MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  wlkntrl Structured version   Unicode version

Theorem wlkntrl 24226
Description: A walk which is not a trail: In a graph with two vertices and one edge connecting these two vertices, to go from one edge to the other is a walk, but not a trail. Notice that  <. V ,  E >. is a simple graph (without loops) only if  x  =/=  y. (Contributed by Alexander van der Vekens, 22-Oct-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
wlkntrl.v  |-  V  =  { x ,  y }
wlkntrl.e  |-  E  =  { <. 0 ,  {
x ,  y }
>. }
wlkntrl.f  |-  F  =  { <. 0 ,  0
>. ,  <. 1 ,  0 >. }
wlkntrl.p  |-  P  =  { <. 0 ,  x >. ,  <. 1 ,  y
>. ,  <. 2 ,  x >. }
Assertion
Ref Expression
wlkntrl  |-  ( F ( V Walks  E ) P  /\  -.  F
( V Trails  E ) P )
Distinct variable group:    x, F, y
Allowed substitution hints:    P( x, y)    E( x, y)    V( x, y)

Proof of Theorem wlkntrl
Dummy variable  k is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 wlkntrl.v . . . . . 6  |-  V  =  { x ,  y }
2 prex 4682 . . . . . 6  |-  { x ,  y }  e.  _V
31, 2eqeltri 2544 . . . . 5  |-  V  e. 
_V
4 wlkntrl.e . . . . . 6  |-  E  =  { <. 0 ,  {
x ,  y }
>. }
5 snex 4681 . . . . . 6  |-  { <. 0 ,  { x ,  y } >. }  e.  _V
64, 5eqeltri 2544 . . . . 5  |-  E  e. 
_V
73, 6pm3.2i 455 . . . 4  |-  ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )
8 wlkntrl.f . . . . . 6  |-  F  =  { <. 0 ,  0
>. ,  <. 1 ,  0 >. }
9 prex 4682 . . . . . 6  |-  { <. 0 ,  0 >. , 
<. 1 ,  0
>. }  e.  _V
108, 9eqeltri 2544 . . . . 5  |-  F  e. 
_V
11 wlkntrl.p . . . . . 6  |-  P  =  { <. 0 ,  x >. ,  <. 1 ,  y
>. ,  <. 2 ,  x >. }
12 tpex 6574 . . . . . 6  |-  { <. 0 ,  x >. , 
<. 1 ,  y
>. ,  <. 2 ,  x >. }  e.  _V
1311, 12eqeltri 2544 . . . . 5  |-  P  e. 
_V
1410, 13pm3.2i 455 . . . 4  |-  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V )
157, 14pm3.2i 455 . . 3  |-  ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V )
)
161, 4, 8, 11wlkntrllem1 24223 . . . . 5  |-  F  e. Word  dom  E
17 vex 3109 . . . . . . . . . . 11  |-  x  e. 
_V
1817prid1 4128 . . . . . . . . . 10  |-  x  e. 
{ x ,  y }
19 vex 3109 . . . . . . . . . . 11  |-  y  e. 
_V
2019prid2 4129 . . . . . . . . . 10  |-  y  e. 
{ x ,  y }
2118, 20, 183pm3.2i 1169 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  { x ,  y }  /\  y  e.  { x ,  y }  /\  x  e. 
{ x ,  y } )
22 eleq2 2533 . . . . . . . . . 10  |-  ( V  =  { x ,  y }  ->  (
x  e.  V  <->  x  e.  { x ,  y } ) )
23 eleq2 2533 . . . . . . . . . 10  |-  ( V  =  { x ,  y }  ->  (
y  e.  V  <->  y  e.  { x ,  y } ) )
2422, 23, 223anbi123d 1294 . . . . . . . . 9  |-  ( V  =  { x ,  y }  ->  (
( x  e.  V  /\  y  e.  V  /\  x  e.  V
)  <->  ( x  e. 
{ x ,  y }  /\  y  e. 
{ x ,  y }  /\  x  e. 
{ x ,  y } ) ) )
2521, 24mpbiri 233 . . . . . . . 8  |-  ( V  =  { x ,  y }  ->  (
x  e.  V  /\  y  e.  V  /\  x  e.  V )
)
261, 25ax-mp 5 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  V  /\  y  e.  V  /\  x  e.  V )
27112trllemG 24222 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  V  /\  y  e.  V  /\  x  e.  V )  ->  P : ( 0 ... 2 ) --> V )
2826, 27ax-mp 5 . . . . . 6  |-  P :
( 0 ... 2
) --> V
29 0z 10864 . . . . . . . . . 10  |-  0  e.  ZZ
3029, 29pm3.2i 455 . . . . . . . . 9  |-  ( 0  e.  ZZ  /\  0  e.  ZZ )
3130, 82trllemA 24214 . . . . . . . 8  |-  ( # `  F )  =  2
3231oveq2i 6286 . . . . . . 7  |-  ( 0 ... ( # `  F
) )  =  ( 0 ... 2 )
3332feq2i 5715 . . . . . 6  |-  ( P : ( 0 ... ( # `  F
) ) --> V  <->  P :
( 0 ... 2
) --> V )
3428, 33mpbir 209 . . . . 5  |-  P :
( 0 ... ( # `
 F ) ) --> V
351, 4, 8, 11wlkntrllem2 24224 . . . . 5  |-  A. k  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) ( E `  ( F `
 k ) )  =  { ( P `
 k ) ,  ( P `  (
k  +  1 ) ) }
3616, 34, 353pm3.2i 1169 . . . 4  |-  ( F  e. Word  dom  E  /\  P : ( 0 ... ( # `  F
) ) --> V  /\  A. k  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) ( E `
 ( F `  k ) )  =  { ( P `  k ) ,  ( P `  ( k  +  1 ) ) } )
37 iswlk 24182 . . . 4  |-  ( ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V )
)  ->  ( F
( V Walks  E ) P 
<->  ( F  e. Word  dom  E  /\  P : ( 0 ... ( # `  F ) ) --> V  /\  A. k  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) ( E `  ( F `
 k ) )  =  { ( P `
 k ) ,  ( P `  (
k  +  1 ) ) } ) ) )
3836, 37mpbiri 233 . . 3  |-  ( ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V )
)  ->  F ( V Walks  E ) P )
3915, 38ax-mp 5 . 2  |-  F ( V Walks  E ) P
401, 4, 8, 11wlkntrllem3 24225 . . 3  |-  -.  Fun  `' F
41 istrl 24201 . . . . 5  |-  ( ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V )
)  ->  ( F
( V Trails  E ) P 
<->  ( ( F  e. Word  dom  E  /\  Fun  `' F )  /\  P : ( 0 ... ( # `  F
) ) --> V  /\  A. k  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) ( E `
 ( F `  k ) )  =  { ( P `  k ) ,  ( P `  ( k  +  1 ) ) } ) ) )
4215, 41ax-mp 5 . . . 4  |-  ( F ( V Trails  E ) P  <->  ( ( F  e. Word  dom  E  /\  Fun  `' F )  /\  P : ( 0 ... ( # `  F
) ) --> V  /\  A. k  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) ( E `
 ( F `  k ) )  =  { ( P `  k ) ,  ( P `  ( k  +  1 ) ) } ) )
43 notnot1 122 . . . . . 6  |-  ( Fun  `' F  ->  -.  -.  Fun  `' F )
4443adantl 466 . . . . 5  |-  ( ( F  e. Word  dom  E  /\  Fun  `' F )  ->  -.  -.  Fun  `' F )
45443ad2ant1 1012 . . . 4  |-  ( ( ( F  e. Word  dom  E  /\  Fun  `' F
)  /\  P :
( 0 ... ( # `
 F ) ) --> V  /\  A. k  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) ( E `  ( F `
 k ) )  =  { ( P `
 k ) ,  ( P `  (
k  +  1 ) ) } )  ->  -.  -.  Fun  `' F
)
4642, 45sylbi 195 . . 3  |-  ( F ( V Trails  E ) P  ->  -.  -.  Fun  `' F )
4740, 46mt2 179 . 2  |-  -.  F
( V Trails  E ) P
4839, 47pm3.2i 455 1  |-  ( F ( V Walks  E ) P  /\  -.  F
( V Trails  E ) P )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 968    = wceq 1374    e. wcel 1762   A.wral 2807   _Vcvv 3106   {csn 4020   {cpr 4022   {ctp 4024   <.cop 4026   class class class wbr 4440   `'ccnv 4991   dom cdm 4992   Fun wfun 5573   -->wf 5575   ` cfv 5579  (class class class)co 6275   0cc0 9481   1c1 9482    + caddc 9484   2c2 10574   ZZcz 10853   ...cfz 11661  ..^cfzo 11781   #chash 12360  Word cword 12487   Walks cwalk 24160   Trails ctrail 24161
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1961  ax-ext 2438  ax-rep 4551  ax-sep 4561  ax-nul 4569  ax-pow 4618  ax-pr 4679  ax-un 6567  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2446  df-cleq 2452  df-clel 2455  df-nfc 2610  df-ne 2657  df-nel 2658  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3429  df-dif 3472  df-un 3474  df-in 3476  df-ss 3483  df-pss 3485  df-nul 3779  df-if 3933  df-pw 4005  df-sn 4021  df-pr 4023  df-tp 4025  df-op 4027  df-uni 4239  df-int 4276  df-iun 4320  df-br 4441  df-opab 4499  df-mpt 4500  df-tr 4534  df-eprel 4784  df-id 4788  df-po 4793  df-so 4794  df-fr 4831  df-we 4833  df-ord 4874  df-on 4875  df-lim 4876  df-suc 4877  df-xp 4998  df-rel 4999  df-cnv 5000  df-co 5001  df-dm 5002  df-rn 5003  df-res 5004  df-ima 5005  df-iota 5542  df-fun 5581  df-fn 5582  df-f 5583  df-f1 5584  df-fo 5585  df-f1o 5586  df-fv 5587  df-riota 6236  df-ov 6278  df-oprab 6279  df-mpt2 6280  df-om 6672  df-1st 6774  df-2nd 6775  df-recs 7032  df-rdg 7066  df-1o 7120  df-oadd 7124  df-er 7301  df-map 7412  df-pm 7413  df-en 7507  df-dom 7508  df-sdom 7509  df-fin 7510  df-card 8309  df-cda 8537  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9796  df-neg 9797  df-nn 10526  df-2 10583  df-n0 10785  df-z 10854  df-uz 11072  df-fz 11662  df-fzo 11782  df-hash 12361  df-word 12495  df-wlk 24170  df-trail 24171
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator