MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  wrdeqs1cat Structured version   Unicode version

Theorem wrdeqs1cat 12758
Description: Decompose a nonempty word by separating off the first symbol. (Contributed by Stefan O'Rear, 25-Aug-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 1-Oct-2015.) (Proof shortened by AV, 9-May-2020.)
Assertion
Ref Expression
wrdeqs1cat  |-  ( ( W  e. Word  A  /\  W  =/=  (/) )  ->  W  =  ( <" ( W `  0 ) "> ++  ( W substr  <. 1 ,  ( # `  W
) >. ) ) )

Proof of Theorem wrdeqs1cat
StepHypRef Expression
1 simpl 457 . . 3  |-  ( ( W  e. Word  A  /\  W  =/=  (/) )  ->  W  e. Word  A )
2 1nn0 10854 . . . 4  |-  1  e.  NN0
3 0elfz 11830 . . . 4  |-  ( 1  e.  NN0  ->  0  e.  ( 0 ... 1
) )
42, 3mp1i 13 . . 3  |-  ( ( W  e. Word  A  /\  W  =/=  (/) )  ->  0  e.  ( 0 ... 1
) )
5 wrdfin 12615 . . . 4  |-  ( W  e. Word  A  ->  W  e.  Fin )
6 1elfz0hash 12508 . . . 4  |-  ( ( W  e.  Fin  /\  W  =/=  (/) )  ->  1  e.  ( 0 ... ( # `
 W ) ) )
75, 6sylan 471 . . 3  |-  ( ( W  e. Word  A  /\  W  =/=  (/) )  ->  1  e.  ( 0 ... ( # `
 W ) ) )
8 lennncl 12617 . . . . 5  |-  ( ( W  e. Word  A  /\  W  =/=  (/) )  ->  ( # `
 W )  e.  NN )
98nnnn0d 10895 . . . 4  |-  ( ( W  e. Word  A  /\  W  =/=  (/) )  ->  ( # `
 W )  e. 
NN0 )
10 eluzfz2 11750 . . . . 5  |-  ( (
# `  W )  e.  ( ZZ>= `  0 )  ->  ( # `  W
)  e.  ( 0 ... ( # `  W
) ) )
11 nn0uz 11163 . . . . 5  |-  NN0  =  ( ZZ>= `  0 )
1210, 11eleq2s 2512 . . . 4  |-  ( (
# `  W )  e.  NN0  ->  ( # `  W
)  e.  ( 0 ... ( # `  W
) ) )
139, 12syl 17 . . 3  |-  ( ( W  e. Word  A  /\  W  =/=  (/) )  ->  ( # `
 W )  e.  ( 0 ... ( # `
 W ) ) )
14 ccatswrd 12739 . . 3  |-  ( ( W  e. Word  A  /\  ( 0  e.  ( 0 ... 1 )  /\  1  e.  ( 0 ... ( # `  W ) )  /\  ( # `  W )  e.  ( 0 ... ( # `  W
) ) ) )  ->  ( ( W substr  <. 0 ,  1 >.
) ++  ( W substr  <. 1 ,  ( # `  W
) >. ) )  =  ( W substr  <. 0 ,  ( # `  W
) >. ) )
151, 4, 7, 13, 14syl13anc 1234 . 2  |-  ( ( W  e. Word  A  /\  W  =/=  (/) )  ->  (
( W substr  <. 0 ,  1 >. ) ++  ( W substr  <. 1 ,  ( # `  W ) >. )
)  =  ( W substr  <. 0 ,  ( # `  W ) >. )
)
16 0p1e1 10690 . . . . . 6  |-  ( 0  +  1 )  =  1
1716opeq2i 4165 . . . . 5  |-  <. 0 ,  ( 0  +  1 ) >.  =  <. 0 ,  1 >.
1817oveq2i 6291 . . . 4  |-  ( W substr  <. 0 ,  ( 0  +  1 ) >.
)  =  ( W substr  <. 0 ,  1 >.
)
19 0nn0 10853 . . . . . . 7  |-  0  e.  NN0
2019a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( W  e. Word  A  /\  W  =/=  (/) )  ->  0  e.  NN0 )
21 hashgt0 12506 . . . . . 6  |-  ( ( W  e. Word  A  /\  W  =/=  (/) )  ->  0  <  ( # `  W
) )
22 elfzo0 11897 . . . . . 6  |-  ( 0  e.  ( 0..^ (
# `  W )
)  <->  ( 0  e. 
NN0  /\  ( # `  W
)  e.  NN  /\  0  <  ( # `  W
) ) )
2320, 8, 21, 22syl3anbrc 1183 . . . . 5  |-  ( ( W  e. Word  A  /\  W  =/=  (/) )  ->  0  e.  ( 0..^ ( # `  W ) ) )
24 swrds1 12734 . . . . 5  |-  ( ( W  e. Word  A  /\  0  e.  ( 0..^ ( # `  W
) ) )  -> 
( W substr  <. 0 ,  ( 0  +  1 ) >. )  =  <" ( W `  0
) "> )
2523, 24syldan 470 . . . 4  |-  ( ( W  e. Word  A  /\  W  =/=  (/) )  ->  ( W substr  <. 0 ,  ( 0  +  1 )
>. )  =  <" ( W `  0
) "> )
2618, 25syl5eqr 2459 . . 3  |-  ( ( W  e. Word  A  /\  W  =/=  (/) )  ->  ( W substr  <. 0 ,  1
>. )  =  <" ( W `  0
) "> )
2726oveq1d 6295 . 2  |-  ( ( W  e. Word  A  /\  W  =/=  (/) )  ->  (
( W substr  <. 0 ,  1 >. ) ++  ( W substr  <. 1 ,  ( # `  W ) >. )
)  =  ( <" ( W ` 
0 ) "> ++  ( W substr  <. 1 ,  (
# `  W ) >. ) ) )
28 swrdid 12711 . . 3  |-  ( W  e. Word  A  ->  ( W substr  <. 0 ,  (
# `  W ) >. )  =  W )
2928adantr 465 . 2  |-  ( ( W  e. Word  A  /\  W  =/=  (/) )  ->  ( W substr  <. 0 ,  (
# `  W ) >. )  =  W )
3015, 27, 293eqtr3rd 2454 1  |-  ( ( W  e. Word  A  /\  W  =/=  (/) )  ->  W  =  ( <" ( W `  0 ) "> ++  ( W substr  <. 1 ,  ( # `  W
) >. ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1407    e. wcel 1844    =/= wne 2600   (/)c0 3740   <.cop 3980   class class class wbr 4397   ` cfv 5571  (class class class)co 6280   Fincfn 7556   0cc0 9524   1c1 9525    + caddc 9527    < clt 9660   NNcn 10578   NN0cn0 10838   ZZ>=cuz 11129   ...cfz 11728  ..^cfzo 11856   #chash 12454  Word cword 12585   ++ cconcat 12587   <"cs1 12588   substr csubstr 12589
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1641  ax-4 1654  ax-5 1727  ax-6 1773  ax-7 1816  ax-8 1846  ax-9 1848  ax-10 1863  ax-11 1868  ax-12 1880  ax-13 2028  ax-ext 2382  ax-rep 4509  ax-sep 4519  ax-nul 4527  ax-pow 4574  ax-pr 4632  ax-un 6576  ax-cnex 9580  ax-resscn 9581  ax-1cn 9582  ax-icn 9583  ax-addcl 9584  ax-addrcl 9585  ax-mulcl 9586  ax-mulrcl 9587  ax-mulcom 9588  ax-addass 9589  ax-mulass 9590  ax-distr 9591  ax-i2m1 9592  ax-1ne0 9593  ax-1rid 9594  ax-rnegex 9595  ax-rrecex 9596  ax-cnre 9597  ax-pre-lttri 9598  ax-pre-lttrn 9599  ax-pre-ltadd 9600  ax-pre-mulgt0 9601
This theorem depends on definitions:  df-bi 187  df-or 370  df-an 371  df-3or 977  df-3an 978  df-tru 1410  df-ex 1636  df-nf 1640  df-sb 1766  df-eu 2244  df-mo 2245  df-clab 2390  df-cleq 2396  df-clel 2399  df-nfc 2554  df-ne 2602  df-nel 2603  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3063  df-sbc 3280  df-csb 3376  df-dif 3419  df-un 3421  df-in 3423  df-ss 3430  df-pss 3432  df-nul 3741  df-if 3888  df-pw 3959  df-sn 3975  df-pr 3977  df-tp 3979  df-op 3981  df-uni 4194  df-int 4230  df-iun 4275  df-br 4398  df-opab 4456  df-mpt 4457  df-tr 4492  df-eprel 4736  df-id 4740  df-po 4746  df-so 4747  df-fr 4784  df-we 4786  df-xp 4831  df-rel 4832  df-cnv 4833  df-co 4834  df-dm 4835  df-rn 4836  df-res 4837  df-ima 4838  df-pred 5369  df-ord 5415  df-on 5416  df-lim 5417  df-suc 5418  df-iota 5535  df-fun 5573  df-fn 5574  df-f 5575  df-f1 5576  df-fo 5577  df-f1o 5578  df-fv 5579  df-riota 6242  df-ov 6283  df-oprab 6284  df-mpt2 6285  df-om 6686  df-1st 6786  df-2nd 6787  df-wrecs 7015  df-recs 7077  df-rdg 7115  df-1o 7169  df-oadd 7173  df-er 7350  df-en 7557  df-dom 7558  df-sdom 7559  df-fin 7560  df-card 8354  df-cda 8582  df-pnf 9662  df-mnf 9663  df-xr 9664  df-ltxr 9665  df-le 9666  df-sub 9845  df-neg 9846  df-nn 10579  df-2 10637  df-n0 10839  df-z 10908  df-uz 11130  df-fz 11729  df-fzo 11857  df-hash 12455  df-word 12593  df-concat 12595  df-s1 12596  df-substr 12597
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator