Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  wopprc Unicode version

Theorem wopprc 26991
Description: Unrelated: Wiener pairs treat proper classes symmetrically. (Contributed by Stefan O'Rear, 19-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
wopprc  |-  ( ( A  e.  _V  /\  B  e.  _V )  <->  -.  1o  e.  { { { A } ,  (/) } ,  { { B } } } )

Proof of Theorem wopprc
StepHypRef Expression
1 dfsn2 3788 . . . . . . . . 9  |-  { (/) }  =  { (/) ,  (/) }
2 id 20 . . . . . . . . 9  |-  ( {
(/) }  =  { { A } ,  (/) }  ->  { (/) }  =  { { A } ,  (/)
} )
31, 2syl5reqr 2451 . . . . . . . 8  |-  ( {
(/) }  =  { { A } ,  (/) }  ->  { { A } ,  (/) }  =  { (/) ,  (/) } )
4 snex 4365 . . . . . . . . 9  |-  { A }  e.  _V
5 0ex 4299 . . . . . . . . 9  |-  (/)  e.  _V
64, 5preqr1 3932 . . . . . . . 8  |-  ( { { A } ,  (/)
}  =  { (/) ,  (/) }  ->  { A }  =  (/) )
73, 6syl 16 . . . . . . 7  |-  ( {
(/) }  =  { { A } ,  (/) }  ->  { A }  =  (/) )
8 snprc 3831 . . . . . . 7  |-  ( -.  A  e.  _V  <->  { A }  =  (/) )
97, 8sylibr 204 . . . . . 6  |-  ( {
(/) }  =  { { A } ,  (/) }  ->  -.  A  e.  _V )
108biimpi 187 . . . . . . . 8  |-  ( -.  A  e.  _V  ->  { A }  =  (/) )
1110preq1d 3849 . . . . . . 7  |-  ( -.  A  e.  _V  ->  { { A } ,  (/)
}  =  { (/) ,  (/) } )
1211, 1syl6reqr 2455 . . . . . 6  |-  ( -.  A  e.  _V  ->  {
(/) }  =  { { A } ,  (/) } )
139, 12impbii 181 . . . . 5  |-  ( {
(/) }  =  { { A } ,  (/) }  <->  -.  A  e.  _V )
1413con2bii 323 . . . 4  |-  ( A  e.  _V  <->  -.  { (/) }  =  { { A } ,  (/) } )
15 snprc 3831 . . . . . . 7  |-  ( -.  B  e.  _V  <->  { B }  =  (/) )
16 eqcom 2406 . . . . . . 7  |-  ( { B }  =  (/)  <->  (/)  =  { B } )
1715, 16bitr2i 242 . . . . . 6  |-  ( (/)  =  { B }  <->  -.  B  e.  _V )
1817con2bii 323 . . . . 5  |-  ( B  e.  _V  <->  -.  (/)  =  { B } )
195sneqr 3926 . . . . . 6  |-  ( {
(/) }  =  { { B } }  ->  (/)  =  { B } )
20 sneq 3785 . . . . . 6  |-  ( (/)  =  { B }  ->  {
(/) }  =  { { B } } )
2119, 20impbii 181 . . . . 5  |-  ( {
(/) }  =  { { B } }  <->  (/)  =  { B } )
2218, 21xchbinxr 303 . . . 4  |-  ( B  e.  _V  <->  -.  { (/) }  =  { { B } } )
2314, 22anbi12i 679 . . 3  |-  ( ( A  e.  _V  /\  B  e.  _V )  <->  ( -.  { (/) }  =  { { A } ,  (/)
}  /\  -.  { (/) }  =  { { B } } ) )
24 pm4.56 482 . . . 4  |-  ( ( -.  { (/) }  =  { { A } ,  (/)
}  /\  -.  { (/) }  =  { { B } } )  <->  -.  ( { (/) }  =  { { A } ,  (/) }  \/  { (/) }  =  { { B } }
) )
25 snex 4365 . . . . 5  |-  { (/) }  e.  _V
2625elpr 3792 . . . 4  |-  ( {
(/) }  e.  { { { A } ,  (/) } ,  { { B } } }  <->  ( { (/)
}  =  { { A } ,  (/) }  \/  {
(/) }  =  { { B } } ) )
2724, 26xchbinxr 303 . . 3  |-  ( ( -.  { (/) }  =  { { A } ,  (/)
}  /\  -.  { (/) }  =  { { B } } )  <->  -.  { (/) }  e.  { { { A } ,  (/) } ,  { { B } } } )
2823, 27bitri 241 . 2  |-  ( ( A  e.  _V  /\  B  e.  _V )  <->  -. 
{ (/) }  e.  { { { A } ,  (/)
} ,  { { B } } } )
29 df1o2 6695 . . 3  |-  1o  =  { (/) }
3029eleq1i 2467 . 2  |-  ( 1o  e.  { { { A } ,  (/) } ,  { { B } } } 
<->  { (/) }  e.  { { { A } ,  (/)
} ,  { { B } } } )
3128, 30xchbinxr 303 1  |-  ( ( A  e.  _V  /\  B  e.  _V )  <->  -.  1o  e.  { { { A } ,  (/) } ,  { { B } } } )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    <-> wb 177    \/ wo 358    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1721   _Vcvv 2916   (/)c0 3588   {csn 3774   {cpr 3775   1oc1o 6676
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pr 4363
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-v 2918  df-dif 3283  df-un 3285  df-nul 3589  df-sn 3780  df-pr 3781  df-suc 4547  df-1o 6683
  Copyright terms: Public domain W3C validator