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Theorem wuncval2 9172
Description: Our earlier expression for a containing weak universe is in fact the weak universe closure. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
wuncval2.f  |-  F  =  ( rec ( ( z  e.  _V  |->  ( ( z  u.  U. z )  u.  U_ x  e.  z  ( { ~P x ,  U. x }  u.  ran  ( y  e.  z 
|->  { x ,  y } ) ) ) ) ,  ( A  u.  1o ) )  |`  om )
wuncval2.u  |-  U  = 
U. ran  F
Assertion
Ref Expression
wuncval2  |-  ( A  e.  V  ->  (wUniCl `  A )  =  U )
Distinct variable groups:    x, y,
z    x, A, y    x, V, y
Allowed substitution hints:    A( z)    U( x, y, z)    F( x, y, z)    V( z)

Proof of Theorem wuncval2
Dummy variables  v  u  w  m  n are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 wuncval2.f . . . 4  |-  F  =  ( rec ( ( z  e.  _V  |->  ( ( z  u.  U. z )  u.  U_ x  e.  z  ( { ~P x ,  U. x }  u.  ran  ( y  e.  z 
|->  { x ,  y } ) ) ) ) ,  ( A  u.  1o ) )  |`  om )
2 wuncval2.u . . . 4  |-  U  = 
U. ran  F
31, 2wunex2 9163 . . 3  |-  ( A  e.  V  ->  ( U  e. WUni  /\  A  C_  U ) )
4 wuncss 9170 . . 3  |-  ( ( U  e. WUni  /\  A  C_  U )  ->  (wUniCl `  A )  C_  U
)
53, 4syl 17 . 2  |-  ( A  e.  V  ->  (wUniCl `  A )  C_  U
)
6 frfnom 7152 . . . . . 6  |-  ( rec ( ( z  e. 
_V  |->  ( ( z  u.  U. z )  u.  U_ x  e.  z  ( { ~P x ,  U. x }  u.  ran  ( y  e.  z  |->  { x ,  y } ) ) ) ) ,  ( A  u.  1o ) )  |`  om )  Fn  om
71fneq1i 5670 . . . . . 6  |-  ( F  Fn  om  <->  ( rec ( ( z  e. 
_V  |->  ( ( z  u.  U. z )  u.  U_ x  e.  z  ( { ~P x ,  U. x }  u.  ran  ( y  e.  z  |->  { x ,  y } ) ) ) ) ,  ( A  u.  1o ) )  |`  om )  Fn  om )
86, 7mpbir 213 . . . . 5  |-  F  Fn  om
9 fniunfv 6152 . . . . 5  |-  ( F  Fn  om  ->  U_ m  e.  om  ( F `  m )  =  U. ran  F )
108, 9ax-mp 5 . . . 4  |-  U_ m  e.  om  ( F `  m )  =  U. ran  F
112, 10eqtr4i 2476 . . 3  |-  U  = 
U_ m  e.  om  ( F `  m )
12 fveq2 5865 . . . . . . . 8  |-  ( m  =  (/)  ->  ( F `
 m )  =  ( F `  (/) ) )
1312sseq1d 3459 . . . . . . 7  |-  ( m  =  (/)  ->  ( ( F `  m ) 
C_  (wUniCl `  A )  <->  ( F `  (/) )  C_  (wUniCl `  A ) ) )
14 fveq2 5865 . . . . . . . 8  |-  ( m  =  n  ->  ( F `  m )  =  ( F `  n ) )
1514sseq1d 3459 . . . . . . 7  |-  ( m  =  n  ->  (
( F `  m
)  C_  (wUniCl `  A
)  <->  ( F `  n )  C_  (wUniCl `  A ) ) )
16 fveq2 5865 . . . . . . . 8  |-  ( m  =  suc  n  -> 
( F `  m
)  =  ( F `
 suc  n )
)
1716sseq1d 3459 . . . . . . 7  |-  ( m  =  suc  n  -> 
( ( F `  m )  C_  (wUniCl `  A )  <->  ( F `  suc  n )  C_  (wUniCl `  A ) ) )
18 1on 7189 . . . . . . . . . 10  |-  1o  e.  On
19 unexg 6592 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  V  /\  1o  e.  On )  -> 
( A  u.  1o )  e.  _V )
2018, 19mpan2 677 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  V  ->  ( A  u.  1o )  e.  _V )
211fveq1i 5866 . . . . . . . . . 10  |-  ( F `
 (/) )  =  ( ( rec ( ( z  e.  _V  |->  ( ( z  u.  U. z )  u.  U_ x  e.  z  ( { ~P x ,  U. x }  u.  ran  ( y  e.  z 
|->  { x ,  y } ) ) ) ) ,  ( A  u.  1o ) )  |`  om ) `  (/) )
22 fr0g 7153 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  u.  1o )  e.  _V  ->  (
( rec ( ( z  e.  _V  |->  ( ( z  u.  U. z )  u.  U_ x  e.  z  ( { ~P x ,  U. x }  u.  ran  ( y  e.  z 
|->  { x ,  y } ) ) ) ) ,  ( A  u.  1o ) )  |`  om ) `  (/) )  =  ( A  u.  1o ) )
2321, 22syl5eq 2497 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  u.  1o )  e.  _V  ->  ( F `  (/) )  =  ( A  u.  1o ) )
2420, 23syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  V  ->  ( F `  (/) )  =  ( A  u.  1o ) )
25 wuncid 9168 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  V  ->  A  C_  (wUniCl `  A )
)
26 df1o2 7194 . . . . . . . . . 10  |-  1o  =  { (/) }
27 wunccl 9169 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  V  ->  (wUniCl `  A )  e. WUni )
2827wun0 9143 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  V  ->  (/)  e.  (wUniCl `  A ) )
2928snssd 4117 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  V  ->  { (/) } 
C_  (wUniCl `  A )
)
3026, 29syl5eqss 3476 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  V  ->  1o  C_  (wUniCl `  A )
)
3125, 30unssd 3610 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  V  ->  ( A  u.  1o )  C_  (wUniCl `  A )
)
3224, 31eqsstrd 3466 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  V  ->  ( F `  (/) )  C_  (wUniCl `  A ) )
33 simplr 762 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  n  e.  om )  /\  ( F `  n )  C_  (wUniCl `  A ) )  ->  n  e.  om )
34 fvex 5875 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( F `
 n )  e. 
_V
3534uniex 6587 . . . . . . . . . . . . 13  |-  U. ( F `  n )  e.  _V
3634, 35unex 6589 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( F `  n )  u.  U. ( F `
 n ) )  e.  _V
37 prex 4642 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  { ~P u ,  U. u }  e.  _V
3834mptex 6136 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( v  e.  ( F `  n )  |->  { u ,  v } )  e.  _V
3938rnex 6727 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ran  (
v  e.  ( F `
 n )  |->  { u ,  v } )  e.  _V
4037, 39unex 6589 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( { ~P u ,  U. u }  u.  ran  ( v  e.  ( F `  n ) 
|->  { u ,  v } ) )  e. 
_V
4134, 40iunex 6773 . . . . . . . . . . . 12  |-  U_ u  e.  ( F `  n
) ( { ~P u ,  U. u }  u.  ran  ( v  e.  ( F `  n )  |->  { u ,  v } ) )  e.  _V
4236, 41unex 6589 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( F `  n
)  u.  U. ( F `  n )
)  u.  U_ u  e.  ( F `  n
) ( { ~P u ,  U. u }  u.  ran  ( v  e.  ( F `  n )  |->  { u ,  v } ) ) )  e.  _V
43 id 22 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( w  =  z  ->  w  =  z )
44 unieq 4206 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( w  =  z  ->  U. w  =  U. z )
4543, 44uneq12d 3589 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( w  =  z  ->  (
w  u.  U. w
)  =  ( z  u.  U. z ) )
46 pweq 3954 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( u  =  x  ->  ~P u  =  ~P x
)
47 unieq 4206 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( u  =  x  ->  U. u  =  U. x )
4846, 47preq12d 4059 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( u  =  x  ->  { ~P u ,  U. u }  =  { ~P x ,  U. x } )
49 preq1 4051 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( u  =  x  ->  { u ,  v }  =  { x ,  v } )
5049mpteq2dv 4490 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( u  =  x  ->  (
v  e.  w  |->  { u ,  v } )  =  ( v  e.  w  |->  { x ,  v } ) )
5150rneqd 5062 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( u  =  x  ->  ran  ( v  e.  w  |->  { u ,  v } )  =  ran  ( v  e.  w  |->  { x ,  v } ) )
5248, 51uneq12d 3589 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( u  =  x  ->  ( { ~P u ,  U. u }  u.  ran  ( v  e.  w  |->  { u ,  v } ) )  =  ( { ~P x ,  U. x }  u.  ran  ( v  e.  w  |->  { x ,  v } ) ) )
5352cbviunv 4317 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  U_ u  e.  w  ( { ~P u ,  U. u }  u.  ran  ( v  e.  w  |->  { u ,  v } ) )  =  U_ x  e.  w  ( { ~P x ,  U. x }  u.  ran  ( v  e.  w  |->  { x ,  v } ) )
54 preq2 4052 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( v  =  y  ->  { x ,  v }  =  { x ,  y } )
5554cbvmptv 4495 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( v  e.  w  |->  { x ,  v } )  =  ( y  e.  w  |->  { x ,  y } )
56 mpteq1 4483 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( w  =  z  ->  (
y  e.  w  |->  { x ,  y } )  =  ( y  e.  z  |->  { x ,  y } ) )
5755, 56syl5eq 2497 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( w  =  z  ->  (
v  e.  w  |->  { x ,  v } )  =  ( y  e.  z  |->  { x ,  y } ) )
5857rneqd 5062 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( w  =  z  ->  ran  ( v  e.  w  |->  { x ,  v } )  =  ran  ( y  e.  z 
|->  { x ,  y } ) )
5958uneq2d 3588 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( w  =  z  ->  ( { ~P x ,  U. x }  u.  ran  ( v  e.  w  |->  { x ,  v } ) )  =  ( { ~P x ,  U. x }  u.  ran  ( y  e.  z 
|->  { x ,  y } ) ) )
6043, 59iuneq12d 4304 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( w  =  z  ->  U_ x  e.  w  ( { ~P x ,  U. x }  u.  ran  ( v  e.  w  |->  { x ,  v } ) )  =  U_ x  e.  z  ( { ~P x ,  U. x }  u.  ran  ( y  e.  z  |->  { x ,  y } ) ) )
6153, 60syl5eq 2497 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( w  =  z  ->  U_ u  e.  w  ( { ~P u ,  U. u }  u.  ran  ( v  e.  w  |->  { u ,  v } ) )  =  U_ x  e.  z  ( { ~P x ,  U. x }  u.  ran  ( y  e.  z  |->  { x ,  y } ) ) )
6245, 61uneq12d 3589 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( w  =  z  ->  (
( w  u.  U. w )  u.  U_ u  e.  w  ( { ~P u ,  U. u }  u.  ran  ( v  e.  w  |->  { u ,  v } ) ) )  =  ( ( z  u.  U. z )  u.  U_ x  e.  z  ( { ~P x ,  U. x }  u.  ran  ( y  e.  z  |->  { x ,  y } ) ) ) )
63 id 22 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( w  =  ( F `  n )  ->  w  =  ( F `  n ) )
64 unieq 4206 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( w  =  ( F `  n )  ->  U. w  =  U. ( F `  n ) )
6563, 64uneq12d 3589 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( w  =  ( F `  n )  ->  (
w  u.  U. w
)  =  ( ( F `  n )  u.  U. ( F `
 n ) ) )
66 mpteq1 4483 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( w  =  ( F `  n )  ->  (
v  e.  w  |->  { u ,  v } )  =  ( v  e.  ( F `  n )  |->  { u ,  v } ) )
6766rneqd 5062 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( w  =  ( F `  n )  ->  ran  ( v  e.  w  |->  { u ,  v } )  =  ran  ( v  e.  ( F `  n ) 
|->  { u ,  v } ) )
6867uneq2d 3588 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( w  =  ( F `  n )  ->  ( { ~P u ,  U. u }  u.  ran  ( v  e.  w  |->  { u ,  v } ) )  =  ( { ~P u ,  U. u }  u.  ran  ( v  e.  ( F `  n ) 
|->  { u ,  v } ) ) )
6963, 68iuneq12d 4304 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( w  =  ( F `  n )  ->  U_ u  e.  w  ( { ~P u ,  U. u }  u.  ran  ( v  e.  w  |->  { u ,  v } ) )  =  U_ u  e.  ( F `  n
) ( { ~P u ,  U. u }  u.  ran  ( v  e.  ( F `  n )  |->  { u ,  v } ) ) )
7065, 69uneq12d 3589 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( w  =  ( F `  n )  ->  (
( w  u.  U. w )  u.  U_ u  e.  w  ( { ~P u ,  U. u }  u.  ran  ( v  e.  w  |->  { u ,  v } ) ) )  =  ( ( ( F `  n )  u.  U. ( F `
 n ) )  u.  U_ u  e.  ( F `  n
) ( { ~P u ,  U. u }  u.  ran  ( v  e.  ( F `  n )  |->  { u ,  v } ) ) ) )
711, 62, 70frsucmpt2 7157 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( n  e.  om  /\  ( ( ( F `
 n )  u. 
U. ( F `  n ) )  u. 
U_ u  e.  ( F `  n ) ( { ~P u ,  U. u }  u.  ran  ( v  e.  ( F `  n ) 
|->  { u ,  v } ) ) )  e.  _V )  -> 
( F `  suc  n )  =  ( ( ( F `  n )  u.  U. ( F `  n ) )  u.  U_ u  e.  ( F `  n
) ( { ~P u ,  U. u }  u.  ran  ( v  e.  ( F `  n )  |->  { u ,  v } ) ) ) )
7233, 42, 71sylancl 668 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  n  e.  om )  /\  ( F `  n )  C_  (wUniCl `  A ) )  -> 
( F `  suc  n )  =  ( ( ( F `  n )  u.  U. ( F `  n ) )  u.  U_ u  e.  ( F `  n
) ( { ~P u ,  U. u }  u.  ran  ( v  e.  ( F `  n )  |->  { u ,  v } ) ) ) )
73 simpr 463 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  n  e.  om )  /\  ( F `  n )  C_  (wUniCl `  A ) )  -> 
( F `  n
)  C_  (wUniCl `  A
) )
7427ad3antrrr 736 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  n  e. 
om )  /\  ( F `  n )  C_  (wUniCl `  A )
)  /\  u  e.  ( F `  n ) )  ->  (wUniCl `  A
)  e. WUni )
7573sselda 3432 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  n  e. 
om )  /\  ( F `  n )  C_  (wUniCl `  A )
)  /\  u  e.  ( F `  n ) )  ->  u  e.  (wUniCl `  A ) )
7674, 75wunelss 9133 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  n  e. 
om )  /\  ( F `  n )  C_  (wUniCl `  A )
)  /\  u  e.  ( F `  n ) )  ->  u  C_  (wUniCl `  A ) )
7776ralrimiva 2802 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  n  e.  om )  /\  ( F `  n )  C_  (wUniCl `  A ) )  ->  A. u  e.  ( F `  n )
u  C_  (wUniCl `  A
) )
78 unissb 4229 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( U. ( F `  n ) 
C_  (wUniCl `  A )  <->  A. u  e.  ( F `
 n ) u 
C_  (wUniCl `  A )
)
7977, 78sylibr 216 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  n  e.  om )  /\  ( F `  n )  C_  (wUniCl `  A ) )  ->  U. ( F `  n
)  C_  (wUniCl `  A
) )
8073, 79unssd 3610 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  n  e.  om )  /\  ( F `  n )  C_  (wUniCl `  A ) )  -> 
( ( F `  n )  u.  U. ( F `  n ) )  C_  (wUniCl `  A
) )
8174, 75wunpw 9132 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  n  e. 
om )  /\  ( F `  n )  C_  (wUniCl `  A )
)  /\  u  e.  ( F `  n ) )  ->  ~P u  e.  (wUniCl `  A )
)
8274, 75wununi 9131 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  n  e. 
om )  /\  ( F `  n )  C_  (wUniCl `  A )
)  /\  u  e.  ( F `  n ) )  ->  U. u  e.  (wUniCl `  A )
)
83 prssi 4128 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ~P u  e.  (wUniCl `  A )  /\  U. u  e.  (wUniCl `  A
) )  ->  { ~P u ,  U. u }  C_  (wUniCl `  A
) )
8481, 82, 83syl2anc 667 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  n  e. 
om )  /\  ( F `  n )  C_  (wUniCl `  A )
)  /\  u  e.  ( F `  n ) )  ->  { ~P u ,  U. u }  C_  (wUniCl `  A
) )
8574adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  n  e.  om )  /\  ( F `  n )  C_  (wUniCl `  A )
)  /\  u  e.  ( F `  n ) )  /\  v  e.  ( F `  n
) )  ->  (wUniCl `  A )  e. WUni )
8675adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  n  e.  om )  /\  ( F `  n )  C_  (wUniCl `  A )
)  /\  u  e.  ( F `  n ) )  /\  v  e.  ( F `  n
) )  ->  u  e.  (wUniCl `  A )
)
87 simplr 762 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  n  e. 
om )  /\  ( F `  n )  C_  (wUniCl `  A )
)  /\  u  e.  ( F `  n ) )  ->  ( F `  n )  C_  (wUniCl `  A ) )
8887sselda 3432 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  n  e.  om )  /\  ( F `  n )  C_  (wUniCl `  A )
)  /\  u  e.  ( F `  n ) )  /\  v  e.  ( F `  n
) )  ->  v  e.  (wUniCl `  A )
)
8985, 86, 88wunpr 9134 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  n  e.  om )  /\  ( F `  n )  C_  (wUniCl `  A )
)  /\  u  e.  ( F `  n ) )  /\  v  e.  ( F `  n
) )  ->  { u ,  v }  e.  (wUniCl `  A ) )
90 eqid 2451 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( v  e.  ( F `  n )  |->  { u ,  v } )  =  ( v  e.  ( F `  n
)  |->  { u ,  v } )
9189, 90fmptd 6046 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  n  e. 
om )  /\  ( F `  n )  C_  (wUniCl `  A )
)  /\  u  e.  ( F `  n ) )  ->  ( v  e.  ( F `  n
)  |->  { u ,  v } ) : ( F `  n
) --> (wUniCl `  A )
)
92 frn 5735 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( v  e.  ( F `
 n )  |->  { u ,  v } ) : ( F `
 n ) --> (wUniCl `  A )  ->  ran  ( v  e.  ( F `  n ) 
|->  { u ,  v } )  C_  (wUniCl `  A ) )
9391, 92syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  n  e. 
om )  /\  ( F `  n )  C_  (wUniCl `  A )
)  /\  u  e.  ( F `  n ) )  ->  ran  ( v  e.  ( F `  n )  |->  { u ,  v } ) 
C_  (wUniCl `  A )
)
9484, 93unssd 3610 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  n  e. 
om )  /\  ( F `  n )  C_  (wUniCl `  A )
)  /\  u  e.  ( F `  n ) )  ->  ( { ~P u ,  U. u }  u.  ran  ( v  e.  ( F `  n )  |->  { u ,  v } ) )  C_  (wUniCl `  A
) )
9594ralrimiva 2802 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  n  e.  om )  /\  ( F `  n )  C_  (wUniCl `  A ) )  ->  A. u  e.  ( F `  n )
( { ~P u ,  U. u }  u.  ran  ( v  e.  ( F `  n ) 
|->  { u ,  v } ) )  C_  (wUniCl `  A ) )
96 iunss 4319 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( U_ u  e.  ( F `  n ) ( { ~P u ,  U. u }  u.  ran  ( v  e.  ( F `  n ) 
|->  { u ,  v } ) )  C_  (wUniCl `  A )  <->  A. u  e.  ( F `  n
) ( { ~P u ,  U. u }  u.  ran  ( v  e.  ( F `  n )  |->  { u ,  v } ) )  C_  (wUniCl `  A
) )
9795, 96sylibr 216 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  n  e.  om )  /\  ( F `  n )  C_  (wUniCl `  A ) )  ->  U_ u  e.  ( F `  n )
( { ~P u ,  U. u }  u.  ran  ( v  e.  ( F `  n ) 
|->  { u ,  v } ) )  C_  (wUniCl `  A ) )
9880, 97unssd 3610 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  n  e.  om )  /\  ( F `  n )  C_  (wUniCl `  A ) )  -> 
( ( ( F `
 n )  u. 
U. ( F `  n ) )  u. 
U_ u  e.  ( F `  n ) ( { ~P u ,  U. u }  u.  ran  ( v  e.  ( F `  n ) 
|->  { u ,  v } ) ) ) 
C_  (wUniCl `  A )
)
9972, 98eqsstrd 3466 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  n  e.  om )  /\  ( F `  n )  C_  (wUniCl `  A ) )  -> 
( F `  suc  n )  C_  (wUniCl `  A ) )
10099ex 436 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  V  /\  n  e.  om )  ->  ( ( F `  n )  C_  (wUniCl `  A )  ->  ( F `  suc  n ) 
C_  (wUniCl `  A )
) )
101100expcom 437 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  om  ->  ( A  e.  V  ->  ( ( F `  n
)  C_  (wUniCl `  A
)  ->  ( F `  suc  n )  C_  (wUniCl `  A ) ) ) )
10213, 15, 17, 32, 101finds2 6721 . . . . . 6  |-  ( m  e.  om  ->  ( A  e.  V  ->  ( F `  m ) 
C_  (wUniCl `  A )
) )
103102com12 32 . . . . 5  |-  ( A  e.  V  ->  (
m  e.  om  ->  ( F `  m ) 
C_  (wUniCl `  A )
) )
104103ralrimiv 2800 . . . 4  |-  ( A  e.  V  ->  A. m  e.  om  ( F `  m )  C_  (wUniCl `  A ) )
105 iunss 4319 . . . 4  |-  ( U_ m  e.  om  ( F `  m )  C_  (wUniCl `  A )  <->  A. m  e.  om  ( F `  m )  C_  (wUniCl `  A )
)
106104, 105sylibr 216 . . 3  |-  ( A  e.  V  ->  U_ m  e.  om  ( F `  m )  C_  (wUniCl `  A ) )
10711, 106syl5eqss 3476 . 2  |-  ( A  e.  V  ->  U  C_  (wUniCl `  A )
)
1085, 107eqssd 3449 1  |-  ( A  e.  V  ->  (wUniCl `  A )  =  U )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 371    = wceq 1444    e. wcel 1887   A.wral 2737   _Vcvv 3045    u. cun 3402    C_ wss 3404   (/)c0 3731   ~Pcpw 3951   {csn 3968   {cpr 3970   U.cuni 4198   U_ciun 4278    |-> cmpt 4461   ran crn 4835    |` cres 4836   Oncon0 5423   suc csuc 5425    Fn wfn 5577   -->wf 5578   ` cfv 5582   omcom 6692   reccrdg 7127   1oc1o 7175  WUnicwun 9125  wUniClcwunm 9126
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-rep 4515  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583  ax-inf2 8146
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-pss 3420  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-tp 3973  df-op 3975  df-uni 4199  df-int 4235  df-iun 4280  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4498  df-eprel 4745  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-fr 4793  df-we 4795  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-pred 5380  df-ord 5426  df-on 5427  df-lim 5428  df-suc 5429  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-om 6693  df-wrecs 7028  df-recs 7090  df-rdg 7128  df-1o 7182  df-wun 9127  df-wunc 9128
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