Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  wlknwwlknvbij Structured version   Unicode version

Theorem wlknwwlknvbij 25157
 Description: There is a bijection between the set of walks of a fixed length and the set of walks represented by words of the same length and starting at the same vertex. (Contributed by Alexander van der Vekens, 30-Sep-2018.)
Assertion
Ref Expression
wlknwwlknvbij USGrph Walks WWalksN
Distinct variable groups:   ,,,   ,,,   ,,,   ,,,

Proof of Theorem wlknwwlknvbij
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ovex 6306 . . . . 5 Walks
21mptrabex 6125 . . . 4 Walks
32resex 5137 . . 3 Walks Walks
4 eqid 2402 . . . 4 Walks Walks
5 fveq2 5849 . . . . . . . . 9
65fveq2d 5853 . . . . . . . 8
76eqeq1d 2404 . . . . . . 7
87cbvrabv 3058 . . . . . 6 Walks Walks
9 eqid 2402 . . . . . 6 WWalksN WWalksN
10 fveq2 5849 . . . . . . 7
1110cbvmptv 4487 . . . . . 6 Walks Walks
128, 9, 11wlknwwlknbij 25130 . . . . 5 USGrph Walks Walks WWalksN
13123adant3 1017 . . . 4 USGrph Walks Walks WWalksN
14 fveq1 5848 . . . . . 6
1514eqeq1d 2404 . . . . 5
16153ad2ant3 1020 . . . 4 USGrph Walks
174, 13, 16f1oresrab 6042 . . 3 USGrph Walks Walks Walks WWalksN
18 f1oeq1 5790 . . . 4 Walks Walks Walks WWalksN Walks Walks Walks WWalksN
1918spcegv 3145 . . 3 Walks Walks Walks Walks Walks WWalksN Walks WWalksN
203, 17, 19mpsyl 62 . 2 USGrph Walks WWalksN
21 df-rab 2763 . . . . 5 Walks Walks
22 anass 647 . . . . . . 7 Walks Walks
2322bicomi 202 . . . . . 6 Walks Walks
2423abbii 2536 . . . . 5 Walks Walks
25 fveq2 5849 . . . . . . . . . . . 12
2625fveq2d 5853 . . . . . . . . . . 11
2726eqeq1d 2404 . . . . . . . . . 10
2827elrab 3207 . . . . . . . . 9 Walks Walks
2928anbi1i 693 . . . . . . . 8 Walks Walks
3029bicomi 202 . . . . . . 7 Walks Walks
3130abbii 2536 . . . . . 6 Walks Walks
32 df-rab 2763 . . . . . 6 Walks Walks
3331, 32eqtr4i 2434 . . . . 5 Walks Walks
3421, 24, 333eqtri 2435 . . . 4 Walks Walks
35 f1oeq2 5791 . . . 4 Walks Walks Walks WWalksN Walks WWalksN
3634, 35mp1i 13 . . 3 USGrph Walks WWalksN Walks WWalksN
3736exbidv 1735 . 2 USGrph Walks WWalksN Walks WWalksN
3820, 37mpbird 232 1 USGrph Walks WWalksN
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 184   wa 367   w3a 974   wceq 1405  wex 1633   wcel 1842  cab 2387  crab 2758  cvv 3059   class class class wbr 4395   cmpt 4453   cres 4825  wf1o 5568  cfv 5569  (class class class)co 6278  c1st 6782  c2nd 6783  cc0 9522  cn0 10836  chash 12452   USGrph cusg 24747   Walks cwalk 24915   WWalksN cwwlkn 25095 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4507  ax-sep 4517  ax-nul 4525  ax-pow 4572  ax-pr 4630  ax-un 6574  ax-cnex 9578  ax-resscn 9579  ax-1cn 9580  ax-icn 9581  ax-addcl 9582  ax-addrcl 9583  ax-mulcl 9584  ax-mulrcl 9585  ax-mulcom 9586  ax-addass 9587  ax-mulass 9588  ax-distr 9589  ax-i2m1 9590  ax-1ne0 9591  ax-1rid 9592  ax-rnegex 9593  ax-rrecex 9594  ax-cnre 9595  ax-pre-lttri 9596  ax-pre-lttrn 9597  ax-pre-ltadd 9598  ax-pre-mulgt0 9599 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-fal 1411  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2759  df-rex 2760  df-reu 2761  df-rmo 2762  df-rab 2763  df-v 3061  df-sbc 3278  df-csb 3374  df-dif 3417  df-un 3419  df-in 3421  df-ss 3428  df-pss 3430  df-nul 3739  df-if 3886  df-pw 3957  df-sn 3973  df-pr 3975  df-tp 3977  df-op 3979  df-uni 4192  df-int 4228  df-iun 4273  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-tr 4490  df-eprel 4734  df-id 4738  df-po 4744  df-so 4745  df-fr 4782  df-we 4784  df-xp 4829  df-rel 4830  df-cnv 4831  df-co 4832  df-dm 4833  df-rn 4834  df-res 4835  df-ima 4836  df-pred 5367  df-ord 5413  df-on 5414  df-lim 5415  df-suc 5416  df-iota 5533  df-fun 5571  df-fn 5572  df-f 5573  df-f1 5574  df-fo 5575  df-f1o 5576  df-fv 5577  df-riota 6240  df-ov 6281  df-oprab 6282  df-mpt2 6283  df-om 6684  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-wrecs 7013  df-recs 7075  df-rdg 7113  df-1o 7167  df-oadd 7171  df-er 7348  df-map 7459  df-pm 7460  df-en 7555  df-dom 7556  df-sdom 7557  df-fin 7558  df-card 8352  df-cda 8580  df-pnf 9660  df-mnf 9661  df-xr 9662  df-ltxr 9663  df-le 9664  df-sub 9843  df-neg 9844  df-nn 10577  df-2 10635  df-n0 10837  df-z 10906  df-uz 11128  df-fz 11727  df-fzo 11855  df-hash 12453  df-word 12591  df-usgra 24750  df-wlk 24925  df-wwlk 25096  df-wwlkn 25097 This theorem is referenced by:  rusgranumwwlkg  25376
 Copyright terms: Public domain W3C validator