MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  wrdlen2i Structured version   Unicode version

Theorem wrdlen2i 12538
Description: Implications of a word of length 2. (Contributed by AV, 27-Jul-2018.) (Proof shortened by AV, 14-Oct-2018.)
Assertion
Ref Expression
wrdlen2i  |-  ( ( S  e.  V  /\  T  e.  V )  ->  ( W  =  { <. 0 ,  S >. , 
<. 1 ,  T >. }  ->  ( ( W  e. Word  V  /\  ( # `
 W )  =  2 )  /\  (
( W `  0
)  =  S  /\  ( W `  1 )  =  T ) ) ) )

Proof of Theorem wrdlen2i
StepHypRef Expression
1 c0ex 9372 . . . . . . . 8  |-  0  e.  _V
2 1ex 9373 . . . . . . . 8  |-  1  e.  _V
31, 2pm3.2i 455 . . . . . . 7  |-  ( 0  e.  _V  /\  1  e.  _V )
43a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( ( S  e.  V  /\  T  e.  V
)  /\  W  =  { <. 0 ,  S >. ,  <. 1 ,  T >. } )  ->  (
0  e.  _V  /\  1  e.  _V )
)
5 simpl 457 . . . . . 6  |-  ( ( ( S  e.  V  /\  T  e.  V
)  /\  W  =  { <. 0 ,  S >. ,  <. 1 ,  T >. } )  ->  ( S  e.  V  /\  T  e.  V )
)
6 0ne1 10381 . . . . . . 7  |-  0  =/=  1
76a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( ( S  e.  V  /\  T  e.  V
)  /\  W  =  { <. 0 ,  S >. ,  <. 1 ,  T >. } )  ->  0  =/=  1 )
8 fprg 5886 . . . . . 6  |-  ( ( ( 0  e.  _V  /\  1  e.  _V )  /\  ( S  e.  V  /\  T  e.  V
)  /\  0  =/=  1 )  ->  { <. 0 ,  S >. , 
<. 1 ,  T >. } : { 0 ,  1 } --> { S ,  T } )
94, 5, 7, 8syl3anc 1218 . . . . 5  |-  ( ( ( S  e.  V  /\  T  e.  V
)  /\  W  =  { <. 0 ,  S >. ,  <. 1 ,  T >. } )  ->  { <. 0 ,  S >. , 
<. 1 ,  T >. } : { 0 ,  1 } --> { S ,  T } )
10 fzo0to2pr 11606 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 0..^ 2 )  =  {
0 ,  1 }
1110eqcomi 2442 . . . . . . . . . . . . 13  |-  { 0 ,  1 }  =  ( 0..^ 2 )
1211a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( S  e.  V  /\  T  e.  V )  ->  { 0 ,  1 }  =  ( 0..^ 2 ) )
1312feq2d 5542 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( S  e.  V  /\  T  e.  V )  ->  ( { <. 0 ,  S >. ,  <. 1 ,  T >. } : {
0 ,  1 } --> { S ,  T } 
<->  { <. 0 ,  S >. ,  <. 1 ,  T >. } : ( 0..^ 2 ) --> { S ,  T } ) )
1413biimpa 484 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( S  e.  V  /\  T  e.  V
)  /\  { <. 0 ,  S >. ,  <. 1 ,  T >. } : {
0 ,  1 } --> { S ,  T } )  ->  { <. 0 ,  S >. , 
<. 1 ,  T >. } : ( 0..^ 2 ) --> { S ,  T } )
15 prssi 4024 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( S  e.  V  /\  T  e.  V )  ->  { S ,  T }  C_  V )
1615adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( S  e.  V  /\  T  e.  V
)  /\  { <. 0 ,  S >. ,  <. 1 ,  T >. } : {
0 ,  1 } --> { S ,  T } )  ->  { S ,  T }  C_  V
)
17 fss 5562 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( { <. 0 ,  S >. ,  <. 1 ,  T >. } : ( 0..^ 2 ) --> { S ,  T }  /\  { S ,  T }  C_  V )  ->  { <. 0 ,  S >. , 
<. 1 ,  T >. } : ( 0..^ 2 ) --> V )
1814, 16, 17syl2anc 661 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( S  e.  V  /\  T  e.  V
)  /\  { <. 0 ,  S >. ,  <. 1 ,  T >. } : {
0 ,  1 } --> { S ,  T } )  ->  { <. 0 ,  S >. , 
<. 1 ,  T >. } : ( 0..^ 2 ) --> V )
1918ex 434 . . . . . . . 8  |-  ( ( S  e.  V  /\  T  e.  V )  ->  ( { <. 0 ,  S >. ,  <. 1 ,  T >. } : {
0 ,  1 } --> { S ,  T }  ->  { <. 0 ,  S >. ,  <. 1 ,  T >. } : ( 0..^ 2 ) --> V ) )
2019adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( ( ( S  e.  V  /\  T  e.  V
)  /\  W  =  { <. 0 ,  S >. ,  <. 1 ,  T >. } )  ->  ( { <. 0 ,  S >. ,  <. 1 ,  T >. } : { 0 ,  1 } --> { S ,  T }  ->  { <. 0 ,  S >. , 
<. 1 ,  T >. } : ( 0..^ 2 ) --> V ) )
2120impcom 430 . . . . . 6  |-  ( ( { <. 0 ,  S >. ,  <. 1 ,  T >. } : { 0 ,  1 } --> { S ,  T }  /\  (
( S  e.  V  /\  T  e.  V
)  /\  W  =  { <. 0 ,  S >. ,  <. 1 ,  T >. } ) )  ->  { <. 0 ,  S >. ,  <. 1 ,  T >. } : ( 0..^ 2 ) --> V )
22 feq1 5537 . . . . . . . 8  |-  ( W  =  { <. 0 ,  S >. ,  <. 1 ,  T >. }  ->  ( W : ( 0..^ 2 ) --> V  <->  { <. 0 ,  S >. ,  <. 1 ,  T >. } : ( 0..^ 2 ) --> V ) )
2322adantl 466 . . . . . . 7  |-  ( ( ( S  e.  V  /\  T  e.  V
)  /\  W  =  { <. 0 ,  S >. ,  <. 1 ,  T >. } )  ->  ( W : ( 0..^ 2 ) --> V  <->  { <. 0 ,  S >. ,  <. 1 ,  T >. } : ( 0..^ 2 ) --> V ) )
2423adantl 466 . . . . . 6  |-  ( ( { <. 0 ,  S >. ,  <. 1 ,  T >. } : { 0 ,  1 } --> { S ,  T }  /\  (
( S  e.  V  /\  T  e.  V
)  /\  W  =  { <. 0 ,  S >. ,  <. 1 ,  T >. } ) )  -> 
( W : ( 0..^ 2 ) --> V  <->  { <. 0 ,  S >. ,  <. 1 ,  T >. } : ( 0..^ 2 ) --> V ) )
2521, 24mpbird 232 . . . . 5  |-  ( ( { <. 0 ,  S >. ,  <. 1 ,  T >. } : { 0 ,  1 } --> { S ,  T }  /\  (
( S  e.  V  /\  T  e.  V
)  /\  W  =  { <. 0 ,  S >. ,  <. 1 ,  T >. } ) )  ->  W : ( 0..^ 2 ) --> V )
269, 25mpancom 669 . . . 4  |-  ( ( ( S  e.  V  /\  T  e.  V
)  /\  W  =  { <. 0 ,  S >. ,  <. 1 ,  T >. } )  ->  W : ( 0..^ 2 ) --> V )
27 iswrdi 12231 . . . 4  |-  ( W : ( 0..^ 2 ) --> V  ->  W  e. Word  V )
2826, 27syl 16 . . 3  |-  ( ( ( S  e.  V  /\  T  e.  V
)  /\  W  =  { <. 0 ,  S >. ,  <. 1 ,  T >. } )  ->  W  e. Word  V )
29 fveq2 5686 . . . 4  |-  ( W  =  { <. 0 ,  S >. ,  <. 1 ,  T >. }  ->  ( # `
 W )  =  ( # `  { <. 0 ,  S >. , 
<. 1 ,  T >. } ) )
306neii 2605 . . . . . . 7  |-  -.  0  =  1
311a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ( S  e.  V  /\  T  e.  V )  ->  0  e.  _V )
32 simpl 457 . . . . . . . 8  |-  ( ( S  e.  V  /\  T  e.  V )  ->  S  e.  V )
33 opth1g 4563 . . . . . . . 8  |-  ( ( 0  e.  _V  /\  S  e.  V )  ->  ( <. 0 ,  S >.  =  <. 1 ,  T >.  ->  0  =  1 ) )
3431, 32, 33syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( ( S  e.  V  /\  T  e.  V )  ->  ( <. 0 ,  S >.  =  <. 1 ,  T >.  ->  0  =  1 ) )
3530, 34mtoi 178 . . . . . 6  |-  ( ( S  e.  V  /\  T  e.  V )  ->  -.  <. 0 ,  S >.  =  <. 1 ,  T >. )
3635neneqad 2676 . . . . 5  |-  ( ( S  e.  V  /\  T  e.  V )  -> 
<. 0 ,  S >.  =/=  <. 1 ,  T >. )
37 opex 4551 . . . . . . 7  |-  <. 0 ,  S >.  e.  _V
38 opex 4551 . . . . . . 7  |-  <. 1 ,  T >.  e.  _V
3937, 38pm3.2i 455 . . . . . 6  |-  ( <.
0 ,  S >.  e. 
_V  /\  <. 1 ,  T >.  e.  _V )
40 hashprg 12147 . . . . . 6  |-  ( (
<. 0 ,  S >.  e.  _V  /\  <. 1 ,  T >.  e. 
_V )  ->  ( <. 0 ,  S >.  =/= 
<. 1 ,  T >.  <-> 
( # `  { <. 0 ,  S >. , 
<. 1 ,  T >. } )  =  2 ) )
4139, 40mp1i 12 . . . . 5  |-  ( ( S  e.  V  /\  T  e.  V )  ->  ( <. 0 ,  S >.  =/=  <. 1 ,  T >.  <-> 
( # `  { <. 0 ,  S >. , 
<. 1 ,  T >. } )  =  2 ) )
4236, 41mpbid 210 . . . 4  |-  ( ( S  e.  V  /\  T  e.  V )  ->  ( # `  { <. 0 ,  S >. , 
<. 1 ,  T >. } )  =  2 )
4329, 42sylan9eqr 2492 . . 3  |-  ( ( ( S  e.  V  /\  T  e.  V
)  /\  W  =  { <. 0 ,  S >. ,  <. 1 ,  T >. } )  ->  ( # `
 W )  =  2 )
446a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( S  e.  V  /\  T  e.  V )  ->  0  =/=  1 )
45 fvpr1g 5918 . . . . . . 7  |-  ( ( 0  e.  _V  /\  S  e.  V  /\  0  =/=  1 )  -> 
( { <. 0 ,  S >. ,  <. 1 ,  T >. } `  0
)  =  S )
4631, 32, 44, 45syl3anc 1218 . . . . . 6  |-  ( ( S  e.  V  /\  T  e.  V )  ->  ( { <. 0 ,  S >. ,  <. 1 ,  T >. } `  0
)  =  S )
472a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( S  e.  V  /\  T  e.  V )  ->  1  e.  _V )
48 simpr 461 . . . . . . 7  |-  ( ( S  e.  V  /\  T  e.  V )  ->  T  e.  V )
49 fvpr2g 5919 . . . . . . 7  |-  ( ( 1  e.  _V  /\  T  e.  V  /\  0  =/=  1 )  -> 
( { <. 0 ,  S >. ,  <. 1 ,  T >. } `  1
)  =  T )
5047, 48, 44, 49syl3anc 1218 . . . . . 6  |-  ( ( S  e.  V  /\  T  e.  V )  ->  ( { <. 0 ,  S >. ,  <. 1 ,  T >. } `  1
)  =  T )
5146, 50jca 532 . . . . 5  |-  ( ( S  e.  V  /\  T  e.  V )  ->  ( ( { <. 0 ,  S >. , 
<. 1 ,  T >. } `  0 )  =  S  /\  ( { <. 0 ,  S >. ,  <. 1 ,  T >. } `  1 )  =  T ) )
5251adantr 465 . . . 4  |-  ( ( ( S  e.  V  /\  T  e.  V
)  /\  W  =  { <. 0 ,  S >. ,  <. 1 ,  T >. } )  ->  (
( { <. 0 ,  S >. ,  <. 1 ,  T >. } `  0
)  =  S  /\  ( { <. 0 ,  S >. ,  <. 1 ,  T >. } `  1 )  =  T ) )
53 fveq1 5685 . . . . . . 7  |-  ( W  =  { <. 0 ,  S >. ,  <. 1 ,  T >. }  ->  ( W `  0 )  =  ( { <. 0 ,  S >. , 
<. 1 ,  T >. } `  0 ) )
5453eqeq1d 2446 . . . . . 6  |-  ( W  =  { <. 0 ,  S >. ,  <. 1 ,  T >. }  ->  (
( W `  0
)  =  S  <->  ( { <. 0 ,  S >. , 
<. 1 ,  T >. } `  0 )  =  S ) )
55 fveq1 5685 . . . . . . 7  |-  ( W  =  { <. 0 ,  S >. ,  <. 1 ,  T >. }  ->  ( W `  1 )  =  ( { <. 0 ,  S >. , 
<. 1 ,  T >. } `  1 ) )
5655eqeq1d 2446 . . . . . 6  |-  ( W  =  { <. 0 ,  S >. ,  <. 1 ,  T >. }  ->  (
( W `  1
)  =  T  <->  ( { <. 0 ,  S >. , 
<. 1 ,  T >. } `  1 )  =  T ) )
5754, 56anbi12d 710 . . . . 5  |-  ( W  =  { <. 0 ,  S >. ,  <. 1 ,  T >. }  ->  (
( ( W ` 
0 )  =  S  /\  ( W ` 
1 )  =  T )  <->  ( ( {
<. 0 ,  S >. ,  <. 1 ,  T >. } `  0 )  =  S  /\  ( { <. 0 ,  S >. ,  <. 1 ,  T >. } `  1 )  =  T ) ) )
5857adantl 466 . . . 4  |-  ( ( ( S  e.  V  /\  T  e.  V
)  /\  W  =  { <. 0 ,  S >. ,  <. 1 ,  T >. } )  ->  (
( ( W ` 
0 )  =  S  /\  ( W ` 
1 )  =  T )  <->  ( ( {
<. 0 ,  S >. ,  <. 1 ,  T >. } `  0 )  =  S  /\  ( { <. 0 ,  S >. ,  <. 1 ,  T >. } `  1 )  =  T ) ) )
5952, 58mpbird 232 . . 3  |-  ( ( ( S  e.  V  /\  T  e.  V
)  /\  W  =  { <. 0 ,  S >. ,  <. 1 ,  T >. } )  ->  (
( W `  0
)  =  S  /\  ( W `  1 )  =  T ) )
6028, 43, 59jca31 534 . 2  |-  ( ( ( S  e.  V  /\  T  e.  V
)  /\  W  =  { <. 0 ,  S >. ,  <. 1 ,  T >. } )  ->  (
( W  e. Word  V  /\  ( # `  W
)  =  2 )  /\  ( ( W `
 0 )  =  S  /\  ( W `
 1 )  =  T ) ) )
6160ex 434 1  |-  ( ( S  e.  V  /\  T  e.  V )  ->  ( W  =  { <. 0 ,  S >. , 
<. 1 ,  T >. }  ->  ( ( W  e. Word  V  /\  ( # `
 W )  =  2 )  /\  (
( W `  0
)  =  S  /\  ( W `  1 )  =  T ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756    =/= wne 2601   _Vcvv 2967    C_ wss 3323   {cpr 3874   <.cop 3878   -->wf 5409   ` cfv 5413  (class class class)co 6086   0cc0 9274   1c1 9275   2c2 10363  ..^cfzo 11540   #chash 12095  Word cword 12213
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2419  ax-rep 4398  ax-sep 4408  ax-nul 4416  ax-pow 4465  ax-pr 4526  ax-un 6367  ax-cnex 9330  ax-resscn 9331  ax-1cn 9332  ax-icn 9333  ax-addcl 9334  ax-addrcl 9335  ax-mulcl 9336  ax-mulrcl 9337  ax-mulcom 9338  ax-addass 9339  ax-mulass 9340  ax-distr 9341  ax-i2m1 9342  ax-1ne0 9343  ax-1rid 9344  ax-rnegex 9345  ax-rrecex 9346  ax-cnre 9347  ax-pre-lttri 9348  ax-pre-lttrn 9349  ax-pre-ltadd 9350  ax-pre-mulgt0 9351
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2256  df-mo 2257  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2715  df-rex 2716  df-reu 2717  df-rmo 2718  df-rab 2719  df-v 2969  df-sbc 3182  df-csb 3284  df-dif 3326  df-un 3328  df-in 3330  df-ss 3337  df-pss 3339  df-nul 3633  df-if 3787  df-pw 3857  df-sn 3873  df-pr 3875  df-tp 3877  df-op 3879  df-uni 4087  df-int 4124  df-iun 4168  df-br 4288  df-opab 4346  df-mpt 4347  df-tr 4381  df-eprel 4627  df-id 4631  df-po 4636  df-so 4637  df-fr 4674  df-we 4676  df-ord 4717  df-on 4718  df-lim 4719  df-suc 4720  df-xp 4841  df-rel 4842  df-cnv 4843  df-co 4844  df-dm 4845  df-rn 4846  df-res 4847  df-ima 4848  df-iota 5376  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-riota 6047  df-ov 6089  df-oprab 6090  df-mpt2 6091  df-om 6472  df-1st 6572  df-2nd 6573  df-recs 6824  df-rdg 6858  df-1o 6912  df-oadd 6916  df-er 7093  df-en 7303  df-dom 7304  df-sdom 7305  df-fin 7306  df-card 8101  df-cda 8329  df-pnf 9412  df-mnf 9413  df-xr 9414  df-ltxr 9415  df-le 9416  df-sub 9589  df-neg 9590  df-nn 10315  df-2 10372  df-n0 10572  df-z 10639  df-uz 10854  df-fz 11430  df-fzo 11541  df-hash 12096  df-word 12221
This theorem is referenced by:  wrdlen2  12540  wwlktovfo  30206
  Copyright terms: Public domain W3C validator