MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  wrdf Structured version   Unicode version

Theorem wrdf 12261
Description: A word is a zero-based sequence with a recoverable upper limit. (Contributed by Stefan O'Rear, 15-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
wrdf  |-  ( W  e. Word  S  ->  W : ( 0..^ (
# `  W )
) --> S )

Proof of Theorem wrdf
Dummy variable  l is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iswrd 12258 . 2  |-  ( W  e. Word  S  <->  E. l  e.  NN0  W : ( 0..^ l ) --> S )
2 simpr 461 . . . 4  |-  ( ( l  e.  NN0  /\  W : ( 0..^ l ) --> S )  ->  W : ( 0..^ l ) --> S )
3 ffn 5580 . . . . . . . 8  |-  ( W : ( 0..^ l ) --> S  ->  W  Fn  ( 0..^ l ) )
4 hashfn 12159 . . . . . . . 8  |-  ( W  Fn  ( 0..^ l )  ->  ( # `  W
)  =  ( # `  ( 0..^ l ) ) )
53, 4syl 16 . . . . . . 7  |-  ( W : ( 0..^ l ) --> S  ->  ( # `
 W )  =  ( # `  (
0..^ l ) ) )
6 hashfzo0 12212 . . . . . . 7  |-  ( l  e.  NN0  ->  ( # `  ( 0..^ l ) )  =  l )
75, 6sylan9eqr 2497 . . . . . 6  |-  ( ( l  e.  NN0  /\  W : ( 0..^ l ) --> S )  -> 
( # `  W )  =  l )
87oveq2d 6128 . . . . 5  |-  ( ( l  e.  NN0  /\  W : ( 0..^ l ) --> S )  -> 
( 0..^ ( # `  W ) )  =  ( 0..^ l ) )
98feq2d 5568 . . . 4  |-  ( ( l  e.  NN0  /\  W : ( 0..^ l ) --> S )  -> 
( W : ( 0..^ ( # `  W
) ) --> S  <->  W :
( 0..^ l ) --> S ) )
102, 9mpbird 232 . . 3  |-  ( ( l  e.  NN0  /\  W : ( 0..^ l ) --> S )  ->  W : ( 0..^ (
# `  W )
) --> S )
1110rexlimiva 2857 . 2  |-  ( E. l  e.  NN0  W : ( 0..^ l ) --> S  ->  W : ( 0..^ (
# `  W )
) --> S )
121, 11sylbi 195 1  |-  ( W  e. Word  S  ->  W : ( 0..^ (
# `  W )
) --> S )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756   E.wrex 2737    Fn wfn 5434   -->wf 5435   ` cfv 5439  (class class class)co 6112   0cc0 9303   NN0cn0 10600  ..^cfzo 11569   #chash 12124  Word cword 12242
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4424  ax-sep 4434  ax-nul 4442  ax-pow 4491  ax-pr 4552  ax-un 6393  ax-cnex 9359  ax-resscn 9360  ax-1cn 9361  ax-icn 9362  ax-addcl 9363  ax-addrcl 9364  ax-mulcl 9365  ax-mulrcl 9366  ax-mulcom 9367  ax-addass 9368  ax-mulass 9369  ax-distr 9370  ax-i2m1 9371  ax-1ne0 9372  ax-1rid 9373  ax-rnegex 9374  ax-rrecex 9375  ax-cnre 9376  ax-pre-lttri 9377  ax-pre-lttrn 9378  ax-pre-ltadd 9379  ax-pre-mulgt0 9380
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2622  df-nel 2623  df-ral 2741  df-rex 2742  df-reu 2743  df-rab 2745  df-v 2995  df-sbc 3208  df-csb 3310  df-dif 3352  df-un 3354  df-in 3356  df-ss 3363  df-pss 3365  df-nul 3659  df-if 3813  df-pw 3883  df-sn 3899  df-pr 3901  df-tp 3903  df-op 3905  df-uni 4113  df-int 4150  df-iun 4194  df-br 4314  df-opab 4372  df-mpt 4373  df-tr 4407  df-eprel 4653  df-id 4657  df-po 4662  df-so 4663  df-fr 4700  df-we 4702  df-ord 4743  df-on 4744  df-lim 4745  df-suc 4746  df-xp 4867  df-rel 4868  df-cnv 4869  df-co 4870  df-dm 4871  df-rn 4872  df-res 4873  df-ima 4874  df-iota 5402  df-fun 5441  df-fn 5442  df-f 5443  df-f1 5444  df-fo 5445  df-f1o 5446  df-fv 5447  df-riota 6073  df-ov 6115  df-oprab 6116  df-mpt2 6117  df-om 6498  df-1st 6598  df-2nd 6599  df-recs 6853  df-rdg 6887  df-1o 6941  df-oadd 6945  df-er 7122  df-en 7332  df-dom 7333  df-sdom 7334  df-fin 7335  df-card 8130  df-pnf 9441  df-mnf 9442  df-xr 9443  df-ltxr 9444  df-le 9445  df-sub 9618  df-neg 9619  df-nn 10344  df-n0 10601  df-z 10668  df-uz 10883  df-fz 11459  df-fzo 11570  df-hash 12125  df-word 12250
This theorem is referenced by:  iswrdbi  12262  wrdsymbcl  12267  wrdfn  12268  0wrd0  12274  wrdsymb0  12280  lsw0  12288  lswcl  12291  ccatcl  12295  ccatlid  12305  ccatrid  12306  ccatass  12307  eqs1  12321  swrdcl  12336  swrdval2  12337  swrd0val  12338  swrd0len  12339  swrdid  12342  swrdf  12343  swrdnd  12347  swrdvalodm2  12354  swrdvalodm  12355  ccatswrd  12371  swrdccat1  12372  swrdccat2  12373  cats1un  12391  wrdind  12392  wrd2ind  12393  revcl  12422  revlen  12423  revccat  12427  revrev  12428  repsdf2  12437  cshwf  12458  wrdco  12480  lenco  12481  revco  12483  ccatco  12484  lswco  12487  wrd2pr2op  12568  gsumwsubmcl  15537  gsumccat  15540  gsumwmhm  15544  frmdss2  15562  symgtrinv  15999  psgnunilem5  16021  psgnunilem2  16022  psgnunilem3  16023  efginvrel1  16246  efgsf  16247  efgsrel  16252  efgs1b  16254  efgredlemf  16259  efgredlemd  16262  efgredlemc  16263  efgredlem  16265  frgpup3lem  16295  pgpfaclem1  16604  ablfaclem2  16609  ablfaclem3  16610  ablfac2  16612  dchrptlem1  22625  dchrptlem2  22626  trgcgrg  22989  wrdumgra  23272  istrl2  23459  usgrnloop  23484  is2wlk  23486  redwlklem  23526  redwlk  23527  wlkdvspthlem  23528  nvnencycllem  23551  constr3trllem2  23559  4cycl4dv  23575  vdegp1ai  23627  vdegp1bi  23628  sseqf  26797  fiblem  26803  wrdres  26960  ofccat  26963  ofcccat  26964  signstcl  26988  signstf  26989  signstfvn  26992  signsvtn0  26993  signstres  26998  signsvtp  27006  signsvtn  27007  signsvfpn  27008  signsvfnn  27009  signshf  27011  wwlktovf  30277  lswn0  30284  usgra2wlkspthlem1  30322  usgra2wlkspthlem2  30323  wlkiswwlk1  30350  wlkiswwlk2lem3  30353  clwlkisclwwlklem2a  30473  clwlkisclwwlklem1  30475  wrdnval  30500
  Copyright terms: Public domain W3C validator