MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  wrdf Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem wrdf 12723
Description: A word is a zero-based sequence with a recoverable upper limit. (Contributed by Stefan O'Rear, 15-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
wrdf  |-  ( W  e. Word  S  ->  W : ( 0..^ (
# `  W )
) --> S )

Proof of Theorem wrdf
Dummy variable  l is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iswrd 12719 . 2  |-  ( W  e. Word  S  <->  E. l  e.  NN0  W : ( 0..^ l ) --> S )
2 simpr 468 . . . 4  |-  ( ( l  e.  NN0  /\  W : ( 0..^ l ) --> S )  ->  W : ( 0..^ l ) --> S )
3 hashfirdm 12655 . . . . . 6  |-  ( ( l  e.  NN0  /\  W : ( 0..^ l ) --> S )  -> 
( # `  W )  =  l )
43oveq2d 6324 . . . . 5  |-  ( ( l  e.  NN0  /\  W : ( 0..^ l ) --> S )  -> 
( 0..^ ( # `  W ) )  =  ( 0..^ l ) )
54feq2d 5725 . . . 4  |-  ( ( l  e.  NN0  /\  W : ( 0..^ l ) --> S )  -> 
( W : ( 0..^ ( # `  W
) ) --> S  <->  W :
( 0..^ l ) --> S ) )
62, 5mpbird 240 . . 3  |-  ( ( l  e.  NN0  /\  W : ( 0..^ l ) --> S )  ->  W : ( 0..^ (
# `  W )
) --> S )
76rexlimiva 2868 . 2  |-  ( E. l  e.  NN0  W : ( 0..^ l ) --> S  ->  W : ( 0..^ (
# `  W )
) --> S )
81, 7sylbi 200 1  |-  ( W  e. Word  S  ->  W : ( 0..^ (
# `  W )
) --> S )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 376    e. wcel 1904   E.wrex 2757   -->wf 5585   ` cfv 5589  (class class class)co 6308   0cc0 9557   NN0cn0 10893  ..^cfzo 11942   #chash 12553  Word cword 12703
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-oadd 7204  df-er 7381  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-card 8391  df-cda 8616  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-nn 10632  df-2 10690  df-n0 10894  df-z 10962  df-uz 11183  df-fz 11811  df-fzo 11943  df-hash 12554  df-word 12711
This theorem is referenced by:  iswrdb  12724  wrddm  12725  wrdsymbcl  12731  wrdfn  12732  wrdv  12733  wrdffz  12739  0wrd0  12744  wrdnval  12748  ccatcl  12771  ccatass  12783  ccatrn  12784  ccatalpha  12787  s1dm  12799  swrdcl  12829  swrd0val  12831  swrdf  12835  swrdnd2  12843  ccatswrd  12866  swrdccat1  12867  swrdccat2  12868  cats1un  12886  revcl  12920  revlen  12921  revccat  12925  revrev  12926  repsdf2  12935  cshwf  12956  cshinj  12967  wrdco  12987  lenco  12988  revco  12990  ccatco  12991  lswco  12994  s2dm  13044  wwlktovf  13106  gsumwsubmcl  16700  gsumccat  16703  gsumwmhm  16707  frmdss2  16725  symgtrinv  17191  psgnunilem5  17213  psgnunilem2  17214  psgnunilem3  17215  efginvrel1  17456  efgsf  17457  efgsrel  17462  efgs1b  17464  efgredlemf  17469  efgredlemd  17472  efgredlemc  17473  efgredlem  17475  frgpup3lem  17505  pgpfaclem1  17792  ablfaclem2  17797  ablfaclem3  17798  ablfac2  17800  dchrptlem1  24271  dchrptlem2  24272  trgcgrg  24639  tgcgr4  24655  wrdumgra  25122  usgrwlknloop  25372  is2wlk  25374  redwlklem  25414  redwlk  25415  wlkdvspthlem  25416  usgra2wlkspthlem1  25426  usgra2wlkspthlem2  25427  nvnencycllem  25450  constr3trllem2  25458  4cycl4dv  25474  wlkiswwlk1  25497  wlkiswwlk2lem3  25500  clwlkisclwwlklem2a  25592  clwlkisclwwlklem1  25594  vdegp1ai  25791  vdegp1bi  25792  sseqf  29298  fiblem  29304  wrdres  29498  ofccat  29501  ofcccat  29502  signstcl  29526  signstf  29527  signstfvn  29530  signsvtn0  29531  signstres  29536  signsvtp  29544  signsvtn  29545  signsvfpn  29546  signsvfnn  29547  signshf  29549  mvrsfpw  30216  amgm2d  36720  amgm3d  36721  amgm4d  36722  wrdred1  39065  wrdred1hash  39066  lswn0  39067  pfxres  39076  ccatpfx  39097  wrdupgr  39331  wrdumgr  39342  vdegp1ai-av  39759  vdegp1bi-av  39760  1wlkreslem  39865  1wlkres  39866  1wlkp1  39877  1wlkdlem1  39882  trlf1  39894  trlreslem  39895  upgrwlkdvdelem  39928  pthdlem1  39952  pthdlem2lem  39953  uspgrn2crct  39986  11wlkdlem1  40025  1wlk2v2e  40045  eucrctshift  40155  konigsbergssiedgw  40163
  Copyright terms: Public domain W3C validator