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Theorem wunnat 15362
Description: A weak universe is closed under the natural transformation operation. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
wunnat.1  |-  ( ph  ->  U  e. WUni )
wunnat.2  |-  ( ph  ->  C  e.  U )
wunnat.3  |-  ( ph  ->  D  e.  U )
Assertion
Ref Expression
wunnat  |-  ( ph  ->  ( C Nat  D )  e.  U )

Proof of Theorem wunnat
Dummy variables  f 
a  g  r  s  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 wunnat.1 . 2  |-  ( ph  ->  U  e. WUni )
2 wunnat.2 . . . 4  |-  ( ph  ->  C  e.  U )
3 wunnat.3 . . . 4  |-  ( ph  ->  D  e.  U )
41, 2, 3wunfunc 15305 . . 3  |-  ( ph  ->  ( C  Func  D
)  e.  U )
51, 4, 4wunxp 9013 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( C  Func  D )  X.  ( C 
Func  D ) )  e.  U )
6 df-hom 14726 . . . . . . 7  |-  Hom  = Slot ; 1 4
76, 1, 3wunstr 14653 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( Hom  `  D
)  e.  U )
81, 7wunrn 9018 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ran  ( Hom  `  D
)  e.  U )
91, 8wununi 8995 . . . 4  |-  ( ph  ->  U. ran  ( Hom  `  D )  e.  U
)
10 df-base 14639 . . . . 5  |-  Base  = Slot  1
1110, 1, 2wunstr 14653 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( Base `  C
)  e.  U )
121, 9, 11wunmap 9015 . . 3  |-  ( ph  ->  ( U. ran  ( Hom  `  D )  ^m  ( Base `  C )
)  e.  U )
131, 12wunpw 8996 . 2  |-  ( ph  ->  ~P ( U. ran  ( Hom  `  D )  ^m  ( Base `  C
) )  e.  U
)
14 fvex 5784 . . . . . 6  |-  ( 1st `  f )  e.  _V
15 fvex 5784 . . . . . . . . 9  |-  ( 1st `  g )  e.  _V
16 ssrab2 3499 . . . . . . . . . . . . 13  |-  { a  e.  X_ x  e.  (
Base `  C )
( ( r `  x ) ( Hom  `  D ) ( s `
 x ) )  |  A. x  e.  ( Base `  C
) A. y  e.  ( Base `  C
) A. z  e.  ( x ( Hom  `  C ) y ) ( ( a `  y ) ( <.
( r `  x
) ,  ( r `
 y ) >.
(comp `  D )
( s `  y
) ) ( ( x ( 2nd `  f
) y ) `  z ) )  =  ( ( ( x ( 2nd `  g
) y ) `  z ) ( <.
( r `  x
) ,  ( s `
 x ) >.
(comp `  D )
( s `  y
) ) ( a `
 x ) ) }  C_  X_ x  e.  ( Base `  C
) ( ( r `
 x ) ( Hom  `  D )
( s `  x
) )
17 ovssunirn 6225 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( r `  x ) ( Hom  `  D
) ( s `  x ) )  C_  U.
ran  ( Hom  `  D
)
1817rgenw 2743 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  A. x  e.  ( Base `  C
) ( ( r `
 x ) ( Hom  `  D )
( s `  x
) )  C_  U. ran  ( Hom  `  D )
19 ss2ixp 7401 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A. x  e.  ( Base `  C ) ( ( r `  x ) ( Hom  `  D
) ( s `  x ) )  C_  U.
ran  ( Hom  `  D
)  ->  X_ x  e.  ( Base `  C
) ( ( r `
 x ) ( Hom  `  D )
( s `  x
) )  C_  X_ x  e.  ( Base `  C
) U. ran  ( Hom  `  D ) )
2018, 19ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  X_ x  e.  ( Base `  C
) ( ( r `
 x ) ( Hom  `  D )
( s `  x
) )  C_  X_ x  e.  ( Base `  C
) U. ran  ( Hom  `  D )
21 fvex 5784 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( Base `  C )  e.  _V
22 fvex 5784 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( Hom  `  D )  e.  _V
2322rnex 6633 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ran  ( Hom  `  D )  e. 
_V
2423uniex 6495 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  U. ran  ( Hom  `  D )  e.  _V
2521, 24ixpconst 7398 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  X_ x  e.  ( Base `  C
) U. ran  ( Hom  `  D )  =  ( U. ran  ( Hom  `  D )  ^m  ( Base `  C )
)
2620, 25sseqtri 3449 . . . . . . . . . . . . 13  |-  X_ x  e.  ( Base `  C
) ( ( r `
 x ) ( Hom  `  D )
( s `  x
) )  C_  ( U. ran  ( Hom  `  D
)  ^m  ( Base `  C ) )
2716, 26sstri 3426 . . . . . . . . . . . 12  |-  { a  e.  X_ x  e.  (
Base `  C )
( ( r `  x ) ( Hom  `  D ) ( s `
 x ) )  |  A. x  e.  ( Base `  C
) A. y  e.  ( Base `  C
) A. z  e.  ( x ( Hom  `  C ) y ) ( ( a `  y ) ( <.
( r `  x
) ,  ( r `
 y ) >.
(comp `  D )
( s `  y
) ) ( ( x ( 2nd `  f
) y ) `  z ) )  =  ( ( ( x ( 2nd `  g
) y ) `  z ) ( <.
( r `  x
) ,  ( s `
 x ) >.
(comp `  D )
( s `  y
) ) ( a `
 x ) ) }  C_  ( U. ran  ( Hom  `  D
)  ^m  ( Base `  C ) )
28 ovex 6224 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( U. ran  ( Hom  `  D
)  ^m  ( Base `  C ) )  e. 
_V
2928elpw2 4529 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( { a  e.  X_ x  e.  ( Base `  C
) ( ( r `
 x ) ( Hom  `  D )
( s `  x
) )  |  A. x  e.  ( Base `  C ) A. y  e.  ( Base `  C
) A. z  e.  ( x ( Hom  `  C ) y ) ( ( a `  y ) ( <.
( r `  x
) ,  ( r `
 y ) >.
(comp `  D )
( s `  y
) ) ( ( x ( 2nd `  f
) y ) `  z ) )  =  ( ( ( x ( 2nd `  g
) y ) `  z ) ( <.
( r `  x
) ,  ( s `
 x ) >.
(comp `  D )
( s `  y
) ) ( a `
 x ) ) }  e.  ~P ( U. ran  ( Hom  `  D
)  ^m  ( Base `  C ) )  <->  { a  e.  X_ x  e.  (
Base `  C )
( ( r `  x ) ( Hom  `  D ) ( s `
 x ) )  |  A. x  e.  ( Base `  C
) A. y  e.  ( Base `  C
) A. z  e.  ( x ( Hom  `  C ) y ) ( ( a `  y ) ( <.
( r `  x
) ,  ( r `
 y ) >.
(comp `  D )
( s `  y
) ) ( ( x ( 2nd `  f
) y ) `  z ) )  =  ( ( ( x ( 2nd `  g
) y ) `  z ) ( <.
( r `  x
) ,  ( s `
 x ) >.
(comp `  D )
( s `  y
) ) ( a `
 x ) ) }  C_  ( U. ran  ( Hom  `  D
)  ^m  ( Base `  C ) ) )
3027, 29mpbir 209 . . . . . . . . . . 11  |-  { a  e.  X_ x  e.  (
Base `  C )
( ( r `  x ) ( Hom  `  D ) ( s `
 x ) )  |  A. x  e.  ( Base `  C
) A. y  e.  ( Base `  C
) A. z  e.  ( x ( Hom  `  C ) y ) ( ( a `  y ) ( <.
( r `  x
) ,  ( r `
 y ) >.
(comp `  D )
( s `  y
) ) ( ( x ( 2nd `  f
) y ) `  z ) )  =  ( ( ( x ( 2nd `  g
) y ) `  z ) ( <.
( r `  x
) ,  ( s `
 x ) >.
(comp `  D )
( s `  y
) ) ( a `
 x ) ) }  e.  ~P ( U. ran  ( Hom  `  D
)  ^m  ( Base `  C ) )
3130sbcth 3267 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 1st `  g )  e.  _V  ->  [. ( 1st `  g )  / 
s ]. { a  e.  X_ x  e.  ( Base `  C ) ( ( r `  x
) ( Hom  `  D
) ( s `  x ) )  | 
A. x  e.  (
Base `  C ) A. y  e.  ( Base `  C ) A. z  e.  ( x
( Hom  `  C ) y ) ( ( a `  y ) ( <. ( r `  x ) ,  ( r `  y )
>. (comp `  D )
( s `  y
) ) ( ( x ( 2nd `  f
) y ) `  z ) )  =  ( ( ( x ( 2nd `  g
) y ) `  z ) ( <.
( r `  x
) ,  ( s `
 x ) >.
(comp `  D )
( s `  y
) ) ( a `
 x ) ) }  e.  ~P ( U. ran  ( Hom  `  D
)  ^m  ( Base `  C ) ) )
32 sbcel1g 3754 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 1st `  g )  e.  _V  ->  ( [. ( 1st `  g
)  /  s ]. { a  e.  X_ x  e.  ( Base `  C ) ( ( r `  x ) ( Hom  `  D
) ( s `  x ) )  | 
A. x  e.  (
Base `  C ) A. y  e.  ( Base `  C ) A. z  e.  ( x
( Hom  `  C ) y ) ( ( a `  y ) ( <. ( r `  x ) ,  ( r `  y )
>. (comp `  D )
( s `  y
) ) ( ( x ( 2nd `  f
) y ) `  z ) )  =  ( ( ( x ( 2nd `  g
) y ) `  z ) ( <.
( r `  x
) ,  ( s `
 x ) >.
(comp `  D )
( s `  y
) ) ( a `
 x ) ) }  e.  ~P ( U. ran  ( Hom  `  D
)  ^m  ( Base `  C ) )  <->  [_ ( 1st `  g )  /  s ]_ { a  e.  X_ x  e.  ( Base `  C ) ( ( r `  x ) ( Hom  `  D
) ( s `  x ) )  | 
A. x  e.  (
Base `  C ) A. y  e.  ( Base `  C ) A. z  e.  ( x
( Hom  `  C ) y ) ( ( a `  y ) ( <. ( r `  x ) ,  ( r `  y )
>. (comp `  D )
( s `  y
) ) ( ( x ( 2nd `  f
) y ) `  z ) )  =  ( ( ( x ( 2nd `  g
) y ) `  z ) ( <.
( r `  x
) ,  ( s `
 x ) >.
(comp `  D )
( s `  y
) ) ( a `
 x ) ) }  e.  ~P ( U. ran  ( Hom  `  D
)  ^m  ( Base `  C ) ) ) )
3331, 32mpbid 210 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 1st `  g )  e.  _V  ->  [_ ( 1st `  g )  / 
s ]_ { a  e.  X_ x  e.  ( Base `  C ) ( ( r `  x
) ( Hom  `  D
) ( s `  x ) )  | 
A. x  e.  (
Base `  C ) A. y  e.  ( Base `  C ) A. z  e.  ( x
( Hom  `  C ) y ) ( ( a `  y ) ( <. ( r `  x ) ,  ( r `  y )
>. (comp `  D )
( s `  y
) ) ( ( x ( 2nd `  f
) y ) `  z ) )  =  ( ( ( x ( 2nd `  g
) y ) `  z ) ( <.
( r `  x
) ,  ( s `
 x ) >.
(comp `  D )
( s `  y
) ) ( a `
 x ) ) }  e.  ~P ( U. ran  ( Hom  `  D
)  ^m  ( Base `  C ) ) )
3415, 33ax-mp 5 . . . . . . . 8  |-  [_ ( 1st `  g )  / 
s ]_ { a  e.  X_ x  e.  ( Base `  C ) ( ( r `  x
) ( Hom  `  D
) ( s `  x ) )  | 
A. x  e.  (
Base `  C ) A. y  e.  ( Base `  C ) A. z  e.  ( x
( Hom  `  C ) y ) ( ( a `  y ) ( <. ( r `  x ) ,  ( r `  y )
>. (comp `  D )
( s `  y
) ) ( ( x ( 2nd `  f
) y ) `  z ) )  =  ( ( ( x ( 2nd `  g
) y ) `  z ) ( <.
( r `  x
) ,  ( s `
 x ) >.
(comp `  D )
( s `  y
) ) ( a `
 x ) ) }  e.  ~P ( U. ran  ( Hom  `  D
)  ^m  ( Base `  C ) )
3534sbcth 3267 . . . . . . 7  |-  ( ( 1st `  f )  e.  _V  ->  [. ( 1st `  f )  / 
r ]. [_ ( 1st `  g )  /  s ]_ { a  e.  X_ x  e.  ( Base `  C ) ( ( r `  x ) ( Hom  `  D
) ( s `  x ) )  | 
A. x  e.  (
Base `  C ) A. y  e.  ( Base `  C ) A. z  e.  ( x
( Hom  `  C ) y ) ( ( a `  y ) ( <. ( r `  x ) ,  ( r `  y )
>. (comp `  D )
( s `  y
) ) ( ( x ( 2nd `  f
) y ) `  z ) )  =  ( ( ( x ( 2nd `  g
) y ) `  z ) ( <.
( r `  x
) ,  ( s `
 x ) >.
(comp `  D )
( s `  y
) ) ( a `
 x ) ) }  e.  ~P ( U. ran  ( Hom  `  D
)  ^m  ( Base `  C ) ) )
36 sbcel1g 3754 . . . . . . 7  |-  ( ( 1st `  f )  e.  _V  ->  ( [. ( 1st `  f
)  /  r ]. [_ ( 1st `  g
)  /  s ]_ { a  e.  X_ x  e.  ( Base `  C ) ( ( r `  x ) ( Hom  `  D
) ( s `  x ) )  | 
A. x  e.  (
Base `  C ) A. y  e.  ( Base `  C ) A. z  e.  ( x
( Hom  `  C ) y ) ( ( a `  y ) ( <. ( r `  x ) ,  ( r `  y )
>. (comp `  D )
( s `  y
) ) ( ( x ( 2nd `  f
) y ) `  z ) )  =  ( ( ( x ( 2nd `  g
) y ) `  z ) ( <.
( r `  x
) ,  ( s `
 x ) >.
(comp `  D )
( s `  y
) ) ( a `
 x ) ) }  e.  ~P ( U. ran  ( Hom  `  D
)  ^m  ( Base `  C ) )  <->  [_ ( 1st `  f )  /  r ]_ [_ ( 1st `  g
)  /  s ]_ { a  e.  X_ x  e.  ( Base `  C ) ( ( r `  x ) ( Hom  `  D
) ( s `  x ) )  | 
A. x  e.  (
Base `  C ) A. y  e.  ( Base `  C ) A. z  e.  ( x
( Hom  `  C ) y ) ( ( a `  y ) ( <. ( r `  x ) ,  ( r `  y )
>. (comp `  D )
( s `  y
) ) ( ( x ( 2nd `  f
) y ) `  z ) )  =  ( ( ( x ( 2nd `  g
) y ) `  z ) ( <.
( r `  x
) ,  ( s `
 x ) >.
(comp `  D )
( s `  y
) ) ( a `
 x ) ) }  e.  ~P ( U. ran  ( Hom  `  D
)  ^m  ( Base `  C ) ) ) )
3735, 36mpbid 210 . . . . . 6  |-  ( ( 1st `  f )  e.  _V  ->  [_ ( 1st `  f )  / 
r ]_ [_ ( 1st `  g )  /  s ]_ { a  e.  X_ x  e.  ( Base `  C ) ( ( r `  x ) ( Hom  `  D
) ( s `  x ) )  | 
A. x  e.  (
Base `  C ) A. y  e.  ( Base `  C ) A. z  e.  ( x
( Hom  `  C ) y ) ( ( a `  y ) ( <. ( r `  x ) ,  ( r `  y )
>. (comp `  D )
( s `  y
) ) ( ( x ( 2nd `  f
) y ) `  z ) )  =  ( ( ( x ( 2nd `  g
) y ) `  z ) ( <.
( r `  x
) ,  ( s `
 x ) >.
(comp `  D )
( s `  y
) ) ( a `
 x ) ) }  e.  ~P ( U. ran  ( Hom  `  D
)  ^m  ( Base `  C ) ) )
3814, 37ax-mp 5 . . . . 5  |-  [_ ( 1st `  f )  / 
r ]_ [_ ( 1st `  g )  /  s ]_ { a  e.  X_ x  e.  ( Base `  C ) ( ( r `  x ) ( Hom  `  D
) ( s `  x ) )  | 
A. x  e.  (
Base `  C ) A. y  e.  ( Base `  C ) A. z  e.  ( x
( Hom  `  C ) y ) ( ( a `  y ) ( <. ( r `  x ) ,  ( r `  y )
>. (comp `  D )
( s `  y
) ) ( ( x ( 2nd `  f
) y ) `  z ) )  =  ( ( ( x ( 2nd `  g
) y ) `  z ) ( <.
( r `  x
) ,  ( s `
 x ) >.
(comp `  D )
( s `  y
) ) ( a `
 x ) ) }  e.  ~P ( U. ran  ( Hom  `  D
)  ^m  ( Base `  C ) )
3938rgen2w 2744 . . . 4  |-  A. f  e.  ( C  Func  D
) A. g  e.  ( C  Func  D
) [_ ( 1st `  f
)  /  r ]_ [_ ( 1st `  g
)  /  s ]_ { a  e.  X_ x  e.  ( Base `  C ) ( ( r `  x ) ( Hom  `  D
) ( s `  x ) )  | 
A. x  e.  (
Base `  C ) A. y  e.  ( Base `  C ) A. z  e.  ( x
( Hom  `  C ) y ) ( ( a `  y ) ( <. ( r `  x ) ,  ( r `  y )
>. (comp `  D )
( s `  y
) ) ( ( x ( 2nd `  f
) y ) `  z ) )  =  ( ( ( x ( 2nd `  g
) y ) `  z ) ( <.
( r `  x
) ,  ( s `
 x ) >.
(comp `  D )
( s `  y
) ) ( a `
 x ) ) }  e.  ~P ( U. ran  ( Hom  `  D
)  ^m  ( Base `  C ) )
40 eqid 2382 . . . . . 6  |-  ( C Nat 
D )  =  ( C Nat  D )
41 eqid 2382 . . . . . 6  |-  ( Base `  C )  =  (
Base `  C )
42 eqid 2382 . . . . . 6  |-  ( Hom  `  C )  =  ( Hom  `  C )
43 eqid 2382 . . . . . 6  |-  ( Hom  `  D )  =  ( Hom  `  D )
44 eqid 2382 . . . . . 6  |-  (comp `  D )  =  (comp `  D )
4540, 41, 42, 43, 44natfval 15352 . . . . 5  |-  ( C Nat 
D )  =  ( f  e.  ( C 
Func  D ) ,  g  e.  ( C  Func  D )  |->  [_ ( 1st `  f
)  /  r ]_ [_ ( 1st `  g
)  /  s ]_ { a  e.  X_ x  e.  ( Base `  C ) ( ( r `  x ) ( Hom  `  D
) ( s `  x ) )  | 
A. x  e.  (
Base `  C ) A. y  e.  ( Base `  C ) A. z  e.  ( x
( Hom  `  C ) y ) ( ( a `  y ) ( <. ( r `  x ) ,  ( r `  y )
>. (comp `  D )
( s `  y
) ) ( ( x ( 2nd `  f
) y ) `  z ) )  =  ( ( ( x ( 2nd `  g
) y ) `  z ) ( <.
( r `  x
) ,  ( s `
 x ) >.
(comp `  D )
( s `  y
) ) ( a `
 x ) ) } )
4645fmpt2 6766 . . . 4  |-  ( A. f  e.  ( C  Func  D ) A. g  e.  ( C  Func  D
) [_ ( 1st `  f
)  /  r ]_ [_ ( 1st `  g
)  /  s ]_ { a  e.  X_ x  e.  ( Base `  C ) ( ( r `  x ) ( Hom  `  D
) ( s `  x ) )  | 
A. x  e.  (
Base `  C ) A. y  e.  ( Base `  C ) A. z  e.  ( x
( Hom  `  C ) y ) ( ( a `  y ) ( <. ( r `  x ) ,  ( r `  y )
>. (comp `  D )
( s `  y
) ) ( ( x ( 2nd `  f
) y ) `  z ) )  =  ( ( ( x ( 2nd `  g
) y ) `  z ) ( <.
( r `  x
) ,  ( s `
 x ) >.
(comp `  D )
( s `  y
) ) ( a `
 x ) ) }  e.  ~P ( U. ran  ( Hom  `  D
)  ^m  ( Base `  C ) )  <->  ( C Nat  D ) : ( ( C  Func  D )  X.  ( C  Func  D
) ) --> ~P ( U. ran  ( Hom  `  D
)  ^m  ( Base `  C ) ) )
4739, 46mpbi 208 . . 3  |-  ( C Nat 
D ) : ( ( C  Func  D
)  X.  ( C 
Func  D ) ) --> ~P ( U. ran  ( Hom  `  D )  ^m  ( Base `  C )
)
4847a1i 11 . 2  |-  ( ph  ->  ( C Nat  D ) : ( ( C 
Func  D )  X.  ( C  Func  D ) ) --> ~P ( U. ran  ( Hom  `  D )  ^m  ( Base `  C
) ) )
491, 5, 13, 48wunf 9016 1  |-  ( ph  ->  ( C Nat  D )  e.  U )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1399    e. wcel 1826   A.wral 2732   {crab 2736   _Vcvv 3034   [.wsbc 3252   [_csb 3348    C_ wss 3389   ~Pcpw 3927   <.cop 3950   U.cuni 4163    X. cxp 4911   ran crn 4914   -->wf 5492   ` cfv 5496  (class class class)co 6196   1stc1st 6697   2ndc2nd 6698    ^m cmap 7338   X_cixp 7388  WUnicwun 8989   1c1 9404   4c4 10504  ;cdc 10895   Basecbs 14634   Hom chom 14713  compcco 14714    Func cfunc 15260   Nat cnat 15347
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1626  ax-4 1639  ax-5 1712  ax-6 1755  ax-7 1798  ax-8 1828  ax-9 1830  ax-10 1845  ax-11 1850  ax-12 1862  ax-13 2006  ax-ext 2360  ax-rep 4478  ax-sep 4488  ax-nul 4496  ax-pow 4543  ax-pr 4601  ax-un 6491
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3an 973  df-tru 1402  df-fal 1405  df-ex 1621  df-nf 1625  df-sb 1748  df-eu 2222  df-mo 2223  df-clab 2368  df-cleq 2374  df-clel 2377  df-nfc 2532  df-ne 2579  df-ral 2737  df-rex 2738  df-reu 2739  df-rab 2741  df-v 3036  df-sbc 3253  df-csb 3349  df-dif 3392  df-un 3394  df-in 3396  df-ss 3403  df-nul 3712  df-if 3858  df-pw 3929  df-sn 3945  df-pr 3947  df-op 3951  df-uni 4164  df-iun 4245  df-br 4368  df-opab 4426  df-mpt 4427  df-tr 4461  df-id 4709  df-xp 4919  df-rel 4920  df-cnv 4921  df-co 4922  df-dm 4923  df-rn 4924  df-res 4925  df-ima 4926  df-iota 5460  df-fun 5498  df-fn 5499  df-f 5500  df-f1 5501  df-fo 5502  df-f1o 5503  df-fv 5504  df-ov 6199  df-oprab 6200  df-mpt2 6201  df-1st 6699  df-2nd 6700  df-map 7340  df-pm 7341  df-ixp 7389  df-wun 8991  df-slot 14638  df-base 14639  df-hom 14726  df-func 15264  df-nat 15349
This theorem is referenced by:  catcfuccl  15505
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