Theorem wrdlen2i 12846

Description: Implications of a word of length 2. (Contributed by AV, 27-Jul-2018.) (Proof shortened by AV, 14-Oct-2018.)

Assertion

Ref	Expression
wrdlen2i	|- ( ( S e. V /\ T e. V ) -> ( W = { <. 0 , S >. , <. 1 , T >. } -> ( ( W e. Word V /\ ( # ` W ) = 2 ) /\ ( ( W ` 0 ) = S /\ ( W ` 1 ) = T ) ) ) )

Proof of Theorem wrdlen2i

Step	Hyp	Ref	Expression
1		c0ex 9589	. . . . . . . 8 |- 0 e. _V
2		1ex 9590	. . . . . . . 8 |- 1 e. _V
3	1, 2	pm3.2i 455	. . . . . . 7 |- ( 0 e. _V /\ 1 e. _V )
4	3	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ( ( S e. V /\ T e. V ) /\ W = { <. 0 , S >. , <. 1 , T >. } ) -> ( 0 e. _V /\ 1 e. _V ) )
5		simpl 457	. . . . . 6 |- ( ( ( S e. V /\ T e. V ) /\ W = { <. 0 , S >. , <. 1 , T >. } ) -> ( S e. V /\ T e. V ) )
6		0ne1 10602	. . . . . . 7 |- 0 =/= 1
7	6	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ( ( S e. V /\ T e. V ) /\ W = { <. 0 , S >. , <. 1 , T >. } ) -> 0 =/= 1 )
8		fprg 6069	. . . . . 6 |- ( ( ( 0 e. _V /\ 1 e. _V ) /\ ( S e. V /\ T e. V ) /\ 0 =/= 1 ) -> { <. 0 , S >. , <. 1 , T >. } : { 0 , 1 } --> { S , T } )
9	4, 5, 7, 8	syl3anc 1228	. . . . 5 |- ( ( ( S e. V /\ T e. V ) /\ W = { <. 0 , S >. , <. 1 , T >. } ) -> { <. 0 , S >. , <. 1 , T >. } : { 0 , 1 } --> { S , T } )
10		fzo0to2pr 11866	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( 0..^ 2 ) = { 0 , 1 }
11	10	eqcomi 2480	. . . . . . . . . . . . 13 |- { 0 , 1 } = ( 0..^ 2 )
12	11	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( S e. V /\ T e. V ) -> { 0 , 1 } = ( 0..^ 2 ) )
13	12	feq2d 5717	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( S e. V /\ T e. V ) -> ( { <. 0 , S >. , <. 1 , T >. } : { 0 , 1 } --> { S , T } <-> { <. 0 , S >. , <. 1 , T >. } : ( 0..^ 2 ) --> { S , T } ) )
14	13	biimpa 484	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( S e. V /\ T e. V ) /\ { <. 0 , S >. , <. 1 , T >. } : { 0 , 1 } --> { S , T } ) -> { <. 0 , S >. , <. 1 , T >. } : ( 0..^ 2 ) --> { S , T } )
15		prssi 4183	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( S e. V /\ T e. V ) -> { S , T } C_ V )
16	15	adantr 465	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( S e. V /\ T e. V ) /\ { <. 0 , S >. , <. 1 , T >. } : { 0 , 1 } --> { S , T } ) -> { S , T } C_ V )
17		fss 5738	. . . . . . . . . 10 |- ( ( { <. 0 , S >. , <. 1 , T >. } : ( 0..^ 2 ) --> { S , T } /\ { S , T } C_ V ) -> { <. 0 , S >. , <. 1 , T >. } : ( 0..^ 2 ) --> V )
18	14, 16, 17	syl2anc 661	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( S e. V /\ T e. V ) /\ { <. 0 , S >. , <. 1 , T >. } : { 0 , 1 } --> { S , T } ) -> { <. 0 , S >. , <. 1 , T >. } : ( 0..^ 2 ) --> V )
19	18	ex 434	. . . . . . . 8 |- ( ( S e. V /\ T e. V ) -> ( { <. 0 , S >. , <. 1 , T >. } : { 0 , 1 } --> { S , T } -> { <. 0 , S >. , <. 1 , T >. } : ( 0..^ 2 ) --> V ) )
20	19	adantr 465	. . . . . . 7 |- ( ( ( S e. V /\ T e. V ) /\ W = { <. 0 , S >. , <. 1 , T >. } ) -> ( { <. 0 , S >. , <. 1 , T >. } : { 0 , 1 } --> { S , T } -> { <. 0 , S >. , <. 1 , T >. } : ( 0..^ 2 ) --> V ) )
21	20	impcom 430	. . . . . 6 |- ( ( { <. 0 , S >. , <. 1 , T >. } : { 0 , 1 } --> { S , T } /\ ( ( S e. V /\ T e. V ) /\ W = { <. 0 , S >. , <. 1 , T >. } ) ) -> { <. 0 , S >. , <. 1 , T >. } : ( 0..^ 2 ) --> V )
22		feq1 5712	. . . . . . . 8 |- ( W = { <. 0 , S >. , <. 1 , T >. } -> ( W : ( 0..^ 2 ) --> V <-> { <. 0 , S >. , <. 1 , T >. } : ( 0..^ 2 ) --> V ) )
23	22	adantl 466	. . . . . . 7 |- ( ( ( S e. V /\ T e. V ) /\ W = { <. 0 , S >. , <. 1 , T >. } ) -> ( W : ( 0..^ 2 ) --> V <-> { <. 0 , S >. , <. 1 , T >. } : ( 0..^ 2 ) --> V ) )
24	23	adantl 466	. . . . . 6 |- ( ( { <. 0 , S >. , <. 1 , T >. } : { 0 , 1 } --> { S , T } /\ ( ( S e. V /\ T e. V ) /\ W = { <. 0 , S >. , <. 1 , T >. } ) ) -> ( W : ( 0..^ 2 ) --> V <-> { <. 0 , S >. , <. 1 , T >. } : ( 0..^ 2 ) --> V ) )
25	21, 24	mpbird 232	. . . . 5 |- ( ( { <. 0 , S >. , <. 1 , T >. } : { 0 , 1 } --> { S , T } /\ ( ( S e. V /\ T e. V ) /\ W = { <. 0 , S >. , <. 1 , T >. } ) ) -> W : ( 0..^ 2 ) --> V )
26	9, 25	mpancom 669	. . . 4 |- ( ( ( S e. V /\ T e. V ) /\ W = { <. 0 , S >. , <. 1 , T >. } ) -> W : ( 0..^ 2 ) --> V )
27		iswrdi 12517	. . . 4 |- ( W : ( 0..^ 2 ) --> V -> W e. Word V )
28	26, 27	syl 16	. . 3 |- ( ( ( S e. V /\ T e. V ) /\ W = { <. 0 , S >. , <. 1 , T >. } ) -> W e. Word V )
29		fveq2 5865	. . . 4 |- ( W = { <. 0 , S >. , <. 1 , T >. } -> ( # ` W ) = ( # ` { <. 0 , S >. , <. 1 , T >. } ) )
30	6	neii 2666	. . . . . . 7 |- -. 0 = 1
31	1	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ( S e. V /\ T e. V ) -> 0 e. _V )
32		simpl 457	. . . . . . . 8 |- ( ( S e. V /\ T e. V ) -> S e. V )
33		opth1g 4723	. . . . . . . 8 |- ( ( 0 e. _V /\ S e. V ) -> ( <. 0 , S >. = <. 1 , T >. -> 0 = 1 ) )
34	31, 32, 33	syl2anc 661	. . . . . . 7 |- ( ( S e. V /\ T e. V ) -> ( <. 0 , S >. = <. 1 , T >. -> 0 = 1 ) )
35	30, 34	mtoi 178	. . . . . 6 |- ( ( S e. V /\ T e. V ) -> -. <. 0 , S >. = <. 1 , T >. )
36	35	neqned 2670	. . . . 5 |- ( ( S e. V /\ T e. V ) -> <. 0 , S >. =/= <. 1 , T >. )
37		opex 4711	. . . . . . 7 |- <. 0 , S >. e. _V
38		opex 4711	. . . . . . 7 |- <. 1 , T >. e. _V
39	37, 38	pm3.2i 455	. . . . . 6 |- ( <. 0 , S >. e. _V /\ <. 1 , T >. e. _V )
40		hashprg 12427	. . . . . 6 |- ( ( <. 0 , S >. e. _V /\ <. 1 , T >. e. _V ) -> ( <. 0 , S >. =/= <. 1 , T >. <-> ( # ` { <. 0 , S >. , <. 1 , T >. } ) = 2 ) )
41	39, 40	mp1i 12	. . . . 5 |- ( ( S e. V /\ T e. V ) -> ( <. 0 , S >. =/= <. 1 , T >. <-> ( # ` { <. 0 , S >. , <. 1 , T >. } ) = 2 ) )
42	36, 41	mpbid 210	. . . 4 |- ( ( S e. V /\ T e. V ) -> ( # ` { <. 0 , S >. , <. 1 , T >. } ) = 2 )
43	29, 42	sylan9eqr 2530	. . 3 |- ( ( ( S e. V /\ T e. V ) /\ W = { <. 0 , S >. , <. 1 , T >. } ) -> ( # ` W ) = 2 )
44	6	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ( S e. V /\ T e. V ) -> 0 =/= 1 )
45		fvpr1g 6105	. . . . . . 7 |- ( ( 0 e. _V /\ S e. V /\ 0 =/= 1 ) -> ( { <. 0 , S >. , <. 1 , T >. } ` 0 ) = S )
46	31, 32, 44, 45	syl3anc 1228	. . . . . 6 |- ( ( S e. V /\ T e. V ) -> ( { <. 0 , S >. , <. 1 , T >. } ` 0 ) = S )
47	2	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ( S e. V /\ T e. V ) -> 1 e. _V )
48		simpr 461	. . . . . . 7 |- ( ( S e. V /\ T e. V ) -> T e. V )
49		fvpr2g 6106	. . . . . . 7 |- ( ( 1 e. _V /\ T e. V /\ 0 =/= 1 ) -> ( { <. 0 , S >. , <. 1 , T >. } ` 1 ) = T )
50	47, 48, 44, 49	syl3anc 1228	. . . . . 6 |- ( ( S e. V /\ T e. V ) -> ( { <. 0 , S >. , <. 1 , T >. } ` 1 ) = T )
51	46, 50	jca 532	. . . . 5 |- ( ( S e. V /\ T e. V ) -> ( ( { <. 0 , S >. , <. 1 , T >. } ` 0 ) = S /\ ( { <. 0 , S >. , <. 1 , T >. } ` 1 ) = T ) )
52	51	adantr 465	. . . 4 |- ( ( ( S e. V /\ T e. V ) /\ W = { <. 0 , S >. , <. 1 , T >. } ) -> ( ( { <. 0 , S >. , <. 1 , T >. } ` 0 ) = S /\ ( { <. 0 , S >. , <. 1 , T >. } ` 1 ) = T ) )
53		fveq1 5864	. . . . . . 7 |- ( W = { <. 0 , S >. , <. 1 , T >. } -> ( W ` 0 ) = ( { <. 0 , S >. , <. 1 , T >. } ` 0 ) )
54	53	eqeq1d 2469	. . . . . 6 |- ( W = { <. 0 , S >. , <. 1 , T >. } -> ( ( W ` 0 ) = S <-> ( { <. 0 , S >. , <. 1 , T >. } ` 0 ) = S ) )
55		fveq1 5864	. . . . . . 7 |- ( W = { <. 0 , S >. , <. 1 , T >. } -> ( W ` 1 ) = ( { <. 0 , S >. , <. 1 , T >. } ` 1 ) )
56	55	eqeq1d 2469	. . . . . 6 |- ( W = { <. 0 , S >. , <. 1 , T >. } -> ( ( W ` 1 ) = T <-> ( { <. 0 , S >. , <. 1 , T >. } ` 1 ) = T ) )
57	54, 56	anbi12d 710	. . . . 5 |- ( W = { <. 0 , S >. , <. 1 , T >. } -> ( ( ( W ` 0 ) = S /\ ( W ` 1 ) = T ) <-> ( ( { <. 0 , S >. , <. 1 , T >. } ` 0 ) = S /\ ( { <. 0 , S >. , <. 1 , T >. } ` 1 ) = T ) ) )
58	57	adantl 466	. . . 4 |- ( ( ( S e. V /\ T e. V ) /\ W = { <. 0 , S >. , <. 1 , T >. } ) -> ( ( ( W ` 0 ) = S /\ ( W ` 1 ) = T ) <-> ( ( { <. 0 , S >. , <. 1 , T >. } ` 0 ) = S /\ ( { <. 0 , S >. , <. 1 , T >. } ` 1 ) = T ) ) )
59	52, 58	mpbird 232	. . 3 |- ( ( ( S e. V /\ T e. V ) /\ W = { <. 0 , S >. , <. 1 , T >. } ) -> ( ( W ` 0 ) = S /\ ( W ` 1 ) = T ) )
60	28, 43, 59	jca31 534	. 2 |- ( ( ( S e. V /\ T e. V ) /\ W = { <. 0 , S >. , <. 1 , T >. } ) -> ( ( W e. Word V /\ ( # ` W ) = 2 ) /\ ( ( W ` 0 ) = S /\ ( W ` 1 ) = T ) ) )
61	60	ex 434	1 |- ( ( S e. V /\ T e. V ) -> ( W = { <. 0 , S >. , <. 1 , T >. } -> ( ( W e. Word V /\ ( # ` W ) = 2 ) /\ ( ( W ` 0 ) = S /\ ( W ` 1 ) = T ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   = wceq 1379   e. wcel 1767   =/= wne 2662   _Vcvv 3113   C_ wss 3476   {cpr 4029   <.cop 4033   -->wf 5583   ` cfv 5587  (class class class)co 6283   0cc0 9491   1c1 9492   2c2 10584  ..^cfzo 11791   #chash 12372  Word cword 12499

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6575  ax-cnex 9547  ax-resscn 9548  ax-1cn 9549  ax-icn 9550  ax-addcl 9551  ax-addrcl 9552  ax-mulcl 9553  ax-mulrcl 9554  ax-mulcom 9555  ax-addass 9556  ax-mulass 9557  ax-distr 9558  ax-i2m1 9559  ax-1ne0 9560  ax-1rid 9561  ax-rnegex 9562  ax-rrecex 9563  ax-cnre 9564  ax-pre-lttri 9565  ax-pre-lttrn 9566  ax-pre-ltadd 9567  ax-pre-mulgt0 9568

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5550  df-fun 5589  df-fn 5590  df-f 5591  df-f1 5592  df-fo 5593  df-f1o 5594  df-fv 5595  df-riota 6244  df-ov 6286  df-oprab 6287  df-mpt2 6288  df-om 6680  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-recs 7042  df-rdg 7076  df-1o 7130  df-oadd 7134  df-er 7311  df-en 7517  df-dom 7518  df-sdom 7519  df-fin 7520  df-card 8319  df-cda 8547  df-pnf 9629  df-mnf 9630  df-xr 9631  df-ltxr 9632  df-le 9633  df-sub 9806  df-neg 9807  df-nn 10536  df-2 10593  df-n0 10795  df-z 10864  df-uz 11082  df-fz 11672  df-fzo 11792  df-hash 12373  df-word 12507

This theorem is referenced by:  wrdlen2  12848  wwlktovfo  12858