Theorem wopprc 35885

Description: Unrelated: Wiener pairs treat proper classes symmetrically. (Contributed by Stefan O'Rear, 19-Sep-2014.)

Assertion

Ref	Expression
wopprc	|- ( ( A e. _V /\ B e. _V ) <-> -. 1o e. { { { A } , (/) } , { { B } } } )

Proof of Theorem wopprc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfsn2 3981	. . . . . . . . 9 |- { (/) } = { (/) , (/) }
2		id 22	. . . . . . . . 9 |- ( { (/) } = { { A } , (/) } -> { (/) } = { { A } , (/) } )
3	1, 2	syl5reqr 2500	. . . . . . . 8 |- ( { (/) } = { { A } , (/) } -> { { A } , (/) } = { (/) , (/) } )
4		snex 4641	. . . . . . . . 9 |- { A } e. _V
5		0ex 4535	. . . . . . . . 9 |- (/) e. _V
6	4, 5	preqr1 4148	. . . . . . . 8 |- ( { { A } , (/) } = { (/) , (/) } -> { A } = (/) )
7	3, 6	syl 17	. . . . . . 7 |- ( { (/) } = { { A } , (/) } -> { A } = (/) )
8		snprc 4035	. . . . . . 7 |- ( -. A e. _V <-> { A } = (/) )
9	7, 8	sylibr 216	. . . . . 6 |- ( { (/) } = { { A } , (/) } -> -. A e. _V )
10	8	biimpi 198	. . . . . . . 8 |- ( -. A e. _V -> { A } = (/) )
11	10	preq1d 4057	. . . . . . 7 |- ( -. A e. _V -> { { A } , (/) } = { (/) , (/) } )
12	11, 1	syl6reqr 2504	. . . . . 6 |- ( -. A e. _V -> { (/) } = { { A } , (/) } )
13	9, 12	impbii 191	. . . . 5 |- ( { (/) } = { { A } , (/) } <-> -. A e. _V )
14	13	con2bii 334	. . . 4 |- ( A e. _V <-> -. { (/) } = { { A } , (/) } )
15		snprc 4035	. . . . . . 7 |- ( -. B e. _V <-> { B } = (/) )
16		eqcom 2458	. . . . . . 7 |- ( { B } = (/) <-> (/) = { B } )
17	15, 16	bitr2i 254	. . . . . 6 |- ( (/) = { B } <-> -. B e. _V )
18	17	con2bii 334	. . . . 5 |- ( B e. _V <-> -. (/) = { B } )
19	5	sneqr 4139	. . . . . 6 |- ( { (/) } = { { B } } -> (/) = { B } )
20		sneq 3978	. . . . . 6 |- ( (/) = { B } -> { (/) } = { { B } } )
21	19, 20	impbii 191	. . . . 5 |- ( { (/) } = { { B } } <-> (/) = { B } )
22	18, 21	xchbinxr 313	. . . 4 |- ( B e. _V <-> -. { (/) } = { { B } } )
23	14, 22	anbi12i 703	. . 3 |- ( ( A e. _V /\ B e. _V ) <-> ( -. { (/) } = { { A } , (/) } /\ -. { (/) } = { { B } } ) )
24		pm4.56 498	. . . 4 |- ( ( -. { (/) } = { { A } , (/) } /\ -. { (/) } = { { B } } ) <-> -. ( { (/) } = { { A } , (/) } \/ { (/) } = { { B } } ) )
25		snex 4641	. . . . 5 |- { (/) } e. _V
26	25	elpr 3986	. . . 4 |- ( { (/) } e. { { { A } , (/) } , { { B } } } <-> ( { (/) } = { { A } , (/) } \/ { (/) } = { { B } } ) )
27	24, 26	xchbinxr 313	. . 3 |- ( ( -. { (/) } = { { A } , (/) } /\ -. { (/) } = { { B } } ) <-> -. { (/) } e. { { { A } , (/) } , { { B } } } )
28	23, 27	bitri 253	. 2 |- ( ( A e. _V /\ B e. _V ) <-> -. { (/) } e. { { { A } , (/) } , { { B } } } )
29		df1o2 7194	. . 3 |- 1o = { (/) }
30	29	eleq1i 2520	. 2 |- ( 1o e. { { { A } , (/) } , { { B } } } <-> { (/) } e. { { { A } , (/) } , { { B } } } )
31	28, 30	xchbinxr 313	1 |- ( ( A e. _V /\ B e. _V ) <-> -. 1o e. { { { A } , (/) } , { { B } } } )

Syntax hints:   -. wn 3   <-> wb 188   \/ wo 370   /\ wa 371   = wceq 1444   e. wcel 1887   _Vcvv 3045   (/)c0 3731   {csn 3968   {cpr 3970   1oc1o 7175

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pr 4639

This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-tru 1447  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-v 3047  df-dif 3407  df-un 3409  df-nul 3732  df-sn 3969  df-pr 3971  df-suc 5429  df-1o 7182

This theorem is referenced by: (None)