MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  wlknfi Structured version   Unicode version

Theorem wlknfi 24860
Description: The number of walks of fixed length is finite if the number of vertices is finite (in the graph). (Contributed by Alexander van der Vekens, 25-Aug-2018.)
Assertion
Ref Expression
wlknfi  |-  ( ( V USGrph  E  /\  N  e. 
NN0  /\  V  e.  Fin )  ->  { p  e.  ( V Walks  E )  |  ( # `  ( 1st `  p ) )  =  N }  e.  Fin )
Distinct variable groups:    E, p    N, p    V, p

Proof of Theorem wlknfi
StepHypRef Expression
1 wwlknfi 24859 . . 3  |-  ( V  e.  Fin  ->  (
( V WWalksN  E ) `  N )  e.  Fin )
213ad2ant3 1017 . 2  |-  ( ( V USGrph  E  /\  N  e. 
NN0  /\  V  e.  Fin )  ->  ( ( V WWalksN  E ) `  N
)  e.  Fin )
3 wlknwwlknen 24836 . . 3  |-  ( ( V USGrph  E  /\  N  e. 
NN0 )  ->  { p  e.  ( V Walks  E )  |  ( # `  ( 1st `  p ) )  =  N }  ~~  ( ( V WWalksN  E
) `  N )
)
433adant3 1014 . 2  |-  ( ( V USGrph  E  /\  N  e. 
NN0  /\  V  e.  Fin )  ->  { p  e.  ( V Walks  E )  |  ( # `  ( 1st `  p ) )  =  N }  ~~  ( ( V WWalksN  E
) `  N )
)
5 enfii 7653 . 2  |-  ( ( ( ( V WWalksN  E
) `  N )  e.  Fin  /\  { p  e.  ( V Walks  E )  |  ( # `  ( 1st `  p ) )  =  N }  ~~  ( ( V WWalksN  E
) `  N )
)  ->  { p  e.  ( V Walks  E )  |  ( # `  ( 1st `  p ) )  =  N }  e.  Fin )
62, 4, 5syl2anc 659 1  |-  ( ( V USGrph  E  /\  N  e. 
NN0  /\  V  e.  Fin )  ->  { p  e.  ( V Walks  E )  |  ( # `  ( 1st `  p ) )  =  N }  e.  Fin )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ w3a 971    = wceq 1399    e. wcel 1826   {crab 2736   class class class wbr 4367   ` cfv 5496  (class class class)co 6196   1stc1st 6697    ~~ cen 7432   Fincfn 7435   NN0cn0 10712   #chash 12307   USGrph cusg 24451   Walks cwalk 24619   WWalksN cwwlkn 24799
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1626  ax-4 1639  ax-5 1712  ax-6 1755  ax-7 1798  ax-8 1828  ax-9 1830  ax-10 1845  ax-11 1850  ax-12 1862  ax-13 2006  ax-ext 2360  ax-rep 4478  ax-sep 4488  ax-nul 4496  ax-pow 4543  ax-pr 4601  ax-un 6491  ax-cnex 9459  ax-resscn 9460  ax-1cn 9461  ax-icn 9462  ax-addcl 9463  ax-addrcl 9464  ax-mulcl 9465  ax-mulrcl 9466  ax-mulcom 9467  ax-addass 9468  ax-mulass 9469  ax-distr 9470  ax-i2m1 9471  ax-1ne0 9472  ax-1rid 9473  ax-rnegex 9474  ax-rrecex 9475  ax-cnre 9476  ax-pre-lttri 9477  ax-pre-lttrn 9478  ax-pre-ltadd 9479  ax-pre-mulgt0 9480
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1402  df-fal 1405  df-ex 1621  df-nf 1625  df-sb 1748  df-eu 2222  df-mo 2223  df-clab 2368  df-cleq 2374  df-clel 2377  df-nfc 2532  df-ne 2579  df-nel 2580  df-ral 2737  df-rex 2738  df-reu 2739  df-rmo 2740  df-rab 2741  df-v 3036  df-sbc 3253  df-csb 3349  df-dif 3392  df-un 3394  df-in 3396  df-ss 3403  df-pss 3405  df-nul 3712  df-if 3858  df-pw 3929  df-sn 3945  df-pr 3947  df-tp 3949  df-op 3951  df-uni 4164  df-int 4200  df-iun 4245  df-br 4368  df-opab 4426  df-mpt 4427  df-tr 4461  df-eprel 4705  df-id 4709  df-po 4714  df-so 4715  df-fr 4752  df-we 4754  df-ord 4795  df-on 4796  df-lim 4797  df-suc 4798  df-xp 4919  df-rel 4920  df-cnv 4921  df-co 4922  df-dm 4923  df-rn 4924  df-res 4925  df-ima 4926  df-iota 5460  df-fun 5498  df-fn 5499  df-f 5500  df-f1 5501  df-fo 5502  df-f1o 5503  df-fv 5504  df-riota 6158  df-ov 6199  df-oprab 6200  df-mpt2 6201  df-om 6600  df-1st 6699  df-2nd 6700  df-recs 6960  df-rdg 6994  df-1o 7048  df-2o 7049  df-oadd 7052  df-er 7229  df-map 7340  df-pm 7341  df-en 7436  df-dom 7437  df-sdom 7438  df-fin 7439  df-card 8233  df-cda 8461  df-pnf 9541  df-mnf 9542  df-xr 9543  df-ltxr 9544  df-le 9545  df-sub 9720  df-neg 9721  df-nn 10453  df-2 10511  df-n0 10713  df-z 10782  df-uz 11002  df-fz 11594  df-fzo 11718  df-seq 12011  df-exp 12070  df-hash 12308  df-word 12446  df-usgra 24454  df-wlk 24629  df-wwlk 24800  df-wwlkn 24801
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator