Theorem wuncval2 8578

Description: Our earlier expression for a containing weak universe is in fact the weak universe closure. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Jan-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
wuncval2.f	|- F = ( rec ( ( z e. _V |-> ( ( z u. U. z ) u. U_ x e. z ( { ~P x , U. x } u. ran ( y e. z |-> { x , y } ) ) ) ) , ( A u. 1o ) ) |` om )
wuncval2.u	|- U = U. ran F

Assertion

Ref	Expression
wuncval2	|- ( A e. V -> (wUniCl ` A ) = U )

Distinct variable groups:   x, y, z   x, A, y   x, V, y

Allowed substitution hints:   A( z)   U( x, y, z)   F( x, y, z)   V( z)

Proof of Theorem wuncval2

Dummy variables v u w m n are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		wuncval2.f	. . . 4 |- F = ( rec ( ( z e. _V |-> ( ( z u. U. z ) u. U_ x e. z ( { ~P x , U. x } u. ran ( y e. z |-> { x , y } ) ) ) ) , ( A u. 1o ) ) |` om )
2		wuncval2.u	. . . 4 |- U = U. ran F
3	1, 2	wunex2 8569	. . 3 |- ( A e. V -> ( U e. WUni /\ A C_ U ) )
4		wuncss 8576	. . 3 |- ( ( U e. WUni /\ A C_ U ) -> (wUniCl ` A ) C_ U )
5	3, 4	syl 16	. 2 |- ( A e. V -> (wUniCl ` A ) C_ U )
6		frfnom 6651	. . . . . 6 |- ( rec ( ( z e. _V |-> ( ( z u. U. z ) u. U_ x e. z ( { ~P x , U. x } u. ran ( y e. z |-> { x , y } ) ) ) ) , ( A u. 1o ) ) |` om ) Fn om
7	1	fneq1i 5498	. . . . . 6 |- ( F Fn om <-> ( rec ( ( z e. _V |-> ( ( z u. U. z ) u. U_ x e. z ( { ~P x , U. x } u. ran ( y e. z |-> { x , y } ) ) ) ) , ( A u. 1o ) ) |` om ) Fn om )
8	6, 7	mpbir 201	. . . . 5 |- F Fn om
9		fniunfv 5953	. . . . 5 |- ( F Fn om -> U_ m e. om ( F ` m ) = U. ran F )
10	8, 9	ax-mp 8	. . . 4 |- U_ m e. om ( F ` m ) = U. ran F
11	2, 10	eqtr4i 2427	. . 3 |- U = U_ m e. om ( F ` m )
12		fveq2 5687	. . . . . . . 8 |- ( m = (/) -> ( F ` m ) = ( F ` (/) ) )
13	12	sseq1d 3335	. . . . . . 7 |- ( m = (/) -> ( ( F ` m ) C_ (wUniCl ` A ) <-> ( F ` (/) ) C_ (wUniCl ` A ) ) )
14		fveq2 5687	. . . . . . . 8 |- ( m = n -> ( F ` m ) = ( F ` n ) )
15	14	sseq1d 3335	. . . . . . 7 |- ( m = n -> ( ( F ` m ) C_ (wUniCl ` A ) <-> ( F ` n ) C_ (wUniCl ` A ) ) )
16		fveq2 5687	. . . . . . . 8 |- ( m = suc n -> ( F ` m ) = ( F ` suc n ) )
17	16	sseq1d 3335	. . . . . . 7 |- ( m = suc n -> ( ( F ` m ) C_ (wUniCl ` A ) <-> ( F ` suc n ) C_ (wUniCl ` A ) ) )
18		1on 6690	. . . . . . . . . 10 |- 1o e. On
19		unexg 4669	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. V /\ 1o e. On ) -> ( A u. 1o ) e. _V )
20	18, 19	mpan2 653	. . . . . . . . 9 |- ( A e. V -> ( A u. 1o ) e. _V )
21	1	fveq1i 5688	. . . . . . . . . 10 |- ( F ` (/) ) = ( ( rec ( ( z e. _V |-> ( ( z u. U. z ) u. U_ x e. z ( { ~P x , U. x } u. ran ( y e. z |-> { x , y } ) ) ) ) , ( A u. 1o ) ) |` om ) ` (/) )
22		fr0g 6652	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A u. 1o ) e. _V -> ( ( rec ( ( z e. _V |-> ( ( z u. U. z ) u. U_ x e. z ( { ~P x , U. x } u. ran ( y e. z |-> { x , y } ) ) ) ) , ( A u. 1o ) ) |` om ) ` (/) ) = ( A u. 1o ) )
23	21, 22	syl5eq 2448	. . . . . . . . 9 |- ( ( A u. 1o ) e. _V -> ( F ` (/) ) = ( A u. 1o ) )
24	20, 23	syl 16	. . . . . . . 8 |- ( A e. V -> ( F ` (/) ) = ( A u. 1o ) )
25		wuncid 8574	. . . . . . . . 9 |- ( A e. V -> A C_ (wUniCl ` A ) )
26		df1o2 6695	. . . . . . . . . 10 |- 1o = { (/) }
27		wunccl 8575	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A e. V -> (wUniCl ` A ) e. WUni )
28	27	wun0 8549	. . . . . . . . . . 11 |- ( A e. V -> (/) e. (wUniCl ` A ) )
29	28	snssd 3903	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. V -> { (/) } C_ (wUniCl ` A ) )
30	26, 29	syl5eqss 3352	. . . . . . . . 9 |- ( A e. V -> 1o C_ (wUniCl ` A ) )
31	25, 30	unssd 3483	. . . . . . . 8 |- ( A e. V -> ( A u. 1o ) C_ (wUniCl ` A ) )
32	24, 31	eqsstrd 3342	. . . . . . 7 |- ( A e. V -> ( F ` (/) ) C_ (wUniCl ` A ) )
33		simplr 732	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. V /\ n e. om ) /\ ( F ` n ) C_ (wUniCl ` A ) ) -> n e. om )
34		fvex 5701	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( F ` n ) e. _V
35	34	uniex 4664	. . . . . . . . . . . . 13 |- U. ( F ` n ) e. _V
36	34, 35	unex 4666	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( F ` n ) u. U. ( F ` n ) ) e. _V
37		prex 4366	. . . . . . . . . . . . . 14 |- { ~P u , U. u } e. _V
38	34	mptex 5925	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( v e. ( F ` n ) |-> { u , v } ) e. _V
39	38	rnex 5092	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ran ( v e. ( F ` n ) |-> { u , v } ) e. _V
40	37, 39	unex 4666	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( { ~P u , U. u } u. ran ( v e. ( F ` n ) |-> { u , v } ) ) e. _V
41	34, 40	iunex 5950	. . . . . . . . . . . 12 |- U_ u e. ( F ` n ) ( { ~P u , U. u } u. ran ( v e. ( F ` n ) |-> { u , v } ) ) e. _V
42	36, 41	unex 4666	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( F ` n ) u. U. ( F ` n ) ) u. U_ u e. ( F ` n ) ( { ~P u , U. u } u. ran ( v e. ( F ` n ) |-> { u , v } ) ) ) e. _V
43		id 20	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( w = z -> w = z )
44		unieq 3984	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( w = z -> U. w = U. z )
45	43, 44	uneq12d 3462	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( w = z -> ( w u. U. w ) = ( z u. U. z ) )
46		pweq 3762	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( u = x -> ~P u = ~P x )
47		unieq 3984	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( u = x -> U. u = U. x )
48	46, 47	preq12d 3851	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( u = x -> { ~P u , U. u } = { ~P x , U. x } )
49		preq1 3843	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( u = x -> { u , v } = { x , v } )
50	49	mpteq2dv 4256	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( u = x -> ( v e. w |-> { u , v } ) = ( v e. w |-> { x , v } ) )
51	50	rneqd 5056	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( u = x -> ran ( v e. w |-> { u , v } ) = ran ( v e. w |-> { x , v } ) )
52	48, 51	uneq12d 3462	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( u = x -> ( { ~P u , U. u } u. ran ( v e. w |-> { u , v } ) ) = ( { ~P x , U. x } u. ran ( v e. w |-> { x , v } ) ) )
53	52	cbviunv 4090	. . . . . . . . . . . . . 14 |- U_ u e. w ( { ~P u , U. u } u. ran ( v e. w |-> { u , v } ) ) = U_ x e. w ( { ~P x , U. x } u. ran ( v e. w |-> { x , v } ) )
54		preq2 3844	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( v = y -> { x , v } = { x , y } )
55	54	cbvmptv 4260	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( v e. w |-> { x , v } ) = ( y e. w |-> { x , y } )
56		mpteq1 4249	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( w = z -> ( y e. w |-> { x , y } ) = ( y e. z |-> { x , y } ) )
57	55, 56	syl5eq 2448	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( w = z -> ( v e. w |-> { x , v } ) = ( y e. z |-> { x , y } ) )
58	57	rneqd 5056	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( w = z -> ran ( v e. w |-> { x , v } ) = ran ( y e. z |-> { x , y } ) )
59	58	uneq2d 3461	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( w = z -> ( { ~P x , U. x } u. ran ( v e. w |-> { x , v } ) ) = ( { ~P x , U. x } u. ran ( y e. z |-> { x , y } ) ) )
60	43, 59	iuneq12d 4077	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( w = z -> U_ x e. w ( { ~P x , U. x } u. ran ( v e. w |-> { x , v } ) ) = U_ x e. z ( { ~P x , U. x } u. ran ( y e. z |-> { x , y } ) ) )
61	53, 60	syl5eq 2448	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( w = z -> U_ u e. w ( { ~P u , U. u } u. ran ( v e. w |-> { u , v } ) ) = U_ x e. z ( { ~P x , U. x } u. ran ( y e. z |-> { x , y } ) ) )
62	45, 61	uneq12d 3462	. . . . . . . . . . . 12 |- ( w = z -> ( ( w u. U. w ) u. U_ u e. w ( { ~P u , U. u } u. ran ( v e. w |-> { u , v } ) ) ) = ( ( z u. U. z ) u. U_ x e. z ( { ~P x , U. x } u. ran ( y e. z |-> { x , y } ) ) ) )
63		id 20	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( w = ( F ` n ) -> w = ( F ` n ) )
64		unieq 3984	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( w = ( F ` n ) -> U. w = U. ( F ` n ) )
65	63, 64	uneq12d 3462	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( w = ( F ` n ) -> ( w u. U. w ) = ( ( F ` n ) u. U. ( F ` n ) ) )
66		mpteq1 4249	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( w = ( F ` n ) -> ( v e. w |-> { u , v } ) = ( v e. ( F ` n ) |-> { u , v } ) )
67	66	rneqd 5056	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( w = ( F ` n ) -> ran ( v e. w |-> { u , v } ) = ran ( v e. ( F ` n ) |-> { u , v } ) )
68	67	uneq2d 3461	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( w = ( F ` n ) -> ( { ~P u , U. u } u. ran ( v e. w |-> { u , v } ) ) = ( { ~P u , U. u } u. ran ( v e. ( F ` n ) |-> { u , v } ) ) )
69	63, 68	iuneq12d 4077	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( w = ( F ` n ) -> U_ u e. w ( { ~P u , U. u } u. ran ( v e. w |-> { u , v } ) ) = U_ u e. ( F ` n ) ( { ~P u , U. u } u. ran ( v e. ( F ` n ) |-> { u , v } ) ) )
70	65, 69	uneq12d 3462	. . . . . . . . . . . 12 |- ( w = ( F ` n ) -> ( ( w u. U. w ) u. U_ u e. w ( { ~P u , U. u } u. ran ( v e. w |-> { u , v } ) ) ) = ( ( ( F ` n ) u. U. ( F ` n ) ) u. U_ u e. ( F ` n ) ( { ~P u , U. u } u. ran ( v e. ( F ` n ) |-> { u , v } ) ) ) )
71	1, 62, 70	frsucmpt2 6656	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( n e. om /\ ( ( ( F ` n ) u. U. ( F ` n ) ) u. U_ u e. ( F ` n ) ( { ~P u , U. u } u. ran ( v e. ( F ` n ) |-> { u , v } ) ) ) e. _V ) -> ( F ` suc n ) = ( ( ( F ` n ) u. U. ( F ` n ) ) u. U_ u e. ( F ` n ) ( { ~P u , U. u } u. ran ( v e. ( F ` n ) |-> { u , v } ) ) ) )
72	33, 42, 71	sylancl 644	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. V /\ n e. om ) /\ ( F ` n ) C_ (wUniCl ` A ) ) -> ( F ` suc n ) = ( ( ( F ` n ) u. U. ( F ` n ) ) u. U_ u e. ( F ` n ) ( { ~P u , U. u } u. ran ( v e. ( F ` n ) |-> { u , v } ) ) ) )
73		simpr 448	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. V /\ n e. om ) /\ ( F ` n ) C_ (wUniCl ` A ) ) -> ( F ` n ) C_ (wUniCl ` A ) )
74	27	ad3antrrr 711	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( A e. V /\ n e. om ) /\ ( F ` n ) C_ (wUniCl ` A ) ) /\ u e. ( F ` n ) ) -> (wUniCl ` A ) e. WUni )
75	73	sselda 3308	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( A e. V /\ n e. om ) /\ ( F ` n ) C_ (wUniCl ` A ) ) /\ u e. ( F ` n ) ) -> u e. (wUniCl ` A ) )
76	74, 75	wunelss 8539	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( A e. V /\ n e. om ) /\ ( F ` n ) C_ (wUniCl ` A ) ) /\ u e. ( F ` n ) ) -> u C_ (wUniCl ` A ) )
77	76	ralrimiva 2749	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A e. V /\ n e. om ) /\ ( F ` n ) C_ (wUniCl ` A ) ) -> A. u e. ( F ` n ) u C_ (wUniCl ` A ) )
78		unissb 4005	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( U. ( F ` n ) C_ (wUniCl ` A ) <-> A. u e. ( F ` n ) u C_ (wUniCl ` A ) )
79	77, 78	sylibr 204	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. V /\ n e. om ) /\ ( F ` n ) C_ (wUniCl ` A ) ) -> U. ( F ` n ) C_ (wUniCl ` A ) )
80	73, 79	unssd 3483	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. V /\ n e. om ) /\ ( F ` n ) C_ (wUniCl ` A ) ) -> ( ( F ` n ) u. U. ( F ` n ) ) C_ (wUniCl ` A ) )
81	74, 75	wunpw 8538	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( A e. V /\ n e. om ) /\ ( F ` n ) C_ (wUniCl ` A ) ) /\ u e. ( F ` n ) ) -> ~P u e. (wUniCl ` A ) )
82	74, 75	wununi 8537	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( A e. V /\ n e. om ) /\ ( F ` n ) C_ (wUniCl ` A ) ) /\ u e. ( F ` n ) ) -> U. u e. (wUniCl ` A ) )
83		prssi 3914	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ~P u e. (wUniCl ` A ) /\ U. u e. (wUniCl ` A ) ) -> { ~P u , U. u } C_ (wUniCl ` A ) )
84	81, 82, 83	syl2anc 643	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( A e. V /\ n e. om ) /\ ( F ` n ) C_ (wUniCl ` A ) ) /\ u e. ( F ` n ) ) -> { ~P u , U. u } C_ (wUniCl ` A ) )
85	74	adantr 452	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( A e. V /\ n e. om ) /\ ( F ` n ) C_ (wUniCl ` A ) ) /\ u e. ( F ` n ) ) /\ v e. ( F ` n ) ) -> (wUniCl ` A ) e. WUni )
86	75	adantr 452	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( A e. V /\ n e. om ) /\ ( F ` n ) C_ (wUniCl ` A ) ) /\ u e. ( F ` n ) ) /\ v e. ( F ` n ) ) -> u e. (wUniCl ` A ) )
87		simplr 732	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( A e. V /\ n e. om ) /\ ( F ` n ) C_ (wUniCl ` A ) ) /\ u e. ( F ` n ) ) -> ( F ` n ) C_ (wUniCl ` A ) )
88	87	sselda 3308	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( A e. V /\ n e. om ) /\ ( F ` n ) C_ (wUniCl ` A ) ) /\ u e. ( F ` n ) ) /\ v e. ( F ` n ) ) -> v e. (wUniCl ` A ) )
89	85, 86, 88	wunpr 8540	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( A e. V /\ n e. om ) /\ ( F ` n ) C_ (wUniCl ` A ) ) /\ u e. ( F ` n ) ) /\ v e. ( F ` n ) ) -> { u , v } e. (wUniCl ` A ) )
90		eqid 2404	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( v e. ( F ` n ) |-> { u , v } ) = ( v e. ( F ` n ) |-> { u , v } )
91	89, 90	fmptd 5852	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( A e. V /\ n e. om ) /\ ( F ` n ) C_ (wUniCl ` A ) ) /\ u e. ( F ` n ) ) -> ( v e. ( F ` n ) |-> { u , v } ) : ( F ` n ) --> (wUniCl ` A ) )
92		frn 5556	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( v e. ( F ` n ) |-> { u , v } ) : ( F ` n ) --> (wUniCl ` A ) -> ran ( v e. ( F ` n ) |-> { u , v } ) C_ (wUniCl ` A ) )
93	91, 92	syl 16	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( A e. V /\ n e. om ) /\ ( F ` n ) C_ (wUniCl ` A ) ) /\ u e. ( F ` n ) ) -> ran ( v e. ( F ` n ) |-> { u , v } ) C_ (wUniCl ` A ) )
94	84, 93	unssd 3483	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( A e. V /\ n e. om ) /\ ( F ` n ) C_ (wUniCl ` A ) ) /\ u e. ( F ` n ) ) -> ( { ~P u , U. u } u. ran ( v e. ( F ` n ) |-> { u , v } ) ) C_ (wUniCl ` A ) )
95	94	ralrimiva 2749	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. V /\ n e. om ) /\ ( F ` n ) C_ (wUniCl ` A ) ) -> A. u e. ( F ` n ) ( { ~P u , U. u } u. ran ( v e. ( F ` n ) |-> { u , v } ) ) C_ (wUniCl ` A ) )
96		iunss 4092	. . . . . . . . . . . 12 |- ( U_ u e. ( F ` n ) ( { ~P u , U. u } u. ran ( v e. ( F ` n ) |-> { u , v } ) ) C_ (wUniCl ` A ) <-> A. u e. ( F ` n ) ( { ~P u , U. u } u. ran ( v e. ( F ` n ) |-> { u , v } ) ) C_ (wUniCl ` A ) )
97	95, 96	sylibr 204	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. V /\ n e. om ) /\ ( F ` n ) C_ (wUniCl ` A ) ) -> U_ u e. ( F ` n ) ( { ~P u , U. u } u. ran ( v e. ( F ` n ) |-> { u , v } ) ) C_ (wUniCl ` A ) )
98	80, 97	unssd 3483	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. V /\ n e. om ) /\ ( F ` n ) C_ (wUniCl ` A ) ) -> ( ( ( F ` n ) u. U. ( F ` n ) ) u. U_ u e. ( F ` n ) ( { ~P u , U. u } u. ran ( v e. ( F ` n ) |-> { u , v } ) ) ) C_ (wUniCl ` A ) )
99	72, 98	eqsstrd 3342	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. V /\ n e. om ) /\ ( F ` n ) C_ (wUniCl ` A ) ) -> ( F ` suc n ) C_ (wUniCl ` A ) )
100	99	ex 424	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. V /\ n e. om ) -> ( ( F ` n ) C_ (wUniCl ` A ) -> ( F ` suc n ) C_ (wUniCl ` A ) ) )
101	100	expcom 425	. . . . . . 7 |- ( n e. om -> ( A e. V -> ( ( F ` n ) C_ (wUniCl ` A ) -> ( F ` suc n ) C_ (wUniCl ` A ) ) ) )
102	13, 15, 17, 32, 101	finds2 4832	. . . . . 6 |- ( m e. om -> ( A e. V -> ( F ` m ) C_ (wUniCl ` A ) ) )
103	102	com12 29	. . . . 5 |- ( A e. V -> ( m e. om -> ( F ` m ) C_ (wUniCl ` A ) ) )
104	103	ralrimiv 2748	. . . 4 |- ( A e. V -> A. m e. om ( F ` m ) C_ (wUniCl ` A ) )
105		iunss 4092	. . . 4 |- ( U_ m e. om ( F ` m ) C_ (wUniCl ` A ) <-> A. m e. om ( F ` m ) C_ (wUniCl ` A ) )
106	104, 105	sylibr 204	. . 3 |- ( A e. V -> U_ m e. om ( F ` m ) C_ (wUniCl ` A ) )
107	11, 106	syl5eqss 3352	. 2 |- ( A e. V -> U C_ (wUniCl ` A ) )
108	5, 107	eqssd 3325	1 |- ( A e. V -> (wUniCl ` A ) = U )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 359   = wceq 1649   e. wcel 1721   A.wral 2666   _Vcvv 2916   u. cun 3278   C_ wss 3280   (/)c0 3588   ~Pcpw 3759   {csn 3774   {cpr 3775   U.cuni 3975   U_ciun 4053   e. cmpt 4226   Oncon0 4541   suc csuc 4543   omcom 4804   ran crn 4838   |` cres 4839   Fn wfn 5408   -->wf 5409   ` cfv 5413   reccrdg 6626   1oc1o 6676  WUnicwun 8531  wUniClcwunm 8532

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-inf2 7552

This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-wun 8533  df-wunc 8534