Theorem wrdlen2i 12538

Description: Implications of a word of length 2. (Contributed by AV, 27-Jul-2018.) (Proof shortened by AV, 14-Oct-2018.)

Assertion

Ref	Expression
wrdlen2i	|- ( ( S e. V /\ T e. V ) -> ( W = { <. 0 , S >. , <. 1 , T >. } -> ( ( W e. Word V /\ ( # ` W ) = 2 ) /\ ( ( W ` 0 ) = S /\ ( W ` 1 ) = T ) ) ) )

Proof of Theorem wrdlen2i

Step	Hyp	Ref	Expression
1		c0ex 9372	. . . . . . . 8 |- 0 e. _V
2		1ex 9373	. . . . . . . 8 |- 1 e. _V
3	1, 2	pm3.2i 455	. . . . . . 7 |- ( 0 e. _V /\ 1 e. _V )
4	3	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ( ( S e. V /\ T e. V ) /\ W = { <. 0 , S >. , <. 1 , T >. } ) -> ( 0 e. _V /\ 1 e. _V ) )
5		simpl 457	. . . . . 6 |- ( ( ( S e. V /\ T e. V ) /\ W = { <. 0 , S >. , <. 1 , T >. } ) -> ( S e. V /\ T e. V ) )
6		0ne1 10381	. . . . . . 7 |- 0 =/= 1
7	6	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ( ( S e. V /\ T e. V ) /\ W = { <. 0 , S >. , <. 1 , T >. } ) -> 0 =/= 1 )
8		fprg 5886	. . . . . 6 |- ( ( ( 0 e. _V /\ 1 e. _V ) /\ ( S e. V /\ T e. V ) /\ 0 =/= 1 ) -> { <. 0 , S >. , <. 1 , T >. } : { 0 , 1 } --> { S , T } )
9	4, 5, 7, 8	syl3anc 1218	. . . . 5 |- ( ( ( S e. V /\ T e. V ) /\ W = { <. 0 , S >. , <. 1 , T >. } ) -> { <. 0 , S >. , <. 1 , T >. } : { 0 , 1 } --> { S , T } )
10		fzo0to2pr 11606	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( 0..^ 2 ) = { 0 , 1 }
11	10	eqcomi 2442	. . . . . . . . . . . . 13 |- { 0 , 1 } = ( 0..^ 2 )
12	11	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( S e. V /\ T e. V ) -> { 0 , 1 } = ( 0..^ 2 ) )
13	12	feq2d 5542	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( S e. V /\ T e. V ) -> ( { <. 0 , S >. , <. 1 , T >. } : { 0 , 1 } --> { S , T } <-> { <. 0 , S >. , <. 1 , T >. } : ( 0..^ 2 ) --> { S , T } ) )
14	13	biimpa 484	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( S e. V /\ T e. V ) /\ { <. 0 , S >. , <. 1 , T >. } : { 0 , 1 } --> { S , T } ) -> { <. 0 , S >. , <. 1 , T >. } : ( 0..^ 2 ) --> { S , T } )
15		prssi 4024	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( S e. V /\ T e. V ) -> { S , T } C_ V )
16	15	adantr 465	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( S e. V /\ T e. V ) /\ { <. 0 , S >. , <. 1 , T >. } : { 0 , 1 } --> { S , T } ) -> { S , T } C_ V )
17		fss 5562	. . . . . . . . . 10 |- ( ( { <. 0 , S >. , <. 1 , T >. } : ( 0..^ 2 ) --> { S , T } /\ { S , T } C_ V ) -> { <. 0 , S >. , <. 1 , T >. } : ( 0..^ 2 ) --> V )
18	14, 16, 17	syl2anc 661	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( S e. V /\ T e. V ) /\ { <. 0 , S >. , <. 1 , T >. } : { 0 , 1 } --> { S , T } ) -> { <. 0 , S >. , <. 1 , T >. } : ( 0..^ 2 ) --> V )
19	18	ex 434	. . . . . . . 8 |- ( ( S e. V /\ T e. V ) -> ( { <. 0 , S >. , <. 1 , T >. } : { 0 , 1 } --> { S , T } -> { <. 0 , S >. , <. 1 , T >. } : ( 0..^ 2 ) --> V ) )
20	19	adantr 465	. . . . . . 7 |- ( ( ( S e. V /\ T e. V ) /\ W = { <. 0 , S >. , <. 1 , T >. } ) -> ( { <. 0 , S >. , <. 1 , T >. } : { 0 , 1 } --> { S , T } -> { <. 0 , S >. , <. 1 , T >. } : ( 0..^ 2 ) --> V ) )
21	20	impcom 430	. . . . . 6 |- ( ( { <. 0 , S >. , <. 1 , T >. } : { 0 , 1 } --> { S , T } /\ ( ( S e. V /\ T e. V ) /\ W = { <. 0 , S >. , <. 1 , T >. } ) ) -> { <. 0 , S >. , <. 1 , T >. } : ( 0..^ 2 ) --> V )
22		feq1 5537	. . . . . . . 8 |- ( W = { <. 0 , S >. , <. 1 , T >. } -> ( W : ( 0..^ 2 ) --> V <-> { <. 0 , S >. , <. 1 , T >. } : ( 0..^ 2 ) --> V ) )
23	22	adantl 466	. . . . . . 7 |- ( ( ( S e. V /\ T e. V ) /\ W = { <. 0 , S >. , <. 1 , T >. } ) -> ( W : ( 0..^ 2 ) --> V <-> { <. 0 , S >. , <. 1 , T >. } : ( 0..^ 2 ) --> V ) )
24	23	adantl 466	. . . . . 6 |- ( ( { <. 0 , S >. , <. 1 , T >. } : { 0 , 1 } --> { S , T } /\ ( ( S e. V /\ T e. V ) /\ W = { <. 0 , S >. , <. 1 , T >. } ) ) -> ( W : ( 0..^ 2 ) --> V <-> { <. 0 , S >. , <. 1 , T >. } : ( 0..^ 2 ) --> V ) )
25	21, 24	mpbird 232	. . . . 5 |- ( ( { <. 0 , S >. , <. 1 , T >. } : { 0 , 1 } --> { S , T } /\ ( ( S e. V /\ T e. V ) /\ W = { <. 0 , S >. , <. 1 , T >. } ) ) -> W : ( 0..^ 2 ) --> V )
26	9, 25	mpancom 669	. . . 4 |- ( ( ( S e. V /\ T e. V ) /\ W = { <. 0 , S >. , <. 1 , T >. } ) -> W : ( 0..^ 2 ) --> V )
27		iswrdi 12231	. . . 4 |- ( W : ( 0..^ 2 ) --> V -> W e. Word V )
28	26, 27	syl 16	. . 3 |- ( ( ( S e. V /\ T e. V ) /\ W = { <. 0 , S >. , <. 1 , T >. } ) -> W e. Word V )
29		fveq2 5686	. . . 4 |- ( W = { <. 0 , S >. , <. 1 , T >. } -> ( # ` W ) = ( # ` { <. 0 , S >. , <. 1 , T >. } ) )
30	6	neii 2605	. . . . . . 7 |- -. 0 = 1
31	1	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ( S e. V /\ T e. V ) -> 0 e. _V )
32		simpl 457	. . . . . . . 8 |- ( ( S e. V /\ T e. V ) -> S e. V )
33		opth1g 4563	. . . . . . . 8 |- ( ( 0 e. _V /\ S e. V ) -> ( <. 0 , S >. = <. 1 , T >. -> 0 = 1 ) )
34	31, 32, 33	syl2anc 661	. . . . . . 7 |- ( ( S e. V /\ T e. V ) -> ( <. 0 , S >. = <. 1 , T >. -> 0 = 1 ) )
35	30, 34	mtoi 178	. . . . . 6 |- ( ( S e. V /\ T e. V ) -> -. <. 0 , S >. = <. 1 , T >. )
36	35	neneqad 2676	. . . . 5 |- ( ( S e. V /\ T e. V ) -> <. 0 , S >. =/= <. 1 , T >. )
37		opex 4551	. . . . . . 7 |- <. 0 , S >. e. _V
38		opex 4551	. . . . . . 7 |- <. 1 , T >. e. _V
39	37, 38	pm3.2i 455	. . . . . 6 |- ( <. 0 , S >. e. _V /\ <. 1 , T >. e. _V )
40		hashprg 12147	. . . . . 6 |- ( ( <. 0 , S >. e. _V /\ <. 1 , T >. e. _V ) -> ( <. 0 , S >. =/= <. 1 , T >. <-> ( # ` { <. 0 , S >. , <. 1 , T >. } ) = 2 ) )
41	39, 40	mp1i 12	. . . . 5 |- ( ( S e. V /\ T e. V ) -> ( <. 0 , S >. =/= <. 1 , T >. <-> ( # ` { <. 0 , S >. , <. 1 , T >. } ) = 2 ) )
42	36, 41	mpbid 210	. . . 4 |- ( ( S e. V /\ T e. V ) -> ( # ` { <. 0 , S >. , <. 1 , T >. } ) = 2 )
43	29, 42	sylan9eqr 2492	. . 3 |- ( ( ( S e. V /\ T e. V ) /\ W = { <. 0 , S >. , <. 1 , T >. } ) -> ( # ` W ) = 2 )
44	6	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ( S e. V /\ T e. V ) -> 0 =/= 1 )
45		fvpr1g 5918	. . . . . . 7 |- ( ( 0 e. _V /\ S e. V /\ 0 =/= 1 ) -> ( { <. 0 , S >. , <. 1 , T >. } ` 0 ) = S )
46	31, 32, 44, 45	syl3anc 1218	. . . . . 6 |- ( ( S e. V /\ T e. V ) -> ( { <. 0 , S >. , <. 1 , T >. } ` 0 ) = S )
47	2	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ( S e. V /\ T e. V ) -> 1 e. _V )
48		simpr 461	. . . . . . 7 |- ( ( S e. V /\ T e. V ) -> T e. V )
49		fvpr2g 5919	. . . . . . 7 |- ( ( 1 e. _V /\ T e. V /\ 0 =/= 1 ) -> ( { <. 0 , S >. , <. 1 , T >. } ` 1 ) = T )
50	47, 48, 44, 49	syl3anc 1218	. . . . . 6 |- ( ( S e. V /\ T e. V ) -> ( { <. 0 , S >. , <. 1 , T >. } ` 1 ) = T )
51	46, 50	jca 532	. . . . 5 |- ( ( S e. V /\ T e. V ) -> ( ( { <. 0 , S >. , <. 1 , T >. } ` 0 ) = S /\ ( { <. 0 , S >. , <. 1 , T >. } ` 1 ) = T ) )
52	51	adantr 465	. . . 4 |- ( ( ( S e. V /\ T e. V ) /\ W = { <. 0 , S >. , <. 1 , T >. } ) -> ( ( { <. 0 , S >. , <. 1 , T >. } ` 0 ) = S /\ ( { <. 0 , S >. , <. 1 , T >. } ` 1 ) = T ) )
53		fveq1 5685	. . . . . . 7 |- ( W = { <. 0 , S >. , <. 1 , T >. } -> ( W ` 0 ) = ( { <. 0 , S >. , <. 1 , T >. } ` 0 ) )
54	53	eqeq1d 2446	. . . . . 6 |- ( W = { <. 0 , S >. , <. 1 , T >. } -> ( ( W ` 0 ) = S <-> ( { <. 0 , S >. , <. 1 , T >. } ` 0 ) = S ) )
55		fveq1 5685	. . . . . . 7 |- ( W = { <. 0 , S >. , <. 1 , T >. } -> ( W ` 1 ) = ( { <. 0 , S >. , <. 1 , T >. } ` 1 ) )
56	55	eqeq1d 2446	. . . . . 6 |- ( W = { <. 0 , S >. , <. 1 , T >. } -> ( ( W ` 1 ) = T <-> ( { <. 0 , S >. , <. 1 , T >. } ` 1 ) = T ) )
57	54, 56	anbi12d 710	. . . . 5 |- ( W = { <. 0 , S >. , <. 1 , T >. } -> ( ( ( W ` 0 ) = S /\ ( W ` 1 ) = T ) <-> ( ( { <. 0 , S >. , <. 1 , T >. } ` 0 ) = S /\ ( { <. 0 , S >. , <. 1 , T >. } ` 1 ) = T ) ) )
58	57	adantl 466	. . . 4 |- ( ( ( S e. V /\ T e. V ) /\ W = { <. 0 , S >. , <. 1 , T >. } ) -> ( ( ( W ` 0 ) = S /\ ( W ` 1 ) = T ) <-> ( ( { <. 0 , S >. , <. 1 , T >. } ` 0 ) = S /\ ( { <. 0 , S >. , <. 1 , T >. } ` 1 ) = T ) ) )
59	52, 58	mpbird 232	. . 3 |- ( ( ( S e. V /\ T e. V ) /\ W = { <. 0 , S >. , <. 1 , T >. } ) -> ( ( W ` 0 ) = S /\ ( W ` 1 ) = T ) )
60	28, 43, 59	jca31 534	. 2 |- ( ( ( S e. V /\ T e. V ) /\ W = { <. 0 , S >. , <. 1 , T >. } ) -> ( ( W e. Word V /\ ( # ` W ) = 2 ) /\ ( ( W ` 0 ) = S /\ ( W ` 1 ) = T ) ) )
61	60	ex 434	1 |- ( ( S e. V /\ T e. V ) -> ( W = { <. 0 , S >. , <. 1 , T >. } -> ( ( W e. Word V /\ ( # ` W ) = 2 ) /\ ( ( W ` 0 ) = S /\ ( W ` 1 ) = T ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   = wceq 1369   e. wcel 1756   =/= wne 2601   _Vcvv 2967   C_ wss 3323   {cpr 3874   <.cop 3878   -->wf 5409   ` cfv 5413  (class class class)co 6086   0cc0 9274   1c1 9275   2c2 10363  ..^cfzo 11540   #chash 12095  Word cword 12213

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2419  ax-rep 4398  ax-sep 4408  ax-nul 4416  ax-pow 4465  ax-pr 4526  ax-un 6367  ax-cnex 9330  ax-resscn 9331  ax-1cn 9332  ax-icn 9333  ax-addcl 9334  ax-addrcl 9335  ax-mulcl 9336  ax-mulrcl 9337  ax-mulcom 9338  ax-addass 9339  ax-mulass 9340  ax-distr 9341  ax-i2m1 9342  ax-1ne0 9343  ax-1rid 9344  ax-rnegex 9345  ax-rrecex 9346  ax-cnre 9347  ax-pre-lttri 9348  ax-pre-lttrn 9349  ax-pre-ltadd 9350  ax-pre-mulgt0 9351

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2256  df-mo 2257  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2715  df-rex 2716  df-reu 2717  df-rmo 2718  df-rab 2719  df-v 2969  df-sbc 3182  df-csb 3284  df-dif 3326  df-un 3328  df-in 3330  df-ss 3337  df-pss 3339  df-nul 3633  df-if 3787  df-pw 3857  df-sn 3873  df-pr 3875  df-tp 3877  df-op 3879  df-uni 4087  df-int 4124  df-iun 4168  df-br 4288  df-opab 4346  df-mpt 4347  df-tr 4381  df-eprel 4627  df-id 4631  df-po 4636  df-so 4637  df-fr 4674  df-we 4676  df-ord 4717  df-on 4718  df-lim 4719  df-suc 4720  df-xp 4841  df-rel 4842  df-cnv 4843  df-co 4844  df-dm 4845  df-rn 4846  df-res 4847  df-ima 4848  df-iota 5376  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-riota 6047  df-ov 6089  df-oprab 6090  df-mpt2 6091  df-om 6472  df-1st 6572  df-2nd 6573  df-recs 6824  df-rdg 6858  df-1o 6912  df-oadd 6916  df-er 7093  df-en 7303  df-dom 7304  df-sdom 7305  df-fin 7306  df-card 8101  df-cda 8329  df-pnf 9412  df-mnf 9413  df-xr 9414  df-ltxr 9415  df-le 9416  df-sub 9589  df-neg 9590  df-nn 10315  df-2 10372  df-n0 10572  df-z 10639  df-uz 10854  df-fz 11430  df-fzo 11541  df-hash 12096  df-word 12221

This theorem is referenced by:  wrdlen2  12540  wwlktovfo  30206