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Theorem wunfi 8886
Description: A weak universe contains all finite sets with elements drawn from the universe. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
wun0.1  |-  ( ph  ->  U  e. WUni )
wunfi.2  |-  ( ph  ->  A  C_  U )
wunfi.3  |-  ( ph  ->  A  e.  Fin )
Assertion
Ref Expression
wunfi  |-  ( ph  ->  A  e.  U )

Proof of Theorem wunfi
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 wunfi.2 . 2  |-  ( ph  ->  A  C_  U )
2 wunfi.3 . . 3  |-  ( ph  ->  A  e.  Fin )
3 sseq1 3375 . . . . . 6  |-  ( x  =  (/)  ->  ( x 
C_  U  <->  (/)  C_  U
) )
4 eleq1 2501 . . . . . 6  |-  ( x  =  (/)  ->  ( x  e.  U  <->  (/)  e.  U
) )
53, 4imbi12d 320 . . . . 5  |-  ( x  =  (/)  ->  ( ( x  C_  U  ->  x  e.  U )  <->  ( (/)  C_  U  -> 
(/)  e.  U )
) )
65imbi2d 316 . . . 4  |-  ( x  =  (/)  ->  ( (
ph  ->  ( x  C_  U  ->  x  e.  U
) )  <->  ( ph  ->  ( (/)  C_  U  ->  (/) 
e.  U ) ) ) )
7 sseq1 3375 . . . . . 6  |-  ( x  =  y  ->  (
x  C_  U  <->  y  C_  U ) )
8 eleq1 2501 . . . . . 6  |-  ( x  =  y  ->  (
x  e.  U  <->  y  e.  U ) )
97, 8imbi12d 320 . . . . 5  |-  ( x  =  y  ->  (
( x  C_  U  ->  x  e.  U )  <-> 
( y  C_  U  ->  y  e.  U ) ) )
109imbi2d 316 . . . 4  |-  ( x  =  y  ->  (
( ph  ->  ( x 
C_  U  ->  x  e.  U ) )  <->  ( ph  ->  ( y  C_  U  ->  y  e.  U ) ) ) )
11 sseq1 3375 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( x  C_  U 
<->  ( y  u.  {
z } )  C_  U ) )
12 eleq1 2501 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( x  e.  U  <->  ( y  u. 
{ z } )  e.  U ) )
1311, 12imbi12d 320 . . . . 5  |-  ( x  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( ( x 
C_  U  ->  x  e.  U )  <->  ( (
y  u.  { z } )  C_  U  ->  ( y  u.  {
z } )  e.  U ) ) )
1413imbi2d 316 . . . 4  |-  ( x  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( ( ph  ->  ( x  C_  U  ->  x  e.  U ) )  <->  ( ph  ->  ( ( y  u.  {
z } )  C_  U  ->  ( y  u. 
{ z } )  e.  U ) ) ) )
15 sseq1 3375 . . . . . 6  |-  ( x  =  A  ->  (
x  C_  U  <->  A  C_  U
) )
16 eleq1 2501 . . . . . 6  |-  ( x  =  A  ->  (
x  e.  U  <->  A  e.  U ) )
1715, 16imbi12d 320 . . . . 5  |-  ( x  =  A  ->  (
( x  C_  U  ->  x  e.  U )  <-> 
( A  C_  U  ->  A  e.  U ) ) )
1817imbi2d 316 . . . 4  |-  ( x  =  A  ->  (
( ph  ->  ( x 
C_  U  ->  x  e.  U ) )  <->  ( ph  ->  ( A  C_  U  ->  A  e.  U ) ) ) )
19 wun0.1 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  U  e. WUni )
2019wun0 8883 . . . . 5  |-  ( ph  -> 
(/)  e.  U )
2120a1d 25 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( (/)  C_  U  ->  (/) 
e.  U ) )
22 ssun1 3517 . . . . . . . . 9  |-  y  C_  ( y  u.  {
z } )
23 sstr 3362 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  C_  ( y  u.  { z } )  /\  ( y  u. 
{ z } ) 
C_  U )  -> 
y  C_  U )
2422, 23mpan 670 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  u.  { z } )  C_  U  ->  y  C_  U )
2524imim1i 58 . . . . . . 7  |-  ( ( y  C_  U  ->  y  e.  U )  -> 
( ( y  u. 
{ z } ) 
C_  U  ->  y  e.  U ) )
2619adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( (
y  u.  { z } )  C_  U  /\  y  e.  U
) )  ->  U  e. WUni )
27 simprr 756 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( (
y  u.  { z } )  C_  U  /\  y  e.  U
) )  ->  y  e.  U )
28 simprl 755 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( (
y  u.  { z } )  C_  U  /\  y  e.  U
) )  ->  (
y  u.  { z } )  C_  U
)
2928unssbd 3532 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( (
y  u.  { z } )  C_  U  /\  y  e.  U
) )  ->  { z }  C_  U )
30 vex 2973 . . . . . . . . . . . . 13  |-  z  e. 
_V
3130snss 3997 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  e.  U  <->  { z }  C_  U )
3229, 31sylibr 212 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( (
y  u.  { z } )  C_  U  /\  y  e.  U
) )  ->  z  e.  U )
3326, 32wunsn 8881 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( (
y  u.  { z } )  C_  U  /\  y  e.  U
) )  ->  { z }  e.  U )
3426, 27, 33wunun 8875 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( (
y  u.  { z } )  C_  U  /\  y  e.  U
) )  ->  (
y  u.  { z } )  e.  U
)
3534exp32 605 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( y  u. 
{ z } ) 
C_  U  ->  (
y  e.  U  -> 
( y  u.  {
z } )  e.  U ) ) )
3635a2d 26 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( y  u.  { z } )  C_  U  ->  y  e.  U )  -> 
( ( y  u. 
{ z } ) 
C_  U  ->  (
y  u.  { z } )  e.  U
) ) )
3725, 36syl5 32 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( y  C_  U  ->  y  e.  U
)  ->  ( (
y  u.  { z } )  C_  U  ->  ( y  u.  {
z } )  e.  U ) ) )
3837a2i 13 . . . . 5  |-  ( (
ph  ->  ( y  C_  U  ->  y  e.  U
) )  ->  ( ph  ->  ( ( y  u.  { z } )  C_  U  ->  ( y  u.  { z } )  e.  U
) ) )
3938a1i 11 . . . 4  |-  ( y  e.  Fin  ->  (
( ph  ->  ( y 
C_  U  ->  y  e.  U ) )  -> 
( ph  ->  ( ( y  u.  { z } )  C_  U  ->  ( y  u.  {
z } )  e.  U ) ) ) )
406, 10, 14, 18, 21, 39findcard2 7550 . . 3  |-  ( A  e.  Fin  ->  ( ph  ->  ( A  C_  U  ->  A  e.  U
) ) )
412, 40mpcom 36 . 2  |-  ( ph  ->  ( A  C_  U  ->  A  e.  U ) )
421, 41mpd 15 1  |-  ( ph  ->  A  e.  U )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756    u. cun 3324    C_ wss 3326   (/)c0 3635   {csn 3875   Fincfn 7308  WUnicwun 8865
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2422  ax-sep 4411  ax-nul 4419  ax-pow 4468  ax-pr 4529  ax-un 6370
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-ral 2718  df-rex 2719  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3185  df-dif 3329  df-un 3331  df-in 3333  df-ss 3340  df-pss 3342  df-nul 3636  df-if 3790  df-pw 3860  df-sn 3876  df-pr 3878  df-tp 3880  df-op 3882  df-uni 4090  df-br 4291  df-opab 4349  df-tr 4384  df-eprel 4630  df-id 4634  df-po 4639  df-so 4640  df-fr 4677  df-we 4679  df-ord 4720  df-on 4721  df-lim 4722  df-suc 4723  df-xp 4844  df-rel 4845  df-cnv 4846  df-co 4847  df-dm 4848  df-rn 4849  df-res 4850  df-ima 4851  df-iota 5379  df-fun 5418  df-fn 5419  df-f 5420  df-f1 5421  df-fo 5422  df-f1o 5423  df-fv 5424  df-om 6475  df-1o 6918  df-er 7099  df-en 7309  df-fin 7312  df-wun 8867
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