Theorem wopprc 35805

Description: Unrelated: Wiener pairs treat proper classes symmetrically. (Contributed by Stefan O'Rear, 19-Sep-2014.)

Assertion

Ref	Expression
wopprc	|- ( ( A e. _V /\ B e. _V ) <-> -. 1o e. { { { A } , (/) } , { { B } } } )

Proof of Theorem wopprc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfsn2 4009	. . . . . . . . 9 |- { (/) } = { (/) , (/) }
2		id 23	. . . . . . . . 9 |- ( { (/) } = { { A } , (/) } -> { (/) } = { { A } , (/) } )
3	1, 2	syl5reqr 2478	. . . . . . . 8 |- ( { (/) } = { { A } , (/) } -> { { A } , (/) } = { (/) , (/) } )
4		snex 4659	. . . . . . . . 9 |- { A } e. _V
5		0ex 4553	. . . . . . . . 9 |- (/) e. _V
6	4, 5	preqr1 4171	. . . . . . . 8 |- ( { { A } , (/) } = { (/) , (/) } -> { A } = (/) )
7	3, 6	syl 17	. . . . . . 7 |- ( { (/) } = { { A } , (/) } -> { A } = (/) )
8		snprc 4060	. . . . . . 7 |- ( -. A e. _V <-> { A } = (/) )
9	7, 8	sylibr 215	. . . . . 6 |- ( { (/) } = { { A } , (/) } -> -. A e. _V )
10	8	biimpi 197	. . . . . . . 8 |- ( -. A e. _V -> { A } = (/) )
11	10	preq1d 4082	. . . . . . 7 |- ( -. A e. _V -> { { A } , (/) } = { (/) , (/) } )
12	11, 1	syl6reqr 2482	. . . . . 6 |- ( -. A e. _V -> { (/) } = { { A } , (/) } )
13	9, 12	impbii 190	. . . . 5 |- ( { (/) } = { { A } , (/) } <-> -. A e. _V )
14	13	con2bii 333	. . . 4 |- ( A e. _V <-> -. { (/) } = { { A } , (/) } )
15		snprc 4060	. . . . . . 7 |- ( -. B e. _V <-> { B } = (/) )
16		eqcom 2431	. . . . . . 7 |- ( { B } = (/) <-> (/) = { B } )
17	15, 16	bitr2i 253	. . . . . 6 |- ( (/) = { B } <-> -. B e. _V )
18	17	con2bii 333	. . . . 5 |- ( B e. _V <-> -. (/) = { B } )
19	5	sneqr 4164	. . . . . 6 |- ( { (/) } = { { B } } -> (/) = { B } )
20		sneq 4006	. . . . . 6 |- ( (/) = { B } -> { (/) } = { { B } } )
21	19, 20	impbii 190	. . . . 5 |- ( { (/) } = { { B } } <-> (/) = { B } )
22	18, 21	xchbinxr 312	. . . 4 |- ( B e. _V <-> -. { (/) } = { { B } } )
23	14, 22	anbi12i 701	. . 3 |- ( ( A e. _V /\ B e. _V ) <-> ( -. { (/) } = { { A } , (/) } /\ -. { (/) } = { { B } } ) )
24		pm4.56 497	. . . 4 |- ( ( -. { (/) } = { { A } , (/) } /\ -. { (/) } = { { B } } ) <-> -. ( { (/) } = { { A } , (/) } \/ { (/) } = { { B } } ) )
25		snex 4659	. . . . 5 |- { (/) } e. _V
26	25	elpr 4014	. . . 4 |- ( { (/) } e. { { { A } , (/) } , { { B } } } <-> ( { (/) } = { { A } , (/) } \/ { (/) } = { { B } } ) )
27	24, 26	xchbinxr 312	. . 3 |- ( ( -. { (/) } = { { A } , (/) } /\ -. { (/) } = { { B } } ) <-> -. { (/) } e. { { { A } , (/) } , { { B } } } )
28	23, 27	bitri 252	. 2 |- ( ( A e. _V /\ B e. _V ) <-> -. { (/) } e. { { { A } , (/) } , { { B } } } )
29		df1o2 7199	. . 3 |- 1o = { (/) }
30	29	eleq1i 2499	. 2 |- ( 1o e. { { { A } , (/) } , { { B } } } <-> { (/) } e. { { { A } , (/) } , { { B } } } )
31	28, 30	xchbinxr 312	1 |- ( ( A e. _V /\ B e. _V ) <-> -. 1o e. { { { A } , (/) } , { { B } } } )

Syntax hints:   -. wn 3   <-> wb 187   \/ wo 369   /\ wa 370   = wceq 1437   e. wcel 1868   _Vcvv 3081   (/)c0 3761   {csn 3996   {cpr 3998   1oc1o 7180

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1839  ax-9 1872  ax-10 1887  ax-11 1892  ax-12 1905  ax-13 2053  ax-ext 2400  ax-sep 4543  ax-nul 4552  ax-pr 4657

This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2572  df-ne 2620  df-v 3083  df-dif 3439  df-un 3441  df-nul 3762  df-sn 3997  df-pr 3999  df-suc 5445  df-1o 7187

This theorem is referenced by: (None)