MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  wuncval2 Structured version   Unicode version

Theorem wuncval2 8933
Description: Our earlier expression for a containing weak universe is in fact the weak universe closure. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
wuncval2.f  |-  F  =  ( rec ( ( z  e.  _V  |->  ( ( z  u.  U. z )  u.  U_ x  e.  z  ( { ~P x ,  U. x }  u.  ran  ( y  e.  z 
|->  { x ,  y } ) ) ) ) ,  ( A  u.  1o ) )  |`  om )
wuncval2.u  |-  U  = 
U. ran  F
Assertion
Ref Expression
wuncval2  |-  ( A  e.  V  ->  (wUniCl `  A )  =  U )
Distinct variable groups:    x, y,
z    x, A, y    x, V, y
Allowed substitution hints:    A( z)    U( x, y, z)    F( x, y, z)    V( z)

Proof of Theorem wuncval2
Dummy variables  v  u  w  m  n are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 wuncval2.f . . . 4  |-  F  =  ( rec ( ( z  e.  _V  |->  ( ( z  u.  U. z )  u.  U_ x  e.  z  ( { ~P x ,  U. x }  u.  ran  ( y  e.  z 
|->  { x ,  y } ) ) ) ) ,  ( A  u.  1o ) )  |`  om )
2 wuncval2.u . . . 4  |-  U  = 
U. ran  F
31, 2wunex2 8924 . . 3  |-  ( A  e.  V  ->  ( U  e. WUni  /\  A  C_  U ) )
4 wuncss 8931 . . 3  |-  ( ( U  e. WUni  /\  A  C_  U )  ->  (wUniCl `  A )  C_  U
)
53, 4syl 16 . 2  |-  ( A  e.  V  ->  (wUniCl `  A )  C_  U
)
6 frfnom 6909 . . . . . 6  |-  ( rec ( ( z  e. 
_V  |->  ( ( z  u.  U. z )  u.  U_ x  e.  z  ( { ~P x ,  U. x }  u.  ran  ( y  e.  z  |->  { x ,  y } ) ) ) ) ,  ( A  u.  1o ) )  |`  om )  Fn  om
71fneq1i 5524 . . . . . 6  |-  ( F  Fn  om  <->  ( rec ( ( z  e. 
_V  |->  ( ( z  u.  U. z )  u.  U_ x  e.  z  ( { ~P x ,  U. x }  u.  ran  ( y  e.  z  |->  { x ,  y } ) ) ) ) ,  ( A  u.  1o ) )  |`  om )  Fn  om )
86, 7mpbir 209 . . . . 5  |-  F  Fn  om
9 fniunfv 5983 . . . . 5  |-  ( F  Fn  om  ->  U_ m  e.  om  ( F `  m )  =  U. ran  F )
108, 9ax-mp 5 . . . 4  |-  U_ m  e.  om  ( F `  m )  =  U. ran  F
112, 10eqtr4i 2466 . . 3  |-  U  = 
U_ m  e.  om  ( F `  m )
12 fveq2 5710 . . . . . . . 8  |-  ( m  =  (/)  ->  ( F `
 m )  =  ( F `  (/) ) )
1312sseq1d 3402 . . . . . . 7  |-  ( m  =  (/)  ->  ( ( F `  m ) 
C_  (wUniCl `  A )  <->  ( F `  (/) )  C_  (wUniCl `  A ) ) )
14 fveq2 5710 . . . . . . . 8  |-  ( m  =  n  ->  ( F `  m )  =  ( F `  n ) )
1514sseq1d 3402 . . . . . . 7  |-  ( m  =  n  ->  (
( F `  m
)  C_  (wUniCl `  A
)  <->  ( F `  n )  C_  (wUniCl `  A ) ) )
16 fveq2 5710 . . . . . . . 8  |-  ( m  =  suc  n  -> 
( F `  m
)  =  ( F `
 suc  n )
)
1716sseq1d 3402 . . . . . . 7  |-  ( m  =  suc  n  -> 
( ( F `  m )  C_  (wUniCl `  A )  <->  ( F `  suc  n )  C_  (wUniCl `  A ) ) )
18 1on 6946 . . . . . . . . . 10  |-  1o  e.  On
19 unexg 6400 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  V  /\  1o  e.  On )  -> 
( A  u.  1o )  e.  _V )
2018, 19mpan2 671 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  V  ->  ( A  u.  1o )  e.  _V )
211fveq1i 5711 . . . . . . . . . 10  |-  ( F `
 (/) )  =  ( ( rec ( ( z  e.  _V  |->  ( ( z  u.  U. z )  u.  U_ x  e.  z  ( { ~P x ,  U. x }  u.  ran  ( y  e.  z 
|->  { x ,  y } ) ) ) ) ,  ( A  u.  1o ) )  |`  om ) `  (/) )
22 fr0g 6910 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  u.  1o )  e.  _V  ->  (
( rec ( ( z  e.  _V  |->  ( ( z  u.  U. z )  u.  U_ x  e.  z  ( { ~P x ,  U. x }  u.  ran  ( y  e.  z 
|->  { x ,  y } ) ) ) ) ,  ( A  u.  1o ) )  |`  om ) `  (/) )  =  ( A  u.  1o ) )
2321, 22syl5eq 2487 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  u.  1o )  e.  _V  ->  ( F `  (/) )  =  ( A  u.  1o ) )
2420, 23syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  V  ->  ( F `  (/) )  =  ( A  u.  1o ) )
25 wuncid 8929 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  V  ->  A  C_  (wUniCl `  A )
)
26 df1o2 6951 . . . . . . . . . 10  |-  1o  =  { (/) }
27 wunccl 8930 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  V  ->  (wUniCl `  A )  e. WUni )
2827wun0 8904 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  V  ->  (/)  e.  (wUniCl `  A ) )
2928snssd 4037 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  V  ->  { (/) } 
C_  (wUniCl `  A )
)
3026, 29syl5eqss 3419 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  V  ->  1o  C_  (wUniCl `  A )
)
3125, 30unssd 3551 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  V  ->  ( A  u.  1o )  C_  (wUniCl `  A )
)
3224, 31eqsstrd 3409 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  V  ->  ( F `  (/) )  C_  (wUniCl `  A ) )
33 simplr 754 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  n  e.  om )  /\  ( F `  n )  C_  (wUniCl `  A ) )  ->  n  e.  om )
34 fvex 5720 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( F `
 n )  e. 
_V
3534uniex 6395 . . . . . . . . . . . . 13  |-  U. ( F `  n )  e.  _V
3634, 35unex 6397 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( F `  n )  u.  U. ( F `
 n ) )  e.  _V
37 prex 4553 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  { ~P u ,  U. u }  e.  _V
3834mptex 5967 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( v  e.  ( F `  n )  |->  { u ,  v } )  e.  _V
3938rnex 6531 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ran  (
v  e.  ( F `
 n )  |->  { u ,  v } )  e.  _V
4037, 39unex 6397 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( { ~P u ,  U. u }  u.  ran  ( v  e.  ( F `  n ) 
|->  { u ,  v } ) )  e. 
_V
4134, 40iunex 6576 . . . . . . . . . . . 12  |-  U_ u  e.  ( F `  n
) ( { ~P u ,  U. u }  u.  ran  ( v  e.  ( F `  n )  |->  { u ,  v } ) )  e.  _V
4236, 41unex 6397 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( F `  n
)  u.  U. ( F `  n )
)  u.  U_ u  e.  ( F `  n
) ( { ~P u ,  U. u }  u.  ran  ( v  e.  ( F `  n )  |->  { u ,  v } ) ) )  e.  _V
43 id 22 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( w  =  z  ->  w  =  z )
44 unieq 4118 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( w  =  z  ->  U. w  =  U. z )
4543, 44uneq12d 3530 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( w  =  z  ->  (
w  u.  U. w
)  =  ( z  u.  U. z ) )
46 pweq 3882 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( u  =  x  ->  ~P u  =  ~P x
)
47 unieq 4118 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( u  =  x  ->  U. u  =  U. x )
4846, 47preq12d 3981 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( u  =  x  ->  { ~P u ,  U. u }  =  { ~P x ,  U. x } )
49 preq1 3973 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( u  =  x  ->  { u ,  v }  =  { x ,  v } )
5049mpteq2dv 4398 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( u  =  x  ->  (
v  e.  w  |->  { u ,  v } )  =  ( v  e.  w  |->  { x ,  v } ) )
5150rneqd 5086 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( u  =  x  ->  ran  ( v  e.  w  |->  { u ,  v } )  =  ran  ( v  e.  w  |->  { x ,  v } ) )
5248, 51uneq12d 3530 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( u  =  x  ->  ( { ~P u ,  U. u }  u.  ran  ( v  e.  w  |->  { u ,  v } ) )  =  ( { ~P x ,  U. x }  u.  ran  ( v  e.  w  |->  { x ,  v } ) ) )
5352cbviunv 4228 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  U_ u  e.  w  ( { ~P u ,  U. u }  u.  ran  ( v  e.  w  |->  { u ,  v } ) )  =  U_ x  e.  w  ( { ~P x ,  U. x }  u.  ran  ( v  e.  w  |->  { x ,  v } ) )
54 preq2 3974 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( v  =  y  ->  { x ,  v }  =  { x ,  y } )
5554cbvmptv 4402 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( v  e.  w  |->  { x ,  v } )  =  ( y  e.  w  |->  { x ,  y } )
56 mpteq1 4391 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( w  =  z  ->  (
y  e.  w  |->  { x ,  y } )  =  ( y  e.  z  |->  { x ,  y } ) )
5755, 56syl5eq 2487 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( w  =  z  ->  (
v  e.  w  |->  { x ,  v } )  =  ( y  e.  z  |->  { x ,  y } ) )
5857rneqd 5086 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( w  =  z  ->  ran  ( v  e.  w  |->  { x ,  v } )  =  ran  ( y  e.  z 
|->  { x ,  y } ) )
5958uneq2d 3529 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( w  =  z  ->  ( { ~P x ,  U. x }  u.  ran  ( v  e.  w  |->  { x ,  v } ) )  =  ( { ~P x ,  U. x }  u.  ran  ( y  e.  z 
|->  { x ,  y } ) ) )
6043, 59iuneq12d 4215 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( w  =  z  ->  U_ x  e.  w  ( { ~P x ,  U. x }  u.  ran  ( v  e.  w  |->  { x ,  v } ) )  =  U_ x  e.  z  ( { ~P x ,  U. x }  u.  ran  ( y  e.  z  |->  { x ,  y } ) ) )
6153, 60syl5eq 2487 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( w  =  z  ->  U_ u  e.  w  ( { ~P u ,  U. u }  u.  ran  ( v  e.  w  |->  { u ,  v } ) )  =  U_ x  e.  z  ( { ~P x ,  U. x }  u.  ran  ( y  e.  z  |->  { x ,  y } ) ) )
6245, 61uneq12d 3530 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( w  =  z  ->  (
( w  u.  U. w )  u.  U_ u  e.  w  ( { ~P u ,  U. u }  u.  ran  ( v  e.  w  |->  { u ,  v } ) ) )  =  ( ( z  u.  U. z )  u.  U_ x  e.  z  ( { ~P x ,  U. x }  u.  ran  ( y  e.  z  |->  { x ,  y } ) ) ) )
63 id 22 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( w  =  ( F `  n )  ->  w  =  ( F `  n ) )
64 unieq 4118 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( w  =  ( F `  n )  ->  U. w  =  U. ( F `  n ) )
6563, 64uneq12d 3530 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( w  =  ( F `  n )  ->  (
w  u.  U. w
)  =  ( ( F `  n )  u.  U. ( F `
 n ) ) )
66 mpteq1 4391 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( w  =  ( F `  n )  ->  (
v  e.  w  |->  { u ,  v } )  =  ( v  e.  ( F `  n )  |->  { u ,  v } ) )
6766rneqd 5086 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( w  =  ( F `  n )  ->  ran  ( v  e.  w  |->  { u ,  v } )  =  ran  ( v  e.  ( F `  n ) 
|->  { u ,  v } ) )
6867uneq2d 3529 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( w  =  ( F `  n )  ->  ( { ~P u ,  U. u }  u.  ran  ( v  e.  w  |->  { u ,  v } ) )  =  ( { ~P u ,  U. u }  u.  ran  ( v  e.  ( F `  n ) 
|->  { u ,  v } ) ) )
6963, 68iuneq12d 4215 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( w  =  ( F `  n )  ->  U_ u  e.  w  ( { ~P u ,  U. u }  u.  ran  ( v  e.  w  |->  { u ,  v } ) )  =  U_ u  e.  ( F `  n
) ( { ~P u ,  U. u }  u.  ran  ( v  e.  ( F `  n )  |->  { u ,  v } ) ) )
7065, 69uneq12d 3530 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( w  =  ( F `  n )  ->  (
( w  u.  U. w )  u.  U_ u  e.  w  ( { ~P u ,  U. u }  u.  ran  ( v  e.  w  |->  { u ,  v } ) ) )  =  ( ( ( F `  n )  u.  U. ( F `
 n ) )  u.  U_ u  e.  ( F `  n
) ( { ~P u ,  U. u }  u.  ran  ( v  e.  ( F `  n )  |->  { u ,  v } ) ) ) )
711, 62, 70frsucmpt2 6914 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( n  e.  om  /\  ( ( ( F `
 n )  u. 
U. ( F `  n ) )  u. 
U_ u  e.  ( F `  n ) ( { ~P u ,  U. u }  u.  ran  ( v  e.  ( F `  n ) 
|->  { u ,  v } ) ) )  e.  _V )  -> 
( F `  suc  n )  =  ( ( ( F `  n )  u.  U. ( F `  n ) )  u.  U_ u  e.  ( F `  n
) ( { ~P u ,  U. u }  u.  ran  ( v  e.  ( F `  n )  |->  { u ,  v } ) ) ) )
7233, 42, 71sylancl 662 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  n  e.  om )  /\  ( F `  n )  C_  (wUniCl `  A ) )  -> 
( F `  suc  n )  =  ( ( ( F `  n )  u.  U. ( F `  n ) )  u.  U_ u  e.  ( F `  n
) ( { ~P u ,  U. u }  u.  ran  ( v  e.  ( F `  n )  |->  { u ,  v } ) ) ) )
73 simpr 461 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  n  e.  om )  /\  ( F `  n )  C_  (wUniCl `  A ) )  -> 
( F `  n
)  C_  (wUniCl `  A
) )
7427ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  n  e. 
om )  /\  ( F `  n )  C_  (wUniCl `  A )
)  /\  u  e.  ( F `  n ) )  ->  (wUniCl `  A
)  e. WUni )
7573sselda 3375 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  n  e. 
om )  /\  ( F `  n )  C_  (wUniCl `  A )
)  /\  u  e.  ( F `  n ) )  ->  u  e.  (wUniCl `  A ) )
7674, 75wunelss 8894 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  n  e. 
om )  /\  ( F `  n )  C_  (wUniCl `  A )
)  /\  u  e.  ( F `  n ) )  ->  u  C_  (wUniCl `  A ) )
7776ralrimiva 2818 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  n  e.  om )  /\  ( F `  n )  C_  (wUniCl `  A ) )  ->  A. u  e.  ( F `  n )
u  C_  (wUniCl `  A
) )
78 unissb 4142 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( U. ( F `  n ) 
C_  (wUniCl `  A )  <->  A. u  e.  ( F `
 n ) u 
C_  (wUniCl `  A )
)
7977, 78sylibr 212 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  n  e.  om )  /\  ( F `  n )  C_  (wUniCl `  A ) )  ->  U. ( F `  n
)  C_  (wUniCl `  A
) )
8073, 79unssd 3551 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  n  e.  om )  /\  ( F `  n )  C_  (wUniCl `  A ) )  -> 
( ( F `  n )  u.  U. ( F `  n ) )  C_  (wUniCl `  A
) )
8174, 75wunpw 8893 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  n  e. 
om )  /\  ( F `  n )  C_  (wUniCl `  A )
)  /\  u  e.  ( F `  n ) )  ->  ~P u  e.  (wUniCl `  A )
)
8274, 75wununi 8892 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  n  e. 
om )  /\  ( F `  n )  C_  (wUniCl `  A )
)  /\  u  e.  ( F `  n ) )  ->  U. u  e.  (wUniCl `  A )
)
83 prssi 4048 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ~P u  e.  (wUniCl `  A )  /\  U. u  e.  (wUniCl `  A
) )  ->  { ~P u ,  U. u }  C_  (wUniCl `  A
) )
8481, 82, 83syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  n  e. 
om )  /\  ( F `  n )  C_  (wUniCl `  A )
)  /\  u  e.  ( F `  n ) )  ->  { ~P u ,  U. u }  C_  (wUniCl `  A
) )
8574adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  n  e.  om )  /\  ( F `  n )  C_  (wUniCl `  A )
)  /\  u  e.  ( F `  n ) )  /\  v  e.  ( F `  n
) )  ->  (wUniCl `  A )  e. WUni )
8675adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  n  e.  om )  /\  ( F `  n )  C_  (wUniCl `  A )
)  /\  u  e.  ( F `  n ) )  /\  v  e.  ( F `  n
) )  ->  u  e.  (wUniCl `  A )
)
87 simplr 754 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  n  e. 
om )  /\  ( F `  n )  C_  (wUniCl `  A )
)  /\  u  e.  ( F `  n ) )  ->  ( F `  n )  C_  (wUniCl `  A ) )
8887sselda 3375 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  n  e.  om )  /\  ( F `  n )  C_  (wUniCl `  A )
)  /\  u  e.  ( F `  n ) )  /\  v  e.  ( F `  n
) )  ->  v  e.  (wUniCl `  A )
)
8985, 86, 88wunpr 8895 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  n  e.  om )  /\  ( F `  n )  C_  (wUniCl `  A )
)  /\  u  e.  ( F `  n ) )  /\  v  e.  ( F `  n
) )  ->  { u ,  v }  e.  (wUniCl `  A ) )
90 eqid 2443 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( v  e.  ( F `  n )  |->  { u ,  v } )  =  ( v  e.  ( F `  n
)  |->  { u ,  v } )
9189, 90fmptd 5886 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  n  e. 
om )  /\  ( F `  n )  C_  (wUniCl `  A )
)  /\  u  e.  ( F `  n ) )  ->  ( v  e.  ( F `  n
)  |->  { u ,  v } ) : ( F `  n
) --> (wUniCl `  A )
)
92 frn 5584 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( v  e.  ( F `
 n )  |->  { u ,  v } ) : ( F `
 n ) --> (wUniCl `  A )  ->  ran  ( v  e.  ( F `  n ) 
|->  { u ,  v } )  C_  (wUniCl `  A ) )
9391, 92syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  n  e. 
om )  /\  ( F `  n )  C_  (wUniCl `  A )
)  /\  u  e.  ( F `  n ) )  ->  ran  ( v  e.  ( F `  n )  |->  { u ,  v } ) 
C_  (wUniCl `  A )
)
9484, 93unssd 3551 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  n  e. 
om )  /\  ( F `  n )  C_  (wUniCl `  A )
)  /\  u  e.  ( F `  n ) )  ->  ( { ~P u ,  U. u }  u.  ran  ( v  e.  ( F `  n )  |->  { u ,  v } ) )  C_  (wUniCl `  A
) )
9594ralrimiva 2818 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  n  e.  om )  /\  ( F `  n )  C_  (wUniCl `  A ) )  ->  A. u  e.  ( F `  n )
( { ~P u ,  U. u }  u.  ran  ( v  e.  ( F `  n ) 
|->  { u ,  v } ) )  C_  (wUniCl `  A ) )
96 iunss 4230 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( U_ u  e.  ( F `  n ) ( { ~P u ,  U. u }  u.  ran  ( v  e.  ( F `  n ) 
|->  { u ,  v } ) )  C_  (wUniCl `  A )  <->  A. u  e.  ( F `  n
) ( { ~P u ,  U. u }  u.  ran  ( v  e.  ( F `  n )  |->  { u ,  v } ) )  C_  (wUniCl `  A
) )
9795, 96sylibr 212 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  n  e.  om )  /\  ( F `  n )  C_  (wUniCl `  A ) )  ->  U_ u  e.  ( F `  n )
( { ~P u ,  U. u }  u.  ran  ( v  e.  ( F `  n ) 
|->  { u ,  v } ) )  C_  (wUniCl `  A ) )
9880, 97unssd 3551 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  n  e.  om )  /\  ( F `  n )  C_  (wUniCl `  A ) )  -> 
( ( ( F `
 n )  u. 
U. ( F `  n ) )  u. 
U_ u  e.  ( F `  n ) ( { ~P u ,  U. u }  u.  ran  ( v  e.  ( F `  n ) 
|->  { u ,  v } ) ) ) 
C_  (wUniCl `  A )
)
9972, 98eqsstrd 3409 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  n  e.  om )  /\  ( F `  n )  C_  (wUniCl `  A ) )  -> 
( F `  suc  n )  C_  (wUniCl `  A ) )
10099ex 434 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  V  /\  n  e.  om )  ->  ( ( F `  n )  C_  (wUniCl `  A )  ->  ( F `  suc  n ) 
C_  (wUniCl `  A )
) )
101100expcom 435 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  om  ->  ( A  e.  V  ->  ( ( F `  n
)  C_  (wUniCl `  A
)  ->  ( F `  suc  n )  C_  (wUniCl `  A ) ) ) )
10213, 15, 17, 32, 101finds2 6523 . . . . . 6  |-  ( m  e.  om  ->  ( A  e.  V  ->  ( F `  m ) 
C_  (wUniCl `  A )
) )
103102com12 31 . . . . 5  |-  ( A  e.  V  ->  (
m  e.  om  ->  ( F `  m ) 
C_  (wUniCl `  A )
) )
104103ralrimiv 2817 . . . 4  |-  ( A  e.  V  ->  A. m  e.  om  ( F `  m )  C_  (wUniCl `  A ) )
105 iunss 4230 . . . 4  |-  ( U_ m  e.  om  ( F `  m )  C_  (wUniCl `  A )  <->  A. m  e.  om  ( F `  m )  C_  (wUniCl `  A )
)
106104, 105sylibr 212 . . 3  |-  ( A  e.  V  ->  U_ m  e.  om  ( F `  m )  C_  (wUniCl `  A ) )
10711, 106syl5eqss 3419 . 2  |-  ( A  e.  V  ->  U  C_  (wUniCl `  A )
)
1085, 107eqssd 3392 1  |-  ( A  e.  V  ->  (wUniCl `  A )  =  U )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756   A.wral 2734   _Vcvv 2991    u. cun 3345    C_ wss 3347   (/)c0 3656   ~Pcpw 3879   {csn 3896   {cpr 3898   U.cuni 4110   U_ciun 4190    e. cmpt 4369   Oncon0 4738   suc csuc 4740   ran crn 4860    |` cres 4861    Fn wfn 5432   -->wf 5433   ` cfv 5437   omcom 6495   reccrdg 6884   1oc1o 6932  WUnicwun 8886  wUniClcwunm 8887
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4422  ax-sep 4432  ax-nul 4440  ax-pow 4489  ax-pr 4550  ax-un 6391  ax-inf2 7866
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2622  df-ral 2739  df-rex 2740  df-reu 2741  df-rab 2743  df-v 2993  df-sbc 3206  df-csb 3308  df-dif 3350  df-un 3352  df-in 3354  df-ss 3361  df-pss 3363  df-nul 3657  df-if 3811  df-pw 3881  df-sn 3897  df-pr 3899  df-tp 3901  df-op 3903  df-uni 4111  df-int 4148  df-iun 4192  df-br 4312  df-opab 4370  df-mpt 4371  df-tr 4405  df-eprel 4651  df-id 4655  df-po 4660  df-so 4661  df-fr 4698  df-we 4700  df-ord 4741  df-on 4742  df-lim 4743  df-suc 4744  df-xp 4865  df-rel 4866  df-cnv 4867  df-co 4868  df-dm 4869  df-rn 4870  df-res 4871  df-ima 4872  df-iota 5400  df-fun 5439  df-fn 5440  df-f 5441  df-f1 5442  df-fo 5443  df-f1o 5444  df-fv 5445  df-om 6496  df-recs 6851  df-rdg 6885  df-1o 6939  df-wun 8888  df-wunc 8889
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator