MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  wrdf Structured version   Unicode version

Theorem wrdf 12519
Description: A word is a zero-based sequence with a recoverable upper limit. (Contributed by Stefan O'Rear, 15-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
wrdf  |-  ( W  e. Word  S  ->  W : ( 0..^ (
# `  W )
) --> S )

Proof of Theorem wrdf
Dummy variable  l is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iswrd 12516 . 2  |-  ( W  e. Word  S  <->  E. l  e.  NN0  W : ( 0..^ l ) --> S )
2 simpr 461 . . . 4  |-  ( ( l  e.  NN0  /\  W : ( 0..^ l ) --> S )  ->  W : ( 0..^ l ) --> S )
3 ffn 5731 . . . . . . . 8  |-  ( W : ( 0..^ l ) --> S  ->  W  Fn  ( 0..^ l ) )
4 hashfn 12411 . . . . . . . 8  |-  ( W  Fn  ( 0..^ l )  ->  ( # `  W
)  =  ( # `  ( 0..^ l ) ) )
53, 4syl 16 . . . . . . 7  |-  ( W : ( 0..^ l ) --> S  ->  ( # `
 W )  =  ( # `  (
0..^ l ) ) )
6 hashfzo0 12453 . . . . . . 7  |-  ( l  e.  NN0  ->  ( # `  ( 0..^ l ) )  =  l )
75, 6sylan9eqr 2530 . . . . . 6  |-  ( ( l  e.  NN0  /\  W : ( 0..^ l ) --> S )  -> 
( # `  W )  =  l )
87oveq2d 6300 . . . . 5  |-  ( ( l  e.  NN0  /\  W : ( 0..^ l ) --> S )  -> 
( 0..^ ( # `  W ) )  =  ( 0..^ l ) )
98feq2d 5718 . . . 4  |-  ( ( l  e.  NN0  /\  W : ( 0..^ l ) --> S )  -> 
( W : ( 0..^ ( # `  W
) ) --> S  <->  W :
( 0..^ l ) --> S ) )
102, 9mpbird 232 . . 3  |-  ( ( l  e.  NN0  /\  W : ( 0..^ l ) --> S )  ->  W : ( 0..^ (
# `  W )
) --> S )
1110rexlimiva 2951 . 2  |-  ( E. l  e.  NN0  W : ( 0..^ l ) --> S  ->  W : ( 0..^ (
# `  W )
) --> S )
121, 11sylbi 195 1  |-  ( W  e. Word  S  ->  W : ( 0..^ (
# `  W )
) --> S )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767   E.wrex 2815    Fn wfn 5583   -->wf 5584   ` cfv 5588  (class class class)co 6284   0cc0 9492   NN0cn0 10795  ..^cfzo 11792   #chash 12373  Word cword 12500
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6576  ax-cnex 9548  ax-resscn 9549  ax-1cn 9550  ax-icn 9551  ax-addcl 9552  ax-addrcl 9553  ax-mulcl 9554  ax-mulrcl 9555  ax-mulcom 9556  ax-addass 9557  ax-mulass 9558  ax-distr 9559  ax-i2m1 9560  ax-1ne0 9561  ax-1rid 9562  ax-rnegex 9563  ax-rrecex 9564  ax-cnre 9565  ax-pre-lttri 9566  ax-pre-lttrn 9567  ax-pre-ltadd 9568  ax-pre-mulgt0 9569
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-riota 6245  df-ov 6287  df-oprab 6288  df-mpt2 6289  df-om 6685  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-recs 7042  df-rdg 7076  df-1o 7130  df-oadd 7134  df-er 7311  df-en 7517  df-dom 7518  df-sdom 7519  df-fin 7520  df-card 8320  df-pnf 9630  df-mnf 9631  df-xr 9632  df-ltxr 9633  df-le 9634  df-sub 9807  df-neg 9808  df-nn 10537  df-n0 10796  df-z 10865  df-uz 11083  df-fz 11673  df-fzo 11793  df-hash 12374  df-word 12508
This theorem is referenced by:  iswrdbi  12520  wrdsymbcl  12525  wrdfn  12526  0wrd0  12532  wrdnval  12537  wrdsymb0  12540  lsw0  12551  lswcl  12554  ccatcl  12558  ccatlid  12568  ccatrid  12569  ccatass  12570  eqs1  12584  swrdcl  12609  swrdval2  12610  swrd0val  12611  swrd0len  12612  swrdid  12615  swrdf  12616  swrdnd  12620  swrdvalodm2  12627  swrdvalodm  12628  ccatswrd  12644  swrdccat1  12645  swrdccat2  12646  cats1un  12664  wrdind  12665  wrd2ind  12666  revcl  12698  revlen  12699  revccat  12703  revrev  12704  repsdf2  12713  cshwf  12734  wrdco  12760  lenco  12761  revco  12763  ccatco  12764  lswco  12767  wrd2pr2op  12848  wwlktovf  12857  gsumwsubmcl  15838  gsumccat  15841  gsumwmhm  15845  frmdss2  15863  symgtrinv  16303  psgnunilem5  16325  psgnunilem2  16326  psgnunilem3  16327  efginvrel1  16552  efgsf  16553  efgsrel  16558  efgs1b  16560  efgredlemf  16565  efgredlemd  16568  efgredlemc  16569  efgredlem  16571  frgpup3lem  16601  pgpfaclem1  16934  ablfaclem2  16939  ablfaclem3  16940  ablfac2  16942  dchrptlem1  23295  dchrptlem2  23296  trgcgrg  23662  wrdumgra  24020  istrl2  24244  usgrnloop  24269  is2wlk  24271  redwlklem  24311  redwlk  24312  wlkdvspthlem  24313  usgra2wlkspthlem1  24323  usgra2wlkspthlem2  24324  nvnencycllem  24347  constr3trllem2  24355  4cycl4dv  24371  wlkiswwlk1  24394  wlkiswwlk2lem3  24397  clwlkisclwwlklem2a  24489  clwlkisclwwlklem1  24491  vdegp1ai  24688  vdegp1bi  24689  sseqf  27999  fiblem  28005  wrdres  28162  ofccat  28165  ofcccat  28166  signstcl  28190  signstf  28191  signstfvn  28194  signsvtn0  28195  signstres  28200  signsvtp  28208  signsvtn  28209  signsvfpn  28210  signsvfnn  28211  signshf  28213  lswn0  31838
  Copyright terms: Public domain W3C validator