MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  wunnat Structured version   Unicode version

Theorem wunnat 15199
Description: A weak universe is closed under the natural transformation operation. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
wunnat.1  |-  ( ph  ->  U  e. WUni )
wunnat.2  |-  ( ph  ->  C  e.  U )
wunnat.3  |-  ( ph  ->  D  e.  U )
Assertion
Ref Expression
wunnat  |-  ( ph  ->  ( C Nat  D )  e.  U )

Proof of Theorem wunnat
Dummy variables  f 
a  g  r  s  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 wunnat.1 . 2  |-  ( ph  ->  U  e. WUni )
2 wunnat.2 . . . 4  |-  ( ph  ->  C  e.  U )
3 wunnat.3 . . . 4  |-  ( ph  ->  D  e.  U )
41, 2, 3wunfunc 15142 . . 3  |-  ( ph  ->  ( C  Func  D
)  e.  U )
51, 4, 4wunxp 9114 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( C  Func  D )  X.  ( C 
Func  D ) )  e.  U )
6 df-hom 14595 . . . . . . 7  |-  Hom  = Slot ; 1 4
76, 1, 3wunstr 14525 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( Hom  `  D
)  e.  U )
81, 7wunrn 9119 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ran  ( Hom  `  D
)  e.  U )
91, 8wununi 9096 . . . 4  |-  ( ph  ->  U. ran  ( Hom  `  D )  e.  U
)
10 df-base 14511 . . . . 5  |-  Base  = Slot  1
1110, 1, 2wunstr 14525 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( Base `  C
)  e.  U )
121, 9, 11wunmap 9116 . . 3  |-  ( ph  ->  ( U. ran  ( Hom  `  D )  ^m  ( Base `  C )
)  e.  U )
131, 12wunpw 9097 . 2  |-  ( ph  ->  ~P ( U. ran  ( Hom  `  D )  ^m  ( Base `  C
) )  e.  U
)
14 fvex 5882 . . . . . 6  |-  ( 1st `  f )  e.  _V
15 fvex 5882 . . . . . . . . 9  |-  ( 1st `  g )  e.  _V
16 ssrab2 3590 . . . . . . . . . . . . 13  |-  { a  e.  X_ x  e.  (
Base `  C )
( ( r `  x ) ( Hom  `  D ) ( s `
 x ) )  |  A. x  e.  ( Base `  C
) A. y  e.  ( Base `  C
) A. z  e.  ( x ( Hom  `  C ) y ) ( ( a `  y ) ( <.
( r `  x
) ,  ( r `
 y ) >.
(comp `  D )
( s `  y
) ) ( ( x ( 2nd `  f
) y ) `  z ) )  =  ( ( ( x ( 2nd `  g
) y ) `  z ) ( <.
( r `  x
) ,  ( s `
 x ) >.
(comp `  D )
( s `  y
) ) ( a `
 x ) ) }  C_  X_ x  e.  ( Base `  C
) ( ( r `
 x ) ( Hom  `  D )
( s `  x
) )
17 ovssunirn 6321 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( r `  x ) ( Hom  `  D
) ( s `  x ) )  C_  U.
ran  ( Hom  `  D
)
1817rgenw 2828 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  A. x  e.  ( Base `  C
) ( ( r `
 x ) ( Hom  `  D )
( s `  x
) )  C_  U. ran  ( Hom  `  D )
19 ss2ixp 7494 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A. x  e.  ( Base `  C ) ( ( r `  x ) ( Hom  `  D
) ( s `  x ) )  C_  U.
ran  ( Hom  `  D
)  ->  X_ x  e.  ( Base `  C
) ( ( r `
 x ) ( Hom  `  D )
( s `  x
) )  C_  X_ x  e.  ( Base `  C
) U. ran  ( Hom  `  D ) )
2018, 19ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  X_ x  e.  ( Base `  C
) ( ( r `
 x ) ( Hom  `  D )
( s `  x
) )  C_  X_ x  e.  ( Base `  C
) U. ran  ( Hom  `  D )
21 fvex 5882 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( Base `  C )  e.  _V
22 fvex 5882 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( Hom  `  D )  e.  _V
2322rnex 6729 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ran  ( Hom  `  D )  e. 
_V
2423uniex 6591 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  U. ran  ( Hom  `  D )  e.  _V
2521, 24ixpconst 7491 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  X_ x  e.  ( Base `  C
) U. ran  ( Hom  `  D )  =  ( U. ran  ( Hom  `  D )  ^m  ( Base `  C )
)
2620, 25sseqtri 3541 . . . . . . . . . . . . 13  |-  X_ x  e.  ( Base `  C
) ( ( r `
 x ) ( Hom  `  D )
( s `  x
) )  C_  ( U. ran  ( Hom  `  D
)  ^m  ( Base `  C ) )
2716, 26sstri 3518 . . . . . . . . . . . 12  |-  { a  e.  X_ x  e.  (
Base `  C )
( ( r `  x ) ( Hom  `  D ) ( s `
 x ) )  |  A. x  e.  ( Base `  C
) A. y  e.  ( Base `  C
) A. z  e.  ( x ( Hom  `  C ) y ) ( ( a `  y ) ( <.
( r `  x
) ,  ( r `
 y ) >.
(comp `  D )
( s `  y
) ) ( ( x ( 2nd `  f
) y ) `  z ) )  =  ( ( ( x ( 2nd `  g
) y ) `  z ) ( <.
( r `  x
) ,  ( s `
 x ) >.
(comp `  D )
( s `  y
) ) ( a `
 x ) ) }  C_  ( U. ran  ( Hom  `  D
)  ^m  ( Base `  C ) )
28 ovex 6320 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( U. ran  ( Hom  `  D
)  ^m  ( Base `  C ) )  e. 
_V
2928elpw2 4617 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( { a  e.  X_ x  e.  ( Base `  C
) ( ( r `
 x ) ( Hom  `  D )
( s `  x
) )  |  A. x  e.  ( Base `  C ) A. y  e.  ( Base `  C
) A. z  e.  ( x ( Hom  `  C ) y ) ( ( a `  y ) ( <.
( r `  x
) ,  ( r `
 y ) >.
(comp `  D )
( s `  y
) ) ( ( x ( 2nd `  f
) y ) `  z ) )  =  ( ( ( x ( 2nd `  g
) y ) `  z ) ( <.
( r `  x
) ,  ( s `
 x ) >.
(comp `  D )
( s `  y
) ) ( a `
 x ) ) }  e.  ~P ( U. ran  ( Hom  `  D
)  ^m  ( Base `  C ) )  <->  { a  e.  X_ x  e.  (
Base `  C )
( ( r `  x ) ( Hom  `  D ) ( s `
 x ) )  |  A. x  e.  ( Base `  C
) A. y  e.  ( Base `  C
) A. z  e.  ( x ( Hom  `  C ) y ) ( ( a `  y ) ( <.
( r `  x
) ,  ( r `
 y ) >.
(comp `  D )
( s `  y
) ) ( ( x ( 2nd `  f
) y ) `  z ) )  =  ( ( ( x ( 2nd `  g
) y ) `  z ) ( <.
( r `  x
) ,  ( s `
 x ) >.
(comp `  D )
( s `  y
) ) ( a `
 x ) ) }  C_  ( U. ran  ( Hom  `  D
)  ^m  ( Base `  C ) ) )
3027, 29mpbir 209 . . . . . . . . . . 11  |-  { a  e.  X_ x  e.  (
Base `  C )
( ( r `  x ) ( Hom  `  D ) ( s `
 x ) )  |  A. x  e.  ( Base `  C
) A. y  e.  ( Base `  C
) A. z  e.  ( x ( Hom  `  C ) y ) ( ( a `  y ) ( <.
( r `  x
) ,  ( r `
 y ) >.
(comp `  D )
( s `  y
) ) ( ( x ( 2nd `  f
) y ) `  z ) )  =  ( ( ( x ( 2nd `  g
) y ) `  z ) ( <.
( r `  x
) ,  ( s `
 x ) >.
(comp `  D )
( s `  y
) ) ( a `
 x ) ) }  e.  ~P ( U. ran  ( Hom  `  D
)  ^m  ( Base `  C ) )
3130sbcth 3351 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 1st `  g )  e.  _V  ->  [. ( 1st `  g )  / 
s ]. { a  e.  X_ x  e.  ( Base `  C ) ( ( r `  x
) ( Hom  `  D
) ( s `  x ) )  | 
A. x  e.  (
Base `  C ) A. y  e.  ( Base `  C ) A. z  e.  ( x
( Hom  `  C ) y ) ( ( a `  y ) ( <. ( r `  x ) ,  ( r `  y )
>. (comp `  D )
( s `  y
) ) ( ( x ( 2nd `  f
) y ) `  z ) )  =  ( ( ( x ( 2nd `  g
) y ) `  z ) ( <.
( r `  x
) ,  ( s `
 x ) >.
(comp `  D )
( s `  y
) ) ( a `
 x ) ) }  e.  ~P ( U. ran  ( Hom  `  D
)  ^m  ( Base `  C ) ) )
32 sbcel1g 3834 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 1st `  g )  e.  _V  ->  ( [. ( 1st `  g
)  /  s ]. { a  e.  X_ x  e.  ( Base `  C ) ( ( r `  x ) ( Hom  `  D
) ( s `  x ) )  | 
A. x  e.  (
Base `  C ) A. y  e.  ( Base `  C ) A. z  e.  ( x
( Hom  `  C ) y ) ( ( a `  y ) ( <. ( r `  x ) ,  ( r `  y )
>. (comp `  D )
( s `  y
) ) ( ( x ( 2nd `  f
) y ) `  z ) )  =  ( ( ( x ( 2nd `  g
) y ) `  z ) ( <.
( r `  x
) ,  ( s `
 x ) >.
(comp `  D )
( s `  y
) ) ( a `
 x ) ) }  e.  ~P ( U. ran  ( Hom  `  D
)  ^m  ( Base `  C ) )  <->  [_ ( 1st `  g )  /  s ]_ { a  e.  X_ x  e.  ( Base `  C ) ( ( r `  x ) ( Hom  `  D
) ( s `  x ) )  | 
A. x  e.  (
Base `  C ) A. y  e.  ( Base `  C ) A. z  e.  ( x
( Hom  `  C ) y ) ( ( a `  y ) ( <. ( r `  x ) ,  ( r `  y )
>. (comp `  D )
( s `  y
) ) ( ( x ( 2nd `  f
) y ) `  z ) )  =  ( ( ( x ( 2nd `  g
) y ) `  z ) ( <.
( r `  x
) ,  ( s `
 x ) >.
(comp `  D )
( s `  y
) ) ( a `
 x ) ) }  e.  ~P ( U. ran  ( Hom  `  D
)  ^m  ( Base `  C ) ) ) )
3331, 32mpbid 210 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 1st `  g )  e.  _V  ->  [_ ( 1st `  g )  / 
s ]_ { a  e.  X_ x  e.  ( Base `  C ) ( ( r `  x
) ( Hom  `  D
) ( s `  x ) )  | 
A. x  e.  (
Base `  C ) A. y  e.  ( Base `  C ) A. z  e.  ( x
( Hom  `  C ) y ) ( ( a `  y ) ( <. ( r `  x ) ,  ( r `  y )
>. (comp `  D )
( s `  y
) ) ( ( x ( 2nd `  f
) y ) `  z ) )  =  ( ( ( x ( 2nd `  g
) y ) `  z ) ( <.
( r `  x
) ,  ( s `
 x ) >.
(comp `  D )
( s `  y
) ) ( a `
 x ) ) }  e.  ~P ( U. ran  ( Hom  `  D
)  ^m  ( Base `  C ) ) )
3415, 33ax-mp 5 . . . . . . . 8  |-  [_ ( 1st `  g )  / 
s ]_ { a  e.  X_ x  e.  ( Base `  C ) ( ( r `  x
) ( Hom  `  D
) ( s `  x ) )  | 
A. x  e.  (
Base `  C ) A. y  e.  ( Base `  C ) A. z  e.  ( x
( Hom  `  C ) y ) ( ( a `  y ) ( <. ( r `  x ) ,  ( r `  y )
>. (comp `  D )
( s `  y
) ) ( ( x ( 2nd `  f
) y ) `  z ) )  =  ( ( ( x ( 2nd `  g
) y ) `  z ) ( <.
( r `  x
) ,  ( s `
 x ) >.
(comp `  D )
( s `  y
) ) ( a `
 x ) ) }  e.  ~P ( U. ran  ( Hom  `  D
)  ^m  ( Base `  C ) )
3534sbcth 3351 . . . . . . 7  |-  ( ( 1st `  f )  e.  _V  ->  [. ( 1st `  f )  / 
r ]. [_ ( 1st `  g )  /  s ]_ { a  e.  X_ x  e.  ( Base `  C ) ( ( r `  x ) ( Hom  `  D
) ( s `  x ) )  | 
A. x  e.  (
Base `  C ) A. y  e.  ( Base `  C ) A. z  e.  ( x
( Hom  `  C ) y ) ( ( a `  y ) ( <. ( r `  x ) ,  ( r `  y )
>. (comp `  D )
( s `  y
) ) ( ( x ( 2nd `  f
) y ) `  z ) )  =  ( ( ( x ( 2nd `  g
) y ) `  z ) ( <.
( r `  x
) ,  ( s `
 x ) >.
(comp `  D )
( s `  y
) ) ( a `
 x ) ) }  e.  ~P ( U. ran  ( Hom  `  D
)  ^m  ( Base `  C ) ) )
36 sbcel1g 3834 . . . . . . 7  |-  ( ( 1st `  f )  e.  _V  ->  ( [. ( 1st `  f
)  /  r ]. [_ ( 1st `  g
)  /  s ]_ { a  e.  X_ x  e.  ( Base `  C ) ( ( r `  x ) ( Hom  `  D
) ( s `  x ) )  | 
A. x  e.  (
Base `  C ) A. y  e.  ( Base `  C ) A. z  e.  ( x
( Hom  `  C ) y ) ( ( a `  y ) ( <. ( r `  x ) ,  ( r `  y )
>. (comp `  D )
( s `  y
) ) ( ( x ( 2nd `  f
) y ) `  z ) )  =  ( ( ( x ( 2nd `  g
) y ) `  z ) ( <.
( r `  x
) ,  ( s `
 x ) >.
(comp `  D )
( s `  y
) ) ( a `
 x ) ) }  e.  ~P ( U. ran  ( Hom  `  D
)  ^m  ( Base `  C ) )  <->  [_ ( 1st `  f )  /  r ]_ [_ ( 1st `  g
)  /  s ]_ { a  e.  X_ x  e.  ( Base `  C ) ( ( r `  x ) ( Hom  `  D
) ( s `  x ) )  | 
A. x  e.  (
Base `  C ) A. y  e.  ( Base `  C ) A. z  e.  ( x
( Hom  `  C ) y ) ( ( a `  y ) ( <. ( r `  x ) ,  ( r `  y )
>. (comp `  D )
( s `  y
) ) ( ( x ( 2nd `  f
) y ) `  z ) )  =  ( ( ( x ( 2nd `  g
) y ) `  z ) ( <.
( r `  x
) ,  ( s `
 x ) >.
(comp `  D )
( s `  y
) ) ( a `
 x ) ) }  e.  ~P ( U. ran  ( Hom  `  D
)  ^m  ( Base `  C ) ) ) )
3735, 36mpbid 210 . . . . . 6  |-  ( ( 1st `  f )  e.  _V  ->  [_ ( 1st `  f )  / 
r ]_ [_ ( 1st `  g )  /  s ]_ { a  e.  X_ x  e.  ( Base `  C ) ( ( r `  x ) ( Hom  `  D
) ( s `  x ) )  | 
A. x  e.  (
Base `  C ) A. y  e.  ( Base `  C ) A. z  e.  ( x
( Hom  `  C ) y ) ( ( a `  y ) ( <. ( r `  x ) ,  ( r `  y )
>. (comp `  D )
( s `  y
) ) ( ( x ( 2nd `  f
) y ) `  z ) )  =  ( ( ( x ( 2nd `  g
) y ) `  z ) ( <.
( r `  x
) ,  ( s `
 x ) >.
(comp `  D )
( s `  y
) ) ( a `
 x ) ) }  e.  ~P ( U. ran  ( Hom  `  D
)  ^m  ( Base `  C ) ) )
3814, 37ax-mp 5 . . . . 5  |-  [_ ( 1st `  f )  / 
r ]_ [_ ( 1st `  g )  /  s ]_ { a  e.  X_ x  e.  ( Base `  C ) ( ( r `  x ) ( Hom  `  D
) ( s `  x ) )  | 
A. x  e.  (
Base `  C ) A. y  e.  ( Base `  C ) A. z  e.  ( x
( Hom  `  C ) y ) ( ( a `  y ) ( <. ( r `  x ) ,  ( r `  y )
>. (comp `  D )
( s `  y
) ) ( ( x ( 2nd `  f
) y ) `  z ) )  =  ( ( ( x ( 2nd `  g
) y ) `  z ) ( <.
( r `  x
) ,  ( s `
 x ) >.
(comp `  D )
( s `  y
) ) ( a `
 x ) ) }  e.  ~P ( U. ran  ( Hom  `  D
)  ^m  ( Base `  C ) )
3938rgen2w 2829 . . . 4  |-  A. f  e.  ( C  Func  D
) A. g  e.  ( C  Func  D
) [_ ( 1st `  f
)  /  r ]_ [_ ( 1st `  g
)  /  s ]_ { a  e.  X_ x  e.  ( Base `  C ) ( ( r `  x ) ( Hom  `  D
) ( s `  x ) )  | 
A. x  e.  (
Base `  C ) A. y  e.  ( Base `  C ) A. z  e.  ( x
( Hom  `  C ) y ) ( ( a `  y ) ( <. ( r `  x ) ,  ( r `  y )
>. (comp `  D )
( s `  y
) ) ( ( x ( 2nd `  f
) y ) `  z ) )  =  ( ( ( x ( 2nd `  g
) y ) `  z ) ( <.
( r `  x
) ,  ( s `
 x ) >.
(comp `  D )
( s `  y
) ) ( a `
 x ) ) }  e.  ~P ( U. ran  ( Hom  `  D
)  ^m  ( Base `  C ) )
40 eqid 2467 . . . . . 6  |-  ( C Nat 
D )  =  ( C Nat  D )
41 eqid 2467 . . . . . 6  |-  ( Base `  C )  =  (
Base `  C )
42 eqid 2467 . . . . . 6  |-  ( Hom  `  C )  =  ( Hom  `  C )
43 eqid 2467 . . . . . 6  |-  ( Hom  `  D )  =  ( Hom  `  D )
44 eqid 2467 . . . . . 6  |-  (comp `  D )  =  (comp `  D )
4540, 41, 42, 43, 44natfval 15189 . . . . 5  |-  ( C Nat 
D )  =  ( f  e.  ( C 
Func  D ) ,  g  e.  ( C  Func  D )  |->  [_ ( 1st `  f
)  /  r ]_ [_ ( 1st `  g
)  /  s ]_ { a  e.  X_ x  e.  ( Base `  C ) ( ( r `  x ) ( Hom  `  D
) ( s `  x ) )  | 
A. x  e.  (
Base `  C ) A. y  e.  ( Base `  C ) A. z  e.  ( x
( Hom  `  C ) y ) ( ( a `  y ) ( <. ( r `  x ) ,  ( r `  y )
>. (comp `  D )
( s `  y
) ) ( ( x ( 2nd `  f
) y ) `  z ) )  =  ( ( ( x ( 2nd `  g
) y ) `  z ) ( <.
( r `  x
) ,  ( s `
 x ) >.
(comp `  D )
( s `  y
) ) ( a `
 x ) ) } )
4645fmpt2 6862 . . . 4  |-  ( A. f  e.  ( C  Func  D ) A. g  e.  ( C  Func  D
) [_ ( 1st `  f
)  /  r ]_ [_ ( 1st `  g
)  /  s ]_ { a  e.  X_ x  e.  ( Base `  C ) ( ( r `  x ) ( Hom  `  D
) ( s `  x ) )  | 
A. x  e.  (
Base `  C ) A. y  e.  ( Base `  C ) A. z  e.  ( x
( Hom  `  C ) y ) ( ( a `  y ) ( <. ( r `  x ) ,  ( r `  y )
>. (comp `  D )
( s `  y
) ) ( ( x ( 2nd `  f
) y ) `  z ) )  =  ( ( ( x ( 2nd `  g
) y ) `  z ) ( <.
( r `  x
) ,  ( s `
 x ) >.
(comp `  D )
( s `  y
) ) ( a `
 x ) ) }  e.  ~P ( U. ran  ( Hom  `  D
)  ^m  ( Base `  C ) )  <->  ( C Nat  D ) : ( ( C  Func  D )  X.  ( C  Func  D
) ) --> ~P ( U. ran  ( Hom  `  D
)  ^m  ( Base `  C ) ) )
4739, 46mpbi 208 . . 3  |-  ( C Nat 
D ) : ( ( C  Func  D
)  X.  ( C 
Func  D ) ) --> ~P ( U. ran  ( Hom  `  D )  ^m  ( Base `  C )
)
4847a1i 11 . 2  |-  ( ph  ->  ( C Nat  D ) : ( ( C 
Func  D )  X.  ( C  Func  D ) ) --> ~P ( U. ran  ( Hom  `  D )  ^m  ( Base `  C
) ) )
491, 5, 13, 48wunf 9117 1  |-  ( ph  ->  ( C Nat  D )  e.  U )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1379    e. wcel 1767   A.wral 2817   {crab 2821   _Vcvv 3118   [.wsbc 3336   [_csb 3440    C_ wss 3481   ~Pcpw 4016   <.cop 4039   U.cuni 4251    X. cxp 5003   ran crn 5006   -->wf 5590   ` cfv 5594  (class class class)co 6295   1stc1st 6793   2ndc2nd 6794    ^m cmap 7432   X_cixp 7481  WUnicwun 9090   1c1 9505   4c4 10599  ;cdc 10988   Basecbs 14506   Hom chom 14582  compcco 14583    Func cfunc 15097   Nat cnat 15184
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4564  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1382  df-fal 1385  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-op 4040  df-uni 4252  df-iun 4333  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-tr 4547  df-id 4801  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-1st 6795  df-2nd 6796  df-map 7434  df-pm 7435  df-ixp 7482  df-wun 9092  df-slot 14510  df-base 14511  df-hom 14595  df-func 15101  df-nat 15186
This theorem is referenced by:  catcfuccl  15310
  Copyright terms: Public domain W3C validator