MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  wuncval Structured version   Unicode version

Theorem wuncval 9007
Description: Value of the weak universe closure operator. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Jan-2017.)
Assertion
Ref Expression
wuncval  |-  ( A  e.  V  ->  (wUniCl `  A )  =  |^| { u  e. WUni  |  A  C_  u } )
Distinct variable groups:    u, A    u, V

Proof of Theorem wuncval
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elex 3074 . 2  |-  ( A  e.  V  ->  A  e.  _V )
2 wunex 9004 . . . 4  |-  ( A  e.  V  ->  E. u  e. WUni  A  C_  u )
3 rabn0 3752 . . . 4  |-  ( { u  e. WUni  |  A  C_  u }  =/=  (/)  <->  E. u  e. WUni  A  C_  u )
42, 3sylibr 212 . . 3  |-  ( A  e.  V  ->  { u  e. WUni  |  A  C_  u }  =/=  (/) )
5 intex 4543 . . 3  |-  ( { u  e. WUni  |  A  C_  u }  =/=  (/)  <->  |^| { u  e. WUni  |  A  C_  u }  e.  _V )
64, 5sylib 196 . 2  |-  ( A  e.  V  ->  |^| { u  e. WUni  |  A  C_  u }  e.  _V )
7 sseq1 3472 . . . . 5  |-  ( x  =  A  ->  (
x  C_  u  <->  A  C_  u
) )
87rabbidv 3057 . . . 4  |-  ( x  =  A  ->  { u  e. WUni  |  x  C_  u }  =  { u  e. WUni  |  A  C_  u } )
98inteqd 4228 . . 3  |-  ( x  =  A  ->  |^| { u  e. WUni  |  x  C_  u }  =  |^| { u  e. WUni  |  A  C_  u } )
10 df-wunc 8968 . . 3  |- wUniCl  =  ( x  e.  _V  |->  |^|
{ u  e. WUni  |  x  C_  u } )
119, 10fvmptg 5868 . 2  |-  ( ( A  e.  _V  /\  |^|
{ u  e. WUni  |  A  C_  u }  e.  _V )  ->  (wUniCl `  A )  =  |^| { u  e. WUni  |  A  C_  u } )
121, 6, 11syl2anc 661 1  |-  ( A  e.  V  ->  (wUniCl `  A )  =  |^| { u  e. WUni  |  A  C_  u } )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1370    e. wcel 1758    =/= wne 2642   E.wrex 2794   {crab 2797   _Vcvv 3065    C_ wss 3423   (/)c0 3732   |^|cint 4223   ` cfv 5513  WUnicwun 8965  wUniClcwunm 8966
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-rep 4498  ax-sep 4508  ax-nul 4516  ax-pow 4565  ax-pr 4626  ax-un 6469  ax-inf2 7945
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2599  df-ne 2644  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rab 2802  df-v 3067  df-sbc 3282  df-csb 3384  df-dif 3426  df-un 3428  df-in 3430  df-ss 3437  df-pss 3439  df-nul 3733  df-if 3887  df-pw 3957  df-sn 3973  df-pr 3975  df-tp 3977  df-op 3979  df-uni 4187  df-int 4224  df-iun 4268  df-br 4388  df-opab 4446  df-mpt 4447  df-tr 4481  df-eprel 4727  df-id 4731  df-po 4736  df-so 4737  df-fr 4774  df-we 4776  df-ord 4817  df-on 4818  df-lim 4819  df-suc 4820  df-xp 4941  df-rel 4942  df-cnv 4943  df-co 4944  df-dm 4945  df-rn 4946  df-res 4947  df-ima 4948  df-iota 5476  df-fun 5515  df-fn 5516  df-f 5517  df-f1 5518  df-fo 5519  df-f1o 5520  df-fv 5521  df-om 6574  df-recs 6929  df-rdg 6963  df-1o 7017  df-wun 8967  df-wunc 8968
This theorem is referenced by:  wuncid  9008  wunccl  9009  wuncss  9010
  Copyright terms: Public domain W3C validator