Theorem wuncval2 9172

Description: Our earlier expression for a containing weak universe is in fact the weak universe closure. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Jan-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
wuncval2.f	|- F = ( rec ( ( z e. _V |-> ( ( z u. U. z ) u. U_ x e. z ( { ~P x , U. x } u. ran ( y e. z |-> { x , y } ) ) ) ) , ( A u. 1o ) ) |` om )
wuncval2.u	|- U = U. ran F

Assertion

Ref	Expression
wuncval2	|- ( A e. V -> (wUniCl ` A ) = U )

Distinct variable groups:   x, y, z   x, A, y   x, V, y

Allowed substitution hints:   A( z)   U( x, y, z)   F( x, y, z)   V( z)

Proof of Theorem wuncval2

Dummy variables v u w m n are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		wuncval2.f	. . . 4 |- F = ( rec ( ( z e. _V |-> ( ( z u. U. z ) u. U_ x e. z ( { ~P x , U. x } u. ran ( y e. z |-> { x , y } ) ) ) ) , ( A u. 1o ) ) |` om )
2		wuncval2.u	. . . 4 |- U = U. ran F
3	1, 2	wunex2 9163	. . 3 |- ( A e. V -> ( U e. WUni /\ A C_ U ) )
4		wuncss 9170	. . 3 |- ( ( U e. WUni /\ A C_ U ) -> (wUniCl ` A ) C_ U )
5	3, 4	syl 17	. 2 |- ( A e. V -> (wUniCl ` A ) C_ U )
6		frfnom 7152	. . . . . 6 |- ( rec ( ( z e. _V |-> ( ( z u. U. z ) u. U_ x e. z ( { ~P x , U. x } u. ran ( y e. z |-> { x , y } ) ) ) ) , ( A u. 1o ) ) |` om ) Fn om
7	1	fneq1i 5670	. . . . . 6 |- ( F Fn om <-> ( rec ( ( z e. _V |-> ( ( z u. U. z ) u. U_ x e. z ( { ~P x , U. x } u. ran ( y e. z |-> { x , y } ) ) ) ) , ( A u. 1o ) ) |` om ) Fn om )
8	6, 7	mpbir 213	. . . . 5 |- F Fn om
9		fniunfv 6152	. . . . 5 |- ( F Fn om -> U_ m e. om ( F ` m ) = U. ran F )
10	8, 9	ax-mp 5	. . . 4 |- U_ m e. om ( F ` m ) = U. ran F
11	2, 10	eqtr4i 2476	. . 3 |- U = U_ m e. om ( F ` m )
12		fveq2 5865	. . . . . . . 8 |- ( m = (/) -> ( F ` m ) = ( F ` (/) ) )
13	12	sseq1d 3459	. . . . . . 7 |- ( m = (/) -> ( ( F ` m ) C_ (wUniCl ` A ) <-> ( F ` (/) ) C_ (wUniCl ` A ) ) )
14		fveq2 5865	. . . . . . . 8 |- ( m = n -> ( F ` m ) = ( F ` n ) )
15	14	sseq1d 3459	. . . . . . 7 |- ( m = n -> ( ( F ` m ) C_ (wUniCl ` A ) <-> ( F ` n ) C_ (wUniCl ` A ) ) )
16		fveq2 5865	. . . . . . . 8 |- ( m = suc n -> ( F ` m ) = ( F ` suc n ) )
17	16	sseq1d 3459	. . . . . . 7 |- ( m = suc n -> ( ( F ` m ) C_ (wUniCl ` A ) <-> ( F ` suc n ) C_ (wUniCl ` A ) ) )
18		1on 7189	. . . . . . . . . 10 |- 1o e. On
19		unexg 6592	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. V /\ 1o e. On ) -> ( A u. 1o ) e. _V )
20	18, 19	mpan2 677	. . . . . . . . 9 |- ( A e. V -> ( A u. 1o ) e. _V )
21	1	fveq1i 5866	. . . . . . . . . 10 |- ( F ` (/) ) = ( ( rec ( ( z e. _V |-> ( ( z u. U. z ) u. U_ x e. z ( { ~P x , U. x } u. ran ( y e. z |-> { x , y } ) ) ) ) , ( A u. 1o ) ) |` om ) ` (/) )
22		fr0g 7153	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A u. 1o ) e. _V -> ( ( rec ( ( z e. _V |-> ( ( z u. U. z ) u. U_ x e. z ( { ~P x , U. x } u. ran ( y e. z |-> { x , y } ) ) ) ) , ( A u. 1o ) ) |` om ) ` (/) ) = ( A u. 1o ) )
23	21, 22	syl5eq 2497	. . . . . . . . 9 |- ( ( A u. 1o ) e. _V -> ( F ` (/) ) = ( A u. 1o ) )
24	20, 23	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( A e. V -> ( F ` (/) ) = ( A u. 1o ) )
25		wuncid 9168	. . . . . . . . 9 |- ( A e. V -> A C_ (wUniCl ` A ) )
26		df1o2 7194	. . . . . . . . . 10 |- 1o = { (/) }
27		wunccl 9169	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A e. V -> (wUniCl ` A ) e. WUni )
28	27	wun0 9143	. . . . . . . . . . 11 |- ( A e. V -> (/) e. (wUniCl ` A ) )
29	28	snssd 4117	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. V -> { (/) } C_ (wUniCl ` A ) )
30	26, 29	syl5eqss 3476	. . . . . . . . 9 |- ( A e. V -> 1o C_ (wUniCl ` A ) )
31	25, 30	unssd 3610	. . . . . . . 8 |- ( A e. V -> ( A u. 1o ) C_ (wUniCl ` A ) )
32	24, 31	eqsstrd 3466	. . . . . . 7 |- ( A e. V -> ( F ` (/) ) C_ (wUniCl ` A ) )
33		simplr 762	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. V /\ n e. om ) /\ ( F ` n ) C_ (wUniCl ` A ) ) -> n e. om )
34		fvex 5875	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( F ` n ) e. _V
35	34	uniex 6587	. . . . . . . . . . . . 13 |- U. ( F ` n ) e. _V
36	34, 35	unex 6589	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( F ` n ) u. U. ( F ` n ) ) e. _V
37		prex 4642	. . . . . . . . . . . . . 14 |- { ~P u , U. u } e. _V
38	34	mptex 6136	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( v e. ( F ` n ) |-> { u , v } ) e. _V
39	38	rnex 6727	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ran ( v e. ( F ` n ) |-> { u , v } ) e. _V
40	37, 39	unex 6589	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( { ~P u , U. u } u. ran ( v e. ( F ` n ) |-> { u , v } ) ) e. _V
41	34, 40	iunex 6773	. . . . . . . . . . . 12 |- U_ u e. ( F ` n ) ( { ~P u , U. u } u. ran ( v e. ( F ` n ) |-> { u , v } ) ) e. _V
42	36, 41	unex 6589	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( F ` n ) u. U. ( F ` n ) ) u. U_ u e. ( F ` n ) ( { ~P u , U. u } u. ran ( v e. ( F ` n ) |-> { u , v } ) ) ) e. _V
43		id 22	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( w = z -> w = z )
44		unieq 4206	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( w = z -> U. w = U. z )
45	43, 44	uneq12d 3589	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( w = z -> ( w u. U. w ) = ( z u. U. z ) )
46		pweq 3954	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( u = x -> ~P u = ~P x )
47		unieq 4206	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( u = x -> U. u = U. x )
48	46, 47	preq12d 4059	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( u = x -> { ~P u , U. u } = { ~P x , U. x } )
49		preq1 4051	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( u = x -> { u , v } = { x , v } )
50	49	mpteq2dv 4490	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( u = x -> ( v e. w |-> { u , v } ) = ( v e. w |-> { x , v } ) )
51	50	rneqd 5062	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( u = x -> ran ( v e. w |-> { u , v } ) = ran ( v e. w |-> { x , v } ) )
52	48, 51	uneq12d 3589	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( u = x -> ( { ~P u , U. u } u. ran ( v e. w |-> { u , v } ) ) = ( { ~P x , U. x } u. ran ( v e. w |-> { x , v } ) ) )
53	52	cbviunv 4317	. . . . . . . . . . . . . 14 |- U_ u e. w ( { ~P u , U. u } u. ran ( v e. w |-> { u , v } ) ) = U_ x e. w ( { ~P x , U. x } u. ran ( v e. w |-> { x , v } ) )
54		preq2 4052	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( v = y -> { x , v } = { x , y } )
55	54	cbvmptv 4495	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( v e. w |-> { x , v } ) = ( y e. w |-> { x , y } )
56		mpteq1 4483	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( w = z -> ( y e. w |-> { x , y } ) = ( y e. z |-> { x , y } ) )
57	55, 56	syl5eq 2497	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( w = z -> ( v e. w |-> { x , v } ) = ( y e. z |-> { x , y } ) )
58	57	rneqd 5062	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( w = z -> ran ( v e. w |-> { x , v } ) = ran ( y e. z |-> { x , y } ) )
59	58	uneq2d 3588	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( w = z -> ( { ~P x , U. x } u. ran ( v e. w |-> { x , v } ) ) = ( { ~P x , U. x } u. ran ( y e. z |-> { x , y } ) ) )
60	43, 59	iuneq12d 4304	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( w = z -> U_ x e. w ( { ~P x , U. x } u. ran ( v e. w |-> { x , v } ) ) = U_ x e. z ( { ~P x , U. x } u. ran ( y e. z |-> { x , y } ) ) )
61	53, 60	syl5eq 2497	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( w = z -> U_ u e. w ( { ~P u , U. u } u. ran ( v e. w |-> { u , v } ) ) = U_ x e. z ( { ~P x , U. x } u. ran ( y e. z |-> { x , y } ) ) )
62	45, 61	uneq12d 3589	. . . . . . . . . . . 12 |- ( w = z -> ( ( w u. U. w ) u. U_ u e. w ( { ~P u , U. u } u. ran ( v e. w |-> { u , v } ) ) ) = ( ( z u. U. z ) u. U_ x e. z ( { ~P x , U. x } u. ran ( y e. z |-> { x , y } ) ) ) )
63		id 22	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( w = ( F ` n ) -> w = ( F ` n ) )
64		unieq 4206	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( w = ( F ` n ) -> U. w = U. ( F ` n ) )
65	63, 64	uneq12d 3589	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( w = ( F ` n ) -> ( w u. U. w ) = ( ( F ` n ) u. U. ( F ` n ) ) )
66		mpteq1 4483	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( w = ( F ` n ) -> ( v e. w |-> { u , v } ) = ( v e. ( F ` n ) |-> { u , v } ) )
67	66	rneqd 5062	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( w = ( F ` n ) -> ran ( v e. w |-> { u , v } ) = ran ( v e. ( F ` n ) |-> { u , v } ) )
68	67	uneq2d 3588	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( w = ( F ` n ) -> ( { ~P u , U. u } u. ran ( v e. w |-> { u , v } ) ) = ( { ~P u , U. u } u. ran ( v e. ( F ` n ) |-> { u , v } ) ) )
69	63, 68	iuneq12d 4304	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( w = ( F ` n ) -> U_ u e. w ( { ~P u , U. u } u. ran ( v e. w |-> { u , v } ) ) = U_ u e. ( F ` n ) ( { ~P u , U. u } u. ran ( v e. ( F ` n ) |-> { u , v } ) ) )
70	65, 69	uneq12d 3589	. . . . . . . . . . . 12 |- ( w = ( F ` n ) -> ( ( w u. U. w ) u. U_ u e. w ( { ~P u , U. u } u. ran ( v e. w |-> { u , v } ) ) ) = ( ( ( F ` n ) u. U. ( F ` n ) ) u. U_ u e. ( F ` n ) ( { ~P u , U. u } u. ran ( v e. ( F ` n ) |-> { u , v } ) ) ) )
71	1, 62, 70	frsucmpt2 7157	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( n e. om /\ ( ( ( F ` n ) u. U. ( F ` n ) ) u. U_ u e. ( F ` n ) ( { ~P u , U. u } u. ran ( v e. ( F ` n ) |-> { u , v } ) ) ) e. _V ) -> ( F ` suc n ) = ( ( ( F ` n ) u. U. ( F ` n ) ) u. U_ u e. ( F ` n ) ( { ~P u , U. u } u. ran ( v e. ( F ` n ) |-> { u , v } ) ) ) )
72	33, 42, 71	sylancl 668	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. V /\ n e. om ) /\ ( F ` n ) C_ (wUniCl ` A ) ) -> ( F ` suc n ) = ( ( ( F ` n ) u. U. ( F ` n ) ) u. U_ u e. ( F ` n ) ( { ~P u , U. u } u. ran ( v e. ( F ` n ) |-> { u , v } ) ) ) )
73		simpr 463	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. V /\ n e. om ) /\ ( F ` n ) C_ (wUniCl ` A ) ) -> ( F ` n ) C_ (wUniCl ` A ) )
74	27	ad3antrrr 736	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( A e. V /\ n e. om ) /\ ( F ` n ) C_ (wUniCl ` A ) ) /\ u e. ( F ` n ) ) -> (wUniCl ` A ) e. WUni )
75	73	sselda 3432	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( A e. V /\ n e. om ) /\ ( F ` n ) C_ (wUniCl ` A ) ) /\ u e. ( F ` n ) ) -> u e. (wUniCl ` A ) )
76	74, 75	wunelss 9133	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( A e. V /\ n e. om ) /\ ( F ` n ) C_ (wUniCl ` A ) ) /\ u e. ( F ` n ) ) -> u C_ (wUniCl ` A ) )
77	76	ralrimiva 2802	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A e. V /\ n e. om ) /\ ( F ` n ) C_ (wUniCl ` A ) ) -> A. u e. ( F ` n ) u C_ (wUniCl ` A ) )
78		unissb 4229	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( U. ( F ` n ) C_ (wUniCl ` A ) <-> A. u e. ( F ` n ) u C_ (wUniCl ` A ) )
79	77, 78	sylibr 216	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. V /\ n e. om ) /\ ( F ` n ) C_ (wUniCl ` A ) ) -> U. ( F ` n ) C_ (wUniCl ` A ) )
80	73, 79	unssd 3610	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. V /\ n e. om ) /\ ( F ` n ) C_ (wUniCl ` A ) ) -> ( ( F ` n ) u. U. ( F ` n ) ) C_ (wUniCl ` A ) )
81	74, 75	wunpw 9132	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( A e. V /\ n e. om ) /\ ( F ` n ) C_ (wUniCl ` A ) ) /\ u e. ( F ` n ) ) -> ~P u e. (wUniCl ` A ) )
82	74, 75	wununi 9131	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( A e. V /\ n e. om ) /\ ( F ` n ) C_ (wUniCl ` A ) ) /\ u e. ( F ` n ) ) -> U. u e. (wUniCl ` A ) )
83		prssi 4128	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ~P u e. (wUniCl ` A ) /\ U. u e. (wUniCl ` A ) ) -> { ~P u , U. u } C_ (wUniCl ` A ) )
84	81, 82, 83	syl2anc 667	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( A e. V /\ n e. om ) /\ ( F ` n ) C_ (wUniCl ` A ) ) /\ u e. ( F ` n ) ) -> { ~P u , U. u } C_ (wUniCl ` A ) )
85	74	adantr 467	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( A e. V /\ n e. om ) /\ ( F ` n ) C_ (wUniCl ` A ) ) /\ u e. ( F ` n ) ) /\ v e. ( F ` n ) ) -> (wUniCl ` A ) e. WUni )
86	75	adantr 467	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( A e. V /\ n e. om ) /\ ( F ` n ) C_ (wUniCl ` A ) ) /\ u e. ( F ` n ) ) /\ v e. ( F ` n ) ) -> u e. (wUniCl ` A ) )
87		simplr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( A e. V /\ n e. om ) /\ ( F ` n ) C_ (wUniCl ` A ) ) /\ u e. ( F ` n ) ) -> ( F ` n ) C_ (wUniCl ` A ) )
88	87	sselda 3432	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( A e. V /\ n e. om ) /\ ( F ` n ) C_ (wUniCl ` A ) ) /\ u e. ( F ` n ) ) /\ v e. ( F ` n ) ) -> v e. (wUniCl ` A ) )
89	85, 86, 88	wunpr 9134	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( A e. V /\ n e. om ) /\ ( F ` n ) C_ (wUniCl ` A ) ) /\ u e. ( F ` n ) ) /\ v e. ( F ` n ) ) -> { u , v } e. (wUniCl ` A ) )
90		eqid 2451	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( v e. ( F ` n ) |-> { u , v } ) = ( v e. ( F ` n ) |-> { u , v } )
91	89, 90	fmptd 6046	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( A e. V /\ n e. om ) /\ ( F ` n ) C_ (wUniCl ` A ) ) /\ u e. ( F ` n ) ) -> ( v e. ( F ` n ) |-> { u , v } ) : ( F ` n ) --> (wUniCl ` A ) )
92		frn 5735	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( v e. ( F ` n ) |-> { u , v } ) : ( F ` n ) --> (wUniCl ` A ) -> ran ( v e. ( F ` n ) |-> { u , v } ) C_ (wUniCl ` A ) )
93	91, 92	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( A e. V /\ n e. om ) /\ ( F ` n ) C_ (wUniCl ` A ) ) /\ u e. ( F ` n ) ) -> ran ( v e. ( F ` n ) |-> { u , v } ) C_ (wUniCl ` A ) )
94	84, 93	unssd 3610	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( A e. V /\ n e. om ) /\ ( F ` n ) C_ (wUniCl ` A ) ) /\ u e. ( F ` n ) ) -> ( { ~P u , U. u } u. ran ( v e. ( F ` n ) |-> { u , v } ) ) C_ (wUniCl ` A ) )
95	94	ralrimiva 2802	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. V /\ n e. om ) /\ ( F ` n ) C_ (wUniCl ` A ) ) -> A. u e. ( F ` n ) ( { ~P u , U. u } u. ran ( v e. ( F ` n ) |-> { u , v } ) ) C_ (wUniCl ` A ) )
96		iunss 4319	. . . . . . . . . . . 12 |- ( U_ u e. ( F ` n ) ( { ~P u , U. u } u. ran ( v e. ( F ` n ) |-> { u , v } ) ) C_ (wUniCl ` A ) <-> A. u e. ( F ` n ) ( { ~P u , U. u } u. ran ( v e. ( F ` n ) |-> { u , v } ) ) C_ (wUniCl ` A ) )
97	95, 96	sylibr 216	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. V /\ n e. om ) /\ ( F ` n ) C_ (wUniCl ` A ) ) -> U_ u e. ( F ` n ) ( { ~P u , U. u } u. ran ( v e. ( F ` n ) |-> { u , v } ) ) C_ (wUniCl ` A ) )
98	80, 97	unssd 3610	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. V /\ n e. om ) /\ ( F ` n ) C_ (wUniCl ` A ) ) -> ( ( ( F ` n ) u. U. ( F ` n ) ) u. U_ u e. ( F ` n ) ( { ~P u , U. u } u. ran ( v e. ( F ` n ) |-> { u , v } ) ) ) C_ (wUniCl ` A ) )
99	72, 98	eqsstrd 3466	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. V /\ n e. om ) /\ ( F ` n ) C_ (wUniCl ` A ) ) -> ( F ` suc n ) C_ (wUniCl ` A ) )
100	99	ex 436	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. V /\ n e. om ) -> ( ( F ` n ) C_ (wUniCl ` A ) -> ( F ` suc n ) C_ (wUniCl ` A ) ) )
101	100	expcom 437	. . . . . . 7 |- ( n e. om -> ( A e. V -> ( ( F ` n ) C_ (wUniCl ` A ) -> ( F ` suc n ) C_ (wUniCl ` A ) ) ) )
102	13, 15, 17, 32, 101	finds2 6721	. . . . . 6 |- ( m e. om -> ( A e. V -> ( F ` m ) C_ (wUniCl ` A ) ) )
103	102	com12 32	. . . . 5 |- ( A e. V -> ( m e. om -> ( F ` m ) C_ (wUniCl ` A ) ) )
104	103	ralrimiv 2800	. . . 4 |- ( A e. V -> A. m e. om ( F ` m ) C_ (wUniCl ` A ) )
105		iunss 4319	. . . 4 |- ( U_ m e. om ( F ` m ) C_ (wUniCl ` A ) <-> A. m e. om ( F ` m ) C_ (wUniCl ` A ) )
106	104, 105	sylibr 216	. . 3 |- ( A e. V -> U_ m e. om ( F ` m ) C_ (wUniCl ` A ) )
107	11, 106	syl5eqss 3476	. 2 |- ( A e. V -> U C_ (wUniCl ` A ) )
108	5, 107	eqssd 3449	1 |- ( A e. V -> (wUniCl ` A ) = U )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 371   = wceq 1444   e. wcel 1887   A.wral 2737   _Vcvv 3045   u. cun 3402   C_ wss 3404   (/)c0 3731   ~Pcpw 3951   {csn 3968   {cpr 3970   U.cuni 4198   U_ciun 4278   |-> cmpt 4461   ran crn 4835   |` cres 4836   Oncon0 5423   suc csuc 5425   Fn wfn 5577   -->wf 5578   ` cfv 5582   omcom 6692   reccrdg 7127   1oc1o 7175  WUnicwun 9125  wUniClcwunm 9126

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-rep 4515  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583  ax-inf2 8146

This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-pss 3420  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-tp 3973  df-op 3975  df-uni 4199  df-int 4235  df-iun 4280  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4498  df-eprel 4745  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-fr 4793  df-we 4795  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-pred 5380  df-ord 5426  df-on 5427  df-lim 5428  df-suc 5429  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-om 6693  df-wrecs 7028  df-recs 7090  df-rdg 7128  df-1o 7182  df-wun 9127  df-wunc 9128

This theorem is referenced by: (None)