MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  wlkntrllem2 Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem wlkntrllem2 25290
Description: Lemma 2 for wlkntrl 25292: The values of E after F are edges between two vertices enumerated by P. (Contributed by Alexander van der Vekens, 22-Oct-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
wlkntrl.v  |-  V  =  { x ,  y }
wlkntrl.e  |-  E  =  { <. 0 ,  {
x ,  y }
>. }
wlkntrl.f  |-  F  =  { <. 0 ,  0
>. ,  <. 1 ,  0 >. }
wlkntrl.p  |-  P  =  { <. 0 ,  x >. ,  <. 1 ,  y
>. ,  <. 2 ,  x >. }
Assertion
Ref Expression
wlkntrllem2  |-  A. k  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) ( E `  ( F `
 k ) )  =  { ( P `
 k ) ,  ( P `  (
k  +  1 ) ) }
Distinct variable groups:    k, E    k, F    P, k
Allowed substitution hints:    P( x, y)    E( x, y)    F( x, y)    V( x, y, k)

Proof of Theorem wlkntrllem2
StepHypRef Expression
1 wlkntrl.f . . . . . . 7  |-  F  =  { <. 0 ,  0
>. ,  <. 1 ,  0 >. }
21fveq1i 5866 . . . . . 6  |-  ( F `
 0 )  =  ( { <. 0 ,  0 >. ,  <. 1 ,  0 >. } `
 0 )
3 0ne1 10677 . . . . . . 7  |-  0  =/=  1
4 c0ex 9637 . . . . . . . 8  |-  0  e.  _V
54, 4fvpr1 6107 . . . . . . 7  |-  ( 0  =/=  1  ->  ( { <. 0 ,  0
>. ,  <. 1 ,  0 >. } `  0
)  =  0 )
63, 5ax-mp 5 . . . . . 6  |-  ( {
<. 0 ,  0
>. ,  <. 1 ,  0 >. } `  0
)  =  0
72, 6eqtri 2473 . . . . 5  |-  ( F `
 0 )  =  0
87fveq2i 5868 . . . 4  |-  ( E `
 ( F ` 
0 ) )  =  ( E `  0
)
9 wlkntrl.e . . . . . 6  |-  E  =  { <. 0 ,  {
x ,  y }
>. }
109fveq1i 5866 . . . . 5  |-  ( E `
 0 )  =  ( { <. 0 ,  { x ,  y } >. } `  0
)
11 prex 4642 . . . . . 6  |-  { x ,  y }  e.  _V
124, 11fvsn 6097 . . . . 5  |-  ( {
<. 0 ,  {
x ,  y }
>. } `  0 )  =  { x ,  y }
1310, 12eqtri 2473 . . . 4  |-  ( E `
 0 )  =  { x ,  y }
14 wlkntrl.p . . . . . . 7  |-  P  =  { <. 0 ,  x >. ,  <. 1 ,  y
>. ,  <. 2 ,  x >. }
1514fveq1i 5866 . . . . . 6  |-  ( P `
 0 )  =  ( { <. 0 ,  x >. ,  <. 1 ,  y >. ,  <. 2 ,  x >. } `
 0 )
16 0ne2 10821 . . . . . . 7  |-  0  =/=  2
17 vex 3048 . . . . . . . 8  |-  x  e. 
_V
184, 17fvtp1 6111 . . . . . . 7  |-  ( ( 0  =/=  1  /\  0  =/=  2 )  ->  ( { <. 0 ,  x >. , 
<. 1 ,  y
>. ,  <. 2 ,  x >. } `  0
)  =  x )
193, 16, 18mp2an 678 . . . . . 6  |-  ( {
<. 0 ,  x >. ,  <. 1 ,  y
>. ,  <. 2 ,  x >. } `  0
)  =  x
2015, 19eqtr2i 2474 . . . . 5  |-  x  =  ( P `  0
)
2114fveq1i 5866 . . . . . 6  |-  ( P `
 1 )  =  ( { <. 0 ,  x >. ,  <. 1 ,  y >. ,  <. 2 ,  x >. } `
 1 )
22 1ne2 10822 . . . . . . 7  |-  1  =/=  2
23 1ex 9638 . . . . . . . 8  |-  1  e.  _V
24 vex 3048 . . . . . . . 8  |-  y  e. 
_V
2523, 24fvtp2 6112 . . . . . . 7  |-  ( ( 0  =/=  1  /\  1  =/=  2 )  ->  ( { <. 0 ,  x >. , 
<. 1 ,  y
>. ,  <. 2 ,  x >. } `  1
)  =  y )
263, 22, 25mp2an 678 . . . . . 6  |-  ( {
<. 0 ,  x >. ,  <. 1 ,  y
>. ,  <. 2 ,  x >. } `  1
)  =  y
2721, 26eqtr2i 2474 . . . . 5  |-  y  =  ( P `  1
)
2820, 27preq12i 4056 . . . 4  |-  { x ,  y }  =  { ( P ` 
0 ) ,  ( P `  1 ) }
298, 13, 283eqtri 2477 . . 3  |-  ( E `
 ( F ` 
0 ) )  =  { ( P ` 
0 ) ,  ( P `  1 ) }
301fveq1i 5866 . . . . . 6  |-  ( F `
 1 )  =  ( { <. 0 ,  0 >. ,  <. 1 ,  0 >. } `
 1 )
3123, 4fvpr2 6108 . . . . . . 7  |-  ( 0  =/=  1  ->  ( { <. 0 ,  0
>. ,  <. 1 ,  0 >. } `  1
)  =  0 )
323, 31ax-mp 5 . . . . . 6  |-  ( {
<. 0 ,  0
>. ,  <. 1 ,  0 >. } `  1
)  =  0
3330, 32eqtri 2473 . . . . 5  |-  ( F `
 1 )  =  0
3433fveq2i 5868 . . . 4  |-  ( E `
 ( F ` 
1 ) )  =  ( E `  0
)
35 prcom 4050 . . . . 5  |-  { x ,  y }  =  { y ,  x }
3614fveq1i 5866 . . . . . . 7  |-  ( P `
 2 )  =  ( { <. 0 ,  x >. ,  <. 1 ,  y >. ,  <. 2 ,  x >. } `
 2 )
37 2ex 10681 . . . . . . . . 9  |-  2  e.  _V
3837, 17fvtp3 6113 . . . . . . . 8  |-  ( ( 0  =/=  2  /\  1  =/=  2 )  ->  ( { <. 0 ,  x >. , 
<. 1 ,  y
>. ,  <. 2 ,  x >. } `  2
)  =  x )
3916, 22, 38mp2an 678 . . . . . . 7  |-  ( {
<. 0 ,  x >. ,  <. 1 ,  y
>. ,  <. 2 ,  x >. } `  2
)  =  x
4036, 39eqtr2i 2474 . . . . . 6  |-  x  =  ( P `  2
)
4127, 40preq12i 4056 . . . . 5  |-  { y ,  x }  =  { ( P ` 
1 ) ,  ( P `  2 ) }
4235, 41eqtri 2473 . . . 4  |-  { x ,  y }  =  { ( P ` 
1 ) ,  ( P `  2 ) }
4334, 13, 423eqtri 2477 . . 3  |-  ( E `
 ( F ` 
1 ) )  =  { ( P ` 
1 ) ,  ( P `  2 ) }
44 0p1e1 10721 . . . . . 6  |-  ( 0  +  1 )  =  1
4544preq2i 4055 . . . . 5  |-  { 0 ,  ( 0  +  1 ) }  =  { 0 ,  1 }
4645raleqi 2991 . . . 4  |-  ( A. k  e.  { 0 ,  ( 0  +  1 ) }  ( E `  ( F `  k ) )  =  { ( P `  k ) ,  ( P `  ( k  +  1 ) ) }  <->  A. k  e.  {
0 ,  1 }  ( E `  ( F `  k )
)  =  { ( P `  k ) ,  ( P `  ( k  +  1 ) ) } )
47 fveq2 5865 . . . . . . 7  |-  ( k  =  0  ->  ( F `  k )  =  ( F ` 
0 ) )
4847fveq2d 5869 . . . . . 6  |-  ( k  =  0  ->  ( E `  ( F `  k ) )  =  ( E `  ( F `  0 )
) )
49 fveq2 5865 . . . . . . 7  |-  ( k  =  0  ->  ( P `  k )  =  ( P ` 
0 ) )
50 oveq1 6297 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  0  ->  (
k  +  1 )  =  ( 0  +  1 ) )
5150, 44syl6eq 2501 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  0  ->  (
k  +  1 )  =  1 )
5251fveq2d 5869 . . . . . . 7  |-  ( k  =  0  ->  ( P `  ( k  +  1 ) )  =  ( P ` 
1 ) )
5349, 52preq12d 4059 . . . . . 6  |-  ( k  =  0  ->  { ( P `  k ) ,  ( P `  ( k  +  1 ) ) }  =  { ( P ` 
0 ) ,  ( P `  1 ) } )
5448, 53eqeq12d 2466 . . . . 5  |-  ( k  =  0  ->  (
( E `  ( F `  k )
)  =  { ( P `  k ) ,  ( P `  ( k  +  1 ) ) }  <->  ( E `  ( F `  0
) )  =  {
( P `  0
) ,  ( P `
 1 ) } ) )
55 fveq2 5865 . . . . . . 7  |-  ( k  =  1  ->  ( F `  k )  =  ( F ` 
1 ) )
5655fveq2d 5869 . . . . . 6  |-  ( k  =  1  ->  ( E `  ( F `  k ) )  =  ( E `  ( F `  1 )
) )
57 fveq2 5865 . . . . . . 7  |-  ( k  =  1  ->  ( P `  k )  =  ( P ` 
1 ) )
58 oveq1 6297 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  1  ->  (
k  +  1 )  =  ( 1  +  1 ) )
59 1p1e2 10723 . . . . . . . . 9  |-  ( 1  +  1 )  =  2
6058, 59syl6eq 2501 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  1  ->  (
k  +  1 )  =  2 )
6160fveq2d 5869 . . . . . . 7  |-  ( k  =  1  ->  ( P `  ( k  +  1 ) )  =  ( P ` 
2 ) )
6257, 61preq12d 4059 . . . . . 6  |-  ( k  =  1  ->  { ( P `  k ) ,  ( P `  ( k  +  1 ) ) }  =  { ( P ` 
1 ) ,  ( P `  2 ) } )
6356, 62eqeq12d 2466 . . . . 5  |-  ( k  =  1  ->  (
( E `  ( F `  k )
)  =  { ( P `  k ) ,  ( P `  ( k  +  1 ) ) }  <->  ( E `  ( F `  1
) )  =  {
( P `  1
) ,  ( P `
 2 ) } ) )
644, 23, 54, 63ralpr 4025 . . . 4  |-  ( A. k  e.  { 0 ,  1 }  ( E `  ( F `  k ) )  =  { ( P `  k ) ,  ( P `  ( k  +  1 ) ) }  <->  ( ( E `
 ( F ` 
0 ) )  =  { ( P ` 
0 ) ,  ( P `  1 ) }  /\  ( E `
 ( F ` 
1 ) )  =  { ( P ` 
1 ) ,  ( P `  2 ) } ) )
6546, 64bitri 253 . . 3  |-  ( A. k  e.  { 0 ,  ( 0  +  1 ) }  ( E `  ( F `  k ) )  =  { ( P `  k ) ,  ( P `  ( k  +  1 ) ) }  <->  ( ( E `
 ( F ` 
0 ) )  =  { ( P ` 
0 ) ,  ( P `  1 ) }  /\  ( E `
 ( F ` 
1 ) )  =  { ( P ` 
1 ) ,  ( P `  2 ) } ) )
6629, 43, 65mpbir2an 931 . 2  |-  A. k  e.  { 0 ,  ( 0  +  1 ) }  ( E `  ( F `  k ) )  =  { ( P `  k ) ,  ( P `  ( k  +  1 ) ) }
67 0z 10948 . . . . . . 7  |-  0  e.  ZZ
6867, 67pm3.2i 457 . . . . . 6  |-  ( 0  e.  ZZ  /\  0  e.  ZZ )
6968, 12trllemA 25280 . . . . 5  |-  ( # `  F )  =  2
7069oveq2i 6301 . . . 4  |-  ( 0..^ ( # `  F
) )  =  ( 0..^ 2 )
71 2z 10969 . . . . 5  |-  2  e.  ZZ
72 fzoval 11921 . . . . 5  |-  ( 2  e.  ZZ  ->  (
0..^ 2 )  =  ( 0 ... (
2  -  1 ) ) )
7371, 72ax-mp 5 . . . 4  |-  ( 0..^ 2 )  =  ( 0 ... ( 2  -  1 ) )
74 2m1e1 10724 . . . . . 6  |-  ( 2  -  1 )  =  1
7574oveq2i 6301 . . . . 5  |-  ( 0 ... ( 2  -  1 ) )  =  ( 0 ... 1
)
76 1e0p1 11079 . . . . . 6  |-  1  =  ( 0  +  1 )
7776oveq2i 6301 . . . . 5  |-  ( 0 ... 1 )  =  ( 0 ... (
0  +  1 ) )
78 fzpr 11851 . . . . . 6  |-  ( 0  e.  ZZ  ->  (
0 ... ( 0  +  1 ) )  =  { 0 ,  ( 0  +  1 ) } )
7967, 78ax-mp 5 . . . . 5  |-  ( 0 ... ( 0  +  1 ) )  =  { 0 ,  ( 0  +  1 ) }
8075, 77, 793eqtri 2477 . . . 4  |-  ( 0 ... ( 2  -  1 ) )  =  { 0 ,  ( 0  +  1 ) }
8170, 73, 803eqtri 2477 . . 3  |-  ( 0..^ ( # `  F
) )  =  {
0 ,  ( 0  +  1 ) }
8281raleqi 2991 . 2  |-  ( A. k  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) ( E `
 ( F `  k ) )  =  { ( P `  k ) ,  ( P `  ( k  +  1 ) ) }  <->  A. k  e.  {
0 ,  ( 0  +  1 ) }  ( E `  ( F `  k )
)  =  { ( P `  k ) ,  ( P `  ( k  +  1 ) ) } )
8366, 82mpbir 213 1  |-  A. k  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) ( E `  ( F `
 k ) )  =  { ( P `
 k ) ,  ( P `  (
k  +  1 ) ) }
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    /\ wa 371    = wceq 1444    e. wcel 1887    =/= wne 2622   A.wral 2737   {csn 3968   {cpr 3970   {ctp 3972   <.cop 3974   ` cfv 5582  (class class class)co 6290   0cc0 9539   1c1 9540    + caddc 9542    - cmin 9860   2c2 10659   ZZcz 10937   ...cfz 11784  ..^cfzo 11915   #chash 12515
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-rep 4515  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-nel 2625  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rmo 2745  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-pss 3420  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-tp 3973  df-op 3975  df-uni 4199  df-int 4235  df-iun 4280  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4498  df-eprel 4745  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-fr 4793  df-we 4795  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-pred 5380  df-ord 5426  df-on 5427  df-lim 5428  df-suc 5429  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-riota 6252  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-om 6693  df-1st 6793  df-2nd 6794  df-wrecs 7028  df-recs 7090  df-rdg 7128  df-1o 7182  df-oadd 7186  df-er 7363  df-en 7570  df-dom 7571  df-sdom 7572  df-fin 7573  df-card 8373  df-cda 8598  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-nn 10610  df-2 10668  df-n0 10870  df-z 10938  df-uz 11160  df-fz 11785  df-fzo 11916  df-hash 12516
This theorem is referenced by:  wlkntrl  25292
  Copyright terms: Public domain W3C validator