Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  wopprc Structured version   Unicode version

Theorem wopprc 31211
Description: Unrelated: Wiener pairs treat proper classes symmetrically. (Contributed by Stefan O'Rear, 19-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
wopprc  |-  ( ( A  e.  _V  /\  B  e.  _V )  <->  -.  1o  e.  { { { A } ,  (/) } ,  { { B } } } )

Proof of Theorem wopprc
StepHypRef Expression
1 dfsn2 4029 . . . . . . . . 9  |-  { (/) }  =  { (/) ,  (/) }
2 id 22 . . . . . . . . 9  |-  ( {
(/) }  =  { { A } ,  (/) }  ->  { (/) }  =  { { A } ,  (/)
} )
31, 2syl5reqr 2510 . . . . . . . 8  |-  ( {
(/) }  =  { { A } ,  (/) }  ->  { { A } ,  (/) }  =  { (/) ,  (/) } )
4 snex 4678 . . . . . . . . 9  |-  { A }  e.  _V
5 0ex 4569 . . . . . . . . 9  |-  (/)  e.  _V
64, 5preqr1 4190 . . . . . . . 8  |-  ( { { A } ,  (/)
}  =  { (/) ,  (/) }  ->  { A }  =  (/) )
73, 6syl 16 . . . . . . 7  |-  ( {
(/) }  =  { { A } ,  (/) }  ->  { A }  =  (/) )
8 snprc 4079 . . . . . . 7  |-  ( -.  A  e.  _V  <->  { A }  =  (/) )
97, 8sylibr 212 . . . . . 6  |-  ( {
(/) }  =  { { A } ,  (/) }  ->  -.  A  e.  _V )
108biimpi 194 . . . . . . . 8  |-  ( -.  A  e.  _V  ->  { A }  =  (/) )
1110preq1d 4101 . . . . . . 7  |-  ( -.  A  e.  _V  ->  { { A } ,  (/)
}  =  { (/) ,  (/) } )
1211, 1syl6reqr 2514 . . . . . 6  |-  ( -.  A  e.  _V  ->  {
(/) }  =  { { A } ,  (/) } )
139, 12impbii 188 . . . . 5  |-  ( {
(/) }  =  { { A } ,  (/) }  <->  -.  A  e.  _V )
1413con2bii 330 . . . 4  |-  ( A  e.  _V  <->  -.  { (/) }  =  { { A } ,  (/) } )
15 snprc 4079 . . . . . . 7  |-  ( -.  B  e.  _V  <->  { B }  =  (/) )
16 eqcom 2463 . . . . . . 7  |-  ( { B }  =  (/)  <->  (/)  =  { B } )
1715, 16bitr2i 250 . . . . . 6  |-  ( (/)  =  { B }  <->  -.  B  e.  _V )
1817con2bii 330 . . . . 5  |-  ( B  e.  _V  <->  -.  (/)  =  { B } )
195sneqr 4183 . . . . . 6  |-  ( {
(/) }  =  { { B } }  ->  (/)  =  { B } )
20 sneq 4026 . . . . . 6  |-  ( (/)  =  { B }  ->  {
(/) }  =  { { B } } )
2119, 20impbii 188 . . . . 5  |-  ( {
(/) }  =  { { B } }  <->  (/)  =  { B } )
2218, 21xchbinxr 309 . . . 4  |-  ( B  e.  _V  <->  -.  { (/) }  =  { { B } } )
2314, 22anbi12i 695 . . 3  |-  ( ( A  e.  _V  /\  B  e.  _V )  <->  ( -.  { (/) }  =  { { A } ,  (/)
}  /\  -.  { (/) }  =  { { B } } ) )
24 pm4.56 493 . . . 4  |-  ( ( -.  { (/) }  =  { { A } ,  (/)
}  /\  -.  { (/) }  =  { { B } } )  <->  -.  ( { (/) }  =  { { A } ,  (/) }  \/  { (/) }  =  { { B } }
) )
25 snex 4678 . . . . 5  |-  { (/) }  e.  _V
2625elpr 4034 . . . 4  |-  ( {
(/) }  e.  { { { A } ,  (/) } ,  { { B } } }  <->  ( { (/)
}  =  { { A } ,  (/) }  \/  {
(/) }  =  { { B } } ) )
2724, 26xchbinxr 309 . . 3  |-  ( ( -.  { (/) }  =  { { A } ,  (/)
}  /\  -.  { (/) }  =  { { B } } )  <->  -.  { (/) }  e.  { { { A } ,  (/) } ,  { { B } } } )
2823, 27bitri 249 . 2  |-  ( ( A  e.  _V  /\  B  e.  _V )  <->  -. 
{ (/) }  e.  { { { A } ,  (/)
} ,  { { B } } } )
29 df1o2 7134 . . 3  |-  1o  =  { (/) }
3029eleq1i 2531 . 2  |-  ( 1o  e.  { { { A } ,  (/) } ,  { { B } } } 
<->  { (/) }  e.  { { { A } ,  (/)
} ,  { { B } } } )
3128, 30xchbinxr 309 1  |-  ( ( A  e.  _V  /\  B  e.  _V )  <->  -.  1o  e.  { { { A } ,  (/) } ,  { { B } } } )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    <-> wb 184    \/ wo 366    /\ wa 367    = wceq 1398    e. wcel 1823   _Vcvv 3106   (/)c0 3783   {csn 4016   {cpr 4018   1oc1o 7115
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pr 4676
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-v 3108  df-dif 3464  df-un 3466  df-nul 3784  df-sn 4017  df-pr 4019  df-suc 4873  df-1o 7122
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator