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Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > wlkntrllem3 | Structured version Unicode version |
Description: Lemma 3 for wlkntrl 23606: F is not injective. (Contributed by Alexander van der Vekens, 22-Oct-2017.) |
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wlkntrl.v |
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wlkntrl.e |
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wlkntrl.f |
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wlkntrl.p |
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Ref | Expression |
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wlkntrllem3 |
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Step | Hyp | Ref | Expression |
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1 | ax-1ne0 9455 |
. . 3
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2 | 1 | neii 2648 |
. 2
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3 | 0ne1 10493 |
. . . . 5
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4 | c0ex 9484 |
. . . . . 6
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5 | 1ex 9485 |
. . . . . 6
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6 | 4, 5, 4, 4 | fpr 5992 |
. . . . 5
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7 | 3, 6 | ax-mp 5 |
. . . 4
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8 | wlkntrl.f |
. . . . . 6
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9 | 8 | eqcomi 2464 |
. . . . 5
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10 | 9 | feq1i 5652 |
. . . 4
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11 | 7, 10 | mpbi 208 |
. . 3
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12 | df-f1 5524 |
. . . 4
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13 | dff13 6073 |
. . . . 5
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14 | fveq2 5792 |
. . . . . . . . . . 11
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15 | 14 | eqeq1d 2453 |
. . . . . . . . . 10
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16 | eqeq1 2455 |
. . . . . . . . . 10
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17 | 15, 16 | imbi12d 320 |
. . . . . . . . 9
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18 | 17 | ralbidv 2841 |
. . . . . . . 8
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19 | fveq2 5792 |
. . . . . . . . . . 11
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20 | 19 | eqeq1d 2453 |
. . . . . . . . . 10
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21 | eqeq1 2455 |
. . . . . . . . . 10
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22 | 20, 21 | imbi12d 320 |
. . . . . . . . 9
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23 | 22 | ralbidv 2841 |
. . . . . . . 8
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24 | 4, 5, 18, 23 | ralpr 4030 |
. . . . . . 7
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25 | fveq2 5792 |
. . . . . . . . . . 11
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26 | 25 | eqeq2d 2465 |
. . . . . . . . . 10
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27 | eqeq2 2466 |
. . . . . . . . . 10
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28 | 26, 27 | imbi12d 320 |
. . . . . . . . 9
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29 | fveq2 5792 |
. . . . . . . . . . 11
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30 | 29 | eqeq2d 2465 |
. . . . . . . . . 10
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31 | eqeq2 2466 |
. . . . . . . . . 10
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32 | 30, 31 | imbi12d 320 |
. . . . . . . . 9
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33 | 4, 5, 28, 32 | ralpr 4030 |
. . . . . . . 8
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34 | 25 | eqeq2d 2465 |
. . . . . . . . . 10
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35 | eqeq2 2466 |
. . . . . . . . . 10
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36 | 34, 35 | imbi12d 320 |
. . . . . . . . 9
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37 | 29 | eqeq2d 2465 |
. . . . . . . . . 10
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38 | eqeq2 2466 |
. . . . . . . . . 10
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39 | 37, 38 | imbi12d 320 |
. . . . . . . . 9
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40 | 4, 5, 36, 39 | ralpr 4030 |
. . . . . . . 8
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41 | 8 | fveq1i 5793 |
. . . . . . . . . . . . 13
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42 | 5, 4 | fvpr2 6024 |
. . . . . . . . . . . . . 14
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43 | 3, 42 | mp1i 12 |
. . . . . . . . . . . . 13
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44 | 41, 43 | syl5eq 2504 |
. . . . . . . . . . . 12
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45 | 8 | fveq1i 5793 |
. . . . . . . . . . . . 13
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46 | 4, 4 | fvpr1 6023 |
. . . . . . . . . . . . . 14
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47 | 3, 46 | mp1i 12 |
. . . . . . . . . . . . 13
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48 | 45, 47 | syl5req 2505 |
. . . . . . . . . . . 12
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49 | 44, 48 | eqtrd 2492 |
. . . . . . . . . . 11
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50 | 49 | con1i 129 |
. . . . . . . . . 10
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51 | id 22 |
. . . . . . . . . 10
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52 | 50, 51 | ja 161 |
. . . . . . . . 9
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53 | 52 | ad2antrl 727 |
. . . . . . . 8
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54 | 33, 40, 53 | syl2anb 479 |
. . . . . . 7
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55 | 24, 54 | sylbi 195 |
. . . . . 6
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56 | 55 | adantl 466 |
. . . . 5
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57 | 13, 56 | sylbi 195 |
. . . 4
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58 | 12, 57 | sylbir 213 |
. . 3
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59 | 11, 58 | mpan 670 |
. 2
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60 | 2, 59 | mto 176 |
1
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Colors of variables: wff setvar class |
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This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1592 ax-4 1603 ax-5 1671 ax-6 1710 ax-7 1730 ax-8 1760 ax-9 1762 ax-10 1777 ax-11 1782 ax-12 1794 ax-13 1952 ax-ext 2430 ax-sep 4514 ax-nul 4522 ax-pow 4571 ax-pr 4632 ax-1cn 9444 ax-icn 9445 ax-addcl 9446 ax-mulcl 9448 ax-i2m1 9454 ax-1ne0 9455 |
This theorem depends on definitions: df-bi 185 df-or 370 df-an 371 df-3an 967 df-tru 1373 df-ex 1588 df-nf 1591 df-sb 1703 df-eu 2264 df-mo 2265 df-clab 2437 df-cleq 2443 df-clel 2446 df-nfc 2601 df-ne 2646 df-ral 2800 df-rex 2801 df-rab 2804 df-v 3073 df-sbc 3288 df-dif 3432 df-un 3434 df-in 3436 df-ss 3443 df-nul 3739 df-if 3893 df-sn 3979 df-pr 3981 df-op 3985 df-uni 4193 df-br 4394 df-opab 4452 df-id 4737 df-xp 4947 df-rel 4948 df-cnv 4949 df-co 4950 df-dm 4951 df-rn 4952 df-res 4953 df-iota 5482 df-fun 5521 df-fn 5522 df-f 5523 df-f1 5524 df-fv 5527 |
This theorem is referenced by: wlkntrl 23606 |
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