Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  wrdsplex Structured version   Unicode version

Theorem wrdsplex 28692
Description: Existence of a split of a word at a given index (Contributed by Thierry Arnoux, 11-Oct-2018.)
Assertion
Ref Expression
wrdsplex  |-  ( ( W  e. Word  S  /\  N  e.  ( 0 ... ( # `  W
) ) )  ->  E. v  e. Word  S W  =  ( ( W  |`  ( 0..^ N ) ) ++  v ) )
Distinct variable groups:    v, N    v, S    v, W

Proof of Theorem wrdsplex
StepHypRef Expression
1 swrdcl 12655 . . 3  |-  ( W  e. Word  S  ->  ( W substr  <. N ,  (
# `  W ) >. )  e. Word  S )
21adantr 465 . 2  |-  ( ( W  e. Word  S  /\  N  e.  ( 0 ... ( # `  W
) ) )  -> 
( W substr  <. N , 
( # `  W )
>. )  e. Word  S )
3 simpl 457 . . . 4  |-  ( ( W  e. Word  S  /\  N  e.  ( 0 ... ( # `  W
) ) )  ->  W  e. Word  S )
4 simpr 461 . . . . 5  |-  ( ( W  e. Word  S  /\  N  e.  ( 0 ... ( # `  W
) ) )  ->  N  e.  ( 0 ... ( # `  W
) ) )
5 elfzuz 11709 . . . . 5  |-  ( N  e.  ( 0 ... ( # `  W
) )  ->  N  e.  ( ZZ>= `  0 )
)
6 eluzfz1 11718 . . . . 5  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  0
)  ->  0  e.  ( 0 ... N
) )
74, 5, 63syl 20 . . . 4  |-  ( ( W  e. Word  S  /\  N  e.  ( 0 ... ( # `  W
) ) )  -> 
0  e.  ( 0 ... N ) )
8 elfzuz2 11716 . . . . 5  |-  ( N  e.  ( 0 ... ( # `  W
) )  ->  ( # `
 W )  e.  ( ZZ>= `  0 )
)
9 eluzfz2 11719 . . . . 5  |-  ( (
# `  W )  e.  ( ZZ>= `  0 )  ->  ( # `  W
)  e.  ( 0 ... ( # `  W
) ) )
104, 8, 93syl 20 . . . 4  |-  ( ( W  e. Word  S  /\  N  e.  ( 0 ... ( # `  W
) ) )  -> 
( # `  W )  e.  ( 0 ... ( # `  W
) ) )
11 ccatswrd 12693 . . . 4  |-  ( ( W  e. Word  S  /\  ( 0  e.  ( 0 ... N )  /\  N  e.  ( 0 ... ( # `  W ) )  /\  ( # `  W )  e.  ( 0 ... ( # `  W
) ) ) )  ->  ( ( W substr  <. 0 ,  N >. ) ++  ( W substr  <. N , 
( # `  W )
>. ) )  =  ( W substr  <. 0 ,  (
# `  W ) >. ) )
123, 7, 4, 10, 11syl13anc 1230 . . 3  |-  ( ( W  e. Word  S  /\  N  e.  ( 0 ... ( # `  W
) ) )  -> 
( ( W substr  <. 0 ,  N >. ) ++  ( W substr  <. N ,  ( # `  W ) >. )
)  =  ( W substr  <. 0 ,  ( # `  W ) >. )
)
13 swrd0val 12657 . . . 4  |-  ( ( W  e. Word  S  /\  N  e.  ( 0 ... ( # `  W
) ) )  -> 
( W substr  <. 0 ,  N >. )  =  ( W  |`  ( 0..^ N ) ) )
1413oveq1d 6311 . . 3  |-  ( ( W  e. Word  S  /\  N  e.  ( 0 ... ( # `  W
) ) )  -> 
( ( W substr  <. 0 ,  N >. ) ++  ( W substr  <. N ,  ( # `  W ) >. )
)  =  ( ( W  |`  ( 0..^ N ) ) ++  ( W substr  <. N ,  (
# `  W ) >. ) ) )
15 swrdid 12664 . . . 4  |-  ( W  e. Word  S  ->  ( W substr  <. 0 ,  (
# `  W ) >. )  =  W )
1615adantr 465 . . 3  |-  ( ( W  e. Word  S  /\  N  e.  ( 0 ... ( # `  W
) ) )  -> 
( W substr  <. 0 ,  ( # `  W
) >. )  =  W )
1712, 14, 163eqtr3rd 2507 . 2  |-  ( ( W  e. Word  S  /\  N  e.  ( 0 ... ( # `  W
) ) )  ->  W  =  ( ( W  |`  ( 0..^ N ) ) ++  ( W substr  <. N ,  ( # `  W ) >. )
) )
18 oveq2 6304 . . . 4  |-  ( v  =  ( W substr  <. N , 
( # `  W )
>. )  ->  ( ( W  |`  ( 0..^ N ) ) ++  v )  =  ( ( W  |`  ( 0..^ N ) ) ++  ( W substr  <. N ,  (
# `  W ) >. ) ) )
1918eqeq2d 2471 . . 3  |-  ( v  =  ( W substr  <. N , 
( # `  W )
>. )  ->  ( W  =  ( ( W  |`  ( 0..^ N ) ) ++  v )  <->  W  =  ( ( W  |`  ( 0..^ N ) ) ++  ( W substr  <. N , 
( # `  W )
>. ) ) ) )
2019rspcev 3210 . 2  |-  ( ( ( W substr  <. N , 
( # `  W )
>. )  e. Word  S  /\  W  =  ( ( W  |`  ( 0..^ N ) ) ++  ( W substr  <. N ,  ( # `  W ) >. )
) )  ->  E. v  e. Word  S W  =  ( ( W  |`  (
0..^ N ) ) ++  v ) )
212, 17, 20syl2anc 661 1  |-  ( ( W  e. Word  S  /\  N  e.  ( 0 ... ( # `  W
) ) )  ->  E. v  e. Word  S W  =  ( ( W  |`  ( 0..^ N ) ) ++  v ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1395    e. wcel 1819   E.wrex 2808   <.cop 4038    |` cres 5010   ` cfv 5594  (class class class)co 6296   0cc0 9509   ZZ>=cuz 11106   ...cfz 11697  ..^cfzo 11821   #chash 12408  Word cword 12538   ++ cconcat 12540   substr csubstr 12542
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-1o 7148  df-oadd 7152  df-er 7329  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-fin 7539  df-card 8337  df-cda 8565  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-nn 10557  df-2 10615  df-n0 10817  df-z 10886  df-uz 11107  df-fz 11698  df-fzo 11822  df-hash 12409  df-word 12546  df-concat 12548  df-substr 12550
This theorem is referenced by:  signstres  28729
  Copyright terms: Public domain W3C validator