MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  wlkntrl Structured version   Unicode version

Theorem wlkntrl 24436
Description: A walk which is not a trail: In a graph with two vertices and one edge connecting these two vertices, to go from one edge to the other is a walk, but not a trail. Notice that  <. V ,  E >. is a simple graph (without loops) only if  x  =/=  y. (Contributed by Alexander van der Vekens, 22-Oct-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
wlkntrl.v  |-  V  =  { x ,  y }
wlkntrl.e  |-  E  =  { <. 0 ,  {
x ,  y }
>. }
wlkntrl.f  |-  F  =  { <. 0 ,  0
>. ,  <. 1 ,  0 >. }
wlkntrl.p  |-  P  =  { <. 0 ,  x >. ,  <. 1 ,  y
>. ,  <. 2 ,  x >. }
Assertion
Ref Expression
wlkntrl  |-  ( F ( V Walks  E ) P  /\  -.  F
( V Trails  E ) P )
Distinct variable group:    x, F, y
Allowed substitution hints:    P( x, y)    E( x, y)    V( x, y)

Proof of Theorem wlkntrl
Dummy variable  k is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 wlkntrl.v . . . . . 6  |-  V  =  { x ,  y }
2 prex 4679 . . . . . 6  |-  { x ,  y }  e.  _V
31, 2eqeltri 2527 . . . . 5  |-  V  e. 
_V
4 wlkntrl.e . . . . . 6  |-  E  =  { <. 0 ,  {
x ,  y }
>. }
5 snex 4678 . . . . . 6  |-  { <. 0 ,  { x ,  y } >. }  e.  _V
64, 5eqeltri 2527 . . . . 5  |-  E  e. 
_V
73, 6pm3.2i 455 . . . 4  |-  ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )
8 wlkntrl.f . . . . . 6  |-  F  =  { <. 0 ,  0
>. ,  <. 1 ,  0 >. }
9 prex 4679 . . . . . 6  |-  { <. 0 ,  0 >. , 
<. 1 ,  0
>. }  e.  _V
108, 9eqeltri 2527 . . . . 5  |-  F  e. 
_V
11 wlkntrl.p . . . . . 6  |-  P  =  { <. 0 ,  x >. ,  <. 1 ,  y
>. ,  <. 2 ,  x >. }
12 tpex 6584 . . . . . 6  |-  { <. 0 ,  x >. , 
<. 1 ,  y
>. ,  <. 2 ,  x >. }  e.  _V
1311, 12eqeltri 2527 . . . . 5  |-  P  e. 
_V
1410, 13pm3.2i 455 . . . 4  |-  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V )
157, 14pm3.2i 455 . . 3  |-  ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V )
)
161, 4, 8, 11wlkntrllem1 24433 . . . . 5  |-  F  e. Word  dom  E
17 vex 3098 . . . . . . . . . . 11  |-  x  e. 
_V
1817prid1 4123 . . . . . . . . . 10  |-  x  e. 
{ x ,  y }
19 vex 3098 . . . . . . . . . . 11  |-  y  e. 
_V
2019prid2 4124 . . . . . . . . . 10  |-  y  e. 
{ x ,  y }
2118, 20, 183pm3.2i 1175 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  { x ,  y }  /\  y  e.  { x ,  y }  /\  x  e. 
{ x ,  y } )
22 eleq2 2516 . . . . . . . . . 10  |-  ( V  =  { x ,  y }  ->  (
x  e.  V  <->  x  e.  { x ,  y } ) )
23 eleq2 2516 . . . . . . . . . 10  |-  ( V  =  { x ,  y }  ->  (
y  e.  V  <->  y  e.  { x ,  y } ) )
2422, 23, 223anbi123d 1300 . . . . . . . . 9  |-  ( V  =  { x ,  y }  ->  (
( x  e.  V  /\  y  e.  V  /\  x  e.  V
)  <->  ( x  e. 
{ x ,  y }  /\  y  e. 
{ x ,  y }  /\  x  e. 
{ x ,  y } ) ) )
2521, 24mpbiri 233 . . . . . . . 8  |-  ( V  =  { x ,  y }  ->  (
x  e.  V  /\  y  e.  V  /\  x  e.  V )
)
261, 25ax-mp 5 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  V  /\  y  e.  V  /\  x  e.  V )
27112trllemG 24432 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  V  /\  y  e.  V  /\  x  e.  V )  ->  P : ( 0 ... 2 ) --> V )
2826, 27ax-mp 5 . . . . . 6  |-  P :
( 0 ... 2
) --> V
29 0z 10881 . . . . . . . . . 10  |-  0  e.  ZZ
3029, 29pm3.2i 455 . . . . . . . . 9  |-  ( 0  e.  ZZ  /\  0  e.  ZZ )
3130, 82trllemA 24424 . . . . . . . 8  |-  ( # `  F )  =  2
3231oveq2i 6292 . . . . . . 7  |-  ( 0 ... ( # `  F
) )  =  ( 0 ... 2 )
3332feq2i 5714 . . . . . 6  |-  ( P : ( 0 ... ( # `  F
) ) --> V  <->  P :
( 0 ... 2
) --> V )
3428, 33mpbir 209 . . . . 5  |-  P :
( 0 ... ( # `
 F ) ) --> V
351, 4, 8, 11wlkntrllem2 24434 . . . . 5  |-  A. k  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) ( E `  ( F `
 k ) )  =  { ( P `
 k ) ,  ( P `  (
k  +  1 ) ) }
3616, 34, 353pm3.2i 1175 . . . 4  |-  ( F  e. Word  dom  E  /\  P : ( 0 ... ( # `  F
) ) --> V  /\  A. k  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) ( E `
 ( F `  k ) )  =  { ( P `  k ) ,  ( P `  ( k  +  1 ) ) } )
37 iswlk 24392 . . . 4  |-  ( ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V )
)  ->  ( F
( V Walks  E ) P 
<->  ( F  e. Word  dom  E  /\  P : ( 0 ... ( # `  F ) ) --> V  /\  A. k  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) ( E `  ( F `
 k ) )  =  { ( P `
 k ) ,  ( P `  (
k  +  1 ) ) } ) ) )
3836, 37mpbiri 233 . . 3  |-  ( ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V )
)  ->  F ( V Walks  E ) P )
3915, 38ax-mp 5 . 2  |-  F ( V Walks  E ) P
401, 4, 8, 11wlkntrllem3 24435 . . 3  |-  -.  Fun  `' F
41 istrl 24411 . . . . 5  |-  ( ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V )
)  ->  ( F
( V Trails  E ) P 
<->  ( ( F  e. Word  dom  E  /\  Fun  `' F )  /\  P : ( 0 ... ( # `  F
) ) --> V  /\  A. k  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) ( E `
 ( F `  k ) )  =  { ( P `  k ) ,  ( P `  ( k  +  1 ) ) } ) ) )
4215, 41ax-mp 5 . . . 4  |-  ( F ( V Trails  E ) P  <->  ( ( F  e. Word  dom  E  /\  Fun  `' F )  /\  P : ( 0 ... ( # `  F
) ) --> V  /\  A. k  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) ( E `
 ( F `  k ) )  =  { ( P `  k ) ,  ( P `  ( k  +  1 ) ) } ) )
43 notnot1 122 . . . . . 6  |-  ( Fun  `' F  ->  -.  -.  Fun  `' F )
4443adantl 466 . . . . 5  |-  ( ( F  e. Word  dom  E  /\  Fun  `' F )  ->  -.  -.  Fun  `' F )
45443ad2ant1 1018 . . . 4  |-  ( ( ( F  e. Word  dom  E  /\  Fun  `' F
)  /\  P :
( 0 ... ( # `
 F ) ) --> V  /\  A. k  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) ( E `  ( F `
 k ) )  =  { ( P `
 k ) ,  ( P `  (
k  +  1 ) ) } )  ->  -.  -.  Fun  `' F
)
4642, 45sylbi 195 . . 3  |-  ( F ( V Trails  E ) P  ->  -.  -.  Fun  `' F )
4740, 46mt2 179 . 2  |-  -.  F
( V Trails  E ) P
4839, 47pm3.2i 455 1  |-  ( F ( V Walks  E ) P  /\  -.  F
( V Trails  E ) P )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 974    = wceq 1383    e. wcel 1804   A.wral 2793   _Vcvv 3095   {csn 4014   {cpr 4016   {ctp 4018   <.cop 4020   class class class wbr 4437   `'ccnv 4988   dom cdm 4989   Fun wfun 5572   -->wf 5574   ` cfv 5578  (class class class)co 6281   0cc0 9495   1c1 9496    + caddc 9498   2c2 10591   ZZcz 10870   ...cfz 11681  ..^cfzo 11803   #chash 12384  Word cword 12513   Walks cwalk 24370   Trails ctrail 24371
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-rep 4548  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6577  ax-cnex 9551  ax-resscn 9552  ax-1cn 9553  ax-icn 9554  ax-addcl 9555  ax-addrcl 9556  ax-mulcl 9557  ax-mulrcl 9558  ax-mulcom 9559  ax-addass 9560  ax-mulass 9561  ax-distr 9562  ax-i2m1 9563  ax-1ne0 9564  ax-1rid 9565  ax-rnegex 9566  ax-rrecex 9567  ax-cnre 9568  ax-pre-lttri 9569  ax-pre-lttrn 9570  ax-pre-ltadd 9571  ax-pre-mulgt0 9572
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1386  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-nel 2641  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rmo 2801  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-tp 4019  df-op 4021  df-uni 4235  df-int 4272  df-iun 4317  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-tr 4531  df-eprel 4781  df-id 4785  df-po 4790  df-so 4791  df-fr 4828  df-we 4830  df-ord 4871  df-on 4872  df-lim 4873  df-suc 4874  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-f1 5583  df-fo 5584  df-f1o 5585  df-fv 5586  df-riota 6242  df-ov 6284  df-oprab 6285  df-mpt2 6286  df-om 6686  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-recs 7044  df-rdg 7078  df-1o 7132  df-oadd 7136  df-er 7313  df-map 7424  df-pm 7425  df-en 7519  df-dom 7520  df-sdom 7521  df-fin 7522  df-card 8323  df-cda 8551  df-pnf 9633  df-mnf 9634  df-xr 9635  df-ltxr 9636  df-le 9637  df-sub 9812  df-neg 9813  df-nn 10543  df-2 10600  df-n0 10802  df-z 10871  df-uz 11091  df-fz 11682  df-fzo 11804  df-hash 12385  df-word 12521  df-wlk 24380  df-trail 24381
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator