MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  wrdsymb0 Structured version   Unicode version

Theorem wrdsymb0 12280
Description: A symbol at a position "outside" of a word. (Contributed by Alexander van der Vekens, 26-May-2018.)
Assertion
Ref Expression
wrdsymb0  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  I  e.  ZZ )  ->  ( ( I  <  0  \/  ( # `  W )  <_  I
)  ->  ( W `  I )  =  (/) ) )

Proof of Theorem wrdsymb0
StepHypRef Expression
1 wrdf 12261 . . . . 5  |-  ( W  e. Word  V  ->  W : ( 0..^ (
# `  W )
) --> V )
2 fdm 5584 . . . . 5  |-  ( W : ( 0..^ (
# `  W )
) --> V  ->  dom  W  =  ( 0..^ (
# `  W )
) )
31, 2syl 16 . . . 4  |-  ( W  e. Word  V  ->  dom  W  =  ( 0..^ (
# `  W )
) )
4 lencl 12270 . . . 4  |-  ( W  e. Word  V  ->  ( # `
 W )  e. 
NN0 )
5 zre 10671 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( I  e.  ZZ  ->  I  e.  RR )
6 0re 9407 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  0  e.  RR
7 ltnle 9475 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( I  e.  RR  /\  0  e.  RR )  ->  ( I  <  0  <->  -.  0  <_  I )
)
85, 6, 7sylancl 662 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( I  e.  ZZ  ->  (
I  <  0  <->  -.  0  <_  I ) )
98adantl 466 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( # `  W
)  e.  NN0  /\  I  e.  ZZ )  ->  ( I  <  0  <->  -.  0  <_  I )
)
109biimpa 484 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( # `  W
)  e.  NN0  /\  I  e.  ZZ )  /\  I  <  0
)  ->  -.  0  <_  I )
1110olcd 393 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( # `  W
)  e.  NN0  /\  I  e.  ZZ )  /\  I  <  0
)  ->  ( -.  I  e.  ZZ  \/  -.  0  <_  I ) )
12 ianor 488 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -.  ( I  e.  ZZ  /\  0  <_  I )  <->  ( -.  I  e.  ZZ  \/  -.  0  <_  I
) )
13 elnn0z 10680 . . . . . . . . . . 11  |-  ( I  e.  NN0  <->  ( I  e.  ZZ  /\  0  <_  I ) )
1412, 13xchnxbir 309 . . . . . . . . . 10  |-  ( -.  I  e.  NN0  <->  ( -.  I  e.  ZZ  \/  -.  0  <_  I ) )
1511, 14sylibr 212 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( # `  W
)  e.  NN0  /\  I  e.  ZZ )  /\  I  <  0
)  ->  -.  I  e.  NN0 )
16153mix1d 1163 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( # `  W
)  e.  NN0  /\  I  e.  ZZ )  /\  I  <  0
)  ->  ( -.  I  e.  NN0  \/  -.  ( # `  W )  e.  NN  \/  -.  I  <  ( # `  W
) ) )
17 nn0re 10609 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
# `  W )  e.  NN0  ->  ( # `  W
)  e.  RR )
18 lenlt 9474 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( # `  W
)  e.  RR  /\  I  e.  RR )  ->  ( ( # `  W
)  <_  I  <->  -.  I  <  ( # `  W
) ) )
1917, 5, 18syl2an 477 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( # `  W
)  e.  NN0  /\  I  e.  ZZ )  ->  ( ( # `  W
)  <_  I  <->  -.  I  <  ( # `  W
) ) )
2019biimpa 484 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( # `  W
)  e.  NN0  /\  I  e.  ZZ )  /\  ( # `  W
)  <_  I )  ->  -.  I  <  ( # `
 W ) )
21203mix3d 1165 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( # `  W
)  e.  NN0  /\  I  e.  ZZ )  /\  ( # `  W
)  <_  I )  ->  ( -.  I  e. 
NN0  \/  -.  ( # `
 W )  e.  NN  \/  -.  I  <  ( # `  W
) ) )
2216, 21jaodan 783 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( # `  W
)  e.  NN0  /\  I  e.  ZZ )  /\  ( I  <  0  \/  ( # `  W
)  <_  I )
)  ->  ( -.  I  e.  NN0  \/  -.  ( # `  W )  e.  NN  \/  -.  I  <  ( # `  W
) ) )
23 3ianor 982 . . . . . . . 8  |-  ( -.  ( I  e.  NN0  /\  ( # `  W
)  e.  NN  /\  I  <  ( # `  W
) )  <->  ( -.  I  e.  NN0  \/  -.  ( # `  W )  e.  NN  \/  -.  I  <  ( # `  W
) ) )
24 elfzo0 11608 . . . . . . . 8  |-  ( I  e.  ( 0..^ (
# `  W )
)  <->  ( I  e. 
NN0  /\  ( # `  W
)  e.  NN  /\  I  <  ( # `  W
) ) )
2523, 24xchnxbir 309 . . . . . . 7  |-  ( -.  I  e.  ( 0..^ ( # `  W
) )  <->  ( -.  I  e.  NN0  \/  -.  ( # `  W )  e.  NN  \/  -.  I  <  ( # `  W
) ) )
2622, 25sylibr 212 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( # `  W
)  e.  NN0  /\  I  e.  ZZ )  /\  ( I  <  0  \/  ( # `  W
)  <_  I )
)  ->  -.  I  e.  ( 0..^ ( # `  W ) ) )
27 eleq2 2504 . . . . . . 7  |-  ( dom 
W  =  ( 0..^ ( # `  W
) )  ->  (
I  e.  dom  W  <->  I  e.  ( 0..^ (
# `  W )
) ) )
2827notbid 294 . . . . . 6  |-  ( dom 
W  =  ( 0..^ ( # `  W
) )  ->  ( -.  I  e.  dom  W  <->  -.  I  e.  (
0..^ ( # `  W
) ) ) )
2926, 28syl5ibr 221 . . . . 5  |-  ( dom 
W  =  ( 0..^ ( # `  W
) )  ->  (
( ( ( # `  W )  e.  NN0  /\  I  e.  ZZ )  /\  ( I  <  0  \/  ( # `  W )  <_  I
) )  ->  -.  I  e.  dom  W ) )
3029exp4c 608 . . . 4  |-  ( dom 
W  =  ( 0..^ ( # `  W
) )  ->  (
( # `  W )  e.  NN0  ->  ( I  e.  ZZ  ->  (
( I  <  0  \/  ( # `  W
)  <_  I )  ->  -.  I  e.  dom  W ) ) ) )
313, 4, 30sylc 60 . . 3  |-  ( W  e. Word  V  ->  (
I  e.  ZZ  ->  ( ( I  <  0  \/  ( # `  W
)  <_  I )  ->  -.  I  e.  dom  W ) ) )
3231imp 429 . 2  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  I  e.  ZZ )  ->  ( ( I  <  0  \/  ( # `  W )  <_  I
)  ->  -.  I  e.  dom  W ) )
33 ndmfv 5735 . 2  |-  ( -.  I  e.  dom  W  ->  ( W `  I
)  =  (/) )
3432, 33syl6 33 1  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  I  e.  ZZ )  ->  ( ( I  <  0  \/  ( # `  W )  <_  I
)  ->  ( W `  I )  =  (/) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    \/ w3o 964    /\ w3a 965    = wceq 1369    e. wcel 1756   (/)c0 3658   class class class wbr 4313   dom cdm 4861   -->wf 5435   ` cfv 5439  (class class class)co 6112   RRcr 9302   0cc0 9303    < clt 9439    <_ cle 9440   NNcn 10343   NN0cn0 10600   ZZcz 10667  ..^cfzo 11569   #chash 12124  Word cword 12242
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4424  ax-sep 4434  ax-nul 4442  ax-pow 4491  ax-pr 4552  ax-un 6393  ax-cnex 9359  ax-resscn 9360  ax-1cn 9361  ax-icn 9362  ax-addcl 9363  ax-addrcl 9364  ax-mulcl 9365  ax-mulrcl 9366  ax-mulcom 9367  ax-addass 9368  ax-mulass 9369  ax-distr 9370  ax-i2m1 9371  ax-1ne0 9372  ax-1rid 9373  ax-rnegex 9374  ax-rrecex 9375  ax-cnre 9376  ax-pre-lttri 9377  ax-pre-lttrn 9378  ax-pre-ltadd 9379  ax-pre-mulgt0 9380
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2622  df-nel 2623  df-ral 2741  df-rex 2742  df-reu 2743  df-rab 2745  df-v 2995  df-sbc 3208  df-csb 3310  df-dif 3352  df-un 3354  df-in 3356  df-ss 3363  df-pss 3365  df-nul 3659  df-if 3813  df-pw 3883  df-sn 3899  df-pr 3901  df-tp 3903  df-op 3905  df-uni 4113  df-int 4150  df-iun 4194  df-br 4314  df-opab 4372  df-mpt 4373  df-tr 4407  df-eprel 4653  df-id 4657  df-po 4662  df-so 4663  df-fr 4700  df-we 4702  df-ord 4743  df-on 4744  df-lim 4745  df-suc 4746  df-xp 4867  df-rel 4868  df-cnv 4869  df-co 4870  df-dm 4871  df-rn 4872  df-res 4873  df-ima 4874  df-iota 5402  df-fun 5441  df-fn 5442  df-f 5443  df-f1 5444  df-fo 5445  df-f1o 5446  df-fv 5447  df-riota 6073  df-ov 6115  df-oprab 6116  df-mpt2 6117  df-om 6498  df-1st 6598  df-2nd 6599  df-recs 6853  df-rdg 6887  df-1o 6941  df-oadd 6945  df-er 7122  df-en 7332  df-dom 7333  df-sdom 7334  df-fin 7335  df-card 8130  df-pnf 9441  df-mnf 9442  df-xr 9443  df-ltxr 9444  df-le 9445  df-sub 9618  df-neg 9619  df-nn 10344  df-n0 10601  df-z 10668  df-uz 10883  df-fz 11459  df-fzo 11570  df-hash 12125  df-word 12250
This theorem is referenced by:  ccatsymb  12302
  Copyright terms: Public domain W3C validator