Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  wlkntrl Structured version   Unicode version

Theorem wlkntrl 24436
 Description: A walk which is not a trail: In a graph with two vertices and one edge connecting these two vertices, to go from one edge to the other is a walk, but not a trail. Notice that is a simple graph (without loops) only if . (Contributed by Alexander van der Vekens, 22-Oct-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
wlkntrl.v
wlkntrl.e
wlkntrl.f
wlkntrl.p
Assertion
Ref Expression
wlkntrl Walks Trails
Distinct variable group:   ,,
Allowed substitution hints:   (,)   (,)   (,)

Proof of Theorem wlkntrl
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 wlkntrl.v . . . . . 6
2 prex 4679 . . . . . 6
31, 2eqeltri 2527 . . . . 5
4 wlkntrl.e . . . . . 6
5 snex 4678 . . . . . 6
64, 5eqeltri 2527 . . . . 5
73, 6pm3.2i 455 . . . 4
8 wlkntrl.f . . . . . 6
9 prex 4679 . . . . . 6
108, 9eqeltri 2527 . . . . 5
11 wlkntrl.p . . . . . 6
12 tpex 6584 . . . . . 6
1311, 12eqeltri 2527 . . . . 5
1410, 13pm3.2i 455 . . . 4
157, 14pm3.2i 455 . . 3
161, 4, 8, 11wlkntrllem1 24433 . . . . 5 Word
17 vex 3098 . . . . . . . . . . 11
1817prid1 4123 . . . . . . . . . 10
19 vex 3098 . . . . . . . . . . 11
2019prid2 4124 . . . . . . . . . 10
2118, 20, 183pm3.2i 1175 . . . . . . . . 9
22 eleq2 2516 . . . . . . . . . 10
23 eleq2 2516 . . . . . . . . . 10
2422, 23, 223anbi123d 1300 . . . . . . . . 9
2521, 24mpbiri 233 . . . . . . . 8
261, 25ax-mp 5 . . . . . . 7
27112trllemG 24432 . . . . . . 7
2826, 27ax-mp 5 . . . . . 6
29 0z 10881 . . . . . . . . . 10
3029, 29pm3.2i 455 . . . . . . . . 9
3130, 82trllemA 24424 . . . . . . . 8
3231oveq2i 6292 . . . . . . 7
3332feq2i 5714 . . . . . 6
3428, 33mpbir 209 . . . . 5
351, 4, 8, 11wlkntrllem2 24434 . . . . 5 ..^
3616, 34, 353pm3.2i 1175 . . . 4 Word ..^
37 iswlk 24392 . . . 4 Walks Word ..^
3836, 37mpbiri 233 . . 3 Walks
3915, 38ax-mp 5 . 2 Walks
401, 4, 8, 11wlkntrllem3 24435 . . 3
41 istrl 24411 . . . . 5 Trails Word ..^
4215, 41ax-mp 5 . . . 4 Trails Word ..^
43 notnot1 122 . . . . . 6
4443adantl 466 . . . . 5 Word
45443ad2ant1 1018 . . . 4 Word ..^
4642, 45sylbi 195 . . 3 Trails
4740, 46mt2 179 . 2 Trails
4839, 47pm3.2i 455 1 Walks Trails
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wn 3   wb 184   wa 369   w3a 974   wceq 1383   wcel 1804  wral 2793  cvv 3095  csn 4014  cpr 4016  ctp 4018  cop 4020   class class class wbr 4437  ccnv 4988   cdm 4989   wfun 5572  wf 5574  cfv 5578  (class class class)co 6281  cc0 9495  c1 9496   caddc 9498  c2 10591  cz 10870  cfz 11681  ..^cfzo 11803  chash 12384  Word cword 12513   Walks cwalk 24370   Trails ctrail 24371 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-rep 4548  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6577  ax-cnex 9551  ax-resscn 9552  ax-1cn 9553  ax-icn 9554  ax-addcl 9555  ax-addrcl 9556  ax-mulcl 9557  ax-mulrcl 9558  ax-mulcom 9559  ax-addass 9560  ax-mulass 9561  ax-distr 9562  ax-i2m1 9563  ax-1ne0 9564  ax-1rid 9565  ax-rnegex 9566  ax-rrecex 9567  ax-cnre 9568  ax-pre-lttri 9569  ax-pre-lttrn 9570  ax-pre-ltadd 9571  ax-pre-mulgt0 9572 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1386  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-nel 2641  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rmo 2801  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-tp 4019  df-op 4021  df-uni 4235  df-int 4272  df-iun 4317  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-tr 4531  df-eprel 4781  df-id 4785  df-po 4790  df-so 4791  df-fr 4828  df-we 4830  df-ord 4871  df-on 4872  df-lim 4873  df-suc 4874  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-f1 5583  df-fo 5584  df-f1o 5585  df-fv 5586  df-riota 6242  df-ov 6284  df-oprab 6285  df-mpt2 6286  df-om 6686  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-recs 7044  df-rdg 7078  df-1o 7132  df-oadd 7136  df-er 7313  df-map 7424  df-pm 7425  df-en 7519  df-dom 7520  df-sdom 7521  df-fin 7522  df-card 8323  df-cda 8551  df-pnf 9633  df-mnf 9634  df-xr 9635  df-ltxr 9636  df-le 9637  df-sub 9812  df-neg 9813  df-nn 10543  df-2 10600  df-n0 10802  df-z 10871  df-uz 11091  df-fz 11682  df-fzo 11804  df-hash 12385  df-word 12521  df-wlk 24380  df-trail 24381 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator