MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  wrdexg Structured version   Unicode version

Theorem wrdexg 12256
Description: The set of words over a set is a set. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Feb-2016.)
Assertion
Ref Expression
wrdexg  |-  ( S  e.  V  -> Word  S  e. 
_V )

Proof of Theorem wrdexg
Dummy variables  s 
l are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 wrdval 12250 . 2  |-  ( S  e.  V  -> Word  S  = 
U_ l  e.  NN0  ( S  ^m  (
0..^ l ) ) )
2 mapsspw 7260 . . . . . 6  |-  ( S  ^m  ( 0..^ l ) )  C_  ~P ( ( 0..^ l )  X.  S )
3 elfzoelz 11565 . . . . . . . . 9  |-  ( s  e.  ( 0..^ l )  ->  s  e.  ZZ )
43ssriv 3372 . . . . . . . 8  |-  ( 0..^ l )  C_  ZZ
5 xpss1 4960 . . . . . . . 8  |-  ( ( 0..^ l )  C_  ZZ  ->  ( ( 0..^ l )  X.  S
)  C_  ( ZZ  X.  S ) )
64, 5ax-mp 5 . . . . . . 7  |-  ( ( 0..^ l )  X.  S )  C_  ( ZZ  X.  S )
7 sspwb 4553 . . . . . . 7  |-  ( ( ( 0..^ l )  X.  S )  C_  ( ZZ  X.  S
)  <->  ~P ( ( 0..^ l )  X.  S
)  C_  ~P ( ZZ  X.  S ) )
86, 7mpbi 208 . . . . . 6  |-  ~P (
( 0..^ l )  X.  S )  C_  ~P ( ZZ  X.  S
)
92, 8sstri 3377 . . . . 5  |-  ( S  ^m  ( 0..^ l ) )  C_  ~P ( ZZ  X.  S
)
109rgenw 2795 . . . 4  |-  A. l  e.  NN0  ( S  ^m  ( 0..^ l ) ) 
C_  ~P ( ZZ  X.  S )
11 iunss 4223 . . . 4  |-  ( U_ l  e.  NN0  ( S  ^m  ( 0..^ l ) )  C_  ~P ( ZZ  X.  S
)  <->  A. l  e.  NN0  ( S  ^m  (
0..^ l ) ) 
C_  ~P ( ZZ  X.  S ) )
1210, 11mpbir 209 . . 3  |-  U_ l  e.  NN0  ( S  ^m  ( 0..^ l ) ) 
C_  ~P ( ZZ  X.  S )
13 zex 10667 . . . . 5  |-  ZZ  e.  _V
14 xpexg 6519 . . . . 5  |-  ( ( ZZ  e.  _V  /\  S  e.  V )  ->  ( ZZ  X.  S
)  e.  _V )
1513, 14mpan 670 . . . 4  |-  ( S  e.  V  ->  ( ZZ  X.  S )  e. 
_V )
16 pwexg 4488 . . . 4  |-  ( ( ZZ  X.  S )  e.  _V  ->  ~P ( ZZ  X.  S
)  e.  _V )
1715, 16syl 16 . . 3  |-  ( S  e.  V  ->  ~P ( ZZ  X.  S
)  e.  _V )
18 ssexg 4450 . . 3  |-  ( (
U_ l  e.  NN0  ( S  ^m  (
0..^ l ) ) 
C_  ~P ( ZZ  X.  S )  /\  ~P ( ZZ  X.  S
)  e.  _V )  ->  U_ l  e.  NN0  ( S  ^m  (
0..^ l ) )  e.  _V )
1912, 17, 18sylancr 663 . 2  |-  ( S  e.  V  ->  U_ l  e.  NN0  ( S  ^m  ( 0..^ l ) )  e.  _V )
201, 19eqeltrd 2517 1  |-  ( S  e.  V  -> Word  S  e. 
_V )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1756   A.wral 2727   _Vcvv 2984    C_ wss 3340   ~Pcpw 3872   U_ciun 4183    X. cxp 4850  (class class class)co 6103    ^m cmap 7226   0cc0 9294   NN0cn0 10591   ZZcz 10658  ..^cfzo 11560  Word cword 12233
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4425  ax-nul 4433  ax-pow 4482  ax-pr 4543  ax-un 6384  ax-cnex 9350  ax-resscn 9351
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2620  df-ral 2732  df-rex 2733  df-rab 2736  df-v 2986  df-sbc 3199  df-csb 3301  df-dif 3343  df-un 3345  df-in 3347  df-ss 3354  df-nul 3650  df-if 3804  df-pw 3874  df-sn 3890  df-pr 3892  df-op 3896  df-uni 4104  df-iun 4185  df-br 4305  df-opab 4363  df-mpt 4364  df-id 4648  df-xp 4858  df-rel 4859  df-cnv 4860  df-co 4861  df-dm 4862  df-rn 4863  df-res 4864  df-ima 4865  df-iota 5393  df-fun 5432  df-fn 5433  df-f 5434  df-fv 5438  df-ov 6106  df-oprab 6107  df-mpt2 6108  df-1st 6589  df-2nd 6590  df-map 7228  df-pm 7229  df-neg 9610  df-z 10659  df-uz 10874  df-fz 11450  df-fzo 11561  df-word 12241
This theorem is referenced by:  wrdexb  12257  frmdbas  15542  frmdplusg  15544  vrmdfval  15546  efgval  16226  frgp0  16269  frgpmhm  16274  vrgpf  16277  vrgpinv  16278  frgpupf  16282  frgpup1  16284  frgpup2  16285  frgpup3lem  16286  frgpnabllem1  16363  frgpnabllem2  16364  ablfaclem1  16598  israg  23103  wlks  23437  wlkres  23440  trls  23447  crcts  23520  cycls  23521  sseqval  26783  wrd2f1tovbij  30267  elovmpt2wrd  30268  elovmptnn0wrd  30269  wwlk  30327  clwwlk  30441  wrdnfi  30488  rusgranumwlkl1lem1  30570
  Copyright terms: Public domain W3C validator