MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  wuncn Structured version   Unicode version

Theorem wuncn 9595
Description: A weak universe containing  om contains the complex number construction. This theorem is construction-dependent in the literal sense, but will also be satisfied by any other reasonable implementation of the complex numbers. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
wuncn.1  |-  ( ph  ->  U  e. WUni )
wuncn.2  |-  ( ph  ->  om  e.  U )
Assertion
Ref Expression
wuncn  |-  ( ph  ->  CC  e.  U )

Proof of Theorem wuncn
StepHypRef Expression
1 df-c 9546 . 2  |-  CC  =  ( R.  X.  R. )
2 wuncn.1 . . 3  |-  ( ph  ->  U  e. WUni )
3 df-nr 9482 . . . 4  |-  R.  =  ( ( P.  X.  P. ) /.  ~R  )
4 df-ni 9298 . . . . . . . . . . . 12  |-  N.  =  ( om  \  { (/) } )
5 wuncn.2 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  om  e.  U )
62, 5wundif 9140 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( om  \  { (/)
} )  e.  U
)
74, 6syl5eqel 2514 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  N.  e.  U )
82, 7, 7wunxp 9150 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( N.  X.  N. )  e.  U )
9 elpqn 9351 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  Q.  ->  x  e.  ( N.  X.  N. ) )
109ssriv 3468 . . . . . . . . . . 11  |-  Q.  C_  ( N.  X.  N. )
1110a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  Q.  C_  ( N.  X.  N. ) )
122, 8, 11wunss 9138 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  Q.  e.  U )
132, 12wunpw 9133 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ~P Q.  e.  U
)
14 prpssnq 9416 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  P.  ->  x  C. 
Q. )
1514pssssd 3562 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  P.  ->  x  C_ 
Q. )
16 selpw 3986 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ~P Q.  <->  x  C_  Q. )
1715, 16sylibr 215 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  P.  ->  x  e.  ~P Q. )
1817ssriv 3468 . . . . . . . . 9  |-  P.  C_  ~P Q.
1918a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  P.  C_  ~P Q. )
202, 13, 19wunss 9138 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  P.  e.  U )
212, 20, 20wunxp 9150 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( P.  X.  P. )  e.  U )
222, 21wunpw 9133 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ~P ( P.  X.  P. )  e.  U
)
23 enrer 9490 . . . . . . 7  |-  ~R  Er  ( P.  X.  P. )
2423a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ~R  Er  ( P. 
X.  P. ) )
2524qsss 7429 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( P.  X.  P. ) /.  ~R  )  C_ 
~P ( P.  X.  P. ) )
262, 22, 25wunss 9138 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( P.  X.  P. ) /.  ~R  )  e.  U )
273, 26syl5eqel 2514 . . 3  |-  ( ph  ->  R.  e.  U )
282, 27, 27wunxp 9150 . 2  |-  ( ph  ->  ( R.  X.  R. )  e.  U )
291, 28syl5eqel 2514 1  |-  ( ph  ->  CC  e.  U )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1868    \ cdif 3433    C_ wss 3436   (/)c0 3761   ~Pcpw 3979   {csn 3996    X. cxp 4848   omcom 6703    Er wer 7365   /.cqs 7367  WUnicwun 9126   N.cnpi 9270   Q.cnq 9278   P.cnp 9285    ~R cer 9290   R.cnr 9291   CCcc 9538
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1839  ax-8 1870  ax-9 1872  ax-10 1887  ax-11 1892  ax-12 1905  ax-13 2053  ax-ext 2400  ax-sep 4543  ax-nul 4552  ax-pow 4599  ax-pr 4657  ax-un 6594  ax-inf2 8149
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2269  df-mo 2270  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2572  df-ne 2620  df-ral 2780  df-rex 2781  df-reu 2782  df-rmo 2783  df-rab 2784  df-v 3083  df-sbc 3300  df-csb 3396  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-pss 3452  df-nul 3762  df-if 3910  df-pw 3981  df-sn 3997  df-pr 3999  df-tp 4001  df-op 4003  df-uni 4217  df-int 4253  df-iun 4298  df-br 4421  df-opab 4480  df-mpt 4481  df-tr 4516  df-eprel 4761  df-id 4765  df-po 4771  df-so 4772  df-fr 4809  df-we 4811  df-xp 4856  df-rel 4857  df-cnv 4858  df-co 4859  df-dm 4860  df-rn 4861  df-res 4862  df-ima 4863  df-pred 5396  df-ord 5442  df-on 5443  df-lim 5444  df-suc 5445  df-iota 5562  df-fun 5600  df-fn 5601  df-f 5602  df-f1 5603  df-fo 5604  df-f1o 5605  df-fv 5606  df-ov 6305  df-oprab 6306  df-mpt2 6307  df-om 6704  df-1st 6804  df-2nd 6805  df-wrecs 7033  df-recs 7095  df-rdg 7133  df-1o 7187  df-oadd 7191  df-omul 7192  df-er 7368  df-ec 7370  df-qs 7374  df-wun 9128  df-ni 9298  df-pli 9299  df-mi 9300  df-lti 9301  df-plpq 9334  df-mpq 9335  df-ltpq 9336  df-enq 9337  df-nq 9338  df-erq 9339  df-plq 9340  df-mq 9341  df-1nq 9342  df-rq 9343  df-ltnq 9344  df-np 9407  df-plp 9409  df-ltp 9411  df-enr 9481  df-nr 9482  df-c 9546
This theorem is referenced by:  wunndx  15125
  Copyright terms: Public domain W3C validator