Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  wlkntrllem2 Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem wlkntrllem2 25369
 Description: Lemma 2 for wlkntrl 25371: The values of E after F are edges between two vertices enumerated by P. (Contributed by Alexander van der Vekens, 22-Oct-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
wlkntrl.v
wlkntrl.e
wlkntrl.f
wlkntrl.p
Assertion
Ref Expression
wlkntrllem2 ..^
Distinct variable groups:   ,   ,   ,
Allowed substitution hints:   (,)   (,)   (,)   (,,)

Proof of Theorem wlkntrllem2
StepHypRef Expression
1 wlkntrl.f . . . . . . 7
21fveq1i 5880 . . . . . 6
3 0ne1 10699 . . . . . . 7
4 c0ex 9655 . . . . . . . 8
54, 4fvpr1 6123 . . . . . . 7
63, 5ax-mp 5 . . . . . 6
72, 6eqtri 2493 . . . . 5
87fveq2i 5882 . . . 4
9 wlkntrl.e . . . . . 6
109fveq1i 5880 . . . . 5
11 prex 4642 . . . . . 6
124, 11fvsn 6113 . . . . 5
1310, 12eqtri 2493 . . . 4
14 wlkntrl.p . . . . . . 7
1514fveq1i 5880 . . . . . 6
16 0ne2 10844 . . . . . . 7
17 vex 3034 . . . . . . . 8
184, 17fvtp1 6127 . . . . . . 7
193, 16, 18mp2an 686 . . . . . 6
2015, 19eqtr2i 2494 . . . . 5
2114fveq1i 5880 . . . . . 6
22 1ne2 10845 . . . . . . 7
23 1ex 9656 . . . . . . . 8
24 vex 3034 . . . . . . . 8
2523, 24fvtp2 6128 . . . . . . 7
263, 22, 25mp2an 686 . . . . . 6
2721, 26eqtr2i 2494 . . . . 5
2820, 27preq12i 4047 . . . 4
298, 13, 283eqtri 2497 . . 3
301fveq1i 5880 . . . . . 6
3123, 4fvpr2 6124 . . . . . . 7
323, 31ax-mp 5 . . . . . 6
3330, 32eqtri 2493 . . . . 5
3433fveq2i 5882 . . . 4
35 prcom 4041 . . . . 5
3614fveq1i 5880 . . . . . . 7
37 2ex 10703 . . . . . . . . 9
3837, 17fvtp3 6129 . . . . . . . 8
3916, 22, 38mp2an 686 . . . . . . 7
4036, 39eqtr2i 2494 . . . . . 6
4127, 40preq12i 4047 . . . . 5
4235, 41eqtri 2493 . . . 4
4334, 13, 423eqtri 2497 . . 3
44 0p1e1 10743 . . . . . 6
4544preq2i 4046 . . . . 5
4645raleqi 2977 . . . 4
47 fveq2 5879 . . . . . . 7
4847fveq2d 5883 . . . . . 6
49 fveq2 5879 . . . . . . 7
50 oveq1 6315 . . . . . . . . 9
5150, 44syl6eq 2521 . . . . . . . 8
5251fveq2d 5883 . . . . . . 7
5349, 52preq12d 4050 . . . . . 6
5448, 53eqeq12d 2486 . . . . 5
55 fveq2 5879 . . . . . . 7
5655fveq2d 5883 . . . . . 6
57 fveq2 5879 . . . . . . 7
58 oveq1 6315 . . . . . . . . 9
59 1p1e2 10745 . . . . . . . . 9
6058, 59syl6eq 2521 . . . . . . . 8
6160fveq2d 5883 . . . . . . 7
6257, 61preq12d 4050 . . . . . 6
6356, 62eqeq12d 2486 . . . . 5
644, 23, 54, 63ralpr 4016 . . . 4
6546, 64bitri 257 . . 3
6629, 43, 65mpbir2an 934 . 2
67 0z 10972 . . . . . . 7
6867, 67pm3.2i 462 . . . . . 6
6968, 12trllemA 25359 . . . . 5
7069oveq2i 6319 . . . 4 ..^ ..^
71 2z 10993 . . . . 5
72 fzoval 11948 . . . . 5 ..^
7371, 72ax-mp 5 . . . 4 ..^
74 2m1e1 10746 . . . . . 6
7574oveq2i 6319 . . . . 5
76 1e0p1 11102 . . . . . 6
7776oveq2i 6319 . . . . 5
78 fzpr 11877 . . . . . 6
7967, 78ax-mp 5 . . . . 5
8075, 77, 793eqtri 2497 . . . 4
8170, 73, 803eqtri 2497 . . 3 ..^
8281raleqi 2977 . 2 ..^
8366, 82mpbir 214 1 ..^
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wa 376   wceq 1452   wcel 1904   wne 2641  wral 2756  csn 3959  cpr 3961  ctp 3963  cop 3965  cfv 5589  (class class class)co 6308  cc0 9557  c1 9558   caddc 9560   cmin 9880  c2 10681  cz 10961  cfz 11810  ..^cfzo 11942  chash 12553 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634 This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-oadd 7204  df-er 7381  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-card 8391  df-cda 8616  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-nn 10632  df-2 10690  df-n0 10894  df-z 10962  df-uz 11183  df-fz 11811  df-fzo 11943  df-hash 12554 This theorem is referenced by:  wlkntrl  25371
 Copyright terms: Public domain W3C validator