MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  wrdlenfi Structured version   Unicode version

Theorem wrdlenfi 12362
Description: The number of words of fixed length is finite if the number of symbols is finite. (Contributed by AV, 29-Jul-2018.)
Assertion
Ref Expression
wrdlenfi  |-  ( ( V  e.  Fin  /\  N  e.  NN0 )  ->  { w  e. Word  V  | 
( # `  w )  =  N }  e.  Fin )
Distinct variable groups:    w, N    w, V

Proof of Theorem wrdlenfi
StepHypRef Expression
1 df-rab 2804 . . 3  |-  { w  e. Word  V  |  ( # `  w )  =  N }  =  { w  |  ( w  e. Word  V  /\  ( # `  w
)  =  N ) }
2 iswrdbi 12345 . . . . . 6  |-  ( w  e. Word  V  <->  w :
( 0..^ ( # `  w ) ) --> V )
32anbi1i 695 . . . . 5  |-  ( ( w  e. Word  V  /\  ( # `  w )  =  N )  <->  ( w : ( 0..^ (
# `  w )
) --> V  /\  ( # `
 w )  =  N ) )
43abbii 2585 . . . 4  |-  { w  |  ( w  e. Word  V  /\  ( # `  w
)  =  N ) }  =  { w  |  ( w : ( 0..^ ( # `  w ) ) --> V  /\  ( # `  w
)  =  N ) }
5 oveq2 6200 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
# `  w )  =  N  ->  ( 0..^ ( # `  w
) )  =  ( 0..^ N ) )
65feq2d 5647 . . . . . . . . 9  |-  ( (
# `  w )  =  N  ->  ( w : ( 0..^ (
# `  w )
) --> V  <->  w :
( 0..^ N ) --> V ) )
76biimpac 486 . . . . . . . 8  |-  ( ( w : ( 0..^ ( # `  w
) ) --> V  /\  ( # `  w )  =  N )  ->  w : ( 0..^ N ) --> V )
8 hashfirdm 12308 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  w : ( 0..^ N ) --> V )  -> 
( # `  w )  =  N )
9 oveq2 6200 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( N  =  ( # `  w
)  ->  ( 0..^ N )  =  ( 0..^ ( # `  w
) ) )
109feq2d 5647 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( N  =  ( # `  w
)  ->  ( w : ( 0..^ N ) --> V  <->  w :
( 0..^ ( # `  w ) ) --> V ) )
1110eqcoms 2463 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
# `  w )  =  N  ->  ( w : ( 0..^ N ) --> V  <->  w :
( 0..^ ( # `  w ) ) --> V ) )
1211biimpd 207 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
# `  w )  =  N  ->  ( w : ( 0..^ N ) --> V  ->  w : ( 0..^ (
# `  w )
) --> V ) )
1312adantld 467 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
# `  w )  =  N  ->  ( ( N  e.  NN0  /\  w : ( 0..^ N ) --> V )  ->  w : ( 0..^ (
# `  w )
) --> V ) )
148, 13mpcom 36 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  w : ( 0..^ N ) --> V )  ->  w : ( 0..^ (
# `  w )
) --> V )
1514, 8jca 532 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  w : ( 0..^ N ) --> V )  -> 
( w : ( 0..^ ( # `  w
) ) --> V  /\  ( # `  w )  =  N ) )
1615ex 434 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( w : ( 0..^ N ) --> V  ->  (
w : ( 0..^ ( # `  w
) ) --> V  /\  ( # `  w )  =  N ) ) )
177, 16impbid2 204 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( w : ( 0..^ ( # `  w
) ) --> V  /\  ( # `  w )  =  N )  <->  w :
( 0..^ N ) --> V ) )
1817abbidv 2587 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN0  ->  { w  |  ( w : ( 0..^ ( # `  w ) ) --> V  /\  ( # `  w
)  =  N ) }  =  { w  |  w : ( 0..^ N ) --> V }
)
1918adantl 466 . . . . 5  |-  ( ( V  e.  Fin  /\  N  e.  NN0 )  ->  { w  |  (
w : ( 0..^ ( # `  w
) ) --> V  /\  ( # `  w )  =  N ) }  =  { w  |  w : ( 0..^ N ) --> V }
)
20 ovex 6217 . . . . . . 7  |-  ( 0..^ N )  e.  _V
2120a1i 11 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( 0..^ N )  e.  _V )
22 mapvalg 7326 . . . . . 6  |-  ( ( V  e.  Fin  /\  ( 0..^ N )  e. 
_V )  ->  ( V  ^m  ( 0..^ N ) )  =  {
w  |  w : ( 0..^ N ) --> V } )
2321, 22sylan2 474 . . . . 5  |-  ( ( V  e.  Fin  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( V  ^m  (
0..^ N ) )  =  { w  |  w : ( 0..^ N ) --> V }
)
2419, 23eqtr4d 2495 . . . 4  |-  ( ( V  e.  Fin  /\  N  e.  NN0 )  ->  { w  |  (
w : ( 0..^ ( # `  w
) ) --> V  /\  ( # `  w )  =  N ) }  =  ( V  ^m  ( 0..^ N ) ) )
254, 24syl5eq 2504 . . 3  |-  ( ( V  e.  Fin  /\  N  e.  NN0 )  ->  { w  |  (
w  e. Word  V  /\  ( # `  w )  =  N ) }  =  ( V  ^m  ( 0..^ N ) ) )
261, 25syl5eq 2504 . 2  |-  ( ( V  e.  Fin  /\  N  e.  NN0 )  ->  { w  e. Word  V  | 
( # `  w )  =  N }  =  ( V  ^m  (
0..^ N ) ) )
27 fzofi 11899 . . . 4  |-  ( 0..^ N )  e.  Fin
2827a1i 11 . . 3  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( 0..^ N )  e.  Fin )
29 mapfi 7710 . . 3  |-  ( ( V  e.  Fin  /\  ( 0..^ N )  e. 
Fin )  ->  ( V  ^m  ( 0..^ N ) )  e.  Fin )
3028, 29sylan2 474 . 2  |-  ( ( V  e.  Fin  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( V  ^m  (
0..^ N ) )  e.  Fin )
3126, 30eqeltrd 2539 1  |-  ( ( V  e.  Fin  /\  N  e.  NN0 )  ->  { w  e. Word  V  | 
( # `  w )  =  N }  e.  Fin )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1370    e. wcel 1758   {cab 2436   {crab 2799   _Vcvv 3070   -->wf 5514   ` cfv 5518  (class class class)co 6192    ^m cmap 7316   Fincfn 7412   0cc0 9385   NN0cn0 10682  ..^cfzo 11651   #chash 12206  Word cword 12325
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-rep 4503  ax-sep 4513  ax-nul 4521  ax-pow 4570  ax-pr 4631  ax-un 6474  ax-cnex 9441  ax-resscn 9442  ax-1cn 9443  ax-icn 9444  ax-addcl 9445  ax-addrcl 9446  ax-mulcl 9447  ax-mulrcl 9448  ax-mulcom 9449  ax-addass 9450  ax-mulass 9451  ax-distr 9452  ax-i2m1 9453  ax-1ne0 9454  ax-1rid 9455  ax-rnegex 9456  ax-rrecex 9457  ax-cnre 9458  ax-pre-lttri 9459  ax-pre-lttrn 9460  ax-pre-ltadd 9461  ax-pre-mulgt0 9462
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-nel 2647  df-ral 2800  df-rex 2801  df-reu 2802  df-rmo 2803  df-rab 2804  df-v 3072  df-sbc 3287  df-csb 3389  df-dif 3431  df-un 3433  df-in 3435  df-ss 3442  df-pss 3444  df-nul 3738  df-if 3892  df-pw 3962  df-sn 3978  df-pr 3980  df-tp 3982  df-op 3984  df-uni 4192  df-int 4229  df-iun 4273  df-br 4393  df-opab 4451  df-mpt 4452  df-tr 4486  df-eprel 4732  df-id 4736  df-po 4741  df-so 4742  df-fr 4779  df-we 4781  df-ord 4822  df-on 4823  df-lim 4824  df-suc 4825  df-xp 4946  df-rel 4947  df-cnv 4948  df-co 4949  df-dm 4950  df-rn 4951  df-res 4952  df-ima 4953  df-iota 5481  df-fun 5520  df-fn 5521  df-f 5522  df-f1 5523  df-fo 5524  df-f1o 5525  df-fv 5526  df-riota 6153  df-ov 6195  df-oprab 6196  df-mpt2 6197  df-om 6579  df-1st 6679  df-2nd 6680  df-recs 6934  df-rdg 6968  df-1o 7022  df-2o 7023  df-oadd 7026  df-er 7203  df-map 7318  df-pm 7319  df-en 7413  df-dom 7414  df-sdom 7415  df-fin 7416  df-card 8212  df-cda 8440  df-pnf 9523  df-mnf 9524  df-xr 9525  df-ltxr 9526  df-le 9527  df-sub 9700  df-neg 9701  df-nn 10426  df-2 10483  df-n0 10683  df-z 10750  df-uz 10965  df-fz 11541  df-fzo 11652  df-hash 12207  df-word 12333
This theorem is referenced by:  wwlknfi  30510
  Copyright terms: Public domain W3C validator