MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  wrdexb Structured version   Unicode version

Theorem wrdexb 12245
Description: The set of words over a set is a set, bidirectional version. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Feb-2016.) (Proof shortened by AV, 23-Nov-2018.)
Assertion
Ref Expression
wrdexb  |-  ( S  e.  _V  <-> Word  S  e.  _V )

Proof of Theorem wrdexb
Dummy variable  s is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 wrdexg 12244 . 2  |-  ( S  e.  _V  -> Word  S  e. 
_V )
2 opex 4556 . . . . . . . 8  |-  <. 0 ,  s >.  e.  _V
32snid 3905 . . . . . . 7  |-  <. 0 ,  s >.  e.  { <. 0 ,  s >. }
4 snopiswrd 12243 . . . . . . 7  |-  ( s  e.  S  ->  { <. 0 ,  s >. }  e. Word  S )
5 elunii 4096 . . . . . . 7  |-  ( (
<. 0 ,  s
>.  e.  { <. 0 ,  s >. }  /\  {
<. 0 ,  s
>. }  e. Word  S )  ->  <. 0 ,  s
>.  e.  U.Word  S )
63, 4, 5sylancr 663 . . . . . 6  |-  ( s  e.  S  ->  <. 0 ,  s >.  e.  U.Word  S )
7 c0ex 9380 . . . . . . 7  |-  0  e.  _V
8 vex 2975 . . . . . . 7  |-  s  e. 
_V
97, 8opeluu 4561 . . . . . 6  |-  ( <.
0 ,  s >.  e.  U.Word  S  ->  (
0  e.  U. U. U.Word 
S  /\  s  e.  U.
U. U.Word  S ) )
106, 9syl 16 . . . . 5  |-  ( s  e.  S  ->  (
0  e.  U. U. U.Word 
S  /\  s  e.  U.
U. U.Word  S ) )
1110simprd 463 . . . 4  |-  ( s  e.  S  ->  s  e.  U. U. U.Word  S )
1211ssriv 3360 . . 3  |-  S  C_  U.
U. U.Word  S
13 uniexg 6377 . . . 4  |-  (Word  S  e.  _V  ->  U.Word  S  e. 
_V )
14 uniexg 6377 . . . 4  |-  ( U.Word  S  e.  _V  ->  U. U.Word  S  e.  _V )
15 uniexg 6377 . . . 4  |-  ( U. U.Word 
S  e.  _V  ->  U.
U. U.Word  S  e.  _V )
1613, 14, 153syl 20 . . 3  |-  (Word  S  e.  _V  ->  U. U. U.Word  S  e.  _V )
17 ssexg 4438 . . 3  |-  ( ( S  C_  U. U. U.Word  S  /\  U. U. U.Word  S  e.  _V )  ->  S  e.  _V )
1812, 16, 17sylancr 663 . 2  |-  (Word  S  e.  _V  ->  S  e.  _V )
191, 18impbii 188 1  |-  ( S  e.  _V  <-> Word  S  e.  _V )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    <-> wb 184    /\ wa 369    e. wcel 1756   _Vcvv 2972    C_ wss 3328   {csn 3877   <.cop 3883   U.cuni 4091   0cc0 9282  Word cword 12221
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4413  ax-nul 4421  ax-pow 4470  ax-pr 4531  ax-un 6372  ax-cnex 9338  ax-resscn 9339  ax-1cn 9340  ax-icn 9341  ax-addcl 9342  ax-addrcl 9343  ax-mulcl 9344  ax-mulrcl 9345  ax-mulcom 9346  ax-addass 9347  ax-mulass 9348  ax-distr 9349  ax-i2m1 9350  ax-1ne0 9351  ax-1rid 9352  ax-rnegex 9353  ax-rrecex 9354  ax-cnre 9355  ax-pre-lttri 9356  ax-pre-lttrn 9357  ax-pre-ltadd 9358  ax-pre-mulgt0 9359
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2568  df-ne 2608  df-nel 2609  df-ral 2720  df-rex 2721  df-reu 2722  df-rab 2724  df-v 2974  df-sbc 3187  df-csb 3289  df-dif 3331  df-un 3333  df-in 3335  df-ss 3342  df-pss 3344  df-nul 3638  df-if 3792  df-pw 3862  df-sn 3878  df-pr 3880  df-tp 3882  df-op 3884  df-uni 4092  df-int 4129  df-iun 4173  df-br 4293  df-opab 4351  df-mpt 4352  df-tr 4386  df-eprel 4632  df-id 4636  df-po 4641  df-so 4642  df-fr 4679  df-we 4681  df-ord 4722  df-on 4723  df-lim 4724  df-suc 4725  df-xp 4846  df-rel 4847  df-cnv 4848  df-co 4849  df-dm 4850  df-rn 4851  df-res 4852  df-ima 4853  df-iota 5381  df-fun 5420  df-fn 5421  df-f 5422  df-f1 5423  df-fo 5424  df-f1o 5425  df-fv 5426  df-riota 6052  df-ov 6094  df-oprab 6095  df-mpt2 6096  df-om 6477  df-1st 6577  df-2nd 6578  df-recs 6832  df-rdg 6866  df-1o 6920  df-oadd 6924  df-er 7101  df-map 7216  df-pm 7217  df-en 7311  df-dom 7312  df-sdom 7313  df-fin 7314  df-pnf 9420  df-mnf 9421  df-xr 9422  df-ltxr 9423  df-le 9424  df-sub 9597  df-neg 9598  df-nn 10323  df-n0 10580  df-z 10647  df-uz 10862  df-fz 11438  df-fzo 11549  df-word 12229
This theorem is referenced by:  efgrcl  16212
  Copyright terms: Public domain W3C validator