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Theorem wunex2 9181
Description: Construct a weak universe from a given set. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
wunex2.f  |-  F  =  ( rec ( ( z  e.  _V  |->  ( ( z  u.  U. z )  u.  U_ x  e.  z  ( { ~P x ,  U. x }  u.  ran  ( y  e.  z 
|->  { x ,  y } ) ) ) ) ,  ( A  u.  1o ) )  |`  om )
wunex2.u  |-  U  = 
U. ran  F
Assertion
Ref Expression
wunex2  |-  ( A  e.  V  ->  ( U  e. WUni  /\  A  C_  U ) )
Distinct variable group:    x, y, z
Allowed substitution hints:    A( x, y, z)    U( x, y, z)    F( x, y, z)    V( x, y, z)

Proof of Theorem wunex2
Dummy variables  u  a  v  w  b  m  n  i  k are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 wunex2.u . . . . . . . 8  |-  U  = 
U. ran  F
21eleq2i 2541 . . . . . . 7  |-  ( a  e.  U  <->  a  e.  U.
ran  F )
3 frfnom 7170 . . . . . . . . 9  |-  ( rec ( ( z  e. 
_V  |->  ( ( z  u.  U. z )  u.  U_ x  e.  z  ( { ~P x ,  U. x }  u.  ran  ( y  e.  z  |->  { x ,  y } ) ) ) ) ,  ( A  u.  1o ) )  |`  om )  Fn  om
4 wunex2.f . . . . . . . . . 10  |-  F  =  ( rec ( ( z  e.  _V  |->  ( ( z  u.  U. z )  u.  U_ x  e.  z  ( { ~P x ,  U. x }  u.  ran  ( y  e.  z 
|->  { x ,  y } ) ) ) ) ,  ( A  u.  1o ) )  |`  om )
54fneq1i 5680 . . . . . . . . 9  |-  ( F  Fn  om  <->  ( rec ( ( z  e. 
_V  |->  ( ( z  u.  U. z )  u.  U_ x  e.  z  ( { ~P x ,  U. x }  u.  ran  ( y  e.  z  |->  { x ,  y } ) ) ) ) ,  ( A  u.  1o ) )  |`  om )  Fn  om )
63, 5mpbir 214 . . . . . . . 8  |-  F  Fn  om
7 fnunirn 6176 . . . . . . . 8  |-  ( F  Fn  om  ->  (
a  e.  U. ran  F  <->  E. m  e.  om  a  e.  ( F `  m ) ) )
86, 7ax-mp 5 . . . . . . 7  |-  ( a  e.  U. ran  F  <->  E. m  e.  om  a  e.  ( F `  m
) )
92, 8bitri 257 . . . . . 6  |-  ( a  e.  U  <->  E. m  e.  om  a  e.  ( F `  m ) )
10 elssuni 4219 . . . . . . . . . . 11  |-  ( a  e.  ( F `  m )  ->  a  C_ 
U. ( F `  m ) )
1110ad2antll 743 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  V  /\  ( m  e.  om  /\  a  e.  ( F `
 m ) ) )  ->  a  C_  U. ( F `  m
) )
12 ssun2 3589 . . . . . . . . . . 11  |-  U. ( F `  m )  C_  ( ( F `  m )  u.  U. ( F `  m ) )
13 ssun1 3588 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F `  m )  u.  U. ( F `
 m ) ) 
C_  ( ( ( F `  m )  u.  U. ( F `
 m ) )  u.  U_ u  e.  ( F `  m
) ( { ~P u ,  U. u }  u.  ran  ( v  e.  ( F `  m )  |->  { u ,  v } ) ) )
1412, 13sstri 3427 . . . . . . . . . 10  |-  U. ( F `  m )  C_  ( ( ( F `
 m )  u. 
U. ( F `  m ) )  u. 
U_ u  e.  ( F `  m ) ( { ~P u ,  U. u }  u.  ran  ( v  e.  ( F `  m ) 
|->  { u ,  v } ) ) )
1511, 14syl6ss 3430 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  V  /\  ( m  e.  om  /\  a  e.  ( F `
 m ) ) )  ->  a  C_  ( ( ( F `
 m )  u. 
U. ( F `  m ) )  u. 
U_ u  e.  ( F `  m ) ( { ~P u ,  U. u }  u.  ran  ( v  e.  ( F `  m ) 
|->  { u ,  v } ) ) ) )
16 simprl 772 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  V  /\  ( m  e.  om  /\  a  e.  ( F `
 m ) ) )  ->  m  e.  om )
17 fvex 5889 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( F `
 m )  e. 
_V
1817uniex 6606 . . . . . . . . . . . 12  |-  U. ( F `  m )  e.  _V
1917, 18unex 6608 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F `  m )  u.  U. ( F `
 m ) )  e.  _V
20 prex 4642 . . . . . . . . . . . . 13  |-  { ~P u ,  U. u }  e.  _V
2117mptex 6152 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( v  e.  ( F `  m )  |->  { u ,  v } )  e.  _V
2221rnex 6746 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ran  (
v  e.  ( F `
 m )  |->  { u ,  v } )  e.  _V
2320, 22unex 6608 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( { ~P u ,  U. u }  u.  ran  ( v  e.  ( F `  m ) 
|->  { u ,  v } ) )  e. 
_V
2417, 23iunex 6792 . . . . . . . . . . 11  |-  U_ u  e.  ( F `  m
) ( { ~P u ,  U. u }  u.  ran  ( v  e.  ( F `  m )  |->  { u ,  v } ) )  e.  _V
2519, 24unex 6608 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( F `  m
)  u.  U. ( F `  m )
)  u.  U_ u  e.  ( F `  m
) ( { ~P u ,  U. u }  u.  ran  ( v  e.  ( F `  m )  |->  { u ,  v } ) ) )  e.  _V
26 id 22 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( w  =  z  ->  w  =  z )
27 unieq 4198 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( w  =  z  ->  U. w  =  U. z )
2826, 27uneq12d 3580 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( w  =  z  ->  (
w  u.  U. w
)  =  ( z  u.  U. z ) )
29 pweq 3945 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( u  =  x  ->  ~P u  =  ~P x
)
30 unieq 4198 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( u  =  x  ->  U. u  =  U. x )
3129, 30preq12d 4050 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( u  =  x  ->  { ~P u ,  U. u }  =  { ~P x ,  U. x } )
32 preq2 4043 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( v  =  y  ->  { u ,  v }  =  { u ,  y } )
3332cbvmptv 4488 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( v  e.  w  |->  { u ,  v } )  =  ( y  e.  w  |->  { u ,  y } )
34 preq1 4042 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( u  =  x  ->  { u ,  y }  =  { x ,  y } )
3534mpteq2dv 4483 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( u  =  x  ->  (
y  e.  w  |->  { u ,  y } )  =  ( y  e.  w  |->  { x ,  y } ) )
3633, 35syl5eq 2517 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( u  =  x  ->  (
v  e.  w  |->  { u ,  v } )  =  ( y  e.  w  |->  { x ,  y } ) )
3736rneqd 5068 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( u  =  x  ->  ran  ( v  e.  w  |->  { u ,  v } )  =  ran  ( y  e.  w  |->  { x ,  y } ) )
3831, 37uneq12d 3580 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( u  =  x  ->  ( { ~P u ,  U. u }  u.  ran  ( v  e.  w  |->  { u ,  v } ) )  =  ( { ~P x ,  U. x }  u.  ran  ( y  e.  w  |->  { x ,  y } ) ) )
3938cbviunv 4308 . . . . . . . . . . . . 13  |-  U_ u  e.  w  ( { ~P u ,  U. u }  u.  ran  ( v  e.  w  |->  { u ,  v } ) )  =  U_ x  e.  w  ( { ~P x ,  U. x }  u.  ran  ( y  e.  w  |->  { x ,  y } ) )
40 mpteq1 4476 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( w  =  z  ->  (
y  e.  w  |->  { x ,  y } )  =  ( y  e.  z  |->  { x ,  y } ) )
4140rneqd 5068 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( w  =  z  ->  ran  ( y  e.  w  |->  { x ,  y } )  =  ran  ( y  e.  z 
|->  { x ,  y } ) )
4241uneq2d 3579 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( w  =  z  ->  ( { ~P x ,  U. x }  u.  ran  ( y  e.  w  |->  { x ,  y } ) )  =  ( { ~P x ,  U. x }  u.  ran  ( y  e.  z 
|->  { x ,  y } ) ) )
4326, 42iuneq12d 4295 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( w  =  z  ->  U_ x  e.  w  ( { ~P x ,  U. x }  u.  ran  ( y  e.  w  |->  { x ,  y } ) )  =  U_ x  e.  z  ( { ~P x ,  U. x }  u.  ran  ( y  e.  z  |->  { x ,  y } ) ) )
4439, 43syl5eq 2517 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( w  =  z  ->  U_ u  e.  w  ( { ~P u ,  U. u }  u.  ran  ( v  e.  w  |->  { u ,  v } ) )  =  U_ x  e.  z  ( { ~P x ,  U. x }  u.  ran  ( y  e.  z  |->  { x ,  y } ) ) )
4528, 44uneq12d 3580 . . . . . . . . . . 11  |-  ( w  =  z  ->  (
( w  u.  U. w )  u.  U_ u  e.  w  ( { ~P u ,  U. u }  u.  ran  ( v  e.  w  |->  { u ,  v } ) ) )  =  ( ( z  u.  U. z )  u.  U_ x  e.  z  ( { ~P x ,  U. x }  u.  ran  ( y  e.  z  |->  { x ,  y } ) ) ) )
46 id 22 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( w  =  ( F `  m )  ->  w  =  ( F `  m ) )
47 unieq 4198 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( w  =  ( F `  m )  ->  U. w  =  U. ( F `  m ) )
4846, 47uneq12d 3580 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( w  =  ( F `  m )  ->  (
w  u.  U. w
)  =  ( ( F `  m )  u.  U. ( F `
 m ) ) )
49 mpteq1 4476 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( w  =  ( F `  m )  ->  (
v  e.  w  |->  { u ,  v } )  =  ( v  e.  ( F `  m )  |->  { u ,  v } ) )
5049rneqd 5068 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( w  =  ( F `  m )  ->  ran  ( v  e.  w  |->  { u ,  v } )  =  ran  ( v  e.  ( F `  m ) 
|->  { u ,  v } ) )
5150uneq2d 3579 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( w  =  ( F `  m )  ->  ( { ~P u ,  U. u }  u.  ran  ( v  e.  w  |->  { u ,  v } ) )  =  ( { ~P u ,  U. u }  u.  ran  ( v  e.  ( F `  m ) 
|->  { u ,  v } ) ) )
5246, 51iuneq12d 4295 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( w  =  ( F `  m )  ->  U_ u  e.  w  ( { ~P u ,  U. u }  u.  ran  ( v  e.  w  |->  { u ,  v } ) )  =  U_ u  e.  ( F `  m
) ( { ~P u ,  U. u }  u.  ran  ( v  e.  ( F `  m )  |->  { u ,  v } ) ) )
5348, 52uneq12d 3580 . . . . . . . . . . 11  |-  ( w  =  ( F `  m )  ->  (
( w  u.  U. w )  u.  U_ u  e.  w  ( { ~P u ,  U. u }  u.  ran  ( v  e.  w  |->  { u ,  v } ) ) )  =  ( ( ( F `  m )  u.  U. ( F `
 m ) )  u.  U_ u  e.  ( F `  m
) ( { ~P u ,  U. u }  u.  ran  ( v  e.  ( F `  m )  |->  { u ,  v } ) ) ) )
544, 45, 53frsucmpt2 7175 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( m  e.  om  /\  ( ( ( F `
 m )  u. 
U. ( F `  m ) )  u. 
U_ u  e.  ( F `  m ) ( { ~P u ,  U. u }  u.  ran  ( v  e.  ( F `  m ) 
|->  { u ,  v } ) ) )  e.  _V )  -> 
( F `  suc  m )  =  ( ( ( F `  m )  u.  U. ( F `  m ) )  u.  U_ u  e.  ( F `  m
) ( { ~P u ,  U. u }  u.  ran  ( v  e.  ( F `  m )  |->  { u ,  v } ) ) ) )
5516, 25, 54sylancl 675 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  V  /\  ( m  e.  om  /\  a  e.  ( F `
 m ) ) )  ->  ( F `  suc  m )  =  ( ( ( F `
 m )  u. 
U. ( F `  m ) )  u. 
U_ u  e.  ( F `  m ) ( { ~P u ,  U. u }  u.  ran  ( v  e.  ( F `  m ) 
|->  { u ,  v } ) ) ) )
5615, 55sseqtr4d 3455 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  V  /\  ( m  e.  om  /\  a  e.  ( F `
 m ) ) )  ->  a  C_  ( F `  suc  m
) )
57 fvssunirn 5902 . . . . . . . . 9  |-  ( F `
 suc  m )  C_ 
U. ran  F
5857, 1sseqtr4i 3451 . . . . . . . 8  |-  ( F `
 suc  m )  C_  U
5956, 58syl6ss 3430 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  V  /\  ( m  e.  om  /\  a  e.  ( F `
 m ) ) )  ->  a  C_  U )
6059rexlimdvaa 2872 . . . . . 6  |-  ( A  e.  V  ->  ( E. m  e.  om  a  e.  ( F `  m )  ->  a  C_  U ) )
619, 60syl5bi 225 . . . . 5  |-  ( A  e.  V  ->  (
a  e.  U  -> 
a  C_  U )
)
6261ralrimiv 2808 . . . 4  |-  ( A  e.  V  ->  A. a  e.  U  a  C_  U )
63 dftr3 4494 . . . 4  |-  ( Tr  U  <->  A. a  e.  U  a  C_  U )
6462, 63sylibr 217 . . 3  |-  ( A  e.  V  ->  Tr  U )
65 1on 7207 . . . . . . . 8  |-  1o  e.  On
66 unexg 6611 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  V  /\  1o  e.  On )  -> 
( A  u.  1o )  e.  _V )
6765, 66mpan2 685 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  V  ->  ( A  u.  1o )  e.  _V )
684fveq1i 5880 . . . . . . . 8  |-  ( F `
 (/) )  =  ( ( rec ( ( z  e.  _V  |->  ( ( z  u.  U. z )  u.  U_ x  e.  z  ( { ~P x ,  U. x }  u.  ran  ( y  e.  z 
|->  { x ,  y } ) ) ) ) ,  ( A  u.  1o ) )  |`  om ) `  (/) )
69 fr0g 7171 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  u.  1o )  e.  _V  ->  (
( rec ( ( z  e.  _V  |->  ( ( z  u.  U. z )  u.  U_ x  e.  z  ( { ~P x ,  U. x }  u.  ran  ( y  e.  z 
|->  { x ,  y } ) ) ) ) ,  ( A  u.  1o ) )  |`  om ) `  (/) )  =  ( A  u.  1o ) )
7068, 69syl5eq 2517 . . . . . . 7  |-  ( ( A  u.  1o )  e.  _V  ->  ( F `  (/) )  =  ( A  u.  1o ) )
7167, 70syl 17 . . . . . 6  |-  ( A  e.  V  ->  ( F `  (/) )  =  ( A  u.  1o ) )
72 fvssunirn 5902 . . . . . . 7  |-  ( F `
 (/) )  C_  U. ran  F
7372, 1sseqtr4i 3451 . . . . . 6  |-  ( F `
 (/) )  C_  U
7471, 73syl6eqssr 3469 . . . . 5  |-  ( A  e.  V  ->  ( A  u.  1o )  C_  U )
7574unssbd 3603 . . . 4  |-  ( A  e.  V  ->  1o  C_  U )
76 1n0 7215 . . . 4  |-  1o  =/=  (/)
77 ssn0 3770 . . . 4  |-  ( ( 1o  C_  U  /\  1o  =/=  (/) )  ->  U  =/=  (/) )
7875, 76, 77sylancl 675 . . 3  |-  ( A  e.  V  ->  U  =/=  (/) )
79 pweq 3945 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( u  =  a  ->  ~P u  =  ~P a
)
80 unieq 4198 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( u  =  a  ->  U. u  =  U. a )
8179, 80preq12d 4050 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( u  =  a  ->  { ~P u ,  U. u }  =  { ~P a ,  U. a } )
82 preq1 4042 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( u  =  a  ->  { u ,  v }  =  { a ,  v } )
8382mpteq2dv 4483 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( u  =  a  ->  (
v  e.  ( F `
 m )  |->  { u ,  v } )  =  ( v  e.  ( F `  m )  |->  { a ,  v } ) )
8483rneqd 5068 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( u  =  a  ->  ran  ( v  e.  ( F `  m ) 
|->  { u ,  v } )  =  ran  ( v  e.  ( F `  m ) 
|->  { a ,  v } ) )
8581, 84uneq12d 3580 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( u  =  a  ->  ( { ~P u ,  U. u }  u.  ran  ( v  e.  ( F `  m ) 
|->  { u ,  v } ) )  =  ( { ~P a ,  U. a }  u.  ran  ( v  e.  ( F `  m ) 
|->  { a ,  v } ) ) )
8685ssiun2s 4313 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( a  e.  ( F `  m )  ->  ( { ~P a ,  U. a }  u.  ran  ( v  e.  ( F `  m ) 
|->  { a ,  v } ) )  C_  U_ u  e.  ( F `
 m ) ( { ~P u , 
U. u }  u.  ran  ( v  e.  ( F `  m ) 
|->  { u ,  v } ) ) )
8786ad2antll 743 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  V  /\  ( m  e.  om  /\  a  e.  ( F `
 m ) ) )  ->  ( { ~P a ,  U. a }  u.  ran  ( v  e.  ( F `  m )  |->  { a ,  v } ) )  C_  U_ u  e.  ( F `  m
) ( { ~P u ,  U. u }  u.  ran  ( v  e.  ( F `  m )  |->  { u ,  v } ) ) )
88 ssun2 3589 . . . . . . . . . . . . 13  |-  U_ u  e.  ( F `  m
) ( { ~P u ,  U. u }  u.  ran  ( v  e.  ( F `  m )  |->  { u ,  v } ) )  C_  ( (
( F `  m
)  u.  U. ( F `  m )
)  u.  U_ u  e.  ( F `  m
) ( { ~P u ,  U. u }  u.  ran  ( v  e.  ( F `  m )  |->  { u ,  v } ) ) )
8988, 55syl5sseqr 3467 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  V  /\  ( m  e.  om  /\  a  e.  ( F `
 m ) ) )  ->  U_ u  e.  ( F `  m
) ( { ~P u ,  U. u }  u.  ran  ( v  e.  ( F `  m )  |->  { u ,  v } ) )  C_  ( F `  suc  m ) )
9089, 58syl6ss 3430 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  V  /\  ( m  e.  om  /\  a  e.  ( F `
 m ) ) )  ->  U_ u  e.  ( F `  m
) ( { ~P u ,  U. u }  u.  ran  ( v  e.  ( F `  m )  |->  { u ,  v } ) )  C_  U )
9187, 90sstrd 3428 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  V  /\  ( m  e.  om  /\  a  e.  ( F `
 m ) ) )  ->  ( { ~P a ,  U. a }  u.  ran  ( v  e.  ( F `  m )  |->  { a ,  v } ) )  C_  U )
9291unssad 3602 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  V  /\  ( m  e.  om  /\  a  e.  ( F `
 m ) ) )  ->  { ~P a ,  U. a }  C_  U )
93 vex 3034 . . . . . . . . . . 11  |-  a  e. 
_V
9493pwex 4584 . . . . . . . . . 10  |-  ~P a  e.  _V
9593uniex 6606 . . . . . . . . . 10  |-  U. a  e.  _V
9694, 95prss 4117 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ~P a  e.  U  /\  U. a  e.  U
)  <->  { ~P a , 
U. a }  C_  U )
9792, 96sylibr 217 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  V  /\  ( m  e.  om  /\  a  e.  ( F `
 m ) ) )  ->  ( ~P a  e.  U  /\  U. a  e.  U ) )
9897simprd 470 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  V  /\  ( m  e.  om  /\  a  e.  ( F `
 m ) ) )  ->  U. a  e.  U )
9997simpld 466 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  V  /\  ( m  e.  om  /\  a  e.  ( F `
 m ) ) )  ->  ~P a  e.  U )
1001eleq2i 2541 . . . . . . . . . 10  |-  ( b  e.  U  <->  b  e.  U.
ran  F )
101 fnunirn 6176 . . . . . . . . . . 11  |-  ( F  Fn  om  ->  (
b  e.  U. ran  F  <->  E. n  e.  om  b  e.  ( F `  n ) ) )
1026, 101ax-mp 5 . . . . . . . . . 10  |-  ( b  e.  U. ran  F  <->  E. n  e.  om  b  e.  ( F `  n
) )
103100, 102bitri 257 . . . . . . . . 9  |-  ( b  e.  U  <->  E. n  e.  om  b  e.  ( F `  n ) )
104 simplrl 778 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  ( m  e.  om  /\  a  e.  ( F `
 m ) ) )  /\  ( n  e.  om  /\  b  e.  ( F `  n
) ) )  ->  m  e.  om )
105 simprl 772 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  ( m  e.  om  /\  a  e.  ( F `
 m ) ) )  /\  ( n  e.  om  /\  b  e.  ( F `  n
) ) )  ->  n  e.  om )
106 ordom 6720 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  Ord  om
107 ordunel 6673 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( Ord  om  /\  m  e.  om  /\  n  e. 
om )  ->  (
m  u.  n )  e.  om )
108106, 107mp3an1 1377 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( m  e.  om  /\  n  e.  om )  ->  ( m  u.  n
)  e.  om )
109104, 105, 108syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  ( m  e.  om  /\  a  e.  ( F `
 m ) ) )  /\  ( n  e.  om  /\  b  e.  ( F `  n
) ) )  -> 
( m  u.  n
)  e.  om )
110 ssun1 3588 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  m  C_  ( m  u.  n
)
111 fveq2 5879 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( k  =  m  ->  ( F `  k )  =  ( F `  m ) )
112111sseq2d 3446 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( k  =  m  ->  (
( F `  m
)  C_  ( F `  k )  <->  ( F `  m )  C_  ( F `  m )
) )
113 fveq2 5879 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( k  =  i  ->  ( F `  k )  =  ( F `  i ) )
114113sseq2d 3446 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( k  =  i  ->  (
( F `  m
)  C_  ( F `  k )  <->  ( F `  m )  C_  ( F `  i )
) )
115 fveq2 5879 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( k  =  suc  i  -> 
( F `  k
)  =  ( F `
 suc  i )
)
116115sseq2d 3446 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( k  =  suc  i  -> 
( ( F `  m )  C_  ( F `  k )  <->  ( F `  m ) 
C_  ( F `  suc  i ) ) )
117 fveq2 5879 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( k  =  ( m  u.  n )  ->  ( F `  k )  =  ( F `  ( m  u.  n
) ) )
118117sseq2d 3446 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( k  =  ( m  u.  n )  ->  (
( F `  m
)  C_  ( F `  k )  <->  ( F `  m )  C_  ( F `  ( m  u.  n ) ) ) )
119 ssid 3437 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( F `
 m )  C_  ( F `  m )
120119a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( m  e.  om  ->  ( F `  m )  C_  ( F `  m
) )
121 fveq2 5879 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( m  =  i  ->  ( F `  m )  =  ( F `  i ) )
122 suceq 5495 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( m  =  i  ->  suc  m  =  suc  i )
123122fveq2d 5883 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( m  =  i  ->  ( F `  suc  m )  =  ( F `  suc  i ) )
124121, 123sseq12d 3447 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( m  =  i  ->  (
( F `  m
)  C_  ( F `  suc  m )  <->  ( F `  i )  C_  ( F `  suc  i ) ) )
125 ssun1 3588 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( F `
 m )  C_  ( ( F `  m )  u.  U. ( F `  m ) )
126125, 13sstri 3427 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( F `
 m )  C_  ( ( ( F `
 m )  u. 
U. ( F `  m ) )  u. 
U_ u  e.  ( F `  m ) ( { ~P u ,  U. u }  u.  ran  ( v  e.  ( F `  m ) 
|->  { u ,  v } ) ) )
12725, 54mpan2 685 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( m  e.  om  ->  ( F `  suc  m )  =  ( ( ( F `  m )  u.  U. ( F `
 m ) )  u.  U_ u  e.  ( F `  m
) ( { ~P u ,  U. u }  u.  ran  ( v  e.  ( F `  m )  |->  { u ,  v } ) ) ) )
128126, 127syl5sseqr 3467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( m  e.  om  ->  ( F `  m )  C_  ( F `  suc  m ) )
129124, 128vtoclga 3099 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( i  e.  om  ->  ( F `  i )  C_  ( F `  suc  i ) )
130129ad2antrr 740 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( i  e.  om  /\  m  e.  om )  /\  m  C_  i )  ->  ( F `  i )  C_  ( F `  suc  i ) )
131 sstr2 3425 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( F `  m ) 
C_  ( F `  i )  ->  (
( F `  i
)  C_  ( F `  suc  i )  -> 
( F `  m
)  C_  ( F `  suc  i ) ) )
132130, 131syl5com 30 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( i  e.  om  /\  m  e.  om )  /\  m  C_  i )  ->  ( ( F `
 m )  C_  ( F `  i )  ->  ( F `  m )  C_  ( F `  suc  i ) ) )
133112, 114, 116, 118, 120, 132findsg 6739 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( m  u.  n )  e.  om  /\  m  e.  om )  /\  m  C_  ( m  u.  n ) )  ->  ( F `  m )  C_  ( F `  ( m  u.  n ) ) )
134110, 133mpan2 685 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( m  u.  n
)  e.  om  /\  m  e.  om )  ->  ( F `  m
)  C_  ( F `  ( m  u.  n
) ) )
135109, 104, 134syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  ( m  e.  om  /\  a  e.  ( F `
 m ) ) )  /\  ( n  e.  om  /\  b  e.  ( F `  n
) ) )  -> 
( F `  m
)  C_  ( F `  ( m  u.  n
) ) )
136 simplrr 779 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  ( m  e.  om  /\  a  e.  ( F `
 m ) ) )  /\  ( n  e.  om  /\  b  e.  ( F `  n
) ) )  -> 
a  e.  ( F `
 m ) )
137135, 136sseldd 3419 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  ( m  e.  om  /\  a  e.  ( F `
 m ) ) )  /\  ( n  e.  om  /\  b  e.  ( F `  n
) ) )  -> 
a  e.  ( F `
 ( m  u.  n ) ) )
13882mpteq2dv 4483 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( u  =  a  ->  (
v  e.  ( F `
 ( m  u.  n ) )  |->  { u ,  v } )  =  ( v  e.  ( F `  ( m  u.  n
) )  |->  { a ,  v } ) )
139138rneqd 5068 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( u  =  a  ->  ran  ( v  e.  ( F `  ( m  u.  n ) ) 
|->  { u ,  v } )  =  ran  ( v  e.  ( F `  ( m  u.  n ) ) 
|->  { a ,  v } ) )
14081, 139uneq12d 3580 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( u  =  a  ->  ( { ~P u ,  U. u }  u.  ran  ( v  e.  ( F `  ( m  u.  n ) ) 
|->  { u ,  v } ) )  =  ( { ~P a ,  U. a }  u.  ran  ( v  e.  ( F `  ( m  u.  n ) ) 
|->  { a ,  v } ) ) )
141140ssiun2s 4313 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( a  e.  ( F `  ( m  u.  n
) )  ->  ( { ~P a ,  U. a }  u.  ran  ( v  e.  ( F `  ( m  u.  n ) ) 
|->  { a ,  v } ) )  C_  U_ u  e.  ( F `
 ( m  u.  n ) ) ( { ~P u , 
U. u }  u.  ran  ( v  e.  ( F `  ( m  u.  n ) ) 
|->  { u ,  v } ) ) )
142137, 141syl 17 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  ( m  e.  om  /\  a  e.  ( F `
 m ) ) )  /\  ( n  e.  om  /\  b  e.  ( F `  n
) ) )  -> 
( { ~P a ,  U. a }  u.  ran  ( v  e.  ( F `  ( m  u.  n ) ) 
|->  { a ,  v } ) )  C_  U_ u  e.  ( F `
 ( m  u.  n ) ) ( { ~P u , 
U. u }  u.  ran  ( v  e.  ( F `  ( m  u.  n ) ) 
|->  { u ,  v } ) ) )
143 ssun2 3589 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  U_ u  e.  ( F `  (
m  u.  n ) ) ( { ~P u ,  U. u }  u.  ran  ( v  e.  ( F `  ( m  u.  n
) )  |->  { u ,  v } ) )  C_  ( (
( F `  (
m  u.  n ) )  u.  U. ( F `  ( m  u.  n ) ) )  u.  U_ u  e.  ( F `  (
m  u.  n ) ) ( { ~P u ,  U. u }  u.  ran  ( v  e.  ( F `  ( m  u.  n
) )  |->  { u ,  v } ) ) )
144 fvex 5889 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( F `
 ( m  u.  n ) )  e. 
_V
145144uniex 6606 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  U. ( F `  ( m  u.  n ) )  e. 
_V
146144, 145unex 6608 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( F `  ( m  u.  n ) )  u.  U. ( F `
 ( m  u.  n ) ) )  e.  _V
147144mptex 6152 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( v  e.  ( F `  ( m  u.  n
) )  |->  { u ,  v } )  e.  _V
148147rnex 6746 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ran  (
v  e.  ( F `
 ( m  u.  n ) )  |->  { u ,  v } )  e.  _V
14920, 148unex 6608 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( { ~P u ,  U. u }  u.  ran  ( v  e.  ( F `  ( m  u.  n ) ) 
|->  { u ,  v } ) )  e. 
_V
150144, 149iunex 6792 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  U_ u  e.  ( F `  (
m  u.  n ) ) ( { ~P u ,  U. u }  u.  ran  ( v  e.  ( F `  ( m  u.  n
) )  |->  { u ,  v } ) )  e.  _V
151146, 150unex 6608 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( F `  (
m  u.  n ) )  u.  U. ( F `  ( m  u.  n ) ) )  u.  U_ u  e.  ( F `  (
m  u.  n ) ) ( { ~P u ,  U. u }  u.  ran  ( v  e.  ( F `  ( m  u.  n
) )  |->  { u ,  v } ) ) )  e.  _V
152 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( w  =  ( F `  ( m  u.  n
) )  ->  w  =  ( F `  ( m  u.  n
) ) )
153 unieq 4198 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( w  =  ( F `  ( m  u.  n
) )  ->  U. w  =  U. ( F `  ( m  u.  n
) ) )
154152, 153uneq12d 3580 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( w  =  ( F `  ( m  u.  n
) )  ->  (
w  u.  U. w
)  =  ( ( F `  ( m  u.  n ) )  u.  U. ( F `
 ( m  u.  n ) ) ) )
155 mpteq1 4476 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( w  =  ( F `  ( m  u.  n
) )  ->  (
v  e.  w  |->  { u ,  v } )  =  ( v  e.  ( F `  ( m  u.  n
) )  |->  { u ,  v } ) )
156155rneqd 5068 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( w  =  ( F `  ( m  u.  n
) )  ->  ran  ( v  e.  w  |->  { u ,  v } )  =  ran  ( v  e.  ( F `  ( m  u.  n ) ) 
|->  { u ,  v } ) )
157156uneq2d 3579 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( w  =  ( F `  ( m  u.  n
) )  ->  ( { ~P u ,  U. u }  u.  ran  ( v  e.  w  |->  { u ,  v } ) )  =  ( { ~P u ,  U. u }  u.  ran  ( v  e.  ( F `  ( m  u.  n ) ) 
|->  { u ,  v } ) ) )
158152, 157iuneq12d 4295 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( w  =  ( F `  ( m  u.  n
) )  ->  U_ u  e.  w  ( { ~P u ,  U. u }  u.  ran  ( v  e.  w  |->  { u ,  v } ) )  =  U_ u  e.  ( F `  (
m  u.  n ) ) ( { ~P u ,  U. u }  u.  ran  ( v  e.  ( F `  ( m  u.  n
) )  |->  { u ,  v } ) ) )
159154, 158uneq12d 3580 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( w  =  ( F `  ( m  u.  n
) )  ->  (
( w  u.  U. w )  u.  U_ u  e.  w  ( { ~P u ,  U. u }  u.  ran  ( v  e.  w  |->  { u ,  v } ) ) )  =  ( ( ( F `  ( m  u.  n ) )  u.  U. ( F `
 ( m  u.  n ) ) )  u.  U_ u  e.  ( F `  (
m  u.  n ) ) ( { ~P u ,  U. u }  u.  ran  ( v  e.  ( F `  ( m  u.  n
) )  |->  { u ,  v } ) ) ) )
1604, 45, 159frsucmpt2 7175 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( m  u.  n
)  e.  om  /\  ( ( ( F `
 ( m  u.  n ) )  u. 
U. ( F `  ( m  u.  n
) ) )  u. 
U_ u  e.  ( F `  ( m  u.  n ) ) ( { ~P u ,  U. u }  u.  ran  ( v  e.  ( F `  ( m  u.  n ) ) 
|->  { u ,  v } ) ) )  e.  _V )  -> 
( F `  suc  ( m  u.  n
) )  =  ( ( ( F `  ( m  u.  n
) )  u.  U. ( F `  ( m  u.  n ) ) )  u.  U_ u  e.  ( F `  (
m  u.  n ) ) ( { ~P u ,  U. u }  u.  ran  ( v  e.  ( F `  ( m  u.  n
) )  |->  { u ,  v } ) ) ) )
161109, 151, 160sylancl 675 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  ( m  e.  om  /\  a  e.  ( F `
 m ) ) )  /\  ( n  e.  om  /\  b  e.  ( F `  n
) ) )  -> 
( F `  suc  ( m  u.  n
) )  =  ( ( ( F `  ( m  u.  n
) )  u.  U. ( F `  ( m  u.  n ) ) )  u.  U_ u  e.  ( F `  (
m  u.  n ) ) ( { ~P u ,  U. u }  u.  ran  ( v  e.  ( F `  ( m  u.  n
) )  |->  { u ,  v } ) ) ) )
162143, 161syl5sseqr 3467 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  ( m  e.  om  /\  a  e.  ( F `
 m ) ) )  /\  ( n  e.  om  /\  b  e.  ( F `  n
) ) )  ->  U_ u  e.  ( F `  ( m  u.  n ) ) ( { ~P u , 
U. u }  u.  ran  ( v  e.  ( F `  ( m  u.  n ) ) 
|->  { u ,  v } ) )  C_  ( F `  suc  (
m  u.  n ) ) )
163 fvssunirn 5902 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( F `
 suc  ( m  u.  n ) )  C_  U.
ran  F
164163, 1sseqtr4i 3451 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( F `
 suc  ( m  u.  n ) )  C_  U
165162, 164syl6ss 3430 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  ( m  e.  om  /\  a  e.  ( F `
 m ) ) )  /\  ( n  e.  om  /\  b  e.  ( F `  n
) ) )  ->  U_ u  e.  ( F `  ( m  u.  n ) ) ( { ~P u , 
U. u }  u.  ran  ( v  e.  ( F `  ( m  u.  n ) ) 
|->  { u ,  v } ) )  C_  U )
166142, 165sstrd 3428 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  ( m  e.  om  /\  a  e.  ( F `
 m ) ) )  /\  ( n  e.  om  /\  b  e.  ( F `  n
) ) )  -> 
( { ~P a ,  U. a }  u.  ran  ( v  e.  ( F `  ( m  u.  n ) ) 
|->  { a ,  v } ) )  C_  U )
167166unssbd 3603 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  ( m  e.  om  /\  a  e.  ( F `
 m ) ) )  /\  ( n  e.  om  /\  b  e.  ( F `  n
) ) )  ->  ran  ( v  e.  ( F `  ( m  u.  n ) ) 
|->  { a ,  v } )  C_  U
)
168 ssun2 3589 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  n  C_  ( m  u.  n
)
169 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( i  =  ( m  u.  n )  ->  i  =  ( m  u.  n ) )
170168, 169syl5sseqr 3467 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( i  =  ( m  u.  n )  ->  n  C_  i )
171170biantrud 515 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( i  =  ( m  u.  n )  ->  (
n  e.  om  <->  ( n  e.  om  /\  n  C_  i ) ) )
172171bicomd 206 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( i  =  ( m  u.  n )  ->  (
( n  e.  om  /\  n  C_  i )  <->  n  e.  om ) )
173 fveq2 5879 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( i  =  ( m  u.  n )  ->  ( F `  i )  =  ( F `  ( m  u.  n
) ) )
174173sseq2d 3446 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( i  =  ( m  u.  n )  ->  (
( F `  n
)  C_  ( F `  i )  <->  ( F `  n )  C_  ( F `  ( m  u.  n ) ) ) )
175172, 174imbi12d 327 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( i  =  ( m  u.  n )  ->  (
( ( n  e. 
om  /\  n  C_  i
)  ->  ( F `  n )  C_  ( F `  i )
)  <->  ( n  e. 
om  ->  ( F `  n )  C_  ( F `  ( m  u.  n ) ) ) ) )
176 eleq1 2537 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( m  =  n  ->  (
m  e.  om  <->  n  e.  om ) )
177176anbi2d 718 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( m  =  n  ->  (
( i  e.  om  /\  m  e.  om )  <->  ( i  e.  om  /\  n  e.  om )
) )
178 sseq1 3439 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( m  =  n  ->  (
m  C_  i  <->  n  C_  i
) )
179177, 178anbi12d 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( m  =  n  ->  (
( ( i  e. 
om  /\  m  e.  om )  /\  m  C_  i )  <->  ( (
i  e.  om  /\  n  e.  om )  /\  n  C_  i ) ) )
180 fveq2 5879 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( m  =  n  ->  ( F `  m )  =  ( F `  n ) )
181180sseq1d 3445 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( m  =  n  ->  (
( F `  m
)  C_  ( F `  i )  <->  ( F `  n )  C_  ( F `  i )
) )
182179, 181imbi12d 327 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( m  =  n  ->  (
( ( ( i  e.  om  /\  m  e.  om )  /\  m  C_  i )  ->  ( F `  m )  C_  ( F `  i
) )  <->  ( (
( i  e.  om  /\  n  e.  om )  /\  n  C_  i )  ->  ( F `  n )  C_  ( F `  i )
) ) )
183112, 114, 116, 114, 120, 132findsg 6739 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( i  e.  om  /\  m  e.  om )  /\  m  C_  i )  ->  ( F `  m )  C_  ( F `  i )
)
184182, 183chvarv 2120 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( i  e.  om  /\  n  e.  om )  /\  n  C_  i )  ->  ( F `  n )  C_  ( F `  i )
)
185184expl 630 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( i  e.  om  ->  (
( n  e.  om  /\  n  C_  i )  ->  ( F `  n
)  C_  ( F `  i ) ) )
186175, 185vtoclga 3099 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( m  u.  n )  e.  om  ->  (
n  e.  om  ->  ( F `  n ) 
C_  ( F `  ( m  u.  n
) ) ) )
187109, 105, 186sylc 61 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  ( m  e.  om  /\  a  e.  ( F `
 m ) ) )  /\  ( n  e.  om  /\  b  e.  ( F `  n
) ) )  -> 
( F `  n
)  C_  ( F `  ( m  u.  n
) ) )
188 simprr 774 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  ( m  e.  om  /\  a  e.  ( F `
 m ) ) )  /\  ( n  e.  om  /\  b  e.  ( F `  n
) ) )  -> 
b  e.  ( F `
 n ) )
189187, 188sseldd 3419 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  ( m  e.  om  /\  a  e.  ( F `
 m ) ) )  /\  ( n  e.  om  /\  b  e.  ( F `  n
) ) )  -> 
b  e.  ( F `
 ( m  u.  n ) ) )
190 prex 4642 . . . . . . . . . . . 12  |-  { a ,  b }  e.  _V
191 eqid 2471 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( v  e.  ( F `  ( m  u.  n
) )  |->  { a ,  v } )  =  ( v  e.  ( F `  (
m  u.  n ) )  |->  { a ,  v } )
192 preq2 4043 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( v  =  b  ->  { a ,  v }  =  { a ,  b } )
193191, 192elrnmpt1s 5088 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( b  e.  ( F `
 ( m  u.  n ) )  /\  { a ,  b }  e.  _V )  ->  { a ,  b }  e.  ran  (
v  e.  ( F `
 ( m  u.  n ) )  |->  { a ,  v } ) )
194189, 190, 193sylancl 675 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  ( m  e.  om  /\  a  e.  ( F `
 m ) ) )  /\  ( n  e.  om  /\  b  e.  ( F `  n
) ) )  ->  { a ,  b }  e.  ran  (
v  e.  ( F `
 ( m  u.  n ) )  |->  { a ,  v } ) )
195167, 194sseldd 3419 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  ( m  e.  om  /\  a  e.  ( F `
 m ) ) )  /\  ( n  e.  om  /\  b  e.  ( F `  n
) ) )  ->  { a ,  b }  e.  U )
196195rexlimdvaa 2872 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  V  /\  ( m  e.  om  /\  a  e.  ( F `
 m ) ) )  ->  ( E. n  e.  om  b  e.  ( F `  n
)  ->  { a ,  b }  e.  U ) )
197103, 196syl5bi 225 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  V  /\  ( m  e.  om  /\  a  e.  ( F `
 m ) ) )  ->  ( b  e.  U  ->  { a ,  b }  e.  U ) )
198197ralrimiv 2808 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  V  /\  ( m  e.  om  /\  a  e.  ( F `
 m ) ) )  ->  A. b  e.  U  { a ,  b }  e.  U )
19998, 99, 1983jca 1210 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  V  /\  ( m  e.  om  /\  a  e.  ( F `
 m ) ) )  ->  ( U. a  e.  U  /\  ~P a  e.  U  /\  A. b  e.  U  { a ,  b }  e.  U ) )
200199rexlimdvaa 2872 . . . . 5  |-  ( A  e.  V  ->  ( E. m  e.  om  a  e.  ( F `  m )  ->  ( U. a  e.  U  /\  ~P a  e.  U  /\  A. b  e.  U  { a ,  b }  e.  U ) ) )
2019, 200syl5bi 225 . . . 4  |-  ( A  e.  V  ->  (
a  e.  U  -> 
( U. a  e.  U  /\  ~P a  e.  U  /\  A. b  e.  U  { a ,  b }  e.  U ) ) )
202201ralrimiv 2808 . . 3  |-  ( A  e.  V  ->  A. a  e.  U  ( U. a  e.  U  /\  ~P a  e.  U  /\  A. b  e.  U  { a ,  b }  e.  U ) )
203 rdgfun 7152 . . . . . . . . 9  |-  Fun  rec ( ( z  e. 
_V  |->  ( ( z  u.  U. z )  u.  U_ x  e.  z  ( { ~P x ,  U. x }  u.  ran  ( y  e.  z  |->  { x ,  y } ) ) ) ) ,  ( A  u.  1o ) )
204 omex 8166 . . . . . . . . 9  |-  om  e.  _V
205 resfunexg 6146 . . . . . . . . 9  |-  ( ( Fun  rec ( ( z  e.  _V  |->  ( ( z  u.  U. z )  u.  U_ x  e.  z  ( { ~P x ,  U. x }  u.  ran  ( y  e.  z 
|->  { x ,  y } ) ) ) ) ,  ( A  u.  1o ) )  /\  om  e.  _V )  ->  ( rec (
( z  e.  _V  |->  ( ( z  u. 
U. z )  u. 
U_ x  e.  z  ( { ~P x ,  U. x }  u.  ran  ( y  e.  z 
|->  { x ,  y } ) ) ) ) ,  ( A  u.  1o ) )  |`  om )  e.  _V )
206203, 204, 205mp2an 686 . . . . . . . 8  |-  ( rec ( ( z  e. 
_V  |->  ( ( z  u.  U. z )  u.  U_ x  e.  z  ( { ~P x ,  U. x }  u.  ran  ( y  e.  z  |->  { x ,  y } ) ) ) ) ,  ( A  u.  1o ) )  |`  om )  e.  _V
2074, 206eqeltri 2545 . . . . . . 7  |-  F  e. 
_V
208207rnex 6746 . . . . . 6  |-  ran  F  e.  _V
209208uniex 6606 . . . . 5  |-  U. ran  F  e.  _V
2101, 209eqeltri 2545 . . . 4  |-  U  e. 
_V
211 iswun 9147 . . . 4  |-  ( U  e.  _V  ->  ( U  e. WUni  <->  ( Tr  U  /\  U  =/=  (/)  /\  A. a  e.  U  ( U. a  e.  U  /\  ~P a  e.  U  /\  A. b  e.  U  { a ,  b }  e.  U ) ) ) )
212210, 211ax-mp 5 . . 3  |-  ( U  e. WUni 
<->  ( Tr  U  /\  U  =/=  (/)  /\  A. a  e.  U  ( U. a  e.  U  /\  ~P a  e.  U  /\  A. b  e.  U  { a ,  b }  e.  U ) ) )
21364, 78, 202, 212syl3anbrc 1214 . 2  |-  ( A  e.  V  ->  U  e. WUni )
21474unssad 3602 . 2  |-  ( A  e.  V  ->  A  C_  U )
215213, 214jca 541 1  |-  ( A  e.  V  ->  ( U  e. WUni  /\  A  C_  U ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 189    /\ wa 376    /\ w3a 1007    = wceq 1452    e. wcel 1904    =/= wne 2641   A.wral 2756   E.wrex 2757   _Vcvv 3031    u. cun 3388    C_ wss 3390   (/)c0 3722   ~Pcpw 3942   {cpr 3961   U.cuni 4190   U_ciun 4269    |-> cmpt 4454   Tr wtr 4490   ran crn 4840    |` cres 4841   Ord word 5429   Oncon0 5430   suc csuc 5432   Fun wfun 5583    Fn wfn 5584   ` cfv 5589   omcom 6711   reccrdg 7145   1oc1o 7193  WUnicwun 9143
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-inf2 8164
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-om 6712  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-wun 9145
This theorem is referenced by:  wunex  9182  wuncval2  9190
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