MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  wrdexb Structured version   Unicode version

Theorem wrdexb 12565
Description: The set of words over a set is a set, bidirectional version. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Feb-2016.) (Proof shortened by AV, 23-Nov-2018.)
Assertion
Ref Expression
wrdexb  |-  ( S  e.  _V  <-> Word  S  e.  _V )

Proof of Theorem wrdexb
Dummy variable  s is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 wrdexg 12564 . 2  |-  ( S  e.  _V  -> Word  S  e. 
_V )
2 opex 4720 . . . . . . . 8  |-  <. 0 ,  s >.  e.  _V
32snid 4060 . . . . . . 7  |-  <. 0 ,  s >.  e.  { <. 0 ,  s >. }
4 snopiswrd 12563 . . . . . . 7  |-  ( s  e.  S  ->  { <. 0 ,  s >. }  e. Word  S )
5 elunii 4256 . . . . . . 7  |-  ( (
<. 0 ,  s
>.  e.  { <. 0 ,  s >. }  /\  {
<. 0 ,  s
>. }  e. Word  S )  ->  <. 0 ,  s
>.  e.  U.Word  S )
63, 4, 5sylancr 663 . . . . . 6  |-  ( s  e.  S  ->  <. 0 ,  s >.  e.  U.Word  S )
7 c0ex 9607 . . . . . . 7  |-  0  e.  _V
8 vex 3112 . . . . . . 7  |-  s  e. 
_V
97, 8opeluu 4725 . . . . . 6  |-  ( <.
0 ,  s >.  e.  U.Word  S  ->  (
0  e.  U. U. U.Word 
S  /\  s  e.  U.
U. U.Word  S ) )
106, 9syl 16 . . . . 5  |-  ( s  e.  S  ->  (
0  e.  U. U. U.Word 
S  /\  s  e.  U.
U. U.Word  S ) )
1110simprd 463 . . . 4  |-  ( s  e.  S  ->  s  e.  U. U. U.Word  S )
1211ssriv 3503 . . 3  |-  S  C_  U.
U. U.Word  S
13 uniexg 6596 . . . 4  |-  (Word  S  e.  _V  ->  U.Word  S  e. 
_V )
14 uniexg 6596 . . . 4  |-  ( U.Word  S  e.  _V  ->  U. U.Word  S  e.  _V )
15 uniexg 6596 . . . 4  |-  ( U. U.Word 
S  e.  _V  ->  U.
U. U.Word  S  e.  _V )
1613, 14, 153syl 20 . . 3  |-  (Word  S  e.  _V  ->  U. U. U.Word  S  e.  _V )
17 ssexg 4602 . . 3  |-  ( ( S  C_  U. U. U.Word  S  /\  U. U. U.Word  S  e.  _V )  ->  S  e.  _V )
1812, 16, 17sylancr 663 . 2  |-  (Word  S  e.  _V  ->  S  e.  _V )
191, 18impbii 188 1  |-  ( S  e.  _V  <-> Word  S  e.  _V )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    <-> wb 184    /\ wa 369    e. wcel 1819   _Vcvv 3109    C_ wss 3471   {csn 4032   <.cop 4038   U.cuni 4251   0cc0 9509  Word cword 12538
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-er 7329  df-map 7440  df-pm 7441  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-nn 10557  df-n0 10817  df-z 10886  df-uz 11107  df-fz 11698  df-fzo 11822  df-word 12546
This theorem is referenced by:  efgrcl  16860
  Copyright terms: Public domain W3C validator