MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  wlkntrllem2 Structured version   Unicode version

Theorem wlkntrllem2 23631
Description: Lemma 2 for wlkntrl 23633: The values of E after F are edges between two vertices enumerated by P. (Contributed by Alexander van der Vekens, 22-Oct-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
wlkntrl.v  |-  V  =  { x ,  y }
wlkntrl.e  |-  E  =  { <. 0 ,  {
x ,  y }
>. }
wlkntrl.f  |-  F  =  { <. 0 ,  0
>. ,  <. 1 ,  0 >. }
wlkntrl.p  |-  P  =  { <. 0 ,  x >. ,  <. 1 ,  y
>. ,  <. 2 ,  x >. }
Assertion
Ref Expression
wlkntrllem2  |-  A. k  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) ( E `  ( F `
 k ) )  =  { ( P `
 k ) ,  ( P `  (
k  +  1 ) ) }
Distinct variable groups:    k, E    k, F    P, k
Allowed substitution hints:    P( x, y)    E( x, y)    F( x, y)    V( x, y, k)

Proof of Theorem wlkntrllem2
StepHypRef Expression
1 wlkntrl.f . . . . . . 7  |-  F  =  { <. 0 ,  0
>. ,  <. 1 ,  0 >. }
21fveq1i 5803 . . . . . 6  |-  ( F `
 0 )  =  ( { <. 0 ,  0 >. ,  <. 1 ,  0 >. } `
 0 )
3 0ne1 10503 . . . . . . 7  |-  0  =/=  1
4 c0ex 9494 . . . . . . . 8  |-  0  e.  _V
54, 4fvpr1 6033 . . . . . . 7  |-  ( 0  =/=  1  ->  ( { <. 0 ,  0
>. ,  <. 1 ,  0 >. } `  0
)  =  0 )
63, 5ax-mp 5 . . . . . 6  |-  ( {
<. 0 ,  0
>. ,  <. 1 ,  0 >. } `  0
)  =  0
72, 6eqtri 2483 . . . . 5  |-  ( F `
 0 )  =  0
87fveq2i 5805 . . . 4  |-  ( E `
 ( F ` 
0 ) )  =  ( E `  0
)
9 wlkntrl.e . . . . . 6  |-  E  =  { <. 0 ,  {
x ,  y }
>. }
109fveq1i 5803 . . . . 5  |-  ( E `
 0 )  =  ( { <. 0 ,  { x ,  y } >. } `  0
)
11 prex 4645 . . . . . 6  |-  { x ,  y }  e.  _V
124, 11fvsn 6023 . . . . 5  |-  ( {
<. 0 ,  {
x ,  y }
>. } `  0 )  =  { x ,  y }
1310, 12eqtri 2483 . . . 4  |-  ( E `
 0 )  =  { x ,  y }
14 wlkntrl.p . . . . . . 7  |-  P  =  { <. 0 ,  x >. ,  <. 1 ,  y
>. ,  <. 2 ,  x >. }
1514fveq1i 5803 . . . . . 6  |-  ( P `
 0 )  =  ( { <. 0 ,  x >. ,  <. 1 ,  y >. ,  <. 2 ,  x >. } `
 0 )
16 0ne2 10647 . . . . . . 7  |-  0  =/=  2
17 vex 3081 . . . . . . . 8  |-  x  e. 
_V
184, 17fvtp1 6037 . . . . . . 7  |-  ( ( 0  =/=  1  /\  0  =/=  2 )  ->  ( { <. 0 ,  x >. , 
<. 1 ,  y
>. ,  <. 2 ,  x >. } `  0
)  =  x )
193, 16, 18mp2an 672 . . . . . 6  |-  ( {
<. 0 ,  x >. ,  <. 1 ,  y
>. ,  <. 2 ,  x >. } `  0
)  =  x
2015, 19eqtr2i 2484 . . . . 5  |-  x  =  ( P `  0
)
2114fveq1i 5803 . . . . . 6  |-  ( P `
 1 )  =  ( { <. 0 ,  x >. ,  <. 1 ,  y >. ,  <. 2 ,  x >. } `
 1 )
22 1ne2 10648 . . . . . . 7  |-  1  =/=  2
23 1ex 9495 . . . . . . . 8  |-  1  e.  _V
24 vex 3081 . . . . . . . 8  |-  y  e. 
_V
2523, 24fvtp2 6038 . . . . . . 7  |-  ( ( 0  =/=  1  /\  1  =/=  2 )  ->  ( { <. 0 ,  x >. , 
<. 1 ,  y
>. ,  <. 2 ,  x >. } `  1
)  =  y )
263, 22, 25mp2an 672 . . . . . 6  |-  ( {
<. 0 ,  x >. ,  <. 1 ,  y
>. ,  <. 2 ,  x >. } `  1
)  =  y
2721, 26eqtr2i 2484 . . . . 5  |-  y  =  ( P `  1
)
2820, 27preq12i 4070 . . . 4  |-  { x ,  y }  =  { ( P ` 
0 ) ,  ( P `  1 ) }
298, 13, 283eqtri 2487 . . 3  |-  ( E `
 ( F ` 
0 ) )  =  { ( P ` 
0 ) ,  ( P `  1 ) }
301fveq1i 5803 . . . . . 6  |-  ( F `
 1 )  =  ( { <. 0 ,  0 >. ,  <. 1 ,  0 >. } `
 1 )
3123, 4fvpr2 6034 . . . . . . 7  |-  ( 0  =/=  1  ->  ( { <. 0 ,  0
>. ,  <. 1 ,  0 >. } `  1
)  =  0 )
323, 31ax-mp 5 . . . . . 6  |-  ( {
<. 0 ,  0
>. ,  <. 1 ,  0 >. } `  1
)  =  0
3330, 32eqtri 2483 . . . . 5  |-  ( F `
 1 )  =  0
3433fveq2i 5805 . . . 4  |-  ( E `
 ( F ` 
1 ) )  =  ( E `  0
)
35 prcom 4064 . . . . 5  |-  { x ,  y }  =  { y ,  x }
3614fveq1i 5803 . . . . . . 7  |-  ( P `
 2 )  =  ( { <. 0 ,  x >. ,  <. 1 ,  y >. ,  <. 2 ,  x >. } `
 2 )
37 2ex 10507 . . . . . . . . 9  |-  2  e.  _V
3837, 17fvtp3 6039 . . . . . . . 8  |-  ( ( 0  =/=  2  /\  1  =/=  2 )  ->  ( { <. 0 ,  x >. , 
<. 1 ,  y
>. ,  <. 2 ,  x >. } `  2
)  =  x )
3916, 22, 38mp2an 672 . . . . . . 7  |-  ( {
<. 0 ,  x >. ,  <. 1 ,  y
>. ,  <. 2 ,  x >. } `  2
)  =  x
4036, 39eqtr2i 2484 . . . . . 6  |-  x  =  ( P `  2
)
4127, 40preq12i 4070 . . . . 5  |-  { y ,  x }  =  { ( P ` 
1 ) ,  ( P `  2 ) }
4235, 41eqtri 2483 . . . 4  |-  { x ,  y }  =  { ( P ` 
1 ) ,  ( P `  2 ) }
4334, 13, 423eqtri 2487 . . 3  |-  ( E `
 ( F ` 
1 ) )  =  { ( P ` 
1 ) ,  ( P `  2 ) }
44 0p1e1 10547 . . . . . 6  |-  ( 0  +  1 )  =  1
4544preq2i 4069 . . . . 5  |-  { 0 ,  ( 0  +  1 ) }  =  { 0 ,  1 }
4645raleqi 3027 . . . 4  |-  ( A. k  e.  { 0 ,  ( 0  +  1 ) }  ( E `  ( F `  k ) )  =  { ( P `  k ) ,  ( P `  ( k  +  1 ) ) }  <->  A. k  e.  {
0 ,  1 }  ( E `  ( F `  k )
)  =  { ( P `  k ) ,  ( P `  ( k  +  1 ) ) } )
47 fveq2 5802 . . . . . . 7  |-  ( k  =  0  ->  ( F `  k )  =  ( F ` 
0 ) )
4847fveq2d 5806 . . . . . 6  |-  ( k  =  0  ->  ( E `  ( F `  k ) )  =  ( E `  ( F `  0 )
) )
49 fveq2 5802 . . . . . . 7  |-  ( k  =  0  ->  ( P `  k )  =  ( P ` 
0 ) )
50 oveq1 6210 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  0  ->  (
k  +  1 )  =  ( 0  +  1 ) )
5150, 44syl6eq 2511 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  0  ->  (
k  +  1 )  =  1 )
5251fveq2d 5806 . . . . . . 7  |-  ( k  =  0  ->  ( P `  ( k  +  1 ) )  =  ( P ` 
1 ) )
5349, 52preq12d 4073 . . . . . 6  |-  ( k  =  0  ->  { ( P `  k ) ,  ( P `  ( k  +  1 ) ) }  =  { ( P ` 
0 ) ,  ( P `  1 ) } )
5448, 53eqeq12d 2476 . . . . 5  |-  ( k  =  0  ->  (
( E `  ( F `  k )
)  =  { ( P `  k ) ,  ( P `  ( k  +  1 ) ) }  <->  ( E `  ( F `  0
) )  =  {
( P `  0
) ,  ( P `
 1 ) } ) )
55 fveq2 5802 . . . . . . 7  |-  ( k  =  1  ->  ( F `  k )  =  ( F ` 
1 ) )
5655fveq2d 5806 . . . . . 6  |-  ( k  =  1  ->  ( E `  ( F `  k ) )  =  ( E `  ( F `  1 )
) )
57 fveq2 5802 . . . . . . 7  |-  ( k  =  1  ->  ( P `  k )  =  ( P ` 
1 ) )
58 oveq1 6210 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  1  ->  (
k  +  1 )  =  ( 1  +  1 ) )
59 1p1e2 10549 . . . . . . . . 9  |-  ( 1  +  1 )  =  2
6058, 59syl6eq 2511 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  1  ->  (
k  +  1 )  =  2 )
6160fveq2d 5806 . . . . . . 7  |-  ( k  =  1  ->  ( P `  ( k  +  1 ) )  =  ( P ` 
2 ) )
6257, 61preq12d 4073 . . . . . 6  |-  ( k  =  1  ->  { ( P `  k ) ,  ( P `  ( k  +  1 ) ) }  =  { ( P ` 
1 ) ,  ( P `  2 ) } )
6356, 62eqeq12d 2476 . . . . 5  |-  ( k  =  1  ->  (
( E `  ( F `  k )
)  =  { ( P `  k ) ,  ( P `  ( k  +  1 ) ) }  <->  ( E `  ( F `  1
) )  =  {
( P `  1
) ,  ( P `
 2 ) } ) )
644, 23, 54, 63ralpr 4040 . . . 4  |-  ( A. k  e.  { 0 ,  1 }  ( E `  ( F `  k ) )  =  { ( P `  k ) ,  ( P `  ( k  +  1 ) ) }  <->  ( ( E `
 ( F ` 
0 ) )  =  { ( P ` 
0 ) ,  ( P `  1 ) }  /\  ( E `
 ( F ` 
1 ) )  =  { ( P ` 
1 ) ,  ( P `  2 ) } ) )
6546, 64bitri 249 . . 3  |-  ( A. k  e.  { 0 ,  ( 0  +  1 ) }  ( E `  ( F `  k ) )  =  { ( P `  k ) ,  ( P `  ( k  +  1 ) ) }  <->  ( ( E `
 ( F ` 
0 ) )  =  { ( P ` 
0 ) ,  ( P `  1 ) }  /\  ( E `
 ( F ` 
1 ) )  =  { ( P ` 
1 ) ,  ( P `  2 ) } ) )
6629, 43, 65mpbir2an 911 . 2  |-  A. k  e.  { 0 ,  ( 0  +  1 ) }  ( E `  ( F `  k ) )  =  { ( P `  k ) ,  ( P `  ( k  +  1 ) ) }
67 0z 10771 . . . . . . 7  |-  0  e.  ZZ
6867, 67pm3.2i 455 . . . . . 6  |-  ( 0  e.  ZZ  /\  0  e.  ZZ )
6968, 12trllemA 23621 . . . . 5  |-  ( # `  F )  =  2
7069oveq2i 6214 . . . 4  |-  ( 0..^ ( # `  F
) )  =  ( 0..^ 2 )
71 2z 10792 . . . . 5  |-  2  e.  ZZ
72 fzoval 11674 . . . . 5  |-  ( 2  e.  ZZ  ->  (
0..^ 2 )  =  ( 0 ... (
2  -  1 ) ) )
7371, 72ax-mp 5 . . . 4  |-  ( 0..^ 2 )  =  ( 0 ... ( 2  -  1 ) )
74 2m1e1 10550 . . . . . 6  |-  ( 2  -  1 )  =  1
7574oveq2i 6214 . . . . 5  |-  ( 0 ... ( 2  -  1 ) )  =  ( 0 ... 1
)
76 1e0p1 10897 . . . . . 6  |-  1  =  ( 0  +  1 )
7776oveq2i 6214 . . . . 5  |-  ( 0 ... 1 )  =  ( 0 ... (
0  +  1 ) )
78 fzpr 11631 . . . . . 6  |-  ( 0  e.  ZZ  ->  (
0 ... ( 0  +  1 ) )  =  { 0 ,  ( 0  +  1 ) } )
7967, 78ax-mp 5 . . . . 5  |-  ( 0 ... ( 0  +  1 ) )  =  { 0 ,  ( 0  +  1 ) }
8075, 77, 793eqtri 2487 . . . 4  |-  ( 0 ... ( 2  -  1 ) )  =  { 0 ,  ( 0  +  1 ) }
8170, 73, 803eqtri 2487 . . 3  |-  ( 0..^ ( # `  F
) )  =  {
0 ,  ( 0  +  1 ) }
8281raleqi 3027 . 2  |-  ( A. k  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) ( E `
 ( F `  k ) )  =  { ( P `  k ) ,  ( P `  ( k  +  1 ) ) }  <->  A. k  e.  {
0 ,  ( 0  +  1 ) }  ( E `  ( F `  k )
)  =  { ( P `  k ) ,  ( P `  ( k  +  1 ) ) } )
8366, 82mpbir 209 1  |-  A. k  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) ( E `  ( F `
 k ) )  =  { ( P `
 k ) ,  ( P `  (
k  +  1 ) ) }
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    /\ wa 369    = wceq 1370    e. wcel 1758    =/= wne 2648   A.wral 2799   {csn 3988   {cpr 3990   {ctp 3992   <.cop 3994   ` cfv 5529  (class class class)co 6203   0cc0 9396   1c1 9397    + caddc 9399    - cmin 9709   2c2 10485   ZZcz 10760   ...cfz 11557  ..^cfzo 11668   #chash 12223
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4514  ax-sep 4524  ax-nul 4532  ax-pow 4581  ax-pr 4642  ax-un 6485  ax-cnex 9452  ax-resscn 9453  ax-1cn 9454  ax-icn 9455  ax-addcl 9456  ax-addrcl 9457  ax-mulcl 9458  ax-mulrcl 9459  ax-mulcom 9460  ax-addass 9461  ax-mulass 9462  ax-distr 9463  ax-i2m1 9464  ax-1ne0 9465  ax-1rid 9466  ax-rnegex 9467  ax-rrecex 9468  ax-cnre 9469  ax-pre-lttri 9470  ax-pre-lttrn 9471  ax-pre-ltadd 9472  ax-pre-mulgt0 9473
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-nel 2651  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rmo 2807  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3399  df-dif 3442  df-un 3444  df-in 3446  df-ss 3453  df-pss 3455  df-nul 3749  df-if 3903  df-pw 3973  df-sn 3989  df-pr 3991  df-tp 3993  df-op 3995  df-uni 4203  df-int 4240  df-iun 4284  df-br 4404  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4497  df-eprel 4743  df-id 4747  df-po 4752  df-so 4753  df-fr 4790  df-we 4792  df-ord 4833  df-on 4834  df-lim 4835  df-suc 4836  df-xp 4957  df-rel 4958  df-cnv 4959  df-co 4960  df-dm 4961  df-rn 4962  df-res 4963  df-ima 4964  df-iota 5492  df-fun 5531  df-fn 5532  df-f 5533  df-f1 5534  df-fo 5535  df-f1o 5536  df-fv 5537  df-riota 6164  df-ov 6206  df-oprab 6207  df-mpt2 6208  df-om 6590  df-1st 6690  df-2nd 6691  df-recs 6945  df-rdg 6979  df-1o 7033  df-oadd 7037  df-er 7214  df-en 7424  df-dom 7425  df-sdom 7426  df-fin 7427  df-card 8223  df-cda 8451  df-pnf 9534  df-mnf 9535  df-xr 9536  df-ltxr 9537  df-le 9538  df-sub 9711  df-neg 9712  df-nn 10437  df-2 10494  df-n0 10694  df-z 10761  df-uz 10976  df-fz 11558  df-fzo 11669  df-hash 12224
This theorem is referenced by:  wlkntrl  23633
  Copyright terms: Public domain W3C validator