Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  wrdeqswrdlsw Structured version   Unicode version

Theorem wrdeqswrdlsw 12656
 Description: Two words are equal iff they have the same length and the same prefix and the same last symbol. (Contributed by Alexander van der Vekens, 7-Aug-2018.)
Assertion
Ref Expression
wrdeqswrdlsw Word Word lastS lastS substr substr

Proof of Theorem wrdeqswrdlsw
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqwrd 12564 . . 3 Word Word ..^
21adantr 465 . 2 Word Word ..^
3 0z 10882 . . . . . . 7
4 lennncl 12545 . . . . . . . . . 10 Word
5 elnnuz 11128 . . . . . . . . . . 11
6 1e0p1 11014 . . . . . . . . . . . . 13
76fveq2i 5859 . . . . . . . . . . . 12
87eleq2i 2521 . . . . . . . . . . 11
95, 8sylbb 197 . . . . . . . . . 10
104, 9syl 16 . . . . . . . . 9 Word
1110ad2ant2r 746 . . . . . . . 8 Word Word
1211adantr 465 . . . . . . 7 Word Word
13 fzosplitsnm1 11872 . . . . . . 7 ..^ ..^
143, 12, 13sylancr 663 . . . . . 6 Word Word ..^ ..^
1514raleqdv 3046 . . . . 5 Word Word ..^ ..^
16 ralunb 3670 . . . . 5 ..^ ..^
1715, 16syl6bb 261 . . . 4 Word Word ..^ ..^
18 ovex 6309 . . . . . . . 8
19 fveq2 5856 . . . . . . . . . 10
20 fveq2 5856 . . . . . . . . . 10
2119, 20eqeq12d 2465 . . . . . . . . 9
2221ralsng 4049 . . . . . . . 8
2318, 22mp1i 12 . . . . . . 7 Word Word
24 oveq1 6288 . . . . . . . . . 10
2524fveq2d 5860 . . . . . . . . 9
2625eqeq2d 2457 . . . . . . . 8
2726adantl 466 . . . . . . 7 Word Word
28 lsw 12567 . . . . . . . . . . 11 Word lastS
2928adantr 465 . . . . . . . . . 10 Word Word lastS
3029eqcomd 2451 . . . . . . . . 9 Word Word lastS
31 lsw 12567 . . . . . . . . . . 11 Word lastS
3231adantl 466 . . . . . . . . . 10 Word Word lastS
3332eqcomd 2451 . . . . . . . . 9 Word Word lastS
3430, 33eqeq12d 2465 . . . . . . . 8 Word Word lastS lastS
3534ad2antrr 725 . . . . . . 7 Word Word lastS lastS
3623, 27, 353bitrd 279 . . . . . 6 Word Word lastS lastS
3736anbi2d 703 . . . . 5 Word Word ..^ ..^ lastS lastS
38 ancom 450 . . . . . 6 ..^ lastS lastS lastS lastS ..^
3938a1i 11 . . . . 5 Word Word ..^ lastS lastS lastS lastS ..^
40 eqid 2443 . . . . . . . 8
4140biantrur 506 . . . . . . 7 lastS lastS ..^ lastS lastS ..^
4241a1i 11 . . . . . 6 Word Word lastS lastS ..^ lastS lastS ..^
43 an12 797 . . . . . 6 lastS lastS ..^ lastS lastS ..^
4442, 43syl6bb 261 . . . . 5 Word Word lastS lastS ..^ lastS lastS ..^
4537, 39, 443bitrd 279 . . . 4 Word Word ..^ lastS lastS ..^
46 simpll 753 . . . . . . 7 Word Word Word Word
47 nnm1nn0 10844 . . . . . . . . . 10
484, 47syl 16 . . . . . . . . 9 Word
4948ad2ant2r 746 . . . . . . . 8 Word Word
5049adantr 465 . . . . . . 7 Word Word
51 lencl 12544 . . . . . . . . . 10 Word
52 nn0re 10811 . . . . . . . . . . 11
5352lem1d 10486 . . . . . . . . . 10
5451, 53syl 16 . . . . . . . . 9 Word
5554adantr 465 . . . . . . . 8 Word Word
5655ad2antrr 725 . . . . . . 7 Word Word
57 breq2 4441 . . . . . . . . . 10
5857eqcoms 2455 . . . . . . . . 9
5958adantl 466 . . . . . . . 8 Word Word
6056, 59mpbird 232 . . . . . . 7 Word Word
61 swrdeq 12653 . . . . . . 7 Word Word substr substr ..^
6246, 50, 50, 56, 60, 61syl122anc 1238 . . . . . 6 Word Word substr substr ..^
6362bicomd 201 . . . . 5 Word Word ..^ substr substr
6463anbi2d 703 . . . 4 Word Word lastS lastS ..^ lastS lastS substr substr
6517, 45, 643bitrd 279 . . 3 Word Word ..^ lastS lastS substr substr
6665pm5.32da 641 . 2 Word Word ..^ lastS lastS substr substr
67 3anass 978 . . . 4 lastS lastS substr substr lastS lastS substr substr
6867bicomi 202 . . 3 lastS lastS substr substr lastS lastS substr substr
6968a1i 11 . 2 Word Word lastS lastS substr substr lastS lastS substr substr
702, 66, 693bitrd 279 1 Word Word lastS lastS substr substr
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 184   wa 369   w3a 974   wceq 1383   wcel 1804   wne 2638  wral 2793  cvv 3095   cun 3459  c0 3770  csn 4014  cop 4020   class class class wbr 4437  cfv 5578  (class class class)co 6281  cc0 9495  c1 9496   caddc 9498   cle 9632   cmin 9810  cn 10543  cn0 10802  cz 10871  cuz 11092  ..^cfzo 11806  chash 12387  Word cword 12516   lastS clsw 12517   substr csubstr 12520 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-rep 4548  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6577  ax-cnex 9551  ax-resscn 9552  ax-1cn 9553  ax-icn 9554  ax-addcl 9555  ax-addrcl 9556  ax-mulcl 9557  ax-mulrcl 9558  ax-mulcom 9559  ax-addass 9560  ax-mulass 9561  ax-distr 9562  ax-i2m1 9563  ax-1ne0 9564  ax-1rid 9565  ax-rnegex 9566  ax-rrecex 9567  ax-cnre 9568  ax-pre-lttri 9569  ax-pre-lttrn 9570  ax-pre-ltadd 9571  ax-pre-mulgt0 9572 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1386  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-nel 2641  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rmo 2801  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-tp 4019  df-op 4021  df-uni 4235  df-int 4272  df-iun 4317  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-tr 4531  df-eprel 4781  df-id 4785  df-po 4790  df-so 4791  df-fr 4828  df-we 4830  df-ord 4871  df-on 4872  df-lim 4873  df-suc 4874  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-f1 5583  df-fo 5584  df-f1o 5585  df-fv 5586  df-riota 6242  df-ov 6284  df-oprab 6285  df-mpt2 6286  df-om 6686  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-recs 7044  df-rdg 7078  df-1o 7132  df-oadd 7136  df-er 7313  df-en 7519  df-dom 7520  df-sdom 7521  df-fin 7522  df-card 8323  df-cda 8551  df-pnf 9633  df-mnf 9634  df-xr 9635  df-ltxr 9636  df-le 9637  df-sub 9812  df-neg 9813  df-nn 10544  df-2 10601  df-n0 10803  df-z 10872  df-uz 11093  df-fz 11684  df-fzo 11807  df-hash 12388  df-word 12524  df-lsw 12525  df-substr 12528 This theorem is referenced by:  wwlkextinj  24708
 Copyright terms: Public domain W3C validator