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Theorem wuncval2 9142
Description: Our earlier expression for a containing weak universe is in fact the weak universe closure. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
wuncval2.f  |-  F  =  ( rec ( ( z  e.  _V  |->  ( ( z  u.  U. z )  u.  U_ x  e.  z  ( { ~P x ,  U. x }  u.  ran  ( y  e.  z 
|->  { x ,  y } ) ) ) ) ,  ( A  u.  1o ) )  |`  om )
wuncval2.u  |-  U  = 
U. ran  F
Assertion
Ref Expression
wuncval2  |-  ( A  e.  V  ->  (wUniCl `  A )  =  U )
Distinct variable groups:    x, y,
z    x, A, y    x, V, y
Allowed substitution hints:    A( z)    U( x, y, z)    F( x, y, z)    V( z)

Proof of Theorem wuncval2
Dummy variables  v  u  w  m  n are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 wuncval2.f . . . 4  |-  F  =  ( rec ( ( z  e.  _V  |->  ( ( z  u.  U. z )  u.  U_ x  e.  z  ( { ~P x ,  U. x }  u.  ran  ( y  e.  z 
|->  { x ,  y } ) ) ) ) ,  ( A  u.  1o ) )  |`  om )
2 wuncval2.u . . . 4  |-  U  = 
U. ran  F
31, 2wunex2 9133 . . 3  |-  ( A  e.  V  ->  ( U  e. WUni  /\  A  C_  U ) )
4 wuncss 9140 . . 3  |-  ( ( U  e. WUni  /\  A  C_  U )  ->  (wUniCl `  A )  C_  U
)
53, 4syl 16 . 2  |-  ( A  e.  V  ->  (wUniCl `  A )  C_  U
)
6 frfnom 7118 . . . . . 6  |-  ( rec ( ( z  e. 
_V  |->  ( ( z  u.  U. z )  u.  U_ x  e.  z  ( { ~P x ,  U. x }  u.  ran  ( y  e.  z  |->  { x ,  y } ) ) ) ) ,  ( A  u.  1o ) )  |`  om )  Fn  om
71fneq1i 5681 . . . . . 6  |-  ( F  Fn  om  <->  ( rec ( ( z  e. 
_V  |->  ( ( z  u.  U. z )  u.  U_ x  e.  z  ( { ~P x ,  U. x }  u.  ran  ( y  e.  z  |->  { x ,  y } ) ) ) ) ,  ( A  u.  1o ) )  |`  om )  Fn  om )
86, 7mpbir 209 . . . . 5  |-  F  Fn  om
9 fniunfv 6160 . . . . 5  |-  ( F  Fn  om  ->  U_ m  e.  om  ( F `  m )  =  U. ran  F )
108, 9ax-mp 5 . . . 4  |-  U_ m  e.  om  ( F `  m )  =  U. ran  F
112, 10eqtr4i 2489 . . 3  |-  U  = 
U_ m  e.  om  ( F `  m )
12 fveq2 5872 . . . . . . . 8  |-  ( m  =  (/)  ->  ( F `
 m )  =  ( F `  (/) ) )
1312sseq1d 3526 . . . . . . 7  |-  ( m  =  (/)  ->  ( ( F `  m ) 
C_  (wUniCl `  A )  <->  ( F `  (/) )  C_  (wUniCl `  A ) ) )
14 fveq2 5872 . . . . . . . 8  |-  ( m  =  n  ->  ( F `  m )  =  ( F `  n ) )
1514sseq1d 3526 . . . . . . 7  |-  ( m  =  n  ->  (
( F `  m
)  C_  (wUniCl `  A
)  <->  ( F `  n )  C_  (wUniCl `  A ) ) )
16 fveq2 5872 . . . . . . . 8  |-  ( m  =  suc  n  -> 
( F `  m
)  =  ( F `
 suc  n )
)
1716sseq1d 3526 . . . . . . 7  |-  ( m  =  suc  n  -> 
( ( F `  m )  C_  (wUniCl `  A )  <->  ( F `  suc  n )  C_  (wUniCl `  A ) ) )
18 1on 7155 . . . . . . . . . 10  |-  1o  e.  On
19 unexg 6600 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  V  /\  1o  e.  On )  -> 
( A  u.  1o )  e.  _V )
2018, 19mpan2 671 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  V  ->  ( A  u.  1o )  e.  _V )
211fveq1i 5873 . . . . . . . . . 10  |-  ( F `
 (/) )  =  ( ( rec ( ( z  e.  _V  |->  ( ( z  u.  U. z )  u.  U_ x  e.  z  ( { ~P x ,  U. x }  u.  ran  ( y  e.  z 
|->  { x ,  y } ) ) ) ) ,  ( A  u.  1o ) )  |`  om ) `  (/) )
22 fr0g 7119 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  u.  1o )  e.  _V  ->  (
( rec ( ( z  e.  _V  |->  ( ( z  u.  U. z )  u.  U_ x  e.  z  ( { ~P x ,  U. x }  u.  ran  ( y  e.  z 
|->  { x ,  y } ) ) ) ) ,  ( A  u.  1o ) )  |`  om ) `  (/) )  =  ( A  u.  1o ) )
2321, 22syl5eq 2510 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  u.  1o )  e.  _V  ->  ( F `  (/) )  =  ( A  u.  1o ) )
2420, 23syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  V  ->  ( F `  (/) )  =  ( A  u.  1o ) )
25 wuncid 9138 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  V  ->  A  C_  (wUniCl `  A )
)
26 df1o2 7160 . . . . . . . . . 10  |-  1o  =  { (/) }
27 wunccl 9139 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  V  ->  (wUniCl `  A )  e. WUni )
2827wun0 9113 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  V  ->  (/)  e.  (wUniCl `  A ) )
2928snssd 4177 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  V  ->  { (/) } 
C_  (wUniCl `  A )
)
3026, 29syl5eqss 3543 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  V  ->  1o  C_  (wUniCl `  A )
)
3125, 30unssd 3676 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  V  ->  ( A  u.  1o )  C_  (wUniCl `  A )
)
3224, 31eqsstrd 3533 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  V  ->  ( F `  (/) )  C_  (wUniCl `  A ) )
33 simplr 755 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  n  e.  om )  /\  ( F `  n )  C_  (wUniCl `  A ) )  ->  n  e.  om )
34 fvex 5882 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( F `
 n )  e. 
_V
3534uniex 6595 . . . . . . . . . . . . 13  |-  U. ( F `  n )  e.  _V
3634, 35unex 6597 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( F `  n )  u.  U. ( F `
 n ) )  e.  _V
37 prex 4698 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  { ~P u ,  U. u }  e.  _V
3834mptex 6144 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( v  e.  ( F `  n )  |->  { u ,  v } )  e.  _V
3938rnex 6733 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ran  (
v  e.  ( F `
 n )  |->  { u ,  v } )  e.  _V
4037, 39unex 6597 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( { ~P u ,  U. u }  u.  ran  ( v  e.  ( F `  n ) 
|->  { u ,  v } ) )  e. 
_V
4134, 40iunex 6779 . . . . . . . . . . . 12  |-  U_ u  e.  ( F `  n
) ( { ~P u ,  U. u }  u.  ran  ( v  e.  ( F `  n )  |->  { u ,  v } ) )  e.  _V
4236, 41unex 6597 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( F `  n
)  u.  U. ( F `  n )
)  u.  U_ u  e.  ( F `  n
) ( { ~P u ,  U. u }  u.  ran  ( v  e.  ( F `  n )  |->  { u ,  v } ) ) )  e.  _V
43 id 22 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( w  =  z  ->  w  =  z )
44 unieq 4259 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( w  =  z  ->  U. w  =  U. z )
4543, 44uneq12d 3655 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( w  =  z  ->  (
w  u.  U. w
)  =  ( z  u.  U. z ) )
46 pweq 4018 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( u  =  x  ->  ~P u  =  ~P x
)
47 unieq 4259 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( u  =  x  ->  U. u  =  U. x )
4846, 47preq12d 4119 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( u  =  x  ->  { ~P u ,  U. u }  =  { ~P x ,  U. x } )
49 preq1 4111 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( u  =  x  ->  { u ,  v }  =  { x ,  v } )
5049mpteq2dv 4544 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( u  =  x  ->  (
v  e.  w  |->  { u ,  v } )  =  ( v  e.  w  |->  { x ,  v } ) )
5150rneqd 5240 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( u  =  x  ->  ran  ( v  e.  w  |->  { u ,  v } )  =  ran  ( v  e.  w  |->  { x ,  v } ) )
5248, 51uneq12d 3655 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( u  =  x  ->  ( { ~P u ,  U. u }  u.  ran  ( v  e.  w  |->  { u ,  v } ) )  =  ( { ~P x ,  U. x }  u.  ran  ( v  e.  w  |->  { x ,  v } ) ) )
5352cbviunv 4371 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  U_ u  e.  w  ( { ~P u ,  U. u }  u.  ran  ( v  e.  w  |->  { u ,  v } ) )  =  U_ x  e.  w  ( { ~P x ,  U. x }  u.  ran  ( v  e.  w  |->  { x ,  v } ) )
54 preq2 4112 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( v  =  y  ->  { x ,  v }  =  { x ,  y } )
5554cbvmptv 4548 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( v  e.  w  |->  { x ,  v } )  =  ( y  e.  w  |->  { x ,  y } )
56 mpteq1 4537 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( w  =  z  ->  (
y  e.  w  |->  { x ,  y } )  =  ( y  e.  z  |->  { x ,  y } ) )
5755, 56syl5eq 2510 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( w  =  z  ->  (
v  e.  w  |->  { x ,  v } )  =  ( y  e.  z  |->  { x ,  y } ) )
5857rneqd 5240 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( w  =  z  ->  ran  ( v  e.  w  |->  { x ,  v } )  =  ran  ( y  e.  z 
|->  { x ,  y } ) )
5958uneq2d 3654 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( w  =  z  ->  ( { ~P x ,  U. x }  u.  ran  ( v  e.  w  |->  { x ,  v } ) )  =  ( { ~P x ,  U. x }  u.  ran  ( y  e.  z 
|->  { x ,  y } ) ) )
6043, 59iuneq12d 4358 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( w  =  z  ->  U_ x  e.  w  ( { ~P x ,  U. x }  u.  ran  ( v  e.  w  |->  { x ,  v } ) )  =  U_ x  e.  z  ( { ~P x ,  U. x }  u.  ran  ( y  e.  z  |->  { x ,  y } ) ) )
6153, 60syl5eq 2510 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( w  =  z  ->  U_ u  e.  w  ( { ~P u ,  U. u }  u.  ran  ( v  e.  w  |->  { u ,  v } ) )  =  U_ x  e.  z  ( { ~P x ,  U. x }  u.  ran  ( y  e.  z  |->  { x ,  y } ) ) )
6245, 61uneq12d 3655 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( w  =  z  ->  (
( w  u.  U. w )  u.  U_ u  e.  w  ( { ~P u ,  U. u }  u.  ran  ( v  e.  w  |->  { u ,  v } ) ) )  =  ( ( z  u.  U. z )  u.  U_ x  e.  z  ( { ~P x ,  U. x }  u.  ran  ( y  e.  z  |->  { x ,  y } ) ) ) )
63 id 22 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( w  =  ( F `  n )  ->  w  =  ( F `  n ) )
64 unieq 4259 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( w  =  ( F `  n )  ->  U. w  =  U. ( F `  n ) )
6563, 64uneq12d 3655 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( w  =  ( F `  n )  ->  (
w  u.  U. w
)  =  ( ( F `  n )  u.  U. ( F `
 n ) ) )
66 mpteq1 4537 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( w  =  ( F `  n )  ->  (
v  e.  w  |->  { u ,  v } )  =  ( v  e.  ( F `  n )  |->  { u ,  v } ) )
6766rneqd 5240 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( w  =  ( F `  n )  ->  ran  ( v  e.  w  |->  { u ,  v } )  =  ran  ( v  e.  ( F `  n ) 
|->  { u ,  v } ) )
6867uneq2d 3654 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( w  =  ( F `  n )  ->  ( { ~P u ,  U. u }  u.  ran  ( v  e.  w  |->  { u ,  v } ) )  =  ( { ~P u ,  U. u }  u.  ran  ( v  e.  ( F `  n ) 
|->  { u ,  v } ) ) )
6963, 68iuneq12d 4358 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( w  =  ( F `  n )  ->  U_ u  e.  w  ( { ~P u ,  U. u }  u.  ran  ( v  e.  w  |->  { u ,  v } ) )  =  U_ u  e.  ( F `  n
) ( { ~P u ,  U. u }  u.  ran  ( v  e.  ( F `  n )  |->  { u ,  v } ) ) )
7065, 69uneq12d 3655 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( w  =  ( F `  n )  ->  (
( w  u.  U. w )  u.  U_ u  e.  w  ( { ~P u ,  U. u }  u.  ran  ( v  e.  w  |->  { u ,  v } ) ) )  =  ( ( ( F `  n )  u.  U. ( F `
 n ) )  u.  U_ u  e.  ( F `  n
) ( { ~P u ,  U. u }  u.  ran  ( v  e.  ( F `  n )  |->  { u ,  v } ) ) ) )
711, 62, 70frsucmpt2 7123 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( n  e.  om  /\  ( ( ( F `
 n )  u. 
U. ( F `  n ) )  u. 
U_ u  e.  ( F `  n ) ( { ~P u ,  U. u }  u.  ran  ( v  e.  ( F `  n ) 
|->  { u ,  v } ) ) )  e.  _V )  -> 
( F `  suc  n )  =  ( ( ( F `  n )  u.  U. ( F `  n ) )  u.  U_ u  e.  ( F `  n
) ( { ~P u ,  U. u }  u.  ran  ( v  e.  ( F `  n )  |->  { u ,  v } ) ) ) )
7233, 42, 71sylancl 662 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  n  e.  om )  /\  ( F `  n )  C_  (wUniCl `  A ) )  -> 
( F `  suc  n )  =  ( ( ( F `  n )  u.  U. ( F `  n ) )  u.  U_ u  e.  ( F `  n
) ( { ~P u ,  U. u }  u.  ran  ( v  e.  ( F `  n )  |->  { u ,  v } ) ) ) )
73 simpr 461 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  n  e.  om )  /\  ( F `  n )  C_  (wUniCl `  A ) )  -> 
( F `  n
)  C_  (wUniCl `  A
) )
7427ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  n  e. 
om )  /\  ( F `  n )  C_  (wUniCl `  A )
)  /\  u  e.  ( F `  n ) )  ->  (wUniCl `  A
)  e. WUni )
7573sselda 3499 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  n  e. 
om )  /\  ( F `  n )  C_  (wUniCl `  A )
)  /\  u  e.  ( F `  n ) )  ->  u  e.  (wUniCl `  A ) )
7674, 75wunelss 9103 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  n  e. 
om )  /\  ( F `  n )  C_  (wUniCl `  A )
)  /\  u  e.  ( F `  n ) )  ->  u  C_  (wUniCl `  A ) )
7776ralrimiva 2871 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  n  e.  om )  /\  ( F `  n )  C_  (wUniCl `  A ) )  ->  A. u  e.  ( F `  n )
u  C_  (wUniCl `  A
) )
78 unissb 4283 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( U. ( F `  n ) 
C_  (wUniCl `  A )  <->  A. u  e.  ( F `
 n ) u 
C_  (wUniCl `  A )
)
7977, 78sylibr 212 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  n  e.  om )  /\  ( F `  n )  C_  (wUniCl `  A ) )  ->  U. ( F `  n
)  C_  (wUniCl `  A
) )
8073, 79unssd 3676 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  n  e.  om )  /\  ( F `  n )  C_  (wUniCl `  A ) )  -> 
( ( F `  n )  u.  U. ( F `  n ) )  C_  (wUniCl `  A
) )
8174, 75wunpw 9102 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  n  e. 
om )  /\  ( F `  n )  C_  (wUniCl `  A )
)  /\  u  e.  ( F `  n ) )  ->  ~P u  e.  (wUniCl `  A )
)
8274, 75wununi 9101 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  n  e. 
om )  /\  ( F `  n )  C_  (wUniCl `  A )
)  /\  u  e.  ( F `  n ) )  ->  U. u  e.  (wUniCl `  A )
)
83 prssi 4188 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ~P u  e.  (wUniCl `  A )  /\  U. u  e.  (wUniCl `  A
) )  ->  { ~P u ,  U. u }  C_  (wUniCl `  A
) )
8481, 82, 83syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  n  e. 
om )  /\  ( F `  n )  C_  (wUniCl `  A )
)  /\  u  e.  ( F `  n ) )  ->  { ~P u ,  U. u }  C_  (wUniCl `  A
) )
8574adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  n  e.  om )  /\  ( F `  n )  C_  (wUniCl `  A )
)  /\  u  e.  ( F `  n ) )  /\  v  e.  ( F `  n
) )  ->  (wUniCl `  A )  e. WUni )
8675adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  n  e.  om )  /\  ( F `  n )  C_  (wUniCl `  A )
)  /\  u  e.  ( F `  n ) )  /\  v  e.  ( F `  n
) )  ->  u  e.  (wUniCl `  A )
)
87 simplr 755 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  n  e. 
om )  /\  ( F `  n )  C_  (wUniCl `  A )
)  /\  u  e.  ( F `  n ) )  ->  ( F `  n )  C_  (wUniCl `  A ) )
8887sselda 3499 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  n  e.  om )  /\  ( F `  n )  C_  (wUniCl `  A )
)  /\  u  e.  ( F `  n ) )  /\  v  e.  ( F `  n
) )  ->  v  e.  (wUniCl `  A )
)
8985, 86, 88wunpr 9104 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  n  e.  om )  /\  ( F `  n )  C_  (wUniCl `  A )
)  /\  u  e.  ( F `  n ) )  /\  v  e.  ( F `  n
) )  ->  { u ,  v }  e.  (wUniCl `  A ) )
90 eqid 2457 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( v  e.  ( F `  n )  |->  { u ,  v } )  =  ( v  e.  ( F `  n
)  |->  { u ,  v } )
9189, 90fmptd 6056 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  n  e. 
om )  /\  ( F `  n )  C_  (wUniCl `  A )
)  /\  u  e.  ( F `  n ) )  ->  ( v  e.  ( F `  n
)  |->  { u ,  v } ) : ( F `  n
) --> (wUniCl `  A )
)
92 frn 5743 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( v  e.  ( F `
 n )  |->  { u ,  v } ) : ( F `
 n ) --> (wUniCl `  A )  ->  ran  ( v  e.  ( F `  n ) 
|->  { u ,  v } )  C_  (wUniCl `  A ) )
9391, 92syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  n  e. 
om )  /\  ( F `  n )  C_  (wUniCl `  A )
)  /\  u  e.  ( F `  n ) )  ->  ran  ( v  e.  ( F `  n )  |->  { u ,  v } ) 
C_  (wUniCl `  A )
)
9484, 93unssd 3676 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  n  e. 
om )  /\  ( F `  n )  C_  (wUniCl `  A )
)  /\  u  e.  ( F `  n ) )  ->  ( { ~P u ,  U. u }  u.  ran  ( v  e.  ( F `  n )  |->  { u ,  v } ) )  C_  (wUniCl `  A
) )
9594ralrimiva 2871 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  n  e.  om )  /\  ( F `  n )  C_  (wUniCl `  A ) )  ->  A. u  e.  ( F `  n )
( { ~P u ,  U. u }  u.  ran  ( v  e.  ( F `  n ) 
|->  { u ,  v } ) )  C_  (wUniCl `  A ) )
96 iunss 4373 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( U_ u  e.  ( F `  n ) ( { ~P u ,  U. u }  u.  ran  ( v  e.  ( F `  n ) 
|->  { u ,  v } ) )  C_  (wUniCl `  A )  <->  A. u  e.  ( F `  n
) ( { ~P u ,  U. u }  u.  ran  ( v  e.  ( F `  n )  |->  { u ,  v } ) )  C_  (wUniCl `  A
) )
9795, 96sylibr 212 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  n  e.  om )  /\  ( F `  n )  C_  (wUniCl `  A ) )  ->  U_ u  e.  ( F `  n )
( { ~P u ,  U. u }  u.  ran  ( v  e.  ( F `  n ) 
|->  { u ,  v } ) )  C_  (wUniCl `  A ) )
9880, 97unssd 3676 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  n  e.  om )  /\  ( F `  n )  C_  (wUniCl `  A ) )  -> 
( ( ( F `
 n )  u. 
U. ( F `  n ) )  u. 
U_ u  e.  ( F `  n ) ( { ~P u ,  U. u }  u.  ran  ( v  e.  ( F `  n ) 
|->  { u ,  v } ) ) ) 
C_  (wUniCl `  A )
)
9972, 98eqsstrd 3533 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  n  e.  om )  /\  ( F `  n )  C_  (wUniCl `  A ) )  -> 
( F `  suc  n )  C_  (wUniCl `  A ) )
10099ex 434 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  V  /\  n  e.  om )  ->  ( ( F `  n )  C_  (wUniCl `  A )  ->  ( F `  suc  n ) 
C_  (wUniCl `  A )
) )
101100expcom 435 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  om  ->  ( A  e.  V  ->  ( ( F `  n
)  C_  (wUniCl `  A
)  ->  ( F `  suc  n )  C_  (wUniCl `  A ) ) ) )
10213, 15, 17, 32, 101finds2 6727 . . . . . 6  |-  ( m  e.  om  ->  ( A  e.  V  ->  ( F `  m ) 
C_  (wUniCl `  A )
) )
103102com12 31 . . . . 5  |-  ( A  e.  V  ->  (
m  e.  om  ->  ( F `  m ) 
C_  (wUniCl `  A )
) )
104103ralrimiv 2869 . . . 4  |-  ( A  e.  V  ->  A. m  e.  om  ( F `  m )  C_  (wUniCl `  A ) )
105 iunss 4373 . . . 4  |-  ( U_ m  e.  om  ( F `  m )  C_  (wUniCl `  A )  <->  A. m  e.  om  ( F `  m )  C_  (wUniCl `  A )
)
106104, 105sylibr 212 . . 3  |-  ( A  e.  V  ->  U_ m  e.  om  ( F `  m )  C_  (wUniCl `  A ) )
10711, 106syl5eqss 3543 . 2  |-  ( A  e.  V  ->  U  C_  (wUniCl `  A )
)
1085, 107eqssd 3516 1  |-  ( A  e.  V  ->  (wUniCl `  A )  =  U )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1395    e. wcel 1819   A.wral 2807   _Vcvv 3109    u. cun 3469    C_ wss 3471   (/)c0 3793   ~Pcpw 4015   {csn 4032   {cpr 4034   U.cuni 4251   U_ciun 4332    |-> cmpt 4515   Oncon0 4887   suc csuc 4889   ran crn 5009    |` cres 5010    Fn wfn 5589   -->wf 5590   ` cfv 5594   omcom 6699   reccrdg 7093   1oc1o 7141  WUnicwun 9095  wUniClcwunm 9096
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-inf2 8075
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-om 6700  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-1o 7148  df-wun 9097  df-wunc 9098
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