MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  wlkntrllem2 Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem wlkntrllem2 25369
Description: Lemma 2 for wlkntrl 25371: The values of E after F are edges between two vertices enumerated by P. (Contributed by Alexander van der Vekens, 22-Oct-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
wlkntrl.v  |-  V  =  { x ,  y }
wlkntrl.e  |-  E  =  { <. 0 ,  {
x ,  y }
>. }
wlkntrl.f  |-  F  =  { <. 0 ,  0
>. ,  <. 1 ,  0 >. }
wlkntrl.p  |-  P  =  { <. 0 ,  x >. ,  <. 1 ,  y
>. ,  <. 2 ,  x >. }
Assertion
Ref Expression
wlkntrllem2  |-  A. k  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) ( E `  ( F `
 k ) )  =  { ( P `
 k ) ,  ( P `  (
k  +  1 ) ) }
Distinct variable groups:    k, E    k, F    P, k
Allowed substitution hints:    P( x, y)    E( x, y)    F( x, y)    V( x, y, k)

Proof of Theorem wlkntrllem2
StepHypRef Expression
1 wlkntrl.f . . . . . . 7  |-  F  =  { <. 0 ,  0
>. ,  <. 1 ,  0 >. }
21fveq1i 5880 . . . . . 6  |-  ( F `
 0 )  =  ( { <. 0 ,  0 >. ,  <. 1 ,  0 >. } `
 0 )
3 0ne1 10699 . . . . . . 7  |-  0  =/=  1
4 c0ex 9655 . . . . . . . 8  |-  0  e.  _V
54, 4fvpr1 6123 . . . . . . 7  |-  ( 0  =/=  1  ->  ( { <. 0 ,  0
>. ,  <. 1 ,  0 >. } `  0
)  =  0 )
63, 5ax-mp 5 . . . . . 6  |-  ( {
<. 0 ,  0
>. ,  <. 1 ,  0 >. } `  0
)  =  0
72, 6eqtri 2493 . . . . 5  |-  ( F `
 0 )  =  0
87fveq2i 5882 . . . 4  |-  ( E `
 ( F ` 
0 ) )  =  ( E `  0
)
9 wlkntrl.e . . . . . 6  |-  E  =  { <. 0 ,  {
x ,  y }
>. }
109fveq1i 5880 . . . . 5  |-  ( E `
 0 )  =  ( { <. 0 ,  { x ,  y } >. } `  0
)
11 prex 4642 . . . . . 6  |-  { x ,  y }  e.  _V
124, 11fvsn 6113 . . . . 5  |-  ( {
<. 0 ,  {
x ,  y }
>. } `  0 )  =  { x ,  y }
1310, 12eqtri 2493 . . . 4  |-  ( E `
 0 )  =  { x ,  y }
14 wlkntrl.p . . . . . . 7  |-  P  =  { <. 0 ,  x >. ,  <. 1 ,  y
>. ,  <. 2 ,  x >. }
1514fveq1i 5880 . . . . . 6  |-  ( P `
 0 )  =  ( { <. 0 ,  x >. ,  <. 1 ,  y >. ,  <. 2 ,  x >. } `
 0 )
16 0ne2 10844 . . . . . . 7  |-  0  =/=  2
17 vex 3034 . . . . . . . 8  |-  x  e. 
_V
184, 17fvtp1 6127 . . . . . . 7  |-  ( ( 0  =/=  1  /\  0  =/=  2 )  ->  ( { <. 0 ,  x >. , 
<. 1 ,  y
>. ,  <. 2 ,  x >. } `  0
)  =  x )
193, 16, 18mp2an 686 . . . . . 6  |-  ( {
<. 0 ,  x >. ,  <. 1 ,  y
>. ,  <. 2 ,  x >. } `  0
)  =  x
2015, 19eqtr2i 2494 . . . . 5  |-  x  =  ( P `  0
)
2114fveq1i 5880 . . . . . 6  |-  ( P `
 1 )  =  ( { <. 0 ,  x >. ,  <. 1 ,  y >. ,  <. 2 ,  x >. } `
 1 )
22 1ne2 10845 . . . . . . 7  |-  1  =/=  2
23 1ex 9656 . . . . . . . 8  |-  1  e.  _V
24 vex 3034 . . . . . . . 8  |-  y  e. 
_V
2523, 24fvtp2 6128 . . . . . . 7  |-  ( ( 0  =/=  1  /\  1  =/=  2 )  ->  ( { <. 0 ,  x >. , 
<. 1 ,  y
>. ,  <. 2 ,  x >. } `  1
)  =  y )
263, 22, 25mp2an 686 . . . . . 6  |-  ( {
<. 0 ,  x >. ,  <. 1 ,  y
>. ,  <. 2 ,  x >. } `  1
)  =  y
2721, 26eqtr2i 2494 . . . . 5  |-  y  =  ( P `  1
)
2820, 27preq12i 4047 . . . 4  |-  { x ,  y }  =  { ( P ` 
0 ) ,  ( P `  1 ) }
298, 13, 283eqtri 2497 . . 3  |-  ( E `
 ( F ` 
0 ) )  =  { ( P ` 
0 ) ,  ( P `  1 ) }
301fveq1i 5880 . . . . . 6  |-  ( F `
 1 )  =  ( { <. 0 ,  0 >. ,  <. 1 ,  0 >. } `
 1 )
3123, 4fvpr2 6124 . . . . . . 7  |-  ( 0  =/=  1  ->  ( { <. 0 ,  0
>. ,  <. 1 ,  0 >. } `  1
)  =  0 )
323, 31ax-mp 5 . . . . . 6  |-  ( {
<. 0 ,  0
>. ,  <. 1 ,  0 >. } `  1
)  =  0
3330, 32eqtri 2493 . . . . 5  |-  ( F `
 1 )  =  0
3433fveq2i 5882 . . . 4  |-  ( E `
 ( F ` 
1 ) )  =  ( E `  0
)
35 prcom 4041 . . . . 5  |-  { x ,  y }  =  { y ,  x }
3614fveq1i 5880 . . . . . . 7  |-  ( P `
 2 )  =  ( { <. 0 ,  x >. ,  <. 1 ,  y >. ,  <. 2 ,  x >. } `
 2 )
37 2ex 10703 . . . . . . . . 9  |-  2  e.  _V
3837, 17fvtp3 6129 . . . . . . . 8  |-  ( ( 0  =/=  2  /\  1  =/=  2 )  ->  ( { <. 0 ,  x >. , 
<. 1 ,  y
>. ,  <. 2 ,  x >. } `  2
)  =  x )
3916, 22, 38mp2an 686 . . . . . . 7  |-  ( {
<. 0 ,  x >. ,  <. 1 ,  y
>. ,  <. 2 ,  x >. } `  2
)  =  x
4036, 39eqtr2i 2494 . . . . . 6  |-  x  =  ( P `  2
)
4127, 40preq12i 4047 . . . . 5  |-  { y ,  x }  =  { ( P ` 
1 ) ,  ( P `  2 ) }
4235, 41eqtri 2493 . . . 4  |-  { x ,  y }  =  { ( P ` 
1 ) ,  ( P `  2 ) }
4334, 13, 423eqtri 2497 . . 3  |-  ( E `
 ( F ` 
1 ) )  =  { ( P ` 
1 ) ,  ( P `  2 ) }
44 0p1e1 10743 . . . . . 6  |-  ( 0  +  1 )  =  1
4544preq2i 4046 . . . . 5  |-  { 0 ,  ( 0  +  1 ) }  =  { 0 ,  1 }
4645raleqi 2977 . . . 4  |-  ( A. k  e.  { 0 ,  ( 0  +  1 ) }  ( E `  ( F `  k ) )  =  { ( P `  k ) ,  ( P `  ( k  +  1 ) ) }  <->  A. k  e.  {
0 ,  1 }  ( E `  ( F `  k )
)  =  { ( P `  k ) ,  ( P `  ( k  +  1 ) ) } )
47 fveq2 5879 . . . . . . 7  |-  ( k  =  0  ->  ( F `  k )  =  ( F ` 
0 ) )
4847fveq2d 5883 . . . . . 6  |-  ( k  =  0  ->  ( E `  ( F `  k ) )  =  ( E `  ( F `  0 )
) )
49 fveq2 5879 . . . . . . 7  |-  ( k  =  0  ->  ( P `  k )  =  ( P ` 
0 ) )
50 oveq1 6315 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  0  ->  (
k  +  1 )  =  ( 0  +  1 ) )
5150, 44syl6eq 2521 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  0  ->  (
k  +  1 )  =  1 )
5251fveq2d 5883 . . . . . . 7  |-  ( k  =  0  ->  ( P `  ( k  +  1 ) )  =  ( P ` 
1 ) )
5349, 52preq12d 4050 . . . . . 6  |-  ( k  =  0  ->  { ( P `  k ) ,  ( P `  ( k  +  1 ) ) }  =  { ( P ` 
0 ) ,  ( P `  1 ) } )
5448, 53eqeq12d 2486 . . . . 5  |-  ( k  =  0  ->  (
( E `  ( F `  k )
)  =  { ( P `  k ) ,  ( P `  ( k  +  1 ) ) }  <->  ( E `  ( F `  0
) )  =  {
( P `  0
) ,  ( P `
 1 ) } ) )
55 fveq2 5879 . . . . . . 7  |-  ( k  =  1  ->  ( F `  k )  =  ( F ` 
1 ) )
5655fveq2d 5883 . . . . . 6  |-  ( k  =  1  ->  ( E `  ( F `  k ) )  =  ( E `  ( F `  1 )
) )
57 fveq2 5879 . . . . . . 7  |-  ( k  =  1  ->  ( P `  k )  =  ( P ` 
1 ) )
58 oveq1 6315 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  1  ->  (
k  +  1 )  =  ( 1  +  1 ) )
59 1p1e2 10745 . . . . . . . . 9  |-  ( 1  +  1 )  =  2
6058, 59syl6eq 2521 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  1  ->  (
k  +  1 )  =  2 )
6160fveq2d 5883 . . . . . . 7  |-  ( k  =  1  ->  ( P `  ( k  +  1 ) )  =  ( P ` 
2 ) )
6257, 61preq12d 4050 . . . . . 6  |-  ( k  =  1  ->  { ( P `  k ) ,  ( P `  ( k  +  1 ) ) }  =  { ( P ` 
1 ) ,  ( P `  2 ) } )
6356, 62eqeq12d 2486 . . . . 5  |-  ( k  =  1  ->  (
( E `  ( F `  k )
)  =  { ( P `  k ) ,  ( P `  ( k  +  1 ) ) }  <->  ( E `  ( F `  1
) )  =  {
( P `  1
) ,  ( P `
 2 ) } ) )
644, 23, 54, 63ralpr 4016 . . . 4  |-  ( A. k  e.  { 0 ,  1 }  ( E `  ( F `  k ) )  =  { ( P `  k ) ,  ( P `  ( k  +  1 ) ) }  <->  ( ( E `
 ( F ` 
0 ) )  =  { ( P ` 
0 ) ,  ( P `  1 ) }  /\  ( E `
 ( F ` 
1 ) )  =  { ( P ` 
1 ) ,  ( P `  2 ) } ) )
6546, 64bitri 257 . . 3  |-  ( A. k  e.  { 0 ,  ( 0  +  1 ) }  ( E `  ( F `  k ) )  =  { ( P `  k ) ,  ( P `  ( k  +  1 ) ) }  <->  ( ( E `
 ( F ` 
0 ) )  =  { ( P ` 
0 ) ,  ( P `  1 ) }  /\  ( E `
 ( F ` 
1 ) )  =  { ( P ` 
1 ) ,  ( P `  2 ) } ) )
6629, 43, 65mpbir2an 934 . 2  |-  A. k  e.  { 0 ,  ( 0  +  1 ) }  ( E `  ( F `  k ) )  =  { ( P `  k ) ,  ( P `  ( k  +  1 ) ) }
67 0z 10972 . . . . . . 7  |-  0  e.  ZZ
6867, 67pm3.2i 462 . . . . . 6  |-  ( 0  e.  ZZ  /\  0  e.  ZZ )
6968, 12trllemA 25359 . . . . 5  |-  ( # `  F )  =  2
7069oveq2i 6319 . . . 4  |-  ( 0..^ ( # `  F
) )  =  ( 0..^ 2 )
71 2z 10993 . . . . 5  |-  2  e.  ZZ
72 fzoval 11948 . . . . 5  |-  ( 2  e.  ZZ  ->  (
0..^ 2 )  =  ( 0 ... (
2  -  1 ) ) )
7371, 72ax-mp 5 . . . 4  |-  ( 0..^ 2 )  =  ( 0 ... ( 2  -  1 ) )
74 2m1e1 10746 . . . . . 6  |-  ( 2  -  1 )  =  1
7574oveq2i 6319 . . . . 5  |-  ( 0 ... ( 2  -  1 ) )  =  ( 0 ... 1
)
76 1e0p1 11102 . . . . . 6  |-  1  =  ( 0  +  1 )
7776oveq2i 6319 . . . . 5  |-  ( 0 ... 1 )  =  ( 0 ... (
0  +  1 ) )
78 fzpr 11877 . . . . . 6  |-  ( 0  e.  ZZ  ->  (
0 ... ( 0  +  1 ) )  =  { 0 ,  ( 0  +  1 ) } )
7967, 78ax-mp 5 . . . . 5  |-  ( 0 ... ( 0  +  1 ) )  =  { 0 ,  ( 0  +  1 ) }
8075, 77, 793eqtri 2497 . . . 4  |-  ( 0 ... ( 2  -  1 ) )  =  { 0 ,  ( 0  +  1 ) }
8170, 73, 803eqtri 2497 . . 3  |-  ( 0..^ ( # `  F
) )  =  {
0 ,  ( 0  +  1 ) }
8281raleqi 2977 . 2  |-  ( A. k  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) ( E `
 ( F `  k ) )  =  { ( P `  k ) ,  ( P `  ( k  +  1 ) ) }  <->  A. k  e.  {
0 ,  ( 0  +  1 ) }  ( E `  ( F `  k )
)  =  { ( P `  k ) ,  ( P `  ( k  +  1 ) ) } )
8366, 82mpbir 214 1  |-  A. k  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) ( E `  ( F `
 k ) )  =  { ( P `
 k ) ,  ( P `  (
k  +  1 ) ) }
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    /\ wa 376    = wceq 1452    e. wcel 1904    =/= wne 2641   A.wral 2756   {csn 3959   {cpr 3961   {ctp 3963   <.cop 3965   ` cfv 5589  (class class class)co 6308   0cc0 9557   1c1 9558    + caddc 9560    - cmin 9880   2c2 10681   ZZcz 10961   ...cfz 11810  ..^cfzo 11942   #chash 12553
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-oadd 7204  df-er 7381  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-card 8391  df-cda 8616  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-nn 10632  df-2 10690  df-n0 10894  df-z 10962  df-uz 11183  df-fz 11811  df-fzo 11943  df-hash 12554
This theorem is referenced by:  wlkntrl  25371
  Copyright terms: Public domain W3C validator