Theorem wopprc 31211

Description: Unrelated: Wiener pairs treat proper classes symmetrically. (Contributed by Stefan O'Rear, 19-Sep-2014.)

Assertion

Ref	Expression
wopprc	|- ( ( A e. _V /\ B e. _V ) <-> -. 1o e. { { { A } , (/) } , { { B } } } )

Proof of Theorem wopprc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfsn2 4029	. . . . . . . . 9 |- { (/) } = { (/) , (/) }
2		id 22	. . . . . . . . 9 |- ( { (/) } = { { A } , (/) } -> { (/) } = { { A } , (/) } )
3	1, 2	syl5reqr 2510	. . . . . . . 8 |- ( { (/) } = { { A } , (/) } -> { { A } , (/) } = { (/) , (/) } )
4		snex 4678	. . . . . . . . 9 |- { A } e. _V
5		0ex 4569	. . . . . . . . 9 |- (/) e. _V
6	4, 5	preqr1 4190	. . . . . . . 8 |- ( { { A } , (/) } = { (/) , (/) } -> { A } = (/) )
7	3, 6	syl 16	. . . . . . 7 |- ( { (/) } = { { A } , (/) } -> { A } = (/) )
8		snprc 4079	. . . . . . 7 |- ( -. A e. _V <-> { A } = (/) )
9	7, 8	sylibr 212	. . . . . 6 |- ( { (/) } = { { A } , (/) } -> -. A e. _V )
10	8	biimpi 194	. . . . . . . 8 |- ( -. A e. _V -> { A } = (/) )
11	10	preq1d 4101	. . . . . . 7 |- ( -. A e. _V -> { { A } , (/) } = { (/) , (/) } )
12	11, 1	syl6reqr 2514	. . . . . 6 |- ( -. A e. _V -> { (/) } = { { A } , (/) } )
13	9, 12	impbii 188	. . . . 5 |- ( { (/) } = { { A } , (/) } <-> -. A e. _V )
14	13	con2bii 330	. . . 4 |- ( A e. _V <-> -. { (/) } = { { A } , (/) } )
15		snprc 4079	. . . . . . 7 |- ( -. B e. _V <-> { B } = (/) )
16		eqcom 2463	. . . . . . 7 |- ( { B } = (/) <-> (/) = { B } )
17	15, 16	bitr2i 250	. . . . . 6 |- ( (/) = { B } <-> -. B e. _V )
18	17	con2bii 330	. . . . 5 |- ( B e. _V <-> -. (/) = { B } )
19	5	sneqr 4183	. . . . . 6 |- ( { (/) } = { { B } } -> (/) = { B } )
20		sneq 4026	. . . . . 6 |- ( (/) = { B } -> { (/) } = { { B } } )
21	19, 20	impbii 188	. . . . 5 |- ( { (/) } = { { B } } <-> (/) = { B } )
22	18, 21	xchbinxr 309	. . . 4 |- ( B e. _V <-> -. { (/) } = { { B } } )
23	14, 22	anbi12i 695	. . 3 |- ( ( A e. _V /\ B e. _V ) <-> ( -. { (/) } = { { A } , (/) } /\ -. { (/) } = { { B } } ) )
24		pm4.56 493	. . . 4 |- ( ( -. { (/) } = { { A } , (/) } /\ -. { (/) } = { { B } } ) <-> -. ( { (/) } = { { A } , (/) } \/ { (/) } = { { B } } ) )
25		snex 4678	. . . . 5 |- { (/) } e. _V
26	25	elpr 4034	. . . 4 |- ( { (/) } e. { { { A } , (/) } , { { B } } } <-> ( { (/) } = { { A } , (/) } \/ { (/) } = { { B } } ) )
27	24, 26	xchbinxr 309	. . 3 |- ( ( -. { (/) } = { { A } , (/) } /\ -. { (/) } = { { B } } ) <-> -. { (/) } e. { { { A } , (/) } , { { B } } } )
28	23, 27	bitri 249	. 2 |- ( ( A e. _V /\ B e. _V ) <-> -. { (/) } e. { { { A } , (/) } , { { B } } } )
29		df1o2 7134	. . 3 |- 1o = { (/) }
30	29	eleq1i 2531	. 2 |- ( 1o e. { { { A } , (/) } , { { B } } } <-> { (/) } e. { { { A } , (/) } , { { B } } } )
31	28, 30	xchbinxr 309	1 |- ( ( A e. _V /\ B e. _V ) <-> -. 1o e. { { { A } , (/) } , { { B } } } )

Syntax hints:   -. wn 3   <-> wb 184   \/ wo 366   /\ wa 367   = wceq 1398   e. wcel 1823   _Vcvv 3106   (/)c0 3783   {csn 4016   {cpr 4018   1oc1o 7115

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pr 4676

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-v 3108  df-dif 3464  df-un 3466  df-nul 3784  df-sn 4017  df-pr 4019  df-suc 4873  df-1o 7122

This theorem is referenced by: (None)