MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  wunccl Structured version   Unicode version

Theorem wunccl 9111
Description: The weak universe closure of a set is a weak universe. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Jan-2017.)
Assertion
Ref Expression
wunccl  |-  ( A  e.  V  ->  (wUniCl `  A )  e. WUni )

Proof of Theorem wunccl
Dummy variable  u is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 wuncval 9109 . 2  |-  ( A  e.  V  ->  (wUniCl `  A )  =  |^| { u  e. WUni  |  A  C_  u } )
2 ssrab2 3571 . . 3  |-  { u  e. WUni  |  A  C_  u }  C_ WUni
3 wunex 9106 . . . 4  |-  ( A  e.  V  ->  E. u  e. WUni  A  C_  u )
4 rabn0 3804 . . . 4  |-  ( { u  e. WUni  |  A  C_  u }  =/=  (/)  <->  E. u  e. WUni  A  C_  u )
53, 4sylibr 212 . . 3  |-  ( A  e.  V  ->  { u  e. WUni  |  A  C_  u }  =/=  (/) )
6 intwun 9102 . . 3  |-  ( ( { u  e. WUni  |  A  C_  u }  C_ WUni  /\ 
{ u  e. WUni  |  A  C_  u }  =/=  (/) )  ->  |^| { u  e. WUni  |  A  C_  u }  e. WUni )
72, 5, 6sylancr 661 . 2  |-  ( A  e.  V  ->  |^| { u  e. WUni  |  A  C_  u }  e. WUni )
81, 7eqeltrd 2542 1  |-  ( A  e.  V  ->  (wUniCl `  A )  e. WUni )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1823    =/= wne 2649   E.wrex 2805   {crab 2808    C_ wss 3461   (/)c0 3783   |^|cint 4271   ` cfv 5570  WUnicwun 9067  wUniClcwunm 9068
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-rep 4550  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565  ax-inf2 8049
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-tp 4021  df-op 4023  df-uni 4236  df-int 4272  df-iun 4317  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-tr 4533  df-eprel 4780  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-fr 4827  df-we 4829  df-ord 4870  df-on 4871  df-lim 4872  df-suc 4873  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-om 6674  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-1o 7122  df-wun 9069  df-wunc 9070
This theorem is referenced by:  wuncidm  9113  wuncval2  9114
  Copyright terms: Public domain W3C validator