Theorem wrdlen2i 13014

Description: Implications of a word of length 2. (Contributed by AV, 27-Jul-2018.) (Proof shortened by AV, 14-Oct-2018.)

Assertion

Ref	Expression
wrdlen2i	|- ( ( S e. V /\ T e. V ) -> ( W = { <. 0 , S >. , <. 1 , T >. } -> ( ( W e. Word V /\ ( # ` W ) = 2 ) /\ ( ( W ` 0 ) = S /\ ( W ` 1 ) = T ) ) ) )

Proof of Theorem wrdlen2i

Step	Hyp	Ref	Expression
1		c0ex 9634	. . . . . . . 8 |- 0 e. _V
2		1ex 9635	. . . . . . . 8 |- 1 e. _V
3	1, 2	pm3.2i 457	. . . . . . 7 |- ( 0 e. _V /\ 1 e. _V )
4	3	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ( ( S e. V /\ T e. V ) /\ W = { <. 0 , S >. , <. 1 , T >. } ) -> ( 0 e. _V /\ 1 e. _V ) )
5		simpl 459	. . . . . 6 |- ( ( ( S e. V /\ T e. V ) /\ W = { <. 0 , S >. , <. 1 , T >. } ) -> ( S e. V /\ T e. V ) )
6		0ne1 10674	. . . . . . 7 |- 0 =/= 1
7	6	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ( ( S e. V /\ T e. V ) /\ W = { <. 0 , S >. , <. 1 , T >. } ) -> 0 =/= 1 )
8		fprg 6071	. . . . . 6 |- ( ( ( 0 e. _V /\ 1 e. _V ) /\ ( S e. V /\ T e. V ) /\ 0 =/= 1 ) -> { <. 0 , S >. , <. 1 , T >. } : { 0 , 1 } --> { S , T } )
9	4, 5, 7, 8	syl3anc 1267	. . . . 5 |- ( ( ( S e. V /\ T e. V ) /\ W = { <. 0 , S >. , <. 1 , T >. } ) -> { <. 0 , S >. , <. 1 , T >. } : { 0 , 1 } --> { S , T } )
10		fzo0to2pr 11995	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( 0..^ 2 ) = { 0 , 1 }
11	10	eqcomi 2459	. . . . . . . . . . . . 13 |- { 0 , 1 } = ( 0..^ 2 )
12	11	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( S e. V /\ T e. V ) -> { 0 , 1 } = ( 0..^ 2 ) )
13	12	feq2d 5713	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( S e. V /\ T e. V ) -> ( { <. 0 , S >. , <. 1 , T >. } : { 0 , 1 } --> { S , T } <-> { <. 0 , S >. , <. 1 , T >. } : ( 0..^ 2 ) --> { S , T } ) )
14	13	biimpa 487	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( S e. V /\ T e. V ) /\ { <. 0 , S >. , <. 1 , T >. } : { 0 , 1 } --> { S , T } ) -> { <. 0 , S >. , <. 1 , T >. } : ( 0..^ 2 ) --> { S , T } )
15		prssi 4127	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( S e. V /\ T e. V ) -> { S , T } C_ V )
16	15	adantr 467	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( S e. V /\ T e. V ) /\ { <. 0 , S >. , <. 1 , T >. } : { 0 , 1 } --> { S , T } ) -> { S , T } C_ V )
17	14, 16	fssd 5736	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( S e. V /\ T e. V ) /\ { <. 0 , S >. , <. 1 , T >. } : { 0 , 1 } --> { S , T } ) -> { <. 0 , S >. , <. 1 , T >. } : ( 0..^ 2 ) --> V )
18	17	ex 436	. . . . . . . 8 |- ( ( S e. V /\ T e. V ) -> ( { <. 0 , S >. , <. 1 , T >. } : { 0 , 1 } --> { S , T } -> { <. 0 , S >. , <. 1 , T >. } : ( 0..^ 2 ) --> V ) )
19	18	adantr 467	. . . . . . 7 |- ( ( ( S e. V /\ T e. V ) /\ W = { <. 0 , S >. , <. 1 , T >. } ) -> ( { <. 0 , S >. , <. 1 , T >. } : { 0 , 1 } --> { S , T } -> { <. 0 , S >. , <. 1 , T >. } : ( 0..^ 2 ) --> V ) )
20	19	impcom 432	. . . . . 6 |- ( ( { <. 0 , S >. , <. 1 , T >. } : { 0 , 1 } --> { S , T } /\ ( ( S e. V /\ T e. V ) /\ W = { <. 0 , S >. , <. 1 , T >. } ) ) -> { <. 0 , S >. , <. 1 , T >. } : ( 0..^ 2 ) --> V )
21		feq1 5708	. . . . . . . 8 |- ( W = { <. 0 , S >. , <. 1 , T >. } -> ( W : ( 0..^ 2 ) --> V <-> { <. 0 , S >. , <. 1 , T >. } : ( 0..^ 2 ) --> V ) )
22	21	adantl 468	. . . . . . 7 |- ( ( ( S e. V /\ T e. V ) /\ W = { <. 0 , S >. , <. 1 , T >. } ) -> ( W : ( 0..^ 2 ) --> V <-> { <. 0 , S >. , <. 1 , T >. } : ( 0..^ 2 ) --> V ) )
23	22	adantl 468	. . . . . 6 |- ( ( { <. 0 , S >. , <. 1 , T >. } : { 0 , 1 } --> { S , T } /\ ( ( S e. V /\ T e. V ) /\ W = { <. 0 , S >. , <. 1 , T >. } ) ) -> ( W : ( 0..^ 2 ) --> V <-> { <. 0 , S >. , <. 1 , T >. } : ( 0..^ 2 ) --> V ) )
24	20, 23	mpbird 236	. . . . 5 |- ( ( { <. 0 , S >. , <. 1 , T >. } : { 0 , 1 } --> { S , T } /\ ( ( S e. V /\ T e. V ) /\ W = { <. 0 , S >. , <. 1 , T >. } ) ) -> W : ( 0..^ 2 ) --> V )
25	9, 24	mpancom 674	. . . 4 |- ( ( ( S e. V /\ T e. V ) /\ W = { <. 0 , S >. , <. 1 , T >. } ) -> W : ( 0..^ 2 ) --> V )
26		iswrdi 12672	. . . 4 |- ( W : ( 0..^ 2 ) --> V -> W e. Word V )
27	25, 26	syl 17	. . 3 |- ( ( ( S e. V /\ T e. V ) /\ W = { <. 0 , S >. , <. 1 , T >. } ) -> W e. Word V )
28		fveq2 5863	. . . 4 |- ( W = { <. 0 , S >. , <. 1 , T >. } -> ( # ` W ) = ( # ` { <. 0 , S >. , <. 1 , T >. } ) )
29	6	neii 2625	. . . . . . 7 |- -. 0 = 1
30		simpl 459	. . . . . . . 8 |- ( ( S e. V /\ T e. V ) -> S e. V )
31		opth1g 4677	. . . . . . . 8 |- ( ( 0 e. _V /\ S e. V ) -> ( <. 0 , S >. = <. 1 , T >. -> 0 = 1 ) )
32	1, 30, 31	sylancr 668	. . . . . . 7 |- ( ( S e. V /\ T e. V ) -> ( <. 0 , S >. = <. 1 , T >. -> 0 = 1 ) )
33	29, 32	mtoi 182	. . . . . 6 |- ( ( S e. V /\ T e. V ) -> -. <. 0 , S >. = <. 1 , T >. )
34	33	neqned 2630	. . . . 5 |- ( ( S e. V /\ T e. V ) -> <. 0 , S >. =/= <. 1 , T >. )
35		opex 4663	. . . . . . 7 |- <. 0 , S >. e. _V
36		opex 4663	. . . . . . 7 |- <. 1 , T >. e. _V
37	35, 36	pm3.2i 457	. . . . . 6 |- ( <. 0 , S >. e. _V /\ <. 1 , T >. e. _V )
38		hashprg 12569	. . . . . 6 |- ( ( <. 0 , S >. e. _V /\ <. 1 , T >. e. _V ) -> ( <. 0 , S >. =/= <. 1 , T >. <-> ( # ` { <. 0 , S >. , <. 1 , T >. } ) = 2 ) )
39	37, 38	mp1i 13	. . . . 5 |- ( ( S e. V /\ T e. V ) -> ( <. 0 , S >. =/= <. 1 , T >. <-> ( # ` { <. 0 , S >. , <. 1 , T >. } ) = 2 ) )
40	34, 39	mpbid 214	. . . 4 |- ( ( S e. V /\ T e. V ) -> ( # ` { <. 0 , S >. , <. 1 , T >. } ) = 2 )
41	28, 40	sylan9eqr 2506	. . 3 |- ( ( ( S e. V /\ T e. V ) /\ W = { <. 0 , S >. , <. 1 , T >. } ) -> ( # ` W ) = 2 )
42	1	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ( S e. V /\ T e. V ) -> 0 e. _V )
43	6	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ( S e. V /\ T e. V ) -> 0 =/= 1 )
44		fvpr1g 6107	. . . . . . 7 |- ( ( 0 e. _V /\ S e. V /\ 0 =/= 1 ) -> ( { <. 0 , S >. , <. 1 , T >. } ` 0 ) = S )
45	42, 30, 43, 44	syl3anc 1267	. . . . . 6 |- ( ( S e. V /\ T e. V ) -> ( { <. 0 , S >. , <. 1 , T >. } ` 0 ) = S )
46	2	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ( S e. V /\ T e. V ) -> 1 e. _V )
47		simpr 463	. . . . . . 7 |- ( ( S e. V /\ T e. V ) -> T e. V )
48		fvpr2g 6108	. . . . . . 7 |- ( ( 1 e. _V /\ T e. V /\ 0 =/= 1 ) -> ( { <. 0 , S >. , <. 1 , T >. } ` 1 ) = T )
49	46, 47, 43, 48	syl3anc 1267	. . . . . 6 |- ( ( S e. V /\ T e. V ) -> ( { <. 0 , S >. , <. 1 , T >. } ` 1 ) = T )
50	45, 49	jca 535	. . . . 5 |- ( ( S e. V /\ T e. V ) -> ( ( { <. 0 , S >. , <. 1 , T >. } ` 0 ) = S /\ ( { <. 0 , S >. , <. 1 , T >. } ` 1 ) = T ) )
51	50	adantr 467	. . . 4 |- ( ( ( S e. V /\ T e. V ) /\ W = { <. 0 , S >. , <. 1 , T >. } ) -> ( ( { <. 0 , S >. , <. 1 , T >. } ` 0 ) = S /\ ( { <. 0 , S >. , <. 1 , T >. } ` 1 ) = T ) )
52		fveq1 5862	. . . . . . 7 |- ( W = { <. 0 , S >. , <. 1 , T >. } -> ( W ` 0 ) = ( { <. 0 , S >. , <. 1 , T >. } ` 0 ) )
53	52	eqeq1d 2452	. . . . . 6 |- ( W = { <. 0 , S >. , <. 1 , T >. } -> ( ( W ` 0 ) = S <-> ( { <. 0 , S >. , <. 1 , T >. } ` 0 ) = S ) )
54		fveq1 5862	. . . . . . 7 |- ( W = { <. 0 , S >. , <. 1 , T >. } -> ( W ` 1 ) = ( { <. 0 , S >. , <. 1 , T >. } ` 1 ) )
55	54	eqeq1d 2452	. . . . . 6 |- ( W = { <. 0 , S >. , <. 1 , T >. } -> ( ( W ` 1 ) = T <-> ( { <. 0 , S >. , <. 1 , T >. } ` 1 ) = T ) )
56	53, 55	anbi12d 716	. . . . 5 |- ( W = { <. 0 , S >. , <. 1 , T >. } -> ( ( ( W ` 0 ) = S /\ ( W ` 1 ) = T ) <-> ( ( { <. 0 , S >. , <. 1 , T >. } ` 0 ) = S /\ ( { <. 0 , S >. , <. 1 , T >. } ` 1 ) = T ) ) )
57	56	adantl 468	. . . 4 |- ( ( ( S e. V /\ T e. V ) /\ W = { <. 0 , S >. , <. 1 , T >. } ) -> ( ( ( W ` 0 ) = S /\ ( W ` 1 ) = T ) <-> ( ( { <. 0 , S >. , <. 1 , T >. } ` 0 ) = S /\ ( { <. 0 , S >. , <. 1 , T >. } ` 1 ) = T ) ) )
58	51, 57	mpbird 236	. . 3 |- ( ( ( S e. V /\ T e. V ) /\ W = { <. 0 , S >. , <. 1 , T >. } ) -> ( ( W ` 0 ) = S /\ ( W ` 1 ) = T ) )
59	27, 41, 58	jca31 537	. 2 |- ( ( ( S e. V /\ T e. V ) /\ W = { <. 0 , S >. , <. 1 , T >. } ) -> ( ( W e. Word V /\ ( # ` W ) = 2 ) /\ ( ( W ` 0 ) = S /\ ( W ` 1 ) = T ) ) )
60	59	ex 436	1 |- ( ( S e. V /\ T e. V ) -> ( W = { <. 0 , S >. , <. 1 , T >. } -> ( ( W e. Word V /\ ( # ` W ) = 2 ) /\ ( ( W ` 0 ) = S /\ ( W ` 1 ) = T ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 188   /\ wa 371   = wceq 1443   e. wcel 1886   =/= wne 2621   _Vcvv 3044   C_ wss 3403   {cpr 3969   <.cop 3973   -->wf 5577   ` cfv 5581  (class class class)co 6288   0cc0 9536   1c1 9537   2c2 10656  ..^cfzo 11912   #chash 12512  Word cword 12653

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1668  ax-4 1681  ax-5 1757  ax-6 1804  ax-7 1850  ax-8 1888  ax-9 1895  ax-10 1914  ax-11 1919  ax-12 1932  ax-13 2090  ax-ext 2430  ax-rep 4514  ax-sep 4524  ax-nul 4533  ax-pow 4580  ax-pr 4638  ax-un 6580  ax-cnex 9592  ax-resscn 9593  ax-1cn 9594  ax-icn 9595  ax-addcl 9596  ax-addrcl 9597  ax-mulcl 9598  ax-mulrcl 9599  ax-mulcom 9600  ax-addass 9601  ax-mulass 9602  ax-distr 9603  ax-i2m1 9604  ax-1ne0 9605  ax-1rid 9606  ax-rnegex 9607  ax-rrecex 9608  ax-cnre 9609  ax-pre-lttri 9610  ax-pre-lttrn 9611  ax-pre-ltadd 9612  ax-pre-mulgt0 9613

This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 985  df-3an 986  df-tru 1446  df-ex 1663  df-nf 1667  df-sb 1797  df-eu 2302  df-mo 2303  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2580  df-ne 2623  df-nel 2624  df-ral 2741  df-rex 2742  df-reu 2743  df-rmo 2744  df-rab 2745  df-v 3046  df-sbc 3267  df-csb 3363  df-dif 3406  df-un 3408  df-in 3410  df-ss 3417  df-pss 3419  df-nul 3731  df-if 3881  df-pw 3952  df-sn 3968  df-pr 3970  df-tp 3972  df-op 3974  df-uni 4198  df-int 4234  df-iun 4279  df-br 4402  df-opab 4461  df-mpt 4462  df-tr 4497  df-eprel 4744  df-id 4748  df-po 4754  df-so 4755  df-fr 4792  df-we 4794  df-xp 4839  df-rel 4840  df-cnv 4841  df-co 4842  df-dm 4843  df-rn 4844  df-res 4845  df-ima 4846  df-pred 5379  df-ord 5425  df-on 5426  df-lim 5427  df-suc 5428  df-iota 5545  df-fun 5583  df-fn 5584  df-f 5585  df-f1 5586  df-fo 5587  df-f1o 5588  df-fv 5589  df-riota 6250  df-ov 6291  df-oprab 6292  df-mpt2 6293  df-om 6690  df-1st 6790  df-2nd 6791  df-wrecs 7025  df-recs 7087  df-rdg 7125  df-1o 7179  df-oadd 7183  df-er 7360  df-en 7567  df-dom 7568  df-sdom 7569  df-fin 7570  df-card 8370  df-cda 8595  df-pnf 9674  df-mnf 9675  df-xr 9676  df-ltxr 9677  df-le 9678  df-sub 9859  df-neg 9860  df-nn 10607  df-2 10665  df-n0 10867  df-z 10935  df-uz 11157  df-fz 11782  df-fzo 11913  df-hash 12513  df-word 12661

This theorem is referenced by:  wrdlen2  13016  wwlktovfo  13026