Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  wopprc Structured version   Unicode version

Theorem wopprc 35805
Description: Unrelated: Wiener pairs treat proper classes symmetrically. (Contributed by Stefan O'Rear, 19-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
wopprc  |-  ( ( A  e.  _V  /\  B  e.  _V )  <->  -.  1o  e.  { { { A } ,  (/) } ,  { { B } } } )

Proof of Theorem wopprc
StepHypRef Expression
1 dfsn2 4009 . . . . . . . . 9  |-  { (/) }  =  { (/) ,  (/) }
2 id 23 . . . . . . . . 9  |-  ( {
(/) }  =  { { A } ,  (/) }  ->  { (/) }  =  { { A } ,  (/)
} )
31, 2syl5reqr 2478 . . . . . . . 8  |-  ( {
(/) }  =  { { A } ,  (/) }  ->  { { A } ,  (/) }  =  { (/) ,  (/) } )
4 snex 4659 . . . . . . . . 9  |-  { A }  e.  _V
5 0ex 4553 . . . . . . . . 9  |-  (/)  e.  _V
64, 5preqr1 4171 . . . . . . . 8  |-  ( { { A } ,  (/)
}  =  { (/) ,  (/) }  ->  { A }  =  (/) )
73, 6syl 17 . . . . . . 7  |-  ( {
(/) }  =  { { A } ,  (/) }  ->  { A }  =  (/) )
8 snprc 4060 . . . . . . 7  |-  ( -.  A  e.  _V  <->  { A }  =  (/) )
97, 8sylibr 215 . . . . . 6  |-  ( {
(/) }  =  { { A } ,  (/) }  ->  -.  A  e.  _V )
108biimpi 197 . . . . . . . 8  |-  ( -.  A  e.  _V  ->  { A }  =  (/) )
1110preq1d 4082 . . . . . . 7  |-  ( -.  A  e.  _V  ->  { { A } ,  (/)
}  =  { (/) ,  (/) } )
1211, 1syl6reqr 2482 . . . . . 6  |-  ( -.  A  e.  _V  ->  {
(/) }  =  { { A } ,  (/) } )
139, 12impbii 190 . . . . 5  |-  ( {
(/) }  =  { { A } ,  (/) }  <->  -.  A  e.  _V )
1413con2bii 333 . . . 4  |-  ( A  e.  _V  <->  -.  { (/) }  =  { { A } ,  (/) } )
15 snprc 4060 . . . . . . 7  |-  ( -.  B  e.  _V  <->  { B }  =  (/) )
16 eqcom 2431 . . . . . . 7  |-  ( { B }  =  (/)  <->  (/)  =  { B } )
1715, 16bitr2i 253 . . . . . 6  |-  ( (/)  =  { B }  <->  -.  B  e.  _V )
1817con2bii 333 . . . . 5  |-  ( B  e.  _V  <->  -.  (/)  =  { B } )
195sneqr 4164 . . . . . 6  |-  ( {
(/) }  =  { { B } }  ->  (/)  =  { B } )
20 sneq 4006 . . . . . 6  |-  ( (/)  =  { B }  ->  {
(/) }  =  { { B } } )
2119, 20impbii 190 . . . . 5  |-  ( {
(/) }  =  { { B } }  <->  (/)  =  { B } )
2218, 21xchbinxr 312 . . . 4  |-  ( B  e.  _V  <->  -.  { (/) }  =  { { B } } )
2314, 22anbi12i 701 . . 3  |-  ( ( A  e.  _V  /\  B  e.  _V )  <->  ( -.  { (/) }  =  { { A } ,  (/)
}  /\  -.  { (/) }  =  { { B } } ) )
24 pm4.56 497 . . . 4  |-  ( ( -.  { (/) }  =  { { A } ,  (/)
}  /\  -.  { (/) }  =  { { B } } )  <->  -.  ( { (/) }  =  { { A } ,  (/) }  \/  { (/) }  =  { { B } }
) )
25 snex 4659 . . . . 5  |-  { (/) }  e.  _V
2625elpr 4014 . . . 4  |-  ( {
(/) }  e.  { { { A } ,  (/) } ,  { { B } } }  <->  ( { (/)
}  =  { { A } ,  (/) }  \/  {
(/) }  =  { { B } } ) )
2724, 26xchbinxr 312 . . 3  |-  ( ( -.  { (/) }  =  { { A } ,  (/)
}  /\  -.  { (/) }  =  { { B } } )  <->  -.  { (/) }  e.  { { { A } ,  (/) } ,  { { B } } } )
2823, 27bitri 252 . 2  |-  ( ( A  e.  _V  /\  B  e.  _V )  <->  -. 
{ (/) }  e.  { { { A } ,  (/)
} ,  { { B } } } )
29 df1o2 7199 . . 3  |-  1o  =  { (/) }
3029eleq1i 2499 . 2  |-  ( 1o  e.  { { { A } ,  (/) } ,  { { B } } } 
<->  { (/) }  e.  { { { A } ,  (/)
} ,  { { B } } } )
3128, 30xchbinxr 312 1  |-  ( ( A  e.  _V  /\  B  e.  _V )  <->  -.  1o  e.  { { { A } ,  (/) } ,  { { B } } } )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    <-> wb 187    \/ wo 369    /\ wa 370    = wceq 1437    e. wcel 1868   _Vcvv 3081   (/)c0 3761   {csn 3996   {cpr 3998   1oc1o 7180
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1839  ax-9 1872  ax-10 1887  ax-11 1892  ax-12 1905  ax-13 2053  ax-ext 2400  ax-sep 4543  ax-nul 4552  ax-pr 4657
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2572  df-ne 2620  df-v 3083  df-dif 3439  df-un 3441  df-nul 3762  df-sn 3997  df-pr 3999  df-suc 5445  df-1o 7187
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator