MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  wunccl Structured version   Unicode version

Theorem wunccl 9015
Description: The weak universe closure of a set is a weak universe. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Jan-2017.)
Assertion
Ref Expression
wunccl  |-  ( A  e.  V  ->  (wUniCl `  A )  e. WUni )

Proof of Theorem wunccl
Dummy variable  u is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 wuncval 9013 . 2  |-  ( A  e.  V  ->  (wUniCl `  A )  =  |^| { u  e. WUni  |  A  C_  u } )
2 ssrab2 3538 . . 3  |-  { u  e. WUni  |  A  C_  u }  C_ WUni
3 wunex 9010 . . . 4  |-  ( A  e.  V  ->  E. u  e. WUni  A  C_  u )
4 rabn0 3758 . . . 4  |-  ( { u  e. WUni  |  A  C_  u }  =/=  (/)  <->  E. u  e. WUni  A  C_  u )
53, 4sylibr 212 . . 3  |-  ( A  e.  V  ->  { u  e. WUni  |  A  C_  u }  =/=  (/) )
6 intwun 9006 . . 3  |-  ( ( { u  e. WUni  |  A  C_  u }  C_ WUni  /\ 
{ u  e. WUni  |  A  C_  u }  =/=  (/) )  ->  |^| { u  e. WUni  |  A  C_  u }  e. WUni )
72, 5, 6sylancr 663 . 2  |-  ( A  e.  V  ->  |^| { u  e. WUni  |  A  C_  u }  e. WUni )
81, 7eqeltrd 2539 1  |-  ( A  e.  V  ->  (wUniCl `  A )  e. WUni )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1758    =/= wne 2644   E.wrex 2796   {crab 2799    C_ wss 3429   (/)c0 3738   |^|cint 4229   ` cfv 5519  WUnicwun 8971  wUniClcwunm 8972
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-rep 4504  ax-sep 4514  ax-nul 4522  ax-pow 4571  ax-pr 4632  ax-un 6475  ax-inf2 7951
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-ral 2800  df-rex 2801  df-reu 2802  df-rab 2804  df-v 3073  df-sbc 3288  df-csb 3390  df-dif 3432  df-un 3434  df-in 3436  df-ss 3443  df-pss 3445  df-nul 3739  df-if 3893  df-pw 3963  df-sn 3979  df-pr 3981  df-tp 3983  df-op 3985  df-uni 4193  df-int 4230  df-iun 4274  df-br 4394  df-opab 4452  df-mpt 4453  df-tr 4487  df-eprel 4733  df-id 4737  df-po 4742  df-so 4743  df-fr 4780  df-we 4782  df-ord 4823  df-on 4824  df-lim 4825  df-suc 4826  df-xp 4947  df-rel 4948  df-cnv 4949  df-co 4950  df-dm 4951  df-rn 4952  df-res 4953  df-ima 4954  df-iota 5482  df-fun 5521  df-fn 5522  df-f 5523  df-f1 5524  df-fo 5525  df-f1o 5526  df-fv 5527  df-om 6580  df-recs 6935  df-rdg 6969  df-1o 7023  df-wun 8973  df-wunc 8974
This theorem is referenced by:  wuncidm  9017  wuncval2  9018
  Copyright terms: Public domain W3C validator