MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  wlknfi Structured version   Unicode version

Theorem wlknfi 24415
Description: The number of walks of fixed length is finite if the number of vertices is finite (in the graph). (Contributed by Alexander van der Vekens, 25-Aug-2018.)
Assertion
Ref Expression
wlknfi  |-  ( ( V USGrph  E  /\  N  e. 
NN0  /\  V  e.  Fin )  ->  { p  e.  ( V Walks  E )  |  ( # `  ( 1st `  p ) )  =  N }  e.  Fin )
Distinct variable groups:    E, p    N, p    V, p

Proof of Theorem wlknfi
StepHypRef Expression
1 wwlknfi 24414 . . 3  |-  ( V  e.  Fin  ->  (
( V WWalksN  E ) `  N )  e.  Fin )
213ad2ant3 1019 . 2  |-  ( ( V USGrph  E  /\  N  e. 
NN0  /\  V  e.  Fin )  ->  ( ( V WWalksN  E ) `  N
)  e.  Fin )
3 wlknwwlknen 24391 . . 3  |-  ( ( V USGrph  E  /\  N  e. 
NN0 )  ->  { p  e.  ( V Walks  E )  |  ( # `  ( 1st `  p ) )  =  N }  ~~  ( ( V WWalksN  E
) `  N )
)
433adant3 1016 . 2  |-  ( ( V USGrph  E  /\  N  e. 
NN0  /\  V  e.  Fin )  ->  { p  e.  ( V Walks  E )  |  ( # `  ( 1st `  p ) )  =  N }  ~~  ( ( V WWalksN  E
) `  N )
)
5 enfii 7734 . 2  |-  ( ( ( ( V WWalksN  E
) `  N )  e.  Fin  /\  { p  e.  ( V Walks  E )  |  ( # `  ( 1st `  p ) )  =  N }  ~~  ( ( V WWalksN  E
) `  N )
)  ->  { p  e.  ( V Walks  E )  |  ( # `  ( 1st `  p ) )  =  N }  e.  Fin )
62, 4, 5syl2anc 661 1  |-  ( ( V USGrph  E  /\  N  e. 
NN0  /\  V  e.  Fin )  ->  { p  e.  ( V Walks  E )  |  ( # `  ( 1st `  p ) )  =  N }  e.  Fin )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ w3a 973    = wceq 1379    e. wcel 1767   {crab 2818   class class class wbr 4447   ` cfv 5586  (class class class)co 6282   1stc1st 6779    ~~ cen 7510   Fincfn 7513   NN0cn0 10791   #chash 12369   USGrph cusg 24006   Walks cwalk 24174   WWalksN cwwlkn 24354
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-cnex 9544  ax-resscn 9545  ax-1cn 9546  ax-icn 9547  ax-addcl 9548  ax-addrcl 9549  ax-mulcl 9550  ax-mulrcl 9551  ax-mulcom 9552  ax-addass 9553  ax-mulass 9554  ax-distr 9555  ax-i2m1 9556  ax-1ne0 9557  ax-1rid 9558  ax-rnegex 9559  ax-rrecex 9560  ax-cnre 9561  ax-pre-lttri 9562  ax-pre-lttrn 9563  ax-pre-ltadd 9564  ax-pre-mulgt0 9565
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-fal 1385  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-riota 6243  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-om 6679  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-recs 7039  df-rdg 7073  df-1o 7127  df-2o 7128  df-oadd 7131  df-er 7308  df-map 7419  df-pm 7420  df-en 7514  df-dom 7515  df-sdom 7516  df-fin 7517  df-card 8316  df-cda 8544  df-pnf 9626  df-mnf 9627  df-xr 9628  df-ltxr 9629  df-le 9630  df-sub 9803  df-neg 9804  df-nn 10533  df-2 10590  df-n0 10792  df-z 10861  df-uz 11079  df-fz 11669  df-fzo 11789  df-seq 12072  df-exp 12131  df-hash 12370  df-word 12504  df-usgra 24009  df-wlk 24184  df-wwlk 24355  df-wwlkn 24356
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator