Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  wrdnval Structured version   Unicode version

Theorem wrdnval 30615
Description: If there is only a finite number of symbols, the number of words of a fixed length over these sysmbols is the number of these symbols raised to the power of the length. (Contributed by Alexander van der Vekens, 25-Mar-2018.)
Assertion
Ref Expression
wrdnval  |-  ( ( V  e.  X  /\  N  e.  NN0 )  ->  { w  e. Word  V  | 
( # `  w )  =  N }  =  ( V  ^m  (
0..^ N ) ) )
Distinct variable groups:    w, N    w, V    w, X

Proof of Theorem wrdnval
StepHypRef Expression
1 ovex 6218 . . . . . 6  |-  ( 0..^ N )  e.  _V
21a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( V  e.  X  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( 0..^ N )  e.  _V )
3 elmapg 7330 . . . . 5  |-  ( ( V  e.  X  /\  ( 0..^ N )  e. 
_V )  ->  (
w  e.  ( V  ^m  ( 0..^ N ) )  <->  w :
( 0..^ N ) --> V ) )
42, 3syldan 470 . . . 4  |-  ( ( V  e.  X  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( w  e.  ( V  ^m  ( 0..^ N ) )  <->  w :
( 0..^ N ) --> V ) )
5 iswrdi 12350 . . . . . . . 8  |-  ( w : ( 0..^ N ) --> V  ->  w  e. Word  V )
65adantl 466 . . . . . . 7  |-  ( ( ( V  e.  X  /\  N  e.  NN0 )  /\  w : ( 0..^ N ) --> V )  ->  w  e. Word  V )
7 simpr 461 . . . . . . . 8  |-  ( ( V  e.  X  /\  N  e.  NN0 )  ->  N  e.  NN0 )
8 ffn 5660 . . . . . . . 8  |-  ( w : ( 0..^ N ) --> V  ->  w  Fn  ( 0..^ N ) )
9 fseq0hash 12305 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  w  Fn  ( 0..^ N ) )  -> 
( # `  w )  =  N )
107, 8, 9syl2an 477 . . . . . . 7  |-  ( ( ( V  e.  X  /\  N  e.  NN0 )  /\  w : ( 0..^ N ) --> V )  ->  ( # `  w
)  =  N )
116, 10jca 532 . . . . . 6  |-  ( ( ( V  e.  X  /\  N  e.  NN0 )  /\  w : ( 0..^ N ) --> V )  ->  ( w  e. Word  V  /\  ( # `  w )  =  N ) )
1211ex 434 . . . . 5  |-  ( ( V  e.  X  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( w : ( 0..^ N ) --> V  ->  ( w  e. Word  V  /\  ( # `  w
)  =  N ) ) )
13 wrdf 12351 . . . . . . 7  |-  ( w  e. Word  V  ->  w : ( 0..^ (
# `  w )
) --> V )
14 oveq2 6201 . . . . . . . 8  |-  ( (
# `  w )  =  N  ->  ( 0..^ ( # `  w
) )  =  ( 0..^ N ) )
1514feq2d 5648 . . . . . . 7  |-  ( (
# `  w )  =  N  ->  ( w : ( 0..^ (
# `  w )
) --> V  <->  w :
( 0..^ N ) --> V ) )
1613, 15syl5ibcom 220 . . . . . 6  |-  ( w  e. Word  V  ->  (
( # `  w )  =  N  ->  w : ( 0..^ N ) --> V ) )
1716imp 429 . . . . 5  |-  ( ( w  e. Word  V  /\  ( # `  w )  =  N )  ->  w : ( 0..^ N ) --> V )
1812, 17impbid1 203 . . . 4  |-  ( ( V  e.  X  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( w : ( 0..^ N ) --> V  <-> 
( w  e. Word  V  /\  ( # `  w
)  =  N ) ) )
194, 18bitrd 253 . . 3  |-  ( ( V  e.  X  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( w  e.  ( V  ^m  ( 0..^ N ) )  <->  ( w  e. Word  V  /\  ( # `  w )  =  N ) ) )
2019abbi2dv 2588 . 2  |-  ( ( V  e.  X  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( V  ^m  (
0..^ N ) )  =  { w  |  ( w  e. Word  V  /\  ( # `  w
)  =  N ) } )
21 df-rab 2804 . 2  |-  { w  e. Word  V  |  ( # `  w )  =  N }  =  { w  |  ( w  e. Word  V  /\  ( # `  w
)  =  N ) }
2220, 21syl6reqr 2511 1  |-  ( ( V  e.  X  /\  N  e.  NN0 )  ->  { w  e. Word  V  | 
( # `  w )  =  N }  =  ( V  ^m  (
0..^ N ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1370    e. wcel 1758   {cab 2436   {crab 2799   _Vcvv 3071    Fn wfn 5514   -->wf 5515   ` cfv 5519  (class class class)co 6193    ^m cmap 7317   0cc0 9386   NN0cn0 10683  ..^cfzo 11658   #chash 12213  Word cword 12332
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-rep 4504  ax-sep 4514  ax-nul 4522  ax-pow 4571  ax-pr 4632  ax-un 6475  ax-cnex 9442  ax-resscn 9443  ax-1cn 9444  ax-icn 9445  ax-addcl 9446  ax-addrcl 9447  ax-mulcl 9448  ax-mulrcl 9449  ax-mulcom 9450  ax-addass 9451  ax-mulass 9452  ax-distr 9453  ax-i2m1 9454  ax-1ne0 9455  ax-1rid 9456  ax-rnegex 9457  ax-rrecex 9458  ax-cnre 9459  ax-pre-lttri 9460  ax-pre-lttrn 9461  ax-pre-ltadd 9462  ax-pre-mulgt0 9463
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-nel 2647  df-ral 2800  df-rex 2801  df-reu 2802  df-rab 2804  df-v 3073  df-sbc 3288  df-csb 3390  df-dif 3432  df-un 3434  df-in 3436  df-ss 3443  df-pss 3445  df-nul 3739  df-if 3893  df-pw 3963  df-sn 3979  df-pr 3981  df-tp 3983  df-op 3985  df-uni 4193  df-int 4230  df-iun 4274  df-br 4394  df-opab 4452  df-mpt 4453  df-tr 4487  df-eprel 4733  df-id 4737  df-po 4742  df-so 4743  df-fr 4780  df-we 4782  df-ord 4823  df-on 4824  df-lim 4825  df-suc 4826  df-xp 4947  df-rel 4948  df-cnv 4949  df-co 4950  df-dm 4951  df-rn 4952  df-res 4953  df-ima 4954  df-iota 5482  df-fun 5521  df-fn 5522  df-f 5523  df-f1 5524  df-fo 5525  df-f1o 5526  df-fv 5527  df-riota 6154  df-ov 6196  df-oprab 6197  df-mpt2 6198  df-om 6580  df-1st 6680  df-2nd 6681  df-recs 6935  df-rdg 6969  df-1o 7023  df-oadd 7027  df-er 7204  df-map 7319  df-en 7414  df-dom 7415  df-sdom 7416  df-fin 7417  df-card 8213  df-pnf 9524  df-mnf 9525  df-xr 9526  df-ltxr 9527  df-le 9528  df-sub 9701  df-neg 9702  df-nn 10427  df-n0 10684  df-z 10751  df-uz 10966  df-fz 11548  df-fzo 11659  df-hash 12214  df-word 12340
This theorem is referenced by:  hashwrdn  30616
  Copyright terms: Public domain W3C validator