Theorem wuncval2 8910

Description: Our earlier expression for a containing weak universe is in fact the weak universe closure. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Jan-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
wuncval2.f	|- F = ( rec ( ( z e. _V |-> ( ( z u. U. z ) u. U_ x e. z ( { ~P x , U. x } u. ran ( y e. z |-> { x , y } ) ) ) ) , ( A u. 1o ) ) |` om )
wuncval2.u	|- U = U. ran F

Assertion

Ref	Expression
wuncval2	|- ( A e. V -> (wUniCl ` A ) = U )

Distinct variable groups:   x, y, z   x, A, y   x, V, y

Allowed substitution hints:   A( z)   U( x, y, z)   F( x, y, z)   V( z)

Proof of Theorem wuncval2

Dummy variables v u w m n are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		wuncval2.f	. . . 4 |- F = ( rec ( ( z e. _V |-> ( ( z u. U. z ) u. U_ x e. z ( { ~P x , U. x } u. ran ( y e. z |-> { x , y } ) ) ) ) , ( A u. 1o ) ) |` om )
2		wuncval2.u	. . . 4 |- U = U. ran F
3	1, 2	wunex2 8901	. . 3 |- ( A e. V -> ( U e. WUni /\ A C_ U ) )
4		wuncss 8908	. . 3 |- ( ( U e. WUni /\ A C_ U ) -> (wUniCl ` A ) C_ U )
5	3, 4	syl 16	. 2 |- ( A e. V -> (wUniCl ` A ) C_ U )
6		frfnom 6886	. . . . . 6 |- ( rec ( ( z e. _V |-> ( ( z u. U. z ) u. U_ x e. z ( { ~P x , U. x } u. ran ( y e. z |-> { x , y } ) ) ) ) , ( A u. 1o ) ) |` om ) Fn om
7	1	fneq1i 5502	. . . . . 6 |- ( F Fn om <-> ( rec ( ( z e. _V |-> ( ( z u. U. z ) u. U_ x e. z ( { ~P x , U. x } u. ran ( y e. z |-> { x , y } ) ) ) ) , ( A u. 1o ) ) |` om ) Fn om )
8	6, 7	mpbir 209	. . . . 5 |- F Fn om
9		fniunfv 5961	. . . . 5 |- ( F Fn om -> U_ m e. om ( F ` m ) = U. ran F )
10	8, 9	ax-mp 5	. . . 4 |- U_ m e. om ( F ` m ) = U. ran F
11	2, 10	eqtr4i 2464	. . 3 |- U = U_ m e. om ( F ` m )
12		fveq2 5688	. . . . . . . 8 |- ( m = (/) -> ( F ` m ) = ( F ` (/) ) )
13	12	sseq1d 3380	. . . . . . 7 |- ( m = (/) -> ( ( F ` m ) C_ (wUniCl ` A ) <-> ( F ` (/) ) C_ (wUniCl ` A ) ) )
14		fveq2 5688	. . . . . . . 8 |- ( m = n -> ( F ` m ) = ( F ` n ) )
15	14	sseq1d 3380	. . . . . . 7 |- ( m = n -> ( ( F ` m ) C_ (wUniCl ` A ) <-> ( F ` n ) C_ (wUniCl ` A ) ) )
16		fveq2 5688	. . . . . . . 8 |- ( m = suc n -> ( F ` m ) = ( F ` suc n ) )
17	16	sseq1d 3380	. . . . . . 7 |- ( m = suc n -> ( ( F ` m ) C_ (wUniCl ` A ) <-> ( F ` suc n ) C_ (wUniCl ` A ) ) )
18		1on 6923	. . . . . . . . . 10 |- 1o e. On
19		unexg 6380	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. V /\ 1o e. On ) -> ( A u. 1o ) e. _V )
20	18, 19	mpan2 666	. . . . . . . . 9 |- ( A e. V -> ( A u. 1o ) e. _V )
21	1	fveq1i 5689	. . . . . . . . . 10 |- ( F ` (/) ) = ( ( rec ( ( z e. _V |-> ( ( z u. U. z ) u. U_ x e. z ( { ~P x , U. x } u. ran ( y e. z |-> { x , y } ) ) ) ) , ( A u. 1o ) ) |` om ) ` (/) )
22		fr0g 6887	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A u. 1o ) e. _V -> ( ( rec ( ( z e. _V |-> ( ( z u. U. z ) u. U_ x e. z ( { ~P x , U. x } u. ran ( y e. z |-> { x , y } ) ) ) ) , ( A u. 1o ) ) |` om ) ` (/) ) = ( A u. 1o ) )
23	21, 22	syl5eq 2485	. . . . . . . . 9 |- ( ( A u. 1o ) e. _V -> ( F ` (/) ) = ( A u. 1o ) )
24	20, 23	syl 16	. . . . . . . 8 |- ( A e. V -> ( F ` (/) ) = ( A u. 1o ) )
25		wuncid 8906	. . . . . . . . 9 |- ( A e. V -> A C_ (wUniCl ` A ) )
26		df1o2 6928	. . . . . . . . . 10 |- 1o = { (/) }
27		wunccl 8907	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A e. V -> (wUniCl ` A ) e. WUni )
28	27	wun0 8881	. . . . . . . . . . 11 |- ( A e. V -> (/) e. (wUniCl ` A ) )
29	28	snssd 4015	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. V -> { (/) } C_ (wUniCl ` A ) )
30	26, 29	syl5eqss 3397	. . . . . . . . 9 |- ( A e. V -> 1o C_ (wUniCl ` A ) )
31	25, 30	unssd 3529	. . . . . . . 8 |- ( A e. V -> ( A u. 1o ) C_ (wUniCl ` A ) )
32	24, 31	eqsstrd 3387	. . . . . . 7 |- ( A e. V -> ( F ` (/) ) C_ (wUniCl ` A ) )
33		simplr 749	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. V /\ n e. om ) /\ ( F ` n ) C_ (wUniCl ` A ) ) -> n e. om )
34		fvex 5698	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( F ` n ) e. _V
35	34	uniex 6375	. . . . . . . . . . . . 13 |- U. ( F ` n ) e. _V
36	34, 35	unex 6377	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( F ` n ) u. U. ( F ` n ) ) e. _V
37		prex 4531	. . . . . . . . . . . . . 14 |- { ~P u , U. u } e. _V
38	34	mptex 5945	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( v e. ( F ` n ) |-> { u , v } ) e. _V
39	38	rnex 6511	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ran ( v e. ( F ` n ) |-> { u , v } ) e. _V
40	37, 39	unex 6377	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( { ~P u , U. u } u. ran ( v e. ( F ` n ) |-> { u , v } ) ) e. _V
41	34, 40	iunex 6556	. . . . . . . . . . . 12 |- U_ u e. ( F ` n ) ( { ~P u , U. u } u. ran ( v e. ( F ` n ) |-> { u , v } ) ) e. _V
42	36, 41	unex 6377	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( F ` n ) u. U. ( F ` n ) ) u. U_ u e. ( F ` n ) ( { ~P u , U. u } u. ran ( v e. ( F ` n ) |-> { u , v } ) ) ) e. _V
43		id 22	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( w = z -> w = z )
44		unieq 4096	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( w = z -> U. w = U. z )
45	43, 44	uneq12d 3508	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( w = z -> ( w u. U. w ) = ( z u. U. z ) )
46		pweq 3860	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( u = x -> ~P u = ~P x )
47		unieq 4096	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( u = x -> U. u = U. x )
48	46, 47	preq12d 3959	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( u = x -> { ~P u , U. u } = { ~P x , U. x } )
49		preq1 3951	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( u = x -> { u , v } = { x , v } )
50	49	mpteq2dv 4376	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( u = x -> ( v e. w |-> { u , v } ) = ( v e. w |-> { x , v } ) )
51	50	rneqd 5063	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( u = x -> ran ( v e. w |-> { u , v } ) = ran ( v e. w |-> { x , v } ) )
52	48, 51	uneq12d 3508	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( u = x -> ( { ~P u , U. u } u. ran ( v e. w |-> { u , v } ) ) = ( { ~P x , U. x } u. ran ( v e. w |-> { x , v } ) ) )
53	52	cbviunv 4206	. . . . . . . . . . . . . 14 |- U_ u e. w ( { ~P u , U. u } u. ran ( v e. w |-> { u , v } ) ) = U_ x e. w ( { ~P x , U. x } u. ran ( v e. w |-> { x , v } ) )
54		preq2 3952	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( v = y -> { x , v } = { x , y } )
55	54	cbvmptv 4380	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( v e. w |-> { x , v } ) = ( y e. w |-> { x , y } )
56		mpteq1 4369	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( w = z -> ( y e. w |-> { x , y } ) = ( y e. z |-> { x , y } ) )
57	55, 56	syl5eq 2485	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( w = z -> ( v e. w |-> { x , v } ) = ( y e. z |-> { x , y } ) )
58	57	rneqd 5063	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( w = z -> ran ( v e. w |-> { x , v } ) = ran ( y e. z |-> { x , y } ) )
59	58	uneq2d 3507	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( w = z -> ( { ~P x , U. x } u. ran ( v e. w |-> { x , v } ) ) = ( { ~P x , U. x } u. ran ( y e. z |-> { x , y } ) ) )
60	43, 59	iuneq12d 4193	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( w = z -> U_ x e. w ( { ~P x , U. x } u. ran ( v e. w |-> { x , v } ) ) = U_ x e. z ( { ~P x , U. x } u. ran ( y e. z |-> { x , y } ) ) )
61	53, 60	syl5eq 2485	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( w = z -> U_ u e. w ( { ~P u , U. u } u. ran ( v e. w |-> { u , v } ) ) = U_ x e. z ( { ~P x , U. x } u. ran ( y e. z |-> { x , y } ) ) )
62	45, 61	uneq12d 3508	. . . . . . . . . . . 12 |- ( w = z -> ( ( w u. U. w ) u. U_ u e. w ( { ~P u , U. u } u. ran ( v e. w |-> { u , v } ) ) ) = ( ( z u. U. z ) u. U_ x e. z ( { ~P x , U. x } u. ran ( y e. z |-> { x , y } ) ) ) )
63		id 22	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( w = ( F ` n ) -> w = ( F ` n ) )
64		unieq 4096	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( w = ( F ` n ) -> U. w = U. ( F ` n ) )
65	63, 64	uneq12d 3508	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( w = ( F ` n ) -> ( w u. U. w ) = ( ( F ` n ) u. U. ( F ` n ) ) )
66		mpteq1 4369	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( w = ( F ` n ) -> ( v e. w |-> { u , v } ) = ( v e. ( F ` n ) |-> { u , v } ) )
67	66	rneqd 5063	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( w = ( F ` n ) -> ran ( v e. w |-> { u , v } ) = ran ( v e. ( F ` n ) |-> { u , v } ) )
68	67	uneq2d 3507	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( w = ( F ` n ) -> ( { ~P u , U. u } u. ran ( v e. w |-> { u , v } ) ) = ( { ~P u , U. u } u. ran ( v e. ( F ` n ) |-> { u , v } ) ) )
69	63, 68	iuneq12d 4193	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( w = ( F ` n ) -> U_ u e. w ( { ~P u , U. u } u. ran ( v e. w |-> { u , v } ) ) = U_ u e. ( F ` n ) ( { ~P u , U. u } u. ran ( v e. ( F ` n ) |-> { u , v } ) ) )
70	65, 69	uneq12d 3508	. . . . . . . . . . . 12 |- ( w = ( F ` n ) -> ( ( w u. U. w ) u. U_ u e. w ( { ~P u , U. u } u. ran ( v e. w |-> { u , v } ) ) ) = ( ( ( F ` n ) u. U. ( F ` n ) ) u. U_ u e. ( F ` n ) ( { ~P u , U. u } u. ran ( v e. ( F ` n ) |-> { u , v } ) ) ) )
71	1, 62, 70	frsucmpt2 6891	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( n e. om /\ ( ( ( F ` n ) u. U. ( F ` n ) ) u. U_ u e. ( F ` n ) ( { ~P u , U. u } u. ran ( v e. ( F ` n ) |-> { u , v } ) ) ) e. _V ) -> ( F ` suc n ) = ( ( ( F ` n ) u. U. ( F ` n ) ) u. U_ u e. ( F ` n ) ( { ~P u , U. u } u. ran ( v e. ( F ` n ) |-> { u , v } ) ) ) )
72	33, 42, 71	sylancl 657	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. V /\ n e. om ) /\ ( F ` n ) C_ (wUniCl ` A ) ) -> ( F ` suc n ) = ( ( ( F ` n ) u. U. ( F ` n ) ) u. U_ u e. ( F ` n ) ( { ~P u , U. u } u. ran ( v e. ( F ` n ) |-> { u , v } ) ) ) )
73		simpr 458	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. V /\ n e. om ) /\ ( F ` n ) C_ (wUniCl ` A ) ) -> ( F ` n ) C_ (wUniCl ` A ) )
74	27	ad3antrrr 724	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( A e. V /\ n e. om ) /\ ( F ` n ) C_ (wUniCl ` A ) ) /\ u e. ( F ` n ) ) -> (wUniCl ` A ) e. WUni )
75	73	sselda 3353	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( A e. V /\ n e. om ) /\ ( F ` n ) C_ (wUniCl ` A ) ) /\ u e. ( F ` n ) ) -> u e. (wUniCl ` A ) )
76	74, 75	wunelss 8871	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( A e. V /\ n e. om ) /\ ( F ` n ) C_ (wUniCl ` A ) ) /\ u e. ( F ` n ) ) -> u C_ (wUniCl ` A ) )
77	76	ralrimiva 2797	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A e. V /\ n e. om ) /\ ( F ` n ) C_ (wUniCl ` A ) ) -> A. u e. ( F ` n ) u C_ (wUniCl ` A ) )
78		unissb 4120	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( U. ( F ` n ) C_ (wUniCl ` A ) <-> A. u e. ( F ` n ) u C_ (wUniCl ` A ) )
79	77, 78	sylibr 212	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. V /\ n e. om ) /\ ( F ` n ) C_ (wUniCl ` A ) ) -> U. ( F ` n ) C_ (wUniCl ` A ) )
80	73, 79	unssd 3529	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. V /\ n e. om ) /\ ( F ` n ) C_ (wUniCl ` A ) ) -> ( ( F ` n ) u. U. ( F ` n ) ) C_ (wUniCl ` A ) )
81	74, 75	wunpw 8870	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( A e. V /\ n e. om ) /\ ( F ` n ) C_ (wUniCl ` A ) ) /\ u e. ( F ` n ) ) -> ~P u e. (wUniCl ` A ) )
82	74, 75	wununi 8869	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( A e. V /\ n e. om ) /\ ( F ` n ) C_ (wUniCl ` A ) ) /\ u e. ( F ` n ) ) -> U. u e. (wUniCl ` A ) )
83		prssi 4026	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ~P u e. (wUniCl ` A ) /\ U. u e. (wUniCl ` A ) ) -> { ~P u , U. u } C_ (wUniCl ` A ) )
84	81, 82, 83	syl2anc 656	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( A e. V /\ n e. om ) /\ ( F ` n ) C_ (wUniCl ` A ) ) /\ u e. ( F ` n ) ) -> { ~P u , U. u } C_ (wUniCl ` A ) )
85	74	adantr 462	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( A e. V /\ n e. om ) /\ ( F ` n ) C_ (wUniCl ` A ) ) /\ u e. ( F ` n ) ) /\ v e. ( F ` n ) ) -> (wUniCl ` A ) e. WUni )
86	75	adantr 462	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( A e. V /\ n e. om ) /\ ( F ` n ) C_ (wUniCl ` A ) ) /\ u e. ( F ` n ) ) /\ v e. ( F ` n ) ) -> u e. (wUniCl ` A ) )
87		simplr 749	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( A e. V /\ n e. om ) /\ ( F ` n ) C_ (wUniCl ` A ) ) /\ u e. ( F ` n ) ) -> ( F ` n ) C_ (wUniCl ` A ) )
88	87	sselda 3353	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( A e. V /\ n e. om ) /\ ( F ` n ) C_ (wUniCl ` A ) ) /\ u e. ( F ` n ) ) /\ v e. ( F ` n ) ) -> v e. (wUniCl ` A ) )
89	85, 86, 88	wunpr 8872	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( A e. V /\ n e. om ) /\ ( F ` n ) C_ (wUniCl ` A ) ) /\ u e. ( F ` n ) ) /\ v e. ( F ` n ) ) -> { u , v } e. (wUniCl ` A ) )
90		eqid 2441	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( v e. ( F ` n ) |-> { u , v } ) = ( v e. ( F ` n ) |-> { u , v } )
91	89, 90	fmptd 5864	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( A e. V /\ n e. om ) /\ ( F ` n ) C_ (wUniCl ` A ) ) /\ u e. ( F ` n ) ) -> ( v e. ( F ` n ) |-> { u , v } ) : ( F ` n ) --> (wUniCl ` A ) )
92		frn 5562	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( v e. ( F ` n ) |-> { u , v } ) : ( F ` n ) --> (wUniCl ` A ) -> ran ( v e. ( F ` n ) |-> { u , v } ) C_ (wUniCl ` A ) )
93	91, 92	syl 16	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( A e. V /\ n e. om ) /\ ( F ` n ) C_ (wUniCl ` A ) ) /\ u e. ( F ` n ) ) -> ran ( v e. ( F ` n ) |-> { u , v } ) C_ (wUniCl ` A ) )
94	84, 93	unssd 3529	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( A e. V /\ n e. om ) /\ ( F ` n ) C_ (wUniCl ` A ) ) /\ u e. ( F ` n ) ) -> ( { ~P u , U. u } u. ran ( v e. ( F ` n ) |-> { u , v } ) ) C_ (wUniCl ` A ) )
95	94	ralrimiva 2797	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. V /\ n e. om ) /\ ( F ` n ) C_ (wUniCl ` A ) ) -> A. u e. ( F ` n ) ( { ~P u , U. u } u. ran ( v e. ( F ` n ) |-> { u , v } ) ) C_ (wUniCl ` A ) )
96		iunss 4208	. . . . . . . . . . . 12 |- ( U_ u e. ( F ` n ) ( { ~P u , U. u } u. ran ( v e. ( F ` n ) |-> { u , v } ) ) C_ (wUniCl ` A ) <-> A. u e. ( F ` n ) ( { ~P u , U. u } u. ran ( v e. ( F ` n ) |-> { u , v } ) ) C_ (wUniCl ` A ) )
97	95, 96	sylibr 212	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. V /\ n e. om ) /\ ( F ` n ) C_ (wUniCl ` A ) ) -> U_ u e. ( F ` n ) ( { ~P u , U. u } u. ran ( v e. ( F ` n ) |-> { u , v } ) ) C_ (wUniCl ` A ) )
98	80, 97	unssd 3529	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. V /\ n e. om ) /\ ( F ` n ) C_ (wUniCl ` A ) ) -> ( ( ( F ` n ) u. U. ( F ` n ) ) u. U_ u e. ( F ` n ) ( { ~P u , U. u } u. ran ( v e. ( F ` n ) |-> { u , v } ) ) ) C_ (wUniCl ` A ) )
99	72, 98	eqsstrd 3387	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. V /\ n e. om ) /\ ( F ` n ) C_ (wUniCl ` A ) ) -> ( F ` suc n ) C_ (wUniCl ` A ) )
100	99	ex 434	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. V /\ n e. om ) -> ( ( F ` n ) C_ (wUniCl ` A ) -> ( F ` suc n ) C_ (wUniCl ` A ) ) )
101	100	expcom 435	. . . . . . 7 |- ( n e. om -> ( A e. V -> ( ( F ` n ) C_ (wUniCl ` A ) -> ( F ` suc n ) C_ (wUniCl ` A ) ) ) )
102	13, 15, 17, 32, 101	finds2 6503	. . . . . 6 |- ( m e. om -> ( A e. V -> ( F ` m ) C_ (wUniCl ` A ) ) )
103	102	com12 31	. . . . 5 |- ( A e. V -> ( m e. om -> ( F ` m ) C_ (wUniCl ` A ) ) )
104	103	ralrimiv 2796	. . . 4 |- ( A e. V -> A. m e. om ( F ` m ) C_ (wUniCl ` A ) )
105		iunss 4208	. . . 4 |- ( U_ m e. om ( F ` m ) C_ (wUniCl ` A ) <-> A. m e. om ( F ` m ) C_ (wUniCl ` A ) )
106	104, 105	sylibr 212	. . 3 |- ( A e. V -> U_ m e. om ( F ` m ) C_ (wUniCl ` A ) )
107	11, 106	syl5eqss 3397	. 2 |- ( A e. V -> U C_ (wUniCl ` A ) )
108	5, 107	eqssd 3370	1 |- ( A e. V -> (wUniCl ` A ) = U )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 369   = wceq 1364   e. wcel 1761   A.wral 2713   _Vcvv 2970   u. cun 3323   C_ wss 3325   (/)c0 3634   ~Pcpw 3857   {csn 3874   {cpr 3876   U.cuni 4088   U_ciun 4168   e. cmpt 4347   Oncon0 4715   suc csuc 4717   ran crn 4837   |` cres 4838   Fn wfn 5410   -->wf 5411   ` cfv 5415   omcom 6475   reccrdg 6861   1oc1o 6909  WUnicwun 8863  wUniClcwunm 8864

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1713  ax-7 1733  ax-8 1763  ax-9 1765  ax-10 1780  ax-11 1785  ax-12 1797  ax-13 1948  ax-ext 2422  ax-rep 4400  ax-sep 4410  ax-nul 4418  ax-pow 4467  ax-pr 4528  ax-un 6371  ax-inf2 7843

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 961  df-3an 962  df-tru 1367  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1706  df-eu 2261  df-mo 2262  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3184  df-csb 3286  df-dif 3328  df-un 3330  df-in 3332  df-ss 3339  df-pss 3341  df-nul 3635  df-if 3789  df-pw 3859  df-sn 3875  df-pr 3877  df-tp 3879  df-op 3881  df-uni 4089  df-int 4126  df-iun 4170  df-br 4290  df-opab 4348  df-mpt 4349  df-tr 4383  df-eprel 4628  df-id 4632  df-po 4637  df-so 4638  df-fr 4675  df-we 4677  df-ord 4718  df-on 4719  df-lim 4720  df-suc 4721  df-xp 4842  df-rel 4843  df-cnv 4844  df-co 4845  df-dm 4846  df-rn 4847  df-res 4848  df-ima 4849  df-iota 5378  df-fun 5417  df-fn 5418  df-f 5419  df-f1 5420  df-fo 5421  df-f1o 5422  df-fv 5423  df-om 6476  df-recs 6828  df-rdg 6862  df-1o 6916  df-wun 8865  df-wunc 8866

This theorem is referenced by: (None)