Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  wopprc Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem wopprc 35885
Description: Unrelated: Wiener pairs treat proper classes symmetrically. (Contributed by Stefan O'Rear, 19-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
wopprc  |-  ( ( A  e.  _V  /\  B  e.  _V )  <->  -.  1o  e.  { { { A } ,  (/) } ,  { { B } } } )

Proof of Theorem wopprc
StepHypRef Expression
1 dfsn2 3981 . . . . . . . . 9  |-  { (/) }  =  { (/) ,  (/) }
2 id 22 . . . . . . . . 9  |-  ( {
(/) }  =  { { A } ,  (/) }  ->  { (/) }  =  { { A } ,  (/)
} )
31, 2syl5reqr 2500 . . . . . . . 8  |-  ( {
(/) }  =  { { A } ,  (/) }  ->  { { A } ,  (/) }  =  { (/) ,  (/) } )
4 snex 4641 . . . . . . . . 9  |-  { A }  e.  _V
5 0ex 4535 . . . . . . . . 9  |-  (/)  e.  _V
64, 5preqr1 4148 . . . . . . . 8  |-  ( { { A } ,  (/)
}  =  { (/) ,  (/) }  ->  { A }  =  (/) )
73, 6syl 17 . . . . . . 7  |-  ( {
(/) }  =  { { A } ,  (/) }  ->  { A }  =  (/) )
8 snprc 4035 . . . . . . 7  |-  ( -.  A  e.  _V  <->  { A }  =  (/) )
97, 8sylibr 216 . . . . . 6  |-  ( {
(/) }  =  { { A } ,  (/) }  ->  -.  A  e.  _V )
108biimpi 198 . . . . . . . 8  |-  ( -.  A  e.  _V  ->  { A }  =  (/) )
1110preq1d 4057 . . . . . . 7  |-  ( -.  A  e.  _V  ->  { { A } ,  (/)
}  =  { (/) ,  (/) } )
1211, 1syl6reqr 2504 . . . . . 6  |-  ( -.  A  e.  _V  ->  {
(/) }  =  { { A } ,  (/) } )
139, 12impbii 191 . . . . 5  |-  ( {
(/) }  =  { { A } ,  (/) }  <->  -.  A  e.  _V )
1413con2bii 334 . . . 4  |-  ( A  e.  _V  <->  -.  { (/) }  =  { { A } ,  (/) } )
15 snprc 4035 . . . . . . 7  |-  ( -.  B  e.  _V  <->  { B }  =  (/) )
16 eqcom 2458 . . . . . . 7  |-  ( { B }  =  (/)  <->  (/)  =  { B } )
1715, 16bitr2i 254 . . . . . 6  |-  ( (/)  =  { B }  <->  -.  B  e.  _V )
1817con2bii 334 . . . . 5  |-  ( B  e.  _V  <->  -.  (/)  =  { B } )
195sneqr 4139 . . . . . 6  |-  ( {
(/) }  =  { { B } }  ->  (/)  =  { B } )
20 sneq 3978 . . . . . 6  |-  ( (/)  =  { B }  ->  {
(/) }  =  { { B } } )
2119, 20impbii 191 . . . . 5  |-  ( {
(/) }  =  { { B } }  <->  (/)  =  { B } )
2218, 21xchbinxr 313 . . . 4  |-  ( B  e.  _V  <->  -.  { (/) }  =  { { B } } )
2314, 22anbi12i 703 . . 3  |-  ( ( A  e.  _V  /\  B  e.  _V )  <->  ( -.  { (/) }  =  { { A } ,  (/)
}  /\  -.  { (/) }  =  { { B } } ) )
24 pm4.56 498 . . . 4  |-  ( ( -.  { (/) }  =  { { A } ,  (/)
}  /\  -.  { (/) }  =  { { B } } )  <->  -.  ( { (/) }  =  { { A } ,  (/) }  \/  { (/) }  =  { { B } }
) )
25 snex 4641 . . . . 5  |-  { (/) }  e.  _V
2625elpr 3986 . . . 4  |-  ( {
(/) }  e.  { { { A } ,  (/) } ,  { { B } } }  <->  ( { (/)
}  =  { { A } ,  (/) }  \/  {
(/) }  =  { { B } } ) )
2724, 26xchbinxr 313 . . 3  |-  ( ( -.  { (/) }  =  { { A } ,  (/)
}  /\  -.  { (/) }  =  { { B } } )  <->  -.  { (/) }  e.  { { { A } ,  (/) } ,  { { B } } } )
2823, 27bitri 253 . 2  |-  ( ( A  e.  _V  /\  B  e.  _V )  <->  -. 
{ (/) }  e.  { { { A } ,  (/)
} ,  { { B } } } )
29 df1o2 7194 . . 3  |-  1o  =  { (/) }
3029eleq1i 2520 . 2  |-  ( 1o  e.  { { { A } ,  (/) } ,  { { B } } } 
<->  { (/) }  e.  { { { A } ,  (/)
} ,  { { B } } } )
3128, 30xchbinxr 313 1  |-  ( ( A  e.  _V  /\  B  e.  _V )  <->  -.  1o  e.  { { { A } ,  (/) } ,  { { B } } } )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    <-> wb 188    \/ wo 370    /\ wa 371    = wceq 1444    e. wcel 1887   _Vcvv 3045   (/)c0 3731   {csn 3968   {cpr 3970   1oc1o 7175
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pr 4639
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-tru 1447  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-v 3047  df-dif 3407  df-un 3409  df-nul 3732  df-sn 3969  df-pr 3971  df-suc 5429  df-1o 7182
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator