MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  wrdval Structured version   Unicode version

Theorem wrdval 12351
Description: Value of the set of words over a set. (Contributed by Stefan O'Rear, 10-Aug-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Feb-2016.)
Assertion
Ref Expression
wrdval  |-  ( S  e.  V  -> Word  S  = 
U_ l  e.  NN0  ( S  ^m  (
0..^ l ) ) )
Distinct variable groups:    S, l    V, l

Proof of Theorem wrdval
Dummy variable  w is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eliun 4278 . . . 4  |-  ( w  e.  U_ l  e. 
NN0  ( S  ^m  ( 0..^ l ) )  <->  E. l  e.  NN0  w  e.  ( S  ^m  ( 0..^ l ) ) )
2 ovex 6220 . . . . . 6  |-  ( 0..^ l )  e.  _V
3 elmapg 7332 . . . . . 6  |-  ( ( S  e.  V  /\  ( 0..^ l )  e. 
_V )  ->  (
w  e.  ( S  ^m  ( 0..^ l ) )  <->  w :
( 0..^ l ) --> S ) )
42, 3mpan2 671 . . . . 5  |-  ( S  e.  V  ->  (
w  e.  ( S  ^m  ( 0..^ l ) )  <->  w :
( 0..^ l ) --> S ) )
54rexbidv 2857 . . . 4  |-  ( S  e.  V  ->  ( E. l  e.  NN0  w  e.  ( S  ^m  ( 0..^ l ) )  <->  E. l  e.  NN0  w : ( 0..^ l ) --> S ) )
61, 5syl5bb 257 . . 3  |-  ( S  e.  V  ->  (
w  e.  U_ l  e.  NN0  ( S  ^m  ( 0..^ l ) )  <->  E. l  e.  NN0  w : ( 0..^ l ) --> S ) )
76abbi2dv 2589 . 2  |-  ( S  e.  V  ->  U_ l  e.  NN0  ( S  ^m  ( 0..^ l ) )  =  { w  |  E. l  e.  NN0  w : ( 0..^ l ) --> S } )
8 df-word 12342 . 2  |- Word  S  =  { w  |  E. l  e.  NN0  w : ( 0..^ l ) --> S }
97, 8syl6reqr 2512 1  |-  ( S  e.  V  -> Word  S  = 
U_ l  e.  NN0  ( S  ^m  (
0..^ l ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    = wceq 1370    e. wcel 1758   {cab 2437   E.wrex 2797   _Vcvv 3072   U_ciun 4274   -->wf 5517  (class class class)co 6195    ^m cmap 7319   0cc0 9388   NN0cn0 10685  ..^cfzo 11660  Word cword 12334
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1954  ax-ext 2431  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4573  ax-pr 4634  ax-un 6477
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2265  df-mo 2266  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2602  df-ne 2647  df-ral 2801  df-rex 2802  df-rab 2805  df-v 3074  df-sbc 3289  df-dif 3434  df-un 3436  df-in 3438  df-ss 3445  df-nul 3741  df-if 3895  df-pw 3965  df-sn 3981  df-pr 3983  df-op 3987  df-uni 4195  df-iun 4276  df-br 4396  df-opab 4454  df-id 4739  df-xp 4949  df-rel 4950  df-cnv 4951  df-co 4952  df-dm 4953  df-rn 4954  df-iota 5484  df-fun 5523  df-fn 5524  df-f 5525  df-fv 5529  df-ov 6198  df-oprab 6199  df-mpt2 6200  df-map 7321  df-word 12342
This theorem is referenced by:  wrdexg  12357
  Copyright terms: Public domain W3C validator