Theorem wrdlen2i 12863

Description: Implications of a word of length 2. (Contributed by AV, 27-Jul-2018.) (Proof shortened by AV, 14-Oct-2018.)

Assertion

Ref	Expression
wrdlen2i	|- ( ( S e. V /\ T e. V ) -> ( W = { <. 0 , S >. , <. 1 , T >. } -> ( ( W e. Word V /\ ( # ` W ) = 2 ) /\ ( ( W ` 0 ) = S /\ ( W ` 1 ) = T ) ) ) )

Proof of Theorem wrdlen2i

Step	Hyp	Ref	Expression
1		c0ex 9593	. . . . . . . 8 |- 0 e. _V
2		1ex 9594	. . . . . . . 8 |- 1 e. _V
3	1, 2	pm3.2i 455	. . . . . . 7 |- ( 0 e. _V /\ 1 e. _V )
4	3	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ( ( S e. V /\ T e. V ) /\ W = { <. 0 , S >. , <. 1 , T >. } ) -> ( 0 e. _V /\ 1 e. _V ) )
5		simpl 457	. . . . . 6 |- ( ( ( S e. V /\ T e. V ) /\ W = { <. 0 , S >. , <. 1 , T >. } ) -> ( S e. V /\ T e. V ) )
6		0ne1 10609	. . . . . . 7 |- 0 =/= 1
7	6	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ( ( S e. V /\ T e. V ) /\ W = { <. 0 , S >. , <. 1 , T >. } ) -> 0 =/= 1 )
8		fprg 6065	. . . . . 6 |- ( ( ( 0 e. _V /\ 1 e. _V ) /\ ( S e. V /\ T e. V ) /\ 0 =/= 1 ) -> { <. 0 , S >. , <. 1 , T >. } : { 0 , 1 } --> { S , T } )
9	4, 5, 7, 8	syl3anc 1229	. . . . 5 |- ( ( ( S e. V /\ T e. V ) /\ W = { <. 0 , S >. , <. 1 , T >. } ) -> { <. 0 , S >. , <. 1 , T >. } : { 0 , 1 } --> { S , T } )
10		fzo0to2pr 11878	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( 0..^ 2 ) = { 0 , 1 }
11	10	eqcomi 2456	. . . . . . . . . . . . 13 |- { 0 , 1 } = ( 0..^ 2 )
12	11	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( S e. V /\ T e. V ) -> { 0 , 1 } = ( 0..^ 2 ) )
13	12	feq2d 5708	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( S e. V /\ T e. V ) -> ( { <. 0 , S >. , <. 1 , T >. } : { 0 , 1 } --> { S , T } <-> { <. 0 , S >. , <. 1 , T >. } : ( 0..^ 2 ) --> { S , T } ) )
14	13	biimpa 484	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( S e. V /\ T e. V ) /\ { <. 0 , S >. , <. 1 , T >. } : { 0 , 1 } --> { S , T } ) -> { <. 0 , S >. , <. 1 , T >. } : ( 0..^ 2 ) --> { S , T } )
15		prssi 4171	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( S e. V /\ T e. V ) -> { S , T } C_ V )
16	15	adantr 465	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( S e. V /\ T e. V ) /\ { <. 0 , S >. , <. 1 , T >. } : { 0 , 1 } --> { S , T } ) -> { S , T } C_ V )
17	14, 16	fssd 5730	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( S e. V /\ T e. V ) /\ { <. 0 , S >. , <. 1 , T >. } : { 0 , 1 } --> { S , T } ) -> { <. 0 , S >. , <. 1 , T >. } : ( 0..^ 2 ) --> V )
18	17	ex 434	. . . . . . . 8 |- ( ( S e. V /\ T e. V ) -> ( { <. 0 , S >. , <. 1 , T >. } : { 0 , 1 } --> { S , T } -> { <. 0 , S >. , <. 1 , T >. } : ( 0..^ 2 ) --> V ) )
19	18	adantr 465	. . . . . . 7 |- ( ( ( S e. V /\ T e. V ) /\ W = { <. 0 , S >. , <. 1 , T >. } ) -> ( { <. 0 , S >. , <. 1 , T >. } : { 0 , 1 } --> { S , T } -> { <. 0 , S >. , <. 1 , T >. } : ( 0..^ 2 ) --> V ) )
20	19	impcom 430	. . . . . 6 |- ( ( { <. 0 , S >. , <. 1 , T >. } : { 0 , 1 } --> { S , T } /\ ( ( S e. V /\ T e. V ) /\ W = { <. 0 , S >. , <. 1 , T >. } ) ) -> { <. 0 , S >. , <. 1 , T >. } : ( 0..^ 2 ) --> V )
21		feq1 5703	. . . . . . . 8 |- ( W = { <. 0 , S >. , <. 1 , T >. } -> ( W : ( 0..^ 2 ) --> V <-> { <. 0 , S >. , <. 1 , T >. } : ( 0..^ 2 ) --> V ) )
22	21	adantl 466	. . . . . . 7 |- ( ( ( S e. V /\ T e. V ) /\ W = { <. 0 , S >. , <. 1 , T >. } ) -> ( W : ( 0..^ 2 ) --> V <-> { <. 0 , S >. , <. 1 , T >. } : ( 0..^ 2 ) --> V ) )
23	22	adantl 466	. . . . . 6 |- ( ( { <. 0 , S >. , <. 1 , T >. } : { 0 , 1 } --> { S , T } /\ ( ( S e. V /\ T e. V ) /\ W = { <. 0 , S >. , <. 1 , T >. } ) ) -> ( W : ( 0..^ 2 ) --> V <-> { <. 0 , S >. , <. 1 , T >. } : ( 0..^ 2 ) --> V ) )
24	20, 23	mpbird 232	. . . . 5 |- ( ( { <. 0 , S >. , <. 1 , T >. } : { 0 , 1 } --> { S , T } /\ ( ( S e. V /\ T e. V ) /\ W = { <. 0 , S >. , <. 1 , T >. } ) ) -> W : ( 0..^ 2 ) --> V )
25	9, 24	mpancom 669	. . . 4 |- ( ( ( S e. V /\ T e. V ) /\ W = { <. 0 , S >. , <. 1 , T >. } ) -> W : ( 0..^ 2 ) --> V )
26		iswrdi 12531	. . . 4 |- ( W : ( 0..^ 2 ) --> V -> W e. Word V )
27	25, 26	syl 16	. . 3 |- ( ( ( S e. V /\ T e. V ) /\ W = { <. 0 , S >. , <. 1 , T >. } ) -> W e. Word V )
28		fveq2 5856	. . . 4 |- ( W = { <. 0 , S >. , <. 1 , T >. } -> ( # ` W ) = ( # ` { <. 0 , S >. , <. 1 , T >. } ) )
29	6	neii 2642	. . . . . . 7 |- -. 0 = 1
30		simpl 457	. . . . . . . 8 |- ( ( S e. V /\ T e. V ) -> S e. V )
31		opth1g 4713	. . . . . . . 8 |- ( ( 0 e. _V /\ S e. V ) -> ( <. 0 , S >. = <. 1 , T >. -> 0 = 1 ) )
32	1, 30, 31	sylancr 663	. . . . . . 7 |- ( ( S e. V /\ T e. V ) -> ( <. 0 , S >. = <. 1 , T >. -> 0 = 1 ) )
33	29, 32	mtoi 178	. . . . . 6 |- ( ( S e. V /\ T e. V ) -> -. <. 0 , S >. = <. 1 , T >. )
34	33	neqned 2646	. . . . 5 |- ( ( S e. V /\ T e. V ) -> <. 0 , S >. =/= <. 1 , T >. )
35		opex 4701	. . . . . . 7 |- <. 0 , S >. e. _V
36		opex 4701	. . . . . . 7 |- <. 1 , T >. e. _V
37	35, 36	pm3.2i 455	. . . . . 6 |- ( <. 0 , S >. e. _V /\ <. 1 , T >. e. _V )
38		hashprg 12439	. . . . . 6 |- ( ( <. 0 , S >. e. _V /\ <. 1 , T >. e. _V ) -> ( <. 0 , S >. =/= <. 1 , T >. <-> ( # ` { <. 0 , S >. , <. 1 , T >. } ) = 2 ) )
39	37, 38	mp1i 12	. . . . 5 |- ( ( S e. V /\ T e. V ) -> ( <. 0 , S >. =/= <. 1 , T >. <-> ( # ` { <. 0 , S >. , <. 1 , T >. } ) = 2 ) )
40	34, 39	mpbid 210	. . . 4 |- ( ( S e. V /\ T e. V ) -> ( # ` { <. 0 , S >. , <. 1 , T >. } ) = 2 )
41	28, 40	sylan9eqr 2506	. . 3 |- ( ( ( S e. V /\ T e. V ) /\ W = { <. 0 , S >. , <. 1 , T >. } ) -> ( # ` W ) = 2 )
42	1	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ( S e. V /\ T e. V ) -> 0 e. _V )
43	6	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ( S e. V /\ T e. V ) -> 0 =/= 1 )
44		fvpr1g 6101	. . . . . . 7 |- ( ( 0 e. _V /\ S e. V /\ 0 =/= 1 ) -> ( { <. 0 , S >. , <. 1 , T >. } ` 0 ) = S )
45	42, 30, 43, 44	syl3anc 1229	. . . . . 6 |- ( ( S e. V /\ T e. V ) -> ( { <. 0 , S >. , <. 1 , T >. } ` 0 ) = S )
46	2	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ( S e. V /\ T e. V ) -> 1 e. _V )
47		simpr 461	. . . . . . 7 |- ( ( S e. V /\ T e. V ) -> T e. V )
48		fvpr2g 6102	. . . . . . 7 |- ( ( 1 e. _V /\ T e. V /\ 0 =/= 1 ) -> ( { <. 0 , S >. , <. 1 , T >. } ` 1 ) = T )
49	46, 47, 43, 48	syl3anc 1229	. . . . . 6 |- ( ( S e. V /\ T e. V ) -> ( { <. 0 , S >. , <. 1 , T >. } ` 1 ) = T )
50	45, 49	jca 532	. . . . 5 |- ( ( S e. V /\ T e. V ) -> ( ( { <. 0 , S >. , <. 1 , T >. } ` 0 ) = S /\ ( { <. 0 , S >. , <. 1 , T >. } ` 1 ) = T ) )
51	50	adantr 465	. . . 4 |- ( ( ( S e. V /\ T e. V ) /\ W = { <. 0 , S >. , <. 1 , T >. } ) -> ( ( { <. 0 , S >. , <. 1 , T >. } ` 0 ) = S /\ ( { <. 0 , S >. , <. 1 , T >. } ` 1 ) = T ) )
52		fveq1 5855	. . . . . . 7 |- ( W = { <. 0 , S >. , <. 1 , T >. } -> ( W ` 0 ) = ( { <. 0 , S >. , <. 1 , T >. } ` 0 ) )
53	52	eqeq1d 2445	. . . . . 6 |- ( W = { <. 0 , S >. , <. 1 , T >. } -> ( ( W ` 0 ) = S <-> ( { <. 0 , S >. , <. 1 , T >. } ` 0 ) = S ) )
54		fveq1 5855	. . . . . . 7 |- ( W = { <. 0 , S >. , <. 1 , T >. } -> ( W ` 1 ) = ( { <. 0 , S >. , <. 1 , T >. } ` 1 ) )
55	54	eqeq1d 2445	. . . . . 6 |- ( W = { <. 0 , S >. , <. 1 , T >. } -> ( ( W ` 1 ) = T <-> ( { <. 0 , S >. , <. 1 , T >. } ` 1 ) = T ) )
56	53, 55	anbi12d 710	. . . . 5 |- ( W = { <. 0 , S >. , <. 1 , T >. } -> ( ( ( W ` 0 ) = S /\ ( W ` 1 ) = T ) <-> ( ( { <. 0 , S >. , <. 1 , T >. } ` 0 ) = S /\ ( { <. 0 , S >. , <. 1 , T >. } ` 1 ) = T ) ) )
57	56	adantl 466	. . . 4 |- ( ( ( S e. V /\ T e. V ) /\ W = { <. 0 , S >. , <. 1 , T >. } ) -> ( ( ( W ` 0 ) = S /\ ( W ` 1 ) = T ) <-> ( ( { <. 0 , S >. , <. 1 , T >. } ` 0 ) = S /\ ( { <. 0 , S >. , <. 1 , T >. } ` 1 ) = T ) ) )
58	51, 57	mpbird 232	. . 3 |- ( ( ( S e. V /\ T e. V ) /\ W = { <. 0 , S >. , <. 1 , T >. } ) -> ( ( W ` 0 ) = S /\ ( W ` 1 ) = T ) )
59	27, 41, 58	jca31 534	. 2 |- ( ( ( S e. V /\ T e. V ) /\ W = { <. 0 , S >. , <. 1 , T >. } ) -> ( ( W e. Word V /\ ( # ` W ) = 2 ) /\ ( ( W ` 0 ) = S /\ ( W ` 1 ) = T ) ) )
60	59	ex 434	1 |- ( ( S e. V /\ T e. V ) -> ( W = { <. 0 , S >. , <. 1 , T >. } -> ( ( W e. Word V /\ ( # ` W ) = 2 ) /\ ( ( W ` 0 ) = S /\ ( W ` 1 ) = T ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   = wceq 1383   e. wcel 1804   =/= wne 2638   _Vcvv 3095   C_ wss 3461   {cpr 4016   <.cop 4020   -->wf 5574   ` cfv 5578  (class class class)co 6281   0cc0 9495   1c1 9496   2c2 10591  ..^cfzo 11803   #chash 12384  Word cword 12513

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-rep 4548  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6577  ax-cnex 9551  ax-resscn 9552  ax-1cn 9553  ax-icn 9554  ax-addcl 9555  ax-addrcl 9556  ax-mulcl 9557  ax-mulrcl 9558  ax-mulcom 9559  ax-addass 9560  ax-mulass 9561  ax-distr 9562  ax-i2m1 9563  ax-1ne0 9564  ax-1rid 9565  ax-rnegex 9566  ax-rrecex 9567  ax-cnre 9568  ax-pre-lttri 9569  ax-pre-lttrn 9570  ax-pre-ltadd 9571  ax-pre-mulgt0 9572

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1386  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-nel 2641  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rmo 2801  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-tp 4019  df-op 4021  df-uni 4235  df-int 4272  df-iun 4317  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-tr 4531  df-eprel 4781  df-id 4785  df-po 4790  df-so 4791  df-fr 4828  df-we 4830  df-ord 4871  df-on 4872  df-lim 4873  df-suc 4874  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-f1 5583  df-fo 5584  df-f1o 5585  df-fv 5586  df-riota 6242  df-ov 6284  df-oprab 6285  df-mpt2 6286  df-om 6686  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-recs 7044  df-rdg 7078  df-1o 7132  df-oadd 7136  df-er 7313  df-en 7519  df-dom 7520  df-sdom 7521  df-fin 7522  df-card 8323  df-cda 8551  df-pnf 9633  df-mnf 9634  df-xr 9635  df-ltxr 9636  df-le 9637  df-sub 9812  df-neg 9813  df-nn 10543  df-2 10600  df-n0 10802  df-z 10871  df-uz 11091  df-fz 11682  df-fzo 11804  df-hash 12385  df-word 12521

This theorem is referenced by:  wrdlen2  12865  wwlktovfo  12875