MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  wuncn Structured version   Unicode version

Theorem wuncn 9546
Description: A weak universe containing  om contains the complex number construction. This theorem is construction-dependent in the literal sense, but will also be satisfied by any other reasonable implementation of the complex numbers. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
wuncn.1  |-  ( ph  ->  U  e. WUni )
wuncn.2  |-  ( ph  ->  om  e.  U )
Assertion
Ref Expression
wuncn  |-  ( ph  ->  CC  e.  U )

Proof of Theorem wuncn
StepHypRef Expression
1 df-c 9497 . 2  |-  CC  =  ( R.  X.  R. )
2 wuncn.1 . . 3  |-  ( ph  ->  U  e. WUni )
3 df-nr 9433 . . . 4  |-  R.  =  ( ( P.  X.  P. ) /.  ~R  )
4 df-ni 9249 . . . . . . . . . . . 12  |-  N.  =  ( om  \  { (/) } )
5 wuncn.2 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  om  e.  U )
62, 5wundif 9091 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( om  \  { (/)
} )  e.  U
)
74, 6syl5eqel 2559 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  N.  e.  U )
82, 7, 7wunxp 9101 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( N.  X.  N. )  e.  U )
9 elpqn 9302 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  Q.  ->  x  e.  ( N.  X.  N. ) )
109ssriv 3508 . . . . . . . . . . 11  |-  Q.  C_  ( N.  X.  N. )
1110a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  Q.  C_  ( N.  X.  N. ) )
122, 8, 11wunss 9089 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  Q.  e.  U )
132, 12wunpw 9084 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ~P Q.  e.  U
)
14 prpssnq 9367 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  P.  ->  x  C. 
Q. )
1514pssssd 3601 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  P.  ->  x  C_ 
Q. )
16 selpw 4017 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ~P Q.  <->  x  C_  Q. )
1715, 16sylibr 212 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  P.  ->  x  e.  ~P Q. )
1817ssriv 3508 . . . . . . . . 9  |-  P.  C_  ~P Q.
1918a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  P.  C_  ~P Q. )
202, 13, 19wunss 9089 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  P.  e.  U )
212, 20, 20wunxp 9101 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( P.  X.  P. )  e.  U )
222, 21wunpw 9084 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ~P ( P.  X.  P. )  e.  U
)
23 enrer 9441 . . . . . . 7  |-  ~R  Er  ( P.  X.  P. )
2423a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ~R  Er  ( P. 
X.  P. ) )
2524qsss 7372 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( P.  X.  P. ) /.  ~R  )  C_ 
~P ( P.  X.  P. ) )
262, 22, 25wunss 9089 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( P.  X.  P. ) /.  ~R  )  e.  U )
273, 26syl5eqel 2559 . . 3  |-  ( ph  ->  R.  e.  U )
282, 27, 27wunxp 9101 . 2  |-  ( ph  ->  ( R.  X.  R. )  e.  U )
291, 28syl5eqel 2559 1  |-  ( ph  ->  CC  e.  U )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1767    \ cdif 3473    C_ wss 3476   (/)c0 3785   ~Pcpw 4010   {csn 4027    X. cxp 4997   omcom 6679    Er wer 7308   /.cqs 7310  WUnicwun 9077   N.cnpi 9221   Q.cnq 9229   P.cnp 9236    ~R cer 9241   R.cnr 9242   CCcc 9489
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6575  ax-inf2 8057
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5550  df-fun 5589  df-fn 5590  df-f 5591  df-f1 5592  df-fo 5593  df-f1o 5594  df-fv 5595  df-ov 6286  df-oprab 6287  df-mpt2 6288  df-om 6680  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-recs 7042  df-rdg 7076  df-1o 7130  df-oadd 7134  df-omul 7135  df-er 7311  df-ec 7313  df-qs 7317  df-wun 9079  df-ni 9249  df-pli 9250  df-mi 9251  df-lti 9252  df-plpq 9285  df-mpq 9286  df-ltpq 9287  df-enq 9288  df-nq 9289  df-erq 9290  df-plq 9291  df-mq 9292  df-1nq 9293  df-rq 9294  df-ltnq 9295  df-np 9358  df-plp 9360  df-ltp 9362  df-enr 9432  df-nr 9433  df-c 9497
This theorem is referenced by:  wunndx  14505
  Copyright terms: Public domain W3C validator