Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  wrdsplex Structured version   Unicode version

Theorem wrdsplex 28121
Description: Existence of a split of a word at a given index (Contributed by Thierry Arnoux, 11-Oct-2018.)
Assertion
Ref Expression
wrdsplex  |-  ( ( W  e. Word  S  /\  N  e.  ( 0 ... ( # `  W
) ) )  ->  E. v  e. Word  S W  =  ( ( W  |`  ( 0..^ N ) ) concat  v ) )
Distinct variable groups:    v, N    v, S    v, W

Proof of Theorem wrdsplex
StepHypRef Expression
1 swrdcl 12596 . . 3  |-  ( W  e. Word  S  ->  ( W substr  <. N ,  (
# `  W ) >. )  e. Word  S )
21adantr 465 . 2  |-  ( ( W  e. Word  S  /\  N  e.  ( 0 ... ( # `  W
) ) )  -> 
( W substr  <. N , 
( # `  W )
>. )  e. Word  S )
3 simpl 457 . . . 4  |-  ( ( W  e. Word  S  /\  N  e.  ( 0 ... ( # `  W
) ) )  ->  W  e. Word  S )
4 simpr 461 . . . . 5  |-  ( ( W  e. Word  S  /\  N  e.  ( 0 ... ( # `  W
) ) )  ->  N  e.  ( 0 ... ( # `  W
) ) )
5 elfzuz 11673 . . . . 5  |-  ( N  e.  ( 0 ... ( # `  W
) )  ->  N  e.  ( ZZ>= `  0 )
)
6 eluzfz1 11682 . . . . 5  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  0
)  ->  0  e.  ( 0 ... N
) )
74, 5, 63syl 20 . . . 4  |-  ( ( W  e. Word  S  /\  N  e.  ( 0 ... ( # `  W
) ) )  -> 
0  e.  ( 0 ... N ) )
8 elfzuz2 11680 . . . . 5  |-  ( N  e.  ( 0 ... ( # `  W
) )  ->  ( # `
 W )  e.  ( ZZ>= `  0 )
)
9 eluzfz2 11683 . . . . 5  |-  ( (
# `  W )  e.  ( ZZ>= `  0 )  ->  ( # `  W
)  e.  ( 0 ... ( # `  W
) ) )
104, 8, 93syl 20 . . . 4  |-  ( ( W  e. Word  S  /\  N  e.  ( 0 ... ( # `  W
) ) )  -> 
( # `  W )  e.  ( 0 ... ( # `  W
) ) )
11 ccatswrd 12631 . . . 4  |-  ( ( W  e. Word  S  /\  ( 0  e.  ( 0 ... N )  /\  N  e.  ( 0 ... ( # `  W ) )  /\  ( # `  W )  e.  ( 0 ... ( # `  W
) ) ) )  ->  ( ( W substr  <. 0 ,  N >. ) concat 
( W substr  <. N , 
( # `  W )
>. ) )  =  ( W substr  <. 0 ,  (
# `  W ) >. ) )
123, 7, 4, 10, 11syl13anc 1225 . . 3  |-  ( ( W  e. Word  S  /\  N  e.  ( 0 ... ( # `  W
) ) )  -> 
( ( W substr  <. 0 ,  N >. ) concat  ( W substr  <. N ,  ( # `  W
) >. ) )  =  ( W substr  <. 0 ,  ( # `  W
) >. ) )
13 swrd0val 12598 . . . 4  |-  ( ( W  e. Word  S  /\  N  e.  ( 0 ... ( # `  W
) ) )  -> 
( W substr  <. 0 ,  N >. )  =  ( W  |`  ( 0..^ N ) ) )
1413oveq1d 6290 . . 3  |-  ( ( W  e. Word  S  /\  N  e.  ( 0 ... ( # `  W
) ) )  -> 
( ( W substr  <. 0 ,  N >. ) concat  ( W substr  <. N ,  ( # `  W
) >. ) )  =  ( ( W  |`  ( 0..^ N ) ) concat 
( W substr  <. N , 
( # `  W )
>. ) ) )
15 swrdid 12602 . . . 4  |-  ( W  e. Word  S  ->  ( W substr  <. 0 ,  (
# `  W ) >. )  =  W )
1615adantr 465 . . 3  |-  ( ( W  e. Word  S  /\  N  e.  ( 0 ... ( # `  W
) ) )  -> 
( W substr  <. 0 ,  ( # `  W
) >. )  =  W )
1712, 14, 163eqtr3rd 2510 . 2  |-  ( ( W  e. Word  S  /\  N  e.  ( 0 ... ( # `  W
) ) )  ->  W  =  ( ( W  |`  ( 0..^ N ) ) concat  ( W substr  <. N ,  ( # `  W ) >. )
) )
18 oveq2 6283 . . . 4  |-  ( v  =  ( W substr  <. N , 
( # `  W )
>. )  ->  ( ( W  |`  ( 0..^ N ) ) concat  v
)  =  ( ( W  |`  ( 0..^ N ) ) concat  ( W substr  <. N ,  (
# `  W ) >. ) ) )
1918eqeq2d 2474 . . 3  |-  ( v  =  ( W substr  <. N , 
( # `  W )
>. )  ->  ( W  =  ( ( W  |`  ( 0..^ N ) ) concat  v )  <->  W  =  ( ( W  |`  ( 0..^ N ) ) concat 
( W substr  <. N , 
( # `  W )
>. ) ) ) )
2019rspcev 3207 . 2  |-  ( ( ( W substr  <. N , 
( # `  W )
>. )  e. Word  S  /\  W  =  ( ( W  |`  ( 0..^ N ) ) concat  ( W substr  <. N ,  ( # `  W ) >. )
) )  ->  E. v  e. Word  S W  =  ( ( W  |`  (
0..^ N ) ) concat 
v ) )
212, 17, 20syl2anc 661 1  |-  ( ( W  e. Word  S  /\  N  e.  ( 0 ... ( # `  W
) ) )  ->  E. v  e. Word  S W  =  ( ( W  |`  ( 0..^ N ) ) concat  v ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1374    e. wcel 1762   E.wrex 2808   <.cop 4026    |` cres 4994   ` cfv 5579  (class class class)co 6275   0cc0 9481   ZZ>=cuz 11071   ...cfz 11661  ..^cfzo 11781   #chash 12360  Word cword 12487   concat cconcat 12489   substr csubstr 12491
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1961  ax-ext 2438  ax-rep 4551  ax-sep 4561  ax-nul 4569  ax-pow 4618  ax-pr 4679  ax-un 6567  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2446  df-cleq 2452  df-clel 2455  df-nfc 2610  df-ne 2657  df-nel 2658  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3429  df-dif 3472  df-un 3474  df-in 3476  df-ss 3483  df-pss 3485  df-nul 3779  df-if 3933  df-pw 4005  df-sn 4021  df-pr 4023  df-tp 4025  df-op 4027  df-uni 4239  df-int 4276  df-iun 4320  df-br 4441  df-opab 4499  df-mpt 4500  df-tr 4534  df-eprel 4784  df-id 4788  df-po 4793  df-so 4794  df-fr 4831  df-we 4833  df-ord 4874  df-on 4875  df-lim 4876  df-suc 4877  df-xp 4998  df-rel 4999  df-cnv 5000  df-co 5001  df-dm 5002  df-rn 5003  df-res 5004  df-ima 5005  df-iota 5542  df-fun 5581  df-fn 5582  df-f 5583  df-f1 5584  df-fo 5585  df-f1o 5586  df-fv 5587  df-riota 6236  df-ov 6278  df-oprab 6279  df-mpt2 6280  df-om 6672  df-1st 6774  df-2nd 6775  df-recs 7032  df-rdg 7066  df-1o 7120  df-oadd 7124  df-er 7301  df-en 7507  df-dom 7508  df-sdom 7509  df-fin 7510  df-card 8309  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9796  df-neg 9797  df-nn 10526  df-n0 10785  df-z 10854  df-uz 11072  df-fz 11662  df-fzo 11782  df-hash 12361  df-word 12495  df-concat 12497  df-substr 12499
This theorem is referenced by:  signstres  28158
  Copyright terms: Public domain W3C validator