
) ,  ( s `
 x ) >.
(comp `  D )
( s `  y
) ) ( a `
 x ) ) }  e.  ~P ( U. ran  ( Hom  `  D
)  ^m  ( Base `  C ) )  <->  [_ ( 1st `  f )  /  r ]_ [_ ( 1st `  g
)  /  s ]_ { a  e.  X_ x  e.  ( Base `  C ) ( ( r `  x ) ( Hom  `  D
) ( s `  x ) )  | 
A. x  e.  (
Base `  C ) A. y  e.  ( Base `  C ) A. z  e.  ( x
( Hom  `  C ) y ) ( ( a `  y ) ( <. ( r `  x ) ,  ( r `  y )
>. (comp `  D )
( s `  y
) ) ( ( x ( 2nd `  f
) y ) `  z ) )  =  ( ( ( x ( 2nd `  g
) y ) `  z ) ( <.
( r `  x
) ,  ( s `
 x ) >.
(comp `  D )
( s `  y
) ) ( a `
 x ) ) }  e.  ~P ( U. ran  ( Hom  `  D
)  ^m  ( Base `  C ) ) ) )
3735, 36mpbid 210 . . . . . 6  |-  ( ( 1st `  f )  e.  _V  ->  [_ ( 1st `  f )  / 
r ]_ [_ ( 1st `  g )  /  s ]_ { a  e.  X_ x  e.  ( Base `  C ) ( ( r `  x ) ( Hom  `  D
) ( s `  x ) )  | 
A. x  e.  (
Base `  C ) A. y  e.  ( Base `  C ) A. z  e.  ( x
( Hom  `  C ) y ) ( ( a `  y ) ( <. ( r `  x ) ,  ( r `  y )
>. (comp `  D )
( s `  y
) ) ( ( x ( 2nd `  f
) y ) `  z ) )  =  ( ( ( x ( 2nd `  g
) y ) `  z ) ( <.
( r `  x
) ,  ( s `
 x ) >.
(comp `  D )
( s `  y
) ) ( a `
 x ) ) }  e.  ~P ( U. ran  ( Hom  `  D
)  ^m  ( Base `  C ) ) )
3814, 37ax-mp 5 . . . . 5  |-  [_ ( 1st `  f )  / 
r ]_ [_ ( 1st `  g )  /  s ]_ { a  e.  X_ x  e.  ( Base `  C ) ( ( r `  x ) ( Hom  `  D
) ( s `  x ) )  | 
A. x  e.  (
Base `  C ) A. y  e.  ( Base `  C ) A. z  e.  ( x
( Hom  `  C ) y ) ( ( a `  y ) ( <. ( r `  x ) ,  ( r `  y )
>. (comp `  D )
( s `  y
) ) ( ( x ( 2nd `  f
) y ) `  z ) )  =  ( ( ( x ( 2nd `  g
) y ) `  z ) ( <.
( r `  x
) ,  ( s `
 x ) >.
(comp `  D )
( s `  y
) ) ( a `
 x ) ) }  e.  ~P ( U. ran  ( Hom  `  D
)  ^m  ( Base `  C ) )
3938rgen2w 2783 . . . 4  |-  A. f  e.  ( C  Func  D
) A. g  e.  ( C  Func  D
) [_ ( 1st `  f
)  /  r ]_ [_ ( 1st `  g
)  /  s ]_ { a  e.  X_ x  e.  ( Base `  C ) ( ( r `  x ) ( Hom  `  D
) ( s `  x ) )  | 
A. x  e.  (
Base `  C ) A. y  e.  ( Base `  C ) A. z  e.  ( x
( Hom  `  C ) y ) ( ( a `  y ) ( <. ( r `  x ) ,  ( r `  y )
>. (comp `  D )
( s `  y
) ) ( ( x ( 2nd `  f
) y ) `  z ) )  =  ( ( ( x ( 2nd `  g
) y ) `  z ) ( <.
( r `  x
) ,  ( s `
 x ) >.
(comp `  D )
( s `  y
) ) ( a `
 x ) ) }  e.  ~P ( U. ran  ( Hom  `  D
)  ^m  ( Base `  C ) )
40 eqid 2442 . . . . . 6  |-  ( C Nat 
D )  =  ( C Nat  D )
41 eqid 2442 . . . . . 6  |-  ( Base `  C )  =  (
Base `  C )
42 eqid 2442 . . . . . 6  |-  ( Hom  `  C )  =  ( Hom  `  C )
43 eqid 2442 . . . . . 6  |-  ( Hom  `  D )  =  ( Hom  `  D )
44 eqid 2442 . . . . . 6  |-  (comp `  D )  =  (comp `  D )
4540, 41, 42, 43, 44natfval 14855 . . . . 5  |-  ( C Nat 
D )  =  ( f  e.  ( C 
Func  D ) ,  g  e.  ( C  Func  D )  |->  [_ ( 1st `  f
)  /  r ]_ [_ ( 1st `  g
)  /  s ]_ { a  e.  X_ x  e.  ( Base `  C ) ( ( r `  x ) ( Hom  `  D
) ( s `  x ) )  | 
A. x  e.  (
Base `  C ) A. y  e.  ( Base `  C ) A. z  e.  ( x
( Hom  `  C ) y ) ( ( a `  y ) ( <. ( r `  x ) ,  ( r `  y )
>. (comp `  D )
( s `  y
) ) ( ( x ( 2nd `  f
) y ) `  z ) )  =  ( ( ( x ( 2nd `  g
) y ) `  z ) ( <.
( r `  x
) ,  ( s `
 x ) >.
(comp `  D )
( s `  y
) ) ( a `
 x ) ) } )
4645fmpt2 6640 . . . 4  |-  ( A. f  e.  ( C  Func  D ) A. g  e.  ( C  Func  D
) [_ ( 1st `  f
)  /  r ]_ [_ ( 1st `  g
)  /  s ]_ { a  e.  X_ x  e.  ( Base `  C ) ( ( r `  x ) ( Hom  `  D
) ( s `  x ) )  | 
A. x  e.  (
Base `  C ) A. y  e.  ( Base `  C ) A. z  e.  ( x
( Hom  `  C ) y ) ( ( a `  y ) ( <. ( r `  x ) ,  ( r `  y )
>. (comp `  D )
( s `  y
) ) ( ( x ( 2nd `  f
) y ) `  z ) )  =  ( ( ( x ( 2nd `  g
) y ) `  z ) ( <.
( r `  x
) ,  ( s `
 x ) >.
(comp `  D )
( s `  y
) ) ( a `
 x ) ) }  e.  ~P ( U. ran  ( Hom  `  D
)  ^m  ( Base `  C ) )  <->  ( C Nat  D ) : ( ( C  Func  D )  X.  ( C  Func  D
) ) --> ~P ( U. ran  ( Hom  `  D
)  ^m  ( Base `  C ) ) )
4739, 46mpbi 208 . . 3  |-  ( C Nat 
D ) : ( ( C  Func  D
)  X.  ( C 
Func  D ) ) --> ~P ( U. ran  ( Hom  `  D )  ^m  ( Base `  C )
)
4847a1i 11 . 2  |-  ( ph  ->  ( C Nat  D ) : ( ( C 
Func  D )  X.  ( C  Func  D ) ) --> ~P ( U. ran  ( Hom  `  D )  ^m  ( Base `  C
) ) )
491, 5, 13, 48wunf 8893 1  |-  ( ph  ->  ( C Nat  D )  e.  U )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1369    e. wcel 1756   A.wral 2714   {crab 2718   _Vcvv 2971   [.wsbc 3185   [_csb 3287    C_ wss 3327   ~Pcpw 3859   <.cop 3882   U.cuni 4090    X. cxp 4837   ran crn 4840   -->wf 5413   ` cfv 5417  (class class class)co 6090   1stc1st 6574   2ndc2nd 6575    ^m cmap 7213   X_cixp 7262  WUnicwun 8866   1c1 9282   4c4 10372  ;cdc 10754   Basecbs 14173   Hom chom 14248  compcco 14249    Func cfunc 14763   Nat cnat 14850
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4402  ax-sep 4412  ax-nul 4420  ax-pow 4469  ax-pr 4530  ax-un 6371
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1372  df-fal 1375  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2567  df-ne 2607  df-ral 2719  df-rex 2720  df-reu 2721  df-rab 2723  df-v 2973  df-sbc 3186  df-csb 3288  df-dif 3330  df-un 3332  df-in 3334  df-ss 3341  df-nul 3637  df-if 3791  df-pw 3861  df-sn 3877  df-pr 3879  df-op 3883  df-uni 4091  df-iun 4172  df-br 4292  df-opab 4350  df-mpt 4351  df-tr 4385  df-id 4635  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-iota 5380  df-fun 5419  df-fn 5420  df-f 5421  df-f1 5422  df-fo 5423  df-f1o 5424  df-fv 5425  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-1st 6576  df-2nd 6577  df-map 7215  df-pm 7216  df-ixp 7263  df-wun 8868  df-slot 14177  df-base 14178  df-hom 14261  df-func 14767  df-nat 14852
This theorem is referenced by:  catcfuccl  14976
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