MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  wrdexg Structured version   Unicode version

Theorem wrdexg 12522
Description: The set of words over a set is a set. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Feb-2016.)
Assertion
Ref Expression
wrdexg  |-  ( S  e.  V  -> Word  S  e. 
_V )

Proof of Theorem wrdexg
Dummy variables  s 
l are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 wrdval 12516 . 2  |-  ( S  e.  V  -> Word  S  = 
U_ l  e.  NN0  ( S  ^m  (
0..^ l ) ) )
2 mapsspw 7454 . . . . . 6  |-  ( S  ^m  ( 0..^ l ) )  C_  ~P ( ( 0..^ l )  X.  S )
3 elfzoelz 11796 . . . . . . . . 9  |-  ( s  e.  ( 0..^ l )  ->  s  e.  ZZ )
43ssriv 3508 . . . . . . . 8  |-  ( 0..^ l )  C_  ZZ
5 xpss1 5110 . . . . . . . 8  |-  ( ( 0..^ l )  C_  ZZ  ->  ( ( 0..^ l )  X.  S
)  C_  ( ZZ  X.  S ) )
64, 5ax-mp 5 . . . . . . 7  |-  ( ( 0..^ l )  X.  S )  C_  ( ZZ  X.  S )
7 sspwb 4696 . . . . . . 7  |-  ( ( ( 0..^ l )  X.  S )  C_  ( ZZ  X.  S
)  <->  ~P ( ( 0..^ l )  X.  S
)  C_  ~P ( ZZ  X.  S ) )
86, 7mpbi 208 . . . . . 6  |-  ~P (
( 0..^ l )  X.  S )  C_  ~P ( ZZ  X.  S
)
92, 8sstri 3513 . . . . 5  |-  ( S  ^m  ( 0..^ l ) )  C_  ~P ( ZZ  X.  S
)
109rgenw 2825 . . . 4  |-  A. l  e.  NN0  ( S  ^m  ( 0..^ l ) ) 
C_  ~P ( ZZ  X.  S )
11 iunss 4366 . . . 4  |-  ( U_ l  e.  NN0  ( S  ^m  ( 0..^ l ) )  C_  ~P ( ZZ  X.  S
)  <->  A. l  e.  NN0  ( S  ^m  (
0..^ l ) ) 
C_  ~P ( ZZ  X.  S ) )
1210, 11mpbir 209 . . 3  |-  U_ l  e.  NN0  ( S  ^m  ( 0..^ l ) ) 
C_  ~P ( ZZ  X.  S )
13 zex 10872 . . . . 5  |-  ZZ  e.  _V
14 xpexg 6710 . . . . 5  |-  ( ( ZZ  e.  _V  /\  S  e.  V )  ->  ( ZZ  X.  S
)  e.  _V )
1513, 14mpan 670 . . . 4  |-  ( S  e.  V  ->  ( ZZ  X.  S )  e. 
_V )
16 pwexg 4631 . . . 4  |-  ( ( ZZ  X.  S )  e.  _V  ->  ~P ( ZZ  X.  S
)  e.  _V )
1715, 16syl 16 . . 3  |-  ( S  e.  V  ->  ~P ( ZZ  X.  S
)  e.  _V )
18 ssexg 4593 . . 3  |-  ( (
U_ l  e.  NN0  ( S  ^m  (
0..^ l ) ) 
C_  ~P ( ZZ  X.  S )  /\  ~P ( ZZ  X.  S
)  e.  _V )  ->  U_ l  e.  NN0  ( S  ^m  (
0..^ l ) )  e.  _V )
1912, 17, 18sylancr 663 . 2  |-  ( S  e.  V  ->  U_ l  e.  NN0  ( S  ^m  ( 0..^ l ) )  e.  _V )
201, 19eqeltrd 2555 1  |-  ( S  e.  V  -> Word  S  e. 
_V )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1767   A.wral 2814   _Vcvv 3113    C_ wss 3476   ~Pcpw 4010   U_ciun 4325    X. cxp 4997  (class class class)co 6283    ^m cmap 7420   0cc0 9491   NN0cn0 10794   ZZcz 10863  ..^cfzo 11791  Word cword 12499
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6575  ax-cnex 9547  ax-resscn 9548
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rex 2820  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-id 4795  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5550  df-fun 5589  df-fn 5590  df-f 5591  df-fv 5595  df-ov 6286  df-oprab 6287  df-mpt2 6288  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-map 7422  df-pm 7423  df-neg 9807  df-z 10864  df-uz 11082  df-fz 11672  df-fzo 11792  df-word 12507
This theorem is referenced by:  wrdexb  12523  wrdnfi  12538  elovmpt2wrd  12547  elovmptnn0wrd  12548  wrd2f1tovbij  12860  frmdbas  15849  frmdplusg  15851  vrmdfval  15853  efgval  16538  frgp0  16581  frgpmhm  16586  vrgpf  16589  vrgpinv  16590  frgpupf  16594  frgpup1  16596  frgpup2  16597  frgpup3lem  16598  frgpnabllem1  16677  frgpnabllem2  16678  ablfaclem1  16935  israg  23798  wlks  24211  wlkres  24214  trls  24230  crcts  24314  cycls  24315  wwlk  24373  clwwlk  24458  rusgranumwwlkl1  24638  sseqval  27983
  Copyright terms: Public domain W3C validator