MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  wlkntrllem2 Structured version   Unicode version

Theorem wlkntrllem2 24335
Description: Lemma 2 for wlkntrl 24337: The values of E after F are edges between two vertices enumerated by P. (Contributed by Alexander van der Vekens, 22-Oct-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
wlkntrl.v  |-  V  =  { x ,  y }
wlkntrl.e  |-  E  =  { <. 0 ,  {
x ,  y }
>. }
wlkntrl.f  |-  F  =  { <. 0 ,  0
>. ,  <. 1 ,  0 >. }
wlkntrl.p  |-  P  =  { <. 0 ,  x >. ,  <. 1 ,  y
>. ,  <. 2 ,  x >. }
Assertion
Ref Expression
wlkntrllem2  |-  A. k  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) ( E `  ( F `
 k ) )  =  { ( P `
 k ) ,  ( P `  (
k  +  1 ) ) }
Distinct variable groups:    k, E    k, F    P, k
Allowed substitution hints:    P( x, y)    E( x, y)    F( x, y)    V( x, y, k)

Proof of Theorem wlkntrllem2
StepHypRef Expression
1 wlkntrl.f . . . . . . 7  |-  F  =  { <. 0 ,  0
>. ,  <. 1 ,  0 >. }
21fveq1i 5867 . . . . . 6  |-  ( F `
 0 )  =  ( { <. 0 ,  0 >. ,  <. 1 ,  0 >. } `
 0 )
3 0ne1 10604 . . . . . . 7  |-  0  =/=  1
4 c0ex 9591 . . . . . . . 8  |-  0  e.  _V
54, 4fvpr1 6105 . . . . . . 7  |-  ( 0  =/=  1  ->  ( { <. 0 ,  0
>. ,  <. 1 ,  0 >. } `  0
)  =  0 )
63, 5ax-mp 5 . . . . . 6  |-  ( {
<. 0 ,  0
>. ,  <. 1 ,  0 >. } `  0
)  =  0
72, 6eqtri 2496 . . . . 5  |-  ( F `
 0 )  =  0
87fveq2i 5869 . . . 4  |-  ( E `
 ( F ` 
0 ) )  =  ( E `  0
)
9 wlkntrl.e . . . . . 6  |-  E  =  { <. 0 ,  {
x ,  y }
>. }
109fveq1i 5867 . . . . 5  |-  ( E `
 0 )  =  ( { <. 0 ,  { x ,  y } >. } `  0
)
11 prex 4689 . . . . . 6  |-  { x ,  y }  e.  _V
124, 11fvsn 6095 . . . . 5  |-  ( {
<. 0 ,  {
x ,  y }
>. } `  0 )  =  { x ,  y }
1310, 12eqtri 2496 . . . 4  |-  ( E `
 0 )  =  { x ,  y }
14 wlkntrl.p . . . . . . 7  |-  P  =  { <. 0 ,  x >. ,  <. 1 ,  y
>. ,  <. 2 ,  x >. }
1514fveq1i 5867 . . . . . 6  |-  ( P `
 0 )  =  ( { <. 0 ,  x >. ,  <. 1 ,  y >. ,  <. 2 ,  x >. } `
 0 )
16 0ne2 10748 . . . . . . 7  |-  0  =/=  2
17 vex 3116 . . . . . . . 8  |-  x  e. 
_V
184, 17fvtp1 6109 . . . . . . 7  |-  ( ( 0  =/=  1  /\  0  =/=  2 )  ->  ( { <. 0 ,  x >. , 
<. 1 ,  y
>. ,  <. 2 ,  x >. } `  0
)  =  x )
193, 16, 18mp2an 672 . . . . . 6  |-  ( {
<. 0 ,  x >. ,  <. 1 ,  y
>. ,  <. 2 ,  x >. } `  0
)  =  x
2015, 19eqtr2i 2497 . . . . 5  |-  x  =  ( P `  0
)
2114fveq1i 5867 . . . . . 6  |-  ( P `
 1 )  =  ( { <. 0 ,  x >. ,  <. 1 ,  y >. ,  <. 2 ,  x >. } `
 1 )
22 1ne2 10749 . . . . . . 7  |-  1  =/=  2
23 1ex 9592 . . . . . . . 8  |-  1  e.  _V
24 vex 3116 . . . . . . . 8  |-  y  e. 
_V
2523, 24fvtp2 6110 . . . . . . 7  |-  ( ( 0  =/=  1  /\  1  =/=  2 )  ->  ( { <. 0 ,  x >. , 
<. 1 ,  y
>. ,  <. 2 ,  x >. } `  1
)  =  y )
263, 22, 25mp2an 672 . . . . . 6  |-  ( {
<. 0 ,  x >. ,  <. 1 ,  y
>. ,  <. 2 ,  x >. } `  1
)  =  y
2721, 26eqtr2i 2497 . . . . 5  |-  y  =  ( P `  1
)
2820, 27preq12i 4111 . . . 4  |-  { x ,  y }  =  { ( P ` 
0 ) ,  ( P `  1 ) }
298, 13, 283eqtri 2500 . . 3  |-  ( E `
 ( F ` 
0 ) )  =  { ( P ` 
0 ) ,  ( P `  1 ) }
301fveq1i 5867 . . . . . 6  |-  ( F `
 1 )  =  ( { <. 0 ,  0 >. ,  <. 1 ,  0 >. } `
 1 )
3123, 4fvpr2 6106 . . . . . . 7  |-  ( 0  =/=  1  ->  ( { <. 0 ,  0
>. ,  <. 1 ,  0 >. } `  1
)  =  0 )
323, 31ax-mp 5 . . . . . 6  |-  ( {
<. 0 ,  0
>. ,  <. 1 ,  0 >. } `  1
)  =  0
3330, 32eqtri 2496 . . . . 5  |-  ( F `
 1 )  =  0
3433fveq2i 5869 . . . 4  |-  ( E `
 ( F ` 
1 ) )  =  ( E `  0
)
35 prcom 4105 . . . . 5  |-  { x ,  y }  =  { y ,  x }
3614fveq1i 5867 . . . . . . 7  |-  ( P `
 2 )  =  ( { <. 0 ,  x >. ,  <. 1 ,  y >. ,  <. 2 ,  x >. } `
 2 )
37 2ex 10608 . . . . . . . . 9  |-  2  e.  _V
3837, 17fvtp3 6111 . . . . . . . 8  |-  ( ( 0  =/=  2  /\  1  =/=  2 )  ->  ( { <. 0 ,  x >. , 
<. 1 ,  y
>. ,  <. 2 ,  x >. } `  2
)  =  x )
3916, 22, 38mp2an 672 . . . . . . 7  |-  ( {
<. 0 ,  x >. ,  <. 1 ,  y
>. ,  <. 2 ,  x >. } `  2
)  =  x
4036, 39eqtr2i 2497 . . . . . 6  |-  x  =  ( P `  2
)
4127, 40preq12i 4111 . . . . 5  |-  { y ,  x }  =  { ( P ` 
1 ) ,  ( P `  2 ) }
4235, 41eqtri 2496 . . . 4  |-  { x ,  y }  =  { ( P ` 
1 ) ,  ( P `  2 ) }
4334, 13, 423eqtri 2500 . . 3  |-  ( E `
 ( F ` 
1 ) )  =  { ( P ` 
1 ) ,  ( P `  2 ) }
44 0p1e1 10648 . . . . . 6  |-  ( 0  +  1 )  =  1
4544preq2i 4110 . . . . 5  |-  { 0 ,  ( 0  +  1 ) }  =  { 0 ,  1 }
4645raleqi 3062 . . . 4  |-  ( A. k  e.  { 0 ,  ( 0  +  1 ) }  ( E `  ( F `  k ) )  =  { ( P `  k ) ,  ( P `  ( k  +  1 ) ) }  <->  A. k  e.  {
0 ,  1 }  ( E `  ( F `  k )
)  =  { ( P `  k ) ,  ( P `  ( k  +  1 ) ) } )
47 fveq2 5866 . . . . . . 7  |-  ( k  =  0  ->  ( F `  k )  =  ( F ` 
0 ) )
4847fveq2d 5870 . . . . . 6  |-  ( k  =  0  ->  ( E `  ( F `  k ) )  =  ( E `  ( F `  0 )
) )
49 fveq2 5866 . . . . . . 7  |-  ( k  =  0  ->  ( P `  k )  =  ( P ` 
0 ) )
50 oveq1 6292 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  0  ->  (
k  +  1 )  =  ( 0  +  1 ) )
5150, 44syl6eq 2524 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  0  ->  (
k  +  1 )  =  1 )
5251fveq2d 5870 . . . . . . 7  |-  ( k  =  0  ->  ( P `  ( k  +  1 ) )  =  ( P ` 
1 ) )
5349, 52preq12d 4114 . . . . . 6  |-  ( k  =  0  ->  { ( P `  k ) ,  ( P `  ( k  +  1 ) ) }  =  { ( P ` 
0 ) ,  ( P `  1 ) } )
5448, 53eqeq12d 2489 . . . . 5  |-  ( k  =  0  ->  (
( E `  ( F `  k )
)  =  { ( P `  k ) ,  ( P `  ( k  +  1 ) ) }  <->  ( E `  ( F `  0
) )  =  {
( P `  0
) ,  ( P `
 1 ) } ) )
55 fveq2 5866 . . . . . . 7  |-  ( k  =  1  ->  ( F `  k )  =  ( F ` 
1 ) )
5655fveq2d 5870 . . . . . 6  |-  ( k  =  1  ->  ( E `  ( F `  k ) )  =  ( E `  ( F `  1 )
) )
57 fveq2 5866 . . . . . . 7  |-  ( k  =  1  ->  ( P `  k )  =  ( P ` 
1 ) )
58 oveq1 6292 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  1  ->  (
k  +  1 )  =  ( 1  +  1 ) )
59 1p1e2 10650 . . . . . . . . 9  |-  ( 1  +  1 )  =  2
6058, 59syl6eq 2524 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  1  ->  (
k  +  1 )  =  2 )
6160fveq2d 5870 . . . . . . 7  |-  ( k  =  1  ->  ( P `  ( k  +  1 ) )  =  ( P ` 
2 ) )
6257, 61preq12d 4114 . . . . . 6  |-  ( k  =  1  ->  { ( P `  k ) ,  ( P `  ( k  +  1 ) ) }  =  { ( P ` 
1 ) ,  ( P `  2 ) } )
6356, 62eqeq12d 2489 . . . . 5  |-  ( k  =  1  ->  (
( E `  ( F `  k )
)  =  { ( P `  k ) ,  ( P `  ( k  +  1 ) ) }  <->  ( E `  ( F `  1
) )  =  {
( P `  1
) ,  ( P `
 2 ) } ) )
644, 23, 54, 63ralpr 4080 . . . 4  |-  ( A. k  e.  { 0 ,  1 }  ( E `  ( F `  k ) )  =  { ( P `  k ) ,  ( P `  ( k  +  1 ) ) }  <->  ( ( E `
 ( F ` 
0 ) )  =  { ( P ` 
0 ) ,  ( P `  1 ) }  /\  ( E `
 ( F ` 
1 ) )  =  { ( P ` 
1 ) ,  ( P `  2 ) } ) )
6546, 64bitri 249 . . 3  |-  ( A. k  e.  { 0 ,  ( 0  +  1 ) }  ( E `  ( F `  k ) )  =  { ( P `  k ) ,  ( P `  ( k  +  1 ) ) }  <->  ( ( E `
 ( F ` 
0 ) )  =  { ( P ` 
0 ) ,  ( P `  1 ) }  /\  ( E `
 ( F ` 
1 ) )  =  { ( P ` 
1 ) ,  ( P `  2 ) } ) )
6629, 43, 65mpbir2an 918 . 2  |-  A. k  e.  { 0 ,  ( 0  +  1 ) }  ( E `  ( F `  k ) )  =  { ( P `  k ) ,  ( P `  ( k  +  1 ) ) }
67 0z 10876 . . . . . . 7  |-  0  e.  ZZ
6867, 67pm3.2i 455 . . . . . 6  |-  ( 0  e.  ZZ  /\  0  e.  ZZ )
6968, 12trllemA 24325 . . . . 5  |-  ( # `  F )  =  2
7069oveq2i 6296 . . . 4  |-  ( 0..^ ( # `  F
) )  =  ( 0..^ 2 )
71 2z 10897 . . . . 5  |-  2  e.  ZZ
72 fzoval 11799 . . . . 5  |-  ( 2  e.  ZZ  ->  (
0..^ 2 )  =  ( 0 ... (
2  -  1 ) ) )
7371, 72ax-mp 5 . . . 4  |-  ( 0..^ 2 )  =  ( 0 ... ( 2  -  1 ) )
74 2m1e1 10651 . . . . . 6  |-  ( 2  -  1 )  =  1
7574oveq2i 6296 . . . . 5  |-  ( 0 ... ( 2  -  1 ) )  =  ( 0 ... 1
)
76 1e0p1 11005 . . . . . 6  |-  1  =  ( 0  +  1 )
7776oveq2i 6296 . . . . 5  |-  ( 0 ... 1 )  =  ( 0 ... (
0  +  1 ) )
78 fzpr 11736 . . . . . 6  |-  ( 0  e.  ZZ  ->  (
0 ... ( 0  +  1 ) )  =  { 0 ,  ( 0  +  1 ) } )
7967, 78ax-mp 5 . . . . 5  |-  ( 0 ... ( 0  +  1 ) )  =  { 0 ,  ( 0  +  1 ) }
8075, 77, 793eqtri 2500 . . . 4  |-  ( 0 ... ( 2  -  1 ) )  =  { 0 ,  ( 0  +  1 ) }
8170, 73, 803eqtri 2500 . . 3  |-  ( 0..^ ( # `  F
) )  =  {
0 ,  ( 0  +  1 ) }
8281raleqi 3062 . 2  |-  ( A. k  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) ( E `
 ( F `  k ) )  =  { ( P `  k ) ,  ( P `  ( k  +  1 ) ) }  <->  A. k  e.  {
0 ,  ( 0  +  1 ) }  ( E `  ( F `  k )
)  =  { ( P `  k ) ,  ( P `  ( k  +  1 ) ) } )
8366, 82mpbir 209 1  |-  A. k  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) ( E `  ( F `
 k ) )  =  { ( P `
 k ) ,  ( P `  (
k  +  1 ) ) }
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767    =/= wne 2662   A.wral 2814   {csn 4027   {cpr 4029   {ctp 4031   <.cop 4033   ` cfv 5588  (class class class)co 6285   0cc0 9493   1c1 9494    + caddc 9496    - cmin 9806   2c2 10586   ZZcz 10865   ...cfz 11673  ..^cfzo 11793   #chash 12374
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6577  ax-cnex 9549  ax-resscn 9550  ax-1cn 9551  ax-icn 9552  ax-addcl 9553  ax-addrcl 9554  ax-mulcl 9555  ax-mulrcl 9556  ax-mulcom 9557  ax-addass 9558  ax-mulass 9559  ax-distr 9560  ax-i2m1 9561  ax-1ne0 9562  ax-1rid 9563  ax-rnegex 9564  ax-rrecex 9565  ax-cnre 9566  ax-pre-lttri 9567  ax-pre-lttrn 9568  ax-pre-ltadd 9569  ax-pre-mulgt0 9570
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-riota 6246  df-ov 6288  df-oprab 6289  df-mpt2 6290  df-om 6686  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-recs 7043  df-rdg 7077  df-1o 7131  df-oadd 7135  df-er 7312  df-en 7518  df-dom 7519  df-sdom 7520  df-fin 7521  df-card 8321  df-cda 8549  df-pnf 9631  df-mnf 9632  df-xr 9633  df-ltxr 9634  df-le 9635  df-sub 9808  df-neg 9809  df-nn 10538  df-2 10595  df-n0 10797  df-z 10866  df-uz 11084  df-fz 11674  df-fzo 11794  df-hash 12375
This theorem is referenced by:  wlkntrl  24337
  Copyright terms: Public domain W3C validator