Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  wloglei Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem wloglei 10146
 Description: Form of wlogle 10147 where both sides of the equivalence are proven rather than showing that they are equivalent to each other. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
wlogle.1
wlogle.2
wlogle.3
wloglei.4
wloglei.5
Assertion
Ref Expression
wloglei
Distinct variable groups:   ,,,,   ,,,,   ,,   ,,
Allowed substitution hints:   (,)   (,)   (,,,)

Proof of Theorem wloglei
StepHypRef Expression
1 wlogle.3 . . . 4
3 simprr 766 . . 3
42, 3sseldd 3433 . 2
5 simprl 764 . . 3
62, 5sseldd 3433 . 2
7 vex 3048 . . 3
8 vex 3048 . . 3
9 eleq1 2517 . . . . . . 7
10 eleq1 2517 . . . . . . 7
119, 10bi2anan9 884 . . . . . 6
1211anbi2d 710 . . . . 5
13 breq12 4407 . . . . . 6
1413ancoms 455 . . . . 5
1512, 14anbi12d 717 . . . 4
16 wlogle.1 . . . 4
1715, 16imbi12d 322 . . 3
18 vex 3048 . . . 4
19 vex 3048 . . . 4
20 ancom 452 . . . . . . . 8
21 eleq1 2517 . . . . . . . . 9
22 eleq1 2517 . . . . . . . . 9
2321, 22bi2anan9 884 . . . . . . . 8
2420, 23syl5bb 261 . . . . . . 7
2524anbi2d 710 . . . . . 6
26 breq12 4407 . . . . . . 7
2726ancoms 455 . . . . . 6
2825, 27anbi12d 717 . . . . 5
29 equcom 1862 . . . . . . 7
30 equcom 1862 . . . . . . 7
31 wlogle.2 . . . . . . 7
3229, 30, 31syl2anb 482 . . . . . 6
3332bicomd 205 . . . . 5
3428, 33imbi12d 322 . . . 4
35 df-3an 987 . . . . . 6
36 wloglei.4 . . . . . 6
3735, 36sylan2br 479 . . . . 5
3837anassrs 654 . . . 4
3918, 19, 34, 38vtocl2 3102 . . 3
407, 8, 17, 39vtocl2 3102 . 2
41 wloglei.5 . . . 4
4235, 41sylan2br 479 . . 3
4342anassrs 654 . 2
444, 6, 40, 43lecasei 9740 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 188   wa 371   w3a 985   wcel 1887   wss 3404   class class class wbr 4402  cr 9538   cle 9676 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583  ax-resscn 9596  ax-pre-lttri 9613 This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3an 987  df-tru 1447  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-nel 2625  df-ral 2742  df-rex 2743  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-op 3975  df-uni 4199  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-id 4749  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-er 7363  df-en 7570  df-dom 7571  df-sdom 7572  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681 This theorem is referenced by:  wlogle  10147  rescon  29969
 Copyright terms: Public domain W3C validator