Theorem wunex2 8901

Description: Construct a weak universe from a given set. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Jan-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
wunex2.f	|- F = ( rec ( ( z e. _V |-> ( ( z u. U. z ) u. U_ x e. z ( { ~P x , U. x } u. ran ( y e. z |-> { x , y } ) ) ) ) , ( A u. 1o ) ) |` om )
wunex2.u	|- U = U. ran F

Assertion

Ref	Expression
wunex2	|- ( A e. V -> ( U e. WUni /\ A C_ U ) )

Distinct variable group:   x, y, z

Allowed substitution hints:   A( x, y, z)   U( x, y, z)   F( x, y, z)   V( x, y, z)

Proof of Theorem wunex2

Dummy variables u a v w b m n i k are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		wunex2.u	. . . . . . . 8 |- U = U. ran F
2	1	eleq2i 2505	. . . . . . 7 |- ( a e. U <-> a e. U. ran F )
3		frfnom 6886	. . . . . . . . 9 |- ( rec ( ( z e. _V |-> ( ( z u. U. z ) u. U_ x e. z ( { ~P x , U. x } u. ran ( y e. z |-> { x , y } ) ) ) ) , ( A u. 1o ) ) |` om ) Fn om
4		wunex2.f	. . . . . . . . . 10 |- F = ( rec ( ( z e. _V |-> ( ( z u. U. z ) u. U_ x e. z ( { ~P x , U. x } u. ran ( y e. z |-> { x , y } ) ) ) ) , ( A u. 1o ) ) |` om )
5	4	fneq1i 5502	. . . . . . . . 9 |- ( F Fn om <-> ( rec ( ( z e. _V |-> ( ( z u. U. z ) u. U_ x e. z ( { ~P x , U. x } u. ran ( y e. z |-> { x , y } ) ) ) ) , ( A u. 1o ) ) |` om ) Fn om )
6	3, 5	mpbir 209	. . . . . . . 8 |- F Fn om
7		fnunirn 5967	. . . . . . . 8 |- ( F Fn om -> ( a e. U. ran F <-> E. m e. om a e. ( F ` m ) ) )
8	6, 7	ax-mp 5	. . . . . . 7 |- ( a e. U. ran F <-> E. m e. om a e. ( F ` m ) )
9	2, 8	bitri 249	. . . . . 6 |- ( a e. U <-> E. m e. om a e. ( F ` m ) )
10		elssuni 4118	. . . . . . . . . . 11 |- ( a e. ( F ` m ) -> a C_ U. ( F ` m ) )
11	10	ad2antll 723	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. V /\ ( m e. om /\ a e. ( F ` m ) ) ) -> a C_ U. ( F ` m ) )
12		ssun2 3517	. . . . . . . . . . 11 |- U. ( F ` m ) C_ ( ( F ` m ) u. U. ( F ` m ) )
13		ssun1 3516	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( F ` m ) u. U. ( F ` m ) ) C_ ( ( ( F ` m ) u. U. ( F ` m ) ) u. U_ u e. ( F ` m ) ( { ~P u , U. u } u. ran ( v e. ( F ` m ) |-> { u , v } ) ) )
14	12, 13	sstri 3362	. . . . . . . . . 10 |- U. ( F ` m ) C_ ( ( ( F ` m ) u. U. ( F ` m ) ) u. U_ u e. ( F ` m ) ( { ~P u , U. u } u. ran ( v e. ( F ` m ) |-> { u , v } ) ) )
15	11, 14	syl6ss 3365	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. V /\ ( m e. om /\ a e. ( F ` m ) ) ) -> a C_ ( ( ( F ` m ) u. U. ( F ` m ) ) u. U_ u e. ( F ` m ) ( { ~P u , U. u } u. ran ( v e. ( F ` m ) |-> { u , v } ) ) ) )
16		simprl 750	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. V /\ ( m e. om /\ a e. ( F ` m ) ) ) -> m e. om )
17		fvex 5698	. . . . . . . . . . . 12 |- ( F ` m ) e. _V
18	17	uniex 6375	. . . . . . . . . . . 12 |- U. ( F ` m ) e. _V
19	17, 18	unex 6377	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( F ` m ) u. U. ( F ` m ) ) e. _V
20		prex 4531	. . . . . . . . . . . . 13 |- { ~P u , U. u } e. _V
21	17	mptex 5945	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( v e. ( F ` m ) |-> { u , v } ) e. _V
22	21	rnex 6511	. . . . . . . . . . . . 13 |- ran ( v e. ( F ` m ) |-> { u , v } ) e. _V
23	20, 22	unex 6377	. . . . . . . . . . . 12 |- ( { ~P u , U. u } u. ran ( v e. ( F ` m ) |-> { u , v } ) ) e. _V
24	17, 23	iunex 6556	. . . . . . . . . . 11 |- U_ u e. ( F ` m ) ( { ~P u , U. u } u. ran ( v e. ( F ` m ) |-> { u , v } ) ) e. _V
25	19, 24	unex 6377	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( F ` m ) u. U. ( F ` m ) ) u. U_ u e. ( F ` m ) ( { ~P u , U. u } u. ran ( v e. ( F ` m ) |-> { u , v } ) ) ) e. _V
26		id 22	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( w = z -> w = z )
27		unieq 4096	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( w = z -> U. w = U. z )
28	26, 27	uneq12d 3508	. . . . . . . . . . . 12 |- ( w = z -> ( w u. U. w ) = ( z u. U. z ) )
29		pweq 3860	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( u = x -> ~P u = ~P x )
30		unieq 4096	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( u = x -> U. u = U. x )
31	29, 30	preq12d 3959	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( u = x -> { ~P u , U. u } = { ~P x , U. x } )
32		preq2 3952	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( v = y -> { u , v } = { u , y } )
33	32	cbvmptv 4380	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( v e. w |-> { u , v } ) = ( y e. w |-> { u , y } )
34		preq1 3951	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( u = x -> { u , y } = { x , y } )
35	34	mpteq2dv 4376	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( u = x -> ( y e. w |-> { u , y } ) = ( y e. w |-> { x , y } ) )
36	33, 35	syl5eq 2485	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( u = x -> ( v e. w |-> { u , v } ) = ( y e. w |-> { x , y } ) )
37	36	rneqd 5063	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( u = x -> ran ( v e. w |-> { u , v } ) = ran ( y e. w |-> { x , y } ) )
38	31, 37	uneq12d 3508	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( u = x -> ( { ~P u , U. u } u. ran ( v e. w |-> { u , v } ) ) = ( { ~P x , U. x } u. ran ( y e. w |-> { x , y } ) ) )
39	38	cbviunv 4206	. . . . . . . . . . . . 13 |- U_ u e. w ( { ~P u , U. u } u. ran ( v e. w |-> { u , v } ) ) = U_ x e. w ( { ~P x , U. x } u. ran ( y e. w |-> { x , y } ) )
40		mpteq1 4369	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( w = z -> ( y e. w |-> { x , y } ) = ( y e. z |-> { x , y } ) )
41	40	rneqd 5063	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( w = z -> ran ( y e. w |-> { x , y } ) = ran ( y e. z |-> { x , y } ) )
42	41	uneq2d 3507	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( w = z -> ( { ~P x , U. x } u. ran ( y e. w |-> { x , y } ) ) = ( { ~P x , U. x } u. ran ( y e. z |-> { x , y } ) ) )
43	26, 42	iuneq12d 4193	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( w = z -> U_ x e. w ( { ~P x , U. x } u. ran ( y e. w |-> { x , y } ) ) = U_ x e. z ( { ~P x , U. x } u. ran ( y e. z |-> { x , y } ) ) )
44	39, 43	syl5eq 2485	. . . . . . . . . . . 12 |- ( w = z -> U_ u e. w ( { ~P u , U. u } u. ran ( v e. w |-> { u , v } ) ) = U_ x e. z ( { ~P x , U. x } u. ran ( y e. z |-> { x , y } ) ) )
45	28, 44	uneq12d 3508	. . . . . . . . . . 11 |- ( w = z -> ( ( w u. U. w ) u. U_ u e. w ( { ~P u , U. u } u. ran ( v e. w |-> { u , v } ) ) ) = ( ( z u. U. z ) u. U_ x e. z ( { ~P x , U. x } u. ran ( y e. z |-> { x , y } ) ) ) )
46		id 22	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( w = ( F ` m ) -> w = ( F ` m ) )
47		unieq 4096	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( w = ( F ` m ) -> U. w = U. ( F ` m ) )
48	46, 47	uneq12d 3508	. . . . . . . . . . . 12 |- ( w = ( F ` m ) -> ( w u. U. w ) = ( ( F ` m ) u. U. ( F ` m ) ) )
49		mpteq1 4369	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( w = ( F ` m ) -> ( v e. w |-> { u , v } ) = ( v e. ( F ` m ) |-> { u , v } ) )
50	49	rneqd 5063	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( w = ( F ` m ) -> ran ( v e. w |-> { u , v } ) = ran ( v e. ( F ` m ) |-> { u , v } ) )
51	50	uneq2d 3507	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( w = ( F ` m ) -> ( { ~P u , U. u } u. ran ( v e. w |-> { u , v } ) ) = ( { ~P u , U. u } u. ran ( v e. ( F ` m ) |-> { u , v } ) ) )
52	46, 51	iuneq12d 4193	. . . . . . . . . . . 12 |- ( w = ( F ` m ) -> U_ u e. w ( { ~P u , U. u } u. ran ( v e. w |-> { u , v } ) ) = U_ u e. ( F ` m ) ( { ~P u , U. u } u. ran ( v e. ( F ` m ) |-> { u , v } ) ) )
53	48, 52	uneq12d 3508	. . . . . . . . . . 11 |- ( w = ( F ` m ) -> ( ( w u. U. w ) u. U_ u e. w ( { ~P u , U. u } u. ran ( v e. w |-> { u , v } ) ) ) = ( ( ( F ` m ) u. U. ( F ` m ) ) u. U_ u e. ( F ` m ) ( { ~P u , U. u } u. ran ( v e. ( F ` m ) |-> { u , v } ) ) ) )
54	4, 45, 53	frsucmpt2 6891	. . . . . . . . . 10 |- ( ( m e. om /\ ( ( ( F ` m ) u. U. ( F ` m ) ) u. U_ u e. ( F ` m ) ( { ~P u , U. u } u. ran ( v e. ( F ` m ) |-> { u , v } ) ) ) e. _V ) -> ( F ` suc m ) = ( ( ( F ` m ) u. U. ( F ` m ) ) u. U_ u e. ( F ` m ) ( { ~P u , U. u } u. ran ( v e. ( F ` m ) |-> { u , v } ) ) ) )
55	16, 25, 54	sylancl 657	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. V /\ ( m e. om /\ a e. ( F ` m ) ) ) -> ( F ` suc m ) = ( ( ( F ` m ) u. U. ( F ` m ) ) u. U_ u e. ( F ` m ) ( { ~P u , U. u } u. ran ( v e. ( F ` m ) |-> { u , v } ) ) ) )
56	15, 55	sseqtr4d 3390	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. V /\ ( m e. om /\ a e. ( F ` m ) ) ) -> a C_ ( F ` suc m ) )
57		fvssunirn 5710	. . . . . . . . 9 |- ( F ` suc m ) C_ U. ran F
58	57, 1	sseqtr4i 3386	. . . . . . . 8 |- ( F ` suc m ) C_ U
59	56, 58	syl6ss 3365	. . . . . . 7 |- ( ( A e. V /\ ( m e. om /\ a e. ( F ` m ) ) ) -> a C_ U )
60	59	rexlimdvaa 2840	. . . . . 6 |- ( A e. V -> ( E. m e. om a e. ( F ` m ) -> a C_ U ) )
61	9, 60	syl5bi 217	. . . . 5 |- ( A e. V -> ( a e. U -> a C_ U ) )
62	61	ralrimiv 2796	. . . 4 |- ( A e. V -> A. a e. U a C_ U )
63		dftr3 4386	. . . 4 |- ( Tr U <-> A. a e. U a C_ U )
64	62, 63	sylibr 212	. . 3 |- ( A e. V -> Tr U )
65		1on 6923	. . . . . . . 8 |- 1o e. On
66		unexg 6380	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. V /\ 1o e. On ) -> ( A u. 1o ) e. _V )
67	65, 66	mpan2 666	. . . . . . 7 |- ( A e. V -> ( A u. 1o ) e. _V )
68	4	fveq1i 5689	. . . . . . . 8 |- ( F ` (/) ) = ( ( rec ( ( z e. _V |-> ( ( z u. U. z ) u. U_ x e. z ( { ~P x , U. x } u. ran ( y e. z |-> { x , y } ) ) ) ) , ( A u. 1o ) ) |` om ) ` (/) )
69		fr0g 6887	. . . . . . . 8 |- ( ( A u. 1o ) e. _V -> ( ( rec ( ( z e. _V |-> ( ( z u. U. z ) u. U_ x e. z ( { ~P x , U. x } u. ran ( y e. z |-> { x , y } ) ) ) ) , ( A u. 1o ) ) |` om ) ` (/) ) = ( A u. 1o ) )
70	68, 69	syl5eq 2485	. . . . . . 7 |- ( ( A u. 1o ) e. _V -> ( F ` (/) ) = ( A u. 1o ) )
71	67, 70	syl 16	. . . . . 6 |- ( A e. V -> ( F ` (/) ) = ( A u. 1o ) )
72		fvssunirn 5710	. . . . . . 7 |- ( F ` (/) ) C_ U. ran F
73	72, 1	sseqtr4i 3386	. . . . . 6 |- ( F ` (/) ) C_ U
74	71, 73	syl6eqssr 3404	. . . . 5 |- ( A e. V -> ( A u. 1o ) C_ U )
75	74	unssbd 3531	. . . 4 |- ( A e. V -> 1o C_ U )
76		1n0 6931	. . . 4 |- 1o =/= (/)
77		ssn0 3667	. . . 4 |- ( ( 1o C_ U /\ 1o =/= (/) ) -> U =/= (/) )
78	75, 76, 77	sylancl 657	. . 3 |- ( A e. V -> U =/= (/) )
79		pweq 3860	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( u = a -> ~P u = ~P a )
80		unieq 4096	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( u = a -> U. u = U. a )
81	79, 80	preq12d 3959	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( u = a -> { ~P u , U. u } = { ~P a , U. a } )
82		preq1 3951	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( u = a -> { u , v } = { a , v } )
83	82	mpteq2dv 4376	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( u = a -> ( v e. ( F ` m ) |-> { u , v } ) = ( v e. ( F ` m ) |-> { a , v } ) )
84	83	rneqd 5063	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( u = a -> ran ( v e. ( F ` m ) |-> { u , v } ) = ran ( v e. ( F ` m ) |-> { a , v } ) )
85	81, 84	uneq12d 3508	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( u = a -> ( { ~P u , U. u } u. ran ( v e. ( F ` m ) |-> { u , v } ) ) = ( { ~P a , U. a } u. ran ( v e. ( F ` m ) |-> { a , v } ) ) )
86	85	ssiun2s 4211	. . . . . . . . . . . 12 |- ( a e. ( F ` m ) -> ( { ~P a , U. a } u. ran ( v e. ( F ` m ) |-> { a , v } ) ) C_ U_ u e. ( F ` m ) ( { ~P u , U. u } u. ran ( v e. ( F ` m ) |-> { u , v } ) ) )
87	86	ad2antll 723	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. V /\ ( m e. om /\ a e. ( F ` m ) ) ) -> ( { ~P a , U. a } u. ran ( v e. ( F ` m ) |-> { a , v } ) ) C_ U_ u e. ( F ` m ) ( { ~P u , U. u } u. ran ( v e. ( F ` m ) |-> { u , v } ) ) )
88		ssun2 3517	. . . . . . . . . . . . 13 |- U_ u e. ( F ` m ) ( { ~P u , U. u } u. ran ( v e. ( F ` m ) |-> { u , v } ) ) C_ ( ( ( F ` m ) u. U. ( F ` m ) ) u. U_ u e. ( F ` m ) ( { ~P u , U. u } u. ran ( v e. ( F ` m ) |-> { u , v } ) ) )
89	88, 55	syl5sseqr 3402	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. V /\ ( m e. om /\ a e. ( F ` m ) ) ) -> U_ u e. ( F ` m ) ( { ~P u , U. u } u. ran ( v e. ( F ` m ) |-> { u , v } ) ) C_ ( F ` suc m ) )
90	89, 58	syl6ss 3365	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. V /\ ( m e. om /\ a e. ( F ` m ) ) ) -> U_ u e. ( F ` m ) ( { ~P u , U. u } u. ran ( v e. ( F ` m ) |-> { u , v } ) ) C_ U )
91	87, 90	sstrd 3363	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. V /\ ( m e. om /\ a e. ( F ` m ) ) ) -> ( { ~P a , U. a } u. ran ( v e. ( F ` m ) |-> { a , v } ) ) C_ U )
92	91	unssad 3530	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. V /\ ( m e. om /\ a e. ( F ` m ) ) ) -> { ~P a , U. a } C_ U )
93		vex 2973	. . . . . . . . . . 11 |- a e. _V
94	93	pwex 4472	. . . . . . . . . 10 |- ~P a e. _V
95	93	uniex 6375	. . . . . . . . . 10 |- U. a e. _V
96	94, 95	prss 4024	. . . . . . . . 9 |- ( ( ~P a e. U /\ U. a e. U ) <-> { ~P a , U. a } C_ U )
97	92, 96	sylibr 212	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. V /\ ( m e. om /\ a e. ( F ` m ) ) ) -> ( ~P a e. U /\ U. a e. U ) )
98	97	simprd 460	. . . . . . 7 |- ( ( A e. V /\ ( m e. om /\ a e. ( F ` m ) ) ) -> U. a e. U )
99	97	simpld 456	. . . . . . 7 |- ( ( A e. V /\ ( m e. om /\ a e. ( F ` m ) ) ) -> ~P a e. U )
100	1	eleq2i 2505	. . . . . . . . . 10 |- ( b e. U <-> b e. U. ran F )
101		fnunirn 5967	. . . . . . . . . . 11 |- ( F Fn om -> ( b e. U. ran F <-> E. n e. om b e. ( F ` n ) ) )
102	6, 101	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 |- ( b e. U. ran F <-> E. n e. om b e. ( F ` n ) )
103	100, 102	bitri 249	. . . . . . . . 9 |- ( b e. U <-> E. n e. om b e. ( F ` n ) )
104		simplrl 754	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( A e. V /\ ( m e. om /\ a e. ( F ` m ) ) ) /\ ( n e. om /\ b e. ( F ` n ) ) ) -> m e. om )
105		simprl 750	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( A e. V /\ ( m e. om /\ a e. ( F ` m ) ) ) /\ ( n e. om /\ b e. ( F ` n ) ) ) -> n e. om )
106		ordom 6484	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- Ord om
107		ordunel 6437	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( Ord om /\ m e. om /\ n e. om ) -> ( m u. n ) e. om )
108	106, 107	mp3an1 1296	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( m e. om /\ n e. om ) -> ( m u. n ) e. om )
109	104, 105, 108	syl2anc 656	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( A e. V /\ ( m e. om /\ a e. ( F ` m ) ) ) /\ ( n e. om /\ b e. ( F ` n ) ) ) -> ( m u. n ) e. om )
110		ssun1 3516	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- m C_ ( m u. n )
111		fveq2 5688	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( k = m -> ( F ` k ) = ( F ` m ) )
112	111	sseq2d 3381	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( k = m -> ( ( F ` m ) C_ ( F ` k ) <-> ( F ` m ) C_ ( F ` m ) ) )
113		fveq2 5688	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( k = i -> ( F ` k ) = ( F ` i ) )
114	113	sseq2d 3381	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( k = i -> ( ( F ` m ) C_ ( F ` k ) <-> ( F ` m ) C_ ( F ` i ) ) )
115		fveq2 5688	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( k = suc i -> ( F ` k ) = ( F ` suc i ) )
116	115	sseq2d 3381	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( k = suc i -> ( ( F ` m ) C_ ( F ` k ) <-> ( F ` m ) C_ ( F ` suc i ) ) )
117		fveq2 5688	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( k = ( m u. n ) -> ( F ` k ) = ( F ` ( m u. n ) ) )
118	117	sseq2d 3381	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( k = ( m u. n ) -> ( ( F ` m ) C_ ( F ` k ) <-> ( F ` m ) C_ ( F ` ( m u. n ) ) ) )
119		ssid 3372	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( F ` m ) C_ ( F ` m )
120	119	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( m e. om -> ( F ` m ) C_ ( F ` m ) )
121		fveq2 5688	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( m = i -> ( F ` m ) = ( F ` i ) )
122		suceq 4780	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( m = i -> suc m = suc i )
123	122	fveq2d 5692	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( m = i -> ( F ` suc m ) = ( F ` suc i ) )
124	121, 123	sseq12d 3382	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( m = i -> ( ( F ` m ) C_ ( F ` suc m ) <-> ( F ` i ) C_ ( F ` suc i ) ) )
125		ssun1 3516	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( F ` m ) C_ ( ( F ` m ) u. U. ( F ` m ) )
126	125, 13	sstri 3362	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( F ` m ) C_ ( ( ( F ` m ) u. U. ( F ` m ) ) u. U_ u e. ( F ` m ) ( { ~P u , U. u } u. ran ( v e. ( F ` m ) |-> { u , v } ) ) )
127	25, 54	mpan2 666	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( m e. om -> ( F ` suc m ) = ( ( ( F ` m ) u. U. ( F ` m ) ) u. U_ u e. ( F ` m ) ( { ~P u , U. u } u. ran ( v e. ( F ` m ) |-> { u , v } ) ) ) )
128	126, 127	syl5sseqr 3402	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( m e. om -> ( F ` m ) C_ ( F ` suc m ) )
129	124, 128	vtoclga 3033	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( i e. om -> ( F ` i ) C_ ( F ` suc i ) )
130	129	ad2antrr 720	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( i e. om /\ m e. om ) /\ m C_ i ) -> ( F ` i ) C_ ( F ` suc i ) )
131		sstr2 3360	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( F ` m ) C_ ( F ` i ) -> ( ( F ` i ) C_ ( F ` suc i ) -> ( F ` m ) C_ ( F ` suc i ) ) )
132	130, 131	syl5com 30	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( i e. om /\ m e. om ) /\ m C_ i ) -> ( ( F ` m ) C_ ( F ` i ) -> ( F ` m ) C_ ( F ` suc i ) ) )
133	112, 114, 116, 118, 120, 132	findsg 6502	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( m u. n ) e. om /\ m e. om ) /\ m C_ ( m u. n ) ) -> ( F ` m ) C_ ( F ` ( m u. n ) ) )
134	110, 133	mpan2 666	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( m u. n ) e. om /\ m e. om ) -> ( F ` m ) C_ ( F ` ( m u. n ) ) )
135	109, 104, 134	syl2anc 656	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( A e. V /\ ( m e. om /\ a e. ( F ` m ) ) ) /\ ( n e. om /\ b e. ( F ` n ) ) ) -> ( F ` m ) C_ ( F ` ( m u. n ) ) )
136		simplrr 755	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( A e. V /\ ( m e. om /\ a e. ( F ` m ) ) ) /\ ( n e. om /\ b e. ( F ` n ) ) ) -> a e. ( F ` m ) )
137	135, 136	sseldd 3354	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( A e. V /\ ( m e. om /\ a e. ( F ` m ) ) ) /\ ( n e. om /\ b e. ( F ` n ) ) ) -> a e. ( F ` ( m u. n ) ) )
138	82	mpteq2dv 4376	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( u = a -> ( v e. ( F ` ( m u. n ) ) |-> { u , v } ) = ( v e. ( F ` ( m u. n ) ) |-> { a , v } ) )
139	138	rneqd 5063	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( u = a -> ran ( v e. ( F ` ( m u. n ) ) |-> { u , v } ) = ran ( v e. ( F ` ( m u. n ) ) |-> { a , v } ) )
140	81, 139	uneq12d 3508	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( u = a -> ( { ~P u , U. u } u. ran ( v e. ( F ` ( m u. n ) ) |-> { u , v } ) ) = ( { ~P a , U. a } u. ran ( v e. ( F ` ( m u. n ) ) |-> { a , v } ) ) )
141	140	ssiun2s 4211	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( a e. ( F ` ( m u. n ) ) -> ( { ~P a , U. a } u. ran ( v e. ( F ` ( m u. n ) ) |-> { a , v } ) ) C_ U_ u e. ( F ` ( m u. n ) ) ( { ~P u , U. u } u. ran ( v e. ( F ` ( m u. n ) ) |-> { u , v } ) ) )
142	137, 141	syl 16	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A e. V /\ ( m e. om /\ a e. ( F ` m ) ) ) /\ ( n e. om /\ b e. ( F ` n ) ) ) -> ( { ~P a , U. a } u. ran ( v e. ( F ` ( m u. n ) ) |-> { a , v } ) ) C_ U_ u e. ( F ` ( m u. n ) ) ( { ~P u , U. u } u. ran ( v e. ( F ` ( m u. n ) ) |-> { u , v } ) ) )
143		ssun2 3517	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- U_ u e. ( F ` ( m u. n ) ) ( { ~P u , U. u } u. ran ( v e. ( F ` ( m u. n ) ) |-> { u , v } ) ) C_ ( ( ( F ` ( m u. n ) ) u. U. ( F ` ( m u. n ) ) ) u. U_ u e. ( F ` ( m u. n ) ) ( { ~P u , U. u } u. ran ( v e. ( F ` ( m u. n ) ) |-> { u , v } ) ) )
144		fvex 5698	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( F ` ( m u. n ) ) e. _V
145	144	uniex 6375	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- U. ( F ` ( m u. n ) ) e. _V
146	144, 145	unex 6377	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( F ` ( m u. n ) ) u. U. ( F ` ( m u. n ) ) ) e. _V
147	144	mptex 5945	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( v e. ( F ` ( m u. n ) ) |-> { u , v } ) e. _V
148	147	rnex 6511	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ran ( v e. ( F ` ( m u. n ) ) |-> { u , v } ) e. _V
149	20, 148	unex 6377	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( { ~P u , U. u } u. ran ( v e. ( F ` ( m u. n ) ) |-> { u , v } ) ) e. _V
150	144, 149	iunex 6556	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- U_ u e. ( F ` ( m u. n ) ) ( { ~P u , U. u } u. ran ( v e. ( F ` ( m u. n ) ) |-> { u , v } ) ) e. _V
151	146, 150	unex 6377	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( F ` ( m u. n ) ) u. U. ( F ` ( m u. n ) ) ) u. U_ u e. ( F ` ( m u. n ) ) ( { ~P u , U. u } u. ran ( v e. ( F ` ( m u. n ) ) |-> { u , v } ) ) ) e. _V
152		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( w = ( F ` ( m u. n ) ) -> w = ( F ` ( m u. n ) ) )
153		unieq 4096	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( w = ( F ` ( m u. n ) ) -> U. w = U. ( F ` ( m u. n ) ) )
154	152, 153	uneq12d 3508	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( w = ( F ` ( m u. n ) ) -> ( w u. U. w ) = ( ( F ` ( m u. n ) ) u. U. ( F ` ( m u. n ) ) ) )
155		mpteq1 4369	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( w = ( F ` ( m u. n ) ) -> ( v e. w |-> { u , v } ) = ( v e. ( F ` ( m u. n ) ) |-> { u , v } ) )
156	155	rneqd 5063	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( w = ( F ` ( m u. n ) ) -> ran ( v e. w |-> { u , v } ) = ran ( v e. ( F ` ( m u. n ) ) |-> { u , v } ) )
157	156	uneq2d 3507	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( w = ( F ` ( m u. n ) ) -> ( { ~P u , U. u } u. ran ( v e. w |-> { u , v } ) ) = ( { ~P u , U. u } u. ran ( v e. ( F ` ( m u. n ) ) |-> { u , v } ) ) )
158	152, 157	iuneq12d 4193	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( w = ( F ` ( m u. n ) ) -> U_ u e. w ( { ~P u , U. u } u. ran ( v e. w |-> { u , v } ) ) = U_ u e. ( F ` ( m u. n ) ) ( { ~P u , U. u } u. ran ( v e. ( F ` ( m u. n ) ) |-> { u , v } ) ) )
159	154, 158	uneq12d 3508	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( w = ( F ` ( m u. n ) ) -> ( ( w u. U. w ) u. U_ u e. w ( { ~P u , U. u } u. ran ( v e. w |-> { u , v } ) ) ) = ( ( ( F ` ( m u. n ) ) u. U. ( F ` ( m u. n ) ) ) u. U_ u e. ( F ` ( m u. n ) ) ( { ~P u , U. u } u. ran ( v e. ( F ` ( m u. n ) ) |-> { u , v } ) ) ) )
160	4, 45, 159	frsucmpt2 6891	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( m u. n ) e. om /\ ( ( ( F ` ( m u. n ) ) u. U. ( F ` ( m u. n ) ) ) u. U_ u e. ( F ` ( m u. n ) ) ( { ~P u , U. u } u. ran ( v e. ( F ` ( m u. n ) ) |-> { u , v } ) ) ) e. _V ) -> ( F ` suc ( m u. n ) ) = ( ( ( F ` ( m u. n ) ) u. U. ( F ` ( m u. n ) ) ) u. U_ u e. ( F ` ( m u. n ) ) ( { ~P u , U. u } u. ran ( v e. ( F ` ( m u. n ) ) |-> { u , v } ) ) ) )
161	109, 151, 160	sylancl 657	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( A e. V /\ ( m e. om /\ a e. ( F ` m ) ) ) /\ ( n e. om /\ b e. ( F ` n ) ) ) -> ( F ` suc ( m u. n ) ) = ( ( ( F ` ( m u. n ) ) u. U. ( F ` ( m u. n ) ) ) u. U_ u e. ( F ` ( m u. n ) ) ( { ~P u , U. u } u. ran ( v e. ( F ` ( m u. n ) ) |-> { u , v } ) ) ) )
162	143, 161	syl5sseqr 3402	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( A e. V /\ ( m e. om /\ a e. ( F ` m ) ) ) /\ ( n e. om /\ b e. ( F ` n ) ) ) -> U_ u e. ( F ` ( m u. n ) ) ( { ~P u , U. u } u. ran ( v e. ( F ` ( m u. n ) ) |-> { u , v } ) ) C_ ( F ` suc ( m u. n ) ) )
163		fvssunirn 5710	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( F ` suc ( m u. n ) ) C_ U. ran F
164	163, 1	sseqtr4i 3386	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( F ` suc ( m u. n ) ) C_ U
165	162, 164	syl6ss 3365	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A e. V /\ ( m e. om /\ a e. ( F ` m ) ) ) /\ ( n e. om /\ b e. ( F ` n ) ) ) -> U_ u e. ( F ` ( m u. n ) ) ( { ~P u , U. u } u. ran ( v e. ( F ` ( m u. n ) ) |-> { u , v } ) ) C_ U )
166	142, 165	sstrd 3363	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. V /\ ( m e. om /\ a e. ( F ` m ) ) ) /\ ( n e. om /\ b e. ( F ` n ) ) ) -> ( { ~P a , U. a } u. ran ( v e. ( F ` ( m u. n ) ) |-> { a , v } ) ) C_ U )
167	166	unssbd 3531	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. V /\ ( m e. om /\ a e. ( F ` m ) ) ) /\ ( n e. om /\ b e. ( F ` n ) ) ) -> ran ( v e. ( F ` ( m u. n ) ) |-> { a , v } ) C_ U )
168		ssun2 3517	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- n C_ ( m u. n )
169		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( i = ( m u. n ) -> i = ( m u. n ) )
170	168, 169	syl5sseqr 3402	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( i = ( m u. n ) -> n C_ i )
171	170	biantrud 504	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( i = ( m u. n ) -> ( n e. om <-> ( n e. om /\ n C_ i ) ) )
172	171	bicomd 201	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( i = ( m u. n ) -> ( ( n e. om /\ n C_ i ) <-> n e. om ) )
173		fveq2 5688	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( i = ( m u. n ) -> ( F ` i ) = ( F ` ( m u. n ) ) )
174	173	sseq2d 3381	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( i = ( m u. n ) -> ( ( F ` n ) C_ ( F ` i ) <-> ( F ` n ) C_ ( F ` ( m u. n ) ) ) )
175	172, 174	imbi12d 320	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( i = ( m u. n ) -> ( ( ( n e. om /\ n C_ i ) -> ( F ` n ) C_ ( F ` i ) ) <-> ( n e. om -> ( F ` n ) C_ ( F ` ( m u. n ) ) ) ) )
176		eleq1 2501	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( m = n -> ( m e. om <-> n e. om ) )
177	176	anbi2d 698	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( m = n -> ( ( i e. om /\ m e. om ) <-> ( i e. om /\ n e. om ) ) )
178		sseq1 3374	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( m = n -> ( m C_ i <-> n C_ i ) )
179	177, 178	anbi12d 705	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( m = n -> ( ( ( i e. om /\ m e. om ) /\ m C_ i ) <-> ( ( i e. om /\ n e. om ) /\ n C_ i ) ) )
180		fveq2 5688	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( m = n -> ( F ` m ) = ( F ` n ) )
181	180	sseq1d 3380	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( m = n -> ( ( F ` m ) C_ ( F ` i ) <-> ( F ` n ) C_ ( F ` i ) ) )
182	179, 181	imbi12d 320	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( m = n -> ( ( ( ( i e. om /\ m e. om ) /\ m C_ i ) -> ( F ` m ) C_ ( F ` i ) ) <-> ( ( ( i e. om /\ n e. om ) /\ n C_ i ) -> ( F ` n ) C_ ( F ` i ) ) ) )
183	112, 114, 116, 114, 120, 132	findsg 6502	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( i e. om /\ m e. om ) /\ m C_ i ) -> ( F ` m ) C_ ( F ` i ) )
184	182, 183	chvarv 1963	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( i e. om /\ n e. om ) /\ n C_ i ) -> ( F ` n ) C_ ( F ` i ) )
185	184	expl 615	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( i e. om -> ( ( n e. om /\ n C_ i ) -> ( F ` n ) C_ ( F ` i ) ) )
186	175, 185	vtoclga 3033	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( m u. n ) e. om -> ( n e. om -> ( F ` n ) C_ ( F ` ( m u. n ) ) ) )
187	109, 105, 186	sylc 60	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A e. V /\ ( m e. om /\ a e. ( F ` m ) ) ) /\ ( n e. om /\ b e. ( F ` n ) ) ) -> ( F ` n ) C_ ( F ` ( m u. n ) ) )
188		simprr 751	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A e. V /\ ( m e. om /\ a e. ( F ` m ) ) ) /\ ( n e. om /\ b e. ( F ` n ) ) ) -> b e. ( F ` n ) )
189	187, 188	sseldd 3354	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. V /\ ( m e. om /\ a e. ( F ` m ) ) ) /\ ( n e. om /\ b e. ( F ` n ) ) ) -> b e. ( F ` ( m u. n ) ) )
190		prex 4531	. . . . . . . . . . . 12 |- { a , b } e. _V
191		eqid 2441	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( v e. ( F ` ( m u. n ) ) |-> { a , v } ) = ( v e. ( F ` ( m u. n ) ) |-> { a , v } )
192		preq2 3952	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( v = b -> { a , v } = { a , b } )
193	191, 192	elrnmpt1s 5083	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( b e. ( F ` ( m u. n ) ) /\ { a , b } e. _V ) -> { a , b } e. ran ( v e. ( F ` ( m u. n ) ) |-> { a , v } ) )
194	189, 190, 193	sylancl 657	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. V /\ ( m e. om /\ a e. ( F ` m ) ) ) /\ ( n e. om /\ b e. ( F ` n ) ) ) -> { a , b } e. ran ( v e. ( F ` ( m u. n ) ) |-> { a , v } ) )
195	167, 194	sseldd 3354	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. V /\ ( m e. om /\ a e. ( F ` m ) ) ) /\ ( n e. om /\ b e. ( F ` n ) ) ) -> { a , b } e. U )
196	195	rexlimdvaa 2840	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. V /\ ( m e. om /\ a e. ( F ` m ) ) ) -> ( E. n e. om b e. ( F ` n ) -> { a , b } e. U ) )
197	103, 196	syl5bi 217	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. V /\ ( m e. om /\ a e. ( F ` m ) ) ) -> ( b e. U -> { a , b } e. U ) )
198	197	ralrimiv 2796	. . . . . . 7 |- ( ( A e. V /\ ( m e. om /\ a e. ( F ` m ) ) ) -> A. b e. U { a , b } e. U )
199	98, 99, 198	3jca 1163	. . . . . 6 |- ( ( A e. V /\ ( m e. om /\ a e. ( F ` m ) ) ) -> ( U. a e. U /\ ~P a e. U /\ A. b e. U { a , b } e. U ) )
200	199	rexlimdvaa 2840	. . . . 5 |- ( A e. V -> ( E. m e. om a e. ( F ` m ) -> ( U. a e. U /\ ~P a e. U /\ A. b e. U { a , b } e. U ) ) )
201	9, 200	syl5bi 217	. . . 4 |- ( A e. V -> ( a e. U -> ( U. a e. U /\ ~P a e. U /\ A. b e. U { a , b } e. U ) ) )
202	201	ralrimiv 2796	. . 3 |- ( A e. V -> A. a e. U ( U. a e. U /\ ~P a e. U /\ A. b e. U { a , b } e. U ) )
203		rdgfun 6868	. . . . . . . . 9 |- Fun rec ( ( z e. _V |-> ( ( z u. U. z ) u. U_ x e. z ( { ~P x , U. x } u. ran ( y e. z |-> { x , y } ) ) ) ) , ( A u. 1o ) )
204		omex 7845	. . . . . . . . 9 |- om e. _V
205		resfunexg 5940	. . . . . . . . 9 |- ( ( Fun rec ( ( z e. _V |-> ( ( z u. U. z ) u. U_ x e. z ( { ~P x , U. x } u. ran ( y e. z |-> { x , y } ) ) ) ) , ( A u. 1o ) ) /\ om e. _V ) -> ( rec ( ( z e. _V |-> ( ( z u. U. z ) u. U_ x e. z ( { ~P x , U. x } u. ran ( y e. z |-> { x , y } ) ) ) ) , ( A u. 1o ) ) |` om ) e. _V )
206	203, 204, 205	mp2an 667	. . . . . . . 8 |- ( rec ( ( z e. _V |-> ( ( z u. U. z ) u. U_ x e. z ( { ~P x , U. x } u. ran ( y e. z |-> { x , y } ) ) ) ) , ( A u. 1o ) ) |` om ) e. _V
207	4, 206	eqeltri 2511	. . . . . . 7 |- F e. _V
208	207	rnex 6511	. . . . . 6 |- ran F e. _V
209	208	uniex 6375	. . . . 5 |- U. ran F e. _V
210	1, 209	eqeltri 2511	. . . 4 |- U e. _V
211		iswun 8867	. . . 4 |- ( U e. _V -> ( U e. WUni <-> ( Tr U /\ U =/= (/) /\ A. a e. U ( U. a e. U /\ ~P a e. U /\ A. b e. U { a , b } e. U ) ) ) )
212	210, 211	ax-mp 5	. . 3 |- ( U e. WUni <-> ( Tr U /\ U =/= (/) /\ A. a e. U ( U. a e. U /\ ~P a e. U /\ A. b e. U { a , b } e. U ) ) )
213	64, 78, 202, 212	syl3anbrc 1167	. 2 |- ( A e. V -> U e. WUni )
214	74	unssad 3530	. 2 |- ( A e. V -> A C_ U )
215	213, 214	jca 529	1 |- ( A e. V -> ( U e. WUni /\ A C_ U ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   /\ w3a 960   = wceq 1364   e. wcel 1761   =/= wne 2604   A.wral 2713   E.wrex 2714   _Vcvv 2970   u. cun 3323   C_ wss 3325   (/)c0 3634   ~Pcpw 3857   {cpr 3876   U.cuni 4088   U_ciun 4168   e. cmpt 4347   Tr wtr 4382   Ord word 4714   Oncon0 4715   suc csuc 4717   ran crn 4837   |` cres 4838   Fun wfun 5409   Fn wfn 5410   ` cfv 5415   omcom 6475   reccrdg 6861   1oc1o 6909  WUnicwun 8863

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1713  ax-7 1733  ax-8 1763  ax-9 1765  ax-10 1780  ax-11 1785  ax-12 1797  ax-13 1948  ax-ext 2422  ax-rep 4400  ax-sep 4410  ax-nul 4418  ax-pow 4467  ax-pr 4528  ax-un 6371  ax-inf2 7843

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 961  df-3an 962  df-tru 1367  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1706  df-eu 2261  df-mo 2262  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3184  df-csb 3286  df-dif 3328  df-un 3330  df-in 3332  df-ss 3339  df-pss 3341  df-nul 3635  df-if 3789  df-pw 3859  df-sn 3875  df-pr 3877  df-tp 3879  df-op 3881  df-uni 4089  df-iun 4170  df-br 4290  df-opab 4348  df-mpt 4349  df-tr 4383  df-eprel 4628  df-id 4632  df-po 4637  df-so 4638  df-fr 4675  df-we 4677  df-ord 4718  df-on 4719  df-lim 4720  df-suc 4721  df-xp 4842  df-rel 4843  df-cnv 4844  df-co 4845  df-dm 4846  df-rn 4847  df-res 4848  df-ima 4849  df-iota 5378  df-fun 5417  df-fn 5418  df-f 5419  df-f1 5420  df-fo 5421  df-f1o 5422  df-fv 5423  df-om 6476  df-recs 6828  df-rdg 6862  df-1o 6916  df-wun 8865

This theorem is referenced by:  wunex  8902  wuncval2  8910