Theorem wlkntrllem1 24334

Description: Lemma 1 for wlkntrl 24337: F is a word over { 0 }, the domain of E. (Contributed by Alexander van der Vekens, 22-Oct-2017.) (Proof shortened by Alexander van der Vekens, 16-Dec-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
wlkntrl.v	|- V = { x , y }
wlkntrl.e	|- E = { <. 0 , { x , y } >. }
wlkntrl.f	|- F = { <. 0 , 0 >. , <. 1 , 0 >. }
wlkntrl.p	|- P = { <. 0 , x >. , <. 1 , y >. , <. 2 , x >. }

Assertion

Ref	Expression
wlkntrllem1	|- F e. Word dom E

Proof of Theorem wlkntrllem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0ne1 10604	. . . . 5 |- 0 =/= 1
2		c0ex 9591	. . . . . 6 |- 0 e. _V
3		1ex 9592	. . . . . 6 |- 1 e. _V
4	2, 3, 2, 2	fpr 6070	. . . . 5 |- ( 0 =/= 1 -> { <. 0 , 0 >. , <. 1 , 0 >. } : { 0 , 1 } --> { 0 , 0 } )
5	1, 4	ax-mp 5	. . . 4 |- { <. 0 , 0 >. , <. 1 , 0 >. } : { 0 , 1 } --> { 0 , 0 }
6		wlkntrl.f	. . . . . . 7 |- F = { <. 0 , 0 >. , <. 1 , 0 >. }
7	6	eqcomi 2480	. . . . . 6 |- { <. 0 , 0 >. , <. 1 , 0 >. } = F
8	7	feq1i 5723	. . . . 5 |- ( { <. 0 , 0 >. , <. 1 , 0 >. } : { 0 , 1 } --> { 0 , 0 } <-> F : { 0 , 1 } --> { 0 , 0 } )
9		fzo0to2pr 11868	. . . . . . 7 |- ( 0..^ 2 ) = { 0 , 1 }
10	9	eqcomi 2480	. . . . . 6 |- { 0 , 1 } = ( 0..^ 2 )
11		dfsn2 4040	. . . . . . 7 |- { 0 } = { 0 , 0 }
12	11	eqcomi 2480	. . . . . 6 |- { 0 , 0 } = { 0 }
13	10, 12	feq23i 5725	. . . . 5 |- ( F : { 0 , 1 } --> { 0 , 0 } <-> F : ( 0..^ 2 ) --> { 0 } )
14	8, 13	bitri 249	. . . 4 |- ( { <. 0 , 0 >. , <. 1 , 0 >. } : { 0 , 1 } --> { 0 , 0 } <-> F : ( 0..^ 2 ) --> { 0 } )
15	5, 14	mpbi 208	. . 3 |- F : ( 0..^ 2 ) --> { 0 }
16		iswrdi 12519	. . 3 |- ( F : ( 0..^ 2 ) --> { 0 } -> F e. Word { 0 } )
17	15, 16	ax-mp 5	. 2 |- F e. Word { 0 }
18		wlkntrl.e	. . . . 5 |- E = { <. 0 , { x , y } >. }
19	18	dmeqi 5204	. . . 4 |- dom E = dom { <. 0 , { x , y } >. }
20		zfpair2 4687	. . . . 5 |- { x , y } e. _V
21	20	dmsnop 5482	. . . 4 |- dom { <. 0 , { x , y } >. } = { 0 }
22	19, 21	eqtri 2496	. . 3 |- dom E = { 0 }
23		wrdeq 12531	. . 3 |- ( dom E = { 0 } -> Word dom E = Word { 0 } )
24	22, 23	ax-mp 5	. 2 |- Word dom E = Word { 0 }
25	17, 24	eleqtrri 2554	1 |- F e. Word dom E

Syntax hints:   = wceq 1379   e. wcel 1767   =/= wne 2662   {csn 4027   {cpr 4029   {ctp 4031   <.cop 4033   dom cdm 4999   -->wf 5584  (class class class)co 6285   0cc0 9493   1c1 9494   2c2 10586  ..^cfzo 11793  Word cword 12501

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6577  ax-cnex 9549  ax-resscn 9550  ax-1cn 9551  ax-icn 9552  ax-addcl 9553  ax-addrcl 9554  ax-mulcl 9555  ax-mulrcl 9556  ax-mulcom 9557  ax-addass 9558  ax-mulass 9559  ax-distr 9560  ax-i2m1 9561  ax-1ne0 9562  ax-1rid 9563  ax-rnegex 9564  ax-rrecex 9565  ax-cnre 9566  ax-pre-lttri 9567  ax-pre-lttrn 9568  ax-pre-ltadd 9569  ax-pre-mulgt0 9570

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-riota 6246  df-ov 6288  df-oprab 6289  df-mpt2 6290  df-om 6686  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-recs 7043  df-rdg 7077  df-1o 7131  df-oadd 7135  df-er 7312  df-en 7518  df-dom 7519  df-sdom 7520  df-fin 7521  df-pnf 9631  df-mnf 9632  df-xr 9633  df-ltxr 9634  df-le 9635  df-sub 9808  df-neg 9809  df-nn 10538  df-2 10595  df-n0 10797  df-z 10866  df-uz 11084  df-fz 11674  df-fzo 11794  df-word 12509

This theorem is referenced by:  wlkntrl  24337