MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  wofi Structured version   Unicode version

Theorem wofi 7761
Description: A total order on a finite set is a well-order. (Contributed by Jeff Madsen, 18-Jun-2010.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 29-Jan-2014.)
Assertion
Ref Expression
wofi  |-  ( ( R  Or  A  /\  A  e.  Fin )  ->  R  We  A )

Proof of Theorem wofi
StepHypRef Expression
1 sopo 4806 . . 3  |-  ( R  Or  A  ->  R  Po  A )
2 frfi 7757 . . 3  |-  ( ( R  Po  A  /\  A  e.  Fin )  ->  R  Fr  A )
31, 2sylan 469 . 2  |-  ( ( R  Or  A  /\  A  e.  Fin )  ->  R  Fr  A )
4 simpl 455 . 2  |-  ( ( R  Or  A  /\  A  e.  Fin )  ->  R  Or  A )
5 df-we 4829 . 2  |-  ( R  We  A  <->  ( R  Fr  A  /\  R  Or  A ) )
63, 4, 5sylanbrc 662 1  |-  ( ( R  Or  A  /\  A  e.  Fin )  ->  R  We  A )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 367    e. wcel 1823    Po wpo 4787    Or wor 4788    Fr wfr 4824    We wwe 4826   Fincfn 7509
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-ral 2809  df-rex 2810  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-tp 4021  df-op 4023  df-uni 4236  df-br 4440  df-opab 4498  df-tr 4533  df-eprel 4780  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-fr 4827  df-we 4829  df-ord 4870  df-on 4871  df-lim 4872  df-suc 4873  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-om 6674  df-1o 7122  df-er 7303  df-en 7510  df-fin 7513
This theorem is referenced by:  wofib  7962  wemapso2OLD  7969  wemapso2lem  7970  finnisoeu  8485  cflim2  8634  fz1isolem  12497
  Copyright terms: Public domain W3C validator