MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  wlkntrllem1 Structured version   Unicode version

Theorem wlkntrllem1 24688
Description: Lemma 1 for wlkntrl 24691: F is a word over  {
0 }, the domain of E. (Contributed by Alexander van der Vekens, 22-Oct-2017.) (Proof shortened by Alexander van der Vekens, 16-Dec-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
wlkntrl.v  |-  V  =  { x ,  y }
wlkntrl.e  |-  E  =  { <. 0 ,  {
x ,  y }
>. }
wlkntrl.f  |-  F  =  { <. 0 ,  0
>. ,  <. 1 ,  0 >. }
wlkntrl.p  |-  P  =  { <. 0 ,  x >. ,  <. 1 ,  y
>. ,  <. 2 ,  x >. }
Assertion
Ref Expression
wlkntrllem1  |-  F  e. Word  dom  E

Proof of Theorem wlkntrllem1
StepHypRef Expression
1 0ne1 10624 . . . . 5  |-  0  =/=  1
2 c0ex 9607 . . . . . 6  |-  0  e.  _V
3 1ex 9608 . . . . . 6  |-  1  e.  _V
42, 3, 2, 2fpr 6080 . . . . 5  |-  ( 0  =/=  1  ->  { <. 0 ,  0 >. , 
<. 1 ,  0
>. } : { 0 ,  1 } --> { 0 ,  0 } )
51, 4ax-mp 5 . . . 4  |-  { <. 0 ,  0 >. , 
<. 1 ,  0
>. } : { 0 ,  1 } --> { 0 ,  0 }
6 wlkntrl.f . . . . . . 7  |-  F  =  { <. 0 ,  0
>. ,  <. 1 ,  0 >. }
76eqcomi 2470 . . . . . 6  |-  { <. 0 ,  0 >. , 
<. 1 ,  0
>. }  =  F
87feq1i 5729 . . . . 5  |-  ( {
<. 0 ,  0
>. ,  <. 1 ,  0 >. } : {
0 ,  1 } --> { 0 ,  0 }  <->  F : { 0 ,  1 } --> { 0 ,  0 } )
9 fzo0to2pr 11902 . . . . . . 7  |-  ( 0..^ 2 )  =  {
0 ,  1 }
109eqcomi 2470 . . . . . 6  |-  { 0 ,  1 }  =  ( 0..^ 2 )
11 dfsn2 4045 . . . . . . 7  |-  { 0 }  =  { 0 ,  0 }
1211eqcomi 2470 . . . . . 6  |-  { 0 ,  0 }  =  { 0 }
1310, 12feq23i 5731 . . . . 5  |-  ( F : { 0 ,  1 } --> { 0 ,  0 }  <->  F :
( 0..^ 2 ) --> { 0 } )
148, 13bitri 249 . . . 4  |-  ( {
<. 0 ,  0
>. ,  <. 1 ,  0 >. } : {
0 ,  1 } --> { 0 ,  0 }  <->  F : ( 0..^ 2 ) --> { 0 } )
155, 14mpbi 208 . . 3  |-  F :
( 0..^ 2 ) --> { 0 }
16 iswrdi 12557 . . 3  |-  ( F : ( 0..^ 2 ) --> { 0 }  ->  F  e. Word  { 0 } )
1715, 16ax-mp 5 . 2  |-  F  e. Word  { 0 }
18 wlkntrl.e . . . . 5  |-  E  =  { <. 0 ,  {
x ,  y }
>. }
1918dmeqi 5214 . . . 4  |-  dom  E  =  dom  { <. 0 ,  { x ,  y } >. }
20 zfpair2 4696 . . . . 5  |-  { x ,  y }  e.  _V
2120dmsnop 5488 . . . 4  |-  dom  { <. 0 ,  { x ,  y } >. }  =  { 0 }
2219, 21eqtri 2486 . . 3  |-  dom  E  =  { 0 }
23 wrdeq 12571 . . 3  |-  ( dom 
E  =  { 0 }  -> Word  dom  E  = Word  { 0 } )
2422, 23ax-mp 5 . 2  |- Word  dom  E  = Word  { 0 }
2517, 24eleqtrri 2544 1  |-  F  e. Word  dom  E
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    = wceq 1395    e. wcel 1819    =/= wne 2652   {csn 4032   {cpr 4034   {ctp 4036   <.cop 4038   dom cdm 5008   -->wf 5590  (class class class)co 6296   0cc0 9509   1c1 9510   2c2 10606  ..^cfzo 11821  Word cword 12538
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-1o 7148  df-oadd 7152  df-er 7329  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-fin 7539  df-card 8337  df-cda 8565  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-nn 10557  df-2 10615  df-n0 10817  df-z 10886  df-uz 11107  df-fz 11698  df-fzo 11822  df-hash 12409  df-word 12546
This theorem is referenced by:  wlkntrl  24691
  Copyright terms: Public domain W3C validator