MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  wrdexg Structured version   Unicode version

Theorem wrdexg 12531
Description: The set of words over a set is a set. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Feb-2016.)
Assertion
Ref Expression
wrdexg  |-  ( S  e.  V  -> Word  S  e. 
_V )

Proof of Theorem wrdexg
Dummy variables  s 
l are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 wrdval 12525 . 2  |-  ( S  e.  V  -> Word  S  = 
U_ l  e.  NN0  ( S  ^m  (
0..^ l ) ) )
2 mapsspw 7452 . . . . . 6  |-  ( S  ^m  ( 0..^ l ) )  C_  ~P ( ( 0..^ l )  X.  S )
3 elfzoelz 11803 . . . . . . . . 9  |-  ( s  e.  ( 0..^ l )  ->  s  e.  ZZ )
43ssriv 3490 . . . . . . . 8  |-  ( 0..^ l )  C_  ZZ
5 xpss1 5097 . . . . . . . 8  |-  ( ( 0..^ l )  C_  ZZ  ->  ( ( 0..^ l )  X.  S
)  C_  ( ZZ  X.  S ) )
64, 5ax-mp 5 . . . . . . 7  |-  ( ( 0..^ l )  X.  S )  C_  ( ZZ  X.  S )
7 sspwb 4682 . . . . . . 7  |-  ( ( ( 0..^ l )  X.  S )  C_  ( ZZ  X.  S
)  <->  ~P ( ( 0..^ l )  X.  S
)  C_  ~P ( ZZ  X.  S ) )
86, 7mpbi 208 . . . . . 6  |-  ~P (
( 0..^ l )  X.  S )  C_  ~P ( ZZ  X.  S
)
92, 8sstri 3495 . . . . 5  |-  ( S  ^m  ( 0..^ l ) )  C_  ~P ( ZZ  X.  S
)
109rgenw 2802 . . . 4  |-  A. l  e.  NN0  ( S  ^m  ( 0..^ l ) ) 
C_  ~P ( ZZ  X.  S )
11 iunss 4352 . . . 4  |-  ( U_ l  e.  NN0  ( S  ^m  ( 0..^ l ) )  C_  ~P ( ZZ  X.  S
)  <->  A. l  e.  NN0  ( S  ^m  (
0..^ l ) ) 
C_  ~P ( ZZ  X.  S ) )
1210, 11mpbir 209 . . 3  |-  U_ l  e.  NN0  ( S  ^m  ( 0..^ l ) ) 
C_  ~P ( ZZ  X.  S )
13 zex 10874 . . . . 5  |-  ZZ  e.  _V
14 xpexg 6583 . . . . 5  |-  ( ( ZZ  e.  _V  /\  S  e.  V )  ->  ( ZZ  X.  S
)  e.  _V )
1513, 14mpan 670 . . . 4  |-  ( S  e.  V  ->  ( ZZ  X.  S )  e. 
_V )
16 pwexg 4617 . . . 4  |-  ( ( ZZ  X.  S )  e.  _V  ->  ~P ( ZZ  X.  S
)  e.  _V )
1715, 16syl 16 . . 3  |-  ( S  e.  V  ->  ~P ( ZZ  X.  S
)  e.  _V )
18 ssexg 4579 . . 3  |-  ( (
U_ l  e.  NN0  ( S  ^m  (
0..^ l ) ) 
C_  ~P ( ZZ  X.  S )  /\  ~P ( ZZ  X.  S
)  e.  _V )  ->  U_ l  e.  NN0  ( S  ^m  (
0..^ l ) )  e.  _V )
1912, 17, 18sylancr 663 . 2  |-  ( S  e.  V  ->  U_ l  e.  NN0  ( S  ^m  ( 0..^ l ) )  e.  _V )
201, 19eqeltrd 2529 1  |-  ( S  e.  V  -> Word  S  e. 
_V )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1802   A.wral 2791   _Vcvv 3093    C_ wss 3458   ~Pcpw 3993   U_ciun 4311    X. cxp 4983  (class class class)co 6277    ^m cmap 7418   0cc0 9490   NN0cn0 10796   ZZcz 10865  ..^cfzo 11798  Word cword 12508
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1603  ax-4 1616  ax-5 1689  ax-6 1732  ax-7 1774  ax-8 1804  ax-9 1806  ax-10 1821  ax-11 1826  ax-12 1838  ax-13 1983  ax-ext 2419  ax-sep 4554  ax-nul 4562  ax-pow 4611  ax-pr 4672  ax-un 6573  ax-cnex 9546  ax-resscn 9547
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 973  df-3an 974  df-tru 1384  df-ex 1598  df-nf 1602  df-sb 1725  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2427  df-cleq 2433  df-clel 2436  df-nfc 2591  df-ne 2638  df-ral 2796  df-rex 2797  df-rab 2800  df-v 3095  df-sbc 3312  df-csb 3418  df-dif 3461  df-un 3463  df-in 3465  df-ss 3472  df-nul 3768  df-if 3923  df-pw 3995  df-sn 4011  df-pr 4013  df-op 4017  df-uni 4231  df-iun 4313  df-br 4434  df-opab 4492  df-mpt 4493  df-id 4781  df-xp 4991  df-rel 4992  df-cnv 4993  df-co 4994  df-dm 4995  df-rn 4996  df-res 4997  df-ima 4998  df-iota 5537  df-fun 5576  df-fn 5577  df-f 5578  df-fv 5582  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-map 7420  df-pm 7421  df-neg 9808  df-z 10866  df-uz 11086  df-fz 11677  df-fzo 11799  df-word 12516
This theorem is referenced by:  wrdexb  12532  wrdnfi  12548  elovmpt2wrd  12557  elovmptnn0wrd  12558  wrd2f1tovbij  12872  frmdbas  15889  frmdplusg  15891  vrmdfval  15893  efgval  16604  frgp0  16647  frgpmhm  16652  vrgpf  16655  vrgpinv  16656  frgpupf  16660  frgpup1  16662  frgpup2  16663  frgpup3lem  16664  frgpnabllem1  16746  frgpnabllem2  16747  ablfaclem1  17004  israg  23939  wlks  24384  wlkres  24387  trls  24403  crcts  24487  cycls  24488  wwlk  24546  clwwlk  24631  rusgranumwwlkl1  24811  sseqval  28193  mrexval  28727
  Copyright terms: Public domain W3C validator