MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  wlkntrllem1 Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem wlkntrllem1 25338
Description: Lemma 1 for wlkntrl 25341: F is a word over  {
0 }, the domain of E. (Contributed by Alexander van der Vekens, 22-Oct-2017.) (Proof shortened by Alexander van der Vekens, 16-Dec-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
wlkntrl.v  |-  V  =  { x ,  y }
wlkntrl.e  |-  E  =  { <. 0 ,  {
x ,  y }
>. }
wlkntrl.f  |-  F  =  { <. 0 ,  0
>. ,  <. 1 ,  0 >. }
wlkntrl.p  |-  P  =  { <. 0 ,  x >. ,  <. 1 ,  y
>. ,  <. 2 ,  x >. }
Assertion
Ref Expression
wlkntrllem1  |-  F  e. Word  dom  E

Proof of Theorem wlkntrllem1
StepHypRef Expression
1 0ne1 10705 . . . . 5  |-  0  =/=  1
2 c0ex 9663 . . . . . 6  |-  0  e.  _V
3 1ex 9664 . . . . . 6  |-  1  e.  _V
42, 3, 2, 2fpr 6096 . . . . 5  |-  ( 0  =/=  1  ->  { <. 0 ,  0 >. , 
<. 1 ,  0
>. } : { 0 ,  1 } --> { 0 ,  0 } )
51, 4ax-mp 5 . . . 4  |-  { <. 0 ,  0 >. , 
<. 1 ,  0
>. } : { 0 ,  1 } --> { 0 ,  0 }
6 wlkntrl.f . . . . . . 7  |-  F  =  { <. 0 ,  0
>. ,  <. 1 ,  0 >. }
76eqcomi 2471 . . . . . 6  |-  { <. 0 ,  0 >. , 
<. 1 ,  0
>. }  =  F
87feq1i 5742 . . . . 5  |-  ( {
<. 0 ,  0
>. ,  <. 1 ,  0 >. } : {
0 ,  1 } --> { 0 ,  0 }  <->  F : { 0 ,  1 } --> { 0 ,  0 } )
9 fzo0to2pr 12029 . . . . . . 7  |-  ( 0..^ 2 )  =  {
0 ,  1 }
109eqcomi 2471 . . . . . 6  |-  { 0 ,  1 }  =  ( 0..^ 2 )
11 dfsn2 3993 . . . . . . 7  |-  { 0 }  =  { 0 ,  0 }
1211eqcomi 2471 . . . . . 6  |-  { 0 ,  0 }  =  { 0 }
1310, 12feq23i 5745 . . . . 5  |-  ( F : { 0 ,  1 } --> { 0 ,  0 }  <->  F :
( 0..^ 2 ) --> { 0 } )
148, 13bitri 257 . . . 4  |-  ( {
<. 0 ,  0
>. ,  <. 1 ,  0 >. } : {
0 ,  1 } --> { 0 ,  0 }  <->  F : ( 0..^ 2 ) --> { 0 } )
155, 14mpbi 213 . . 3  |-  F :
( 0..^ 2 ) --> { 0 }
16 iswrdi 12708 . . 3  |-  ( F : ( 0..^ 2 ) --> { 0 }  ->  F  e. Word  { 0 } )
1715, 16ax-mp 5 . 2  |-  F  e. Word  { 0 }
18 wlkntrl.e . . . . 5  |-  E  =  { <. 0 ,  {
x ,  y }
>. }
1918dmeqi 5055 . . . 4  |-  dom  E  =  dom  { <. 0 ,  { x ,  y } >. }
20 zfpair2 4654 . . . . 5  |-  { x ,  y }  e.  _V
2120dmsnop 5329 . . . 4  |-  dom  { <. 0 ,  { x ,  y } >. }  =  { 0 }
2219, 21eqtri 2484 . . 3  |-  dom  E  =  { 0 }
23 wrdeq 12725 . . 3  |-  ( dom 
E  =  { 0 }  -> Word  dom  E  = Word  { 0 } )
2422, 23ax-mp 5 . 2  |- Word  dom  E  = Word  { 0 }
2517, 24eleqtrri 2539 1  |-  F  e. Word  dom  E
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    = wceq 1455    e. wcel 1898    =/= wne 2633   {csn 3980   {cpr 3982   {ctp 3984   <.cop 3986   dom cdm 4853   -->wf 5597  (class class class)co 6315   0cc0 9565   1c1 9566   2c2 10687  ..^cfzo 11946  Word cword 12689
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1680  ax-4 1693  ax-5 1769  ax-6 1816  ax-7 1862  ax-8 1900  ax-9 1907  ax-10 1926  ax-11 1931  ax-12 1944  ax-13 2102  ax-ext 2442  ax-rep 4529  ax-sep 4539  ax-nul 4548  ax-pow 4595  ax-pr 4653  ax-un 6610  ax-cnex 9621  ax-resscn 9622  ax-1cn 9623  ax-icn 9624  ax-addcl 9625  ax-addrcl 9626  ax-mulcl 9627  ax-mulrcl 9628  ax-mulcom 9629  ax-addass 9630  ax-mulass 9631  ax-distr 9632  ax-i2m1 9633  ax-1ne0 9634  ax-1rid 9635  ax-rnegex 9636  ax-rrecex 9637  ax-cnre 9638  ax-pre-lttri 9639  ax-pre-lttrn 9640  ax-pre-ltadd 9641  ax-pre-mulgt0 9642
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 376  df-an 377  df-3or 992  df-3an 993  df-tru 1458  df-ex 1675  df-nf 1679  df-sb 1809  df-eu 2314  df-mo 2315  df-clab 2449  df-cleq 2455  df-clel 2458  df-nfc 2592  df-ne 2635  df-nel 2636  df-ral 2754  df-rex 2755  df-reu 2756  df-rmo 2757  df-rab 2758  df-v 3059  df-sbc 3280  df-csb 3376  df-dif 3419  df-un 3421  df-in 3423  df-ss 3430  df-pss 3432  df-nul 3744  df-if 3894  df-pw 3965  df-sn 3981  df-pr 3983  df-tp 3985  df-op 3987  df-uni 4213  df-int 4249  df-iun 4294  df-br 4417  df-opab 4476  df-mpt 4477  df-tr 4512  df-eprel 4764  df-id 4768  df-po 4774  df-so 4775  df-fr 4812  df-we 4814  df-xp 4859  df-rel 4860  df-cnv 4861  df-co 4862  df-dm 4863  df-rn 4864  df-res 4865  df-ima 4866  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-riota 6277  df-ov 6318  df-oprab 6319  df-mpt2 6320  df-om 6720  df-1st 6820  df-2nd 6821  df-wrecs 7054  df-recs 7116  df-rdg 7154  df-1o 7208  df-oadd 7212  df-er 7389  df-en 7596  df-dom 7597  df-sdom 7598  df-fin 7599  df-card 8399  df-cda 8624  df-pnf 9703  df-mnf 9704  df-xr 9705  df-ltxr 9706  df-le 9707  df-sub 9888  df-neg 9889  df-nn 10638  df-2 10696  df-n0 10899  df-z 10967  df-uz 11189  df-fz 11814  df-fzo 11947  df-hash 12548  df-word 12697
This theorem is referenced by:  wlkntrl  25341
  Copyright terms: Public domain W3C validator