MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  wrdlen2i Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem wrdlen2i 13014
Description: Implications of a word of length 2. (Contributed by AV, 27-Jul-2018.) (Proof shortened by AV, 14-Oct-2018.)
Assertion
Ref Expression
wrdlen2i  |-  ( ( S  e.  V  /\  T  e.  V )  ->  ( W  =  { <. 0 ,  S >. , 
<. 1 ,  T >. }  ->  ( ( W  e. Word  V  /\  ( # `
 W )  =  2 )  /\  (
( W `  0
)  =  S  /\  ( W `  1 )  =  T ) ) ) )

Proof of Theorem wrdlen2i
StepHypRef Expression
1 c0ex 9634 . . . . . . . 8  |-  0  e.  _V
2 1ex 9635 . . . . . . . 8  |-  1  e.  _V
31, 2pm3.2i 457 . . . . . . 7  |-  ( 0  e.  _V  /\  1  e.  _V )
43a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( ( S  e.  V  /\  T  e.  V
)  /\  W  =  { <. 0 ,  S >. ,  <. 1 ,  T >. } )  ->  (
0  e.  _V  /\  1  e.  _V )
)
5 simpl 459 . . . . . 6  |-  ( ( ( S  e.  V  /\  T  e.  V
)  /\  W  =  { <. 0 ,  S >. ,  <. 1 ,  T >. } )  ->  ( S  e.  V  /\  T  e.  V )
)
6 0ne1 10674 . . . . . . 7  |-  0  =/=  1
76a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( ( S  e.  V  /\  T  e.  V
)  /\  W  =  { <. 0 ,  S >. ,  <. 1 ,  T >. } )  ->  0  =/=  1 )
8 fprg 6071 . . . . . 6  |-  ( ( ( 0  e.  _V  /\  1  e.  _V )  /\  ( S  e.  V  /\  T  e.  V
)  /\  0  =/=  1 )  ->  { <. 0 ,  S >. , 
<. 1 ,  T >. } : { 0 ,  1 } --> { S ,  T } )
94, 5, 7, 8syl3anc 1267 . . . . 5  |-  ( ( ( S  e.  V  /\  T  e.  V
)  /\  W  =  { <. 0 ,  S >. ,  <. 1 ,  T >. } )  ->  { <. 0 ,  S >. , 
<. 1 ,  T >. } : { 0 ,  1 } --> { S ,  T } )
10 fzo0to2pr 11995 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 0..^ 2 )  =  {
0 ,  1 }
1110eqcomi 2459 . . . . . . . . . . . . 13  |-  { 0 ,  1 }  =  ( 0..^ 2 )
1211a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( S  e.  V  /\  T  e.  V )  ->  { 0 ,  1 }  =  ( 0..^ 2 ) )
1312feq2d 5713 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( S  e.  V  /\  T  e.  V )  ->  ( { <. 0 ,  S >. ,  <. 1 ,  T >. } : {
0 ,  1 } --> { S ,  T } 
<->  { <. 0 ,  S >. ,  <. 1 ,  T >. } : ( 0..^ 2 ) --> { S ,  T } ) )
1413biimpa 487 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( S  e.  V  /\  T  e.  V
)  /\  { <. 0 ,  S >. ,  <. 1 ,  T >. } : {
0 ,  1 } --> { S ,  T } )  ->  { <. 0 ,  S >. , 
<. 1 ,  T >. } : ( 0..^ 2 ) --> { S ,  T } )
15 prssi 4127 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( S  e.  V  /\  T  e.  V )  ->  { S ,  T }  C_  V )
1615adantr 467 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( S  e.  V  /\  T  e.  V
)  /\  { <. 0 ,  S >. ,  <. 1 ,  T >. } : {
0 ,  1 } --> { S ,  T } )  ->  { S ,  T }  C_  V
)
1714, 16fssd 5736 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( S  e.  V  /\  T  e.  V
)  /\  { <. 0 ,  S >. ,  <. 1 ,  T >. } : {
0 ,  1 } --> { S ,  T } )  ->  { <. 0 ,  S >. , 
<. 1 ,  T >. } : ( 0..^ 2 ) --> V )
1817ex 436 . . . . . . . 8  |-  ( ( S  e.  V  /\  T  e.  V )  ->  ( { <. 0 ,  S >. ,  <. 1 ,  T >. } : {
0 ,  1 } --> { S ,  T }  ->  { <. 0 ,  S >. ,  <. 1 ,  T >. } : ( 0..^ 2 ) --> V ) )
1918adantr 467 . . . . . . 7  |-  ( ( ( S  e.  V  /\  T  e.  V
)  /\  W  =  { <. 0 ,  S >. ,  <. 1 ,  T >. } )  ->  ( { <. 0 ,  S >. ,  <. 1 ,  T >. } : { 0 ,  1 } --> { S ,  T }  ->  { <. 0 ,  S >. , 
<. 1 ,  T >. } : ( 0..^ 2 ) --> V ) )
2019impcom 432 . . . . . 6  |-  ( ( { <. 0 ,  S >. ,  <. 1 ,  T >. } : { 0 ,  1 } --> { S ,  T }  /\  (
( S  e.  V  /\  T  e.  V
)  /\  W  =  { <. 0 ,  S >. ,  <. 1 ,  T >. } ) )  ->  { <. 0 ,  S >. ,  <. 1 ,  T >. } : ( 0..^ 2 ) --> V )
21 feq1 5708 . . . . . . . 8  |-  ( W  =  { <. 0 ,  S >. ,  <. 1 ,  T >. }  ->  ( W : ( 0..^ 2 ) --> V  <->  { <. 0 ,  S >. ,  <. 1 ,  T >. } : ( 0..^ 2 ) --> V ) )
2221adantl 468 . . . . . . 7  |-  ( ( ( S  e.  V  /\  T  e.  V
)  /\  W  =  { <. 0 ,  S >. ,  <. 1 ,  T >. } )  ->  ( W : ( 0..^ 2 ) --> V  <->  { <. 0 ,  S >. ,  <. 1 ,  T >. } : ( 0..^ 2 ) --> V ) )
2322adantl 468 . . . . . 6  |-  ( ( { <. 0 ,  S >. ,  <. 1 ,  T >. } : { 0 ,  1 } --> { S ,  T }  /\  (
( S  e.  V  /\  T  e.  V
)  /\  W  =  { <. 0 ,  S >. ,  <. 1 ,  T >. } ) )  -> 
( W : ( 0..^ 2 ) --> V  <->  { <. 0 ,  S >. ,  <. 1 ,  T >. } : ( 0..^ 2 ) --> V ) )
2420, 23mpbird 236 . . . . 5  |-  ( ( { <. 0 ,  S >. ,  <. 1 ,  T >. } : { 0 ,  1 } --> { S ,  T }  /\  (
( S  e.  V  /\  T  e.  V
)  /\  W  =  { <. 0 ,  S >. ,  <. 1 ,  T >. } ) )  ->  W : ( 0..^ 2 ) --> V )
259, 24mpancom 674 . . . 4  |-  ( ( ( S  e.  V  /\  T  e.  V
)  /\  W  =  { <. 0 ,  S >. ,  <. 1 ,  T >. } )  ->  W : ( 0..^ 2 ) --> V )
26 iswrdi 12672 . . . 4  |-  ( W : ( 0..^ 2 ) --> V  ->  W  e. Word  V )
2725, 26syl 17 . . 3  |-  ( ( ( S  e.  V  /\  T  e.  V
)  /\  W  =  { <. 0 ,  S >. ,  <. 1 ,  T >. } )  ->  W  e. Word  V )
28 fveq2 5863 . . . 4  |-  ( W  =  { <. 0 ,  S >. ,  <. 1 ,  T >. }  ->  ( # `
 W )  =  ( # `  { <. 0 ,  S >. , 
<. 1 ,  T >. } ) )
296neii 2625 . . . . . . 7  |-  -.  0  =  1
30 simpl 459 . . . . . . . 8  |-  ( ( S  e.  V  /\  T  e.  V )  ->  S  e.  V )
31 opth1g 4677 . . . . . . . 8  |-  ( ( 0  e.  _V  /\  S  e.  V )  ->  ( <. 0 ,  S >.  =  <. 1 ,  T >.  ->  0  =  1 ) )
321, 30, 31sylancr 668 . . . . . . 7  |-  ( ( S  e.  V  /\  T  e.  V )  ->  ( <. 0 ,  S >.  =  <. 1 ,  T >.  ->  0  =  1 ) )
3329, 32mtoi 182 . . . . . 6  |-  ( ( S  e.  V  /\  T  e.  V )  ->  -.  <. 0 ,  S >.  =  <. 1 ,  T >. )
3433neqned 2630 . . . . 5  |-  ( ( S  e.  V  /\  T  e.  V )  -> 
<. 0 ,  S >.  =/=  <. 1 ,  T >. )
35 opex 4663 . . . . . . 7  |-  <. 0 ,  S >.  e.  _V
36 opex 4663 . . . . . . 7  |-  <. 1 ,  T >.  e.  _V
3735, 36pm3.2i 457 . . . . . 6  |-  ( <.
0 ,  S >.  e. 
_V  /\  <. 1 ,  T >.  e.  _V )
38 hashprg 12569 . . . . . 6  |-  ( (
<. 0 ,  S >.  e.  _V  /\  <. 1 ,  T >.  e. 
_V )  ->  ( <. 0 ,  S >.  =/= 
<. 1 ,  T >.  <-> 
( # `  { <. 0 ,  S >. , 
<. 1 ,  T >. } )  =  2 ) )
3937, 38mp1i 13 . . . . 5  |-  ( ( S  e.  V  /\  T  e.  V )  ->  ( <. 0 ,  S >.  =/=  <. 1 ,  T >.  <-> 
( # `  { <. 0 ,  S >. , 
<. 1 ,  T >. } )  =  2 ) )
4034, 39mpbid 214 . . . 4  |-  ( ( S  e.  V  /\  T  e.  V )  ->  ( # `  { <. 0 ,  S >. , 
<. 1 ,  T >. } )  =  2 )
4128, 40sylan9eqr 2506 . . 3  |-  ( ( ( S  e.  V  /\  T  e.  V
)  /\  W  =  { <. 0 ,  S >. ,  <. 1 ,  T >. } )  ->  ( # `
 W )  =  2 )
421a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( S  e.  V  /\  T  e.  V )  ->  0  e.  _V )
436a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( S  e.  V  /\  T  e.  V )  ->  0  =/=  1 )
44 fvpr1g 6107 . . . . . . 7  |-  ( ( 0  e.  _V  /\  S  e.  V  /\  0  =/=  1 )  -> 
( { <. 0 ,  S >. ,  <. 1 ,  T >. } `  0
)  =  S )
4542, 30, 43, 44syl3anc 1267 . . . . . 6  |-  ( ( S  e.  V  /\  T  e.  V )  ->  ( { <. 0 ,  S >. ,  <. 1 ,  T >. } `  0
)  =  S )
462a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( S  e.  V  /\  T  e.  V )  ->  1  e.  _V )
47 simpr 463 . . . . . . 7  |-  ( ( S  e.  V  /\  T  e.  V )  ->  T  e.  V )
48 fvpr2g 6108 . . . . . . 7  |-  ( ( 1  e.  _V  /\  T  e.  V  /\  0  =/=  1 )  -> 
( { <. 0 ,  S >. ,  <. 1 ,  T >. } `  1
)  =  T )
4946, 47, 43, 48syl3anc 1267 . . . . . 6  |-  ( ( S  e.  V  /\  T  e.  V )  ->  ( { <. 0 ,  S >. ,  <. 1 ,  T >. } `  1
)  =  T )
5045, 49jca 535 . . . . 5  |-  ( ( S  e.  V  /\  T  e.  V )  ->  ( ( { <. 0 ,  S >. , 
<. 1 ,  T >. } `  0 )  =  S  /\  ( { <. 0 ,  S >. ,  <. 1 ,  T >. } `  1 )  =  T ) )
5150adantr 467 . . . 4  |-  ( ( ( S  e.  V  /\  T  e.  V
)  /\  W  =  { <. 0 ,  S >. ,  <. 1 ,  T >. } )  ->  (
( { <. 0 ,  S >. ,  <. 1 ,  T >. } `  0
)  =  S  /\  ( { <. 0 ,  S >. ,  <. 1 ,  T >. } `  1 )  =  T ) )
52 fveq1 5862 . . . . . . 7  |-  ( W  =  { <. 0 ,  S >. ,  <. 1 ,  T >. }  ->  ( W `  0 )  =  ( { <. 0 ,  S >. , 
<. 1 ,  T >. } `  0 ) )
5352eqeq1d 2452 . . . . . 6  |-  ( W  =  { <. 0 ,  S >. ,  <. 1 ,  T >. }  ->  (
( W `  0
)  =  S  <->  ( { <. 0 ,  S >. , 
<. 1 ,  T >. } `  0 )  =  S ) )
54 fveq1 5862 . . . . . . 7  |-  ( W  =  { <. 0 ,  S >. ,  <. 1 ,  T >. }  ->  ( W `  1 )  =  ( { <. 0 ,  S >. , 
<. 1 ,  T >. } `  1 ) )
5554eqeq1d 2452 . . . . . 6  |-  ( W  =  { <. 0 ,  S >. ,  <. 1 ,  T >. }  ->  (
( W `  1
)  =  T  <->  ( { <. 0 ,  S >. , 
<. 1 ,  T >. } `  1 )  =  T ) )
5653, 55anbi12d 716 . . . . 5  |-  ( W  =  { <. 0 ,  S >. ,  <. 1 ,  T >. }  ->  (
( ( W ` 
0 )  =  S  /\  ( W ` 
1 )  =  T )  <->  ( ( {
<. 0 ,  S >. ,  <. 1 ,  T >. } `  0 )  =  S  /\  ( { <. 0 ,  S >. ,  <. 1 ,  T >. } `  1 )  =  T ) ) )
5756adantl 468 . . . 4  |-  ( ( ( S  e.  V  /\  T  e.  V
)  /\  W  =  { <. 0 ,  S >. ,  <. 1 ,  T >. } )  ->  (
( ( W ` 
0 )  =  S  /\  ( W ` 
1 )  =  T )  <->  ( ( {
<. 0 ,  S >. ,  <. 1 ,  T >. } `  0 )  =  S  /\  ( { <. 0 ,  S >. ,  <. 1 ,  T >. } `  1 )  =  T ) ) )
5851, 57mpbird 236 . . 3  |-  ( ( ( S  e.  V  /\  T  e.  V
)  /\  W  =  { <. 0 ,  S >. ,  <. 1 ,  T >. } )  ->  (
( W `  0
)  =  S  /\  ( W `  1 )  =  T ) )
5927, 41, 58jca31 537 . 2  |-  ( ( ( S  e.  V  /\  T  e.  V
)  /\  W  =  { <. 0 ,  S >. ,  <. 1 ,  T >. } )  ->  (
( W  e. Word  V  /\  ( # `  W
)  =  2 )  /\  ( ( W `
 0 )  =  S  /\  ( W `
 1 )  =  T ) ) )
6059ex 436 1  |-  ( ( S  e.  V  /\  T  e.  V )  ->  ( W  =  { <. 0 ,  S >. , 
<. 1 ,  T >. }  ->  ( ( W  e. Word  V  /\  ( # `
 W )  =  2 )  /\  (
( W `  0
)  =  S  /\  ( W `  1 )  =  T ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 188    /\ wa 371    = wceq 1443    e. wcel 1886    =/= wne 2621   _Vcvv 3044    C_ wss 3403   {cpr 3969   <.cop 3973   -->wf 5577   ` cfv 5581  (class class class)co 6288   0cc0 9536   1c1 9537   2c2 10656  ..^cfzo 11912   #chash 12512  Word cword 12653
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1668  ax-4 1681  ax-5 1757  ax-6 1804  ax-7 1850  ax-8 1888  ax-9 1895  ax-10 1914  ax-11 1919  ax-12 1932  ax-13 2090  ax-ext 2430  ax-rep 4514  ax-sep 4524  ax-nul 4533  ax-pow 4580  ax-pr 4638  ax-un 6580  ax-cnex 9592  ax-resscn 9593  ax-1cn 9594  ax-icn 9595  ax-addcl 9596  ax-addrcl 9597  ax-mulcl 9598  ax-mulrcl 9599  ax-mulcom 9600  ax-addass 9601  ax-mulass 9602  ax-distr 9603  ax-i2m1 9604  ax-1ne0 9605  ax-1rid 9606  ax-rnegex 9607  ax-rrecex 9608  ax-cnre 9609  ax-pre-lttri 9610  ax-pre-lttrn 9611  ax-pre-ltadd 9612  ax-pre-mulgt0 9613
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 985  df-3an 986  df-tru 1446  df-ex 1663  df-nf 1667  df-sb 1797  df-eu 2302  df-mo 2303  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2580  df-ne 2623  df-nel 2624  df-ral 2741  df-rex 2742  df-reu 2743  df-rmo 2744  df-rab 2745  df-v 3046  df-sbc 3267  df-csb 3363  df-dif 3406  df-un 3408  df-in 3410  df-ss 3417  df-pss 3419  df-nul 3731  df-if 3881  df-pw 3952  df-sn 3968  df-pr 3970  df-tp 3972  df-op 3974  df-uni 4198  df-int 4234  df-iun 4279  df-br 4402  df-opab 4461  df-mpt 4462  df-tr 4497  df-eprel 4744  df-id 4748  df-po 4754  df-so 4755  df-fr 4792  df-we 4794  df-xp 4839  df-rel 4840  df-cnv 4841  df-co 4842  df-dm 4843  df-rn 4844  df-res 4845  df-ima 4846  df-pred 5379  df-ord 5425  df-on 5426  df-lim 5427  df-suc 5428  df-iota 5545  df-fun 5583  df-fn 5584  df-f 5585  df-f1 5586  df-fo 5587  df-f1o 5588  df-fv 5589  df-riota 6250  df-ov 6291  df-oprab 6292  df-mpt2 6293  df-om 6690  df-1st 6790  df-2nd 6791  df-wrecs 7025  df-recs 7087  df-rdg 7125  df-1o 7179  df-oadd 7183  df-er 7360  df-en 7567  df-dom 7568  df-sdom 7569  df-fin 7570  df-card 8370  df-cda 8595  df-pnf 9674  df-mnf 9675  df-xr 9676  df-ltxr 9677  df-le 9678  df-sub 9859  df-neg 9860  df-nn 10607  df-2 10665  df-n0 10867  df-z 10935  df-uz 11157  df-fz 11782  df-fzo 11913  df-hash 12513  df-word 12661
This theorem is referenced by:  wrdlen2  13016  wwlktovfo  13026
  Copyright terms: Public domain W3C validator