MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  wlkntrllem1 Structured version   Unicode version

Theorem wlkntrllem1 24334
Description: Lemma 1 for wlkntrl 24337: F is a word over  {
0 }, the domain of E. (Contributed by Alexander van der Vekens, 22-Oct-2017.) (Proof shortened by Alexander van der Vekens, 16-Dec-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
wlkntrl.v  |-  V  =  { x ,  y }
wlkntrl.e  |-  E  =  { <. 0 ,  {
x ,  y }
>. }
wlkntrl.f  |-  F  =  { <. 0 ,  0
>. ,  <. 1 ,  0 >. }
wlkntrl.p  |-  P  =  { <. 0 ,  x >. ,  <. 1 ,  y
>. ,  <. 2 ,  x >. }
Assertion
Ref Expression
wlkntrllem1  |-  F  e. Word  dom  E

Proof of Theorem wlkntrllem1
StepHypRef Expression
1 0ne1 10604 . . . . 5  |-  0  =/=  1
2 c0ex 9591 . . . . . 6  |-  0  e.  _V
3 1ex 9592 . . . . . 6  |-  1  e.  _V
42, 3, 2, 2fpr 6070 . . . . 5  |-  ( 0  =/=  1  ->  { <. 0 ,  0 >. , 
<. 1 ,  0
>. } : { 0 ,  1 } --> { 0 ,  0 } )
51, 4ax-mp 5 . . . 4  |-  { <. 0 ,  0 >. , 
<. 1 ,  0
>. } : { 0 ,  1 } --> { 0 ,  0 }
6 wlkntrl.f . . . . . . 7  |-  F  =  { <. 0 ,  0
>. ,  <. 1 ,  0 >. }
76eqcomi 2480 . . . . . 6  |-  { <. 0 ,  0 >. , 
<. 1 ,  0
>. }  =  F
87feq1i 5723 . . . . 5  |-  ( {
<. 0 ,  0
>. ,  <. 1 ,  0 >. } : {
0 ,  1 } --> { 0 ,  0 }  <->  F : { 0 ,  1 } --> { 0 ,  0 } )
9 fzo0to2pr 11868 . . . . . . 7  |-  ( 0..^ 2 )  =  {
0 ,  1 }
109eqcomi 2480 . . . . . 6  |-  { 0 ,  1 }  =  ( 0..^ 2 )
11 dfsn2 4040 . . . . . . 7  |-  { 0 }  =  { 0 ,  0 }
1211eqcomi 2480 . . . . . 6  |-  { 0 ,  0 }  =  { 0 }
1310, 12feq23i 5725 . . . . 5  |-  ( F : { 0 ,  1 } --> { 0 ,  0 }  <->  F :
( 0..^ 2 ) --> { 0 } )
148, 13bitri 249 . . . 4  |-  ( {
<. 0 ,  0
>. ,  <. 1 ,  0 >. } : {
0 ,  1 } --> { 0 ,  0 }  <->  F : ( 0..^ 2 ) --> { 0 } )
155, 14mpbi 208 . . 3  |-  F :
( 0..^ 2 ) --> { 0 }
16 iswrdi 12519 . . 3  |-  ( F : ( 0..^ 2 ) --> { 0 }  ->  F  e. Word  { 0 } )
1715, 16ax-mp 5 . 2  |-  F  e. Word  { 0 }
18 wlkntrl.e . . . . 5  |-  E  =  { <. 0 ,  {
x ,  y }
>. }
1918dmeqi 5204 . . . 4  |-  dom  E  =  dom  { <. 0 ,  { x ,  y } >. }
20 zfpair2 4687 . . . . 5  |-  { x ,  y }  e.  _V
2120dmsnop 5482 . . . 4  |-  dom  { <. 0 ,  { x ,  y } >. }  =  { 0 }
2219, 21eqtri 2496 . . 3  |-  dom  E  =  { 0 }
23 wrdeq 12531 . . 3  |-  ( dom 
E  =  { 0 }  -> Word  dom  E  = Word  { 0 } )
2422, 23ax-mp 5 . 2  |- Word  dom  E  = Word  { 0 }
2517, 24eleqtrri 2554 1  |-  F  e. Word  dom  E
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    = wceq 1379    e. wcel 1767    =/= wne 2662   {csn 4027   {cpr 4029   {ctp 4031   <.cop 4033   dom cdm 4999   -->wf 5584  (class class class)co 6285   0cc0 9493   1c1 9494   2c2 10586  ..^cfzo 11793  Word cword 12501
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6577  ax-cnex 9549  ax-resscn 9550  ax-1cn 9551  ax-icn 9552  ax-addcl 9553  ax-addrcl 9554  ax-mulcl 9555  ax-mulrcl 9556  ax-mulcom 9557  ax-addass 9558  ax-mulass 9559  ax-distr 9560  ax-i2m1 9561  ax-1ne0 9562  ax-1rid 9563  ax-rnegex 9564  ax-rrecex 9565  ax-cnre 9566  ax-pre-lttri 9567  ax-pre-lttrn 9568  ax-pre-ltadd 9569  ax-pre-mulgt0 9570
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-riota 6246  df-ov 6288  df-oprab 6289  df-mpt2 6290  df-om 6686  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-recs 7043  df-rdg 7077  df-1o 7131  df-oadd 7135  df-er 7312  df-en 7518  df-dom 7519  df-sdom 7520  df-fin 7521  df-pnf 9631  df-mnf 9632  df-xr 9633  df-ltxr 9634  df-le 9635  df-sub 9808  df-neg 9809  df-nn 10538  df-2 10595  df-n0 10797  df-z 10866  df-uz 11084  df-fz 11674  df-fzo 11794  df-word 12509
This theorem is referenced by:  wlkntrl  24337
  Copyright terms: Public domain W3C validator