MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  wrdumgra Structured version   Unicode version

Theorem wrdumgra 24614
Description: The property of being an undirected multigraph, expressing the edges as "words". (Contributed by Mario Carneiro, 11-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
wrdumgra  |-  ( ( V  e.  W  /\  E  e. Word  X )  ->  ( V UMGrph  E  <->  E  e. Word  { x  e.  ( ~P V  \  { (/) } )  |  ( # `  x )  <_  2 } ) )
Distinct variable groups:    x, E    x, V    x, W
Allowed substitution hint:    X( x)

Proof of Theorem wrdumgra
StepHypRef Expression
1 isumgra 24613 . 2  |-  ( ( V  e.  W  /\  E  e. Word  X )  ->  ( V UMGrph  E  <->  E : dom  E --> { x  e.  ( ~P V  \  { (/) } )  |  ( # `  x
)  <_  2 }
) )
2 wrdf 12510 . . . . . 6  |-  ( E  e. Word  X  ->  E : ( 0..^ (
# `  E )
) --> X )
32adantl 464 . . . . 5  |-  ( ( V  e.  W  /\  E  e. Word  X )  ->  E : ( 0..^ ( # `  E
) ) --> X )
4 fdm 5674 . . . . 5  |-  ( E : ( 0..^ (
# `  E )
) --> X  ->  dom  E  =  ( 0..^ (
# `  E )
) )
53, 4syl 17 . . . 4  |-  ( ( V  e.  W  /\  E  e. Word  X )  ->  dom  E  =  ( 0..^ ( # `  E
) ) )
65feq2d 5657 . . 3  |-  ( ( V  e.  W  /\  E  e. Word  X )  ->  ( E : dom  E --> { x  e.  ( ~P V  \  { (/)
} )  |  (
# `  x )  <_  2 }  <->  E :
( 0..^ ( # `  E ) ) --> { x  e.  ( ~P V  \  { (/) } )  |  ( # `  x )  <_  2 } ) )
7 iswrdi 12509 . . . 4  |-  ( E : ( 0..^ (
# `  E )
) --> { x  e.  ( ~P V  \  { (/) } )  |  ( # `  x
)  <_  2 }  ->  E  e. Word  { x  e.  ( ~P V  \  { (/) } )  |  ( # `  x
)  <_  2 }
)
8 wrdf 12510 . . . 4  |-  ( E  e. Word  { x  e.  ( ~P V  \  { (/)
} )  |  (
# `  x )  <_  2 }  ->  E : ( 0..^ (
# `  E )
) --> { x  e.  ( ~P V  \  { (/) } )  |  ( # `  x
)  <_  2 }
)
97, 8impbii 188 . . 3  |-  ( E : ( 0..^ (
# `  E )
) --> { x  e.  ( ~P V  \  { (/) } )  |  ( # `  x
)  <_  2 }  <->  E  e. Word  { x  e.  ( ~P V  \  { (/)
} )  |  (
# `  x )  <_  2 } )
106, 9syl6bb 261 . 2  |-  ( ( V  e.  W  /\  E  e. Word  X )  ->  ( E : dom  E --> { x  e.  ( ~P V  \  { (/)
} )  |  (
# `  x )  <_  2 }  <->  E  e. Word  { x  e.  ( ~P V  \  { (/) } )  |  ( # `  x )  <_  2 } ) )
111, 10bitrd 253 1  |-  ( ( V  e.  W  /\  E  e. Word  X )  ->  ( V UMGrph  E  <->  E  e. Word  { x  e.  ( ~P V  \  { (/) } )  |  ( # `  x )  <_  2 } ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367    = wceq 1405    e. wcel 1842   {crab 2757    \ cdif 3410   (/)c0 3737   ~Pcpw 3954   {csn 3971   class class class wbr 4394   dom cdm 4942   -->wf 5521   ` cfv 5525  (class class class)co 6234   0cc0 9442    <_ cle 9579   2c2 10546  ..^cfzo 11767   #chash 12359  Word cword 12490   UMGrph cumg 24610
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4506  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4571  ax-pr 4629  ax-un 6530  ax-cnex 9498  ax-resscn 9499  ax-1cn 9500  ax-icn 9501  ax-addcl 9502  ax-addrcl 9503  ax-mulcl 9504  ax-mulrcl 9505  ax-mulcom 9506  ax-addass 9507  ax-mulass 9508  ax-distr 9509  ax-i2m1 9510  ax-1ne0 9511  ax-1rid 9512  ax-rnegex 9513  ax-rrecex 9514  ax-cnre 9515  ax-pre-lttri 9516  ax-pre-lttrn 9517  ax-pre-ltadd 9518  ax-pre-mulgt0 9519
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2758  df-rex 2759  df-reu 2760  df-rmo 2761  df-rab 2762  df-v 3060  df-sbc 3277  df-csb 3373  df-dif 3416  df-un 3418  df-in 3420  df-ss 3427  df-pss 3429  df-nul 3738  df-if 3885  df-pw 3956  df-sn 3972  df-pr 3974  df-tp 3976  df-op 3978  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4272  df-br 4395  df-opab 4453  df-mpt 4454  df-tr 4489  df-eprel 4733  df-id 4737  df-po 4743  df-so 4744  df-fr 4781  df-we 4783  df-ord 4824  df-on 4825  df-lim 4826  df-suc 4827  df-xp 4948  df-rel 4949  df-cnv 4950  df-co 4951  df-dm 4952  df-rn 4953  df-res 4954  df-ima 4955  df-iota 5489  df-fun 5527  df-fn 5528  df-f 5529  df-f1 5530  df-fo 5531  df-f1o 5532  df-fv 5533  df-riota 6196  df-ov 6237  df-oprab 6238  df-mpt2 6239  df-om 6639  df-1st 6738  df-2nd 6739  df-recs 6999  df-rdg 7033  df-1o 7087  df-oadd 7091  df-er 7268  df-en 7475  df-dom 7476  df-sdom 7477  df-fin 7478  df-card 8272  df-cda 8500  df-pnf 9580  df-mnf 9581  df-xr 9582  df-ltxr 9583  df-le 9584  df-sub 9763  df-neg 9764  df-nn 10497  df-2 10555  df-n0 10757  df-z 10826  df-uz 11046  df-fz 11644  df-fzo 11768  df-hash 12360  df-word 12498  df-umgra 24611
This theorem is referenced by:  vdegp1ai  25282  vdegp1bi  25283
  Copyright terms: Public domain W3C validator