Theorem wlkntrllem1 25338

Description: Lemma 1 for wlkntrl 25341: F is a word over { 0 }, the domain of E. (Contributed by Alexander van der Vekens, 22-Oct-2017.) (Proof shortened by Alexander van der Vekens, 16-Dec-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
wlkntrl.v	|- V = { x , y }
wlkntrl.e	|- E = { <. 0 , { x , y } >. }
wlkntrl.f	|- F = { <. 0 , 0 >. , <. 1 , 0 >. }
wlkntrl.p	|- P = { <. 0 , x >. , <. 1 , y >. , <. 2 , x >. }

Assertion

Ref	Expression
wlkntrllem1	|- F e. Word dom E

Proof of Theorem wlkntrllem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0ne1 10705	. . . . 5 |- 0 =/= 1
2		c0ex 9663	. . . . . 6 |- 0 e. _V
3		1ex 9664	. . . . . 6 |- 1 e. _V
4	2, 3, 2, 2	fpr 6096	. . . . 5 |- ( 0 =/= 1 -> { <. 0 , 0 >. , <. 1 , 0 >. } : { 0 , 1 } --> { 0 , 0 } )
5	1, 4	ax-mp 5	. . . 4 |- { <. 0 , 0 >. , <. 1 , 0 >. } : { 0 , 1 } --> { 0 , 0 }
6		wlkntrl.f	. . . . . . 7 |- F = { <. 0 , 0 >. , <. 1 , 0 >. }
7	6	eqcomi 2471	. . . . . 6 |- { <. 0 , 0 >. , <. 1 , 0 >. } = F
8	7	feq1i 5742	. . . . 5 |- ( { <. 0 , 0 >. , <. 1 , 0 >. } : { 0 , 1 } --> { 0 , 0 } <-> F : { 0 , 1 } --> { 0 , 0 } )
9		fzo0to2pr 12029	. . . . . . 7 |- ( 0..^ 2 ) = { 0 , 1 }
10	9	eqcomi 2471	. . . . . 6 |- { 0 , 1 } = ( 0..^ 2 )
11		dfsn2 3993	. . . . . . 7 |- { 0 } = { 0 , 0 }
12	11	eqcomi 2471	. . . . . 6 |- { 0 , 0 } = { 0 }
13	10, 12	feq23i 5745	. . . . 5 |- ( F : { 0 , 1 } --> { 0 , 0 } <-> F : ( 0..^ 2 ) --> { 0 } )
14	8, 13	bitri 257	. . . 4 |- ( { <. 0 , 0 >. , <. 1 , 0 >. } : { 0 , 1 } --> { 0 , 0 } <-> F : ( 0..^ 2 ) --> { 0 } )
15	5, 14	mpbi 213	. . 3 |- F : ( 0..^ 2 ) --> { 0 }
16		iswrdi 12708	. . 3 |- ( F : ( 0..^ 2 ) --> { 0 } -> F e. Word { 0 } )
17	15, 16	ax-mp 5	. 2 |- F e. Word { 0 }
18		wlkntrl.e	. . . . 5 |- E = { <. 0 , { x , y } >. }
19	18	dmeqi 5055	. . . 4 |- dom E = dom { <. 0 , { x , y } >. }
20		zfpair2 4654	. . . . 5 |- { x , y } e. _V
21	20	dmsnop 5329	. . . 4 |- dom { <. 0 , { x , y } >. } = { 0 }
22	19, 21	eqtri 2484	. . 3 |- dom E = { 0 }
23		wrdeq 12725	. . 3 |- ( dom E = { 0 } -> Word dom E = Word { 0 } )
24	22, 23	ax-mp 5	. 2 |- Word dom E = Word { 0 }
25	17, 24	eleqtrri 2539	1 |- F e. Word dom E

Syntax hints:   = wceq 1455   e. wcel 1898   =/= wne 2633   {csn 3980   {cpr 3982   {ctp 3984   <.cop 3986   dom cdm 4853   -->wf 5597  (class class class)co 6315   0cc0 9565   1c1 9566   2c2 10687  ..^cfzo 11946  Word cword 12689

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1680  ax-4 1693  ax-5 1769  ax-6 1816  ax-7 1862  ax-8 1900  ax-9 1907  ax-10 1926  ax-11 1931  ax-12 1944  ax-13 2102  ax-ext 2442  ax-rep 4529  ax-sep 4539  ax-nul 4548  ax-pow 4595  ax-pr 4653  ax-un 6610  ax-cnex 9621  ax-resscn 9622  ax-1cn 9623  ax-icn 9624  ax-addcl 9625  ax-addrcl 9626  ax-mulcl 9627  ax-mulrcl 9628  ax-mulcom 9629  ax-addass 9630  ax-mulass 9631  ax-distr 9632  ax-i2m1 9633  ax-1ne0 9634  ax-1rid 9635  ax-rnegex 9636  ax-rrecex 9637  ax-cnre 9638  ax-pre-lttri 9639  ax-pre-lttrn 9640  ax-pre-ltadd 9641  ax-pre-mulgt0 9642

This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 376  df-an 377  df-3or 992  df-3an 993  df-tru 1458  df-ex 1675  df-nf 1679  df-sb 1809  df-eu 2314  df-mo 2315  df-clab 2449  df-cleq 2455  df-clel 2458  df-nfc 2592  df-ne 2635  df-nel 2636  df-ral 2754  df-rex 2755  df-reu 2756  df-rmo 2757  df-rab 2758  df-v 3059  df-sbc 3280  df-csb 3376  df-dif 3419  df-un 3421  df-in 3423  df-ss 3430  df-pss 3432  df-nul 3744  df-if 3894  df-pw 3965  df-sn 3981  df-pr 3983  df-tp 3985  df-op 3987  df-uni 4213  df-int 4249  df-iun 4294  df-br 4417  df-opab 4476  df-mpt 4477  df-tr 4512  df-eprel 4764  df-id 4768  df-po 4774  df-so 4775  df-fr 4812  df-we 4814  df-xp 4859  df-rel 4860  df-cnv 4861  df-co 4862  df-dm 4863  df-rn 4864  df-res 4865  df-ima 4866  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-riota 6277  df-ov 6318  df-oprab 6319  df-mpt2 6320  df-om 6720  df-1st 6820  df-2nd 6821  df-wrecs 7054  df-recs 7116  df-rdg 7154  df-1o 7208  df-oadd 7212  df-er 7389  df-en 7596  df-dom 7597  df-sdom 7598  df-fin 7599  df-card 8399  df-cda 8624  df-pnf 9703  df-mnf 9704  df-xr 9705  df-ltxr 9706  df-le 9707  df-sub 9888  df-neg 9889  df-nn 10638  df-2 10696  df-n0 10899  df-z 10967  df-uz 11189  df-fz 11814  df-fzo 11947  df-hash 12548  df-word 12697

This theorem is referenced by:  wlkntrl  25341