MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  wrdval Structured version   Unicode version

Theorem wrdval 12456
Description: Value of the set of words over a set. (Contributed by Stefan O'Rear, 10-Aug-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Feb-2016.)
Assertion
Ref Expression
wrdval  |-  ( S  e.  V  -> Word  S  = 
U_ l  e.  NN0  ( S  ^m  (
0..^ l ) ) )
Distinct variable groups:    S, l    V, l

Proof of Theorem wrdval
Dummy variable  w is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eliun 4248 . . . 4  |-  ( w  e.  U_ l  e. 
NN0  ( S  ^m  ( 0..^ l ) )  <->  E. l  e.  NN0  w  e.  ( S  ^m  ( 0..^ l ) ) )
2 ovex 6224 . . . . . 6  |-  ( 0..^ l )  e.  _V
3 elmapg 7351 . . . . . 6  |-  ( ( S  e.  V  /\  ( 0..^ l )  e. 
_V )  ->  (
w  e.  ( S  ^m  ( 0..^ l ) )  <->  w :
( 0..^ l ) --> S ) )
42, 3mpan2 669 . . . . 5  |-  ( S  e.  V  ->  (
w  e.  ( S  ^m  ( 0..^ l ) )  <->  w :
( 0..^ l ) --> S ) )
54rexbidv 2893 . . . 4  |-  ( S  e.  V  ->  ( E. l  e.  NN0  w  e.  ( S  ^m  ( 0..^ l ) )  <->  E. l  e.  NN0  w : ( 0..^ l ) --> S ) )
61, 5syl5bb 257 . . 3  |-  ( S  e.  V  ->  (
w  e.  U_ l  e.  NN0  ( S  ^m  ( 0..^ l ) )  <->  E. l  e.  NN0  w : ( 0..^ l ) --> S ) )
76abbi2dv 2519 . 2  |-  ( S  e.  V  ->  U_ l  e.  NN0  ( S  ^m  ( 0..^ l ) )  =  { w  |  E. l  e.  NN0  w : ( 0..^ l ) --> S } )
8 df-word 12446 . 2  |- Word  S  =  { w  |  E. l  e.  NN0  w : ( 0..^ l ) --> S }
97, 8syl6reqr 2442 1  |-  ( S  e.  V  -> Word  S  = 
U_ l  e.  NN0  ( S  ^m  (
0..^ l ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    = wceq 1399    e. wcel 1826   {cab 2367   E.wrex 2733   _Vcvv 3034   U_ciun 4243   -->wf 5492  (class class class)co 6196    ^m cmap 7338   0cc0 9403   NN0cn0 10712  ..^cfzo 11717  Word cword 12438
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1626  ax-4 1639  ax-5 1712  ax-6 1755  ax-7 1798  ax-8 1828  ax-9 1830  ax-10 1845  ax-11 1850  ax-12 1862  ax-13 2006  ax-ext 2360  ax-sep 4488  ax-nul 4496  ax-pow 4543  ax-pr 4601  ax-un 6491
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3an 973  df-tru 1402  df-ex 1621  df-nf 1625  df-sb 1748  df-eu 2222  df-mo 2223  df-clab 2368  df-cleq 2374  df-clel 2377  df-nfc 2532  df-ne 2579  df-ral 2737  df-rex 2738  df-rab 2741  df-v 3036  df-sbc 3253  df-dif 3392  df-un 3394  df-in 3396  df-ss 3403  df-nul 3712  df-if 3858  df-pw 3929  df-sn 3945  df-pr 3947  df-op 3951  df-uni 4164  df-iun 4245  df-br 4368  df-opab 4426  df-id 4709  df-xp 4919  df-rel 4920  df-cnv 4921  df-co 4922  df-dm 4923  df-rn 4924  df-iota 5460  df-fun 5498  df-fn 5499  df-f 5500  df-fv 5504  df-ov 6199  df-oprab 6200  df-mpt2 6201  df-map 7340  df-word 12446
This theorem is referenced by:  wrdexg  12464
  Copyright terms: Public domain W3C validator