MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  wrdsymb0 Structured version   Unicode version

Theorem wrdsymb0 12527
Description: A symbol at a position "outside" of a word. (Contributed by Alexander van der Vekens, 26-May-2018.)
Assertion
Ref Expression
wrdsymb0  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  I  e.  ZZ )  ->  ( ( I  <  0  \/  ( # `  W )  <_  I
)  ->  ( W `  I )  =  (/) ) )

Proof of Theorem wrdsymb0
StepHypRef Expression
1 wrdf 12506 . . . . 5  |-  ( W  e. Word  V  ->  W : ( 0..^ (
# `  W )
) --> V )
2 fdm 5726 . . . . 5  |-  ( W : ( 0..^ (
# `  W )
) --> V  ->  dom  W  =  ( 0..^ (
# `  W )
) )
31, 2syl 16 . . . 4  |-  ( W  e. Word  V  ->  dom  W  =  ( 0..^ (
# `  W )
) )
4 lencl 12515 . . . 4  |-  ( W  e. Word  V  ->  ( # `
 W )  e. 
NN0 )
5 zre 10857 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( I  e.  ZZ  ->  I  e.  RR )
6 0re 9585 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  0  e.  RR
7 ltnle 9653 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( I  e.  RR  /\  0  e.  RR )  ->  ( I  <  0  <->  -.  0  <_  I )
)
85, 6, 7sylancl 662 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( I  e.  ZZ  ->  (
I  <  0  <->  -.  0  <_  I ) )
98adantl 466 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( # `  W
)  e.  NN0  /\  I  e.  ZZ )  ->  ( I  <  0  <->  -.  0  <_  I )
)
109biimpa 484 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( # `  W
)  e.  NN0  /\  I  e.  ZZ )  /\  I  <  0
)  ->  -.  0  <_  I )
1110olcd 393 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( # `  W
)  e.  NN0  /\  I  e.  ZZ )  /\  I  <  0
)  ->  ( -.  I  e.  ZZ  \/  -.  0  <_  I ) )
12 ianor 488 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -.  ( I  e.  ZZ  /\  0  <_  I )  <->  ( -.  I  e.  ZZ  \/  -.  0  <_  I
) )
13 elnn0z 10866 . . . . . . . . . . 11  |-  ( I  e.  NN0  <->  ( I  e.  ZZ  /\  0  <_  I ) )
1412, 13xchnxbir 309 . . . . . . . . . 10  |-  ( -.  I  e.  NN0  <->  ( -.  I  e.  ZZ  \/  -.  0  <_  I ) )
1511, 14sylibr 212 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( # `  W
)  e.  NN0  /\  I  e.  ZZ )  /\  I  <  0
)  ->  -.  I  e.  NN0 )
16153mix1d 1166 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( # `  W
)  e.  NN0  /\  I  e.  ZZ )  /\  I  <  0
)  ->  ( -.  I  e.  NN0  \/  -.  ( # `  W )  e.  NN  \/  -.  I  <  ( # `  W
) ) )
17 nn0re 10793 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
# `  W )  e.  NN0  ->  ( # `  W
)  e.  RR )
18 lenlt 9652 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( # `  W
)  e.  RR  /\  I  e.  RR )  ->  ( ( # `  W
)  <_  I  <->  -.  I  <  ( # `  W
) ) )
1917, 5, 18syl2an 477 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( # `  W
)  e.  NN0  /\  I  e.  ZZ )  ->  ( ( # `  W
)  <_  I  <->  -.  I  <  ( # `  W
) ) )
2019biimpa 484 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( # `  W
)  e.  NN0  /\  I  e.  ZZ )  /\  ( # `  W
)  <_  I )  ->  -.  I  <  ( # `
 W ) )
21203mix3d 1168 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( # `  W
)  e.  NN0  /\  I  e.  ZZ )  /\  ( # `  W
)  <_  I )  ->  ( -.  I  e. 
NN0  \/  -.  ( # `
 W )  e.  NN  \/  -.  I  <  ( # `  W
) ) )
2216, 21jaodan 783 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( # `  W
)  e.  NN0  /\  I  e.  ZZ )  /\  ( I  <  0  \/  ( # `  W
)  <_  I )
)  ->  ( -.  I  e.  NN0  \/  -.  ( # `  W )  e.  NN  \/  -.  I  <  ( # `  W
) ) )
23 3ianor 985 . . . . . . . 8  |-  ( -.  ( I  e.  NN0  /\  ( # `  W
)  e.  NN  /\  I  <  ( # `  W
) )  <->  ( -.  I  e.  NN0  \/  -.  ( # `  W )  e.  NN  \/  -.  I  <  ( # `  W
) ) )
24 elfzo0 11820 . . . . . . . 8  |-  ( I  e.  ( 0..^ (
# `  W )
)  <->  ( I  e. 
NN0  /\  ( # `  W
)  e.  NN  /\  I  <  ( # `  W
) ) )
2523, 24xchnxbir 309 . . . . . . 7  |-  ( -.  I  e.  ( 0..^ ( # `  W
) )  <->  ( -.  I  e.  NN0  \/  -.  ( # `  W )  e.  NN  \/  -.  I  <  ( # `  W
) ) )
2622, 25sylibr 212 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( # `  W
)  e.  NN0  /\  I  e.  ZZ )  /\  ( I  <  0  \/  ( # `  W
)  <_  I )
)  ->  -.  I  e.  ( 0..^ ( # `  W ) ) )
27 eleq2 2533 . . . . . . 7  |-  ( dom 
W  =  ( 0..^ ( # `  W
) )  ->  (
I  e.  dom  W  <->  I  e.  ( 0..^ (
# `  W )
) ) )
2827notbid 294 . . . . . 6  |-  ( dom 
W  =  ( 0..^ ( # `  W
) )  ->  ( -.  I  e.  dom  W  <->  -.  I  e.  (
0..^ ( # `  W
) ) ) )
2926, 28syl5ibr 221 . . . . 5  |-  ( dom 
W  =  ( 0..^ ( # `  W
) )  ->  (
( ( ( # `  W )  e.  NN0  /\  I  e.  ZZ )  /\  ( I  <  0  \/  ( # `  W )  <_  I
) )  ->  -.  I  e.  dom  W ) )
3029exp4c 608 . . . 4  |-  ( dom 
W  =  ( 0..^ ( # `  W
) )  ->  (
( # `  W )  e.  NN0  ->  ( I  e.  ZZ  ->  (
( I  <  0  \/  ( # `  W
)  <_  I )  ->  -.  I  e.  dom  W ) ) ) )
313, 4, 30sylc 60 . . 3  |-  ( W  e. Word  V  ->  (
I  e.  ZZ  ->  ( ( I  <  0  \/  ( # `  W
)  <_  I )  ->  -.  I  e.  dom  W ) ) )
3231imp 429 . 2  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  I  e.  ZZ )  ->  ( ( I  <  0  \/  ( # `  W )  <_  I
)  ->  -.  I  e.  dom  W ) )
33 ndmfv 5881 . 2  |-  ( -.  I  e.  dom  W  ->  ( W `  I
)  =  (/) )
3432, 33syl6 33 1  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  I  e.  ZZ )  ->  ( ( I  <  0  \/  ( # `  W )  <_  I
)  ->  ( W `  I )  =  (/) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    \/ w3o 967    /\ w3a 968    = wceq 1374    e. wcel 1762   (/)c0 3778   class class class wbr 4440   dom cdm 4992   -->wf 5575   ` cfv 5579  (class class class)co 6275   RRcr 9480   0cc0 9481    < clt 9617    <_ cle 9618   NNcn 10525   NN0cn0 10784   ZZcz 10853  ..^cfzo 11781   #chash 12360  Word cword 12487
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1961  ax-ext 2438  ax-rep 4551  ax-sep 4561  ax-nul 4569  ax-pow 4618  ax-pr 4679  ax-un 6567  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2446  df-cleq 2452  df-clel 2455  df-nfc 2610  df-ne 2657  df-nel 2658  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3429  df-dif 3472  df-un 3474  df-in 3476  df-ss 3483  df-pss 3485  df-nul 3779  df-if 3933  df-pw 4005  df-sn 4021  df-pr 4023  df-tp 4025  df-op 4027  df-uni 4239  df-int 4276  df-iun 4320  df-br 4441  df-opab 4499  df-mpt 4500  df-tr 4534  df-eprel 4784  df-id 4788  df-po 4793  df-so 4794  df-fr 4831  df-we 4833  df-ord 4874  df-on 4875  df-lim 4876  df-suc 4877  df-xp 4998  df-rel 4999  df-cnv 5000  df-co 5001  df-dm 5002  df-rn 5003  df-res 5004  df-ima 5005  df-iota 5542  df-fun 5581  df-fn 5582  df-f 5583  df-f1 5584  df-fo 5585  df-f1o 5586  df-fv 5587  df-riota 6236  df-ov 6278  df-oprab 6279  df-mpt2 6280  df-om 6672  df-1st 6774  df-2nd 6775  df-recs 7032  df-rdg 7066  df-1o 7120  df-oadd 7124  df-er 7301  df-en 7507  df-dom 7508  df-sdom 7509  df-fin 7510  df-card 8309  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9796  df-neg 9797  df-nn 10526  df-n0 10785  df-z 10854  df-uz 11072  df-fz 11662  df-fzo 11782  df-hash 12361  df-word 12495
This theorem is referenced by:  ccatsymb  12552
  Copyright terms: Public domain W3C validator