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Theorem wunfi 9154
Description: A weak universe contains all finite sets with elements drawn from the universe. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
wun0.1  |-  ( ph  ->  U  e. WUni )
wunfi.2  |-  ( ph  ->  A  C_  U )
wunfi.3  |-  ( ph  ->  A  e.  Fin )
Assertion
Ref Expression
wunfi  |-  ( ph  ->  A  e.  U )

Proof of Theorem wunfi
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 wunfi.2 . 2  |-  ( ph  ->  A  C_  U )
2 wunfi.3 . . 3  |-  ( ph  ->  A  e.  Fin )
3 sseq1 3485 . . . . . 6  |-  ( x  =  (/)  ->  ( x 
C_  U  <->  (/)  C_  U
) )
4 eleq1 2495 . . . . . 6  |-  ( x  =  (/)  ->  ( x  e.  U  <->  (/)  e.  U
) )
53, 4imbi12d 321 . . . . 5  |-  ( x  =  (/)  ->  ( ( x  C_  U  ->  x  e.  U )  <->  ( (/)  C_  U  -> 
(/)  e.  U )
) )
65imbi2d 317 . . . 4  |-  ( x  =  (/)  ->  ( (
ph  ->  ( x  C_  U  ->  x  e.  U
) )  <->  ( ph  ->  ( (/)  C_  U  ->  (/) 
e.  U ) ) ) )
7 sseq1 3485 . . . . . 6  |-  ( x  =  y  ->  (
x  C_  U  <->  y  C_  U ) )
8 eleq1 2495 . . . . . 6  |-  ( x  =  y  ->  (
x  e.  U  <->  y  e.  U ) )
97, 8imbi12d 321 . . . . 5  |-  ( x  =  y  ->  (
( x  C_  U  ->  x  e.  U )  <-> 
( y  C_  U  ->  y  e.  U ) ) )
109imbi2d 317 . . . 4  |-  ( x  =  y  ->  (
( ph  ->  ( x 
C_  U  ->  x  e.  U ) )  <->  ( ph  ->  ( y  C_  U  ->  y  e.  U ) ) ) )
11 sseq1 3485 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( x  C_  U 
<->  ( y  u.  {
z } )  C_  U ) )
12 eleq1 2495 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( x  e.  U  <->  ( y  u. 
{ z } )  e.  U ) )
1311, 12imbi12d 321 . . . . 5  |-  ( x  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( ( x 
C_  U  ->  x  e.  U )  <->  ( (
y  u.  { z } )  C_  U  ->  ( y  u.  {
z } )  e.  U ) ) )
1413imbi2d 317 . . . 4  |-  ( x  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( ( ph  ->  ( x  C_  U  ->  x  e.  U ) )  <->  ( ph  ->  ( ( y  u.  {
z } )  C_  U  ->  ( y  u. 
{ z } )  e.  U ) ) ) )
15 sseq1 3485 . . . . . 6  |-  ( x  =  A  ->  (
x  C_  U  <->  A  C_  U
) )
16 eleq1 2495 . . . . . 6  |-  ( x  =  A  ->  (
x  e.  U  <->  A  e.  U ) )
1715, 16imbi12d 321 . . . . 5  |-  ( x  =  A  ->  (
( x  C_  U  ->  x  e.  U )  <-> 
( A  C_  U  ->  A  e.  U ) ) )
1817imbi2d 317 . . . 4  |-  ( x  =  A  ->  (
( ph  ->  ( x 
C_  U  ->  x  e.  U ) )  <->  ( ph  ->  ( A  C_  U  ->  A  e.  U ) ) ) )
19 wun0.1 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  U  e. WUni )
2019wun0 9151 . . . . 5  |-  ( ph  -> 
(/)  e.  U )
2120a1d 26 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( (/)  C_  U  ->  (/) 
e.  U ) )
22 ssun1 3629 . . . . . . . . 9  |-  y  C_  ( y  u.  {
z } )
23 sstr 3472 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  C_  ( y  u.  { z } )  /\  ( y  u. 
{ z } ) 
C_  U )  -> 
y  C_  U )
2422, 23mpan 674 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  u.  { z } )  C_  U  ->  y  C_  U )
2524imim1i 60 . . . . . . 7  |-  ( ( y  C_  U  ->  y  e.  U )  -> 
( ( y  u. 
{ z } ) 
C_  U  ->  y  e.  U ) )
2619adantr 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( (
y  u.  { z } )  C_  U  /\  y  e.  U
) )  ->  U  e. WUni )
27 simprr 764 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( (
y  u.  { z } )  C_  U  /\  y  e.  U
) )  ->  y  e.  U )
28 simprl 762 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( (
y  u.  { z } )  C_  U  /\  y  e.  U
) )  ->  (
y  u.  { z } )  C_  U
)
2928unssbd 3644 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( (
y  u.  { z } )  C_  U  /\  y  e.  U
) )  ->  { z }  C_  U )
30 vex 3083 . . . . . . . . . . . . 13  |-  z  e. 
_V
3130snss 4124 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  e.  U  <->  { z }  C_  U )
3229, 31sylibr 215 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( (
y  u.  { z } )  C_  U  /\  y  e.  U
) )  ->  z  e.  U )
3326, 32wunsn 9149 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( (
y  u.  { z } )  C_  U  /\  y  e.  U
) )  ->  { z }  e.  U )
3426, 27, 33wunun 9143 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( (
y  u.  { z } )  C_  U  /\  y  e.  U
) )  ->  (
y  u.  { z } )  e.  U
)
3534exp32 608 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( y  u. 
{ z } ) 
C_  U  ->  (
y  e.  U  -> 
( y  u.  {
z } )  e.  U ) ) )
3635a2d 29 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( y  u.  { z } )  C_  U  ->  y  e.  U )  -> 
( ( y  u. 
{ z } ) 
C_  U  ->  (
y  u.  { z } )  e.  U
) ) )
3725, 36syl5 33 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( y  C_  U  ->  y  e.  U
)  ->  ( (
y  u.  { z } )  C_  U  ->  ( y  u.  {
z } )  e.  U ) ) )
3837a2i 14 . . . . 5  |-  ( (
ph  ->  ( y  C_  U  ->  y  e.  U
) )  ->  ( ph  ->  ( ( y  u.  { z } )  C_  U  ->  ( y  u.  { z } )  e.  U
) ) )
3938a1i 11 . . . 4  |-  ( y  e.  Fin  ->  (
( ph  ->  ( y 
C_  U  ->  y  e.  U ) )  -> 
( ph  ->  ( ( y  u.  { z } )  C_  U  ->  ( y  u.  {
z } )  e.  U ) ) ) )
406, 10, 14, 18, 21, 39findcard2 7821 . . 3  |-  ( A  e.  Fin  ->  ( ph  ->  ( A  C_  U  ->  A  e.  U
) ) )
412, 40mpcom 37 . 2  |-  ( ph  ->  ( A  C_  U  ->  A  e.  U ) )
421, 41mpd 15 1  |-  ( ph  ->  A  e.  U )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 370    = wceq 1437    e. wcel 1872    u. cun 3434    C_ wss 3436   (/)c0 3761   {csn 3998   Fincfn 7581  WUnicwun 9133
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-8 1874  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2057  ax-ext 2401  ax-sep 4546  ax-nul 4555  ax-pow 4602  ax-pr 4660  ax-un 6598
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2273  df-mo 2274  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2568  df-ne 2616  df-ral 2776  df-rex 2777  df-rab 2780  df-v 3082  df-sbc 3300  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-pss 3452  df-nul 3762  df-if 3912  df-pw 3983  df-sn 3999  df-pr 4001  df-tp 4003  df-op 4005  df-uni 4220  df-br 4424  df-opab 4483  df-tr 4519  df-eprel 4764  df-id 4768  df-po 4774  df-so 4775  df-fr 4812  df-we 4814  df-xp 4859  df-rel 4860  df-cnv 4861  df-co 4862  df-dm 4863  df-rn 4864  df-res 4865  df-ima 4866  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-om 6708  df-1o 7194  df-er 7375  df-en 7582  df-fin 7585  df-wun 9135
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