Theorem wuncval2 9142

Description: Our earlier expression for a containing weak universe is in fact the weak universe closure. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Jan-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
wuncval2.f	|- F = ( rec ( ( z e. _V |-> ( ( z u. U. z ) u. U_ x e. z ( { ~P x , U. x } u. ran ( y e. z |-> { x , y } ) ) ) ) , ( A u. 1o ) ) |` om )
wuncval2.u	|- U = U. ran F

Assertion

Ref	Expression
wuncval2	|- ( A e. V -> (wUniCl ` A ) = U )

Distinct variable groups:   x, y, z   x, A, y   x, V, y

Allowed substitution hints:   A( z)   U( x, y, z)   F( x, y, z)   V( z)

Proof of Theorem wuncval2

Dummy variables v u w m n are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		wuncval2.f	. . . 4 |- F = ( rec ( ( z e. _V |-> ( ( z u. U. z ) u. U_ x e. z ( { ~P x , U. x } u. ran ( y e. z |-> { x , y } ) ) ) ) , ( A u. 1o ) ) |` om )
2		wuncval2.u	. . . 4 |- U = U. ran F
3	1, 2	wunex2 9133	. . 3 |- ( A e. V -> ( U e. WUni /\ A C_ U ) )
4		wuncss 9140	. . 3 |- ( ( U e. WUni /\ A C_ U ) -> (wUniCl ` A ) C_ U )
5	3, 4	syl 16	. 2 |- ( A e. V -> (wUniCl ` A ) C_ U )
6		frfnom 7118	. . . . . 6 |- ( rec ( ( z e. _V |-> ( ( z u. U. z ) u. U_ x e. z ( { ~P x , U. x } u. ran ( y e. z |-> { x , y } ) ) ) ) , ( A u. 1o ) ) |` om ) Fn om
7	1	fneq1i 5681	. . . . . 6 |- ( F Fn om <-> ( rec ( ( z e. _V |-> ( ( z u. U. z ) u. U_ x e. z ( { ~P x , U. x } u. ran ( y e. z |-> { x , y } ) ) ) ) , ( A u. 1o ) ) |` om ) Fn om )
8	6, 7	mpbir 209	. . . . 5 |- F Fn om
9		fniunfv 6160	. . . . 5 |- ( F Fn om -> U_ m e. om ( F ` m ) = U. ran F )
10	8, 9	ax-mp 5	. . . 4 |- U_ m e. om ( F ` m ) = U. ran F
11	2, 10	eqtr4i 2489	. . 3 |- U = U_ m e. om ( F ` m )
12		fveq2 5872	. . . . . . . 8 |- ( m = (/) -> ( F ` m ) = ( F ` (/) ) )
13	12	sseq1d 3526	. . . . . . 7 |- ( m = (/) -> ( ( F ` m ) C_ (wUniCl ` A ) <-> ( F ` (/) ) C_ (wUniCl ` A ) ) )
14		fveq2 5872	. . . . . . . 8 |- ( m = n -> ( F ` m ) = ( F ` n ) )
15	14	sseq1d 3526	. . . . . . 7 |- ( m = n -> ( ( F ` m ) C_ (wUniCl ` A ) <-> ( F ` n ) C_ (wUniCl ` A ) ) )
16		fveq2 5872	. . . . . . . 8 |- ( m = suc n -> ( F ` m ) = ( F ` suc n ) )
17	16	sseq1d 3526	. . . . . . 7 |- ( m = suc n -> ( ( F ` m ) C_ (wUniCl ` A ) <-> ( F ` suc n ) C_ (wUniCl ` A ) ) )
18		1on 7155	. . . . . . . . . 10 |- 1o e. On
19		unexg 6600	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. V /\ 1o e. On ) -> ( A u. 1o ) e. _V )
20	18, 19	mpan2 671	. . . . . . . . 9 |- ( A e. V -> ( A u. 1o ) e. _V )
21	1	fveq1i 5873	. . . . . . . . . 10 |- ( F ` (/) ) = ( ( rec ( ( z e. _V |-> ( ( z u. U. z ) u. U_ x e. z ( { ~P x , U. x } u. ran ( y e. z |-> { x , y } ) ) ) ) , ( A u. 1o ) ) |` om ) ` (/) )
22		fr0g 7119	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A u. 1o ) e. _V -> ( ( rec ( ( z e. _V |-> ( ( z u. U. z ) u. U_ x e. z ( { ~P x , U. x } u. ran ( y e. z |-> { x , y } ) ) ) ) , ( A u. 1o ) ) |` om ) ` (/) ) = ( A u. 1o ) )
23	21, 22	syl5eq 2510	. . . . . . . . 9 |- ( ( A u. 1o ) e. _V -> ( F ` (/) ) = ( A u. 1o ) )
24	20, 23	syl 16	. . . . . . . 8 |- ( A e. V -> ( F ` (/) ) = ( A u. 1o ) )
25		wuncid 9138	. . . . . . . . 9 |- ( A e. V -> A C_ (wUniCl ` A ) )
26		df1o2 7160	. . . . . . . . . 10 |- 1o = { (/) }
27		wunccl 9139	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A e. V -> (wUniCl ` A ) e. WUni )
28	27	wun0 9113	. . . . . . . . . . 11 |- ( A e. V -> (/) e. (wUniCl ` A ) )
29	28	snssd 4177	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. V -> { (/) } C_ (wUniCl ` A ) )
30	26, 29	syl5eqss 3543	. . . . . . . . 9 |- ( A e. V -> 1o C_ (wUniCl ` A ) )
31	25, 30	unssd 3676	. . . . . . . 8 |- ( A e. V -> ( A u. 1o ) C_ (wUniCl ` A ) )
32	24, 31	eqsstrd 3533	. . . . . . 7 |- ( A e. V -> ( F ` (/) ) C_ (wUniCl ` A ) )
33		simplr 755	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. V /\ n e. om ) /\ ( F ` n ) C_ (wUniCl ` A ) ) -> n e. om )
34		fvex 5882	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( F ` n ) e. _V
35	34	uniex 6595	. . . . . . . . . . . . 13 |- U. ( F ` n ) e. _V
36	34, 35	unex 6597	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( F ` n ) u. U. ( F ` n ) ) e. _V
37		prex 4698	. . . . . . . . . . . . . 14 |- { ~P u , U. u } e. _V
38	34	mptex 6144	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( v e. ( F ` n ) |-> { u , v } ) e. _V
39	38	rnex 6733	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ran ( v e. ( F ` n ) |-> { u , v } ) e. _V
40	37, 39	unex 6597	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( { ~P u , U. u } u. ran ( v e. ( F ` n ) |-> { u , v } ) ) e. _V
41	34, 40	iunex 6779	. . . . . . . . . . . 12 |- U_ u e. ( F ` n ) ( { ~P u , U. u } u. ran ( v e. ( F ` n ) |-> { u , v } ) ) e. _V
42	36, 41	unex 6597	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( F ` n ) u. U. ( F ` n ) ) u. U_ u e. ( F ` n ) ( { ~P u , U. u } u. ran ( v e. ( F ` n ) |-> { u , v } ) ) ) e. _V
43		id 22	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( w = z -> w = z )
44		unieq 4259	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( w = z -> U. w = U. z )
45	43, 44	uneq12d 3655	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( w = z -> ( w u. U. w ) = ( z u. U. z ) )
46		pweq 4018	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( u = x -> ~P u = ~P x )
47		unieq 4259	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( u = x -> U. u = U. x )
48	46, 47	preq12d 4119	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( u = x -> { ~P u , U. u } = { ~P x , U. x } )
49		preq1 4111	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( u = x -> { u , v } = { x , v } )
50	49	mpteq2dv 4544	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( u = x -> ( v e. w |-> { u , v } ) = ( v e. w |-> { x , v } ) )
51	50	rneqd 5240	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( u = x -> ran ( v e. w |-> { u , v } ) = ran ( v e. w |-> { x , v } ) )
52	48, 51	uneq12d 3655	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( u = x -> ( { ~P u , U. u } u. ran ( v e. w |-> { u , v } ) ) = ( { ~P x , U. x } u. ran ( v e. w |-> { x , v } ) ) )
53	52	cbviunv 4371	. . . . . . . . . . . . . 14 |- U_ u e. w ( { ~P u , U. u } u. ran ( v e. w |-> { u , v } ) ) = U_ x e. w ( { ~P x , U. x } u. ran ( v e. w |-> { x , v } ) )
54		preq2 4112	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( v = y -> { x , v } = { x , y } )
55	54	cbvmptv 4548	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( v e. w |-> { x , v } ) = ( y e. w |-> { x , y } )
56		mpteq1 4537	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( w = z -> ( y e. w |-> { x , y } ) = ( y e. z |-> { x , y } ) )
57	55, 56	syl5eq 2510	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( w = z -> ( v e. w |-> { x , v } ) = ( y e. z |-> { x , y } ) )
58	57	rneqd 5240	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( w = z -> ran ( v e. w |-> { x , v } ) = ran ( y e. z |-> { x , y } ) )
59	58	uneq2d 3654	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( w = z -> ( { ~P x , U. x } u. ran ( v e. w |-> { x , v } ) ) = ( { ~P x , U. x } u. ran ( y e. z |-> { x , y } ) ) )
60	43, 59	iuneq12d 4358	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( w = z -> U_ x e. w ( { ~P x , U. x } u. ran ( v e. w |-> { x , v } ) ) = U_ x e. z ( { ~P x , U. x } u. ran ( y e. z |-> { x , y } ) ) )
61	53, 60	syl5eq 2510	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( w = z -> U_ u e. w ( { ~P u , U. u } u. ran ( v e. w |-> { u , v } ) ) = U_ x e. z ( { ~P x , U. x } u. ran ( y e. z |-> { x , y } ) ) )
62	45, 61	uneq12d 3655	. . . . . . . . . . . 12 |- ( w = z -> ( ( w u. U. w ) u. U_ u e. w ( { ~P u , U. u } u. ran ( v e. w |-> { u , v } ) ) ) = ( ( z u. U. z ) u. U_ x e. z ( { ~P x , U. x } u. ran ( y e. z |-> { x , y } ) ) ) )
63		id 22	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( w = ( F ` n ) -> w = ( F ` n ) )
64		unieq 4259	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( w = ( F ` n ) -> U. w = U. ( F ` n ) )
65	63, 64	uneq12d 3655	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( w = ( F ` n ) -> ( w u. U. w ) = ( ( F ` n ) u. U. ( F ` n ) ) )
66		mpteq1 4537	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( w = ( F ` n ) -> ( v e. w |-> { u , v } ) = ( v e. ( F ` n ) |-> { u , v } ) )
67	66	rneqd 5240	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( w = ( F ` n ) -> ran ( v e. w |-> { u , v } ) = ran ( v e. ( F ` n ) |-> { u , v } ) )
68	67	uneq2d 3654	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( w = ( F ` n ) -> ( { ~P u , U. u } u. ran ( v e. w |-> { u , v } ) ) = ( { ~P u , U. u } u. ran ( v e. ( F ` n ) |-> { u , v } ) ) )
69	63, 68	iuneq12d 4358	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( w = ( F ` n ) -> U_ u e. w ( { ~P u , U. u } u. ran ( v e. w |-> { u , v } ) ) = U_ u e. ( F ` n ) ( { ~P u , U. u } u. ran ( v e. ( F ` n ) |-> { u , v } ) ) )
70	65, 69	uneq12d 3655	. . . . . . . . . . . 12 |- ( w = ( F ` n ) -> ( ( w u. U. w ) u. U_ u e. w ( { ~P u , U. u } u. ran ( v e. w |-> { u , v } ) ) ) = ( ( ( F ` n ) u. U. ( F ` n ) ) u. U_ u e. ( F ` n ) ( { ~P u , U. u } u. ran ( v e. ( F ` n ) |-> { u , v } ) ) ) )
71	1, 62, 70	frsucmpt2 7123	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( n e. om /\ ( ( ( F ` n ) u. U. ( F ` n ) ) u. U_ u e. ( F ` n ) ( { ~P u , U. u } u. ran ( v e. ( F ` n ) |-> { u , v } ) ) ) e. _V ) -> ( F ` suc n ) = ( ( ( F ` n ) u. U. ( F ` n ) ) u. U_ u e. ( F ` n ) ( { ~P u , U. u } u. ran ( v e. ( F ` n ) |-> { u , v } ) ) ) )
72	33, 42, 71	sylancl 662	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. V /\ n e. om ) /\ ( F ` n ) C_ (wUniCl ` A ) ) -> ( F ` suc n ) = ( ( ( F ` n ) u. U. ( F ` n ) ) u. U_ u e. ( F ` n ) ( { ~P u , U. u } u. ran ( v e. ( F ` n ) |-> { u , v } ) ) ) )
73		simpr 461	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. V /\ n e. om ) /\ ( F ` n ) C_ (wUniCl ` A ) ) -> ( F ` n ) C_ (wUniCl ` A ) )
74	27	ad3antrrr 729	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( A e. V /\ n e. om ) /\ ( F ` n ) C_ (wUniCl ` A ) ) /\ u e. ( F ` n ) ) -> (wUniCl ` A ) e. WUni )
75	73	sselda 3499	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( A e. V /\ n e. om ) /\ ( F ` n ) C_ (wUniCl ` A ) ) /\ u e. ( F ` n ) ) -> u e. (wUniCl ` A ) )
76	74, 75	wunelss 9103	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( A e. V /\ n e. om ) /\ ( F ` n ) C_ (wUniCl ` A ) ) /\ u e. ( F ` n ) ) -> u C_ (wUniCl ` A ) )
77	76	ralrimiva 2871	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A e. V /\ n e. om ) /\ ( F ` n ) C_ (wUniCl ` A ) ) -> A. u e. ( F ` n ) u C_ (wUniCl ` A ) )
78		unissb 4283	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( U. ( F ` n ) C_ (wUniCl ` A ) <-> A. u e. ( F ` n ) u C_ (wUniCl ` A ) )
79	77, 78	sylibr 212	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. V /\ n e. om ) /\ ( F ` n ) C_ (wUniCl ` A ) ) -> U. ( F ` n ) C_ (wUniCl ` A ) )
80	73, 79	unssd 3676	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. V /\ n e. om ) /\ ( F ` n ) C_ (wUniCl ` A ) ) -> ( ( F ` n ) u. U. ( F ` n ) ) C_ (wUniCl ` A ) )
81	74, 75	wunpw 9102	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( A e. V /\ n e. om ) /\ ( F ` n ) C_ (wUniCl ` A ) ) /\ u e. ( F ` n ) ) -> ~P u e. (wUniCl ` A ) )
82	74, 75	wununi 9101	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( A e. V /\ n e. om ) /\ ( F ` n ) C_ (wUniCl ` A ) ) /\ u e. ( F ` n ) ) -> U. u e. (wUniCl ` A ) )
83		prssi 4188	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ~P u e. (wUniCl ` A ) /\ U. u e. (wUniCl ` A ) ) -> { ~P u , U. u } C_ (wUniCl ` A ) )
84	81, 82, 83	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( A e. V /\ n e. om ) /\ ( F ` n ) C_ (wUniCl ` A ) ) /\ u e. ( F ` n ) ) -> { ~P u , U. u } C_ (wUniCl ` A ) )
85	74	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( A e. V /\ n e. om ) /\ ( F ` n ) C_ (wUniCl ` A ) ) /\ u e. ( F ` n ) ) /\ v e. ( F ` n ) ) -> (wUniCl ` A ) e. WUni )
86	75	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( A e. V /\ n e. om ) /\ ( F ` n ) C_ (wUniCl ` A ) ) /\ u e. ( F ` n ) ) /\ v e. ( F ` n ) ) -> u e. (wUniCl ` A ) )
87		simplr 755	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( A e. V /\ n e. om ) /\ ( F ` n ) C_ (wUniCl ` A ) ) /\ u e. ( F ` n ) ) -> ( F ` n ) C_ (wUniCl ` A ) )
88	87	sselda 3499	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( A e. V /\ n e. om ) /\ ( F ` n ) C_ (wUniCl ` A ) ) /\ u e. ( F ` n ) ) /\ v e. ( F ` n ) ) -> v e. (wUniCl ` A ) )
89	85, 86, 88	wunpr 9104	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( A e. V /\ n e. om ) /\ ( F ` n ) C_ (wUniCl ` A ) ) /\ u e. ( F ` n ) ) /\ v e. ( F ` n ) ) -> { u , v } e. (wUniCl ` A ) )
90		eqid 2457	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( v e. ( F ` n ) |-> { u , v } ) = ( v e. ( F ` n ) |-> { u , v } )
91	89, 90	fmptd 6056	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( A e. V /\ n e. om ) /\ ( F ` n ) C_ (wUniCl ` A ) ) /\ u e. ( F ` n ) ) -> ( v e. ( F ` n ) |-> { u , v } ) : ( F ` n ) --> (wUniCl ` A ) )
92		frn 5743	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( v e. ( F ` n ) |-> { u , v } ) : ( F ` n ) --> (wUniCl ` A ) -> ran ( v e. ( F ` n ) |-> { u , v } ) C_ (wUniCl ` A ) )
93	91, 92	syl 16	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( A e. V /\ n e. om ) /\ ( F ` n ) C_ (wUniCl ` A ) ) /\ u e. ( F ` n ) ) -> ran ( v e. ( F ` n ) |-> { u , v } ) C_ (wUniCl ` A ) )
94	84, 93	unssd 3676	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( A e. V /\ n e. om ) /\ ( F ` n ) C_ (wUniCl ` A ) ) /\ u e. ( F ` n ) ) -> ( { ~P u , U. u } u. ran ( v e. ( F ` n ) |-> { u , v } ) ) C_ (wUniCl ` A ) )
95	94	ralrimiva 2871	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. V /\ n e. om ) /\ ( F ` n ) C_ (wUniCl ` A ) ) -> A. u e. ( F ` n ) ( { ~P u , U. u } u. ran ( v e. ( F ` n ) |-> { u , v } ) ) C_ (wUniCl ` A ) )
96		iunss 4373	. . . . . . . . . . . 12 |- ( U_ u e. ( F ` n ) ( { ~P u , U. u } u. ran ( v e. ( F ` n ) |-> { u , v } ) ) C_ (wUniCl ` A ) <-> A. u e. ( F ` n ) ( { ~P u , U. u } u. ran ( v e. ( F ` n ) |-> { u , v } ) ) C_ (wUniCl ` A ) )
97	95, 96	sylibr 212	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. V /\ n e. om ) /\ ( F ` n ) C_ (wUniCl ` A ) ) -> U_ u e. ( F ` n ) ( { ~P u , U. u } u. ran ( v e. ( F ` n ) |-> { u , v } ) ) C_ (wUniCl ` A ) )
98	80, 97	unssd 3676	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. V /\ n e. om ) /\ ( F ` n ) C_ (wUniCl ` A ) ) -> ( ( ( F ` n ) u. U. ( F ` n ) ) u. U_ u e. ( F ` n ) ( { ~P u , U. u } u. ran ( v e. ( F ` n ) |-> { u , v } ) ) ) C_ (wUniCl ` A ) )
99	72, 98	eqsstrd 3533	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. V /\ n e. om ) /\ ( F ` n ) C_ (wUniCl ` A ) ) -> ( F ` suc n ) C_ (wUniCl ` A ) )
100	99	ex 434	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. V /\ n e. om ) -> ( ( F ` n ) C_ (wUniCl ` A ) -> ( F ` suc n ) C_ (wUniCl ` A ) ) )
101	100	expcom 435	. . . . . . 7 |- ( n e. om -> ( A e. V -> ( ( F ` n ) C_ (wUniCl ` A ) -> ( F ` suc n ) C_ (wUniCl ` A ) ) ) )
102	13, 15, 17, 32, 101	finds2 6727	. . . . . 6 |- ( m e. om -> ( A e. V -> ( F ` m ) C_ (wUniCl ` A ) ) )
103	102	com12 31	. . . . 5 |- ( A e. V -> ( m e. om -> ( F ` m ) C_ (wUniCl ` A ) ) )
104	103	ralrimiv 2869	. . . 4 |- ( A e. V -> A. m e. om ( F ` m ) C_ (wUniCl ` A ) )
105		iunss 4373	. . . 4 |- ( U_ m e. om ( F ` m ) C_ (wUniCl ` A ) <-> A. m e. om ( F ` m ) C_ (wUniCl ` A ) )
106	104, 105	sylibr 212	. . 3 |- ( A e. V -> U_ m e. om ( F ` m ) C_ (wUniCl ` A ) )
107	11, 106	syl5eqss 3543	. 2 |- ( A e. V -> U C_ (wUniCl ` A ) )
108	5, 107	eqssd 3516	1 |- ( A e. V -> (wUniCl ` A ) = U )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 369   = wceq 1395   e. wcel 1819   A.wral 2807   _Vcvv 3109   u. cun 3469   C_ wss 3471   (/)c0 3793   ~Pcpw 4015   {csn 4032   {cpr 4034   U.cuni 4251   U_ciun 4332   |-> cmpt 4515   Oncon0 4887   suc csuc 4889   ran crn 5009   |` cres 5010   Fn wfn 5589   -->wf 5590   ` cfv 5594   omcom 6699   reccrdg 7093   1oc1o 7141  WUnicwun 9095  wUniClcwunm 9096

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-inf2 8075

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-om 6700  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-1o 7148  df-wun 9097  df-wunc 9098

This theorem is referenced by: (None)