MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  wrdlen2i Structured version   Unicode version

Theorem wrdlen2i 12667
Description: Implications of a word of length 2. (Contributed by AV, 27-Jul-2018.) (Proof shortened by AV, 14-Oct-2018.)
Assertion
Ref Expression
wrdlen2i  |-  ( ( S  e.  V  /\  T  e.  V )  ->  ( W  =  { <. 0 ,  S >. , 
<. 1 ,  T >. }  ->  ( ( W  e. Word  V  /\  ( # `
 W )  =  2 )  /\  (
( W `  0
)  =  S  /\  ( W `  1 )  =  T ) ) ) )

Proof of Theorem wrdlen2i
StepHypRef Expression
1 c0ex 9494 . . . . . . . 8  |-  0  e.  _V
2 1ex 9495 . . . . . . . 8  |-  1  e.  _V
31, 2pm3.2i 455 . . . . . . 7  |-  ( 0  e.  _V  /\  1  e.  _V )
43a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( ( S  e.  V  /\  T  e.  V
)  /\  W  =  { <. 0 ,  S >. ,  <. 1 ,  T >. } )  ->  (
0  e.  _V  /\  1  e.  _V )
)
5 simpl 457 . . . . . 6  |-  ( ( ( S  e.  V  /\  T  e.  V
)  /\  W  =  { <. 0 ,  S >. ,  <. 1 ,  T >. } )  ->  ( S  e.  V  /\  T  e.  V )
)
6 0ne1 10503 . . . . . . 7  |-  0  =/=  1
76a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( ( S  e.  V  /\  T  e.  V
)  /\  W  =  { <. 0 ,  S >. ,  <. 1 ,  T >. } )  ->  0  =/=  1 )
8 fprg 6003 . . . . . 6  |-  ( ( ( 0  e.  _V  /\  1  e.  _V )  /\  ( S  e.  V  /\  T  e.  V
)  /\  0  =/=  1 )  ->  { <. 0 ,  S >. , 
<. 1 ,  T >. } : { 0 ,  1 } --> { S ,  T } )
94, 5, 7, 8syl3anc 1219 . . . . 5  |-  ( ( ( S  e.  V  /\  T  e.  V
)  /\  W  =  { <. 0 ,  S >. ,  <. 1 ,  T >. } )  ->  { <. 0 ,  S >. , 
<. 1 ,  T >. } : { 0 ,  1 } --> { S ,  T } )
10 fzo0to2pr 11734 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 0..^ 2 )  =  {
0 ,  1 }
1110eqcomi 2467 . . . . . . . . . . . . 13  |-  { 0 ,  1 }  =  ( 0..^ 2 )
1211a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( S  e.  V  /\  T  e.  V )  ->  { 0 ,  1 }  =  ( 0..^ 2 ) )
1312feq2d 5658 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( S  e.  V  /\  T  e.  V )  ->  ( { <. 0 ,  S >. ,  <. 1 ,  T >. } : {
0 ,  1 } --> { S ,  T } 
<->  { <. 0 ,  S >. ,  <. 1 ,  T >. } : ( 0..^ 2 ) --> { S ,  T } ) )
1413biimpa 484 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( S  e.  V  /\  T  e.  V
)  /\  { <. 0 ,  S >. ,  <. 1 ,  T >. } : {
0 ,  1 } --> { S ,  T } )  ->  { <. 0 ,  S >. , 
<. 1 ,  T >. } : ( 0..^ 2 ) --> { S ,  T } )
15 prssi 4140 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( S  e.  V  /\  T  e.  V )  ->  { S ,  T }  C_  V )
1615adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( S  e.  V  /\  T  e.  V
)  /\  { <. 0 ,  S >. ,  <. 1 ,  T >. } : {
0 ,  1 } --> { S ,  T } )  ->  { S ,  T }  C_  V
)
17 fss 5678 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( { <. 0 ,  S >. ,  <. 1 ,  T >. } : ( 0..^ 2 ) --> { S ,  T }  /\  { S ,  T }  C_  V )  ->  { <. 0 ,  S >. , 
<. 1 ,  T >. } : ( 0..^ 2 ) --> V )
1814, 16, 17syl2anc 661 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( S  e.  V  /\  T  e.  V
)  /\  { <. 0 ,  S >. ,  <. 1 ,  T >. } : {
0 ,  1 } --> { S ,  T } )  ->  { <. 0 ,  S >. , 
<. 1 ,  T >. } : ( 0..^ 2 ) --> V )
1918ex 434 . . . . . . . 8  |-  ( ( S  e.  V  /\  T  e.  V )  ->  ( { <. 0 ,  S >. ,  <. 1 ,  T >. } : {
0 ,  1 } --> { S ,  T }  ->  { <. 0 ,  S >. ,  <. 1 ,  T >. } : ( 0..^ 2 ) --> V ) )
2019adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( ( ( S  e.  V  /\  T  e.  V
)  /\  W  =  { <. 0 ,  S >. ,  <. 1 ,  T >. } )  ->  ( { <. 0 ,  S >. ,  <. 1 ,  T >. } : { 0 ,  1 } --> { S ,  T }  ->  { <. 0 ,  S >. , 
<. 1 ,  T >. } : ( 0..^ 2 ) --> V ) )
2120impcom 430 . . . . . 6  |-  ( ( { <. 0 ,  S >. ,  <. 1 ,  T >. } : { 0 ,  1 } --> { S ,  T }  /\  (
( S  e.  V  /\  T  e.  V
)  /\  W  =  { <. 0 ,  S >. ,  <. 1 ,  T >. } ) )  ->  { <. 0 ,  S >. ,  <. 1 ,  T >. } : ( 0..^ 2 ) --> V )
22 feq1 5653 . . . . . . . 8  |-  ( W  =  { <. 0 ,  S >. ,  <. 1 ,  T >. }  ->  ( W : ( 0..^ 2 ) --> V  <->  { <. 0 ,  S >. ,  <. 1 ,  T >. } : ( 0..^ 2 ) --> V ) )
2322adantl 466 . . . . . . 7  |-  ( ( ( S  e.  V  /\  T  e.  V
)  /\  W  =  { <. 0 ,  S >. ,  <. 1 ,  T >. } )  ->  ( W : ( 0..^ 2 ) --> V  <->  { <. 0 ,  S >. ,  <. 1 ,  T >. } : ( 0..^ 2 ) --> V ) )
2423adantl 466 . . . . . 6  |-  ( ( { <. 0 ,  S >. ,  <. 1 ,  T >. } : { 0 ,  1 } --> { S ,  T }  /\  (
( S  e.  V  /\  T  e.  V
)  /\  W  =  { <. 0 ,  S >. ,  <. 1 ,  T >. } ) )  -> 
( W : ( 0..^ 2 ) --> V  <->  { <. 0 ,  S >. ,  <. 1 ,  T >. } : ( 0..^ 2 ) --> V ) )
2521, 24mpbird 232 . . . . 5  |-  ( ( { <. 0 ,  S >. ,  <. 1 ,  T >. } : { 0 ,  1 } --> { S ,  T }  /\  (
( S  e.  V  /\  T  e.  V
)  /\  W  =  { <. 0 ,  S >. ,  <. 1 ,  T >. } ) )  ->  W : ( 0..^ 2 ) --> V )
269, 25mpancom 669 . . . 4  |-  ( ( ( S  e.  V  /\  T  e.  V
)  /\  W  =  { <. 0 ,  S >. ,  <. 1 ,  T >. } )  ->  W : ( 0..^ 2 ) --> V )
27 iswrdi 12360 . . . 4  |-  ( W : ( 0..^ 2 ) --> V  ->  W  e. Word  V )
2826, 27syl 16 . . 3  |-  ( ( ( S  e.  V  /\  T  e.  V
)  /\  W  =  { <. 0 ,  S >. ,  <. 1 ,  T >. } )  ->  W  e. Word  V )
29 fveq2 5802 . . . 4  |-  ( W  =  { <. 0 ,  S >. ,  <. 1 ,  T >. }  ->  ( # `
 W )  =  ( # `  { <. 0 ,  S >. , 
<. 1 ,  T >. } ) )
306neii 2652 . . . . . . 7  |-  -.  0  =  1
311a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ( S  e.  V  /\  T  e.  V )  ->  0  e.  _V )
32 simpl 457 . . . . . . . 8  |-  ( ( S  e.  V  /\  T  e.  V )  ->  S  e.  V )
33 opth1g 4679 . . . . . . . 8  |-  ( ( 0  e.  _V  /\  S  e.  V )  ->  ( <. 0 ,  S >.  =  <. 1 ,  T >.  ->  0  =  1 ) )
3431, 32, 33syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( ( S  e.  V  /\  T  e.  V )  ->  ( <. 0 ,  S >.  =  <. 1 ,  T >.  ->  0  =  1 ) )
3530, 34mtoi 178 . . . . . 6  |-  ( ( S  e.  V  /\  T  e.  V )  ->  -.  <. 0 ,  S >.  =  <. 1 ,  T >. )
3635neneqad 2656 . . . . 5  |-  ( ( S  e.  V  /\  T  e.  V )  -> 
<. 0 ,  S >.  =/=  <. 1 ,  T >. )
37 opex 4667 . . . . . . 7  |-  <. 0 ,  S >.  e.  _V
38 opex 4667 . . . . . . 7  |-  <. 1 ,  T >.  e.  _V
3937, 38pm3.2i 455 . . . . . 6  |-  ( <.
0 ,  S >.  e. 
_V  /\  <. 1 ,  T >.  e.  _V )
40 hashprg 12276 . . . . . 6  |-  ( (
<. 0 ,  S >.  e.  _V  /\  <. 1 ,  T >.  e. 
_V )  ->  ( <. 0 ,  S >.  =/= 
<. 1 ,  T >.  <-> 
( # `  { <. 0 ,  S >. , 
<. 1 ,  T >. } )  =  2 ) )
4139, 40mp1i 12 . . . . 5  |-  ( ( S  e.  V  /\  T  e.  V )  ->  ( <. 0 ,  S >.  =/=  <. 1 ,  T >.  <-> 
( # `  { <. 0 ,  S >. , 
<. 1 ,  T >. } )  =  2 ) )
4236, 41mpbid 210 . . . 4  |-  ( ( S  e.  V  /\  T  e.  V )  ->  ( # `  { <. 0 ,  S >. , 
<. 1 ,  T >. } )  =  2 )
4329, 42sylan9eqr 2517 . . 3  |-  ( ( ( S  e.  V  /\  T  e.  V
)  /\  W  =  { <. 0 ,  S >. ,  <. 1 ,  T >. } )  ->  ( # `
 W )  =  2 )
446a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( S  e.  V  /\  T  e.  V )  ->  0  =/=  1 )
45 fvpr1g 6035 . . . . . . 7  |-  ( ( 0  e.  _V  /\  S  e.  V  /\  0  =/=  1 )  -> 
( { <. 0 ,  S >. ,  <. 1 ,  T >. } `  0
)  =  S )
4631, 32, 44, 45syl3anc 1219 . . . . . 6  |-  ( ( S  e.  V  /\  T  e.  V )  ->  ( { <. 0 ,  S >. ,  <. 1 ,  T >. } `  0
)  =  S )
472a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( S  e.  V  /\  T  e.  V )  ->  1  e.  _V )
48 simpr 461 . . . . . . 7  |-  ( ( S  e.  V  /\  T  e.  V )  ->  T  e.  V )
49 fvpr2g 6036 . . . . . . 7  |-  ( ( 1  e.  _V  /\  T  e.  V  /\  0  =/=  1 )  -> 
( { <. 0 ,  S >. ,  <. 1 ,  T >. } `  1
)  =  T )
5047, 48, 44, 49syl3anc 1219 . . . . . 6  |-  ( ( S  e.  V  /\  T  e.  V )  ->  ( { <. 0 ,  S >. ,  <. 1 ,  T >. } `  1
)  =  T )
5146, 50jca 532 . . . . 5  |-  ( ( S  e.  V  /\  T  e.  V )  ->  ( ( { <. 0 ,  S >. , 
<. 1 ,  T >. } `  0 )  =  S  /\  ( { <. 0 ,  S >. ,  <. 1 ,  T >. } `  1 )  =  T ) )
5251adantr 465 . . . 4  |-  ( ( ( S  e.  V  /\  T  e.  V
)  /\  W  =  { <. 0 ,  S >. ,  <. 1 ,  T >. } )  ->  (
( { <. 0 ,  S >. ,  <. 1 ,  T >. } `  0
)  =  S  /\  ( { <. 0 ,  S >. ,  <. 1 ,  T >. } `  1 )  =  T ) )
53 fveq1 5801 . . . . . . 7  |-  ( W  =  { <. 0 ,  S >. ,  <. 1 ,  T >. }  ->  ( W `  0 )  =  ( { <. 0 ,  S >. , 
<. 1 ,  T >. } `  0 ) )
5453eqeq1d 2456 . . . . . 6  |-  ( W  =  { <. 0 ,  S >. ,  <. 1 ,  T >. }  ->  (
( W `  0
)  =  S  <->  ( { <. 0 ,  S >. , 
<. 1 ,  T >. } `  0 )  =  S ) )
55 fveq1 5801 . . . . . . 7  |-  ( W  =  { <. 0 ,  S >. ,  <. 1 ,  T >. }  ->  ( W `  1 )  =  ( { <. 0 ,  S >. , 
<. 1 ,  T >. } `  1 ) )
5655eqeq1d 2456 . . . . . 6  |-  ( W  =  { <. 0 ,  S >. ,  <. 1 ,  T >. }  ->  (
( W `  1
)  =  T  <->  ( { <. 0 ,  S >. , 
<. 1 ,  T >. } `  1 )  =  T ) )
5754, 56anbi12d 710 . . . . 5  |-  ( W  =  { <. 0 ,  S >. ,  <. 1 ,  T >. }  ->  (
( ( W ` 
0 )  =  S  /\  ( W ` 
1 )  =  T )  <->  ( ( {
<. 0 ,  S >. ,  <. 1 ,  T >. } `  0 )  =  S  /\  ( { <. 0 ,  S >. ,  <. 1 ,  T >. } `  1 )  =  T ) ) )
5857adantl 466 . . . 4  |-  ( ( ( S  e.  V  /\  T  e.  V
)  /\  W  =  { <. 0 ,  S >. ,  <. 1 ,  T >. } )  ->  (
( ( W ` 
0 )  =  S  /\  ( W ` 
1 )  =  T )  <->  ( ( {
<. 0 ,  S >. ,  <. 1 ,  T >. } `  0 )  =  S  /\  ( { <. 0 ,  S >. ,  <. 1 ,  T >. } `  1 )  =  T ) ) )
5952, 58mpbird 232 . . 3  |-  ( ( ( S  e.  V  /\  T  e.  V
)  /\  W  =  { <. 0 ,  S >. ,  <. 1 ,  T >. } )  ->  (
( W `  0
)  =  S  /\  ( W `  1 )  =  T ) )
6028, 43, 59jca31 534 . 2  |-  ( ( ( S  e.  V  /\  T  e.  V
)  /\  W  =  { <. 0 ,  S >. ,  <. 1 ,  T >. } )  ->  (
( W  e. Word  V  /\  ( # `  W
)  =  2 )  /\  ( ( W `
 0 )  =  S  /\  ( W `
 1 )  =  T ) ) )
6160ex 434 1  |-  ( ( S  e.  V  /\  T  e.  V )  ->  ( W  =  { <. 0 ,  S >. , 
<. 1 ,  T >. }  ->  ( ( W  e. Word  V  /\  ( # `
 W )  =  2 )  /\  (
( W `  0
)  =  S  /\  ( W `  1 )  =  T ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1370    e. wcel 1758    =/= wne 2648   _Vcvv 3078    C_ wss 3439   {cpr 3990   <.cop 3994   -->wf 5525   ` cfv 5529  (class class class)co 6203   0cc0 9396   1c1 9397   2c2 10485  ..^cfzo 11668   #chash 12223  Word cword 12342
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4514  ax-sep 4524  ax-nul 4532  ax-pow 4581  ax-pr 4642  ax-un 6485  ax-cnex 9452  ax-resscn 9453  ax-1cn 9454  ax-icn 9455  ax-addcl 9456  ax-addrcl 9457  ax-mulcl 9458  ax-mulrcl 9459  ax-mulcom 9460  ax-addass 9461  ax-mulass 9462  ax-distr 9463  ax-i2m1 9464  ax-1ne0 9465  ax-1rid 9466  ax-rnegex 9467  ax-rrecex 9468  ax-cnre 9469  ax-pre-lttri 9470  ax-pre-lttrn 9471  ax-pre-ltadd 9472  ax-pre-mulgt0 9473
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-nel 2651  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rmo 2807  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3399  df-dif 3442  df-un 3444  df-in 3446  df-ss 3453  df-pss 3455  df-nul 3749  df-if 3903  df-pw 3973  df-sn 3989  df-pr 3991  df-tp 3993  df-op 3995  df-uni 4203  df-int 4240  df-iun 4284  df-br 4404  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4497  df-eprel 4743  df-id 4747  df-po 4752  df-so 4753  df-fr 4790  df-we 4792  df-ord 4833  df-on 4834  df-lim 4835  df-suc 4836  df-xp 4957  df-rel 4958  df-cnv 4959  df-co 4960  df-dm 4961  df-rn 4962  df-res 4963  df-ima 4964  df-iota 5492  df-fun 5531  df-fn 5532  df-f 5533  df-f1 5534  df-fo 5535  df-f1o 5536  df-fv 5537  df-riota 6164  df-ov 6206  df-oprab 6207  df-mpt2 6208  df-om 6590  df-1st 6690  df-2nd 6691  df-recs 6945  df-rdg 6979  df-1o 7033  df-oadd 7037  df-er 7214  df-en 7424  df-dom 7425  df-sdom 7426  df-fin 7427  df-card 8223  df-cda 8451  df-pnf 9534  df-mnf 9535  df-xr 9536  df-ltxr 9537  df-le 9538  df-sub 9711  df-neg 9712  df-nn 10437  df-2 10494  df-n0 10694  df-z 10761  df-uz 10976  df-fz 11558  df-fzo 11669  df-hash 12224  df-word 12350
This theorem is referenced by:  wrdlen2  12669  wwlktovfo  30421
  Copyright terms: Public domain W3C validator