MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  wofi Structured version   Unicode version

Theorem wofi 7667
Description: A total order on a finite set is a well-order. (Contributed by Jeff Madsen, 18-Jun-2010.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 29-Jan-2014.)
Assertion
Ref Expression
wofi  |-  ( ( R  Or  A  /\  A  e.  Fin )  ->  R  We  A )

Proof of Theorem wofi
StepHypRef Expression
1 sopo 4761 . . 3  |-  ( R  Or  A  ->  R  Po  A )
2 frfi 7663 . . 3  |-  ( ( R  Po  A  /\  A  e.  Fin )  ->  R  Fr  A )
31, 2sylan 471 . 2  |-  ( ( R  Or  A  /\  A  e.  Fin )  ->  R  Fr  A )
4 simpl 457 . 2  |-  ( ( R  Or  A  /\  A  e.  Fin )  ->  R  Or  A )
5 df-we 4784 . 2  |-  ( R  We  A  <->  ( R  Fr  A  /\  R  Or  A ) )
63, 4, 5sylanbrc 664 1  |-  ( ( R  Or  A  /\  A  e.  Fin )  ->  R  We  A )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    e. wcel 1758    Po wpo 4742    Or wor 4743    Fr wfr 4779    We wwe 4781   Fincfn 7415
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1954  ax-ext 2431  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4573  ax-pr 4634  ax-un 6477
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2265  df-mo 2266  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2602  df-ne 2647  df-ral 2801  df-rex 2802  df-rab 2805  df-v 3074  df-sbc 3289  df-dif 3434  df-un 3436  df-in 3438  df-ss 3445  df-pss 3447  df-nul 3741  df-if 3895  df-pw 3965  df-sn 3981  df-pr 3983  df-tp 3985  df-op 3987  df-uni 4195  df-br 4396  df-opab 4454  df-tr 4489  df-eprel 4735  df-id 4739  df-po 4744  df-so 4745  df-fr 4782  df-we 4784  df-ord 4825  df-on 4826  df-lim 4827  df-suc 4828  df-xp 4949  df-rel 4950  df-cnv 4951  df-co 4952  df-dm 4953  df-rn 4954  df-res 4955  df-ima 4956  df-iota 5484  df-fun 5523  df-fn 5524  df-f 5525  df-f1 5526  df-fo 5527  df-f1o 5528  df-fv 5529  df-om 6582  df-1o 7025  df-er 7206  df-en 7416  df-fin 7419
This theorem is referenced by:  wofib  7865  wemapso2OLD  7872  wemapso2lem  7873  finnisoeu  8389  cflim2  8538  fz1isolem  12327
  Copyright terms: Public domain W3C validator