Theorem wopprc 26991

Description: Unrelated: Wiener pairs treat proper classes symmetrically. (Contributed by Stefan O'Rear, 19-Sep-2014.)

Assertion

Ref	Expression
wopprc	|- ( ( A e. _V /\ B e. _V ) <-> -. 1o e. { { { A } , (/) } , { { B } } } )

Proof of Theorem wopprc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfsn2 3788	. . . . . . . . 9 |- { (/) } = { (/) , (/) }
2		id 20	. . . . . . . . 9 |- ( { (/) } = { { A } , (/) } -> { (/) } = { { A } , (/) } )
3	1, 2	syl5reqr 2451	. . . . . . . 8 |- ( { (/) } = { { A } , (/) } -> { { A } , (/) } = { (/) , (/) } )
4		snex 4365	. . . . . . . . 9 |- { A } e. _V
5		0ex 4299	. . . . . . . . 9 |- (/) e. _V
6	4, 5	preqr1 3932	. . . . . . . 8 |- ( { { A } , (/) } = { (/) , (/) } -> { A } = (/) )
7	3, 6	syl 16	. . . . . . 7 |- ( { (/) } = { { A } , (/) } -> { A } = (/) )
8		snprc 3831	. . . . . . 7 |- ( -. A e. _V <-> { A } = (/) )
9	7, 8	sylibr 204	. . . . . 6 |- ( { (/) } = { { A } , (/) } -> -. A e. _V )
10	8	biimpi 187	. . . . . . . 8 |- ( -. A e. _V -> { A } = (/) )
11	10	preq1d 3849	. . . . . . 7 |- ( -. A e. _V -> { { A } , (/) } = { (/) , (/) } )
12	11, 1	syl6reqr 2455	. . . . . 6 |- ( -. A e. _V -> { (/) } = { { A } , (/) } )
13	9, 12	impbii 181	. . . . 5 |- ( { (/) } = { { A } , (/) } <-> -. A e. _V )
14	13	con2bii 323	. . . 4 |- ( A e. _V <-> -. { (/) } = { { A } , (/) } )
15		snprc 3831	. . . . . . 7 |- ( -. B e. _V <-> { B } = (/) )
16		eqcom 2406	. . . . . . 7 |- ( { B } = (/) <-> (/) = { B } )
17	15, 16	bitr2i 242	. . . . . 6 |- ( (/) = { B } <-> -. B e. _V )
18	17	con2bii 323	. . . . 5 |- ( B e. _V <-> -. (/) = { B } )
19	5	sneqr 3926	. . . . . 6 |- ( { (/) } = { { B } } -> (/) = { B } )
20		sneq 3785	. . . . . 6 |- ( (/) = { B } -> { (/) } = { { B } } )
21	19, 20	impbii 181	. . . . 5 |- ( { (/) } = { { B } } <-> (/) = { B } )
22	18, 21	xchbinxr 303	. . . 4 |- ( B e. _V <-> -. { (/) } = { { B } } )
23	14, 22	anbi12i 679	. . 3 |- ( ( A e. _V /\ B e. _V ) <-> ( -. { (/) } = { { A } , (/) } /\ -. { (/) } = { { B } } ) )
24		pm4.56 482	. . . 4 |- ( ( -. { (/) } = { { A } , (/) } /\ -. { (/) } = { { B } } ) <-> -. ( { (/) } = { { A } , (/) } \/ { (/) } = { { B } } ) )
25		snex 4365	. . . . 5 |- { (/) } e. _V
26	25	elpr 3792	. . . 4 |- ( { (/) } e. { { { A } , (/) } , { { B } } } <-> ( { (/) } = { { A } , (/) } \/ { (/) } = { { B } } ) )
27	24, 26	xchbinxr 303	. . 3 |- ( ( -. { (/) } = { { A } , (/) } /\ -. { (/) } = { { B } } ) <-> -. { (/) } e. { { { A } , (/) } , { { B } } } )
28	23, 27	bitri 241	. 2 |- ( ( A e. _V /\ B e. _V ) <-> -. { (/) } e. { { { A } , (/) } , { { B } } } )
29		df1o2 6695	. . 3 |- 1o = { (/) }
30	29	eleq1i 2467	. 2 |- ( 1o e. { { { A } , (/) } , { { B } } } <-> { (/) } e. { { { A } , (/) } , { { B } } } )
31	28, 30	xchbinxr 303	1 |- ( ( A e. _V /\ B e. _V ) <-> -. 1o e. { { { A } , (/) } , { { B } } } )

Syntax hints:   -. wn 3   <-> wb 177   \/ wo 358   /\ wa 359   = wceq 1649   e. wcel 1721   _Vcvv 2916   (/)c0 3588   {csn 3774   {cpr 3775   1oc1o 6676

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pr 4363

This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-v 2918  df-dif 3283  df-un 3285  df-nul 3589  df-sn 3780  df-pr 3781  df-suc 4547  df-1o 6683