Theorem wuncval2 8933

Description: Our earlier expression for a containing weak universe is in fact the weak universe closure. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Jan-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
wuncval2.f	|- F = ( rec ( ( z e. _V |-> ( ( z u. U. z ) u. U_ x e. z ( { ~P x , U. x } u. ran ( y e. z |-> { x , y } ) ) ) ) , ( A u. 1o ) ) |` om )
wuncval2.u	|- U = U. ran F

Assertion

Ref	Expression
wuncval2	|- ( A e. V -> (wUniCl ` A ) = U )

Distinct variable groups:   x, y, z   x, A, y   x, V, y

Allowed substitution hints:   A( z)   U( x, y, z)   F( x, y, z)   V( z)

Proof of Theorem wuncval2

Dummy variables v u w m n are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		wuncval2.f	. . . 4 |- F = ( rec ( ( z e. _V |-> ( ( z u. U. z ) u. U_ x e. z ( { ~P x , U. x } u. ran ( y e. z |-> { x , y } ) ) ) ) , ( A u. 1o ) ) |` om )
2		wuncval2.u	. . . 4 |- U = U. ran F
3	1, 2	wunex2 8924	. . 3 |- ( A e. V -> ( U e. WUni /\ A C_ U ) )
4		wuncss 8931	. . 3 |- ( ( U e. WUni /\ A C_ U ) -> (wUniCl ` A ) C_ U )
5	3, 4	syl 16	. 2 |- ( A e. V -> (wUniCl ` A ) C_ U )
6		frfnom 6909	. . . . . 6 |- ( rec ( ( z e. _V |-> ( ( z u. U. z ) u. U_ x e. z ( { ~P x , U. x } u. ran ( y e. z |-> { x , y } ) ) ) ) , ( A u. 1o ) ) |` om ) Fn om
7	1	fneq1i 5524	. . . . . 6 |- ( F Fn om <-> ( rec ( ( z e. _V |-> ( ( z u. U. z ) u. U_ x e. z ( { ~P x , U. x } u. ran ( y e. z |-> { x , y } ) ) ) ) , ( A u. 1o ) ) |` om ) Fn om )
8	6, 7	mpbir 209	. . . . 5 |- F Fn om
9		fniunfv 5983	. . . . 5 |- ( F Fn om -> U_ m e. om ( F ` m ) = U. ran F )
10	8, 9	ax-mp 5	. . . 4 |- U_ m e. om ( F ` m ) = U. ran F
11	2, 10	eqtr4i 2466	. . 3 |- U = U_ m e. om ( F ` m )
12		fveq2 5710	. . . . . . . 8 |- ( m = (/) -> ( F ` m ) = ( F ` (/) ) )
13	12	sseq1d 3402	. . . . . . 7 |- ( m = (/) -> ( ( F ` m ) C_ (wUniCl ` A ) <-> ( F ` (/) ) C_ (wUniCl ` A ) ) )
14		fveq2 5710	. . . . . . . 8 |- ( m = n -> ( F ` m ) = ( F ` n ) )
15	14	sseq1d 3402	. . . . . . 7 |- ( m = n -> ( ( F ` m ) C_ (wUniCl ` A ) <-> ( F ` n ) C_ (wUniCl ` A ) ) )
16		fveq2 5710	. . . . . . . 8 |- ( m = suc n -> ( F ` m ) = ( F ` suc n ) )
17	16	sseq1d 3402	. . . . . . 7 |- ( m = suc n -> ( ( F ` m ) C_ (wUniCl ` A ) <-> ( F ` suc n ) C_ (wUniCl ` A ) ) )
18		1on 6946	. . . . . . . . . 10 |- 1o e. On
19		unexg 6400	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. V /\ 1o e. On ) -> ( A u. 1o ) e. _V )
20	18, 19	mpan2 671	. . . . . . . . 9 |- ( A e. V -> ( A u. 1o ) e. _V )
21	1	fveq1i 5711	. . . . . . . . . 10 |- ( F ` (/) ) = ( ( rec ( ( z e. _V |-> ( ( z u. U. z ) u. U_ x e. z ( { ~P x , U. x } u. ran ( y e. z |-> { x , y } ) ) ) ) , ( A u. 1o ) ) |` om ) ` (/) )
22		fr0g 6910	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A u. 1o ) e. _V -> ( ( rec ( ( z e. _V |-> ( ( z u. U. z ) u. U_ x e. z ( { ~P x , U. x } u. ran ( y e. z |-> { x , y } ) ) ) ) , ( A u. 1o ) ) |` om ) ` (/) ) = ( A u. 1o ) )
23	21, 22	syl5eq 2487	. . . . . . . . 9 |- ( ( A u. 1o ) e. _V -> ( F ` (/) ) = ( A u. 1o ) )
24	20, 23	syl 16	. . . . . . . 8 |- ( A e. V -> ( F ` (/) ) = ( A u. 1o ) )
25		wuncid 8929	. . . . . . . . 9 |- ( A e. V -> A C_ (wUniCl ` A ) )
26		df1o2 6951	. . . . . . . . . 10 |- 1o = { (/) }
27		wunccl 8930	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A e. V -> (wUniCl ` A ) e. WUni )
28	27	wun0 8904	. . . . . . . . . . 11 |- ( A e. V -> (/) e. (wUniCl ` A ) )
29	28	snssd 4037	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. V -> { (/) } C_ (wUniCl ` A ) )
30	26, 29	syl5eqss 3419	. . . . . . . . 9 |- ( A e. V -> 1o C_ (wUniCl ` A ) )
31	25, 30	unssd 3551	. . . . . . . 8 |- ( A e. V -> ( A u. 1o ) C_ (wUniCl ` A ) )
32	24, 31	eqsstrd 3409	. . . . . . 7 |- ( A e. V -> ( F ` (/) ) C_ (wUniCl ` A ) )
33		simplr 754	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. V /\ n e. om ) /\ ( F ` n ) C_ (wUniCl ` A ) ) -> n e. om )
34		fvex 5720	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( F ` n ) e. _V
35	34	uniex 6395	. . . . . . . . . . . . 13 |- U. ( F ` n ) e. _V
36	34, 35	unex 6397	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( F ` n ) u. U. ( F ` n ) ) e. _V
37		prex 4553	. . . . . . . . . . . . . 14 |- { ~P u , U. u } e. _V
38	34	mptex 5967	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( v e. ( F ` n ) |-> { u , v } ) e. _V
39	38	rnex 6531	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ran ( v e. ( F ` n ) |-> { u , v } ) e. _V
40	37, 39	unex 6397	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( { ~P u , U. u } u. ran ( v e. ( F ` n ) |-> { u , v } ) ) e. _V
41	34, 40	iunex 6576	. . . . . . . . . . . 12 |- U_ u e. ( F ` n ) ( { ~P u , U. u } u. ran ( v e. ( F ` n ) |-> { u , v } ) ) e. _V
42	36, 41	unex 6397	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( F ` n ) u. U. ( F ` n ) ) u. U_ u e. ( F ` n ) ( { ~P u , U. u } u. ran ( v e. ( F ` n ) |-> { u , v } ) ) ) e. _V
43		id 22	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( w = z -> w = z )
44		unieq 4118	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( w = z -> U. w = U. z )
45	43, 44	uneq12d 3530	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( w = z -> ( w u. U. w ) = ( z u. U. z ) )
46		pweq 3882	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( u = x -> ~P u = ~P x )
47		unieq 4118	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( u = x -> U. u = U. x )
48	46, 47	preq12d 3981	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( u = x -> { ~P u , U. u } = { ~P x , U. x } )
49		preq1 3973	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( u = x -> { u , v } = { x , v } )
50	49	mpteq2dv 4398	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( u = x -> ( v e. w |-> { u , v } ) = ( v e. w |-> { x , v } ) )
51	50	rneqd 5086	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( u = x -> ran ( v e. w |-> { u , v } ) = ran ( v e. w |-> { x , v } ) )
52	48, 51	uneq12d 3530	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( u = x -> ( { ~P u , U. u } u. ran ( v e. w |-> { u , v } ) ) = ( { ~P x , U. x } u. ran ( v e. w |-> { x , v } ) ) )
53	52	cbviunv 4228	. . . . . . . . . . . . . 14 |- U_ u e. w ( { ~P u , U. u } u. ran ( v e. w |-> { u , v } ) ) = U_ x e. w ( { ~P x , U. x } u. ran ( v e. w |-> { x , v } ) )
54		preq2 3974	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( v = y -> { x , v } = { x , y } )
55	54	cbvmptv 4402	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( v e. w |-> { x , v } ) = ( y e. w |-> { x , y } )
56		mpteq1 4391	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( w = z -> ( y e. w |-> { x , y } ) = ( y e. z |-> { x , y } ) )
57	55, 56	syl5eq 2487	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( w = z -> ( v e. w |-> { x , v } ) = ( y e. z |-> { x , y } ) )
58	57	rneqd 5086	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( w = z -> ran ( v e. w |-> { x , v } ) = ran ( y e. z |-> { x , y } ) )
59	58	uneq2d 3529	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( w = z -> ( { ~P x , U. x } u. ran ( v e. w |-> { x , v } ) ) = ( { ~P x , U. x } u. ran ( y e. z |-> { x , y } ) ) )
60	43, 59	iuneq12d 4215	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( w = z -> U_ x e. w ( { ~P x , U. x } u. ran ( v e. w |-> { x , v } ) ) = U_ x e. z ( { ~P x , U. x } u. ran ( y e. z |-> { x , y } ) ) )
61	53, 60	syl5eq 2487	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( w = z -> U_ u e. w ( { ~P u , U. u } u. ran ( v e. w |-> { u , v } ) ) = U_ x e. z ( { ~P x , U. x } u. ran ( y e. z |-> { x , y } ) ) )
62	45, 61	uneq12d 3530	. . . . . . . . . . . 12 |- ( w = z -> ( ( w u. U. w ) u. U_ u e. w ( { ~P u , U. u } u. ran ( v e. w |-> { u , v } ) ) ) = ( ( z u. U. z ) u. U_ x e. z ( { ~P x , U. x } u. ran ( y e. z |-> { x , y } ) ) ) )
63		id 22	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( w = ( F ` n ) -> w = ( F ` n ) )
64		unieq 4118	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( w = ( F ` n ) -> U. w = U. ( F ` n ) )
65	63, 64	uneq12d 3530	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( w = ( F ` n ) -> ( w u. U. w ) = ( ( F ` n ) u. U. ( F ` n ) ) )
66		mpteq1 4391	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( w = ( F ` n ) -> ( v e. w |-> { u , v } ) = ( v e. ( F ` n ) |-> { u , v } ) )
67	66	rneqd 5086	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( w = ( F ` n ) -> ran ( v e. w |-> { u , v } ) = ran ( v e. ( F ` n ) |-> { u , v } ) )
68	67	uneq2d 3529	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( w = ( F ` n ) -> ( { ~P u , U. u } u. ran ( v e. w |-> { u , v } ) ) = ( { ~P u , U. u } u. ran ( v e. ( F ` n ) |-> { u , v } ) ) )
69	63, 68	iuneq12d 4215	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( w = ( F ` n ) -> U_ u e. w ( { ~P u , U. u } u. ran ( v e. w |-> { u , v } ) ) = U_ u e. ( F ` n ) ( { ~P u , U. u } u. ran ( v e. ( F ` n ) |-> { u , v } ) ) )
70	65, 69	uneq12d 3530	. . . . . . . . . . . 12 |- ( w = ( F ` n ) -> ( ( w u. U. w ) u. U_ u e. w ( { ~P u , U. u } u. ran ( v e. w |-> { u , v } ) ) ) = ( ( ( F ` n ) u. U. ( F ` n ) ) u. U_ u e. ( F ` n ) ( { ~P u , U. u } u. ran ( v e. ( F ` n ) |-> { u , v } ) ) ) )
71	1, 62, 70	frsucmpt2 6914	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( n e. om /\ ( ( ( F ` n ) u. U. ( F ` n ) ) u. U_ u e. ( F ` n ) ( { ~P u , U. u } u. ran ( v e. ( F ` n ) |-> { u , v } ) ) ) e. _V ) -> ( F ` suc n ) = ( ( ( F ` n ) u. U. ( F ` n ) ) u. U_ u e. ( F ` n ) ( { ~P u , U. u } u. ran ( v e. ( F ` n ) |-> { u , v } ) ) ) )
72	33, 42, 71	sylancl 662	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. V /\ n e. om ) /\ ( F ` n ) C_ (wUniCl ` A ) ) -> ( F ` suc n ) = ( ( ( F ` n ) u. U. ( F ` n ) ) u. U_ u e. ( F ` n ) ( { ~P u , U. u } u. ran ( v e. ( F ` n ) |-> { u , v } ) ) ) )
73		simpr 461	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. V /\ n e. om ) /\ ( F ` n ) C_ (wUniCl ` A ) ) -> ( F ` n ) C_ (wUniCl ` A ) )
74	27	ad3antrrr 729	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( A e. V /\ n e. om ) /\ ( F ` n ) C_ (wUniCl ` A ) ) /\ u e. ( F ` n ) ) -> (wUniCl ` A ) e. WUni )
75	73	sselda 3375	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( A e. V /\ n e. om ) /\ ( F ` n ) C_ (wUniCl ` A ) ) /\ u e. ( F ` n ) ) -> u e. (wUniCl ` A ) )
76	74, 75	wunelss 8894	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( A e. V /\ n e. om ) /\ ( F ` n ) C_ (wUniCl ` A ) ) /\ u e. ( F ` n ) ) -> u C_ (wUniCl ` A ) )
77	76	ralrimiva 2818	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A e. V /\ n e. om ) /\ ( F ` n ) C_ (wUniCl ` A ) ) -> A. u e. ( F ` n ) u C_ (wUniCl ` A ) )
78		unissb 4142	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( U. ( F ` n ) C_ (wUniCl ` A ) <-> A. u e. ( F ` n ) u C_ (wUniCl ` A ) )
79	77, 78	sylibr 212	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. V /\ n e. om ) /\ ( F ` n ) C_ (wUniCl ` A ) ) -> U. ( F ` n ) C_ (wUniCl ` A ) )
80	73, 79	unssd 3551	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. V /\ n e. om ) /\ ( F ` n ) C_ (wUniCl ` A ) ) -> ( ( F ` n ) u. U. ( F ` n ) ) C_ (wUniCl ` A ) )
81	74, 75	wunpw 8893	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( A e. V /\ n e. om ) /\ ( F ` n ) C_ (wUniCl ` A ) ) /\ u e. ( F ` n ) ) -> ~P u e. (wUniCl ` A ) )
82	74, 75	wununi 8892	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( A e. V /\ n e. om ) /\ ( F ` n ) C_ (wUniCl ` A ) ) /\ u e. ( F ` n ) ) -> U. u e. (wUniCl ` A ) )
83		prssi 4048	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ~P u e. (wUniCl ` A ) /\ U. u e. (wUniCl ` A ) ) -> { ~P u , U. u } C_ (wUniCl ` A ) )
84	81, 82, 83	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( A e. V /\ n e. om ) /\ ( F ` n ) C_ (wUniCl ` A ) ) /\ u e. ( F ` n ) ) -> { ~P u , U. u } C_ (wUniCl ` A ) )
85	74	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( A e. V /\ n e. om ) /\ ( F ` n ) C_ (wUniCl ` A ) ) /\ u e. ( F ` n ) ) /\ v e. ( F ` n ) ) -> (wUniCl ` A ) e. WUni )
86	75	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( A e. V /\ n e. om ) /\ ( F ` n ) C_ (wUniCl ` A ) ) /\ u e. ( F ` n ) ) /\ v e. ( F ` n ) ) -> u e. (wUniCl ` A ) )
87		simplr 754	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( A e. V /\ n e. om ) /\ ( F ` n ) C_ (wUniCl ` A ) ) /\ u e. ( F ` n ) ) -> ( F ` n ) C_ (wUniCl ` A ) )
88	87	sselda 3375	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( A e. V /\ n e. om ) /\ ( F ` n ) C_ (wUniCl ` A ) ) /\ u e. ( F ` n ) ) /\ v e. ( F ` n ) ) -> v e. (wUniCl ` A ) )
89	85, 86, 88	wunpr 8895	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( A e. V /\ n e. om ) /\ ( F ` n ) C_ (wUniCl ` A ) ) /\ u e. ( F ` n ) ) /\ v e. ( F ` n ) ) -> { u , v } e. (wUniCl ` A ) )
90		eqid 2443	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( v e. ( F ` n ) |-> { u , v } ) = ( v e. ( F ` n ) |-> { u , v } )
91	89, 90	fmptd 5886	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( A e. V /\ n e. om ) /\ ( F ` n ) C_ (wUniCl ` A ) ) /\ u e. ( F ` n ) ) -> ( v e. ( F ` n ) |-> { u , v } ) : ( F ` n ) --> (wUniCl ` A ) )
92		frn 5584	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( v e. ( F ` n ) |-> { u , v } ) : ( F ` n ) --> (wUniCl ` A ) -> ran ( v e. ( F ` n ) |-> { u , v } ) C_ (wUniCl ` A ) )
93	91, 92	syl 16	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( A e. V /\ n e. om ) /\ ( F ` n ) C_ (wUniCl ` A ) ) /\ u e. ( F ` n ) ) -> ran ( v e. ( F ` n ) |-> { u , v } ) C_ (wUniCl ` A ) )
94	84, 93	unssd 3551	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( A e. V /\ n e. om ) /\ ( F ` n ) C_ (wUniCl ` A ) ) /\ u e. ( F ` n ) ) -> ( { ~P u , U. u } u. ran ( v e. ( F ` n ) |-> { u , v } ) ) C_ (wUniCl ` A ) )
95	94	ralrimiva 2818	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. V /\ n e. om ) /\ ( F ` n ) C_ (wUniCl ` A ) ) -> A. u e. ( F ` n ) ( { ~P u , U. u } u. ran ( v e. ( F ` n ) |-> { u , v } ) ) C_ (wUniCl ` A ) )
96		iunss 4230	. . . . . . . . . . . 12 |- ( U_ u e. ( F ` n ) ( { ~P u , U. u } u. ran ( v e. ( F ` n ) |-> { u , v } ) ) C_ (wUniCl ` A ) <-> A. u e. ( F ` n ) ( { ~P u , U. u } u. ran ( v e. ( F ` n ) |-> { u , v } ) ) C_ (wUniCl ` A ) )
97	95, 96	sylibr 212	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. V /\ n e. om ) /\ ( F ` n ) C_ (wUniCl ` A ) ) -> U_ u e. ( F ` n ) ( { ~P u , U. u } u. ran ( v e. ( F ` n ) |-> { u , v } ) ) C_ (wUniCl ` A ) )
98	80, 97	unssd 3551	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. V /\ n e. om ) /\ ( F ` n ) C_ (wUniCl ` A ) ) -> ( ( ( F ` n ) u. U. ( F ` n ) ) u. U_ u e. ( F ` n ) ( { ~P u , U. u } u. ran ( v e. ( F ` n ) |-> { u , v } ) ) ) C_ (wUniCl ` A ) )
99	72, 98	eqsstrd 3409	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. V /\ n e. om ) /\ ( F ` n ) C_ (wUniCl ` A ) ) -> ( F ` suc n ) C_ (wUniCl ` A ) )
100	99	ex 434	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. V /\ n e. om ) -> ( ( F ` n ) C_ (wUniCl ` A ) -> ( F ` suc n ) C_ (wUniCl ` A ) ) )
101	100	expcom 435	. . . . . . 7 |- ( n e. om -> ( A e. V -> ( ( F ` n ) C_ (wUniCl ` A ) -> ( F ` suc n ) C_ (wUniCl ` A ) ) ) )
102	13, 15, 17, 32, 101	finds2 6523	. . . . . 6 |- ( m e. om -> ( A e. V -> ( F ` m ) C_ (wUniCl ` A ) ) )
103	102	com12 31	. . . . 5 |- ( A e. V -> ( m e. om -> ( F ` m ) C_ (wUniCl ` A ) ) )
104	103	ralrimiv 2817	. . . 4 |- ( A e. V -> A. m e. om ( F ` m ) C_ (wUniCl ` A ) )
105		iunss 4230	. . . 4 |- ( U_ m e. om ( F ` m ) C_ (wUniCl ` A ) <-> A. m e. om ( F ` m ) C_ (wUniCl ` A ) )
106	104, 105	sylibr 212	. . 3 |- ( A e. V -> U_ m e. om ( F ` m ) C_ (wUniCl ` A ) )
107	11, 106	syl5eqss 3419	. 2 |- ( A e. V -> U C_ (wUniCl ` A ) )
108	5, 107	eqssd 3392	1 |- ( A e. V -> (wUniCl ` A ) = U )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 369   = wceq 1369   e. wcel 1756   A.wral 2734   _Vcvv 2991   u. cun 3345   C_ wss 3347   (/)c0 3656   ~Pcpw 3879   {csn 3896   {cpr 3898   U.cuni 4110   U_ciun 4190   e. cmpt 4369   Oncon0 4738   suc csuc 4740   ran crn 4860   |` cres 4861   Fn wfn 5432   -->wf 5433   ` cfv 5437   omcom 6495   reccrdg 6884   1oc1o 6932  WUnicwun 8886  wUniClcwunm 8887

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4422  ax-sep 4432  ax-nul 4440  ax-pow 4489  ax-pr 4550  ax-un 6391  ax-inf2 7866

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2622  df-ral 2739  df-rex 2740  df-reu 2741  df-rab 2743  df-v 2993  df-sbc 3206  df-csb 3308  df-dif 3350  df-un 3352  df-in 3354  df-ss 3361  df-pss 3363  df-nul 3657  df-if 3811  df-pw 3881  df-sn 3897  df-pr 3899  df-tp 3901  df-op 3903  df-uni 4111  df-int 4148  df-iun 4192  df-br 4312  df-opab 4370  df-mpt 4371  df-tr 4405  df-eprel 4651  df-id 4655  df-po 4660  df-so 4661  df-fr 4698  df-we 4700  df-ord 4741  df-on 4742  df-lim 4743  df-suc 4744  df-xp 4865  df-rel 4866  df-cnv 4867  df-co 4868  df-dm 4869  df-rn 4870  df-res 4871  df-ima 4872  df-iota 5400  df-fun 5439  df-fn 5440  df-f 5441  df-f1 5442  df-fo 5443  df-f1o 5444  df-fv 5445  df-om 6496  df-recs 6851  df-rdg 6885  df-1o 6939  df-wun 8888  df-wunc 8889

This theorem is referenced by: (None)