Theorem wopprc 30891

Description: Unrelated: Wiener pairs treat proper classes symmetrically. (Contributed by Stefan O'Rear, 19-Sep-2014.)

Assertion

Ref	Expression
wopprc	|- ( ( A e. _V /\ B e. _V ) <-> -. 1o e. { { { A } , (/) } , { { B } } } )

Proof of Theorem wopprc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfsn2 4046	. . . . . . . . 9 |- { (/) } = { (/) , (/) }
2		id 22	. . . . . . . . 9 |- ( { (/) } = { { A } , (/) } -> { (/) } = { { A } , (/) } )
3	1, 2	syl5reqr 2523	. . . . . . . 8 |- ( { (/) } = { { A } , (/) } -> { { A } , (/) } = { (/) , (/) } )
4		snex 4694	. . . . . . . . 9 |- { A } e. _V
5		0ex 4583	. . . . . . . . 9 |- (/) e. _V
6	4, 5	preqr1 4206	. . . . . . . 8 |- ( { { A } , (/) } = { (/) , (/) } -> { A } = (/) )
7	3, 6	syl 16	. . . . . . 7 |- ( { (/) } = { { A } , (/) } -> { A } = (/) )
8		snprc 4097	. . . . . . 7 |- ( -. A e. _V <-> { A } = (/) )
9	7, 8	sylibr 212	. . . . . 6 |- ( { (/) } = { { A } , (/) } -> -. A e. _V )
10	8	biimpi 194	. . . . . . . 8 |- ( -. A e. _V -> { A } = (/) )
11	10	preq1d 4118	. . . . . . 7 |- ( -. A e. _V -> { { A } , (/) } = { (/) , (/) } )
12	11, 1	syl6reqr 2527	. . . . . 6 |- ( -. A e. _V -> { (/) } = { { A } , (/) } )
13	9, 12	impbii 188	. . . . 5 |- ( { (/) } = { { A } , (/) } <-> -. A e. _V )
14	13	con2bii 332	. . . 4 |- ( A e. _V <-> -. { (/) } = { { A } , (/) } )
15		snprc 4097	. . . . . . 7 |- ( -. B e. _V <-> { B } = (/) )
16		eqcom 2476	. . . . . . 7 |- ( { B } = (/) <-> (/) = { B } )
17	15, 16	bitr2i 250	. . . . . 6 |- ( (/) = { B } <-> -. B e. _V )
18	17	con2bii 332	. . . . 5 |- ( B e. _V <-> -. (/) = { B } )
19	5	sneqr 4200	. . . . . 6 |- ( { (/) } = { { B } } -> (/) = { B } )
20		sneq 4043	. . . . . 6 |- ( (/) = { B } -> { (/) } = { { B } } )
21	19, 20	impbii 188	. . . . 5 |- ( { (/) } = { { B } } <-> (/) = { B } )
22	18, 21	xchbinxr 311	. . . 4 |- ( B e. _V <-> -. { (/) } = { { B } } )
23	14, 22	anbi12i 697	. . 3 |- ( ( A e. _V /\ B e. _V ) <-> ( -. { (/) } = { { A } , (/) } /\ -. { (/) } = { { B } } ) )
24		pm4.56 495	. . . 4 |- ( ( -. { (/) } = { { A } , (/) } /\ -. { (/) } = { { B } } ) <-> -. ( { (/) } = { { A } , (/) } \/ { (/) } = { { B } } ) )
25		snex 4694	. . . . 5 |- { (/) } e. _V
26	25	elpr 4051	. . . 4 |- ( { (/) } e. { { { A } , (/) } , { { B } } } <-> ( { (/) } = { { A } , (/) } \/ { (/) } = { { B } } ) )
27	24, 26	xchbinxr 311	. . 3 |- ( ( -. { (/) } = { { A } , (/) } /\ -. { (/) } = { { B } } ) <-> -. { (/) } e. { { { A } , (/) } , { { B } } } )
28	23, 27	bitri 249	. 2 |- ( ( A e. _V /\ B e. _V ) <-> -. { (/) } e. { { { A } , (/) } , { { B } } } )
29		df1o2 7154	. . 3 |- 1o = { (/) }
30	29	eleq1i 2544	. 2 |- ( 1o e. { { { A } , (/) } , { { B } } } <-> { (/) } e. { { { A } , (/) } , { { B } } } )
31	28, 30	xchbinxr 311	1 |- ( ( A e. _V /\ B e. _V ) <-> -. 1o e. { { { A } , (/) } , { { B } } } )

Syntax hints:   -. wn 3   <-> wb 184   \/ wo 368   /\ wa 369   = wceq 1379   e. wcel 1767   _Vcvv 3118   (/)c0 3790   {csn 4033   {cpr 4035   1oc1o 7135

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pr 4692

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-v 3120  df-dif 3484  df-un 3486  df-nul 3791  df-sn 4034  df-pr 4036  df-suc 4890  df-1o 7142

This theorem is referenced by: (None)